图论学习的整理笔记
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
图论期末考试整理复习资料
目录第一章图的基本概念 (1)二路和连通性 (3)第二章树 (3)第三章图的连通度 (4)第四章欧拉图与哈密尔顿图 (5)一，欧拉图 (5)二．哈密尔顿图 (6)第五章匹配与因子分解 (9)一．匹配 (9)二．偶图的覆盖于匹配 (10)三．因子分解 (11)第六章平面图 (14)二．对偶图 (16)三．平面图的判定 (17)四．平面性算法 (20)第七章图的着色 (24)一．边着色 (24)二．顶点着色 (25)第九章有向图 (30)二有向树 (30)第一章图的基本概念1.点集与边集均为有限集合的图称为有限图。
2.只有一个顶点而无边的图称为平凡图。
3.边集为空的图称为空图。
4.既没有环也没有重边的图称为简单图。
5.其他所有的图都称为复合图。
6.具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。
7.完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即），则n = 0, 1（mod 4）9. 图G 的顶点的最小度。
10. 图G 的顶点的最大度。
11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。
例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。
12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。
13.14. 频序列：定理4 一个简单图G 的n 个点的度数不能互不相同。
15. 定理5 一个n 阶图G 相和它的补图有相同的频序列。
16.17.18. 对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1)19. 定义： 联图 在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G220. 积图：积图 设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u =(u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2积图。
图论期末总结
图论期末总结一、引言图论是一门研究图和网络结构的数学学科。
图论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、化学、生物学等交叉学科中也扮演着重要的角色。
在本学期的图论课程中，我系统地学习了图论的基本概念、算法和应用，对图论的知识有了更深入的理解和认识。
在本文中，我将对本学期学习的图论知识进行总结和归纳。
二、基本概念1. 图的定义与表示：图是由一组顶点和一组边组成的数学模型。
在图中，顶点表示图中的实体，边表示顶点之间的关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
2. 图的类型：图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、简单图和多重图等。
有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。
加权图的边带有权重，非加权图的边没有权重。
简单图没有自环和平行边，多重图可以有自环和平行边。
3. 图的基本术语：顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
入度是有向图中指向该顶点的边的数量，出度是有向图中从该顶点发出的边的数量。
路径是由边连接的一系列顶点，路径的长度是指路径上边的数量。
连通图是指从一个顶点到任意其他顶点都存在路径。
三、图的算法1. 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历算法。
DFS从一个顶点出发，探索所有可能的路径，直到无法继续深入为止。
BFS从一个顶点开始，逐层探索图中的其他顶点，直到所有顶点都被访问过为止。
2. 最短路径算法：最短路径算法用来计算图中两个顶点之间的最短路径。
迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常用的最短路径算法。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过每次选择到某个顶点的最短路径来逐步扩展最短路径树。
弗洛伊德算法适用于有负权边的图，通过每次更新两个顶点之间的最短路径来逐步求解最短路径。
3. 最小生成树算法：最小生成树算法用于找到连接图中所有顶点的最小代价树。
克鲁斯卡尔算法和普林姆算法是两种常用的最小生成树算法。
克鲁斯卡尔算法通过每次选择代价最小的边来逐步扩展最小生成树。
图论学习笔记
图论学习笔记⽬录图的概念简史欧拉与⼽尼斯堡七桥问题等价问题：“欧拉⼀笔画”\(\equiv\)与任⼀个顶点相关联的边必须是偶数条。
图的基本概念图⽆向图邻接与关联邻接与关联：\((p,q)\)图另⼀种表⽰⽅法：(p,q)图图相等与特殊的图图相等、特殊的图（平凡图、零图）有向图疑惑：⽆向图是集合反⾃反、对称的关系。
有向图中为保证反⾃反性，去掉了⾃⾝到⾃⾝的有向线段\(\{(v,v)|v \in V\}\)。
但是，图是不允许存在⾃⾝到⾃⾝的边吗？答案：是的。
图的表⽰图解法与邻接矩阵法图解法与邻接矩阵法：问题：关系的闭包在图中的意义是什么？图模型利⽤图建模现实问题，并⽤图的理论加以解决的能⼒。
例⼦：结婚问题、地图与导航⼦图⼦图概念⽣成⼦图特例：⽣成⼦图记号：去除顶点u，去除边{u,v}尤其地，注意去除边的记号不是去除u、v两个顶点。
导出⼦图（1）顶点导出⼦图：若V1⊆V(G)，则以V1为顶点集，以两个顶点均在V1中的边集组成的图，称为图G的顶点导出⼦图，记为G(V1)。
例如：求G(V1)，V1 ={1,3,5}则G(V1)为（2）边的导出⼦图：若E1⊆E(G),则以E1为边集，以E1中所有边的顶点为顶点集组成的图，称为图G的边的导出⼦图，记为G(E1)。
例如：求G(E1)，E1 = {13,24,35}则G(E1)为度度的概念定理1——握⼿定理【定理1】握⼿定理证明：每⼀条边对度数总和的贡献为2（每⼀条边对应两个顶点），由于共有q个边，故度数总和为2q。
推论1：握过奇数次数⼿的⼈为偶数个。
证明：将⼈分为两类，握奇数次⼿\(V_1\)和握偶数次⼿\(V_2\)，那么，\(V_1\)与\(V_2\)中顶点的度数总和为偶数（2q），同时，\(V_2\)的度数之和必然为偶数，那么，\(V_1\)的度数之和必然为偶数（偶数-偶数=偶数），同时，由于\(V_1\)中均是握奇数次⼿（\(V_1\)中各顶点度均为奇数），那么，\(V_1\)中顶点数必为偶数个（偶数个奇数之和=偶数）。
图论(Graph Theory)学习笔记4
图论学习笔记（4）基本概念并：若图G与图H不相交，则G与H的并G∪H是一个新的图，它的结点集V(G∪H) = V(G)∪V(H)，边集E(G∪H) = E(G)∪E(H)，因此，G∪H是由图G和图H的副本组成。
和：两个不相交的图G与H的和G+H是指在G∪H的基础上，增加图G的每个结点与图H 的每个结点相连接得到的边。
当n ≥3时，轮W1,n是指K1与Cn的和，即W1,n=K1+Cn。
对图G1,G2,G3,...,Gk的序列和（sequence join）G1+G2+G3+...+Gk是在每个图的副本基础上，再增加连接图Gi和Gi+1任意结点的边，其中1 ≤i ≤k-1。
边的删除：若要删除图中的边，仅删除边即可，不删除与之关联的结点。
若e是图G的一条边，则G-e是指从图G中删除e。
结点的删除：若v是图G的结点，则G-v是指从图G中删除结点v，并将所有与结点v相关联的边删除。
图G的补图满足V() = V(G)，并且当且仅当uv不属于E(G)时，uv∈E(G)。
当且仅当图G与其补图同构时，称图G为自补图。
超立方体Qn是递归定义的（即在定义了第一个之后，每一个超立方体是由它前一个构造得到的），定义如下：Q1=K2，Qn=K2×Qn-1。
注：|V(Qn)|=2n网格（grid）：n-网格M(a1,a2,...,an)是由阶数分别为a1,a2,...,an的路的笛卡尔积构成，即M(a1,a2,...,an)=Pa1Pa2,...,Pan。
对任意图G，线图L(G)的结点集是由图G的边组成。
边收缩：设uv是图G的一条边，将结点u,v去掉，并将于这两个结点相关联的边也去掉，然后增加一个结点uv*，uv*与原来和u,v两结点相邻接的结点邻接，如此得到新图G/uv。
基本定理定理4.1 非连通图的补图是连通图。
定理4.2 若图G为自补图，则它的阶n一定可以表示为4k或者4k+1的形式，其中k为非负整数，且图G有n(n-1)/4条边。
图论笔记
基本概念图（graph）是数学关系的表示，由非空节点集V和有限边集E组成。
不同节点组成的无序对称作边（edge）。
设图G，若令V={v1,v2,...,v n}是包含n个节点的集合，其m条边的集合E={e1,e2,...,e m}，其中，每一条边都是集合V的二元素子集{v i,v j}，简记为v i v j或v j v i。
集合V(G)中的基数n表示图的阶（rank）。
集合E(G)中的基数m表示图的规模（size）。
若v i∈V(G)，v j∈V(G)，且v i v j组成的节点对v i v j∈E(G)，或者说v i v j 是图G的边，则称v i和v j邻接（adjacency），否则，称v i和v j不邻接（unadjacency）。
结点的度（degree）是指与v邻接的节点数，记作deg(v)，若特指图G的结点v的度就写作deg G(v)。
边v i v j与v i和v j相关联（relevancy）。
度为零的点称作孤立点（isolated point）。
度为1的结点称为端结点（end point），若是一个很像树的图，度为1的结点又称为叶子（leaf）。
图G的最小度（min degree）是指所有结点中的最小度数，记作δ(G)。
图G的最大度（max degree）是指所有结点中的最大度数，记作Δ(G)。
若图G的所有结点有相同的度数，那么δ(G)=Δ(G)，图G称为正则图（regular graph）。
若图G的所有结点的度都是r，则图G称为r-正则图（r-regular graph）。
基本定理欧拉定理在任何图中，结点度的总和等于边数的两倍。
推论在任何图中，结点度的总和是一个非负偶数。
图论(Graph Theory)学习笔记2
图论学习笔记（2）基本概念设图G，u∈V(G)，v∈V(G)，u-v通道（u-v path）是指从结点u出发，经过一个交互的结点和边的序列，最后回到结点v的路径，其中连续的结点和边是关联的。
通道的长度（length）是指通道经过边的数量。
若一个通道中没有重复的边，则称该通道为迹（trace）。
（注：迹中的结点是可以重复的）若迹开始和结束于相同的结点，则称该迹是闭的（closed），称该迹为回路（loop）。
若一个通道中没有重复的节点，则称该通道为路（pathway）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则一个将u和v连接起来的路称为u-v路（u-v pathway）。
注：显然，如果结点不重复，则边必然不重复，所以，一个路也是迹，一个闭路称为圈（circle）。
若图中的任意两个结点间都存在路，则称此图为连通图（connected graph），否则，称之为非连通图（disconnected graph）。
在连通图中，各个分支称为连通分量，严格来说，图的连通分量指的是极大连通子图（[unknown]）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则节点u和v之间的测地线路是指长度最短的u-v路，简称测地线（geodesic）。
注：当你要在最短时间内从u到达v，测地线路是你的最佳选择。
途中可能存在多条测地线路。
测地线路也常被称为最短路。
图G的结点集V(G)，边集E(G)。
当图H满足结点集V(H)的子集，边集E(H)是E(G)的子集，边界对每一条边e=uv∈E(H)，其中u∈V(H)，v∈V(H)，则称图H是G的子图（subgraph），通常称图G为图H的超图（supergraph）。
定义结点都给以标号的图称为标记图（labeled graph），否则，称为非标记图（unlabeled graph）。
注：对标记图G，若S⊆V(G)，并且在标记图G中共有k条边连接了S中的所有结点，那么，G的以S为结点集的子图数为2k。
若V(H)=V(G)，则称子图H是图G的生成子图（spanning subgraph）。
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
图论(Graph Theory)学习笔记3
图论学习笔记（3）基本概念图G中的结点u与v相邻接当且仅当它们在图H中的相应结点也邻接，则称图G与图H是同构的（isomorphic），记作G≈H，否则，称两者为非同构的（nonisomorphic）。
用函数描述同构：图G与图H同构，即存在一个一一映射函数 f : V(G) →V(H)，此时，图G中任何结点对u和v邻接当且仅当f(v)和f(u)在图H中邻接。
函数f 称作从G到H的同构函数（isomorphic function）。
相关推论：令函数 f : V(G) →V(H)为图G与图H的同构函数，那么，对任意结点u∈V(G),都有deg(u)=deg(v)，换句话说，如果两个图同构，则对应的结点有相同的度数。
设图G与H同构，同构函数为 f : V(G) →H(G)。
若在图G中，结点v1与v2间的测地线为v1,v2,v3,...,vk，则在图H中，f(v1),f(v2),f(v3),...,f(vk)是结点f(v1)与f(vk)间的测地线。
含n个结点的图G的度序列（degree sequence）是指按照节点度数排列的n-元非递增序列。
若一个非负整数的非递增序列S可以表示某个图的度序列，则称序列S是可绘的。
注：非递增序列可绘⇒图的结点度数之和是非负偶数。
相关算法：可绘图度序列的判定算法从序列S中删除第一个数k。
如果S的第一个数后的k个数都大于等于1，则将这k个数分别都减去1得到新序列S'；否则，停止，得出元序列不可绘图的结论。
若S'全是0，停止，得原序列为可绘图。
将步骤2得到的序列S'重新排序，得到非递增序列S*。
令S=S*，转不骤1。
图常量是指根据图的某个性质定义的函数，即同构图将具有相同的函数值。
注：如果f 是图常量，而f(G) ≠f(H)，则图G于图H不同构。
用来说明图是否同构的一些量：结点个数连通分量个数边数度序列具有给定唯一度数结点对间的测地线长度图中的最长路具有唯一度数结点的邻接点的度基本定理定理3.1 设S是由以上算法得到的序列，那么当且仅当S'是可绘图序列时，S是可绘图序列。
图论基础知识汇总
图论基础知识汇总(总32页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
图论课期末总结
图论课期末总结首先，我在课程中学习了图的基本概念和性质。
图是由一组顶点和一组边组成的数据结构，可以用来描述很多现实生活中的问题。
在图的定义中，顶点表示问题中的对象，而边表示对象之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，有向边表示关系有方向性，无向边表示关系无方向性。
另外，图还可以分为带权图和非带权图，带权图中的边上有权重，非带权图中的边没有权重。
接着，我学习了图的连通性和路径的概念。
在图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，那么这个图就是连通的。
连通图中的任意两个顶点都是连通的，非连通图中存在孤立的顶点。
路径是从一个顶点出发，经过若干个顶点，到达另一个顶点的序列。
在有向图中，路径有方向性，即从起点到终点的方向。
而在无向图中，路径没有方向性，即可以从任意一端出发。
然后，我学习了图的表示方法。
常见的图的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中数组的行和列分别代表图的顶点，数组元素的值表示顶点之间是否有边相连。
邻接表是由一组链表组成的数据结构，链表的每个节点表示一个顶点，链表节点中存储了与该顶点相邻的其他顶点。
除了学习图的基本概念和表示方法，我还学习了一些图的算法和应用。
其中包括最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
最短路径算法是用来寻找图中两个顶点之间最短路径的算法，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法是用来寻找连通图中一棵包含所有顶点的生成树的算法，其中最著名的算法是Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法是用来解决网络中最大流和最小割问题的算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
在图的应用方面，图论在计算机科学、通信网络、交通运输等领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，图可以用来表示网页链接、社交网络和路由问题等。
在通信网络中，图可以用来建模网络拓扑和路由算法。
在交通运输中，图可以用来建模交通流量和路径规划。
图论第一章笔记
1 图的基本概念 1.1 图论发展史 1.2 图论定义 1.2.1 图G设V(G)={v 1,v 2,…v p }是一个有限非空集合，E(G)={e 1,e 2,…e q }是与V(G)不相交的有限集合。
一个图G 是指一个有序三元组G=(V(G),E(G),ψG )，其中ψG 是关联函数。
p=|V|，称为图G 的点数(阶数) q=|E|，称为图G 的边数⎩⎨⎧相邻：点与点，边与边关联：点与边顶点：V(G)中的元素 边：E(G)中的元素 环：两个端点重合多重边：关联于同一对顶点的两条或两条以上的边 简单图：没有环和多重边有限图：顶点集V(G)和边集E(G)都是有限集 无限图：平凡图：只有一个顶点所构成的图 非平凡图：1.2.2 同构：设G 1=(V 1,E 1)与G 2=(V 2,E 2)是两个图，若存在一一对应φ1：V 1→V 2及一一对应φ2：E 1→E 2,使对每条边e,e=uv ∈E 1当且仅当φ2(e)=φ1(u)φ1(v)∈E 2，则称G 1和G 2是同构的，记为G 1≌G 21.2.4 有向图 D=(V(D),A(D),ψD )基础图： 定向图：1.3 顶点的度1.3.1 图G=(V,E)中，与顶点v 相关联的边数(每个环计算二次)，称为顶点v 的度，记为d G (v)或d(V)Δ(G)最大度:Δ(G)=max{d(v 1),d(v 2),…d(v p )} δ(G)最小度:δ(G)=min{d(v 1),d(v 2),…d(v p )} 度序列：(d(v 1),d(v 2),…d(v p ))邻域：设S 是V(G)的一个非空子集，v 是G 的任一顶点，N S (v)={u|u ∈S ，uv ∈E(G)} 1.3.2 正则图：图G 中所有点v i 的度d(v i )相同 定理 1.3.1 对每一个图G=(V ,E),均有)(2)(G q V dVv G=∑∈简记：度是边数的两倍 奇点：度为奇数的点 偶点：度为偶数的点推论：对每一个图G=(V ,E),奇点的个数为偶数证明：我们把图G 的顶点集划分为两部分V 1和V 2,其中，V 1是所有的奇点，V 2是所有的偶点，则V=V 1∪V 2，V 1∩V 2=∅，由定理 1.3.1 得∑∑∑∈∈∈+==21)()()()(2V v G V v G Vv G V d V d V d G q而∑∈2)(V v GV d是偶数，所以∑∈1)(V v G V d 也是一个偶数，即推得|V 1|是偶数推论 1.3.3 非负整数序列(d(v 1),d(v 2),…d(v p ))是某个图的度序列当且仅当∑=pi id1是偶数。
图论(Graph Theory)学习笔记5
图论学习笔记（5）
树
基本概念
若一个图的任何子图都不是圈，则称此图为无圈图。
连通无圈图称为树（tree）。
若一个连通图删除某便后变为非连通的，则被删除的边称为图的桥（bridge），故树的每一条边都是桥。
注：对于非连通图来说，如果删除某边会增加连通分量的数目，则此边也同样称为图的桥。
森林是指所有连通分量都为树的图。
若一棵有根数每个结点的至多有两个孩子，则称该树为二叉树（binary tree）。
若出叶子外的其他所有结点都有两个孩子，则称该二叉树为完全二叉树（complete binary tree）。
若一个图连通且含有一个圈，则称该图为单圈图。
基本性质
P5.1 每个非平凡树至少有两个端结点。
P5.2 删除树的任意一条边都会变为非连通图。
P5.3 对树的任意给定的两个结点x、y，树中存在唯一一条x-y路，故此路为测地线。
换句话说，在图中两结点中没有可供选择的其他路可走。
P5.4 若树有n个结点，q条边，则q = n - 1，故树是最小连通的。
基本定理
定理 5.1 设S为n个正整数组成的序列d1,d2,...,dn，其中d1≥d2≥...≥dn，并且d1+d2+...+dn=2(n-1)，其度序列为S。
定理5.2 对一非平凡树T，度为i的结点数记为ni。
n1=2+n3+2n4+3n5+...。
补充内容
判断树是否同构的方法是比较它们的度序列、最长路的长度和对给定的唯一度数相应结点间
最短的长度。
图论知识点总结笔记
图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。
图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。
2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。
边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。
根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。
3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。
对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。
4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。
在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。
5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。
若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。
基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。
6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。
子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。
二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。
对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。
2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。
对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。
3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。
关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。
三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。
图论-总结
第一节 图论发展概述-----了解
第二节 图的基本定义
设V是一个非空集合，V的一切二个元素所构成 子集记为P2(V)，即P2(V)={A|AV且|A|=2}；
２.１无向图
定(义V,1E)设称V为是一一个个无非向空图有。限集合，EP2(V)，二元组 2.2 顶点的度 定义2 设v为图G=(V，E)的任一顶点，G中与v邻接的
习题
1. 2.设G是无向图，证明：若δ(G)≥m，则图中包含 长至少为m+1的圈。
3.每个自补图必有4n或4n+1个顶点(n为正整数) 4. 设A={v1,v2,…,vp}，q≤p(p-1)/2。试求以V为顶 点集具有q条边的无向图的个数。 5.设m,n是正整数，则 (1) m,n满足什么条件时，Km,n是偶拉图？ (2) m,n满足什么条件时，Km,n是哈密顿图？ 6. 对于P个顶点的完全图Kp，则 (1)Kp一定是完全图吗？ (2)Kp一定是哈密顿图吗？
第二节 生成树 2.1生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图T=(V，F)是 树，则称T是G的生成树。
2.2 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
2.3 怎样求(最小)生成树(破圈法) 2.4 树的弦
定义3 设T是连通图G的生成树，G的不是T的边称为T的弦。 说明: (1) 若G是一个(p,q)连通图，T是G的生成树，则T有
个命题正确吗？为什么？ 5.设树中有2n个度为1的顶点，有2n个度为2的顶，
有n个度为3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多 少条边？ 6.恰有两个顶点的度为1的树是一条通路。
第四章 平面图和图的着色
高中图论知识点总结
高中图论知识点总结图论是离散数学中的一个重要分支，是研究图与网络结构的数学理论。
图论的研究对象是图，图由顶点集合和边集合组成，通过顶点和边的连接关系描述了事物之间的关系。
图论在计算机科学、网络科学、社交网络分析等领域有着广泛的应用。
下面将对高中图论的知识点进行总结。
一、图的基本概念1.1 图的定义图（Graph）是由非空的顶点集和边集组成的一个数学模型。
无向图是边不带方向的图，有向图是边带有方向的图，边上有权值的图称为加权图。
1.2 图的表示图可以通过邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是将图的边关系存储在一个二维数组中，邻接表是将每个顶点的邻接顶点列表存储在链表或数组中。
1.3 图的分类图可以根据边的性质分为简单图、多重图、完全图等不同类型。
二、图的遍历2.1 深度优先搜索深度优先搜索（DFS）是一种用于遍历图或树的算法，通过递归或栈的方式实现。
DFS从某一顶点出发，访问它的一个邻接点，然后再访问这个邻接点的一个邻接点，依次进行下去，直到不能继续为止。
DFS的应用包括路径查找、连通性判断、拓扑排序等。
2.2 广度优先搜索广度优先搜索（BFS）是一种用于遍历图或树的算法，通过队列的方式实现。
BFS从某一顶点出发，先访问它的所有邻接点，然后再依次访问这些邻接点的所有未被访问的邻接点，依次进行下去，直到不能继续为止。
BFS的应用包括最短路径查找、连通性判断等。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，通过维护一个距离数组和一个已访问顶点集合来不断更新到达各顶点的最短路径。
Dijkstra算法适用于边权值非负的加权图。
3.2 Floyd算法Floyd算法是一种用于求解所有顶点对之间的最短路径的算法，通过动态规划的方式实现。
Floyd算法适用于有向图和无向图。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法是一种用于求解无向连通图的最小生成树的算法，通过维护一个顶点集合和一个边集合来逐步构建最小生成树。
总结-图论
生成树
设 T 为无向连通图 G 中一棵生成树，e 为 T 的任意一条弦，则 T ∪e 中含 G 中只含一条弦其余边均为树枝的圈，而且不同的弦对应的圈 也不同。
设 T 是连通图 G 的一棵生成树，e 为 T 的树枝，则G 中存在只含树 枝 e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对应的割集也不同。
r 叉完全正则树——树叶的层数均为树高的 r 叉正则树
r 叉完全正则有序树——r 叉完全正则树是有序的的
平面图
G 是可平面图或平面图——如果能将无向图 G 画在平面 上，使得除顶 点处外无边相交。
G 的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。 非平面图——无平面嵌入的图。
K5 和 K3,3 都不是平面图。
平面图
(1)设 T 为根树，若将 T 中层数相同的顶点都标定次序，
则称 T 为有序树。 (2)分类：根据根树 T 中每个分支点儿子数以及是否有序 r 叉树——每个分支点至多有 r 个儿子
r 叉有序树——r 叉树是有序的
r 叉正则树——每个分支点恰有 r 个儿子 r 叉正则有序树——r 叉正则树是有序的
T 是 n (n≥2) 阶有向树， (1) T 为根树— T 中有一个顶点入度为 0， 其余顶点的入度均为 1
(2) 树根——入度为 0 的顶点
(3) 树叶——入度为 1，出度为 0 的顶点 (4) 内点——入度为 1，出度不为 0 的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称 (6) 顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7) 树高——T 中层数最大顶点的层数 (8) 根树——平凡树(规定)
d
i 1
n
i
0( mod 2)
图的基本概念
图同构、子图、生成子图、导出子图等。
图论(Graph Theory)学习笔记9
图论学习笔记（9）距离与连通性基本概念设u和v为图G中给定的两个结点，则两者间的距离是指G中任意u-v测地线中边的数目，记作d(u,v)。
图论中的距离函数满足如下公理（这三个公理称为三角不等式）：d(u,v) ≥0，当且仅当u = v 时，d(u,v) = 0。
对任意结点u、v都有d(u,v) = d(v,u)。
对任意结点u、v和w都有d(u,v) ≤d(u,v) + d(w,v)。
设v为图G的给定结点，v的偏心距是指v与和它相距最远的结点间的距离e(v)，用数学公式表示为：e(v) = d(u,v)。
相关结论：对图G的某个结点v若有e(v) = t，则：图G的任意其他结点与v间的距离都不大于t。
图G中至少存在一个结点与v间的距离为t。
若结点w满足d(v,w) = e(v)，则称w为偏心结点。
若两个结点中的任意一个都是另一个的偏心结点，则称它们是互为偏心的。
图G的所有结点中最小偏心距称为G的半径，记作rad(G)。
具有最小偏心距的结点组成的集合称为G的中心，记作C(G)。
图G的边界是指具有最大偏心距的结点组成的集合，记作P(G)。
图G中最大偏心距称为G的直径，记作diam(G)。
非平凡图的边界至少包含一对结点u、v，满足d(u,v) = diam(G)，此对结点称为相对结点对或者径向结点对，其中的一个结点为另一个结点的相对结点。
相对结点总是互为偏心的。
注：其逆命题不成立。
中心结点集中的某个结点与其偏心结点间的测地线称为半径路，其长度必然是rad(G)。
相对结点对间的测地线称为直径路，其长度必然是diam(G)。
图论(Graph Theory)学习笔记8
图论学习笔记（8）基本概念图的匹配M是有一些边组成的集合，其中的任何两个边都不关联。
注：设X，Y是二分图G中的两个部分，则图G一个匹配中的每一条边关联的两个结点满足：一个在X中，另一个在Y中。
事实上，图G的每条边也都满足。
若X中的每个结点都关联于匹配M中的一条边，则称M为从X到Y的一个完全匹配。
注：此时M未必是从Y到X的一个完全匹配。
若M是从X到Y的一个完全匹配也是从Y到X的一个完全匹配，则称M为一个完美匹配。
这要求|X| = |Y|，即图G是平衡的，从X到Y的一个完全匹配仅要求|X|≤|Y|。
若匹配M在图G的所有匹配中最大，则称M为最大匹配。
也就是说，若M'是图G的任意一个匹配，则|M'|≤|M|。
若不存在更大的匹配M'包含匹配M，则称M为一个极大匹配。
因此，极大匹配是指不能通过增加边而扩大的匹配。
设M是图G的一个匹配。
图G的M-交错路是由在M中的边和不再M中的边交替出现构成的。
若结点v与M中的某条边相关联，则称v为M-匹配的，否则，称v为M-不匹配的。
M-增广路是指连接两个M-不匹配结点的交错路。
注：M-增广路不必包含M的所有边。
M-增广路开始并终止于不在M中的边。
基本定理定理8.1 Berge匹配定理图G的匹配M是最大匹配当且仅当G中没有M-增广路。
预备：对于结点v，用n(v)表示所有与v邻接的结点集。
对于图G结点集的任意子集S，N(S)表示所有与S中的结点相邻接的结点集的并集，即N(S)=n(v)。
定理8.2 Hall匹配定理二分图G的两个部分为X、Y，若存在从X到Y的完全匹配当且仅当对任意S⊆X，都有|N(S)|≥|S|。
定理8.3 Hall婚配定理二分图G的两个部分X、Y满足|X| = |Y|时，图G存在完美匹配当且仅当对任意子集S⊆X，都有|N(S)| ≥|S|。
引理8.3.1 正则二分图G一定平衡，即G的两个部分X、Y一定有相同的结点数。
定理8.4 若二分图是正则图，则它一定存在完美匹配。
图论概念定理知识点梳理
图论基本知识点梳理第一部分（基本概念）1.G 连通的充分必要条件是1)(=G ω。
或若k G V 2|)(|=，且对)(G V v ∈∀，有k v d ≥)(，则G 是连通图。
4.图G 为二分图当且仅当G 中无奇圈。
5.在仅两个奇次顶点的图中，此二奇次顶点连通。
6.设G 为简单图，若2)(≥G δ，则G 中有圈。
7. 设G 为简单图，若3)(≥G δ，则G 中有偶圈。
具体地，(1)单星妖怪中有偶圈。
(2)在-k 正则图G 中，若3≥k ，则G 中有偶圈。
8.简单图G 与其补图c G 不能都不连通。
9.在2∆的三角剖分中，正常三角形为奇数个。
10.以下等价(1) G 是树（无圈连通图）。
(2) G 中任两顶点间恰有一条轨。
(3) G 无圈，1-=νε。
(4) G 是连通图，1-=νε 。
(5) G 是连通图，且对G 的任意边e ，e G -不连通。
（树每边皆割边）(6) G 无圈，且对任一不在)(G E 的边e ，e G +恰含一个圈。
11. 若G 连通，则1)()(-≥G G νε。
G 的生成树是G 最小的连通生成子图。
12. G 是连通图的充分必要条件是G 有生成树。
13. 2≥ν的树T 至少有两个叶。
14.完全图n K 的生成树个数2)(-=n n n K τ。
15. 图G 可平面嵌入的充分必要条件是G 可以球面嵌入。
（染地球上各国等价于染地图上各国）16. （Euler 公式） G 是连通平面图, 则2=+-φεν.17. 证明：若G 是3≥ν的连通平面图，则63-≤νε。
18. 证明：平面图G 的最小顶点次数5≤δ。
19 3≥ν平面图G 是极大平面图的充要条件是G 的平面嵌入的每个面皆三角形。
3≥ν平面图G 是极大平面图的充要条件是63-=νε。
20 G 是平面图当且仅当G 中不含与5K 和3,3K 同胚的子图。
21M 是图G 的最大匹配当且仅当G 中无M 的可增广轨。
22婚配定理：设G 是具有二分类),(Y X 的偶图，存在把X 中顶点皆许配的匹配的充要条件是|||)(|,S S N X S ≥⊆∀，其中)(S N 是S 中每个顶点的邻点组成的所谓S 的邻集。
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图论学习整理
图论程序整理出来
程序中图可以用邻接矩阵
Dijkstra算法
Floyd算法
Kruskal算法
Prim算法
算法类型：最短路，网络流，二分图算法。
解释：
最短路问题：（Dijkstra，Floyd算法）
最小生成树问题：连接多个节点费用最低（Prim，Kruskal算法）图的匹配问题：（匈牙利算法）
遍历性问题
最大流问题
运输问题：完成运输问题，并寻求运输费用最小方案
Matlab程序：
n=8;A=[0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf
2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf
8 6 0 7 5 1 2 Inf
1 Inf 7 0 Inf Inf 9 Inf
Inf 1 5 Inf 0 3 Inf 8
Inf Inf 1 Inf 3 0 4 6
Inf Inf 2 9 Inf 4 0 3
Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0]; % MATLAB 中, Inf 表示∞
D=A; %赋初值
for(i=1:n)for(j=1:n)R(i,j)=j;end;end %赋路径初值
for(k=1:n)for(i=1:n)for(j=1:n)if(D(i,k)+D(k,j)<D(i,j))D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); %更新dij
R(i,j)=k;end;end;end %更新rij
k %显示迭代步数
D %显示每步迭代后的路长
R %显示每步迭代后的路径
pd=0;for i=1:n %含有负权时
if(D(i,i)<0)pd=1;break;end;end %存在一条含有顶点vi 的负回路
if(pd)break;end %存在一条负回路, 终止程序
end %程序结束
求最小费用最大流matlab代码
n=5;C=[0 15 16 0 0
0 0 0 13 14
0 11 0 17 0
0 0 0 0 8
0 0 0 0 0]; %弧容量
b=[0 4 1 0 0
0 0 0 6 1
0 2 0 3 0
0 0 0 0 2
0 0 0 0 0]; %弧上单位流量的费用
wf=0;wf0=Inf; %wf 表示最大流量, wf0 表示预定的流量值
for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end %取初始可行流f 为零流
while(1)
for(i=1:n)for(j=1:n)if(j~=i)a(i,j)=Inf;end;end;end%构造有向赋权图
for(i=1:n)for(j=1:n)if(C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j);
elseif(C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)=-b(i,j);
elseif(C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j);end;end;end
for(i=2:n)p(i)=Inf;s(i)=i;end %用Ford 算法求最短路, 赋初值
for(k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs 到vt 的最短路
for(i=2:n)for(j=1:n)if(p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;pd=0;end;end;end
if(pd)break;end;end %求最短路的Ford 算法结束
if(p(n)==Inf)break;end %不存在vs 到vt 的最短路, 算法终止. 注意在求最小费用最大流时构造有dvt=Inf;t=n; %进入调整过程, dvt 表示调整量
while(1) %计算调整量
if(a(s(t),t)>0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); %前向弧调整量
elseif(a(s(t),t)<0)dvtt=f(t,s(t));end %后向弧调整量
if(dvt>dvtt)dvt=dvtt;end
if(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止计算调整量
t=s(t);end %继续调整前一段弧上的流f
pd=0;if(wf+dvt>=wf0)dvt=wf0-wf;pd=1;end%如果最大流量大于或等于预定的流量值
t=n;while(1) %调整过程
if(a(s(t),t)>0)f(s(t),t)=f(s(t),t)+dvt; %前向弧调整
elseif(a(s(t),t)<0)f(t,s(t))=f(t,s(t))-dvt;end %后向弧调整
if(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程
t=s(t);end
if(pd)break;end%如果最大流量达到预定的流量值
wf=0; for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end;end %计算最大流量
zwf=0;for(i=1:n)for(j=1:n)zwf=zwf+b(i,j)*f(i,j);end;end%计算最小费用。