高考理科数学《数列求和》练习题含答案解析
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.数列{an }满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝a m＋a n＋mn，则＋＋＋…＋＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】令m＝1得an＋1＝a n＋n＋1，即an＋1－a n＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，上述n－1个式子相加得an －a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝ (n∈N*)，因此＝＝2(－)，所以＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝2.函数f(x)对任意x∈R都有. （1）求和(n∈N*)的值；（2）数列{an }满足：，求an；（3）令，，，试比较Tn 和Sn的大小。
【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由于函数f(x)对任意x∈R都有，则令可求的；再令求出；（2）利用倒序相加结合（1）的结论可求出；（3）由及第（2）问的结论求出，用放缩法变形（），用裂项相消法求，再与比较大小.（1）令=2，则；令得，（4分）（2）由，两式相加得：，∴，（8分）（3），(n≥2)∴.（12分）【考点】倒序相加、裂项相消法求数列的前项和.3.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则．【答案】【解析】因为，所以即因此数列任意相邻两项和为因为，因此所以或，又由.【考点】数列求和4.已知函数，且，则()A．0B．100C．5050D．10200【答案】C【解析】因为，所以，选C.5.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.试题解析：（1）解法1：当时，，当时，.是等差数列，，得.又，，，、、成等比数列，，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.，，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，②①②得. .解法2：由（1）得.，.，①由，两边对取导数得，.令，得. .【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导6.数列{an }满足an+1＋(－1)n an＝2n－1，则{an}的前60项和为____________.【答案】1830【解析】当时，；当时，；当时，.将与相减得：；将与相减得：.所以，，所以.【考点】数列.7.在数列{an }中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100=.【答案】299【解析】设定值为M,则an +an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a 3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.8.．己知数列满足，则数列的前2016项的和的值是___________．【答案】1017072【解析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有，，，，…，，，我们的目的是求，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即为偶数的式子相加），将会得到，好像离目标很近了，但少，而与分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到，为了求，我们又不得不求，依次下去，发现此路可能较复杂或者就行不通，重新寻找思路，从头开始我们有，即，而，∴，因此，我们由开始的三个等式求出了，是不是还可用这种方法求出呢？下面舍去，考察，，，同样方法处理，，从而，于是，而，正好504组，看来此法可行，由此我们可得．【考点】分组求和．9.阅读如图程序框图，若输入的，则输出的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，不成立，执行第一次循环，，；不成立，执行第二次循环，，；不成立，执行第三次循环，，；；不成立，执行第一百次循环，，；成立，输出，故选A.【考点】1.数列求和；2.算法与程序框图10.已知数列的各项都是正数，前项和是，且点在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）
⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【原卷版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．82．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．93．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．634．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．45．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C．12，D．23，＋∞6．(多选)已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有a n＋1＝a1＋a n＋n，则下列说法中正确的是()A．a n＝n(n＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D．数列{a n}的第50项为25507．(多选)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2nS4n为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列”．则下列数列{b n}为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．202011．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n n 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋1412．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【解析版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：A设{a n}的公差为d，根据题意得a23＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{a n}的前6项和为S6＝6a1＋6×52d＝1×6＋6×52×(－2)＝－24．2．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析：C∵1＋2＋22＋…＋2n－1为公比为2，首项为1的等比数列的前n项和S n，∴S n＝12－1(2n－1)＝2n－1>128＝27，∴n≥8，∴n的最小值为8．故选C．3．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．63解析：D因为log2a n＋1＝1＋log2a n，所以log2a n＋1＝log22a n，即a n＋1＝2a n，即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a3＝4，所以a1＝a34＝1，因此S6＝a1(1－26)1－2＝26－1＝63．故选D．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．4解析：A显然数列{a n}的公比不等于1，所以S n＝a1·(q n－1)q－1＝a1q－1·q n－a1q－1＝4n＋b，所以b＝－1．5．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C ．12，D ．23，＋∞解析：D设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝122n －1，所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为14的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－14＝<23．因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，所以k ≥23．故k 的取值范围是23，＋D ．6．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是()A ．a n ＝n (n ＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D ．数列{a n }的第50项为2550解析：AC因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，所以a n ＋1－a n ＝1＋n ，即a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，a 1＝1也适合此式，所以a n ＝n (n ＋1)2，a 50＝1275，A 正确，D 错误；1a n ＝2n(n ＋1)＝2020项和S 2020＝－12＋12－13＋…＋12020－＝40402021，B 错误，C 正确．故选A 、C ．7．(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n解析：BC对于A ，S n ＝(1＋n )n 2，S 2n ＝n (1＋2n )，S 4n ＝2n (1＋4n )，所以S2n S 4n ＝n (1＋2n )2n (1＋4n )＝1＋2n 2(1＋4n )不为常数，故A 错误；对于B ，由并项求和法知：S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 正确；对于C ，S n ＝2＋4n －22×n ＝2n 2，S 2n ＝8n 2，S 4n ＝32n 2，所以S 2n S 4n ＝14，故C 正确；对于D ，S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，S 2n ＝2(4n －1)，S 4n ＝2(16n －1)，所以S2n S 4n ＝4n －116n －1＝14n ＋1不为常数，故D 错误．故选B 、C ．8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．解析：S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1．又a n ＝2n ，∴S n－na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5．答案：59．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d a 1＋10d ＝20，1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得1＋2d ＝4，1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，n 为偶数，n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2)＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020解析：D设{a n }的公差为da 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，1＋9d ＝19，1＝1，＝2，∴a n ＝2n－1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2020项的和为(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2019＋b 2020)＝2×20202＝2020．11．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A nn 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋14解析：ABD由a n ＝a 2n －1＋a n －1，得a 2n －1＝a n －a n －1≥0，所以a n ≥a n －1≥32，A n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n ＋1－a n ＝a n ＋1－a 1＝a n ＋1－32，故A 正确；由a n ＝a 2n －1＋a n －1＝a n－1(a n －1＋1)，得1a n ＝1a n －1(a n －1＋1)＝1a n －1－1a n －1＋1，即1a n －1＋1＝1a n －1－1a n ，所以B n ＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a n ＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝23－1a n ＋1，故B 正确；易知A n ≠0，B n ≠0，所以A nB n ＝a n ＋1－3223－1a n ＋1＝32a n ＋1，故C 不正确；易知a n ＝a 2n －1＋a n －1<2a 2n －1，所以a n ＋1<2a 2n <23a 4n －1<…<22n －1a 2n 1＝22n－1n ＝12×32n ，所以A n B n＝32an ＋1<32×12×32n ＝32n ＋14，故D 正确．故选A 、B 、D ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1．(2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1，3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n＝1－3n 1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．证明：二项展开式的通项为T k ＋1＝C －k＝C －k x12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4，得展开式的常数项为a 1＝12．可选择的条件为①或②或③：若选择①：在S n ＝－a n ＋t 中，令n ＝1，得t ＝1，所以S n ＝－a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1＋1．两式相减得a n ＝12a n －1，故{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择②：由(n ＋1)b n ＋1＝nb n 得b n ＋1b n ＝nn ＋1，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1b 1＝1n (n ≥2)，n ＝1时也满足，则a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n …1－1n ＋1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择③：由题意得3a 2n ＋1－3a 2n ＝－(a n ＋1＋a n )，得a n ＋1－a n ＝－13或a n ＋1＋a n ＝0，又a 1＝12，当a n ＋1＋a n ＝0时，有S n n 为偶数，n 为奇数，所以S n <1，当a n ＋1－a n ＝－13时，有S n ＝n 2－n (n －1)6＝－16(n 2－4n )＝－16(n －2)2＋23，当n ＝2时，S n 有最大值，为23<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．。
高中数学数列求和练习题及参考答案2023
高中数学数列求和练习题及参考答案2023数列求和是高中数学中的重要知识点，也是学生们经常需要练习和巩固的内容。
掌握数列求和的方法和技巧，对于解决各种数学问题具有重要的作用。
本文将为大家提供一些高中数学数列求和的练习题，并给出参考答案。
一、简单求和练习1. 求等差数列1，4，7，10，...的前20项和。
解析：这是一个等差数列，我们知道等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，我们可以求得前20项和为：S20 = (20/2)(1 + 1 + 19 * 3) = 20 * 10 = 200所以，等差数列1，4，7，10，...的前20项和为200。
2. 求等比数列3，6，12，24，...的前10项和。
解析：这是一个等比数列，我们知道等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以求得前10项和为：S10 = 3 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 3 * (1 - 1024) / (-1) = 3 * (1023) = 3069所以，等比数列3，6，12，24，...的前10项和为3069。
二、综合应用题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，且和为139，求该等差数列的项数。
解析：设等差数列的项数为n，根据等差数列的求和公式Sn =(n/2)(a1 + an)，将已知条件代入，得到：139 = (n/2)(3 + a1 + (n - 1)2)化简得：139 = (n/2)(2n + 4)278 = n(2n + 4)2n^2 + 4n - 278 = 0解这个一元二次方程，得到n ≈ 11所以，该等差数列的项数为11。
2. 已知等差数列的首项为5，公差为3，前n项和为Sn = 105 - 2n，求该等差数列的项数n。
高考数列求和专项训练及解答
高考数列求和专项训练及解答一．选择题（共3小题）1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和Sn为（）A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣2．已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n 的值是（）A．9B．10C．11D．133．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为Tn，若Tn=，则n=（）A．19B．20C．21D．22二．解答题（共5小题）4．已知数列{an }的通项是an=2n﹣1．（1）求数列{an }的前n项和为Sn（2）设数列的前n项和为Tn ，求Tn．5．已知正项数列满足4Sn =an2+2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．6．已知等比数列{an }的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．7．在数列{an }中，a1=1，．（1）求a2，a3，a4，猜想an，无需证明；（2）若数列，求数列{an }的前n项和Sn．8．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2an+2n．（1）证明数列{}是等差数列，并求出an；（2）求Sn；（3）令bn =，若对任意正整数n，不等式bn＜恒成立，求实数m的取值范围．2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和Sn为（）A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：Sn=1+3+5+…+（2n﹣1）++…+=+=n2+．故选：A．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式，属于基础题．2．已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n 的值是（）A．9B．10C．11D．13【分析】利用项数为奇数的等差数列{an}共有n项，求出奇数项之和，偶数项之和，然后通过比值求解即可．【解答】解：由题意，；；∴，∴n=11．故选：C．【点评】本题考查数列求和，数列的应用，考查计算能力．3．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为Tn，若Tn=，则n=（）A．19B．20C．21D．22【分析】等差数列{an}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项、公差，求得==﹣，由裂项相消求和可得前n项和Tn，解方程可得n的值．【解答】解：等差数列{an }的公差设为d，前n项和为Sn，S3=6，S5=15，可得3a1+3d=6，5a1+10d=15，解得a1=d=1，即an=1+n﹣1=n，==﹣，前n项和为Tn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由Tn=，可得n=20，故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．二．解答题（共5小题）4．已知数列{an }的通项是an=2n﹣1．（1）求数列{an }的前n项和为Sn（2）设数列的前n项和为Tn ，求Tn．【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解数列的和即可．（2）利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】（12分）解：（1）∵an =2n﹣1，∴a1=1，∴（2）①，②①减②得：==，∴．【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减法的应用，考查计算能力．5．已知正项数列满足4Sn =an2+2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）由，可知当n≥2时，，两式作差可得an ﹣an﹣1=2（n≥2），再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；（2）把数列{an }的通项公式代入bn=，再由裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由，可知当n≥2时，，两式作差得an ﹣an﹣1=2（n≥2），又，得a1=1，∴an=2n﹣1；（2）由（1）知，，∴Tn =b1+b2+…+bn==．【点评】本题考查等差数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．6．已知等比数列{an }的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；（2）化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）由a1a5=8a2得：a1q3=8，即a4=8，又∵3a4，28，a6成等差数列，∴3a4+a6=56，将a4=8代入得：a6=32．从而：a1=1，q=2．∴an=2n﹣1；（2）bn==2n•（）n﹣1，Tn=2×（）0+4×（）1+6×（）2+…+2（n﹣1）•（）n﹣2+2n•（）n﹣1……………………①Tn=2×（）1+4×（）2+6×（）3+…+2（n﹣1）•（）n﹣1+2n•（）n……………………②①﹣②得：Tn=2×[（）0+2（）1+（）2+…+（）n﹣1]﹣2n•（）n=2+2×﹣2n•（）n=4﹣（n+2）•（）n﹣1．∴Tn=8﹣（n+2）•（）n﹣2．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．7．在数列{an }中，a1=1，．（1）求a2，a3，a4，猜想an，无需证明；（2）若数列，求数列{an }的前n项和Sn．【分析】（1）利用已知条件通过递推关系式求解a2，a3，a4，猜想an；（2）化简数列，利用裂项消项法求数列{an }的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵a1=1，an+1=，∴a2==，a3=═，a4=═．猜想：an=．（2）由（1）知：bn===2[﹣]，从而sn =b1+b2+…+bn=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2[1﹣]=．【点评】本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．8．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2an+2n．（1）证明数列{}是等差数列，并求出an；（2）求Sn；（3）令bn =，若对任意正整数n，不等式bn＜恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）两边同除以2n+1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；（3）求得bn ==（）n+（n﹣1）•（）n，讨论bn的单调性，求得最大值，可得m2﹣m﹣6＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）证明：a1=1，an+1=2an+2n，可得=+，可得数列{}是首项和公差均为的等差数列，可得=n，即an=n•2n﹣1；（2）Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，相减可得﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=﹣n•2n，化简可得Sn=1+（n﹣1）•2n；（3）bn==（）n+（n﹣1）•（）n，b n+1﹣bn=（）n+1+n•（）n+1﹣（）n﹣（n﹣1）•（）n=，当n=1时，b2﹣b1=；n=2时，b3﹣b2=；即b1＜b2＜b3，当n≥3时，bn+1﹣bn＜0，即b3＞b4＞b5＞…，则n=3时，bn 的最大值为b3=，不等式b＜恒成立，可得n＜，即为m2﹣m﹣6＞0，解得m＞3或m＜﹣2．则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列的单调性的运用：解不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
高二数学数列求和试题答案及解析
高二数学数列求和试题答案及解析1.已知数列的前项和为，且，；数列中，点在直线上．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前和为，求；【答案】（1），（2）【解析】（1）求数列的通项公式用公式法即可推导数列为等比数列，根据等比数列通项公式可求。
求的通项公式也用公式法，根据已知条件可知数列为等差数列，根据等差数列的通项公式可直接求得。
（2）用列项相消法求和。
试题解析：解：（1）∵，∴当时，…2分所以，即∴数列是等比数列．∵，∴∴． 5分∵点在直线上，∴，即数列是等差数列，又，∴．…7分（2）由题意可得，∴， 9分∴，…10分∴． 14分【考点】1求数列的通向公式；2数列求和。
2.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于.A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，解得.故选B.【考点】数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）3.设数列中，，则通项 ___________．【答案】．【解析】由已知得，即数列后项与前项的差，求它的通项公式的方法是的累加法，，＝．【考点】数列的求和．4.已知数列的前n项和，则（）A．20B．19C．18D．17【答案】C【解析】当时，有【考点】数列求通项点评：由数列前n项和求通项5.观察下列三角形数表：第一行第二行第三行第四行第五行………………………………………….假设第行的第二个数为.（1）依次写出第八行的所有8个数字；（2）归纳出的关系式，并求出的通项公式.【答案】（1）根据已知条件可知每一个数字等于肩上两个数之和，那么可知第八行中的8个数字为8,29,63,91,91,63,29,8（2）【解析】(1)8,29,63,91,91,63,29,8(规律：每行除首末数字外，每个数等于其肩上两数字之和)（2）由已知：，所以有：，, ,……,,将以上各式相加的：所以的通项公式为：。
【考点】累加法求解数列的通项公式点评：主要是考查了递推关系式的运用，结合累加法来求解数列的通项公式，属于基础题。
数列求和练习题(含答案)
2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16D.130B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A ．9B ．18C ．36D ．72B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4，∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.]已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． [解](1)由已知得⎩⎨⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，3分所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，8分所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.12分已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2nna a ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋12×3×(3－1)d ＝6，5a 1＋12×5×(5－1)d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.3分∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .5分 (2)由(1)得b n ＝a n 2a n＝n2n ，6分∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①①式两边同乘12， 得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n－n 2n ＋1，10分 ∴T n ＝2－12n －1－n2n .12分一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )【导学号：31222189】A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ， 则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.] 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，n ∈N *，则S 2 016＝__________. 0 [a n ＝sin n π2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0. S 2 016＝S 4×504＝0.]9．已知数列{a n }中，a 1＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解](1)∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是首项为2，公差为1的等差数列，∴2na n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，3分解得a n ＝2n (n ＋1).5分(2)∵a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.12分3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3.3分∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n .5分(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n ，7分 ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1.10分 ∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n .7分 ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ] ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分。
新高考人教B版数学理大一轮复习训练6.4数列求和(含答案解析)
6.4 数列乞降一、选择题 ( 每题 5 分，共 25 分)1. 在等差数列 { a n } 中， a 2 1, a 4 5, 则 { a n } 的前 5 项和S 5=( )A.7B.15C.20D.25a 1 a 5a 2 a 4分析a21,a 4 5S 52525 15 .答案 B．若数列 { a n 的通项公式是 a n ＝ － 1) n (3 n － 2) ，则 a 1＋a 2＋ ＋ a 10＝ ()．2 } (A ．15B ． 12C ．－ 12D ．－ 15分析设 b n ＝ n － ，则数列 { b n 是以 1 为首项， 3为公差的等差数列，所以 a 13 2 }＋ a 2＋ ＋ a 9＋ a 10＝ ( － b 1) ＋ b 2＋ ＋ ( －b 9) ＋b 10 ＝( b 2－ b 1) ＋ ( b 4－b 3) ＋ ＋ ( b 10－ b 9 ) ＝5×3＝ 15.答案 A1 1 1 13．数列 12，34，58，716， 的前 n 项和 S n 为() ．2 121．n＋ － n － 1B． n ＋ － nA1 22 22 121．n＋ － nD． n ＋ － n －1C122 2由题意知已知数列的通项为1 分析21 21 121－2n ＋ n －n122则 S n ＝ 2＋1 ＝n ＋1－2n .1－2答案 C．已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝1，若前 n 项和为，则项数 n 为410n ＋ n ＋1() ．A ．11B ． 99C ．120D ． 121分析∵ a n＝1＝n＋－n，∴ S n＝a1＋ a2＋＋ a n＝(－＋( 3n＋ n＋11 2 1)－2)＋＋(n＋－n＝n＋－令n＋－＝，得 n＝120.1)1 1. 1 110答案C15.已知数列 { a n} 的通项公式为 a n＝2n＋1，令 b n＝n( a1＋a2＋＋ a n) ，则数列 { b n} 的前 10 项和 T10＝()A．70B．75C．80D．85分析由已知 a n＝2n＋ 1，得 a1＝ 3， a1＋a2＋＋ a n＝＋2n＋＝n(n ＋2) ，2n10＋＝75，应选 B则 b ＝n＋2，T ＝2.答案B6．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝an2＋ bn( a、b∈R)，且 S25＝100，则 a12＋ a14等于()A．16B．8C．4D．不确立分析a n n2a、 b∈，可得数列a n是等差数列，由数列 {}的前 n 项和 S＝an ＋bn R){}(S25＝a1＋ a25＝100，解得 a1＋ a25＝8，所以 a1＋a25＝a12＋ a14＝8.2答案 B7．若数列 {a n为等比数列，且a1＝，q＝，则 T n＝1＋1＋＋1的结果}12a1 a2a2a3a n a n＋1可化为 () ．11 A．1－4n B．1－2n 2121 C. 3 1－4n D.3 1－2n分析a n＝n－ 1，设 b n＝1 1 2n－1 1 1312n2＝2，则 T n＝b1＋b2＋＋ b n＝＋＋＋2a n a n＋1 2 2111－n21－ 124＝1＝3 1－4n .1－4答案 C 二、填空题8．数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝1，其前 n 项之和为 10，则在平面直角n ＋ n ＋ 1坐标系中，直线 ( n ＋1) x ＋y ＋n ＝0 在 y 轴上的截距为 ________．分析 由已知，得 a n ＝ 1＝ n ＋1－ n ，则n ＋ n ＋1S n ＝ a 1＋a 2 ＋ ＋ a n ＝( 2－ 1) ＋( 3－ 2) ＋ ＋ ( n ＋1－ n) ＝ n ＋ 1－ 1，∴ n ＋ 1－ 1＝ 10，解得 n ＝120，即直线方程化为 121x ＋y ＋120＝ 0，故直线在 y 轴上的截距为－ 120.答案 －120n22 2 9．等比数列 { a } 的前 n 项和 S ＝2 －1，则 a 1＋a 2＋ ＋ a ＝________.n nn分析当 n ＝ 1时， a 1＝ S 1＝ ， 1当 n ≥2时， a n ＝ S n －S n － 1＝2n－ 1－ (2 n － 1－ 1) ＝2n － 1，又∵ a 1n － 1 2 n － 1＝1 合适上式．∴ a n ＝2，∴ a n ＝4 .∴数列 22为首项，以 4 为公比的等比数列． { a n } 是以 a 1＝ 1n1 n2 2 2－4∴ a 1＋a 2a n＝ 1－ 4＝3(4 －1) ．＋ ＋1n答案3(4－1)110．已知等比数列 { a n } 中，a 1＝ 3，a 4＝81，若数列 { b n } 知足 b n ＝log 3a n ，则数列 b n b n ＋ 1的前 n 项和 S n ＝________.分析设等比数列 a na 4 3，解得 q ＝ 所以 a n ＝a 1q n － 1 ＝{ 的公比为 q ，则 ＝q ＝3.}a 127n n3×3－1＝3 ，故 b n ＝ log 3a n ＝n ，11 1 1所以 b n b n ＋1 ＝n n ＋＝n －n ＋1.1 1 1 1 11 n则 S n ＝1－2＋2－3＋ ＋ n － n ＋ 1＝ 1－ n ＋1＝n ＋1.答案nn ＋1a ba 11 33211．定义运算：d＝ ad － bc ，若数列 { a n } 知足＝1 且＝c2a na n ＋1112( n ∈N * ) ，则 a 3 ＝________，数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝________.分析 由题意得 a 1－1＝1,3 a n ＋ 1－ 3a n ＝ 12 即 a 1＝2，a n ＋ 1－a n ＝ 4.∴ { a n } 是以 2 为首项， 4 为公差的等差数列．∴ a n ＝2＋4( n －1) ＝ 4n －2，a 3＝4×3－ 2＝10.答案 104n － 21 12 1 2 31 2 3 912．已知数列 { a n } ：2， 3＋ 3， 4＋ 4＋ 4， ， 10＋ 10＋10＋ ＋ 10， ，那么数1列 { b n } ＝ a n a n ＋1 的前 n 项和 S n 为________．分析 由已知条件可得数列 { a n } 的通项为1＋ 2＋ 3＋ ＋ n na n ＝n ＋1＝2.14 1 1∴ b n ＝a n a n ＋ 1＝n n ＋＝4 n －n ＋1 . 1 1 11 1S n ＝ 4 1－ 2＋ 2－ 3＋ ＋ n －n ＋114n＝4 1－n ＋ 1 ＝n ＋1.4n 答案n ＋1三、解答题13．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 3＝5，S 15＝225.(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 b n ＝2a n ＋2n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 分析： (1) 设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ，a 1＋ d ＝ ，2 5由题意，得15×14 ， ＋＝152225a 1 ＝1， 解得∴a n ＝2n －1.d ＝2，1n(2) ∵ b n ＝2a n ＋ 2n ＝2·4＋ 2n ，∴ T n ＝ b 1＋b 2＋ ＋ b n12nn＝ 2(4 ＋4 ＋ ＋ 4 ) ＋2(1＋2＋ ＋ )4n ＋1－4 2 2 n 22 ＝ 6 ＋ n ＋n ＝3·4＋n ＋ n － 3.14．设 { a n } 是公比为正数的等比数列， a 1＝2，a 3＝ a 2＋4.(1) 求 { a n } 的通项公式；(2) 设 { b n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 { a n ＋b n } 的前 n 项和 S n . 分析 (1) 设 q 为等比数列 { a n } 的公比，则由 a 1 ＝2，a 3＝a 2＋4 得 2q 2＝2q ＋ 4，即q 2－ q － ＝ ，解得 q ＝ 2或 q ＝－ 1( 舍去 ，所以 q ＝ 2.2 0 )所以 a n n 1＝n n ∈ * 的通项为 a n ＝ ·2－2 ({ } 2 N ) S ＝ －2n n n － n ＋ 1 2(2) n1－212×2＝2 ＋2.15．设 { a n 是等差数列， { b n 是各项都为正数的等比数列，且a 1 ＝b 1＝ ，a 3＋ b 5} }1＝ 21，a 5＋ b 3＝ 13.(1) 求 { a n } ，{ b n } 的通项公式；nn 项和 S na(2) 求数列 b n 的前.解 析(1) 设 { a n 的公差为d ，{ b n 的公比为q ，则 依题 意有 q ＞且}}1＋2 d ＋q 4 ＝ ，d ＝ ，21 解得21＋4d ＋q 2 ＝13， q ＝ 2.所以 a n ＝1＋( n －1) d ＝2n －1，b n ＝q n － 1＝ 2n － 1 .a n 2n －1(2) b n ＝ 2n － 1 ，35 2n －3 2n －1 S n ＝ 1＋ 21＋ 22 ＋ ＋ 2n － 2 ＋ 2n － 1 ，①52n －3 2n －12S n ＝2＋3＋2＋ ＋ 2n － 3 ＋ 2n － 2 . ②2 2 22n －12 2 22221 11 n － 1＝ ＋ ×1＋ ＋ ＋ ＋ n －－2n － 1222 22211－2n － 1 n － 1n ＋ 3＝2＋2×1 － 2n － 1＝6－ 2n － 1 .1－2．等差数列{ a n的各项均为正数， a 1＝ ，前n 项和为 S n ，b n 为等比数列， b 116}3 { }＝ 1，且 b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1) 求 a n 与 b n ；1 1 1(2) 求＋＋ ＋.S 1 S 2S n分析 (1) 设{ a n } 的公差为 d ，{ b n } 的公比为 q ，则 d 为正数， a n ＝3＋ ( n －1) d ，b n＝ qn －1.S 2b 2＝ ＋ d q ＝ ，依题意有S 3b 3＝64 ＋ d q 2＝，3 9606 d ＝ ，d ＝－ 5，2(舍去)解得或40 q ＝8q ＝ 3 .故 a n ＝3＋2( n －1) ＝2n ＋ 1， b n ＝8n － 1.(2) S n ＝ 3＋ 5＋ ＋ (2 n ＋1) ＝n( n ＋2) ，所以 1 ＋ 11111＋ ＋S 1 ＋ ＋＝＋＋nS 2S n×3×4×51 2 31 1－ 1 1 1 1 1 11 ＝2 3＋ 2－ 4＋ 3－ 5＋ ＋ n －n ＋21 1 1 1＝21＋2－ n ＋ 1－ n ＋ 232 n ＋ 3.＝ 4－n ＋n ＋ 21n ＋。
专题07 数列求和(解析版)-高考数学计算题型精练(新高考通用版)
数列求和的运算1．等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()21log n n n n b a a a +=⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)*2,N n n a n =∈(2)n T 21222;n n n +=++-【详解】（1）已知等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列，()32422a a a ∴+=+，()11124228a a a ∴+=+,解得12a =，1*222,N ;n n n a n -∴=⨯=∈（2）()12122log 222log 22212n n n n n n n b n ++=⋅+=+=++，()()()()221221222221212n n n T n n n n -∴=++++++++=+++++- .21222;n n n +=++-2．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知221n n n a S a =+．(1)求证：数列{}2n S 为等差数列，并求出n S ，n a ；(2)若(1)nn nb a -=，求数列{}n b 的前2023项和2023T ．【答案】(1)n S ；=n a (2)2023T =.【详解】（1）由221n n n a S a =+可得，221121S S =+，又因为n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，所以111S a ==，因为1n n n a S S -=-，所以()()21121n n n n n S S S S S ---=-+，所以()22112n n S S n --=≥，数列{}2n S 为等差数列，所以2nS n =，n S ，())112n n a n ⎧==≥，所以n a（2）(1)(1)nn n nb a -==-，202311T =-+-⋅⋅⋅--3．已知数列{}n a 为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取11a =，接着复制该项粘贴在后面作为2a ，并添加后继数2作为3a ；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为4a ，5a ，6a ，并添加后继数3作为7a ，…依次继续下去.记n b 表示数列{}n a 中n 首次出现时对应的项数.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求12363a a a a ++++ .【答案】(1)21nn b =-(2)120【详解】（1）由题意知：121n n b b +=+，即112(1)n n b b ++=+，且112b +=，所以数列{1}n b +是以112b +=为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b +=，则21nn b =-.（2）由（1）可知，662163b =-=，所以6在前63项中出现1次，5在前63项中出现2次，4在前63项中出现224⨯=次，3在前63项中出现428⨯=次，2在前63项中出现8216⨯=次，1在前63项中出现16232⨯=次，所以1236313221638445261120a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前2023项和.【答案】(1)n a n =(2)20232024【详解】（1）设公差为d ，由55a =，515S =，得1145545152a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a d ==，所以n a n =.（2）由（1）可得()1111111n n n b a a n n n n +===-++，所以122320232024111a a a a a a +++ 1111112023112232023202420242024⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故数列{}n b 的前2023项和为20232024.5．已知{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，数列{}n b 满足114,321n n b b b n +==-+.(1)证明{}n b n -是等比数列，并求{}{},n n a b 的通项公式；(2)若数列{}n a 与{}n b 中有公共项，即存在*,N k m ∈，使得k m a b =成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{}n c ，求12n c c c +++ .【答案】(1)证明见解析，()*31N n a n n =-∈，()*3Nn n b n n =+∈(2)()()927131262n n n -++()*N n ∈【详解】（1）由题意可得：()()*21331N n a n n n =+-⨯=-∈，而114,321n n b b b n +==-+，变形可得：()()111333,13n n n b n b n b n b +-+=-=--=，故{}n b n -是首项为3，公比为3的等比数列.从而3nn b n -=，即()*3N n n b n n =+∈.（2）由题意可得：313m k m -=+，*,N k m ∈，令31m n =-()*N n ∈，则()312231331331n n k n n ---=+-=+-，此时满足条件，即2,5,8,,31m n =⋯-时为公共项，所以122531n n c c c b b b -+++=+++ ()()()25319271313332531262n n n n n --+=+++++++-=+()*N n ∈.6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*12N n n S a n +=∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设,21,2n n a n k b n n k=-⎧=⎨=⎩且*N k ∈，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】(1)12n n a -=(2)()12221,234211,2134n n n n n n k T n n k +⎧+-+=⎪⎪=⎨--⎪+=-⎪⎩，*N k ∈【详解】（1）当1n =时，11a =，当2n ≥时，111212n nn n S a S a --+=⎧⎨+=⎩12n n a a -⇒=，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=.（2）由题设知：12,21,2n n n k b n n k-⎧=-=⎨=⎩，*N k ∈，当n 为偶数时，13124()()n n n T b b b b b b -=+++++++ 022(222)(24)n n -=+++++++ 21(2)34n n n -+=+；当n 为奇数时，13241()()n n n T b b b b b b -=+++++++ 021(222)(241)n n -=+++++++- 1221134n n +--=+；综上，()12221,234211,2134n n n n n n k T n n k +⎧+-+=⎪⎪=⎨--⎪+=-⎪⎩，*N k ∈.7．已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意的*n ∈N ，11,,222,.nnn n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪+⎩是奇数是偶数(1)求2a ，3a 的值，并证明数列2123n a -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)设()21N *n n b a n -=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21a =，310a =，证明见解析(2)()824193n n T n =--【详解】（1）1212a a ==，3322210a a =+=.由题意得212121212212121288822244332333n n n n n n n n a a a a a ++-+---⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又128033a +=≠，所以数列2123n a -⎧⎫+⎨⎩⎭是等比数列.（2）由（1）知12182433n n n b a --==⋅-.运用分组求和，可得()0121828142444++4333143n n n T n n--=++⋅⋅⋅-=⋅--()824193n n =--.8．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n T ，12a =且对任意2n ≥，11,,n n n n a T a a T -成等差数列，又正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，23413,39S S ==.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足2n n n c T b =⋅，是否存在正整数n ，使129n c c c +++> .若存在，求出n 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2n a =，n b =113n -⎛⎫⎪⎝⎭(2)不存在，理由见解析【详解】（1）设{}n b 的公比为q ，显然1q ≠，由23413,39S S ==，可得()()2131141311319b q qb q q⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得13q =或14q =-（舍去），又11b =，所以n b =113n -⎛⎫⎪⎝⎭，又对任意2n ≥，11,,n n n n a T a a T -成等差数列，12a =，所以14n n n n a T a T -+=.因为()12n n n a T T n -=-≥，所以()()114n n n n T T T T ---+=，所以2214n n T T --=()2n ≥，故{}2n T 是以214T =为首项，公差4d =的等差数列，所以()24144n T n n =+-⨯=，又0n a >，所以0n T >，所以n T =当2n ≥时，142n n n a T T -==+，1n =时，12a =满足上式，故2n a =.（2）12143n n nn c T b n -⎛⎫=⋅=⨯ ⎪⎝⎭，设12n n K c c c =+++ ，121114812333n K ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1143n n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭①，123111148123333n K ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()11141433n nn n -⎛⎫⎛⎫+-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，①-②，得122114444333n K ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3111144333n nn -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111341313n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎣⎦331142233n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()11119969329333nnn n K n n -⎛⎫⎛⎫=--=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故不存在正整数n ，使129n c c c +++> .9．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足226n n S a +=-，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记m b 为数列{}n S 在区间()2,m m a a +中最大的项，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)132n n a -=⨯；(2)222313n n T n +--=⨯.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，则0q >，又226n n S a +=-，当1n =时，1326S a =-，当2n =时，2426S a =-，两式相减可得，2432a a a =-，所以22q q =-，所以2q =或1q =-(舍去)，所以1312646S a a =-=-，即13a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为132n n a -=⨯；（2）由132n n a -=⨯，226n n S a +=-，可得()()1211632632322n n n n S a ++=-=⨯-=⨯-，所以113n n n S a a ++=-<，又0n a >，所以n n S a ≥，当且仅当1n =时等号成立，所以122m m m m m a S S a S +++≤<<<，所以11323m m m b S ++==⨯-，所以()2341322223n n T n +++=+-+ 22233322212312n n n n ++-⨯⨯-==---.即222313n n T n +--=⨯.10．已知等差数列{}n a 的公差0d >，且满足11a =，1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足22,1,n a n n n n b n a a+⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．【答案】(1)n a n =(2)21221534412n n T n +=--+【详解】（1）因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2214a a a =，即2(1)1(13)d d +=⨯+，解得0d =或1d =．因为0d >，所以1d =，所以11(1)n a n n =+⨯-=．（2）由（1）得()2,,1,,2n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数所以2,,111,22n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎛⎫- ⎪⎪+⎝⎭⎩为奇数为偶数，所以21232121321242()()n n n n n T b b b b b b b b b b b --=+++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+13211111111(222)22446222n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12122222111122222n n --⋅⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，2121534412n n +=--+，所以数列{}n b 的前2n 项的和21221534412n n T n +=--+．11．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知30a =，1(1)2n nn n a S ++-=.(1)求1a ，2a ；(2)令12n n n b a a +=+，求2462n b b b b ++++ .【答案】(1)121,3a a ==(2)2122n +-【详解】（1）由1(1)2n nn n a S ++-=得212,a a -=即212,a a =+23242a S +==，即1324a a a +=+，又30a =，所以121,3a a ==，（2）当2n k =时，22122kk k a S ++=，当21n k =-时，221212k k k a S --=-，两式相加可得22121221222k k k k k k a S a S +--=+-++，得221212222k k k k a a -++=+，由于12n n n b a a +=+，所以()()()()32547462622212222n n n b b b b a a a a a a a a +=++++++++++++ ()()()()21436522122222222n n -=++++++++ ()()24621352122222222n n -=+++++++++ ()()21414214221414n n n +--=+=---12．已知{}n a 是递增的等差数列，{}n b 是等比数列，且11a =，22b a =，35b a =，414b a =．(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)n *∀∈N ，数列{}n c 满足1122313n n n c a c c b b b ++++⋅⋅⋅+=，求{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)21n a n =-，13n n b -=(2)3n n S =【详解】（1）解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，则221b a d ==+，3514b a d ==+，414113b a d ==+，因为数列{}n b 为等比数列，则2324b b b =，即()()()2141113d d d +=++，因为0d >，解得2d =，()()1112121n a a n d n n ∴=+-=+-=-.又因为223b a ==，359==b a ，所以，等比数列{}n b 的公比为323b q b ==，因此，2123n n n b b q --==.（2）解：由1122313n n n c a c c b b b ++++⋅⋅⋅+=，①可得12213c a b ==，所以，13c =，当2n ≥时，112233n n n c a c c b b b -++⋅⋅⋅+=，②①-②得11233n n n n c a a b ++-==，所以，()1122323n n n c b n -+==⋅≥，13c =不满足()1232n n c n -=⋅≥，所以，13,123,2n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩.当1n =时，113S c ==，当2n ≥时，()()1121613323333313n n n n S ---=+⨯+++=+=- ，13S =也满足()32n n S n =≥，综上所述，对任意的n *∈N ，3nn S =.13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()21log 2n n b a +=-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)122n n a -=+(2)1n n +【详解】（1）当1n =时，111225S a a ==+-，解得13a =，当2n ≥时，()112215n n S a n --=+--．可得()112252215n n n n S S a n a n --⎡⎤-=+--+--⎣⎦，整理得：122n n a a -=-，从而()()12222n n a a n --=-≥，又121a -=，所以数列{}2n a -是首项为1，公比为2的等比数列；所以()1112222n n n a a ---=-⋅=，所以122n n a -=+，经检验，13a =满足122n n a -=+，综上，数列{}n a 的通项公式为122n n a -=+；（2）由（1）得122n n a --=，所以122nn a +-=，所以()21log 2n n b a n +=-=，()1111111n n b b n n n n +∴==-⋅++，所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++ 11111111.1223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111nn n =-=++14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，且2*,N n n na S n n n -=-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()122121nnn a n a a b +=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-(2)21111321n n T +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭【详解】（1）因为2n n na S n n -=-，所以211(1)(1)(1)(2)n n n a S n n n ----=---≥，两式相减得1(1)22n n n na n a a n ----=-，化简得12(2)n n a a n --=≥，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）()()21212121212111321212121n n n n n n b --+-+⎛⎫==-⎪----⎝⎭，所以12n nT b b b =++¼+335212111111113212121212121n n -+⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪------⎝⎭21111321n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以21111321n n T +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．15．已知函数{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．(1)求证11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n a ．(2)对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，求123100123100a a a a ⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦ 的值．【答案】(1)证明见解析，332nn na =+(2)5051【详解】（1）因为135a =，1321n n n a a a +=+，所以0n a ≠，所以12113n n n a a a ++=2133n a =+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又因为11213a -=，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列，所以112112333nn n a -⎛⎫-=⨯⎪=⎝⎭，所以1213n n a =+，所以332n n na =+.（2）因为1213n n a =+，所以1210012310012310024200123100333a a a a +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()1210010010011210023332⨯+⎛⎫=⨯++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭.设1231001231003333T =+++⋅⋅⋅+，所以234101112310033333T =+++⋅⋅⋅+，所以2310010121111100333333T =+++⋅⋅⋅+-100101100101111100111003311323313⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=⨯-- ⎪⎝⎭-，所以1003203443T =-⨯，所以100123123100a a a a +++⋅⋅⋅+100100320320*********.522323=+-=-⨯⨯.因为100203013<<，所以10020310232<<⨯，所以10020350515051.55051.523<-<⨯，所以1001231231005051a a a a ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦.16．已知各项均为正数的数列{n a }满足111,23n n a a a -==+（正整数2)n ≥(1)求证：数列{}3n a +是等比数列；(2)求数列{n a }的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析(2)2234n n S n +=--【详解】（1）证明：已知递推公式123n n a a -=+，两边同时加上3，得：()()13232n n a a n -+=+≥，因为0,30n n a a >+>，所以()13223n n a n a -+=≥+，又1340a +=≠，所以数列{}3n a +是以134a +=为首项、以2为公比的等比数列.（2）由（1）113=422n n n a -++⨯=，则()1*23N n n a n +=-∈，所以23112232323n n n S a a a +=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()2312223n n+=++⋅⋅⋅+-()2412323412nn n n +⋅-=-=---.17．已知在数列{}n a 中，112a =，且1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n n n n a b a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得425m T ≤的最大整数m 的值；(3)设12nn n na c a -=⋅，求数列{}n c 的前n 项和nQ 【答案】(1)11n a n =+(2)8(3)222n nn Q +=-【详解】（1）由112a =可知112a =，又1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，所以12(1)11n n n a =+-⨯=+，故11n a n =+．（2）1111112112n n n n a n b a a n n n n ++=+=+=+-++++，121111111123341222n n T b b b n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+-+-++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1142225m T m m =+-≤+，整理得210(2)99(2)100m m +-+-≤，解得18m ≤≤，故满足条件的最大整数m 的值为8．（3）由题得122n n nn n a nc a -==⋅，则2311111232222n n Q n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，2311111112(1)22222n n n Q n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ，两式相减得231111111111122222222n nn n n Q n n ++⎛⎫=++++-⨯=--⨯ ⎪⎝⎭，所以2222222n n n nn nQ +=--=-.18．已知数列{}n a 各项都不为0，前n 项和为n S ，且32n n a S -=，数列{}n b 满足11b =-，1n n b b n +=+．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)令21n nn a b c n =+，求数列{}n c 的前n 项和为nT 【答案】(1)132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭;()()122nn n b +-=;(2)()138342n n T n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）由32n n a S -=，可得()11322n n a S n ---=≥，两式相减得1133n n n n n a a S S a ---=-=，整理得132n n a a -=，因为数列{}n a 各项都不为0，所以数列{}n a 是以32为公比的等比数列．令1n =，则11132a S a -==，解得11a =，故132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．由题知1n n b b n +-=，所以()()()()11232211n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-++-+-+ ()()()()21221221122n n n n n n +---=-+-+++-==（2）由（1）得()123212n n n n a b c n n -⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，所以()()01112333102222n n n T c c c n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()()1233331022222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得()()1133122133312463222212n n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦-=-+--⨯=-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以()138342n n T n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭．19．已知等比数列{}n a 的公比为2，数列{}n b 满足12b =，23b =，12n n n n n a b a b +-=．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n S 为数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：13n S ≤<．【答案】(1)2n n a =；1n b n =+(2)证明见解析【详解】（1）当1n =时，12112a b a b -=，又122,3b b ==，解得12a =．所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故1222n nn a -=⨯=．则1222n n nn n b b +-=，即11n n b b +=+．所以{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，故()2111n b n n =+-⨯=+．（2）由（1）可得2n n a =，1n b n =+，所以12n n n b n a +=．则2323412222n n n S +=+++⋅⋅⋅+①，23411234122222n n n S ++=+++⋅⋅⋅+②，①-②可得122311111122111111331112222222212n n n n n n n n n S -+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-+-=- ⎪⎝⎭-，所以3332n nn S +=-<．因为111432330222n n n n n n n n S S ++++++-=--+=>，所以{}n S 是递增数列．则113312n S S +≥=-=，故13n S ≤<．20．在数列{}n a 中，11a =-，()*12362,N n n a a n n n -=+-≥∈.(1)求证：数列{}3n a n +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析；23nn a n =-；(2)122(1)n n n +--+【详解】（1）()*12362,N n n a a n n n -=+-≥∈ ，∴当2n ≥时，()()11111333263133332233n n n n n n a n a n a n a n n n a n a -----+-+-+===+-++-+-，数列{}3n a n +是首项为132a +=，公比为2的等比数列，32n n a n ∴+=，23n n a n =-；（2）2322n nn n n b a n a n n n=+==-+=-数列{}n b 的前n 项和()()()()12312...222426...22n n n T b b b n =+++=-+-+-++-()()1212122222...2246...222(1)122n n n nn n n n +-+=+++-++++=-⨯=--+-．21．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}11,2n na a =是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：4n S <.【答案】(1)12n n na -=(2)证明见解析【详解】（1）因为11a =，所以122a =，因为{}2nn a 是公差为2的等差数列，所以()22212n n a n n =+-=，所以1222n n n n n a -==.（2）01211232222n n n S -++++=，①所以121112122222n n n n nS --=++++ ，②①-②则2111111122121222222212nn n n n n n n n S --+=++++-=-=-- ，所以12442n n n S -+=-<.22．已知数列{}n a 满足1224n n a a n -=-+（n ≥2，*n ∈N ），14a =．(1)求证：数列{}2-n a n 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)求数列(){}1nn a -的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析，22n n a n=+(2)1122,3325,33n n n n n S n n ++⎧+-⎪⎪=⎨⎪---⎪⎩为偶数为奇数【详解】（1）∵1224n n a a n -=-+，∴()112244221n n n a n a n a n ---=-+=--⎡⎤⎣⎦，所以()12221n n a na n --=--，又122a -=，∴{}2-n a n 是首项为2，公比为2的等比数列，∴22nn a n -=，∴22n n a n =+．（2）∵()()()1221n n nn a n -=-+-，∴()()()()12222212341n nn S n ⎡⎤=-+-++-+-+-+-+-⎣⎦，当n 为偶数时，()()()()()()11212222221234212123233nn n n n S n n n n ++⎡⎤----⎣⎦=+-++-+++-++--=+⨯=+-⎡⎤⎣⎦-- ．当n 为奇数时，()()()()()()112122222123421121233nn n n S n n n n n ++⎡⎤-----⎣⎦=+-++-+++-++--=+--=-⎡⎤⎣⎦-- 53n --．综上1122,3325,33n n n n n S n n ++⎧+-⎪⎪=⎨⎪---⎪⎩为偶数为奇数．23．已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，且满足111,2n n a a xa +==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设14(1)nn n n nb a a +=-⋅，求数列{}n b 的前10项和10S .【答案】(1)21n a n =-(2)2021-【详解】（1）因为{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，111,2n n a a xa +==+，所以当1n =时，2122a xa x =+=+，当2n =时，()23222222a xa x x x x =+=++=++，因为3221a a a a -=-，即21x x x +=+，解得1x =±，所以2d =或0d =（舍去），所以()12121n a n n =+-=-；（2）由（1）得，()()14411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n +⎛⎫=-⋅=-⋅=-⋅+ ⎪-+-+⎝⎭.所以101111111120113355719212121S =--++--+++=-+=- .24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n S a =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n nS 的前n 项和n T ．【答案】(1)12n n a +=(2)3(1)22(1)8n n T n n n +=--++【详解】（1）因为24n n S a =-，所以当2n ≥时，1124n n S a --=-，两式相减，得1124(24)n n n n S S a a ---=---，整理得12n n a a -=，即2n ≥时，12n n a a -=，又当1n =时，11124S a a ==-，解得14a =，所以数列{}n a 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以11422n n n a -+=⨯=.（2）由（1）知1222424n n n S ++=⨯-=-，所以224n n n n nS +=⋅-，令22,4n n n b n c n +=⋅=-，易知，12(1)42(1)2n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ ，设数列{}n b 的前n 项和为n K ，则34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①，456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②，由①-②，得3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ，即4133332(12)2222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--，所以413332(12)22(1)2812n n n n K n n -++-=+-⋅=-⋅+-，所以32(1)(1)22(1)8n n n T K n n n n n +=-+=-⋅-++.25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足n n b n a =⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)13n n a -=；(2)()21314n nn T -+=.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为()0q q >，则()2314321113923a q q q a q a q a q⎧++=⎪⎨=+⎪⎩，0q >，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n n a -=，即{}n a 的通项公式为13n n a -=；（2）由题可知13n n b n -=⋅，则()12210132333133n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，()31123132333133n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，两式相减得：12312133333n nn T n --=+++++-⨯ ()1231133132n n nn n ---=-⨯=-，()21314n nn T -+∴=.26．已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22log 3n n b a n =+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，求证：34n S <．【答案】(1)(1)22n n na -=(2)证明见解析【详解】（1）解：因为11a =，*1()2n n na a n +=∈N ，所以*12()n n na n a +=∈N ，所以121121n n n n n aaaa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅()(1)1211212222122n n n n n -+++---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== 当1n =时，11a =满足条件，所以(1)22n n na -=；（2）因为22log 3n n b a n =+(2)n n =+，所以11111()(2)2+2n b n n n n ==-+，所以111111=(1++)23242n S nn --⋅⋅⋅+-+11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++，所以34n S <.27．数列{}n a 满足2113,2,21n bn n n n a a a a a +=-==+.(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)若1n nnc b =+，求{}n c 的前n 项和为n T .【答案】(1)证明见解析(2)22.2n nn T n +=+-【详解】（1）21221,log (1),log (31)2,n bn n n a b a b =+∴=+=+= 212,n n n a a a +=+ ()2211211,n n n n a a a a +∴+=++=+212log (1)2log (1),n n a a +∴+=+1212log (1)2,log (1)n n n n b a b a +++∴==+所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，2nn b =，所以12n nnc =+，设,2n nnd =设其前n 项和为n S ，则12311231,22222n n nn n S --=+++++ ①234111231,222222n n n n nS +-=+++++ ②减②得111312111*********,12222222212nn n n n n n n n S -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=++++-=-=-- 所以22,2n nn S +=-所以22.2n n nn T S n n +=+=+-28．已知正数数列{}n a ，11a =，且满足()()2211102n n n n a n a a na n -----=≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)!n a n =(2)11!n S n =-【详解】（1）∵()()2211102n n n n a n a a na n -----=≥，∴()()()1102n n n n a na a a n ---+=≥，又0n a >，∴1n n a na -=，即()12nn a n n a -=≥．又()231121123!2n n n a a aa a n n n a a a -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=≥，且111!a ==，∴!n a n =（2）1!n n b n -=，∴10b =，()()1112!1!!n n b n n n n -==-≥-，1234n nS b b b b b ∴=++++⋅⋅⋅+()111111111011!2!2!3!3!4!1!!!n n n =+-+-+-+⋅⋅⋅+-=--又111101!S b ==-=，∴11!n S n =-.29．已知数列{}n a 、{}n b ，满足1100a =，21n n a a +=，lg n n b a =.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若22122log log log n n n n c b b b +=+++ ，求数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(1)2nn b =(2)()231n n S n =+【详解】（1）解：因为21n n a a +=，11001a =>，则2211a a =>，2321a a =>，L ，以此类推可知，对任意的n *∈N ，1n a >，所以21lg lg n n a a +=，即1lg 2lg n n a a +=，12n n b b +=，又因为12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以{}n b 的通项公式为1222n nn b -=⨯=.（2）解：2log n b n =，则()()()()()123112222n n n n n n c n n n n +++=++++++==，所以，()122113131n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故()211111112121132233413131n nS n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .30．已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，数列2n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：121112nS S S +++< ．【答案】(1)n a n =(2)证明见解析【详解】（1）因为数列2n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以()22111nnSn n a =+-⋅=+，则()21n n S n a =+，得112n n S na --=（2n ≥），两式相减得：()121n n n a n a na -=+-，则11n n a n a n -=-，121121121121n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-- （2n ≥），又11a =适合上式，故n a n =．另解：由()121n n n a n a na -=+-得11n n a a n n -=-（2n ≥），故{}n an为常数列，则111n a a n ==，故n a n =．（2）由（1）得()12n n n S +=，所以()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则12111111111212221222311n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .31．已知在等差数列{}n a 中，14724a a a ++=-，25815a a a ++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列(){}1nn a -的前n 项和n T ．【答案】(1)320n a n =-(2)3,22373,212n nn k T n n k ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=-⎪⎩且*N k ∈【详解】（1）若等差数列公差为d ，则258147()()39a a a a a a d ++-++==，即3d =，由1474324a a a a ++==-，则48a =-，所以{}n a 的通项公式4(4)83(4)320n a a n d n n =+-=-+-=-.（2）由题设()12341nn n T a a a a a =-+-+-+- ，当n 为偶数，则()()()2143132n n n nT a a a a a a -=-+-++-=；当n 为奇数，则()()()()2143123137332022n n n n n nT a a a a a a a n ----=-+-++--=-+=；所以3,22373,212n nn k T n n k ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=-⎪⎩且*N k ∈.32．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,21,,2,n n n a n k a a t n k ++=-⎧=⎨+=⎩*k ∈N ，317S a =，423a a =+．(1)求1a ，t ；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】(1)11a =，t ＝2(2)()*31,21,232,22n n n k a k n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨-⎪=⎪⎩N (3)()2*231,21,43,24n n n k S k n n k ⎧+=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩N 【详解】（1）由11,21,,2,n n n a n k a a t n k ++=-⎧=⎨+=⎩（*N k ∈）可得，211a a =+，32a a t =+，431a a =+，又317S a =，423a a =+，则()()()111111117,213,a a a t a a t a ⎧+++++=⎪⎨++=++⎪⎩解得11a =，t ＝2．（2）由11,21,2,2,n n n a n k a a n k ++=-⎧=⎨+=⎩（*k ∈N ）可得，当n 为奇数时，212123n n n n a a a a ++=+=++=+，所以数列{}n a 的奇数项是一个公差为3的等差数列，又11a =，则1131322n n n a a --=+⨯=；当n 为偶数时，211213n n n n a a a a ++=+=++=+，所以数列{}n a 的偶数项是一个公差为3的等差数列，又2112a a =+=，则2232322n n n a a --=+⨯=，则()*31,21,232,22n n n k a k n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨-⎪=⎪⎩N ．（3）()()2135212462n n n S a a a a a a a a -=+++++++++ 2(1)(1)1323322n n n n n n n --⎡⎤⎡⎤⨯+⨯+⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=．()22*2,21,,2k k n k S a n k S k S n k -=-⎧=∈⎨=⎩N ，则()2*23223,21,23,2n k k n k S k k n k⨯-⎧-=-⎪=∈⎨⎪=⎩N ，即()2*231,21,43,24n n n k S k n n k ⎧+=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩N ．33．数列{}n a 中，11a =，且121n n a a n +=+-．(1)证明：数列{}n a n +为等比数列，并求出n a ；(2)记数列{}n b 的前n 项和为n S ．若2n n n a b S +=，求11S ．【答案】(1)证明见详解，2nn a n =-(2)1360【详解】（1）因为121n n a a n +=+-，则()()()()1212211n n n n n n a a n n a n a a nn n n a ++++++==-+++=+，且112a +=，所以数列{}n a n +是以首项为2，公比为2的等比数列，故1222n n n a n -+=⨯=，可得2n n a n =-.（2）因为22n n n n n S a b b n =+=+-，即22nn n S b n =+-，当1n =时，则1121b b =+，解得11b =；当2n ≥时，则111221n n n S b n ---=+-+，两式相减得：11221n n n n b b b --=-+-，整理得1121n n n b b --+=-；所以()()()111234511123451011S b b b b b b b b b b b b b =+++++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅++()()()()241024681012121212222241360=+-+-+⋅⋅⋅+-=++++-=，即111360S =.34．已知数列{}n a 满足13a =，1121n n n a a a ++-=．(1)记11n n b a =-求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【答案】(1)32n b n =-(2)412nn-【详解】（1）1121n n n a a a ++-= ，112n na a +∴=-，又11n n b a =- ，11111111111221n n n n n n nb b a a a a a ++∴====-=-------，又111112b a ==-，所以数列{}n b 是以12为首项，1-为公差的等差数列，所以数列{}n b 的通项公式为13(1)22n b n n =--=-.（2）由（1）得111113113()()2222n n b b n n n n +==-----，所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12233411111n n b b b b b b b b +++++ =11111111131313*********2222222n n -+-+-++--------- 1141312122nn n =-=---.35．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n +，n S ，a 成等差数列．(1)求a 的值及数列{}n a 的通项公式；(2)若()21n n b n a =-求数列{}n b 的前n 项和nT 【答案】(1)2a =-，12n n a -=，*N n ∈；(2)()3232n n T n =+-⋅【详解】（1）12n + ，n S ，a 成等差数列，122n n S a +∴=+，即22n n a S =+，当1n =时，11224a S a ==+，即122a a =+，当2n ≥时，11122222nn n n n n a aa S S ---=-=+--=，{}n a 是等比数列，11a ∴=，则212a+=，得2a =-，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，*N n ∈；（2）()()121212n n n b n a n -=-=-⋅，则前n 项和0121123252(21)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ，1232123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅ ，两式相减可得2112(222)(21)2n nn T n --=++++--⋅ 12(12)12(21)212n n n --=+⋅--⋅-，化简可得()3232nn T n =+-⋅．36．已知数列{}n a 和{}n b ，12a =，111n nb a -=，12n n a b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1)221n n n a =-，1221n n n b +=-(2)2222n n n T n n +=+-+【详解】（1）由12a =，111n nb a -=，12n n a b +=得1211n n a a +-=，整理得1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而111102a -=-≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12-为首项，公比为12的等比数列，所以111111222n nn a -⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，221nn na ∴=-，1112221nn n n b a ++∴==-.（2）121222n nn n n nn n b +-=⋅=-，设212222n n n S =+++ ，则2311122222n n nS +=+++ ，两式相减得2111111111122211222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++-=-=-- ，从而222n nn S +=-()2222222n n nn n n T S n n ++∴=-=+-+.37．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且23331,,a a S -成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12n n a bn a +=，数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)14n n a -=(2)13286994n n n T -+=-⨯【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为23331,,a a S -成等差数列，所以32321323141a a S a a a =-+=-++，因为11a =，所以324a a =，即324a q a ==，所以1114n n n a a q --==.（2）由（1）得14nn a +=，因为12n n a bn a +=，所以2422n n a b n n ==，所以2n n a b n =，即1224n n n n n b a -==；101224644424n n n T -=+++ ，1231424424644n n n T =+++ ，两式相减可得12313222224442444nn n T n -=+++++- 1211211214444nn n -⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 114212144n nn ⎛⎫- ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭8244833nnn =--⨯863483nn +=-⨯；所以13286994n n n T -+=-⨯.38．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足()241n n S a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设14nn n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】(1)21n a n =-(2)22221n n nT n +=+【详解】（1）因为()241n n S a =+，当2n ≥时，()21141n n S a --=+，两式作差得()()221121241212n n n n n n n a a a a a a a ---=+-=+--+，即221122n n n n a a a a --+=-，又0n a >，所以，当2n ≥时，12n n a a --=，又当1n =时，()21141a a =+，解得11a =，可知数列{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，所以1(1)2n a n =+-⨯，即21n a n =-（2）由（1）知2(121)2n n n S n +-==，所以221444111111()(21)(21)(21)(21)22121n n n n S n n b a a n n n n n n +-+====+--+-+-+，22111111211(2131112)(1235)2112212n n n n n n T b b n n n n b =+++=-+-+-++=+-=+++-+ .39．已知数列{}n a 满足：()1113,2n n n a a a n n++==+.(1)证明：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析(2)()2124n n T n +=-+【详解】（1）设1n n a b n =+，则1111,41n n ab b n ++=+=+，且0n b ≠，因为121n n a a nn n ++=+，所以112121211n nn n nn a a b n n a a b nn+++++===++，即{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列，则数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.（2）由（1）知11422n n n b -+=⨯=，则12n n a n n +=⋅-，即12n n c n +=⋅，则23112222n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，()212222122n n n T n n ++=⨯++-⨯+⨯ ，两式相减得：()()1223224121242222212n n n n n n T n n n ++++-=-=----=+++-⨯⨯ ，所以()2124n n T n +=-+.40．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中24n n a a +-=，2224(1)(1)S a +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)若134n n n b a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =+，()2n S n n =+；(2)()3364294nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【详解】（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则224n n a a d +-==，则2d =，因为2224(1)(1)S a +=+，所以()()2114233a a +=+，。
高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题(含答案解析)
高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题（含答案解析）一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44D ．44＋1A [因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1a n＝4(n ≥2)，所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44＝3×44.]2．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2等于( ) A ．2B ．12C ．3D ．13C [∵在等差数列中，S 2n －1＝(2n －1)a n ，∴S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴35＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3，∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，即a 2＝3.]3．已知数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝4，b n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2，则该数列的前23项的和为( )A ．4 194B ．4 195C ．2 046D ．2 047A [当n 为偶数时，b n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2＝b n ＋1，有b n ＋2－b n ＝1，即偶数项成等差数列，所以b 2＋b 4＋…＋b 22＝11b 2＋11×102×1＝99.当n 为奇数时，b n ＋2＝2b n ，即奇数项成等比数列，所以b 1＋b 3＋…＋b 23＝b 11－2121－2＝212－1＝4 095.所以该数列的前23项的和为99＋4 095＝4 194，故选A ．]4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则S 2 0192 019＝( )A ．1 010B ．1 009C ．2 020D ．2 019A [S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)， ＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 018＋1)， ＝1＋2×2 018＋11 0102＝2 019×1 010，∴S 2 0192 019＝1 010，故选A ．]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2＋λa n ，且a 1＝1，则S 5＝( ) A ．27 B ．5327C ．3116D ．31C [∵S n ＝2＋λa n ，且a 1＝1，∴S 1＝2＋λa 1， 即λ＝－1，∴S n ＝2－a n ，当n ≥2时，S n ＝2－(S n －S n －1)，∴2S n ＝2＋S n －1，即S n ＝12S n －1＋1，∴S n －2＝12(S n －1－2)，∴S n －2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.当n ＝1时也满足．∴S 5＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3116.故选C ．]6．设曲线y ＝2 018x n ＋1(n ∈N *)在点(1,2 018)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝log 2 018x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值为( )A ．2 018B ．2 017C ．1D ．－1D [因为y ′＝2 018(n ＋1)x n ，所以切线方程是y －2 018＝2 018(n ＋1)(x －1)，所以x n ＝nn ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×2 0172 018＝log 2 01812 018＝－1.]7．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87等于( )A ．1403B ．60C ．80D ．160C [法一：a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a1q 2×1q 3291－q 3＝q 21＋q ＋q 2×a 11－q 871－q ＝47×140＝80.故选C ． 法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87，因为b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝140，所以b 1(1＋q ＋q 2)＝140，而1＋q ＋q 2＝7，所以b 1＝20，b 3＝q 2b 1＝4×20＝80.故选C ．]8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1前n 项和的最大值为( )A ．49B ．1C ．4181D ．151315A [a 1＝9，a 2为整数，可知：等差数列{a n }的公差d 为整数，由S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0，则9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95，d 为整数，d ＝－2.∴a n ＝9－2(n －1)＝11－2n . 1a n ·a n ＋1＝111－2n9－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1前n 项和为 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －19， 令b n ＝19－2n ，由于函数f (x )＝19－2x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0对称及其单调性，可知：0＜b 1＜b 2＜b 3＜b 4，b 5＜b 6＜b 7＜…＜0，∴b n ≤b 4＝1.∴最大值为49.故选A ．]二、填空题 9．已知a n ＝2n ，b n ＝3n －1，c n ＝b n a n，则数列{c n }的前n 项和S n 为________．5－3n ＋52n [由题设知，c n ＝3n －12n ，所以S n ＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ， ①2S n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，②由②－①得，S n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n .故所求S n ＝2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .]10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，a n ＋1a n＝n ＋1n，b n a n＝sin 2n π3－cos 2n π3，n ∈N *，则数列{b n }的前47项和等于________．1 120 [依题意得a n ＋1n ＋1＝a nn ，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是常数列，于是有a n n ＝1，a n ＝n 2，b n ＝－n 2cos 2n π3，b 3k －2＋b 3k －1＋b 3k ＝3k －223k －122－(3k )2＝－9k ＋52(k ∈N *)，因此数列{b n }的前47项和为S 47＝S 48－b 48＝－9×161＋162＋52×16＋482＝1 120.]11．设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________.2 [由S nS 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n 2n －1d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，∵对任意正整数n ，上式恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧d 4k －10，2k －12－d0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.∴数列{a n }的公差为2.]12．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 4－2S 2＝3，则S 6－S 4的最小值为________．12 [由题可知数列{a n }的公比q ＞0，a n ＞0，则3＝(a 4－a 2)＋(a 3－a 1)＝a 1(q ＋1)·(q 2－1)，则有q ＞1，所以3S 6－S 4＝3a 6＋a 5＝3a 1q ＋1q 4＝a 1q ＋1q 2－1a 1q ＋1q 4＝1q 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 22＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2－122≤14(当且仅当q ＝2时，取等号)，所以S 6－S 4≥12，即S 6－S 4的最小值为12.]三、解答题13．(2018·黔东南州二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝43(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝log 2a n ，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n －1b n ＋1的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12.[解] (1)当n ＝1时，有a 1＝S 1＝43(a 1－1)，解得a 1＝4.当n ≥2时，有S n －1＝43(a n －1－1)，则a n ＝S n －S n －1＝43(a n －1)－43(a n －1－1)，整理得：a na n －1＝4，∴数列{a n }是以q ＝4为公比，以a 1＝4为首项的等比数列．∴a n ＝4×4n －1＝4n (n ∈N *)即数列{a n }的通项公式为：a n ＝4n (n ∈N *)． (2)由(1)有b n ＝log 2a n ＝log 2 4n ＝2n ，则1b n ＋1b n －1＝12n ＋12n －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1. 易知数列{T n }为递增数列， ∴T 1≤T n ＜12，即13≤T n ＜12.14．(2018·邯郸市一模)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2.(1)求T n －S n ； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 的前n 项和R n .[解] (1)依题意可得b 1－a 1＝3，b 2－a 2＝5，…，b n －a n ＝2n ＋1， ∴T n －S n ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n ＋(2＋22＋…＋2n )＝2n ＋1＋n －2. (2)∵2S n ＝S n ＋T n －(T n －S n )＝n 2－n ， ∴S n ＝n 2－n2，∴a n ＝n －1. 又b n －a n ＝2n ＋1， ∴b n ＝2n ＋n .∴b n2n ＝1＋n2n ， ∴R n ＝n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋222＋…＋n 2n ，则12R n ＝12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1，∴12R n ＝12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －n2n ＋1， 故R n ＝n ＋2×12－12n ＋11－12－n 2n ＝n ＋2－n ＋22n .。
数列求和综合练习题(含答案)
数列求和综合练习题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （ ）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A.172 B.192C.10D.12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于( )A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A.1- B.1 C.2- D.29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于（ ）A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（ ）A ．-76B ．76C ．46D ．1312．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122nn S ，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）求数列}{n b 的通项n b ； （3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为 ． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n an 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。
数学课程数列求和练习题及答案
数学课程数列求和练习题及答案在数学课程中，数列求和是一种重要的数学概念和技巧。
通过练习数列求和题目，我们能更好地理解和应用数列的知识。
本文将为大家提供一些数列求和的练习题及答案，帮助大家巩固对这一知识点的理解。
1. 题目：求和数列1+2+3+...+100的和。
解析：这是一个从1到100的等差数列，首项为1，末项为100，公差为1。
我们可以使用求和公式来计算其和。
根据求和公式S = (首项 + 末项) * 项数 / 2，带入数值计算可得：S = (1 + 100) * 100 / 2 = 5050答案：1+2+3+...+100的和为5050。
2. 题目：求和数列2+4+6+...+100的和。
解析：这是一个从2到100的等差数列，首项为2，末项为100，公差为2。
同样地，我们可以使用求和公式来计算其和。
计算过程如下：首项 = 2末项 = 100公差 = 2项数 = (末项 - 首项) / 公差 + 1 = (100 - 2) / 2 + 1 = 50 + 1 = 51S = (首项 + 末项) * 项数 / 2 = (2 + 100) * 51 / 2 = 102 * 51 / 2 = 2601答案：2+4+6+...+100的和为2601。
3. 题目：已知数列1+3+5+...+99的和为S，求S的值。
解析：这是一个从1到99的等差数列，首项为1，末项为99，公差为2。
同样地，我们可以利用求和公式计算其和。
计算过程如下：首项 = 1末项 = 99公差 = 2项数 = (末项 - 首项) / 公差 + 1 = (99 - 1) / 2 + 1 = 98 / 2 + 1 = 50S = (首项 + 末项) * 项数 / 2 = (1 + 99) * 50 / 2 = 100 * 50 / 2 = 5000答案：数列1+3+5+...+99的和为5000。
4. 题目：求和数列1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2的和。
专题32 数列求和(解析版)
【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,…,所以数列
为1,7,13,19,…,即an=1+6(n-1)=6n-5,所以数列 的前n项和为 =3n2-2n.
8.(2020·全国卷Ⅱ文科·T14)记Sn为等差数列 的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.
9.(2020·全国卷Ⅱ文科·T6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则 =()
A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1
【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得: ⇒ ,
所以an=a1qn-1=2n-1,Sn= = =2n-1,因此 = =2-21-n.
答案:25
【解析】设等差数列 的公差为d.因为 是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:an=a1+ d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+ +5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+ d,n∈N*,可得:S10=10× + =-20+45=25,所以S10=25.
解析：（Ⅰ）当 时， ，因为 ，所以 =3，
当 时， = = ，即 ，因为 ，所以 =2，所以数列{ }是首项为3，公差为2的等差数列，所以 = ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， = ，
所以数列{ }前n项和为 = = ．
讲典例 备高考
类型一、公式法求和
基础知识：
（1）等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋ d＝ .
高二数学数列求和试题答案及解析
高二数学数列求和试题答案及解析1.数列的通项公式，则数列的前10项和为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以数列的前项和，所以，选B.【考点】数列求和.2.已知函数的图像在点A(1，f(1))处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以【考点】裂项相消求和3.已知数列的相邻两项，是关于方程的两根，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）设函数，若对任意的都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）由一元二次方程根与系数的关系可得数列的递推公式：，设，易求得：，，并注意到: ,可知数列是公比为的等比数列.（2）由（1）的结果得数列的通项公式,于是: ,的拆项法,将数列的前项和化为两个等比数列的前和.（3）由韦达定理：=所以，采用分离变量法求将求实数的取值范围问题，转变成求关于的函数的最值问题.试题解析：（1）∵，∴，∵，∴，∴是首项为，公比为的等比数列。
且 4分（2）由（1）得=8分（注：未分奇偶写也得8分）（3）∵，∴,∴,∴.∴当为奇数时，，∴对任意的为奇数都成立，∴。
11分∴当为偶数时，，∴，∴对任意的为偶数都成立，∴ 13分综上所述，实数的取值范围为。
14分【考点】1、一元二次方程根与系数的关系；2、等比数列的前项和；3、等价转化的思想.4.若数列满足，设，，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得 .【答案】【解析】由题意，Sn ＝a1＋a2×4＋a3×42＋…＋an×4n－1，①两边同乘以4，得4Sn ＝a1×4＋a2×42＋…＋an－1×4n－1＋a n×4n，②由①＋②，得5Sn ＝a1＋(a1＋a2)×4＋(a2＋a3)×42＋…＋(an－1＋a n)×4n－1＋a n×4n，又a1＝1，an＋an＋1＝()n，所以a1＋a2＝，a2＋a3＝()2，…，所以5Sn ＝1＋1＋1＋…＋1,\s\do4(共n个))＋an×4n，故5Sn－4n an＝n.【考点】类比推理.5.数列的通项公式为，，是数列的前项和，则的最大值为( )A．280B．300C．310D．320【答案】C【解析】由题可知数列是递减数列. 从第5项开始就为负的.所以对数列而言从第5项开始都为负数.所以的最大值即为数列的前4项的和..所以答案为C.【考点】数列求和6.对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是。
高二数学数列求和练习题及答案
高二数学数列求和练习题及答案一、选择题：1. 若数列的首项为4，公差为2，它的n（n≥1）项求和为96，则n 的值为：A. 12B. 14C. 16D. 182. 已知数列的前n项和为Sn=n^2+2n，则数列的首项是：A. -1B. 0C. 1D. 23. 数列{an}满足公差d=3，如果a1=4，a2=8，a4=16，求a7和数列的前7项和S7。
A. a7=28，S7=112B. a7=18，S7=108C. a7=26，S7=110D. a7=24，S7=1044. 已知等差数列的前n项和为Sn=n^2+5n+6，则此数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、计算题：1. 求等差数列{an}的前5项和S5，已知数列的首项a1=2，公差d=3。
2. 求等差数列{an}的前10项和S10，已知数列的首项a1=1，公差d=2。
三、应用题：1. 一等差数列的首项为10，公差为2，它的前n项和为Sn=3n^2+5n，求该数列的首项和公差。
2. 若等差数列的前n项和为Sn=n^2+4n，已知数列的首项为a1=3，求该数列的公差和前7项的和S7。
四、解答题：1. 解释等差数列的概念，并给出一个等差数列的例子。
2. 推导出等差数列前n项和的公式，并证明其正确性。
答案：一、选择题：1. A2. C3. A4. D二、计算题：1. 数列的前5项和S5=552. 数列的前10项和S10=110三、应用题：1. 数列的首项为a1=1，公差为d=2二、计算题：1. 数列的前5项和S5=552. 数列的前10项和S10=110三、应用题：1. 数列的首项为a1=1，公差为d=22. 公差为d=3，首项为a1=4a7=28，S7=112四、解答题：1. 等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
例如，1，3，5，7，9...是一个等差数列，公差为2。
2. 等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中a1为首项，an为第n项。
新高考数学(理)之数列 专题07 数列的求和(错位相减法求和)(解析版)
新高考数学（理）数列07 数列的求和（错位相减法求和）一、具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+； 等比：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时， （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：()21321+=++++n n n Λ；n n n +=++++22642Λ； 2531n n =++++Λ；()()61213212222++=++++n n n n Λ；()2333321321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n Λ（3）倒序相加法求和：如果一个数列{}na ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么qa S -=11【考点讲解】这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.形如：n n b a +其中⎪⎩⎪⎨⎧是等比数列是等差数列nn b a ，()()⎩⎨⎧∈=∈-==**N k k n n g N k k n n f a n ,2,,12, （6）合并求和：如求22222212979899100-++-+-Λ的和.（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：111;(1)1n n n n =-++ 1111;(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭ 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；n n n n -+=++111.【错位相减法例题解析】 1.【2018优选题】求和：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯=Λ 【解析】由n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯=Λ得：()nn n n n S 2121121321211132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-Λ（1）14322121)1(2132122121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ（2） 将（1）—（2）得：231111111222222n n n S n +=++++-⨯L整理得：12n S 11111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⨯-，所以求得：111222n n n S n -=--⨯()n N *∈. 关注：参与相减的项.【变式】求和：n n n S 21)12(815413211⨯-++⨯+⨯+⨯=Λ . 【解析】由n n n S 21)12(815413211⨯-++⨯+⨯+⨯=Λ得：)n n n S 211)32(1⨯--+=Λ（1）两边同乘以12得，)1211)32(121+⨯--+=n n n S Λ（2） 将（1）—（2）得：()231111111221222222n n n S n +⎛⎫=++++--⨯ ⎪⎝⎭L 12n S ()211111112222112212n n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--⨯-12n S ()1131121222n n n -+=---⨯ 所以可得：()21132122n n n S n -=---⨯()n N *∈.1.【2019年高考天津卷文数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43a b b a b a ====+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；【真题分析】（2）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n +++∈N L .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n nn n a n n b -=+-==⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n n b =.（2）112222n n a c a c a c +++L ()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦L ()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .记1213233n n T n =⨯+⨯++⨯L ,①则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②②−①得，()12311313(21)332333331332n n n n nn n T n n +++--+=---⨯=-+⨯=--+-L . 所以，122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L ()22(21)3692n n n n +*-++=∈N . 【答案】（1）3n a n =，3nn b =；（2）22(21)369()2n n n n +*-++∈N2.【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L 23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+L .设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥L ，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅L 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅L ，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.3.【2017年高考天津卷】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -= ①．由114=11S b ，可得1516a d += ②， 联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得23112(14)324343434(31)44(314n nn n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----L 111)4(32)48n n n ++⨯=--⨯-，得1328433n n n T +-=⨯+． 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+． 【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1328433n n +-⨯+. 4.【2017年高考山东卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且121236,a a a a a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和S n ，已知211n n n S b b ++=，求数列{}nnb a 的前n 项和n T ． 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题意知22111(1)6,a q a q a q +==．又0n a >，解得12,2a q ==， 所以2n n a =． （2）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+，令n n n b c a =,则212n nn c +=， 因此122313572121,22222n n n nn n T c c c --+=+++=+++++L L又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++L ， 两式相减得2111311121()222222n n n n T -++=++++-L ， 所以2552n nn T +=-． 【答案】（1）2nn a =；（2）2552n nn T +=-5.【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.（1）求数列{x n }的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【解析】（1）设数列的公比为q ，由已知0q >.由题意得，所以，因为0q >,所以，因此数列的通项公式为（2）过…，向轴作垂线，垂足分别为…，, 由(1)得记梯形的面积为. 由题意， 所以…+=…+ ①， 又…+ ②，①-②得121132(222)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯L= 所以 【答案】（1）12n n x -=；（2）nT {}n x 1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩23520q q --=12,1q x =={}n x 12.n n x -=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b 101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=(21)21.2n n n T -⨯+=1.【2019优选题】已知数列，设，数列. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n 项和S n ；【解析】本题考点是等差数列的定义、等比数列的通项、以及数列求和的综合运用题.要求对数列的相关知识能熟练应用.（1）由题意知，∴数列的等差数列 （2）由（1）知，于是两式相减得所以nnn S ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-=4132332.2.已知等比数列{}na 的公比1>q ，且28543=++a a a 24+a ，是53a a ，a 3的等差中项．数列{}nb 满足11=b ，数列(){}n n n a b b -+1的前n 项和为n n +22．的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n *)(log 3241N n a b n n ∈=+n n n n b a c c ⋅=满足}{}{n b }{n c *)()41(N n a n n ∈=12log 3,2log 3141141=-=-=a b a b n n Θ3log 3log 3log 3log 341141411411===-=-∴+++q a a a a b b nn n n n n 3,1}{1==d b b n 公差是首项*)(23,)41(N n n b a n n n ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴-Λ1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S Λ.)41()23(211+⨯+-=n n 【模拟考场】（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{}nb 的通项公式．【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，（Ⅱ）先根据数列(){}nn n a b b-+1的前n 项和为n n +22求通项，解得n n b b -+1，再通过叠加法以及错位相减法求n b . 【解析】（Ⅰ）由24+a 是53a a ，的等差中项得42453+=+a a a ，所以28434543=+=++a a a a ，解得84=a .由2053=+a a 得,2018=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+q q 因为1>q .所以2=q.（Ⅱ）设()n n n n a b b c -=+1，数列{}n c 前n 项和为n S .由⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S c n n n 解得14-=n c n . 由（Ⅰ）可知12-=n n a ，所以()112114-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n n n b b ，故()2215421≥⎪⎭⎫⎝⎛-=---n n b b n n n ，，()()()()12232111b b b b b b b b b b n n n n n -+-++-+-=----Λ=()()32172194215432+⨯++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---Λn n n n .()2,21542111217322≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+=-n n T n n Λ设，()1322154211121721321-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯=n n n T Λ 两式相减得：()122154214214321-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+=n n n T Λ.因此得().22134142≥⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=-n n T n n ，又,11=b 所以()2213415-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=n n n b .3.【2016高考山东理数】已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【分析】（Ⅰ）根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列{}n c 的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和.考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【解析】（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ， 当1=n 时，1111==S a ，所以56+=n a n . 设数列{}n b 的公差为d ， 由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，可解得3,41==d b ，所以13+=n b n .（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以223+⋅=n n n T【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T . 4.数列的通项，其前n 项和为. {}n a 222(cossin )33n n n a n ππ=-n S(1) 求； (2) 求数列｛｝的前n 项和. 【解析】(1) 由于,故 ,故 ()(2)两式相减得：故n S 3,4nn n S b n =⋅n b n T 222cossin cos 333n n n πππ-=312345632313222222222()()()1245(32)(31)(3)(6)((3)))222k k k k S a a a a a a a a a k k k --=+++++++++++-+-=-++-+++-+L L 1331185(94)2222k k k -+=+++=L 3133(49),2k k k k k S S a --=-=2323131(49)(31)1321,22236k k k k k k k S S a k ------=-=+=-=--1,3236(1)(13),316(34),36n n n k n n S n k n n n k ⎧--=-⎪⎪+-⎪==-⎨⎪+⎪=⎪⎩*k N ∈394,424n n n nS n b n +==⋅⋅21132294[],2444n n n T +=+++L 1122944[13],244n n n T -+=+++L 12321991999419419443[13][13]8,12444242214nn n n n n n n n n T --+-++=+++-=+-=---L 2321813.3322n n n n T -+=--⋅5.已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）数列的前项和． 【解析】（Ⅰ） ，，，又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，． 设…， ① 则…，②由①②得…， ．又…． 数列的前项和 ．6.设数列满足，． {}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =1{1}na -{}nna n n S Q 121n n n a a a +=+∴111111222n n n na a a a ++==+⋅∴11111(1)2n n a a +-=-123a =∴11112a -=∴1{1}n a -12121111111222n n n a -+-=⋅=1112n n a =+∴2n n n nn a =+23123222n T =+++2n n+23112222n T =++1122n n n n+-++-2111222n T =++11111(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---∴11222n n n n T -=--123+++(1)2n n n ++=∴{}n n a n 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+=={}n a 211233333n n n a a a a -++++=…a ∈*N（Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 【解析】 (I)验证时也满足上式， (II) ， ①②① -② ： ，7.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a nn n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{nna 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S【解析】（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ．（Ⅱ）),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且Θ， ∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， 即),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． ∴数列}2{nn a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）得,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a n n ∴nn n a 2)21(⋅-=．{}n a n nnb a ={}n b n n S 2112333 (3),3n n n a a a a -+++=221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥1(2).3n n a n =≥1n =*1().3n n a n N =∈3nn b n =⋅23132333...3nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅231233333nn n S n +-=+++-⋅1133313n n n ++-=-⋅-111333244n n n n S ++∴=⋅-⋅+⋅23413132333...3n n S n +==⋅+⋅+⋅+⋅)2(2)21(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S ΛΛΘ1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S Λ得12)21(2222132-⋅--++++=+n nn Λ12)21(21)21(21-⋅----=+n n n 32)23(-⋅-=n n ． ∴32)32(+⋅-=n n n S ．8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T【解析】（Ⅰ）12n n a S +=Q ，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴= 又111S a ==Q ，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3(n n S n -=∈N当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==g≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩g ， ，，≥．（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++L ， 当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++gg L g ，…………①12133436323n n T n -=++++g g L g ，………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-L g 213(13)222313n n n ---=+--g g11(12)3n n -=-+-g1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥ 又111T a ==Q 也满足上式， 1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥9.已知数列{}n a 满足11111,,224nn n a a a n N ++⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n项和2n s n =，112233n n n T a b a b a b a b =++++L ，求证：3n T <。
高考数学复习数列求和专题训练(含答案)
高考数学复习数列乞降专题训练（含答案）数列乞降对依据必定规律摆列的数进行乞降。
以下是查词典数学网整理的数列乞降专题训练，请考生练习。
已知 {an} 是递加的等差数列，a2，a4 是方程 x2-5x+6=0 的根 .(1)求 {an} 的通项公式 ;(2)求数列的前n 项和 .[ 解 ] (1) 方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3，由题意得 a2=2， a4=3.设数列 {an} 的公差为 d，则 a4-a2=2d，故 d=，进而 a1=.所以 {an} 的通项公式为an=n+1.(2)设的前 n 项和为 Sn.由 (1)知 =，则Sn=++++ ，Sn=++++.两式相减得Sn=+-所以 Sn=2-.设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1.(1)求数列 {an} 的通项公式 ;(2)若数列 {bn} 知足 +++=1- ， nN* ，求 {bn} 的前 n 项和 Tn. [ 解 ] (1) 设等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d.由 S4=4S2， a2n=2an+1，得第1页/共3页解得所以 an=2n-1， nN*.(2)由已知 +++=1- ， nN* ，当 n=1 时， =;当 n2 时， =1--=.所以 =， nN*.由(1) 知 an=2n-1， nN* ，所以 bn=， nN*.所以 Tn=++++ ，Tn=++++.两式相减，得Tn=+-单靠“死”记还不可以 ,还得“活”用 ,临时称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来 ,摒弃那些谎话套话空话 ,写出自己的真情实感 ,篇幅可长可短 ,并要求运用累积的成语、名言警语等 ,按期检查评论 ,选择优异篇目在班里朗诵或展出。
这样 ,即稳固了所学的资料 ,又锻炼了学生的写作能力,同时还培育了学生的察看能力、思想能力等等 ,达到“一石多鸟”的成效。
=-- ，单靠“死”记还不可以 ,还得“活”用 ,临时称之为“先死后活”吧。
高考真题与模拟训练 专题12 数列求和(解析版)
专题12 数列求和第一部分 真题分类1．（2021·)111,N n a a n *+==∈.n项和为ABCD【答案】A11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++由累乘法可得n a ≤1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1003S <<．故选：A ．2．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三4次共可以得到不同规格图形的种数为______次，那么1nkk S==∑______【答案】【解析】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以125610320⨯⨯，，；4种不同规格（单位2dm )；故对折46，53⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积第nn 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1设0121120212031204222nk k S S =⨯⨯⨯==+++∑L两式作差得：()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，3．（2020·江苏高考真题）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．d ，等比数列{}n b 的公比为，根据题意1q ≠.，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭，.4．（2021·2的等差数列，其前8项和为640（I（II）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i（ii ）证明)*nk n N =<∈【答案】（III ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】（I 2的等差数列，其前8项和为64．，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；所以()221321484q b b b q q b q ==-=--（II ）（i所以22224211442444n nn n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以数列{}22n n c c -是等比数列；（ii<==设101211232222n n k k k T -===+++⋅⋅⋅+∑所以1242n n n T -+=-，5．（2021·13nn na b =（1（2nT{}n b 的前n项和．证明：n T <【答案】（12）证明见解析.1的等比数列且1a即29610q q -+=，解得q =11()3n n a -=，（2）证明：由（1211213333n n n n nT --=++++ ①，②①②所以31(143n n T =--所以n T <6．（2021·12a =，且()*1321n n a a n n N +=+-∈.（1（2（3n S .【答案】（1）见解析；（23【解析】（1∴{}n a n +是首项为3，公比为3的等比数列.（2（3.7．（2020·{}n b为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a ()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a ac a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c的前2n 项和．【解析】(Ⅰ)q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.n a n =.又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，(Ⅲ)当n当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n①由223141135232144444n k n n k n n c +=--=+++++ ②①②由因此，22121114652194n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑2n 项和为465421949n nn n +--+⨯.8．（2020·全国高考真题（理））设数列{a n }满足a 1=3（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n}的前n项和S n．【答案】（12【解析】（1{}n a2证明如下：21ka k=+成立..（2）由（1①②②得：()23162222(21)2n nnS n+-=+⨯+++-+⋅9．（2020·1（1（2）若11a=，求数列{}nna【答案】（12）1(13)(2)9nnnS-+-=.【解析】（1为23,a a的等差中项，（2n Sn S ∴=第二部分 模拟训练一、单选题1．定义[]x 表示不超过[]0.390=，[]1.281=．若数列{}n a 的通项公式为[]2log n a n ={}n a A ．1122+B ．11322⨯+C D ．11922⨯+【答案】D【解析】1n ≥ ，2log 0n ∴≥，当20log 1n ≤<时，1n =，即10a =（共1项）；2,3n =2项）；当22log 3n ≤<时，4,5,6,7n =，即45672a a a a ====（共4项）；…2047=．即122048k +=，所以10k =．故选：D ．2满足123232n n aa a na ++++= ，设1(1)2nn n a b n -=+{}nb 的前n 项和.n *∈N 恒成立，则实数t 的最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．52【答案】C【解析】1n =111111313123341221n S n n n ⎛⎫=+-+-+-=-<⎪++⎝⎭ ，t故选：C.312a =下的三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，则数列10项的和10T =（ ）AB C ．12112⋅D ．12122⋅【答案】A711767721352S a d a d ⨯=+⋅=+=, 解得1d =，，1516a =，所以4，8，16为等比数列{}n b 的前三项，，公比2q =，则23122322(1)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅，10故选：A.4112a =10项的和为（ ）A B C D ．6532【答案】C1为首项，1为公差的等差数列，所以()211nn a n n =+-=，得na =n2311212222n n n n n S +-=++++ ，，即222n n n S +=-，故选：C.5535S =.n T ，若21n m T +>恒成立，则AB ．0C ．1D ．2【答案】B，535S =.解得132a d =⎧⎨=⎩，1111((21)(23)22123n n n n ==-++++，所以1216+m …，解得≥m0.故选：B .6{}n a 项和，且315S =，34527a a a ++=，记n b ={}n b 的前20项和为（ ）ABCD ．40129【答案】Cd ，根据题意3454327a a a a +=+=，得49a =1413315,39,a d a a d +=⎧⎨=+=⎩解得13a =，2d =．所以数列{}n b 的前20项和为故选：C ．7中11a =，{}n aA ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A11a =∴1为首项，2为公差的等差数列，∴()1121n a a n d n =+-=-，∴211111n n b S n n n n n ===-+++，当1n =时n T =故选：A.8，35a=，则数列10项的和为（ ）ABCD【答案】D5127a a -=，35a =()()1111212122121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭.所以数列11{}n n a a +的前10项的和为故选：D 二、填空题9．已知数列的前项和为n S，，且对任意的n *∈N【答案】5【解析】∴224321log 1log 16533321=+⋅⋅⋅⋅⎛⎫⋅⎪⎭=+ ⎝⋅=.故答案为：510．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n Sn n =+，若()1n n b =-{}n b 的前n项()()2211111112222n n na S S n n n n n-⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦，满足11a=，为偶数时，111111111+122334111 nn Tn n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++++=-+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11．已知数列{}na满足()23*1232222nna a a a n nN++++=∈，若nb={}nb【解析】因为()23*1232222nna a a a n n N++++=∈，1n=时也满足，故111111122311n S n nn 1=-+-++-=-=++12．已知数列{}n a．【答案】880n S当1n =，10a > ，解得12a =；211142n n n S a a ---=+，()()()11141n nn n n b a a n n +=-⋅=-⋅+ ，可视为数列{}212n n b b -+项和，因此，()20101616108802T⨯+⨯==.三、解答题13．等比数列{}n a（1（2）设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2…＋＋log3a n ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】（12）21nn -+.【解析】（1）设数列{a n }的公比为q ,9a 2a 6得23a ＝所以q 2由条件可知q ＞0,故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1故数列{a n }的通项公式为a n（2）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2…＋＋log 3a n ＝－（1＋2…＋＋n.2111111122122311n n b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n 项和为14．已知数列{}n a（1（2）设等差数列{}n b21122n S n n k =-+{}n c 的前项和n T ．【答案】（12【解析】（1）当1n =112=-，132a ∴=-；3122311112121212n n n a a a ---++++=-+++L ，②1na=-（2则()221111122222nn n d d dS nb n b n n n k-⎛⎫=+=+-=-+⎪⎝⎭，；由（1）知，212n n n nc b a kn n=-+=+，15na≠恒成立.（1（2，当11a=、4a=n a的通项公式；（3，11a=-nS最大值.【答案】（1；（23【解析】（11k= ；（2令1n =所以4221624a =⨯，所以32a =，解得2a =，12n -=，12=，以上式子累乘得：所以(()21n n a -=，（3132412n n n n a a a a ++++=-，所以22424111224n n n n n n a a aa a a +++++⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭⨯，()48122020a a a a +++++()250441444a +++++，所以240a a >，因为所以()24a a +-≥=-24a a +≤-，令31y a =-+-，设2,t⎡=⎣，所以t =1234a a a a +++最大值为(211--=-，16．已知数列{}na 满足：()21*1231333N 3n n n aa a a n -++++⋅⋅⋅+=∈.（1（2n S .【答案】（1221【解析】解：（1所以，当1n =时，1a =相减可得1133n n a -=，所以n a =（2时，1111111112313131133n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪--⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上，对*N n ∈都有，716n S <.。