椭圆离心率练习题
求椭圆及双曲线的离心率的习题
求椭圆的离心率1、已知F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率． e ＝53.2、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．解析：答案：333、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF＝2FD ，则C 的离心率为________．如图，设椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)不妨设B为上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由BF ＝2FD ，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，即2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩，解得322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，D (32c ，－2b )．由D 在椭圆上得：22223()()22b c a b -+＝1， ∴22c a＝13，∴e ＝ca.4、设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =.椭圆C 的离心率 ；解：设1122(,),(,)Ax y B x y ，由题意知1y ＜0，2y＞0.直线l 的方程为)y x c =-，其中c =联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AFFB =，所以122y y -=. 即2= 得离心率 23c e a ==.5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，M为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率为________． 答案：637．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215，故选B. 8、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．e ＝33.9．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）A B 1 C ．4(2- D 10、已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A.22B.24C.12D.3211、如图所示，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．易知直线B 2A 2的方程为bx ＋ay －ab ＝0，直线B 1F 2的方程为bx －cy －bc ＝0.联立可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a ＋c ，b （a －c ）a ＋c .又A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，所以PB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ac a ＋c ，－2ab a ＋c ，P A 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a （a －c ）a ＋c ，－b （a －c ）a ＋c . 因为∠B 1P A 2为钝角，所以P A 2→·PB 1→<0， 即－2a 2c （a －c ）（a ＋c ）2＋2ab 2（a －c ）（a ＋c ）2<0.化简得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1>0即e 2＋e －1>0，. 而0<e <1，所以5－12<e <1求双曲线的离心率1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝a c ，∴ca ＝3，即e ＝32、已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.2＋1 C ．2 3 D ．22 选B 3、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 等于( )A ．5 B.5 C.52 D.54选C 2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因此222,4,ABBC a b e =∴=∴= C4、设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5 D ．2 3 如图，设P 为右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，最小角∠PF 1F 2＝30°， 由余弦定理得：(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ·cos 30°， 解得e ＝ca＝ 3.5、过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，。
高三离心率练习题
高三离心率练习题离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它反映了椭圆形状的扁平程度。
在高三数学的学习中，离心率也是一个重要的知识点。
下面是一些关于高三离心率的练习题，供同学们加深对这一概念的理解。
练习题1：已知一个椭圆的长轴为6，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：椭圆的离心率e的计算公式是e = √(a^2 - b^2)/a，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。
代入已知条件，可以得到e = √(6^2 -4^2)/6 = √(36-16)/6 = √20/6 ≈ 0.58。
练习题2：已知椭圆的离心率为0.75，长轴的长度是8，求短轴的长度。
解答：同样利用离心率的计算公式，可知0.75 = √(8^2 - b^2)/8。
通过解方程可以得到b ≈ 3.06。
练习题3：已知一个椭圆的长轴为10，离心率为0.6，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到0.6 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 6.67。
练习题4：若一个椭圆的长轴和短轴之和为16，离心率为0.8，求长轴和短轴的长度。
解答：设长轴长度为a，短轴长度为b，则离心率e = √(a^2 - b^2)/a，长轴和短轴之和可表示为a + b = 16。
根据这两个方程，可以解方程组得到a ≈ 12.25，b ≈ 3.75。
练习题5：已知一个椭圆的长轴为8，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，可得e = √(8^2 - 4^2)/8 = √(64-16)/8 = √48/8 = √6 ≈ 2.45。
练习题6：已知椭圆的离心率为1.5，短轴的长度为6，求长轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可得1.5 = √(a^2 - 6^2)/a。
解方程可得a ≈ 17.82。
练习题7：已知一个椭圆的离心率为1，长轴的长度为10，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到1 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 0。
椭圆的离心率专题训练汇总
椭圆的离心率专题训练（带详细解析）一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A．B．C．D ．3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）A．B．C．D．4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ）A．B．C．D ．6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（ ）A．B．C．D ．7．（2015•长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D ．8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（ ）A．B．2﹣C．2（2﹣）D ．9．（2015•新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）A．B．C．D ．或10．（2015•怀化二模）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．（2015•南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（0，）C．D ．12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）A．B．C．D ．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D ．一l14．（2015•宁城县三模）已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D ．17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）A．B．C．D ．18．（2015•甘肃校级模拟）设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D ．﹣120．（2015•包头一模）已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．（2015•杭州一模）设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（ ）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．（2015•宜宾模拟）直线y=kx与椭圆C ：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．（2015•南宁三模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．（2015•张掖模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．26．（2015•永州一模）已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）A．B．C．D ．27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．29．（2015•江西校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（ ）A．B．C．D ．an dAl l th i ng si nt he i rb ei n ga re go 参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F 1F 2P 以F 1F 2为底和以F 1F 2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a 、c 的不等式，解之即可得到椭圆C 的离心率的取值范围．解答：解：①当点P 与短轴的顶点重合时，△F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ；②当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F 2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F 1F 2=F 1P ，∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，在△F 1F 2P 1中，F 1F 2+PF 1＞PF 2，即2c+2c ＞2a ﹣2c ，由此得知3c ＞a ．所以离心率e ＞．当e=时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e且e ≠时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（，）∪（，1）e an dAl l t h i ng si nt he i rb ego od fo rs o点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形，求椭圆离心率e 的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．解答：解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，∴a ＞b ＞0，a ＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B ．an dAl l th i ng si nt he re go od fo rs o 点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关． 3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF ，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．解答：解：已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF ，AN ，AF ，BF 所以：四边形AFNB 为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccos α+2csin α利用e==n dAl l th i ng si nt he i re go od fo rs o 所以：则：即：椭圆离心率e 的取值范围为[]故选：A 点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型． 4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a 2b 2，求得关于的方程求得e ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c ，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c ）（c ，c ）代入椭圆=1两边乘2a 2b 2则c 2（2b 2+a 2）=2a 2b 2∵b 2=a 2﹣c 2c 2（3a 2﹣2c 2）=2a^4﹣2a 2c 22a^4﹣5a 2c 2+2c^4=0（2a 2﹣c 2）（a 2﹣2c 2）=0l l th i ng si nt he i rb ei n o od fo rs o=2，或∵0＜e ＜1所以e==故选A 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a ，b 和c 的关系． 5．（2015•广西模拟）设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：设|PF 2|=x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F 2|=x ，又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ∴2a=3x ，2c=x ，∴C 的离心率为：e==．故选A ．点评：本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考查理解与应用能力． 6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F 1，F 2为其左、右焦点，P为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C 的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．n dl l th i ng si nt he i rb ei n ga regood fo rs 分析：在焦点△F 1PF 2中，设P （x 0，y 0），由三角形重心坐标公式，可得重心G 的纵坐标，因为，故内心I 的纵坐标与G 相同，最后利用三角形F 1PF 2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a 、b 、c 的等式，即可解得离心率解答：解：设P （x 0，y 0），∵G 为△F 1PF 2的重心，∴G 点坐标为 G （，），∵，∴IG ∥x 轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△F 1PF 2中，|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c∴=•|F 1F 2|•|y 0|又∵I 为△F 1PF 2的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心I 把△F 1PF 2分为三个底分别为△F 1PF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）||∴•|F 1F 2|•|y 0|=（|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|）||即×2c •|y 0|=（2a+2c ）||，∴2c=a ，∴椭圆C 的离心率e==故选A 点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法 7．（2015•长沙模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．ang si nt he i rb ei n ga re go od fo 考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （m ，n ），由得到n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆得到 b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，把①代入②得到 m 2 的解析式，由m 2≥0及m 2≤a 2求得的范围．解答：解：设P （m ，n ），=（﹣c ﹣m ，﹣n ）•（c ﹣m ，﹣n ）=m 2﹣c 2+n 2，∴m 2+n 2=2c 2，n 2=2c 2﹣m 2 ①．把P （m ，n ）代入椭圆得b 2m 2+a 2n 2=a 2b 2 ②，把①代入②得m 2=≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，b 2≤2c 2，a 2﹣c 2≤2c 2，∴≥．又 m 2≤a 2，∴≤a 2，∴≤0，故a 2﹣2c 2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C ．点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．2﹣C ．2（2﹣）D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：如图，Rt △MF 2 F 1中，tan60°==，建立关于a 、c 的方程，解方程求出 的值．e an dAl l t h i ng si nn ga re go od 解答：解：如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 2F 1=60°，F 1F 2=2c∴MF 2=4c ，MF 1=2c MF 1+MF 2=4c+2c=2a ⇒e==2﹣，故选B ．点评：本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法．9．（2015•新余二模）椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C 的离心率e 的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C 上的点P 满足，∴|PF 1|==3c ，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|PF 2|=2a ﹣3c ．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a ﹣3c ）≥3c ，3c+2c ≥2a ﹣3c ，化为．∴椭圆C 的离心率e 的取值范围是．故选：C ．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． Al l th i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r10．（2015•怀化二模）设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ，再利用余弦定理化简整理得cos ∠PF 1F 2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF 1||PF 2|的范围，进而确定cos ∠PF 1F 2的最小值，求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，确定椭圆离心率的取值范围．解答：解：F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），c ＞0，设P （x 1，y 1），则|PF 1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex 1．在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos120°==，解得x 12=．∵x 12∈（0，a 2]，∴0≤＜a 2，即4c 2﹣3a 2≥0．且e 2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A ．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P 点在短轴的端点时∠F 1PF 2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题． 11．（2015•南昌校级二模）设A 1，A 2分别为椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．D ．考点：椭圆的简单性质．n dh i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设P （asin α，bcos α），所以根据条件可得到，b 2换上a 2﹣c 2从而可得到，再根据a ，c ＞0，即可解出离心率的取值范围．解答：解：设P （asin α，bcos α），A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0）；∴，；∴；∴；∴，a ，c ＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C ．点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及b 2=a 2﹣c 2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P 点坐标是求解本题的关键． 12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C 的两个焦点为F 1、F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于点M ，N ，若|MF 2|=|F 1F 2|，且|MF 1|=4，|NF 1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭（a ＞b ＞0），运用椭圆的定义，可得|NF 2|=2a ﹣|NF 1|=2a ﹣3，|MF 2|+|MF 1|=2a ，即有2c+4=2a ，取MF 1的中点K ，连接KF 2，Allthingsintheirbeingaregoodforso 则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．一l考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．n dAl l t h i nhe i rb ei n ga re go od f分析：求出F （﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A 的坐标，代入椭圆方程可得离心率．解答：解：设F （﹣c ，0）关于直线x+y=0的对称点A （m ，n ），则，∴m=，n=c ，代入椭圆方程可得，化简可得e 4﹣8e 2+4=0，∴e=﹣1，故选：D ．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．14．（2015•宁城县三模）已知F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），通过|F 1F 2|=2|PF 2|，求出椭圆的离心率e ．解答：解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0．intheirbeingare解得e=．故选：D．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法． 15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意作图，从而设设点Q（x0，y0），从而由2|PF1|=3|QF1|可写出点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；再由椭圆的第二定义可得|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，从而可得3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），从而化简得到x0=﹣，再由|PF2|=|F1F2|及椭圆的第二定义可得3a2+5c2﹣8ac=0，从而解得．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，angsintheirbeingaregoodfors 3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．点评：本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，可得∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，可得|AF2|=c，|AF1|=c．再利用椭圆的定义即可得出．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．n dAl l t h i ng srb ei n ga re go od 又|MF 2|=2|OA|，在Rt △OMF 2中，∴∠AF 2F 1=60°，在Rt △AF 1F 2中，|AF 2|=c ，|AF 1|=c ．∴2a=c+c ，∴=﹣1．故选：C ．点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1、F 2，M 是椭圆C 上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：由已知可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，进而在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=a ，在△OF 2M 中，|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，结合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案．解答：解：∵|MF 1|=|MO|=|MF 2|，由椭圆定义可得2a=|MF 1|+|MF 2|=3|MF 2|，即|MF 2|=a ，|MF 1|=a ，在△F 1OM 中，|F 1O|=c ，|F 1M|=a ，|OM|=a ，Ant he i rb ei n ga re go od fo rs o则cos ∠MOF 1==，在△OF 2M 中，|F 2O|=c ，|M0|=|F 2M|=a ，则cos ∠MOF 2==，由∠MOF 1=180°﹣∠MOF 2得：cos ∠MOF 1+cos ∠MOF 2=0，即为+=0，整理得：3c 2﹣2a 2=0，即=，即e 2=，即有e=．故选：D ．点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于a ，c 的方程是解答的关键，难度中档． 18．（2015•甘肃校级模拟）设F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P ，使△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．（，1）D ．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知P （，y ），可得F 1P 的中点Q 的坐标，求出斜率，利用，可得y 2=2b 2﹣，由此可得结论．解答：解：由已知P （，y ），得F 1P 的中点Q 的坐标为（），n dAl l t h i ng si nt hn ga re go od fo rs o ∴，∵，∴y 2=2b 2﹣，∴y 2=（a 2﹣c 2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e ＜1，∴＜e ＜1．故选：C ．点评：本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定F 1P 的中点Q的坐标是解答该题的关键，是中档题． 19．（2015•青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出焦点F 的坐标，然后，根据△AOF 为正三角形，建立等式，求解其离心率．解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F ，根据椭圆的对称性，得直线OP 的斜率为k=tan60°=，∴点P 坐标为：（c ，c ），n dAl l th i ng si nt he i rb ego od fo rs o 代人椭圆的标准方程，得，∴b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2，∴e=．故选：D ．点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题．求解离心率的解题关键是想法设法建立关于a ，b ，c 的等量关系，然后，进行求解． 20．（2015•包头一模）已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）和圆O ：x 2+y 2=b 2，若C 上存在点M ，过点M 引圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF 为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．[，1）B ．[，1）C ．[，1）D ．（1，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，由于△MEF 为正三角形，可得∠OME=30°，OM=2b ≤a ，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，连接OE ，OF ，OM ，∵△MEF 为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b ，则2b ≤a ，∴，∴椭圆C 的离心率e==．又e ＜1．∴椭圆C 的离心率的取值范围是．故选：C ．an dAl l t h i ng si nt he i rb go od fo rs o 点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a ＞b ＞0）上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，1）C ．（，1）D ．（0，）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC 是锐角三角形，可得∠BAD ＜45°，且1＞，化为，解出即可．解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F （c ，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC 是锐角三角形，∴∠BAD ＜45°，∴1＞，化为，n dAl l t h i ng si nt he a re go od fo rs o 解得．故选：A ．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．（2015•杭州一模）设F 1、F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F 2且与椭圆交于A ，B 两点，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e ，则e 2=（ ）A ．2﹣B ．3﹣C ．11﹣6D ．9﹣6考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m ，再由勾股定理，可得a ，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：可设|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=m ，若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF 1|=m ，|BF 1|=m ，由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a=2m+m ，即m=2（2﹣）a ，则|AF 2|=2a ﹣m=（2）a ，在直角三角形AF 1F 2中，|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2，即4c 2=4（2﹣）2a 2+4（）2a 2，即有c 2=（9﹣6）a 2，n dAl l t h i ng si n即有e 2==9﹣6．故选D ．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键． 23．（2015•宜宾模拟）直线y=kx 与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）交于A 、B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，且•=0，若∠ABF ∈（0，]，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，]B ．（0，]C ．[，]D ．[，1）考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F 2是椭圆的右焦点．由•=0，可得BF ⊥AF ，再由O 点为AB 的中点，OF=OF 2．可得四边形AFBF 2是矩形．设∠ABF=θ，可得BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，利用椭圆的定义可得BF+BF 2=2a ，可得e=，即可得出．解答：解：设F 2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF ⊥AF ，∵O 点为AB 的中点，OF=OF 2．∴四边形AFBF 2是平行四边形，∴四边形AFBF 2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccos θ，BF 2=AF=2csin θ，BF+BF 2=2a ，∴2ccos θ+2csin θ=2a ，∴e=，sin θ+cos θ=，∵θ∈（0，]，n dAl l th i ng rb ei n ga re go od fo rs o∴∈，∴∈．∴∈，∴e ∈．故选：D ．点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．（2015•南宁三模）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．[，]B ．（0，]C ．[，1）D ．[，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （x 0，y 0），则2c 2=，化为．又，可得=，利用，利用离心率计算公式即可得出．解答：解：设P （x 0，y 0），则2c 2==（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）=+，化为．an dAl l th i ng si nga re go od fo rs o 又，∴=，∵，∴，∵b 2=a 2﹣c 2，∴，∴．故选：A ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 25．（2015•张掖模拟）已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是椭圆=1（a ＞b ＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P （x 0，y 0），则，可得：=．由于，可得=c 2，化为=，利用，及其离心率计算公式即可得出．解答：解：设P （x 0，y 0），则，∴=．∵，n dAl l th i ng srb ei n ga re go od fo rs ∴（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）=c 2，化为=c 2，∴=2c 2，化为=，∵，∴0≤≤a 2，解得．故选：D ．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 26．（2015•永州一模）已知两定点A （﹣1，0）和B （1，0），动点P （x ，y ）在直线l ：y=x+2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出直线y=x+2，过A 作直线y=x+2的对称点C ，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a 的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则c=1，∵P 在直线l ：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A 作直线y=x+2的对称点C ，设C （m ，n ），则由，n dAl l t h i ng b ei n ga re go od fo rs o 解得，即有C （﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选C ．点评：本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题． 27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（0，）D ．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出图形，则易知|AF 2|=a+c ，|BF 2|=，再由∠BAF 2是直线的倾斜角，易得k=tan ∠BAF 2，然后通过0＜k ＜，分子分母同除a 2得0＜＜求解．解答：解：如图所示：|AF 2|=a+c ，|BF 2|=，∴k=tan ∠BAF 2=，an dAl l th e i rb ei n ga re go od fo rs 又∵0＜k ＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e ＜1．故选：D ．点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识． 28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2+y 2=b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得∠BPA=，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用O 、P 、A 、B 四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，∴cos ∠AOP==，∴|OP|==2b ，。
(完整版)椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则 C的离心率为（）A． B ．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．7．已知F（1﹣ c，0），F（2 c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C ．D．8．椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为 M，若A． B．2﹣MF1垂直于x C．2（2﹣轴，则椭圆的离心率为（）D．）9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．P，使得12．设椭圆 C 的两个焦点为F1、 F2，过点 F1的直线与椭圆C交于点M，N，若 |MF2 |=|F 1F2| ，且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13（．2015?高安市校级模拟）椭圆 C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若 F 关于直线x+y=0的对称点 A 是椭圆A．B．C 的离心率为（）C 上的点，则椭圆C． D ．一l14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．15．已知椭圆若 |PF2|=|F 1F2| ，且（ a＞ b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（F1的直线交椭圆于）P，Q两点，A．B．C．D．16．已知椭圆 C：轴正半轴上一点，直线MF2交C 于点的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为 yA，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆 C的中心为 O，两焦点为 F1、F2，M是椭圆 C上一点，且满足 ||=2||=2|| ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B． C ． D ．﹣120．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）22．设 F1、F2为椭圆 C： + =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线 l 过焦点 F2且与椭圆交于 A， B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2=（）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6 D．9﹣ 623．直线 y=kx 与椭圆 C： + =1（ a＞ b＞ 0）交于 A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0， ] B．（0， ] C． [ ， ] D． [ ， 1）24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C． [，1）D． [，]25．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA= ，则椭圆 C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．参照答案与试题剖析一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：①当点P 与短轴的极点重合时，答：△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰△F1F2 P；②当△F1F2 P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2 =F1 P，∴点 P 在以 F1为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F1为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰△F1F2P，在△F F P 中， F1F2+PF1＞ PF2，即 2c+2c＞ 2a﹣ 2c，1 2 1由此得知 3c＞a．因此离心率 e＞．当 e= 时，△F1 F2 P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当 F P 为等腰三角形的底边时，在 e 且 e≠时也存在 2 个1满足条件的等腰△F 1 F2P这样，总合有 6 个不同样的点P 使得△F1F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞ b＞ 0， a＜2b它对应的平面地域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P== ，应选 B．3．已知椭圆（ a＞ b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，若 AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．解解：已知椭圆（ a＞b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点B，答：F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接 AF，AN， AF， BF因此：四边形AFNB为长方形．依照椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ ANF=α．因此： 2a=2ccosα+2csin α利用 e==因此：则：即：椭圆离心率 e 的取值范围为 []应选： A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．解解：两个交点横坐标是﹣c，c答：因此两个交点分别为（﹣c，﹣c）（ c，c）代入椭圆=1两边乘 2a2 b2则c2（ 2b2+a2）=2a2b222 2∵b=a ﹣ cc2（ 3a2﹣ 2c2）=2a^4﹣ 2a2 c22a^4﹣ 5a2c2+2c^4=0（2a2﹣ c2）（a2﹣ 2c2）=0 =2，或∵0＜ e＜ 1因此 e= =应选 A5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B ．C．D．解解：设|PF2|=x ，答：∵PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F2|=x，又|PF1|+|PF 2|=2a ， |F 1F2|=2c∴2a=3x， 2c= x，∴C的离心率为： e= =．应选 A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．解解：设 P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，答：∴G点坐标为 G（，），∵，∴ IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2 中，|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c∴= ?|F 1F2|?|y 0|又∵I为△F1PF2 的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心 I 把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴= （|PF1|+|F 1F2|+|PF 2 | ） | |∴?|F 1F2|?|y 0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即 ×2c?|y 0|= （ 2a+2c ）|| ，∴2c=a ，∴椭圆 C 的离心率 e= =应选 A7．已知 F （1 ﹣ c ，0），F （2 c ，0）为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解 解：设 P （m ，n ），=（﹣ c ﹣m ，﹣ n ）?（ c ﹣ m ，﹣ n ）222，答： =m ﹣c +n222222①．∴m +n =2c ， n =2c ﹣m把 P （m ， n ）代入椭圆2 22 22 2②，得 b m+a n =a b把①代入②得 22 22 2， m=≥0，∴a b ≤2a cb 2≤2c 2， a 2 ﹣c 2≤2c 2，∴≥ ．2222﹣ 2c 2≥0，又 m ≤a，∴≤a，∴≤0，故 a∴ ≤ ．综上，≤ ≤ ，应选： C ．8．椭圆+ =1（ a ＞ b ＞ 0）的左、右焦点分别是 F 1， F 2，过 F 2 作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为 M ，若 MF 1垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为（）A ．B ．2﹣C ．2（2﹣ ）D ．解解：如图，答：在 Rt△MF1F2中，∠ MF2F1=60°， F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2 c=2a? e= =2﹣，应选 B．9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若 C上的点 P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B． C ．D．或解解：∵椭圆 C 上的点 P 满足，∴ |PF1|==3c，答：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF 2|=2a ，∴ |PF 2|=2a ﹣3c ．利用三角形的三边的关系可得：2c+（ 2a﹣ 3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣ 3c ，化为．∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是．应选： C．10．设 F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解： F1（﹣ c，0），F2（c， 0），c＞0，设 P（ x1，y1），答：则 |PF1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex1．在△ PF1F2中，由余弦定理得cos120°= =，解得 x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e= ≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．应选 A．P，使得11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解解：设 P（asin α， bcosα），A1（﹣ a， 0）， A2（a， 0）；答：∴，；∴；∴；∴，a，c＞ 0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．应选： C．12．设椭圆 C 的两个焦点为 F 、 F ，过点 F 的直线与椭圆 C交于点 M，N，若 |MF |=|F F | ，1 2 1 2 1 2 且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解解：设椭圆（ a＞b＞0），答：F1（﹣ c，0），F2（ c， 0），|MF2|=|F 1F2|=2c ，由椭圆的定义可得|NF2|=2a ﹣ |NF1 |=2a ﹣3，|MF2|+|MF 1 |=2a ，即有 2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点 K，连接 KF2，则 KF2⊥MN，由勾股定理可得 |MF2 | 2﹣ |MK| 2=|NF2| 2﹣ |NK| 2，即为 4c2﹣ 4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为 a+c=12，②由①②解得a=7， c=5，则离心率e= = ．应选：D．13．椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0 的对称点 A 是椭圆C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（）A．B．C． D ．一l解解：设F（﹣ c， 0）关于直线x+y=0 的对称点A（ m， n），则答：，∴m= ， n= c，代入椭圆方程可得，化简可得 e4﹣ 8e2+4=0，∴e=﹣1，应选： D．14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．解解： F ， F 分别为椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点，1 2答：设 F1（﹣ c， 0）， F2（c， 0），（c＞ 0），P 为椭圆上一点，且 PF 垂直于 x 轴．若 |F F |=2|PF | ，2 1 2 2可得 2c=2 ，即 ac=b2=a2﹣ c2．可得 e2+e﹣ 1=0．解得 e= ．应选： D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过 F1的直线交椭圆于P，Q两点，若 |PF2|=|F 1F2| ，且 2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解解：由题意作图如右图，答：l 1， l 2是椭圆的准线，设点Q（ x0， y0），∵2|PF 1|=3|QF 1 | ，∴点 P（﹣c﹣ x0，﹣y0）；又∵ |PF 1|= |MP| ， |QF1 |=|QA| ，∴2|MP|=3|QA| ，又∵ |MP|=﹣ c﹣ x0+ ∴3（ x0+ ） =2（﹣， |QA|=x 0+c﹣x +），，解得，x0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F2| ，∴（c+ x0+ 将 x0=﹣） =2c；代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8 +3=0；解得，=1（舍去）或= ；应选： A．16．已知椭圆 C：的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为y轴正半轴上一点，直线MF2交 C 于点 A，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．解解：以以下图，1 2 中，1 2．答：在 Rt△AF F |F F |=2|OA|=2c 又|MF2|=2|OA| ，在Rt△OMF2中，∴∠ AF2F1=60°，在Rt△AF1 F2中，|AF2|=c ，|AF1 |= c．∴2a=c+ ∴c，= ﹣1．应选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足| |=2| |=2| | ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．解解：∵|MF1|=|MO|=|MF 2| ，答：由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF 2|=3|MF 2| ，即|MF2|= a， |MF1|= a，在△F1OM中，|F 1O|=c，|F 1 M|=a， |OM|= a，则 cos∠MOF1==，在△ OF2M中， |F 2O|=c， |M0|=|F 2M|= a，则 cos∠MOF2= =，由∠ MOF1=180°﹣∠ MOF2得： cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+ =0，整理得： 3c2﹣2a2=0，即= ，即 e2= ，即有 e=．应选： D．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（， 1）解解：由已知 P（， y），得 F1P 的中点 Q的坐标为（），答：∴，∵2 2，，∴y=2b ﹣2 2 2）（ 3﹣）＞ 0，∴y=（ a ﹣c ∴3﹣＞0，∵0＜ e＜ 1，∴＜ e＜ 1．应选： C．19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上存在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．﹣1解解：以以下图所示：答：设椭圆的右焦点为F，依照椭圆的对称性，得直线 OP的斜率为 k=tan60 °=，∴点 P 坐标为：（ c，c），代人椭圆的标准方程，得，2 2 2 2 2 2∴b c +3a c =4a b，∴e=．应选： D．20．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]解解：以以下图，连接OE，OF，OM，答：∵△ MEF为正三角形，∴∠ OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆 C 的离心率 e==．又e＜1．∴椭圆 C 的离心率的取值范围是．应选： C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）解解：以以下图，答：设椭圆的右焦点F（ c， 0），代入椭圆的标准方程可得：，取 y= ， A ．∵△ ABC是锐角三角形，∴∠ BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．应选： A．22．设 F1、F2为椭圆C：+ =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线l 过焦点F2且与椭圆交于 A，B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2= （）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6D．9﹣ 6解解：可设 |F 1 F2 |=2c ， |AF1|=m，答：若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，则 |AB|=|AF 1 |=m，|BF 1|=m，由椭圆的定义可得△ ABF1的周长为 4a，即有 4a=2m+ m，即 m=2（ 2﹣）a，则 |AF2|=2a ﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F 1F2| 2=|AF1| 2+|AF2| 2，即 4c2=4（ 2﹣）2a2+4（）2 a2，即有 c2 =（ 9﹣ 6）a2，即有 e2 = =9﹣ 6．应选D．23．直线y=kx 与椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）交于A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C． [ ，] D． [ ， 1）解解：设 F2是椭圆的右焦点．答：∵?=0，∴BF⊥AF，∵O点为 AB的中点， OF=OF2．∴四边形 AFBF2是平行四边形，∴四边形 AFBF2是矩形．以以下图，设∠ ABF=θ，∵BF=2ccosθ， BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csin θ=2a，∴e=，sin θ+cosθ=，∵θ ∈（0，] ，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．应选： D．24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[ ， ] B．（0， ] C． [ ，1） D． [ ， ]解解：设 P（x0， y0），则 2c2= =（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣ x0，﹣答： y0） = + ，化为．又，∴= ，∵，∴，2 2 2∵b=a ﹣ c ，∴，∴．应选： A．25．已知F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解，解：设 P（x0，y0），则答：∴ = ．∵，∴（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣x0，﹣ y0） =c2，化为=c2，∴=2c2，化为 = ，∵，∴0≤2 ≤a，解得．应选： D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．解解：由题意知c=1，离心率e= ，答：椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点P，则 c=1，∵P在直线 l ：y=x+2 上搬动，∴2a=|PA|+|PB| ．过 A 作直线 y=x+2 的对称点 C，设 C（m， n），则由，解得，即有 C（﹣ 2， 1），则此时 2a=|PA|+|PB| ≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时 a 有最小值，对应的离心率 e 有最大值，应选 C．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）解解：以以下图： |AF2 |=a+c ， |BF 2|= ，答：∴k=tan ∠BAF2= ，又∵ 0＜ k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．应选： D．28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：连接 OA，OB， OP，依题意， O、 P、 A、 B 四点共圆，答：∵∠ BPA=，∠ APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠ AOP= ，∴c os∠AOP== ，∴ |OP|= =2b，∴b＜|OP| ≤a，∴ 2b≤a，2222 2∴4b ≤a，即 4（ a ﹣ c ）≤a，∴3a2≤4c 2，即，∴，又 0＜ e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆 C 的离心率的取值范围是[，1），应选： A．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心 M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则 e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．解解：①当动圆M与圆 O1、 O2都相内切时， |MO2|+|MO1|=4 ﹣r=2a ，答：∴e1=．②当动圆 M与圆 O1相内切而与 O2相外切时， |MO1|+|MO2 |=4+r=2a ′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令 12﹣ r=t （ 10＜ t ＜12），e1+2e2 =2×≥2×==应选： A．。
椭圆离心率50道题训练含详解
（2）设椭圆 ： ， 为椭圆 上一点，过点 的直线交椭圆 于A， 两点，且 为线段 的中点，过 ， 两点的直线交椭圆 于 ， 两点，如图．当 在椭圆 上移动时，四边形 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】
由椭圆 ，可得 ，所以 ，
所以椭圆的离心率为 .
15．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则 的值可能是（）
A． B． C． D．
16．椭圆的中心在原点，离心率为 ，则该椭圆的方程可能为（）
A． B．
C． D．
17．已知曲线 ： ，其中 为非零常数，则下列结论中正确的是（）
A．当 时，则曲线 是一个圆
B．当 时，则曲线 是一个椭圆
C．若 时，则曲线 是焦点为 的椭圆
A．椭圆的离心率是 B．线段AB长度的取值范围是
C． 面积的最大值是 D． 的周长存在最大值
22．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 和 ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
34．椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，已知 ， ，则椭圆 的离心率为___________.
35．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，且 ，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为__________.
36．设 , 分别是椭圆 的左､右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点， ，若 ，则椭圆 的离心率为___________.
四、解答题
44．已知椭圆的焦点为 和 ， 是椭圆上的一点，且 是 与 的等差中项.
椭圆离心率高考练习题
椭圆离心率高考练习题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A． B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015?高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1） B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且?=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，]C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=?|F 1F2|?|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F1F2|+|PF2|）||∴?|F1F2|?|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c?|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A． B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a?e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1 ∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解解：设椭圆（a＞b＞0），答：F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则解答：，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D．解答：解：F1，F 2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D ．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P （﹣c ﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c ﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x 0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解答：解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1） B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且?=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵?=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，]C．[，1）D．[，]解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x ﹣2）2+y 2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e 2的最小值是（）A ．B．C．D．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO 2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
高中数学--椭圆离心率专练--解析版
高中数学椭圆离心率专练1.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若012=60F PF ∠，则椭圆的离心率为( )A.B.C. 12D. 13解析 解法一：（定义法）令1||=1PF ，则在12Rt PF F 中，由012=60F PF ∠，可知212||=2,|PF F F ，由椭圆定义得122||||3a PF PF =+=，2c =，所以22c e a ==.故选B. 解法二 因为2(,)b P c a -±，再由012=60F PF ∠，所以021=30PF F ∠，得21||=2||PF PF ，13|2,PF a =22232,23b a a b a ==，故2223b a =所以3e ==.故选B .解法三 同解法二，因为2(,)b P c a-±，在12Rt PF F 中，得0121||=tan60||F F PF =即2222c ac b b a==2222)ac a c ==-2220ac +=,220e +-=所以e =e =故选B . 2. 设1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，以2F 为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线1F M 与圆2F 相切，则椭圆的离心率为（ ）A.1 B.2 C.2D. 2分析 利用椭圆定义寻求,,a b c 之间的关系，进一步求解离心率．解析 已知()()12,0,,0F c F c -，直线)y x c =+过点1F斜角01260MF F ∠=．如图10-53所示，因为021121302MF F MF F ∠=∠=，所以01290F MF ∠=，所以12,MF c MF ==，由椭圆定义知122MF MF c a +==，3.椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=，则椭圆的离心率e 的取值范围为_________. 解析 解法一：由知识点精讲中结论知，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF ∠取得最大值，而由题意可知，若在椭圆上存在点M 使得120FM F M ⋅=，即01290F MF ∠=，只需要焦点三角形的顶角最大值090≥即可，故只需保证当点M 落在椭圆短轴端点处情形时01290F MF ∠=的即可，所以012sin sin 452F MF c a ∠=≥=又因为1e <，故所求的椭圆离心率的取值范围是2⎫⎪⎪⎣⎭解法二：由椭圆的定义知12||||2MF MF a +=，在12F MF 中，01290F MF ∠=，由勾股定理得， 22221212||||||4F M F M F F c +==，将上式化简得2212||||2()F M F M a c ⋅=-，根据韦达定理，可知2212||||2()F M F M a c ⋅=-是方程22222()0x ax a c -+-=的两个根，则22248()0a a c ∆=--≥21()2c a ≥，即e ≥，又因为1e <，故所求的椭圆离心率的取值范围是,12⎫⎪⎪⎣⎭4. 已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，满足120FM F M ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）A. (0,1)B. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦C.0,2⎛ ⎝⎭ D. 2⎫⎪⎪⎣⎭解析 解法一：因为满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，故以坐标原点为圆心，c 为半径的圆总在椭圆内部，即22221,,2c b c a c e <<-<，得02e <<．解法二：因为满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，所以对于椭圆上任意一点P 都有01290F PF ∠<，故最大顶角小于090，从而0900sin 22e <<=，即0e <<C ． 评注：若椭圆上存在点P 使得12F PF α∠=（F 1，F 2为焦点，()0,απ∈），则sin ,12e α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，反之，0,sin 2e α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．5.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，若P 为其上一点，且12||2||PF PF =，2F ，则此椭圆离心率的取值范围为____________分析 根据椭圆的定义12||||2PF PF a +=求解.. 解析 解法一，由12||||2PF PF a +=，12||2||PF PF =得14||3a PF =，22||3a PF =，又12||||2PF PF c -≤，即223ac ≥， 得113e ≤<，故离心率的取值范围为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.评注 若椭圆上存在点P ，使得12||||(0,1)PF PF λλλ=>≠，则1||,11e λλ-⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦。
完整版椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）．椭圆的左右焦点分别为F，F，若椭圆C1上恰好有6个不同的点21P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）21．．．B ． CAD，则方程，b]分别取一个数，记为a5]和[2，4轴上且表示焦点在x2．在区间[1，离心率小于的椭圆的概率为（）． DA ． BC．．（a＞b＞0）3．上一点已知椭圆A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，，则该椭圆离心率e设∠ABF=α，且的取值范围为（）．A ．B． DC ．交于不同的两点，且这两个交点在4．斜率为与椭圆x轴上的直线l的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）． DCA ． B．．：C5．设椭圆上的点，PF⊥FF，，＞a＞b0）的左、右焦点分别为F、FP是C（=121122∠PFF=30°，则C的离心率为（）21． D B． CA．．．已知椭圆上除长轴端点外6为其左、右焦点，P为椭圆CF，F，21，且有I的重心为的任一点，△FPFG的离心，椭圆λ（其中为实数）C，内心21）（e=率．．．B ． CAD．为椭圆）c，00），F（为椭圆上一点且，7．已知F（﹣c，的两个焦点，P12则此椭圆离心率的取值范围是（）． D CA．． B ．=1（a＞8b．椭圆＞+0）的左、右焦点分别是F，F，过F作倾斜角为120°的直线与212椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）1．﹣）﹣ C．2（2AD． B．2满足上的点P，F，若CC的离心9．椭圆C的两个焦点分别是F，则椭圆e的取值范围是（）21率或． BD． C A．．10．设F，F为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠FPF=120°，则椭圆的离心率2211的取值范围是（）． D． CA． B．分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点．设11A，AP，使得21＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）．DC ．B．（0 ，） A．（0），12．设椭圆C的两个焦点为F、F，过点F的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF|=|FF|，212112且|MF|=4，|NF|=3，则椭圆Г的离心率为（）11．DC ．AB．．关于直线Fx+y=0，）的左焦点为F若0椭圆13．（2015?高安市校级模拟）Ca：+=1（＞b＞的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）l一． D．C ．B ．A．+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，14．已知F，F分别为椭圆P为椭圆上一点，且PF垂212直于x轴．若|FF|=2|PF|，则该椭圆的离心率为（）221．． CAD． B．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F，F，过F的直线交椭圆于P15．，Q两点，112若|PF|=|FF|，且2|PF|=3|QF|，则椭圆的离心率为（）11122．．． B． CAD的左、右焦点分别为F，F，：O为坐标原点，M为y16．已知椭圆C21轴正半轴上一点，直线MF交C于点A，若FA⊥MF，且|MF|=2|OA|，则椭圆C 的离心率为2212（）．．． CAD． B|上一点，且满足，M是椭圆C，．已知椭圆C的中心为O两焦点为F、F|=2|||=2|，1721则椭圆的离心率e=（）． C A．． BD．上存在点P分别是椭圆，使x=18．设F，+F=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线21△PFF为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）21（，1），1）D． BA．（0，）．（0，）C．（=1（a＞b＞0F+19．点）的一个焦点，若椭圆上在点为椭圆A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）1﹣． D ． C ． B．A．C上存在点M，过点+yM=b引圆O：=1（a＞b＞0）和圆O：x20．已222，若知椭圆C的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（），]（1 1） D．．[，1） C．，[A．，[1） B中，以椭圆21．在平面直角坐标系xOy）上的一点A为圆心的圆与x轴+=1（a＞b＞0相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（），）0 D．（1） C．（，A．（1，） B．）（，=1（a＞b＞0为椭圆C）的左、右焦点，直线：l过焦点F且与椭圆交+F22．设、F221于A，B两点，若△ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，12=（ e ）则6﹣ D．C．11﹣96A．2﹣ B．3 ﹣且为椭圆C的左焦点，A、B两点，FC：（+=1a＞b＞0）交于，?=023．直线y=kx与椭圆]，则椭圆C若∠ABF∈（0，的离心率的取值范围是（），（0B ] D．．[0A．（，，1）] C．[ ，]）为椭圆=1（a＞c，0b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在FF24．已知（﹣c，0），（21点P 满足?） =2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（，（0A．[]， B D．[．，]）] C．[，1）是椭圆=1（a＞b＞0，F，F．已知（﹣c0），（c0）的左右两个焦点，P 为椭圆2521，则椭圆的离心率的取值范围为（）上的一点，且．D ．C ．B ．A．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）．D ．A． B ． C=1（a＞b＞0+）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点27．过椭圆B，且点B＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）F，若0＜k 在x轴上的射影恰好为右焦点（，1）） D．C（，1）．（0 A．（0B，）．，C上存在点P，过：0）与圆CxP+y作=b28．已知椭圆Ca：222，若在椭圆=1（＞b＞121使得∠BPA=，BPB，切点为A ）圆的切线PA，C，则椭圆的离心率的取值范围是（1．D．． B ．A C22222（0＜r＜2），动圆M与圆O、圆O2：29．已知圆O（x ﹣）：+y=16和圆Ox+y都相切，=r2121动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e、e（e＞e），则e+2e的最211122小值是（）． D．C ．B ．A．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）．椭圆的左右焦点分别为F，F，若椭圆C1上恰好有6个不同的点21P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）21．D ．． B ． AC解：①当点解P与短轴的顶点重合时，答：△FFP构成以FF为底边的等腰三角形，2211此种情况有2个满足条件的等腰△FFP；21②当△FFP构成以FF为一腰的等腰三角形时，2112以FP 作为等腰三角形的底边为例，2∵FF=FP，121∴点P在以F为圆心，半径为焦距2c的圆上1因此，当以F为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，1存在2个满足条件的等腰△FFP，21在△FFP中，FF+PF＞PF，即2c+2c ＞2a﹣2c，2121121＞．．所以离心率e 由此得知3c＞ae≠ P当是等边三角形，与①中的三角形重复，故e=时，△FF21个2时也存在ee≠且为等腰三角形的底边时，在同理，当FP1PF满足条件的等腰△F21 6个不同的点P使得△FFP为等腰三角形这样，总共有211e综上所述，离心率的取值范围是：∈）（，，）∪（轴上且表示焦点在ba]，和5[12．在区间，][24分别取一个数，记为，，则方程x）的椭圆的概率为（离心率小于． CDA．． B．解轴上且离心率小于表示焦点在解：∵x，答：∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：轴上且离心率小于的椭圆的概率为则方程表示焦点在x=， P=故选B．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点3．B，F为其右焦点，若AF⊥BF，，则该椭圆离心率e的取值范围为（）设∠ABF=α，且． DC BA．．．解（a＞b＞0）上一点解：已知椭圆A关于原点的对称点为点B，答：F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα=利用 e=所以：则：[]即：椭圆离心率e的取值范围为A 故选：交于不同的两点，且这两个交点在x与椭圆4轴上．斜率为的直线l的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）．．． B D． AC解：两个交点横坐标是﹣解c，c，﹣c c（所以两个交点分别为（﹣，c）c）答：代入椭圆=1两边乘2a22222 +ab则c）（2b=2a222 =ac﹣∵b22222﹣2a（3a2c﹣c）22 bc=2a^422+2c^4=0 ﹣5ac2a^42222=0 ﹣c2c）（a（2a）﹣=2，或1 ＜∵0＜ee=所以=A 故选=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，P5．设椭圆C：是C上的点，PF⊥FF，21122∠PFF=30°，则C的离心率为（）21．． D BA．．C 解，解：设|PF|=x2．答：∵PF⊥FF，∠PFF=30°，21221|=x，|FF ，∴|PF|=2x211又|PF|+|PF|=2a，|FF|=2c 21122c=x，∴2a=3x，e=的离心率为：．∴C=故选A．．已知椭圆，F，F6为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外21，且有IG，内心的重心为，椭圆C的离心的任一点，△FPF（其中λ为实数）21率e=（）． CDA ．B．．解：设P（x，y），∵G解为△FPF的重心，2100答：（ G∴G，，）点坐标为∵，∴IG∥x轴，的纵坐标为∴I ，在焦点△FPF中，|PF|+|PF|=2a，|FF|=2c 221112=?|FF|?|y∴|021的纵坐标PF的内心，∴I 即为内切圆半径，又∵I为△F21内心I把△FPF 分为三个底分别为△FPF的三边，高为内切圆半径的2211小三角形|）|F（|PF|+|F|+|PF∴|=2121|||+|PFF|+|F|PF|=|?|yF∴?|F（）|2211021．||， |=（2a+2c即×2c?|y）0∴2c=a，e=的离心率=∴椭圆CA故选为椭圆上一点且P），为椭圆的两个焦点，0），F（c，07．已知F（﹣c，21）则此椭圆离心率的取值范围是（．． D． CA ．B=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n，解：设P（mn ）），解222，c 答： =m+n ﹣222222①．﹣，n∴mm+n=2c=2cnn b）代入椭圆得b=am+a ，把P（m222222②，2a≥0，∴a把①代入②得m =bc22222，≤，a﹣c ≤2c b，∴≤2c≥22222．a﹣∴2c，≥0，≤0，故又 m≤aa，22222∴≤≤∴．≤，综上，≤故选：C．+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F，F，过8F．椭圆作倾斜角为120°的直线与212椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）1．D ）﹣2B A．．﹣2（2．C解：如图，解．答：在Rt△MFF中，∠MFF=60°，FF=2c211221=2MFc∴MF=4c，12﹣?=2e=MF+MF，=4c+2 c=2a21故选B．的离心，则椭圆满足P9．椭圆C的两个焦点分别是F，F，若C上的点C21率e的取值范围是（）D或B． C．．A ．|=P，∴|PF满足=3c，解：∵椭圆C上的点解1答：由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a，∴|PF|=2a﹣3c．212利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a ﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．的取值范围是eC的离心率．∴椭圆故选：C．10．设F，F为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠FPF=120°，则椭圆的离心率2121的取值范围是（）．．． BD． AC解：F（﹣c，0），F（c，0）解，c＞0，设P（x，y），1211答：则|PF|=a+ex，|PF|=a﹣ex．1112在△PFF中，由余弦定理得21=，cos120°=．x解得12=，∴0≤＜a]0∈（，a2222221＜e∵x≥0．且3a﹣4c，即1．≥．∴e=∈故椭圆离心率的取范围是 e．故选A．分别为椭圆=1（a＞b，A＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得11．设A21＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）．．，） C（A．0D，） B．（0解：设P（asinα，bcosα），A（﹣a，0），A（解a，0）；21∴，；答：∴；∴；∴，a，c＞0；；∴解得∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F、F，过点F的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF|=|FF|，212112且|MF|=4，|NF|=3，则椭圆Г的离心率为（）11．DC ．A ．B ．解，＞0）a解：设椭圆（＞b 答：F（﹣c，0），F（c，0），21|MF|=|FF|=2c，|NF|=2a﹣|NF ，3﹣|=2a12．212由椭圆的定义可得|MF|+|MF|=2a，即有2c+4=2a，12即a﹣c=2，①取MF的中点K，连接KF，则KF⊥MN，2212222， |||NK|﹣|MK|﹣=|NF由勾股定理可得|MF2222﹣25，化简即为a+c=12，②（2a﹣3）即为4c ﹣4=由①②解得a=7，c=5，=．e= 则离心率故选：D．关于直线x+y=0的对称点AF，若F是椭圆＞+=1（ab＞0C13．椭圆）的左焦点为：C上的点，则椭圆C的离心率为（）．一ClA．． BD．）关于直线0（﹣c，解，则m，n）解：设F的对称点x+y=0A （答：，n=c，，∴m=代入椭圆方程可得，﹣8e，e化简可得24 +4=0，∴e=﹣1故选：D．+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P，14．已知FF分别为椭圆为椭圆上一点，且PF垂212直于x轴．若|FF|=2|PF|，则该椭圆的离心率为（）212．D ． C． B．A．解+=1（a＞b＞0解：F，F）的左、右焦点，分别为椭圆21答：设F（﹣c，0），F（c，0），（c＞0），21P为椭圆上一点，且PF垂直于x 轴．若|FF|=2|PF|，2122﹣1=0．=a ﹣ce，即可得ac=b2c=2．可得2222+e．解得 e= ．故选：D两点，FF，过的直线交椭圆于P，Q的两焦点分别是15．已知椭圆（a＞b＞0）F，121若|PF|=|FF|，且2|PF|=3|QF|，则椭圆的离心率为（）11212．． CDAB．．解解：由题意作图如右图，答：，l是椭圆的准线，设点Q（x，y）l，0120∵2|PF|=3|QF|，11，﹣y）﹣x∴点P；（﹣c 00|=|QA|，，|QF又∵|PF |=|MP|11∴2|MP|=3|QA|，+，|QA|=x ﹣x，+又∵|MP|=﹣c00+﹣（﹣c）， x=2∴3（x+）00﹣x=，解得，0∵|PF|=|FF|，221）=2c；c+x+∴（0代入化简可得，将x=﹣022﹣8ac=03a，+5c；+3=08﹣5即．=；解得，=1 （舍去）或故选：A．：的左、右焦点分别为F，F，O16．已知椭圆C为坐标原点，M为y21轴正半轴上一点，直线MF交C于点A，若FA⊥MF，且|MF|=2|OA|，则椭圆C 的离心率为2212（）．．B ． CAD．解：如图所示，解答：在Rt△AFF中，|FF|=2|OA|=2c．2112又|MF|=2|OA|，Rt△OMF中，2∴∠AFF=60°，12在Rt△AFF中，212在|=c．，|AF|=c|AF 12，∴2a=c+c．﹣∴1=故选：C．|=2||，C上一点，且满足|=2||是椭圆两焦点为17．已知椭圆C的中心为O，F、F，M21）（ e=则椭圆的离心率． B．． C． DA，|解：∵|MF|=|MO|=|MF解21由椭圆定义可得2a=|MF|+|MF|=3|MF|答：，221|=a，，|MF 即|MF|=a12，a|FO|=c|FOM在△F中，，|OM|=，aM|=111．=，cos∠MOF =则1M|=a，，|M0|=|F 在△OFM中，|FO|=c222=，cos∠MOF= 则2由∠MOF=180°﹣∠MOF得：cos∠MOF+cos∠MOF=0，2211+=0即为，，﹣2a整理得：3c22=0，即 =，即e2=e=即有．故选：D．x=上存在点P＞0）的左右焦点，若在直线，使分别是椭圆+=1（a＞b．设18F，F21△PFF为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）21（，1） 1）D．B．（0 ，）C．（， A．（0，）的坐标为（的中点Q），得FP），解：由已知P（，y解1答：∴，=2b，∵，∴y22﹣3c ）＞0，）∴ya=（（﹣222﹣∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，．1＜e＜∴．故选：C．+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A19．点F使△AOF为椭圆为正三角形，那么椭圆的离心率为（）．﹣D． C1．A B．解：如下图所示：解答：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得k=tan60°=，的斜率为直线OP，c，c∴点P坐标为：）（代人椭圆的标准方程，得b∴b=4ac+3a c222222，∴e=．故选：D．C上存在点M=b，过点M：a＞b＞0）和圆Ox引圆+yOC20．已知椭圆222，若（：=1的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（），]1．（，[1）C．[，1）DB），A．[1 ．解：如图所示，连接OE，OF，解OM，答：∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，2b≤a，∴，e=C的离心率=．∴椭圆又e＜1．的离心率的取值范围是．∴椭圆CC．故选：=1（a＞b＞．在平面直角坐标系xOy0中，以椭圆）上的一点+A为圆心的圆与x轴21相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（），）（0 ．（，1）．（．，） B．（，1） CDA解：如图所示，解答：，代入椭圆的标准方程可得：），0c设椭圆的右焦点F（，A．，取 y=∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，．解得．故选：A+=1（a：＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F且与椭圆交为椭圆F、．设22FC2122=，则ee为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为构成以两点，若△ABF，于ABA1）（．6 9﹣6 D﹣ C．11﹣．A．2．﹣ B3解：可设|FF|=2c，解|AF|=m，112答：若△ABF构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，1|=m，|=m，|BF 则|AB|=|AF11由椭圆的定义可得△ABF的周长为4a，1﹣）a2，即有 4a=2m+m，即m=2（2（ m=|AF|=2a﹣则）a，2在直角三角形AFF中，21222， +|AF|FF||=|AF|2112a+4）即4c2=4（）﹣（a22222，6）即有c9=（﹣a22，．故选==9﹣D即有e62．?=0且为椭圆两点，FC的左焦点，，0C与椭圆=1：（+a＞b＞）交于A、B．23直线y=kx]，则椭圆0若∠ABF∈（C，的离心率的取值范围是（），0B．（1[，）]．]0．A（， C．[，] D解：设F解是椭圆的右焦点．2∵答： ?=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF．2∴四边形AFBF是平行四边形，2∴四边形AFBF是矩形．2如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF=AF=2csinθ，2BF+BF=2a，2∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，，sinθ+cosθ=，]（0，∵θ∈，∴∈．∈∴∈∴，．∴e∈．故选：D）的两个焦点，若椭圆上存在＞0＞=10（，0），Fc，（a）为椭圆b（﹣24．已知Fc21=2c?点P）满足2，则此椭圆离心率的取值范围是（。
椭圆与双曲线的离心率专题练习(含答案)
圆锥曲线的离心率专题练习1．过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )2.方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率3.已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 （ ） A.53 B.43 C.54 D.324. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） (A)2 (B)22 (C) 21 (D)42 5. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A ）2 （B ）12（C ）2 （D 1 6. 已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+7. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .8.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ） A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 9.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32C ．22D ．23 10.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7311.曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞12.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)13. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2D ．2 14. 设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．(25)，D ．(215. 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABC D ．316. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为（ ）（A ）22x a －224y a=1 (B)222215x y a a -= (C)222214x y b b -= (D)222215x y b b -=17. 在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．19. 设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
椭圆离心率经典题型总结
椭圆离心率经典题型总结一、基础题1. 已知椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值为（ ）A ．3B CD ．253或32. 的两段，则其离心率为________．3. 若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.244. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11A.D.54325. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于________．6. 已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 17. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF △是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C 1 D8. 椭圆22221x y a b+=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿.9. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A 、13B C 、12D10. 在ABC ∆中，7,cos .18AB BC B ==-若以,A B 为焦点的椭圆经过点,C 则该椭圆的离心率e =________．11. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A. 45B.35C.25D.1512. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D13. 椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的两顶点为A(,0),B(0,)a b 且左焦点为F ，FAB ∆是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A.B. C. D.14. 设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22 D.2＋115. 已知椭圆22221x y a b+=，焦点为12,F F ，在椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．16. 斜率为2的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C D ．1317. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =，则椭圆的离心率是A B C ．13 D ．1218. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．19. 与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．20. 设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2B ．1[,1)2C ．(0,2D ．1(0,]2二、中档题21. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 ．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，直线12A B 与直线1B F 相交于点,T 线段OT 与椭圆的交点M 恰为OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．23. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.1424. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ．25. 如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=°，则该椭圆的离心率是 ．26. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△ABF 1的重心为G (,)63c c ，则椭圆C 的离心率为_____．27. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点。
离心率(例、练及答案)
离心率（例、练及答案）1．离心率的值例1：设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）ABC ．D ．2．离心率的取值范围例2：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D．练习一、单选题1．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（） ABCD2．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（） A ．BCD1F 2F ()2222:10x y C a b a b+=>>P C 1PF y 1230PF F ∠=︒1316F 22221x y a b -=()0,0a b >>E Fx A B ABE △e ()1,+∞()1,2(1,1(2,1()2222:10,0x y C a b a b -=>>()2,1-C π4()222210x y a b a b +=>>F A B 2AF FB =323．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若，分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于，两点，且直线过点，则双曲线的离心率为（） ABCD ．25．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（） A ． B ．C ．D ． 6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（） ABCD ．7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．2D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，为坐标原点，1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>P 1PF 2PF 12Rt F PF △124PF PF ab ⋅=()2212210,0:x y C a b a b -=>>F ()2220:C y px p =>A B AB F 1C 1()()000,P x y x a ≠±()2222:10x y C a b a b +=>>M C PO PM ⊥O C e ⎛ ⎝⎭()0,1⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭()222210x y a b a b +=>>A B P 120APB ∠=︒3422221x y a b -=1F 2F P 124PF PF =e 435373()222210x y a b a b +=>>1F 2F P O若，且，则该椭圆的离心率为（） A ．BC ．D9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若 为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（）AB ．2CD ．311．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线______．14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，1212OP F F =212PF PF a =34122y x =()222210x y a b a b -=>>(()+∞)+∞1F 2F 1e 2e 1260F PF ∠=︒2e =:210l kx y k --+=()22122:10x y C a b a b +=>>A B ()()222:211C x y -+-=C D []2,1k ∈--AC DB =1C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎦⎫⎪⎪⎣⎭P ()222210x y a b a b-=>>1F 2F I 12PF F △121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△(]1,2()1,2(]0,3(]1,3()220y px p =>()222210,0x y a b a b-=>>F A AF ()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F M满足，则离心率的取值范围是__________．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，的两点，且轴，若为椭圆上异于，的动点且，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系中，记椭圆的左右焦点分别为，，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________． 三、解答题17．已知双曲线（1）求双曲线的渐进线方程．（2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．123MF MF =e ()222210x y a b a b+=>>1F 2F 1F A B 2AF x ⊥P A B 14PAB PBF S S =△△xOy ()222210x y a b a b +=>>1F 2F P 12F F P △()2222:10,0x y C a b a b -=>>C 1a =0x y m -+=C A B AB 225x y +=m18．已知椭圆的左焦点为，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点．①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，．求证：为定值；②若，求面积的取值范围．参考答案1．【答案】A【解析】本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，从而，又因为，则直角三角形中，且，，所以，故选A ． ()2222:10x y C a b a b+=>>()1,0F -e C l CA B l C F y P PA AF λ=PB BF μ=λμ+OA OB ⊥OAB △12PF F △1PF y O 12F F 2PF y ∥212PF F F ⊥1230PF F ∠=︒12PF F △1212::2PF PF F F =122a PF PF =+122c F F =121222F F c c e a a PF PF ∴====+2．【答案】B【解析】从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角．由对称性可得只需即可．且，均可用，，表示，是通径的一半，得：，，所以，即，故选B ．练习答案一、单选题 1．【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点，代入，可得：，即，，故选D ．2．【答案】A【解析】设直线的参数方程为，代入椭圆方程并化简得，所以，，由于，即，代入上述韦达定理， 化简得，即，A ．3．【答案】D【解析】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，ABE △AEB ∠π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭AF FE a b c AF 2b AF a =FE a c =+()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++()1,2e ∈()2,1-∴b y x a =-21ba-=-12b a =e ∴==2x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭21222ct t a b +=-+412222b t t a b ⋅=-+2AF FB =122t t =-2228c a b =+2229c a =c a =122PF PF a -=()22124PF PF a -=222121224PF PF PF PF a +-⋅=12PF PF ⊥222212124PF PF F F c +==又，所以，解得，从而离心率，故选D ． 4．【答案】C【解析】设双曲线的左焦点坐标为，由题意可得：，， 则，，即，，又：，，据此有：，即，则双曲线的离心率：．本题选择C 选项． 5．【答案】C【解析】由题意，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以圆的方程为：，与椭圆方程联立得：，此方程在区间上有解，由于为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与之间，所以，结合，解得，．故选C ．6．【答案】C【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即， 因为，所以，，，，，C ． 7．【答案】B124PF PF ab ⋅=22484c ab a -=2b a =ce a==1C ()',0F c -(),0F c 2p c =,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),2A c c (),2B c c -'2AF AF a -='AF 22c a -=)1c a =1c e a ==PO PM ⊥P OM ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭2a 22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭()0,a a 2aa 22221a a ab a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b c =+221122a c<<1e <<M 120AMB APB ∠≥∠=︒60AMO ∠≥︒tan a OMA b ∠=tan60a b ≥︒a ∴≥()2223a a c ≥-2223a c ∴≤223e ≥e ≥【解析】由双曲线的定义知①；又，②联立①②解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值， 当时，解得，即的最大值为，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知①，又，②，联立①②解得，，因为点在右支所以，即故，即的最大值为，故选B ． 8．【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，，又，可得，即为椭圆的短轴的端点， ，且，即有即为，．故选D ． 9．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线与直线有交点，则有，即有，则双曲线的离心率的取值范围为，故选D ．10．【答案】C【解析】设，，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，可得，，可得，， 由余弦定理可得，即有，122PF PF a -=124PF PF=183PF a =223PF a =12PF F △222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅e 12cos F PF ∠12cos 1F PF ∠=-53e =e 53122PF PF a -=124PF PF =183PF a =223PF a =P 2PF c a ≥-23a c a ≥-53a c ≥e 53122PF PF a +=212PF PF a ⋅=12PF PF a ==P OP b =1212OP F F c ==c b =a =c e a ==()222210x y a b a b-=>>b y x a =±2y x =2b a >c e a ==)+∞()1,0F c -()2,0F c a m 122PF PF a +=122PF PF m =-1PF a m =+2PF a m =-2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+由离心率公式可得，，即有，解得，故选C ． 11．【答案】C【解析】直线，即， 直线恒过定点，直线过圆的圆心，，，的圆心为、两点中点， 设，，， 上下相减可得：，化简可得，， ，，故选C ． 12．【答案】D 【解析】设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，，，由题意得，故， 故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D ．二、填空题2212134e e +=121e e =4222430e e -+=2e =:210l kx y k --+=()210k x y --+=l ()2,1∴l 2C AC DB =22AC C B ∴=2C ∴A B ()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-222b k a -⋅=221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦e ⎛= ⎝⎦12PF F △r 122PF PF a -=122F F c =1112PF S PF r =⋅△2212PF S PF r =⋅△12122PF F S c r cr =⋅⋅=△12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥()12332c PF PF a ≤-=3ce a=≤1e >(]1,313．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为，由于，且，所以是等边三角形， 所以，所以，，所以，所以，由双曲线的定义可知． 14．【答案】【解析】设点的横坐标为，∵，在双曲线右支上，根据双曲线的第二定义， 可得，，，，，，，，故答案为．15．【解析】根据题意，因为轴且，假设在第一象限，则，过作轴于，则易知，由得，所以，，1F AF 60BAF ∠=︒AF AB =ABF △130F BF ∠=︒1BF =4BF c =2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=1AF =24a c =-(]1,2M x 123MF MF =M ()x a ≥223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ex a ∴=x a ≥ex ea ∴≥2a ea ∴≥2e ∴≤1e >12e ∴<≤(]1,22AF x ⊥()2,0F c A 2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭B BC x ⊥C 121AF F BFC △～△14PAB PBF S S =△△113AF BF =23AF BC =1213F F CF =所以，代入椭圆方程得，即，又，所以，所以椭圆离心率为．． 16．【答案】 【解析】椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设在第一象限，，当时，， 即，解得， 又因为，所以， 当时，，即且，解得：，综上或．三、解答题17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，得，， ∴，即，∴所求双曲线的渐进线方程．（2）由（1）得当时，双曲线的方程为．设，两点的坐标分别为，，线段的中点为，25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222225199c b a a +=222259c b a +=222b a c =-223c a=c e a ==111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭P 12F F P △P 11PFPF >1122PF F F c ==21222PF a PF a c =-=-222a a c >-12e >1e <112e <<2122PF F F c ==12222PF a PF a c =-=-222a c c ->2c a c >-1132e <<112e <<1132e <<y =1m =±ce a==223c a ∴=22222b c a a =-=222b a=C by x a=±=1a =C 2212y x -=A B ()11,x y ()22,x y AB ()00,M x y由，得（判别式）， ∴，， ∵点在圆上，∴，∴．18．【答案】（1）；（2）①见解析，②．【解析】（1）由题设知，，，所以，，， 所以椭圆的标准方程为．（2）①由题设知直线斜率存在，设直线方程为，则．设，，直线代入椭圆得，所以，，由，知，，． ②当直线，分别与坐标轴重合时，易知． 当直线，斜率存在且不为0时，设，，设，，直线代入椭圆得到，所以，，同理， ，令，则因为，所以，故，综上．22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩22220x mx m ---=0Δ>1202x x x m +==002y x m m =+=()00,M x y 225x y +=()2225m m +=1m =±2212x y +=32OAB S ≤<△2c a =1c =22a =1c =21b =C 2212x y +=l l ()1y k x =+()0,P k ()11,A x y ()22,B x y l 2212x y +=()2222124220k x k x k +++-=2122412k x x k +=-+21222212k x x k -=+PA AF λ=PB BF μ=111x x λ=-+221xx μ=-+2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++OA OB OAB S △OA OB :OA y kx =1:OB y x k =-()11,A x y ()22,B x y y kx =C 222220x k x +-=212212x k =+2212212k y k =+2222212k x k =+212212y k =+212OAB S OA OB =⨯=△211t k =+>OABS =△()10,1t ∈291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭32OAB S ≤<△32OAB S ≤△。
关于椭圆离心率专项练习(1)
关于椭圆离心率的演练之青柳念文创作a与b的比值，以1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的间隔是焦距的2倍，则其离心率为则椭3.圆的离心率为4.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为核心，且过C、D两点的椭圆的离心率为椭圆的离心率为6..mn取得最小值时，7.则该椭圆离心率的取值范围是8.已知F1为椭圆的左核心，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆9.P（a＞b＞0是椭圆的左右核心，已知P是椭圆上一则椭圆的离心率为11.在给定椭圆中，过核心且垂直于长轴的弦长1，则该椭圆的离心率为12.（a＞b＞0）的右核心为F1，1F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的间隔，则椭圆的离心率是.13.椭圆（a>b>0）的两顶点为A（B(0,b),若右核心F到直线AB的间隔.14.a>b>0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过核心，则椭圆的离心率是15.已知直线L a>b>0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L的16.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，17.）Ｄ．以上三1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数2．以椭圆的右核心F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心而且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左核心为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是3．以椭圆的一个核心F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O而且与椭圆交于M、N两4．设椭圆的两个核心分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是5．已知F1、F2是椭圆的两个核心，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF26核心，P是三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形.1知1F是椭圆的两个核心，知足的点率的取值范围是2P是椭圆上一e的取值范围为3P是椭圆上一e的取值范围为4a>b>0）的两核心为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º，椭圆离心率e的取值范围为56．别是椭的使线段7．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个核心，其余四个顶点9.17.（ A ）1三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形. 16。
椭圆离心率经典题型 使用
椭圆离心率专项练习一、直接求出a c ，或求出的比值，求解e 。
1.倍，则椭圆的离心率等于2.若椭圆中心在原点，且焦点为)03()0,1(1，顶点A F ,则椭圆的离心率为3.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率是4.短轴端点P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e5.mn的离心率为6.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P ∥AB （O 为椭圆中心）时，7.P，21F F 、是椭圆的左右焦点，已椭圆的离心率为=e8.P 是椭圆上一点，若则椭圆的离心率为9.A （a,0）B(0,b),若右焦点∣AF∣，则椭圆的离心率10.a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是11.已知直线La>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L，则椭圆的离心率是12.，右焦点为(0)F c ，，方 ）Ａ．必在圆222x y +=内 Ｃ．必在圆222x y +=外 Ｄ．以上三种情形都有可能 二、构造a c ，的关系式，求出e1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 。
2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是 。
3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是 。
4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是三、利用焦点三角形或寻找特殊图形中的不等关系，求e 的取值范围1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 。
椭圆离心率练习
椭圆离心率练习1．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆C 上的点，212PF F F ⊥，1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A 1B ．12C 1D 2．已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P 使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2⎛⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A B C ．12 D 4．已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A B ．12 C D 5．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,3⎛ ⎝⎦C ．1,33⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎪⎣⎭6．设斜率为2的直线l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C ．2 D ．137．已知F 是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ） A 5B ．23 C ．22 D ．128．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：430x y -=与椭圆C 相交于A ，B 两点.若6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．50,9⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．3⎛ ⎝⎦ C ．5⎛ ⎝⎦D ．133⎛⎤ ⎥ ⎝⎦9．设1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ） A 31- B ．313 C ．512 D ．22 10．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，当4R r =时，椭圆的离心率为（ ）A ．45B ．23C ．12D ．2511．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>右焦点为F (3,0)过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为1(1,)2，则E 的离心率是（ ）A ．34B 13C ．144D ．154 12．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，A 为椭圆的上顶点，过点A 作垂直于AF 的直线分别与x 轴正半轴和椭圆交于点M ，N ，若3AM MN =，则椭圆C 的离心率e 的值为（ ） A ．22 B 51- C ．12 D ．13二、填空题13．已知12,F F 是椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且11||2||AF BF =，2||||AB BF =，则椭圆C 的离心率为________14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>， ,A B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足30,45MAB MBA ︒︒∠=∠=，设椭圆C 的离心率为e ，则2e =______.15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23AC F C =，则椭圆的离心率为________16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12F F 、是椭圆的左右焦点，点A 是椭圆上的点，12AF F ∆的内切圆的圆心为M ，122+2MF MF MA +=若0，则椭圆的离心率为______. 17．已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆：222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________ 18．已知椭圆Г：22221(0)x y a b a b+=>>，F 1、F 2是椭圆Г的左、右焦点，A 为椭圆Г的上顶点，延长AF 2交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________．19．点A ，B 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足2MA MB =，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为______.20．已知离心率为23的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆C 上，点M 为12PF F ∆的内心，且1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积分别为1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆，若121232MPF MPF MF F S S S ∆∆∆+=，则12MPF MPF S S ∆∆的值为__________．。
专题6：椭圆的离心率问题26页
专题6：椭圆的离心率问题一、单选题1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A ．13B ．12C D 2．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34B ．4C ．916D 3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C D4．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为（ ）A ．45B ．23C ．12D ．155．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A．3B ．4C ．2D ．6．已知12(,0)(,0)F c F c -，为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P （不在x轴上）为椭圆上一点，且满足212PF PF c ⋅=，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．32⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3⎫⎪⎣⎭D ．0,2⎛ ⎝⎭7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F ，，点Q 为椭圆上一点. 12QF F 的重心为G ，内心为I ，且12GI F F λ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．3二、填空题8．已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上不与左右顶点重合的动点，设I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心.当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆C 的离心率为_____.9．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当2233(ln ||ln ||)a m n ⎛⎫-+++ ⎪取得最小值时，椭圆C 的离心率是______.11．已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F ，经过坐标原点O的直线交椭圆于A ． B 两点，M 、N 分别为线段AF 、BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆恰经过坐标原点O ，则椭圆的离心率的取值范围为___.12．已知斜率为1的直线l 经过椭圆2222:1x y M a b+=的左焦点，且与椭圆M 交于A ，B 两点，若椭圆M 上存在点C ，使得ABC 的重心恰好是坐标原点，则椭圆M 的离心率e =______.13．已知中心在原点的椭圆C 的一个端点为)A ，直线:21l y x =+.若C 上存在相异的两点M ，N 关于l 对称，则椭圆C 离心率的取值范围是___________.14．已知点P 为直线40ax y +-=上一点，,PA PB 是椭圆()222:10x C y a a+=>的两条切线，若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.15．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，过点P 的一条直线与圆2222x y a b +=+相交于, A B 两点，若存在点P ，使得22||||PA PB a b ⋅=-，则椭圆的离心率取值范围为_________.16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左顶点为A ，O 为坐标原点，若椭圆上存在点M 使OM MA ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围是______.17．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.18．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点F 1、F 2，点P 是两曲线的一个公共点，12,e e 分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则22124e e +的最小值为__________．参考答案1．A【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MNME 的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【解析】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接GI 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E ，设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，因为G 为12PF F ∆的重心，所以00(,)33x y G ， 因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，则有01212122()()23x PF PF F N NF FO ON OF ON ON -=-=+--==， 又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x xPF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，0110223=3x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +- 所以得03cx OM a=，所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3INMN a c PEMEa c -==-，即0()3a c y IN a c-=-， 因为1212121211()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=++= 即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13c a =，所以答案为A. 【点评】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合. 2．B【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可.【解析】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>，∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-，∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===. 故选：B.【点评】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率. 3．C【分析】由题设()(),0,0,F c A b ，利用F 为APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为3,22c b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将B 代入直线方程得592802b c +-=，再利用点差法可得225a bc =，结合222a b c =+，可求出,,a b c ，进而求出离心率. 【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ，由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22c bx y ==-即3,22c bB ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=①.又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，又,P Q 为椭圆上两点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=，以上两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，所以221212221212365PQy y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc =② 由①②及222a b c =+，解得：42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即离心率5e =. 故选：C.【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 4．B【分析】利用正弦定理得到R =再利用椭圆的定义，设1PF m =，2PF n =，得到2m n a +=，结合余弦定理22242cos3c m n mn π=+-，得到22230a c ac --=，即得解.【解析】椭圆的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，122F F c =根据正弦定理可得121222sin 3sin3F F c R F PF π===∠∴R =，14r R ==. 设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得22242cos 3c m n mn π=+- ()22343m n mn a mn =+-=-，∴()2243a c mn -=，∴)12221sin 233F PFa c S mn π∆-==， 又12F PF S ∆=()()1226a c m n c r +++⋅=，∴))2236a c a c -+=即22230a c ac --=， 故2320e e +-=，解得：23e =或1e =-（舍）. 故选：B .【点评】本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 5．A【分析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n+=>>，焦距为2c 由椭圆和双曲线的定义，不妨设P 在第一象限，求出1212||,||,(,PF PF F F 为焦点），在12PF F ∆中利用余弦定理，求出,,a m c 关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.【解析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -22222c a b m n =-=+不妨设P 在第一象限，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得12PF a m PF a m ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 在12PF F ∆中，22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即2222222343,4a m c a m c c=++=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12221213,,4e e e e +=，设12112cos 1,cos 2sin sin 2e θθθθ=>>=<<< 取π0θ3，12112cos )3e e πθθθ+=+=+， 当6πθ=时，1211e e +取得最大值为3. 故选:A.【点评】本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题. 6．A【分析】首先根据椭圆定义可知122PF PF a +=，根据余弦定理2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==，再根据21212cos PF PF F PF c ⋅∠=，根据这三个式子的变形得到21222cos 123c F PF a c∠=<-和22223a c a ∴-≤，最后求离心率. 【解析】由椭圆的定义，得122PF PF a +=，平方得222121224PF PF PF PF a ++=①.由212PF PF c ⋅=，21212cos PF PF F PF c ∴⋅∠=②，12F PF ∠是锐角，由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==③， -③得()22121221cos 44PF PF F PF a c +∠=- ④由②④，得21222cos 123c F PF a c ∠=<-，12F PF ∠是锐角，2220123c a c <<- ， 即22230a c ->且22223c a c <-∴ 2e <. 由②③可知222126PF PF c += ⑤由①⑤可得221223PF PF a c =- ，2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，22223a c a ∴-≤，即223a c ≤，e ∴≥.则椭圆离心率的取值范围是32⎣⎭.故选：A.【点评】本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于,a c 的不等式关系. 7．A【分析】由题意，设Q （x 0，y 0），由G 为△F 1QF 2的重心，得G 点坐标为（03x ，03y ），利用面积相等可得，12×2c•|y 0|=12（2a+2c ）|03y |，从而求椭圆的离心率．【解析】椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），设Q （x 0，y 0），∵G 为△F 1QF 2的重心，∴G 点坐标为 G （03x ，03y ），∵12GI F F λ=，则GI ∥12F F ，∴I 的纵坐标为03y，又∵|QF 1|+|QF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ， ∴12F QF S=12•|F 1F 2|•|y 0|，又∵I 为△F 1QF 2的内心，∴|03y |即为内切圆的半径，内心I 把△F 1QF 2分为三个底分别为△F 1MF 2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴12F QF S=12（|QF 1|+|F 1F 2|+|QF 2|）|03y |， 即12×2c•|y 0|=12（2a+2c ）|03y |，∴2c=a ，∴椭圆C 的离心率为e=12， ∴该椭圆的离心率12，故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．13【分析】首先找到特殊位置，即取P 在上顶点时，内心和重心都在y 轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P 的运动而变化，可得：GI 始终垂直于x 轴，可得内切圆半径为3a ca c-⋅-y 0，再利用等面积法列式解方程可得：13c a=.【解析】当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，取P 特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y 轴上，重心也在y 轴上， 由此可得不论P 在何处，GI 始终垂直于x 轴， 设内切圆与边的切点分别为Q ，N ，A ，如图所示：设P 在第一象限，坐标为：（x 0，y 0）连接PO ，则重心G 在PO 上， 连接PI 并延长交x 轴于M 点，连接GI 并延长交x 轴于N ， 则GN ⊥x 轴，作PE 垂直于x 轴交于E ，可得重心G （03x ，03y ）所以I 的横坐标也为03x ，|ON |03x =，由内切圆的性质可得，PG =P A ，F 1Q =F 1N ，NF 2=AF 2， 所以PF 1﹣PF 2=（PG +QF 1）﹣（P A +AF 2）=F 1N ﹣NF 2=（F 1O +ON ）﹣（OF 2﹣ON ）=2ON 023x =， 而PF 1+PF 2=2a ，所以PF 1=a 03x +，PF 2=a 03x -， 由角平分线的性质可得01102233x a PF F M c OM x PF MF c OM a ++===--，所以可得OM 03cx a=，所以可得MN =ON ﹣OM ()000333a c x x cx a a-=-=， 所以ME =OE ﹣OM =x 0()00333a c x cx a a--=， 所以3IN MN a c PE OE a c -==-，即IN 3a c a c -=⋅-PE 3a ca c -=⋅-y 0， 1212PF F S =（PF 1+F 1F 2+PF 2）⋅IN 1212F F PE =⋅，即12（2a +2c ）001232a c y c y a c -⋅⋅=⋅⋅-， 所以整理为：13c a =，故答案为：13.【点评】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，化简可得.本题属于难题.9【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 的余弦值，即可得出椭圆离心率．【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与,A B ，连接12,O A O B ,则1O A AB ⊥，2O B AB ⊥，过2O 作21O D O A 垂直于D ，连接12,O E O F ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β.在21Rt O DO 中，1312DO ，22282215O D11221515cos84O O O D 128O O = 128CO O C 12EO C FO C22128O CO CO EO F 解得2=2O C 222222213CFO FO C即23cos2CFO C则椭圆的离心率cos 252cos515e【点评】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos β与圆锥母线与轴的夹角的余弦cos α之比，即coscose．10．2【分析】设出P 的坐标,得到mn (用a ,b 表示)，求出2a a a b ln m ln n ln mn ln b b b a ++=+=+，令1a t b =>，则()3222363f t t t t lnt =-+-，利用导数求得使()f t 取最小值的t ，可得2ab=，则椭圆离心率可求 ．【解析】解：(),0A a -，(),0B a ，设0(P x ，0)y ，则()2220202b a x y a -=，则00y m x a =+，00y n x a =-，2202220y b mn x a a ∴==--，∴()22333a ln m ln n b mn mn⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ 3222222223623633a b a a a b ln ln b b b a b b b a a a ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪--⎪⎝⎭， 令1at b=>，则()3222363f t t t t lnt =-+-．()()()2322232436t t t t t f t t t-+-+-'==， ∴当2t =时， 函数()f t 取得最小值()2f ．∴ 2a b =．e ∴==，【点评】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、关键利用导数研究函数的单调性极值与最值．11．2，1)【分析】设AB 方程为y kx =，联立方程组求出A ，B 坐标，进而得出M ，N 的坐标，由OM ON ⊥列方程得到关于k 的方程，令此方程有解得出a ，b ，c 的关系，从而得出离心率的范围．【解析】设直线AB 的方程为y kx =，联立方程组22221y kxx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得222222()a k b x a b +=，A ∴，B，又(,0)C c ，M ，N 是AF ，BF 的中点，2c M ∴+，，2c N，以MN 为直径的圆恰经过坐标原点O ，OM ON ∴⊥，222)0222c c abk a k -∴+=+，即222222222222044()4()c a b a b k a k b a k b --=++， 222222222()0c a k b a b a b k ∴+--=，2222222224()a c a b k a b b c b ∴-=-=，即22224()a c b k b -=，存在符合条件的直线AB ，使得OM ON ⊥，∴关于k 的方程22224()a c b k b -=有解，22c b ∴>，即222c a c >-，222c a ∴>，∴2212c a>，c e a ∴=>，又1e <，∴12e <<． 故答案为：(2，1)．【点评】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围. 12．5【分析】设点A ，B ，C 坐标分别为(),1,2,3i i x y i =，则根据题意有12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，分别将点A ，B ，C 的坐标代入椭圆方程得12122212x x y y a b +=-，然后联立直线l 与椭圆方程，利用韦达定理得到12x x 和12y y 的值，代入12122212x x y y a b +=-得到关于,,a b c 的齐次式，然后解出离心率.【解析】设A ，B ，C 坐标分别为(),1,2,3i i x y i =，因为ABC 的重心恰好是坐标原点，则12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，则()()312312x x x y y y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，代入椭圆方程可得()()221212221x x y y a b +++=， 其中22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以12122212x x y y a b +=-……① 因为直线l 的斜率为1，且过左焦点，则l 的方程为：x y c =-，联立方程22221x y cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得：()2222420a b y b cy b +--=，所以212222b c y y a b +=+，41222b y y a b-=+……②所以()()()4421212121222c b x x y c y c y y c y y c a b-=--=-++=+……③，将②③代入①得22225c e a ==，从而5e =.故答案为：5【点评】本题考查椭圆的离心率求解问题，难度较大.解答时,注意A ，B ，C 三点坐标之间的关系，注意韦达定理在解题中的运用.13．11⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意，设椭圆()22:10,33x y C λλλ+=>≠，()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为()00,P x y ，由()00,P x y 在C 内，可得不等式220013x y λ+<，从而得到关于λ的不等式，解不等式可得λ的取值范围，从而求得离心率的范围.【解析】由题意，设椭圆()22:10,33x y C λλλ+=>≠，()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为()00,P x y ，则221113x y λ+=，222213x y λ+=，两式相减得，()()()()1212121203x x x x y y y y λ+-+-+=，而1202x x x +=，1202y yy +=. 所以，MN 所在直线的斜率211202112033MN y y x x xk x x y y y λλ-+==-=--+， 由M ，N 关于l 对称，直线MN l ⊥，故00132x y λ-=-①，又()00,P x y 在l 上，所以0021y x =+②，联立①与②的方程，解得，0326x λ=-，03y λλ=-.由题意，()00,P x y 在C 内，可得220013x y λ+<，化简2428330λλ-+>，即()()232110λλ-->，解得302λ<<或112λ>. 令椭圆C 的离心率为e ，当302λ<<时，C 的焦点在x 上，233e λ-=，即233e λ=-，故230332e <-<，所以12e <<； 当112λ>时，C 的焦点在y 上，23e λλ-=，即231e λ=-，故231112e >-1e <<.<，所以C 的离心率的取值范围是11,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：11⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点评】本题考查椭圆与直线方程、离心率等综合知识以及推理论证与运算求解能力.14 【分析】首先设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，根据直线与椭圆相切，联立0∆=得到2222()210a m k mnk n -++-=，因为PA PB ⊥，得到121k k =-，即2221m n a +=+.从而得到(0,0)到直线40ax y +-=的距离为a =.【解析】设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，由题知：联立222222222()(1)2()[()1]01y n k x m k a x ka n km x a n km x y a-=-⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩， 因为直线与椭圆相切，所以2422222=4()4(1)[()1]0k a n km a k a n km ∆--+--=， 整理得：2222()210a m k mnk n -++-=. 设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，因为PA PB ⊥，所以212221=1n k k a m-=--，即2221m na +=+.所以点P 在以(0,0)即(0,0)到直线40ax y +-=.d ==a =又因为1b =，所以c =e ==.【点评】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.15．⎫⎪⎪⎣⎭【分析】设()00,P x y ，设出直线AB 的参数方程，利用参数的几何意义可得22||||,PA PB b a ⎡⎤∈⎣⎦,由题意得到222a b ，据此求得离心率的取值范围.【解析】设()00,P x y ，直线AB 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)代入圆2222x y a b +=+，化简得：()2222200002cos sin 0t x y t x y a b αα++++--=， ()22222222120000||||PA PB t t x y a b a b x y ∴==+--=+-+， 222200,x y b a ⎡⎤+∈⎣⎦， 22||||,PA PB b a ⎡⎤∴∈⎣⎦，存在点P ，使得22||||PA PB a b ⋅=-，222a b b ∴-，即222a b ， 222a c ∴，212e ∴，12e ≤<，故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点评】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.16．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】M 的轨迹方程为：()222,024a a x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭，联立方程化简得到222220a b x ax b a-++=，根据对应函数的对称轴计算得到答案. 【解析】椭圆上存在点M 使OM MA ⊥，即M 的轨迹方程为：()222,024a a x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.联立方程2222222124x y a b a ax y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩ ，化简得到222220a b x ax b a -++=. 易知：x a =-是方程的解，且0x =时，222220a bx ax b a-++>.方程在(),0a -上有解，只需满足：22202ax a a b a >=->-- ，解得c e a =>.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭.【点评】本题考查了椭圆的离心率问题，确定M 的轨迹方程是解题的关键. 17．2【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ．由椭圆及双曲线定义用1a ，2a 表示出1||PF ，2||PF ，在△12F PF 中根据余弦定理可得到1a ，2a 与c 的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ， 则根据椭圆及双曲线的定义：121||||2PF PF a +=，122||||2PF PF a -=，112||PF a a ∴=+，212||PF a a =-，设12||2F F c =，124F PF π∠=，则：在△12PF F 中由余弦定理得，222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π=++--+-，化简得：22212(2(24a a c +=，124+=，又1212122e e ，∴1212e e ，即1222e e ，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为2． ．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题． 18．92【解析】【分析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴为2a 2，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a 12+a 22=2c 2，由此能求出4e 12+e 22的最小值．【解析】由题意设焦距为2c ,椭圆长轴长为12a ,双曲线实轴为22a ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义1222PF PF a -=，① 由椭圆定义1212PF PF a +=，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴22212||4PF PF c +=，③①2+②2,得22221212||22PF PF a a +=+，④将④代入③,得222122a a c +=，∴[)90,110.故答案为：92.【点评】本题主要考查了双曲线与椭圆离心率的计算，用到了双曲线和椭圆的定义及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.。
椭圆的离心率练习
2019-2020学年度平远中学高二级数学第1轮周六考试卷姓名：___________班级：___________考号：___________成绩:__________一、选择题二、单选题1．已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．1(0,]2B ．C ．D ．1(,1)2【答案】C 【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥，即222(12)e a c -≥， 22(12)e e -≥，即213e ≤.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.2．设1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点.椭圆上存在一点P 使得123PF PF b -=，1294PF PF ab ⋅=.则该椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．13D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义可得122PF PF a +=，解方程可得12,PF PF ，由条件可得,a b 的方程，求得3a b =，由,,a b c 的关系和离心率公式，计算即可得到离心率． 【详解】解：由椭圆定义可得122PF PF a +=，又123PF PF b -=， 解得11|(23)2|a b PF =+，21(23)2PF a b =-， 1294PF PF ab ⋅=， 可得()22194944a b ab -=， 即为224990a ab b --=， 化为(3)(34)0b a b a -+=，可得3a b =，c ===，则该椭圆的离心率为3c e a ==． 故选：B ． 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和方程思想，考查运算能力，属于3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据90ABF ∠=︒可知1AB BF k k =-，转化成关于a ，b ，c 的关系式，再根据a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的关系，则椭圆的离心率可得．【详解】据题意，(),0A a -，()0,B b ，(),0F c ，90ABF ∠=︒，1AB BFk k ∴=-即()00100b b a c --⨯=----，21b ac∴=即2b ac =.又222c a b =-，220c a ac ∴-+=，同除2a 得210c c a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即210e e +-=e ∴=12e =.故选A . 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题．4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．12C D 【答案】D 【解析】 【分析】设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2b 与2c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-，所以，2223a c =，因此，椭圆的离心率为c e a ==== D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.5．点A 、B 为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足2MA MB=，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D 【解析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设(),0A a -，(),0B a ，(),M x y .∵动点M 满足2MA MB==22251639a a x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭. ∵MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，∴142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得a =b =∴=.故选D . 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹的求解方法，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．6．已知椭圆C ：22213x y a +=的一个焦点为()1,0，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到c 的值，再根据222a b c =+求得a ，最后代入离心率公式． 【详解】椭圆222:13x y C a +=的一个焦点为(1,0)，可得231a -=，解得2a =，所以椭圆的离心率为：12c e a ==． 故选：B. 【点睛】本题考查利用,a c 的值求解椭圆的离心率，考查简单的运算求解能力．7．已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于A ，B两点.若椭圆上存在一点P ，使四边形OAPB 是平行四边形（其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A．BCD ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据题意写出直线l ：()by x c a =+，再与椭圆联立可得12x x c +=-，12c y y b a+=，即可求出(,)P c bca-，再将P 点代入椭圆，即可解出答案。
椭圆的离心率问题
椭圆和双曲线中的离心率问题1. 已知12F F 、是椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左右焦点，过1F 的直线与椭圆相交于A B 、两点，若220,,AB AF AB AF ⋅==则椭圆的离心率为（ ）A.B. -C. 1D. 12.若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） 4.5A3.5B 2.5C 1.5D3.设P 是以12F F 、为焦点的椭圆222210)x y a b a b +=>>（上的一点，且120PF PF ⋅=，121tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率是（ ）A B 1.3C 1.2D4. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 且斜率为2的直线交椭圆E 于P Q 、两点，若12PF F ∆为直角三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）3A 2.3B 3C 1.3D5. 已知直线y x =与椭圆222210)x y a b a b+=>>（的两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )A B C 1.2D6. 椭圆222210)x y a b a b +=>>（的左焦点为F ,(,0),(0,)A a B b -是两个顶点，如果F 到直线AB ，那么椭圆的离心率为( )A B 1.2C 4.5D7. 过椭圆222210)x y a b a b +=>>（的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为（ ）2A .3B 1.2C 1.3D8. 已知椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左焦点为F ，右顶点为A ,点B 在椭圆上，且BF x ⊥ 轴，直线AB 交y 轴于点P ,若2AP PB =,则椭圆的离心率是（ ）A B 1.3C 1.2D9.椭圆222210)x y a b a b +=>>（的左顶点为A ，左、右焦点为12F F 、，D 是它短轴的一个端点，若122DF DA DF =+,则该椭圆的离心率为（ ）1.2A 1.3B 1.4C 1.5D10. 已知12F F 、是椭圆C 222210)x y a b a b +=>>（的左右焦点，P 为直线32a x =上一点，12F PF ∆是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）1.2A2.3B3.4C4.5D22. 已知F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，点P 在椭圆上，且满足122PF PF =，1230PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为____ 23.在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆222210)x y a b a b+=>>（的焦距为2c,以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过点2(,0)a P c作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________. 24.过椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ,与y 轴的交点为B ,若AM MB =,则该椭圆的离心率为_____________.25.已知12F F 、为椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，过焦点1F 的直线交椭圆于A B 、两点，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为____________.二.求离心率取值范围问题.33.已知两定点2A（-,0) 和 2B （,0),动点P x y （,)在直线 :3l y x =+ 上移动，椭圆C 以A B 、为焦点且经过点P ，求椭圆C 的离心率的最大值.为（ ）A B C D 34.已知12F F 、是椭圆C 222210)x y a b a b+=>>（的左右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A B 、两点，若2ABF ∆为钝角三角形，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）.0A（） .01)B （ .1,1)C 1,1)D35.从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的范围是223,4b b ⎡⎤⎣⎦，则这个椭圆的离心率的取值范围是（ ）.A ⎣⎦ .B ⎣⎦ .C ⎣⎦ .D ⎣⎦40.已知椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左右焦点分别为12(,0)F c F c （-,0)、，若椭圆上存在点P (异于长轴端点)，使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________.41.已知12F F 、是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，12=120F PF ∠︒，则该椭圆的离心率e 的取值范围是_______42.已知12(,0)F c F c （-,0)、为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 为椭圆上一点且212PF PF c ⋅=，则此椭圆离心率的取值范围是__________.43.已知12F F 、是椭圆222210)x y a b a b +=>>（的左右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过2F ，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________.44.已知12F F 、是椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左右焦点，M 是椭圆上一点，且满足 120F M F M ∙=,则离心率e 的取值范围是__________.40.( -1,1) 41. )1⎣ .42. ⎣⎦. 43. )1⎣. 44)1⎣+1). 46. )5⎣答案： 1-5 ABAAB 6-10 CBDBC 11-15 DDAAB 16-20 DADBB 21 A22. .23. 2.24. .25. 12.26.29. 5.30.2. 31. 2 32. 5 33-37 BAACB.38.39 B B.40.( -1,1)41. )1⎣.42. 2⎣⎦，.43. )1⎣.44)12⎣+1).46. )5⎣。
椭圆的离心率专题训练
椭圆的离心率专题训练（带详细解析）一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（2015•广西模拟）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．（2015•长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．（2015•新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，9．则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或10．（2015•怀化二模）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（2015•南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．（2015•宁城县三模）已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．18．（2015•甘肃校级模拟）设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．（2015•青羊区校级模拟）点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣120．（2015•包头一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．（2015•杭州一模）设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．（2015•宜宾模拟）直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）24．（2015•南宁三模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]25．（2015•张掖模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．（2015•永州一模）已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．（2015•江西校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△FF2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点1为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△FF2P为等腰三角形，求椭1圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a2b2，求得关于的方程求得e．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a，b和c的关系．5．（2015•广西模拟）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的2性质即可求得答案．解答：解：设|PF|=x，2∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．点评：本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF|与|PF2|及|F1F2|是关键，考1查理解与应用能力．6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．分析：在焦点△FPF2中，设P（x0，y0），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因1为，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率解答：解：设P（x，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法7．（2015•长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n ），由得到n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得到b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得到 m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：如图，Rt△MF2 F1中，tan60°==，建立关于a、c的方程，解方程求出的值．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．点评：本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法．（2015•新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，9．则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C的离心率e的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（2015•怀化二模）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆定义可知|PF|+|PF2|=2a，再利用余弦定理化简整理得1cos∠PF1F2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围，进而确定cos∠PF1F2的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心率的取值范围．解答：解：F（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），1则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e∈．故选A．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠FPF2值最大，这个结论可以记1住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．11．（2015•南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设P（asinα，bcosα），所以根据条件可得到，b2换上a2﹣c2从而可得到，再根据a，c＞0，即可解出离心率的取值范围．解答：解：设P（asinα，bcosα），A（﹣a，0），A2（a，0）；1∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及b2=a2﹣c2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P点坐标是求解本题的关键．12．（2015•宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭（a＞b＞0），运用椭圆的定义，可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A的坐标，代入椭圆方程可得离心率．解答：解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．14．（2015•宁城县三模）已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），通过|F1F2|=2|PF2|，求出椭圆的离心率e．1解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法．15．（2015•郑州二模）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．椭圆的简单性质．考点：专计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题．题：分由题意作图，从而设设点Q（x0，y0），从而由2|PF1|=3|QF1|可写出点P（﹣c﹣x0，析：﹣y0）；再由椭圆的第二定义可得|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，从而可得3（x0+）=2（﹣c ﹣x 0+），从而化简得到x 0=﹣，再由|PF 2|=|F 1F 2|及椭圆的第二定义可得3a 2+5c 2﹣8ac=0，从而解得．解答： 解：由题意作图如右图，l 1，l 2是椭圆的准线，设点Q （x 0，y 0），∵2|PF 1|=3|QF 1|，∴点P （﹣c ﹣x 0，﹣y 0）；又∵|PF 1|=|MP|，|QF 1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|， 又∵|MP|=﹣c ﹣x 0+，|QA|=x 0+， ∴3（x 0+）=2（﹣c ﹣x 0+）， 解得，x 0=﹣， ∵|PF 2|=|F 1F 2|， ∴（c+x 0+）=2c ； 将x 0=﹣代入化简可得， 3a 2+5c 2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0； 解得，=1（舍去）或=；故选：A ．点本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．评：16．（2015•绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，在Rt△AFF2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，可得∠AF2F1=60°，1在Rt△AF1F2中，可得|AF2|=c，|AF1|=c．再利用椭圆的定义即可得出．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（2015•兰州模拟）已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：由已知可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，进而在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，由∠MO F1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，结合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于a，c的方程是解答的关键，难度中档．18．（2015•甘肃校级模拟）设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知P（，y），可得F1P的中点Q的坐标，求出斜率，利用，可得y2=2b2﹣，由此可得结论．解答：解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．点评：本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定FP的中点Q的1坐标是解答该题的关键，是中档题．19．（2015•青羊区校级模拟）点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出焦点F的坐标，然后，根据△AOF为正三角形，建立等式，求解其离心率．解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题．求解离心率的解题关键是想法设法建立关于a，b，c的等量关系，然后，进行求解．20．（2015•包头一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，连接OE，OF，OM，由于△MEF为正三角形，可得∠OME=30°，OM=2b≤a，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（2015•甘肃一模）在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC是锐角三角形，可得∠BAD＜45°，且1＞，化为，解出即可．解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（2015•杭州一模）设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|FF2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则1|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：可设|FF2|=2c，|AF1|=m，1若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键．23．（2015•宜宾模拟）直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F2是椭圆的右焦点．由•=0，可得BF⊥AF，再由O点为AB的中点，OF=OF2．可得四边形AFBF2是矩形．设∠ABF=θ，可得BF=2cco sθ，BF2=AF=2csinθ，利用椭圆的定义可得BF+BF2=2a，可得e=，即可得出．解答：解：设F是椭圆的右焦点．2∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．点评：本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．（2015•南宁三模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x0，y0），则2c2=，化为．又，可得=，利用，利用离心率计算公式即可得出．解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（2015•张掖模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x0，y0），则，可得：=．由于，可得=c2，化为=，利用，及其离心率计算公式即可得出．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．26．（2015•永州一模）已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|≤|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．点评：本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，考查直线的对称问题，属于中档题．27．（2015•山东校级模拟）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．解答：解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．28．（2015•鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用O、P、A、B四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．点评：本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．29．（2015•江西校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出e、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．1解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．点评：本题考查了两圆相切的性质、椭圆的离心率，属于难题．。