2013届高考数学一轮复习教案2.2函数的定义域、值域及函数的解析式

2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式
1.函数的定义域
(1)函数的定义域是指____________________________________________________. (2)求定义域的步骤
①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；
③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零.
②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为______.
④y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为______. ⑤y ＝tan x 的定义域为__________________. ⑥函数f (x )＝x 0的定义域为__________________. 2.函数的值域
(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫__________，__________________叫函数的值域. (2)基本初等函数的值域
①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是______.
②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为________________；当a <0时，值域为______________.
③y ＝k
x (k ≠0)的值域是________________.
④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是____________. ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是______. ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是__________. ⑦y ＝tan x 的值域是______. 3.函数解析式的求法
(1)换元法：若已知f (g (x ))的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x ＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t ”的范围.
(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.
(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝⎛⎭⎫
1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x ).
(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式. [难点正本 疑点清源]
1.函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识.
2.(1)如果函数f (x )的定义域为A ，则f (g (x ))的定义域是使函数g (x )∈A 的x 的取值范围. (2)如果f (g (x ))的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数g (x )的值域. (3)f [g (x )]与f [h (x )]联系的纽带是g (x )与h (x )的值域相同.
1.函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域为____________________________________________.
2.(2011·安徽)函数y ＝
1
6－x －x 2
的定义域是________.
3.函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为__________.
4.已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋x
2
1－x 2，则f (x )＝__________.
题型一 求函数的定义域
例1 (1)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为__________.
(2)函数y ＝
ln (x ＋1)
－x 2－3x ＋4的定义域为__________.
探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中，分母不为零；
②偶次根式，被开方数非负； ③对于y ＝x 0，要求x ≠0；
④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束. (2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系
.
(1)(2011·江西)若f (x )
f (x )的定义域为( )
A.⎝⎛⎭⎫－1
2，0
B.⎝⎛⎦
⎤－1
2，0 C.⎝⎛⎭
⎫－1
2，＋∞
D.(0，＋∞)
(2)若函数f (x )＝x －4
mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________.
题型二 抽象函数的定义域
例2 若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域.
探究提高 已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b
].
已知f (x )的定义域是[0,4]，求：
(1)f (x 2)的定义域；
(2)f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域. 题型三 求函数的值域 例3 求下列函数的值域. (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；
(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.
探究提高 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解
.
求下列函数的值域：
(1)y ＝x 2－x
x 2－x ＋1； (2)y ＝2x －1－13－4x .
题型四 求函数的解析式
例4 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1
x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫
2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；
(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式. 探究提高 函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).
给出下列两个条件：
(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；
(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式.
1.函数问题首先要考虑定义域
试题：(12分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域. 学生解答展示
审题视角 (1)f (x )的定义域；(2)y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域与f (x )的定义域不同；(3)如何求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域.
规范解答
解∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，
要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，
∴1≤x≤3，[3分] ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]. [4分] 又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3. [6分] ∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，[8分] ∴y max＝(1＋3)2－3＝13，y min＝(0＋3)2－3＝6. [10分] ∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6,13]. [12分] 批阅笔记(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识.
(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大.
(3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规
范，也是思维的规范.
方法与技巧
1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础.因
此，我们一定要树立函数定义域优先意识.求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义.
2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围.利用函数几何意义，数
形结合可求某些函数的值域.
3.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、
判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件.
失误与防范
1.求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约
作用.
函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用.特别要重视实际问题的最值的求法.
2.对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质.
答案
要点梳理
1.(1)使函数有意义的自变量的取值范围 (3)③R ④R
⑤⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z
⑥{x |x ∈R 且x ≠0}
2.(1)函数值 函数值的集合 (2)①R ②⎣⎡⎭⎫4ac －b 2
4a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，
4ac －b 2
4a ③{y |y ∈R 且y ≠0} ④(0，＋∞) ⑤R ⑥[－1,1] ⑦R 基础自测
1.[－1,2)∪(2，＋∞)
2.{x |－3<x <2}
3.(0，＋∞)
4.x 2＋1
x 2－1 (x ≠0)
题型分类·深度剖析
例1 (1)⎝⎛⎭⎫－1
3，1 (2)(－1,1) 变式训练1 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤0，3
4 例2 解 ∵f (2x )的定义域是[－1,1]，
∴12≤2x ≤2，即y ＝f (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，2，由1
2≤log 2x ≤2⇒2≤x ≤4. ∴f (log 2x )的定义域是[2，4].
变式训练2 解 ∵f (x )的定义域为[0,4]， (1)有0≤x 2≤4，∴－2≤x ≤2. 故f (x 2)的定义域为[－2,2].
(2)有⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ＋1≤4，
0≤x －1≤4，
∴1≤x ≤3.
故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]. 例3 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，
y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，
即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15].
(2)(分离常数法)
y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为
4x ＋1≠0，所以1－4
x ＋1
≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}. (3)方法一 (换元法)
令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 2
2，
于是y ＝1－t 22－t ＝－1
2(t ＋1)2＋1，
由于t ≥0，所以y ≤1
2，
故函数的值域是⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫y |y ≤12.
方法二 (单调性法)
容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤1
2，所以y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧
⎭⎬⎫y |y ≤12. (4)(基本不等式法)
函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}. 当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1
≥2
log 3x ·1
log 3x
－1＝1；
当0<x <1时，log 3x <0，于是 y ＝log 3x ＋1
log 3x
－1
＝－⎣⎡⎦⎤(－log 3x )＋⎝⎛⎭⎫1
－log 3x －1
≤－2－1＝－3.
故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 变式训练3 解 (1)方法一 (配方法) ∵y ＝1－
1
x 2
－x ＋1
，
又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34
，
∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－1
3≤y <1.
∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－1
3，1. 方法二 (判别式法) 由y ＝x 2－x
x 2－x ＋1，x ∈R ，
得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.
又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， 解得－1
3≤y ≤1.
综上得－1
3≤y <1.
∴函数的值域为⎣⎡⎭
⎫－1
3，1. (2)方法一 (换元法)：设13－4x ＝t ， 则t ≥0，x ＝13－t 2
4
，
于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 2
4－1－t
＝－12t 2－t ＋112＝－1
2
(t ＋1)2＋6，
显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g (t )≤g (0)＝112，
因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 方法二 (单调性法)： 函数定义域是⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ≤134，
当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，所以2x －1－13－4x 增大， 因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是一个单调递增函数， 所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112，故原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 例4 解 (1)令x ＋1
x ＝t ，
则t 2＝x 2＋1
x
2＋2≥4.
∴t ≥2或t ≤－2且x 2＋1
x
2＝t 2－2，
∴f (t )＝t 2－2，
即f (x )＝x 2－2 (x ≥2或x ≤－2). (2)令2
x ＋1＝t ，由于x >0，
∴t >1且x ＝2t －1
， ∴f (t )＝lg
2t －1，即f (x )＝lg 2x －1
(x >1). (3)设f (x )＝kx ＋b ，
∴3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3[k (x ＋1)＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝25k ＋b ＝17，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
k ＝2b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. (4)∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ， ∴2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x . ∴f (x )＝2x －1
x
(x ≠0).
变式训练4 解 (1)令t ＝x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.
则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1).
(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，
∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.
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