北大版金融数学引论第二章答案

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第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。

解：

S = 1000s 20

¬p

7%+Xs 10

¬p

7%

X =

50000 − 1000s 20

¬p

7% s 10

¬p7%

=

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解： 设首次付款为X ，则有

10000 = X + 250a 48

¬%

解得

X =

3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1

。试计算该年金的现值。

解：

P V = na¬n pi

1 − v n

n

= n 1

n

=

(n + 1)n

n 2

− n n

+2 (n + 1)n

4．已知：a¬n p

= X ，a 2

¬n

p = Y

。试用X 和Y 表示d 。

解： a 2

¬n p

= a¬n

p + a¬n p

(1 − d)n

则

Y − X

d = 1 − ( X )

5．已知：a¬7

p

= , a 11

¬p

= , a 18

¬p

= 。计算i 。

解：

a 18

¬p = a¬7

p + a 11

¬p v 7

解得

6.证明：

1 1−v

=

s

i = %

¬+a¬。

s¬

北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

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证明：

s 10

¬p + a ∞¬p

(1+i)−1+1

1 s 10

¬p

=

i (1+i)−1

i

i

= 1 − v 10

7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。

解：

P V = 100a¬8p3% + 100a 20¬p 3% =

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日

1000¨25¬p8%=X¨15¬p7%

解得

9．已知贴现率为10%，计算¨¬8

p

。

X =

解： d = 10%，则 i =1

10.求证： (1) ¨¬n

p = a¬n

p + 1 −

v n

；

1−d

− 1 =1

9

¨¬= (1 + i)

1 − v 8

i

= (2) ¨¬n

p = s¬ −n

p 1 + (1 + i)n

并给出两等式的实际解释。

证明： (1)¨¬n

p =1−d

v =1

−v =1

−v

i

+ 1

− v n

所以

(2)¨¬n

p =

(1+

i)−1

¨¬n

p = a¬n

p + 1 − v n

(1+i )−1=(1+i)−1

n

− 1

=

d

i + (1 + i)

所以¨¬

= s¬ −n p 1 + (1 + i)n

n p

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12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。

解：

P V = 100a 49¬%

− 100a¬% = AV = 100s 49

¬%

− 100s¬%

=

13.现有价值相等的两种期末年金A 和B 。年金A 在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金 额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v 10

=1

，计算Y 。

解： 因两种年金价值相等，则有

2

a 30

¬p

i +a 10

¬p

i v 10=Y a 30

¬ −p

i Y a 10¬pi v 10

所以 Y =3

−v−2v

1+v−2v

=

14.已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i 。

解： 由题意知，

2a 2

¬n

pi + 3a¬n

pi = 36

2a¬n

pi v n = 6

解得

a¬7

p

a¬3

p + s X

¬p

i = %

15.已知

a 11

¬p = a Y

¬p + s Z

¬p 。求X ，Y 和Z 。 解： 由题意得

解得 1 − v 7

1 − v 11

=

(1 + i)X

− v 3

(1 + i)Z − v Y

16.化简a 15

¬p (1 + v 15

+ v 30

)。

解：

X = 4, Y = 7, Z = 4

a 15

¬p (1 + v 15

+ v 30

) = a 45

¬p