第15届中学“希望杯”全国数学邀请赛初二年级第2试

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2004年第15届全国希望杯数学邀请赛初二第2试试卷

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题(每小题5分，共50分)1.方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有( )(A)2个(B)3个(C)5个(D)无穷多个2.若等式对任意的x(x≠±3)恒成立，则mn=( )(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-163.若x＞z，y＞z，则下列各式中一定成立的是( )(A)x+y＞4z (B)x+y＞3z (C)x+y＞2z (D)x+y＞z4.规定[a]表示不超过a的最大整数，当x=-1时，代数式2mx3-3nx+6的值为16，则[m-n]=( )(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)45.如图1，在ABCD中，AC与BD相交于O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，那么图中的全等三角形共有( )(A)5对(B)6对(C)7对(D)8对6.如图2，在直角扇形ABC内，分别以AB和AC为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D，整个图形被分成S1，S2，S3，S4四部分，则S2和S4的大小关系是( )(A)S2＜S4 (B)S2=S4(C)S2＞S4 (D)无法确定7.Given m is a real number, and |1-m|=|m|+1，simplify an algebraic expression, then =( )(A)|m|-1 (B)-|m|+1 (C)m-1 (D)-m+1(英汉小词典simplify：化简；algebraic expression：代数式)8.二(1)班共有35名学生，其中的男生和的女生骑自行车上学，那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)129.李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序：①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE中，李编辑可能回复的邮件顺序是( )(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④10.有A、B、C三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同)，设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度.已知用C尺量度，得A尺比B尺长6个单位；用A尺量度，得B尺比C尺长10个单位；则用B尺量度，A尺比C尺( )(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位(D)短5个单位二、填空题(每小题5分，共50分)11.若方程|1002x-10022|=10023的根分别是x1和x2，则x1+x2=______.12.分解因式：a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4=______.13.对于任意的自然数n，有f(n)=，则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(999)=______.14.x1，x2，x3，x4，x5，x6都是正数，且，，，，，,则x1x2x3x4x5x6=______.15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD，AE=DE，CE⊥AD，CE is a bisector to∠BCD，then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____.(英汉小词典trapezoid：梯形；bisector：平分线；ratio：比值；quadrilateral：四边形)16.已知a，b，c，d为正整数，且，，则的值是______；的值是______.17.一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是18，那么另一条直角边的长有______种可能，它的最大值是______.18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成，已知三个舱中每两个舱的长度和分别为4859mm、5000mm、5741mm，那么这三个舱中长度最大的是_____mm，长度最小的是_____mm.19.若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36，则x+2y+3z的最大值是______，最小值是_____.20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图，其中有关房产城建的热线电话有30个，那么有关环境保护的电话有_____个；如果每年按52周计算，每周接到的热线电话的数量相同，那么“市民热线”一年内接到的热线电话有______个.三、解答题(每题10分，共30分)21.民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(b＞a)时，所交费用为Q=10b-200(单位：元).(1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？(2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？(3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m 表示Q.22.如图5，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得到折痕EF.(1)证明四边形AECF是菱形；(2)计算折痕EF的长；(3)求△CEH的面积.23.如图6，用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子，点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处，其中点O与点A位于同一水平线上，相距a格，点O与点B 位于同一竖直线上，相距b格.(1)若a=5，b=4，则△OAB中(包括三条边)共有多少个格点？(2)若a，b互质，则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点？证明你的结论.(3)若a，b互质，且a＞b＞8，△OAB中(包括三条边)共有67个格点，求a，b的值.参考答案一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A1、解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+1+x-3=4，解得：x=3；第二种：当-1＜x＜3时，原方程就可化简为：x+1-x+3=4，恒成立；第三种：当x≤-1时，原方程就可化简为：-x-1+3-x=4，解得：x=-1；所以x的取值范围是：-1≤x≤3，故方程的整数解为：-1，0，1，2，3．共5个．故选C．2、3、解：∵x＞z，y＞z，∴x+y＞2z，故选C．4、5、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD．∴△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．（SSS）∵AF⊥BD于F，CE⊥BD于E，∴△ABF≌△CDE，△AFD≌△CEB，△AOF≌△COE．（AAS）故选C．6、8、设有a个男生骑车，b个女生骑车，则题目可简写成2a+3b=35，求a+b的最小值（a，b均为正整数）所以求的a为1，b为11，即班上最少有1+11=12个人骑车9、B(2)开始时,已收到A,B,刚收到C,所以,先回C回信时,又收到D,E,回完信,先回最新收到的E然后依次是D,B,A正确(3)收到A,回信回信时,又收到B,C,回完信,先回最新收到的C然后是B回信B时,又来新D,E,回完信,先回最新收到的E然后是D正确(1):E后应该是D,C错误(4):C后应该先B后A,错误10、设各自长度为30a, 30b ,30cC量时，30a-30b=6c（1）;A量时，30b-30c=10a（2）;求：30a-30c=?b(3)那么由（1）（2）可得，a=9/8b c=5/8b代入（3），可得30a-30c=15b选A。

第8-21届希望杯全国数学邀请赛(初二)试题

第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题：1．－20001999, －19991998, －999998, －1000999这四个数从小到大的排列顺序是（AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－199919982．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则y1x 1+等于（A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是（A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或15．设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是（A ）3|c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为（A ）一切偶数（B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有（A ）20001999个（B ）19992000个（C ）2001000个（D ）2001999个 8．如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，且CD ＝3AB ，EF //CD ，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（）。

八年级数学第15届“希望杯”第2试试题

山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第 15届“希望杯”第2试试题一、选择题(每小题5分，共50分) 1. 方程|x+1|+|x-3|=4 的整数解有() (A)2个(B)3个 (C)5个 (D)无穷多个m ［ 1 血2. 若等式对任意的x(x 丰± 3)恒成立，则 mn=()(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-163. 若x > z y >z ，则下列各式中一定成立的是() (A)x+y > 4z(B)x+y > 3z(C)x+y > 2z(D)x+y > z4. 规定［a ］表示不超过a 的最大整数，当x=-1时，代数式2mf-3nx+6的值为16,2则[」m-n]=()5. 如图1，在=ABCD 中, AC 与BD 相交于O, AEL BD 于E , CF 丄BD 于F ,那么图中的全等三角形共有()(A)-4(B)-3(C)3 (D)4(C)7 对(D)8 对Hi6.如图2，在直角扇形ABC 内,分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D,整个图形被分成 S 1, S, S 3, S 4四部分，贝y S 2和S 4的大小关系是((A)S 2V S 4(B)S 2=S(C)S 2> S 4(D)无法确定(B)6 对C027.Give n m is a real number, and |1-m|=|m|+1 , simplify an algebraic expression,then] £8. 二(1)班共有35名学生，其中]的男生和1的女生骑自行车上学，那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是() (A)9(B)10(C)11(D)129. 李编辑昨天按时间顺序先后收到 A B C 、D E 共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序： ①BAECD ②CEDBA ③ACBED④DCABE 中，李编辑可能回复的邮件顺序是()(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)①和④10. 有A 、B 、C 三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同)，设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度.已知用C 尺量度，得A 尺比B 尺长6个单位；用A 尺量度，得B 尺比C 尺长 10个单位；则用B 尺量度，A 尺比C 尺()(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位 (D)短5个单位二、填空题(每小题5分，共50分)11. 若方程 |1002x-1002 2|=1002 3 的根分别是 X 1 和 X 2，贝U X 1 +X 2= ___ . 12. 分解因式：a 4+2a 3b+3a 2b 2+2ab 3+b 4= ____ ._______________ 1 _______________13. 对于任意的自然数n ,有f(n)=：： ^ X 1' ,则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(999)= _____ .(A)|m|-1 (B)-|m|+1(C)m-1(D)-m+1(英汉小词典simplify化简；algebraic expressi on:代数式))-314414.X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 都是正数，且 =6,贝 VX 1X 2X 3X 4X 5X 6=15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD AE 』DE CEL AD CE is a bisector to / BCD then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____ (英汉小词典trapezoid :梯形；bisector :平分线；ratio :比值； quadrilateral :四边形) b 4d-7 b -h 1 7(d -1) £ Figure 316.已知a ，b ，c ，d 为正整数，且•- - ， - ，则-的值是 ______ ; h 的值是 ________ 17. 一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是 18,那么另一条直角边的长有 _______ 种可能，它的最大值是 ________ . 18. “神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成，已知三个舱中每两个舱的长度和分别为4859mm 5000mm 5741mm 那么这r 三个舱中长度最大的是 ________ mm 长度最小的是 ____ mm. 19. 若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36 ，贝U x+2y+3z 的最大值是 ____ ，最小值是 _____ . 20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图，其中有关房产城建的热线电话有30个，那么有关环境保护的电话有 _________ 个；如果每年按52周计算「，每周接到的热线电话的数量相同，那么“市民热线” 一年内接到的热线电话有 ___ 个. 唐产域淫道路 36■/环境保护三、解答题(每题10分，共30分)苴它方面21.民航规定：旅客可以免费携带a 千克物品，若超过a 千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(b > a)时，所交费用为Q=10b-200(单位: 元).(1) 小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？(2) 小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？(3) 若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m 表示Q.22. 如图5, —张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在一起，得到折痕EF.(1) 证明四边形AECF是菱形;⑵计算折痕EF的长；⑶求A CEH的面积.23. 如图6,用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子，点O A、B均在正方形格子的顶点(格点)处，其中点0与点A位于同一水平线上，相距a格，点0与点B 位于同一竖直线上，相距b格.(1) 若a=5, b=4,则厶OAB中(包括三条边)共有多少个格点？(2) 若a, b互质，则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点？证明你的结论.⑶若a, b互质，且a> b>8,A OAB中(包括三条边)共有67个格点，求a, b的值.参考答案、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A二、11.2004 12.(a 2+b2+ab)213.5 14.6 15.7:9 16.21 ; 7 17.2 ; 8018.2941 ; 2059 19.15 ; -6 20.45 ; 7800三、21.(1)Q=35 X 10 -200=150(元);(2) 设小王携带了x千克物品，则10x-200=100，解得x=30.(3) 已知最多可以免费携带a千克物品，则10a-200=0 ,解得a=20.所以m=b-a=b-20,即b=m+20.故所交费用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).22. (1)如图1，因为AB// CD所以AF// CE CF// HE根据对称性，知/ CEH M AED因为DE、C三点共线，所以A、E、H三点共线，所以AE//CF,所以四边形AECF是平行四边形.又AF=CF 所以四边形AECF是菱形.⑵设AF=x,则• 一ICF=x, BF=9-x.在厶BCF中，C F=B F+B C,所以x2=(9-x) 2+32,解得x=5,即卩CF=5 BF=4.过E作EM L AB交AB于M,则MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1EM=3.所以EF 二J EM*十= JiF.(3) 根据对称性，知△ CEH^A AED£ ££所以S^CEH F S^AEE F 2 DE- AD=] (AF- MF) • AD< X 4X 3=6(cm2).23. (1)如图2, a=5, b=4,A OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.(2)若a，b互质，假设线段AB上存在某一点P(恰为格点)，可设点P到点O的水平距离为x,竖直距离为y(x，y均为整数)，则£ £S^AOB F S △AOF+S^BOF F二ay+ 上bx，] ] ]所以-ab=二ay+ 亠bx，即ab=ay+bx，ay=b(a-x).因为a，b互质，所以a-x是a的倍数，它与a-x v a矛盾，因此，假设不正确，即线段AB上(除A、B两点外)不存在其它格点.⑶由⑵ 知，线段AB上(除A、B两点外)不存在其它的格点.以OA OB为边作一个矩形OACB则在△ CAB中格点的个数与厶OAB中格点的个数相同，且只有A、B两点是公共的，而矩形OAC沖格点的个数为(a+1)(b+1).因此，(a+1)(b+1)+2=2 X 67=134,(a+1)(b+1)=132=2 X 2X 3X 11.由a>b>8，得a+1=12，b+1=11，即a=11，b=10.。

希望杯-第十五届全国数学邀请赛初二第2试-

第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试2004年4月18日上午8：30至10：30 得分一、选择题:（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确的英文字母填在每题后面的圆括号内。

1. 方程1+x ＋3-x = 4的整数解有（ )（A ）2个（B ）3个（C ）5个（D ）无穷多个2. 若等式3+x m － 3-x n =982-x x 对任意的 x （x ≠±3）恒成立,则mn ＝（）（A ）8 （B ）－8 （C ）16 （D ）－163. 若x ＞z ，y ＞z ，则下列各式中一定成立的是（）（A ）x ＋y ＞4z （B ）x ＋y ＞3z （C ）x ＋y ＞2z （D ）x ＋y ＞z4. 规定[a]表示不超过a 的最大整数，当x ＝－1时，代数式2mx3－3nx ＋6值为16，则[32m －n]＝( ）（A ）－4 （B ）－3 （C ）3 （D ）45. 如图1，在 □ ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF⊥BD 于F ，那么图中的全等三角形共有（ )（A ）5对（B ）6对（C ）7对（D ）8对6. 如图2，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1、S 2、S 3、S 4 四部分，则S 2和S 4的大小关系是（）（A ）S 2＜S 4 （B ）S 2＝S 4 （C ）S 2＞S 4 （D ）无法确定7. Given m is a real number ,and m -1=m ＋1，simplifyan algebraic expression ，then 122+-m m ＝（ )（A ）m －1 (B)－m ＋1 (C) m －1 (D) －m ＋1 （英汉小词典simplify ：化简；algebraic expression ：代数式）8. 二(1)班共有35名学生，其中21的男生和31的女生骑自行车上学，那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是（ )（A ）9 (B)10 (C)11 (D)129. 李编缉昨天按时间顺序先后收到A 、B 、C 、D 、E 共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE 中，李编缉可能回复的邮件顺序是( )（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④10. 有A 、B 、C 三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30 个单位（单位长度各不相同），设三把尺子的0刻度和30 刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度。

希望杯第十三届(2002年)初中二年级第二试试题

2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1.若a ≠,(A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数. (C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定.2.已知a>b>c,M=a 2b+b 2c+c 2a,N=ab 2+bc 2+ca 2,则M 与N 的大小关系是( ). (A)M<N (B)M>N (C)M=N (D)不确定的3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).(A)9时30分 (B)10时5分; (C)10时5511分 (D)9时32811分 4.有理数a 、b 、c 满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么111a b c++的值是( ).(A)是正数 (B)是零(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或05.已知a b c ===,其中m>0,那么a,b,c 的大小关系是( ). (A)a>b>c (B)c>a>b; (C)a>c>b (D)b>c>a6.已知△ABC 中,∠A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP 是BC 边上的中线,则AP 的长是( ).7.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CE ⊥AB,if ∠CEM=40°,then the value of ∠DME it( ). (A)150° (B)140° (C)135° (D)130°8.如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是两组对边延长线的交点,EG 、FG 分别平分∠BEC 、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF 的大小是( ). (A)140° (B)130° (C)120° (D)110°40︒EMDCBA80︒60︒GFEDCBA9.设a i =1989+i,当i 取1,2,3,…,100时,得到100个分式iia (如i=5,则i i a =55198951994=+),在这100个分式中,最简分式的个数是( ).(A)50 (B)58 (C)63 (D)6510.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体,那么这样的长方体( ) (A)有6种 (B)有12种 (C)有14种 (D)多于16种二、填空题:(每小题6分,共60分)11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损, 每年至少应吸收存款____________________________万元.12.化简35361015+--+,最后得_________.13.设x,y 都是有理数,且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么x-y 的值是________.14. 1516与3313的大小关系是1516________3313. (填“>”,“<”或“=”)15.If N is natural number,and 6(32)1N N <+<+,then the value of N is______.( natural number 自然数)16.如果1111a b a b+-=-+,那么(2+a)(2+b)+b 2=__________. 17.如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数,则代数式:1()21()3a b c d e f g h a b c d e f g h +++-++++++-+++=_____.18.2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的关税,我国加入WTO 后,进口车的关税将逐渐下降.预计到2006年7月1日,关税降到25%,又因为科技的发展使成本降低,到2006年7月1日,该种车的标价降到2001年的65%,那么2006年7月1日后买一辆该种轿车将比2001 年少付人民币______万元.19.在△ABC 中,∠A=40°,H 是△ABC 的垂心,且H 不与B 、C 重合,则∠BHC 的大小等于_______. 20.如图,正九边形ABCDEFGHI 中,AE=1,那么AB+AC 的长是_______.三、解答题:(21题16分,22、23题各12分)要求:写出推算过程.21.如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.PQ FED C BA22.已知在等式ax bscx d+=+中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答:(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数;(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C处标注020022+=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即010012+与100120022+,称为第三次操作;照此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少?2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,,选(A).2.M-N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)= a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)∵ a>b>c ∴ b-c>0,c-a<0,a-b>0∵a2(b-c)≥0,b2(c-a)≤0,c2(a-b) ≥0∴a2(b-c)+c2(a-b)> b2(c-a)∴ M-N>0.选(B).3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位,360112602=⨯(度/分钟)分针转动速度是36060=6(度/分钟)再成直角所用时间为18180(6)32211÷-=(分钟)所以下一次时针与分针成直角时间是83211分,选(D).4.由abc<0知a、b、c均不为0.∴(ab+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0ab+bc+ca=-12(a2+b2+c+2)<0∴111bc ac aba b c abc++++=>，选(A)5.∵1ab=<，∴a>b;1bc=<, ∴c>b1ac=>,∴a>c ∴ a>c>b.选(C).6.如图延长中线AP到E,使PE=AP,连接EB,可得△ABC≌△APC,∴∠E=∠PAC, BE=AC=b.∴∠PAB+∠E=∠CAB=60°∴∠ABE=120°;作EF⊥AB延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60°∴∠BEF=300∴BF=12BE=12b.在Rt△BEF中,根据勾股定理:EF2=b2+22324b b⎛⎫=⎪⎝⎭.PFECBA在Rt △AEF 中,根据勾股定理=.∴ PA=12AE=12选(B)7.如图,连接CM,作MN ⊥EC 于N.∵ AB ⊥CE ∴MN ∥AB,且MN ∥CD,从N 为梯形AECD 的中位数. 由MN ⊥CE,MN 是EC 边中线,∴△EMC 为等腰△,∴∠ECM=∠MEC=40° ∠EMC=180°-2×40°=100° ∵ ∠ECD=∠AEC=90°,∴∠MCD=90°-40°=50°, 又∵ DC=12AD=DM,∴∠MCD=∠DMC=50°,∴ ∠EMD=∠EMC+∠CMD=100°+50°=150°.选(A) 8. 2∠4=360°-(60°-∠E)-(180°-∠F) =220°+∠E+∠F∵ ∠4=110°+12∠E+12∠F,0011260,38022E F ∠=-∠∠=-∠, ∴∠C=3600-(∠4+∠2+∠3)=3600-1100-12∠E-12∠F-600+12∠E-800+12∠F=360°-110°-60°-80°=110°选(D).9.当i=3n(n ≤33);i=13n(n ≤7);i=17n(n ≤5)这些数时;iia 不是质数, 这样的数共有: 33+7+5=45(个)其中i=13×3=39,i=13×6=78与i=17×3=51时,与i=3n 中的39,78,51重复, 所以不是质数的数共有 45-3=42个.所以100个分式中最简分式的个数是100-42=58个. 选(B).10.∵ x 3=2002=1×2×7×11×13,把1、2、7、11、13组成三数的乘积. 有如下14种: 1×1×2002 1×2×1001 1×7×286 1×11×182 1×13×154 1×14×143 1×22×91 1×26×77 2×7×143 7×11×26 11×2×91 13×2×77 14×11×13 22×7×13 选(C). 二、11.设每年至少应吸收存款x 万元,4.05 2.251017100100x x =++ x=1500万元应填1500.432180︒60︒GFEDCBA12.原式=.13.1142332x x y yπππ+++=+,3223246x x y yπππ+++=+(32)(23)246x y x yππ+++=+∴3224236x yx y+=⎧⎨+=⎩,得126xy y=⎧⎨==-⎩∴x-y=18.14.1516-3313=316·516-313·1113=313(35·56-1113)=313(33·53·513-1113)=313(153·53-1113)显然,153·513-1113<0, ∴1516-3313<0, 填<.15.6233](5===53+3×52×+3×3×)2)3.取2.449时,原式=969.9,N=969.16.由原已知得 (1+a)(1+b)=(1-a)(1-b)∴ a+b=0原式=4+2a+2b+ab+b2=4+2（a+b）+ab+b2=4+ab+b2=4+b(a+b)=4.应填417. 因为,33d b c a c fa b++++==,,33b d g ac hc d++++==, ∴2()()3a b c d e f g ha b c+++++++++=,设a+b+c+d=m,e+f+g+h=n,∴a+b+c+d=23m n+,∴m=23m n+,∴m=n,即a+b+c+d=e+f+g+h∴11()2211()33a b c d e f g h m na b c d e f g h m n+++-+++-=+++-+++-=2323323234m n m mm n m m--⨯=⨯=--.18.根据题意,得 80652540140139.5100100100⎛⎫⎛⎫+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭应填39.519.分锐角三角形和钝角三角形两种情况,如图:(1)αHCBAγβ(2)HCBA如图1.由∠A=40°,得∠ABH=50° ∴∠α=40°,∠BHC=180°-α=140°如图2.由∠A=40°,得∠β=50° ∴∠r=∠β=50 ∴ ∠BHC=90°-∠r=90°-50°=40° 应填140°或40°.20.正九边形内角和为(9-2)×1800=12600,每个内角为1400, ∠CAB=(1800-1400)÷2=20连接AH,作HM,GN 分别垂直AE 于M,N.∴ ∠HAM=140°-2 ×20°-40°=60°,∴∠AHM=30° 设AM=EN=x,MN=y四边形HGNM 是矩形,所以HG=y,即正九边形边长为y, 在Rt △AHM 中,∠AHM=∠30°∴ AH=2AM=2x ∴ AB+AC=y+2x而x+y+x=1 ∴ 2x+y=1 ∴ AB+AC=1, 应填1.三、解答题(按参考答案,酌情给分) 21.证明(1)连接PD 、PE 、QD 、QE. 因为 CE ⊥AB,P 是BF 的中点, 所以 △BEF 是直角三角形,且 PE 是Rt △BEF 斜边的中线, 所以 PE=12BF. 又因为 AD ⊥BC,所以 △BDF 是直角三角形,且PD 是Rt △BDF 斜边的中线, 所以 PD=12BF=PE, 所以点P 在线段DE 的垂直平分线上.同理可证,QD 、QE 分别是Rt △ADC 和Rt △AEC 斜边上的中线,所以 QD=12AC=QE,PQFEDCBA所以点Q 也在线段DE 的垂直平分线上. 所以直线PQ 垂直平分线段DE.(2)当△ABC 为钝角三角形时,(1)中的结论仍成立. 如右图,△ABC 是钝角三角形,∠BAC>90°.原题改写为:如右图,在钝角△ABC 中,AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高,DA 与CE 的延长线交于点F,BF 的中点为P,AC 的中点为Q,连接PQ 、DE. 求证:直线PQ 垂直且平分线段DE.证明连接PD,PE,QD,QE,则PD 、PE 分别是Rt △BDF 和Rt △BEF 的中线, 所以 PD=12BF, PE=12BF, 所以 PD=PE,点P 在线段DE 的垂直平分线上. 同理可证 QD=QE,所以点Q 在线段DE 的垂直平分线上. 所以直线PQ 垂直平分线段DE.22.(1)当a=c=0,d ≠0时, s=bd 是有理数. 当c ≠0时,s=()a ad ad cx d b b ax b a c c c cx d cx d c cx d ++--+==++++, 其中:a c 是有理数,cx+d 是无理数,adb c-是有理数.要使s 为有理数,只有adb c-=0,即 bc=ad.综上知,当a=c=0且d ≠0或c ≠0且ac=bd 时,s 是有理数. (2)当c=0,d ≠0,且a ≠0时,s 是无理数.当c ≠0时,s=()a ad ad cx d b b ax b a c c c cx d cx d c cx d ++--+==++++ 其中: a c 是有理数,cx+d 是无理数,adb c-是有理数.所以当adb c-≠0,即bc ≠ad,s 为无理数.综上知,当c=0,a ≠0,d ≠0或c ≠0,ac ≠bd 时,s 是无理数. 23.设第n 次操作后,线段AB 上所标注的数字和是a n ,那么第n+1次操作后,使得除A 、B 两点外,其他的数字都再加上一次(两边各加上一半),而A 、B 两点的数字, 则再加上它们的一半,即 102002(2002)21001(1)22n n n n a a a a n +=+-++=-≥ 又因为 a 1=2002+0=2002所以 a 2=2a 1-1001=3003所以 a 11=2a 10-1001=2(2a 9-1001)-1001=22·a 9-(2+1)·1001=…=210·a 1-(29+28+27+…+2+1)·1001 =1024.2002-(1024-1).1001=1026025.答:经过11次操作后,在线段AB上标注的所有数字的和为1026025.。

15到20届希望杯初二第一试试题及培训题

第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题:（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。

小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )（A）（B）（C）（D）2、代数式的化简结果是( )（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么( )（A）31（B）21（C）13（D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数( )①；②；③；④中总是最简分数的有( )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is ( )（A）4（B）6（C）3（D）4or66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。

如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）( )（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是( )（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是( )（A）15（B）12（C）11（D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则( )（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则( )( )（A）1001（B）2003（C）2004（D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。

希望杯”全国数学邀请赛初二试题hopec2-1-11

橙子奥数工作室教学档案非卖品第十一届希望杯全国数学邀请赛初二第一试一选择题1+的关系是 [ ]A 互为倒数B 互为相反数C 互为负倒数D 相等 2已知x 0≠的值是 [ ]A0 B-2 C 0或-2 D 0或2 3适合|2a+7|+|2a-1|=8的整数a的值的个数有 [ ]A 5个B 4个C 3个D 2个 4四边形ABCD中AB//CD D=2B 若AD=aAB=b 则CD的长等于 [ ]A b-aB a b 2−C 1(b a)2−D 2(b-a) 5有四条线段a=14b=13c=9d=7用a c 分别作一个梯形的下上两底用b d 分别作这个梯形的两腰(作出的全等的梯形算一种)那么这样的梯形 [ ]A 只能作一种B 可以作两种 C可以作无数种 D 一种也作不出 6当1x 2时−可以化简为 [ ]A0 B 2CD − 7a=b=用a b表示为 [ ]A a b 10+B a b 10−C b aD ab 108互不相等的三个正数a b c 恰为一个三角形的三条边长则以下列三个数为长度的线段一定能作成三角形的是 [ ]A 1a ,1b ,1cB a 2,b 2,c 2C,D |a-b|,|b-c|,|c-a| 9在一个凸八边形中每三个顶点形成三个角(如又AB C 三个顶点形成ABCBAC ACB)一共可以作出168个角那么这些角中最小的一个一定小于或等于 [ ] A 20B 22.5C 25D 27.5 10设ab c均为正数若c a b a b b c c a<<+++则a b c三个数的大小关系是 [ ] A c a b <<B b c a <<C a b c <<D c b a << 二A 组填空题: 11分解因式a 3b+ab+30b 的结果是_____. 12若实数a b c 在数轴上对应点的位置如图所示-|b-a|+|b+c|等于_____. a13已知分式x 1x 11x −−−的值是14−那么x 的值应是_____. 14如图:1=27.5,2=95,3=38.5,则4=_____. 15设A 1A 2A 3A n 是一个有n 个顶点的凸多边形对每一个顶点A i (i 1, 2, 3, , n)将构成该角的两边分别向外延长至A i1, A i2, 连接A i1A i2得到两个角A i1, A i2那么所有这些新得到的角的度数的和是_____. 16矩形ABCD中AB=4BC=7过顶点A 作BAD 的平分线交BC 于E 过E 作EF ED 交AB 于F 则EF 的长等于_____. 17Rt ABC中ABC=90C=60BC=2D 是AC 的中点过D 作DE AC 与CB 的延长线交于E 以AB BE 为邻边作长方形ABEF 连接DF 则DF 的长等于_____. 18某次数学竞赛第一试有试题25道阅卷规定每答对一题得4分每答错(包括未答)一题扣除一分若得分不底于60分的同学可以参加二试那么参加二试的同学在一试中至少需答对的题数是_____. 19若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为a 1, a 2, a 3,, a k (k 是最大的质因数的序号)则(a 1-a 2)(a 2-a 3)(a 3-a 4)(a k-1-a k )的值是_____. 20两个七进制整数454与5的商的七进制表示为_____. 三B 组填空题 21已知a 则531a a+的值等于_____或_____. 22一项工程甲单独完成需要a 天乙单独完成需要b 天a b都是自然数现在乙先工作3天后甲乙再共同工作1天恰好完工则a b 的值等于_____或_____. 23一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500那么这个多边形的边数是_____或_____. 24小张以两种形式储蓄了500元第一种储蓄的年利率为 3.7%第二种储蓄的年利率为 2.25%一年后得到利息为15.6元那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是_____和_____. 25若a 为整数且分式23232(a 4a a)(a 2)(a 1)(a a 1)a 6a 12a 8a 2−+−+−+−−+−−的值是正整数则a 的值等于_____或_____. 4321。

第20届希望杯全国数学邀请赛初二年级组第2试试题及答案解析

第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分） A 。

B 。

C 。

D 。

2．如果1x y <<-，那么代数式11y yx x+-+的值是（） A ．0B ．正数C ．负数D ．非负数图1 3．将x 的整数部分记为[]x ，x 的小数部分记为()x ，易知[]{}{}()01x x x x =+<<．若3535x =--+，那么[]x 等于（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（）组装一件成品需要的元件的数量1名工人1小时生产某种元件的数量202040305050种类丙乙甲数量A ．12018060︒︒︒，，B ．108144108︒︒︒，，C ．9018090︒︒︒，，D ．7221672︒︒︒，，5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（）A ．20B ．28C ．36D ．406．In the rectangular coordinates ，abscissa and ordinate of the intersection point of the lines y x k =- and 2y kx =+ are integers for integer k ，then the number of the possible values of k is （）A ．4B ．5C ．6D ．7（英汉词典：abscissa 横坐标，ordinate 纵坐标，intersection point 交点，integer 整数） 7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可拼成一个（） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．平行四边形8．若不等式组4101x m x x m -+<+⎧⎨+>⎩，的解集是4x >，则（）A ．92m ≤B ．5m ≤C ．92m =D ．5m =9．如图4所示，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，410AD CD ==，，则BD 的长等于（）A ．413B ．83C ．12D ．10310．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解()n p q p q =⨯≤可称为正整数n 的最佳分解，并规定()pF n q=.如：12=1⨯12=2⨯6=3⨯4，则3(12)4F =．则以下结论图3104DCBA图4①1(2)2F =； ②3(24)8F =；③若n 是一个完全平方数，则()1F n =；④若n 是一个完全立方数，即3n a =（a 是正整数），则1()F n a=．中，正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一根钢筋锯成a 段，需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段（a b c ，，都是大于1的自然数），需要__________________分钟．（用a b c ，，表示）12．给机器人下一个指令[]()00s A s A ︒︒，，≥≤≤180，它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现以机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向．要想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________． 13．已知实数x y z ，，满足1233x y z x y zx y z ++===+++，则x y z ++=_________________或______________．14．已知实数x y ，满足234x y -=，并且01x y ，≥≤，则x y -的最大值是_____________，最小值是_________________．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0．8元．若某车一年的养路费是1440元，百千米耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的12l l 、所示，则1l 与2l 的交点的横坐标m =___________．（不考虑除养路费和燃油费以外的其他费用）16．Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inverse number ，theOl 1l 2m 图5年支出/元1440年行驶里程/千米corresponding value of ()f x is also the inverse number ，and (2)f =0，thenc da b+=+_______________．（英汉词典：inverse number 相反数）17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二名得__________________分． 18．若正整数a b ，使等式()()12a b a b a ++-+=2009成立，则a =____________，b =_____________．19．如图6所示，长为2的三条线段'AA ，''BB CC ，交于O 点，并且'''60B OA C OB A OC ∠=∠=∠=︒，则三个三角形的面积的和123S S S ++_______________3．（填“<”、“=”或“>”） 20．已知正整数x y ，满足2249x y +=，则x =_____________，y=________________．三、解答题（每题都要写出推算过程．）21．在分母小于15的最简分数中，求不等于25但与25最接近的那个分数．22．如图7哀兵必胜示，一次函数33y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A B ，，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒．⑴求ABC △的面积；图6S 3S 2S 1O C'C AB'BA'yxPO CBA30°图7⑵如果在第二象限内有一点32P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值； ⑶是否存在使QAB △是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．点(40)(03)A B ，，，与点C 构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数ky x=的图像上，求k 可能取的一切值．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DCABBADCAC提示1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180︒后，将与左侧的效果重合．故选D ．2．因为 1x y <<-，所以 0100x x x y <+<-<，，，则101(1)(1)y y xy x xy y x yx x x x x x ++----==<+++，即该代数式的值是负数，选C ．3．因为()2516255135222±±±±===，所以 515122 1.41222x -+-=-==-≈-，所以 []2x =-，选A ．4．为使生产效率最高，在相同的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是542::532，即41::13，也即3：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是108︒，144︒，108︒．故选B ．5．5．设矩形的边长分别是a b ，，对角线的长是c ，则222a b c +=已知矩形的面积是44832ab ==⨯，a b ，都是整数，不妨设a b ，≤则()a b ，可能是（1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），分别代入222a b c +=，只有当68a b ==，时，c 才是整数10，其他情况得到的c 的值都不是整数．所以，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B ．。

历届“希望杯”(初二)第二试试题

第十二届“希望杯”（初二）第二试试题一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。

1．化简代数式322322++-的结果是（） A. 3 B. 12+C. 22+D. 222．已知多项式ax bx cx d 32+++除以x -1时，所得的余数是1，除以x -2时所得的余数是3，那么多项式ax bx cx d 32+++除以()()x x --12时，所得的余式是（）A ．21x - B. 21x + C. x +1 D. x -1 3．已知a <1且||a b a ba -+=，那么（）A. ab <0B. ab >0C. ab ≤0D. a b +<0 4．若||||a c <，b a c b a =+<22，||||，S a b cS b c a12=-=-||||，，S a c b3=-||，则S S S 123、、的大小关系是（）A. S S S 123<<B. S S S 123>>C. S S S 132<<D. S S S 132>>5．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形6. 若∆ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足a b c b c 44422=+-，b c a a c 44422=+-，c a b a b 44422=+-，则∆ABC 是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形7. 平面内有n 条直线（n ≥2），这n 条直线两两相交，最多可以得到a 个交点，最少可以得到b 个交点，则a b +的值是（） A. n n ()-1 B. n n 21-+ C.n n 22- D.n n 222-+8．In fig. 1, let ∆ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and∠=BFC 120, then the magnitude relation between Ad and CE is （）A. AD CE >B. AD CE <C. AD CE =D. indefinite（英汉词典：equilateral 等边的；intersection 交点；magnitude 大小，量；indefinite 不确定的）9. 已知两个不同的质数p ，q 满足下列关系：p p m q q m 222001020010-+=-+=，，m 是适当的整数，那么p q 22+的数值是（）A. 4004006B. 3996005C. 3996003D. 400400410．小张上周工作a 小时，每小时的工资为b 元，本周他的工作时间比上周减少10％，而每小时的工资数额增加10％，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比（）A. 增加1%B. 减少1%C. 增加1.5%D. 减少1.5% 二、填空题：（每小题6分，共60分） 11. 化简：2532306243+--+的结果是_________。

第希望杯初二第2试试题及答案

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试一、选择题（每题 4 分，共 40 分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后边圆括号内．1．计算21259，得数是（）A．9 位数B．10 位数C． 11 位数D．12 位数2．若xy 1 ，则代数式9xy18的值（）239x y18A．等于7B．等于5C．等于5或不存在D．等于7或不存在57753( x a) 2 ≥ 2(1 2x a)3． The integer solutions of the inequalities about x ：x b b x are 1，2，332then the number of integer pairs（a，b）is（）A． 32B．35C． 40D．48（英汉字典： integer整数）4．已知三角形三个内角的度数之比为x : y : z ，且 x y z ，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．等腰三角形5．如图 1 ，三个凸六边形的六个内角都是120 ，六条边的长分别为 a ，b ，c ，d ，e， f ，则以下等式中建立的是（）bacf de图1A．a b c d e f B．a c e b d fB ． a b d eC ． a c b d6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为 a ，最长的中线的长为 m ，最长的高线的长为 h ，则（）A ． a m hB ． a h mC ． m a hD ． h m a7．某次足球竞赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某球队参赛 15场，积 33 分，若不考虑竞赛次序，则该队胜、平、负的状况可能有（）A ．15 种B ．11 种C ．5 种D ．3 种8．若 xy0 ，x y0 ，11与 x y 成反比，则 x y2与 x 2 y 2 （）x yA ．成正比B ．成反比C ．既不可正比，也不可反比D ．关系不确立9．如图 2，已知函数 y2 k ，点 A 在正 y 轴上，过点 A 作 BC ∥ x 轴，交两个函( x 0) ，y(x 0)xx数的图象于点 B 和 C ，若 AB : AC 1:3 ，则 k 的值是（）yCABO x图2A ． 6B ．3C ． 3D ． 610 ．10 个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每一个人内心都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，而后每一个人将与他相邻的两个人告诉他的数的均匀数报出来，若报出来的数如图 3所示，则报出来的数是3 的人内心想的数是（）A ．2B ． 2C ．4D ． 4110 29384756图 3二、填空题（每题4 分，共 40 分）11 ．若 x 2 2 7 x 2 0 ，则 x 4 24x 2．12 ．如图 4 ，已知点 A( a ，b) ， O 是原点， OAOA 1 ，OA OA 1 ，则点 A 1 的坐标是．yA （ a ，b ）A 1O x图 413 ．已知 ab0 ，而且 a b 0 ，则ab1 1 b 22____________．（填“ ”、“ ”、“≥ ”或“ ≤ ”）aab14 ．若 a 2b 2a 2 b2 0 ，则代数式 a a b b a b的值是．15 ．将代数式 x 3 2a 1 x 2 a 2 2a 1 x a 2 1 分解因式，得16 ． A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时辰， A 在前， 10 分钟后， C 追上 B ；又过了 5 分钟， C 追上 A ．则再过．C 在后， B 在 A 、C 正中间，分钟， B 追上 A ．17 ．边长是整数，周长等于 20 的等腰三角形有种，此中面积最大的三角形底边的长是．18 ．如图 5 ，在 △ ABC 中， AC BD ，图中的数听说明 ABC ．A30°B40° CD 图519 ．如图 6，直线 y31 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作x3等腰直角 △ ABC ， BAC90 ．在第二象限内有一点P a ， 1，且 △ABP 的面积与 △ ABC 的面积2相等，则 △ ABC 的面积是； a ___________________yCBPO Ax 图 620 ．Given the area of△ ABC is S 1 ，and the length of its three sides are311，9 3，101313respectively ． And the perimeter of △ABCis 18 ，its area is S 2 ．Then the relationship between S 1 and S 2 isS 1S 2 ．（ fill in the blank with“ ”，“= ”or “ ”）（英汉字典： area 面积； length长度； perimeter 周长）三、解答题每题都要写出计算过程．21 ．（此题满分 10 分）解方程：2 x34 4 x 3 ．42 x 334 x【分析】令2x 3a ，4xb ，43则a1 b 1 ，ab 整理得ab 10 ，aab所以 a b 或 ab1，即3x 34 x ， ①4 3或2 x3 4 x 1 ，②43由①得x7 ，10由②得 x0 或 x52经查验，知7 ，0，5都是原方程的解．10222．（此题满分15分）如图7，等腰直角△ABC 的斜边 AB 上有两点 M、N ，且知足MN 2BN 2AM 2，将△ABC绕着 C 点顺时针旋转90 后，点M、N的对应点分别为T、S ．⑴请画出旋转后的图形，并证明△MCN△MCS⑵求MCN 的度数．BBNN MC AM SC A r图 7【分析】⑴将△ ABC 绕着C点顺时针旋转90，如图．依据旋转前后的对应关系，可知BN AS ，CN CS ， NBC SAC45所以MAS MAC SAC90．由色股定理，得MS 2AM 2AS2AM 2BN 2MN2，所以M N．M S又因为CN CS ，CM 是公共边，所以△MCN △MCS ．⑵因为 CN 顺时针旋转 90后获得 CS ，所以NCS90，上边已证得△MCN △MCS ，故MCN MCS 145．NCS223 ．（此题满分 15 分）已知长方形的边长都是整数，将边长为 2 的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且随意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好．⑴假如长方形的长是4，宽是 3 ，那么最多能够放入多少个边长为 2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑵假如长方形的长是 n(n ≥ 4) ，宽是 n 2 ，那么最多能够放入多少个边长为2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑶关于随意知足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55% 求长方形边长的全部可能值．（已知0.55 0.74 ）【分析】 ⑴ 最多能够放入 2 个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是2 22 2 ．4 366.7%3⑵当 n 是偶数时， n 2 也是偶数，最多能够放入1 个正方形，长方形被覆盖的面n( n 2)4 积占整个长方形面积的百分比是 100% ．当 n 是奇数时， n2 也是奇数，最多能够放入1 3) 个正方形，长方形被覆盖的(n 1)(n4面积占整个长方形面积的百分比是 n 1 n 3n n2100% ．⑶设长方形的宽与长分别是x ，y ．若 x ，y 都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100% ，不切合题意．若 x ，y 中一个是偶数 2a ，一个是奇数 2b 1 （ a ，b 是正整数），则4ab 4ab2b0.55 ．xy2a (2b 1) 2b 1解得 b 0.61．没有知足此结果的正整数b ，这类状况也不切合题意．所以， x ，y 都是奇数．x 2a 1 ，令 y 2b 1 ， a ≤ b ，a ，b 是正整数，则有4ab0.55 ．2a 1 2ba4ab4a4a2因为2a2a 1 2b a11，12a12a 12a22ba22a所以0. 55．2a 12a得0. 7 ，4a 1.，42a 1因为 a 是正整数，所以 a 1代入①式，得4b0. 55， 3 ( 2b1)解得 b 2.4 ，因为 b 是正整数，所以 b 1 或 2故有x 3 ，y3或 5．即长方形长为 5，宽为 3，或长与宽都是 3．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛参照答案及评分标准初二第 2 试一、选择题（每题4 分．）题号1 21 3 4 5 6 7 8 9 10答案BDBCCADADB二、填空题（每题 4 分，第 17 、19 题，每空 2 分．）题号111213141516 17 1819 20答案 -4b ，a≥1x 1 x a 1 x a 115 4；6402；3421. 21259 23 109 8 109 ，∴得数是 10 位数．2.∵xy 1 ，∴ y 3 x 32 329x 33 189 x y 18 x21x42 7 x22将其代入代数式，得315x 30 5 x 29 x y 189x3 18x2当 x2 时，原式7；当 x 2 时，原式的值不存在．53x 3a 2 ≥ 4 x 2 2ax ≥ 1a113.原不等式7 b2 x 2b 3b 3x1 7a ≤ xx 5b5于是 01a ≤ 1 ， 31b≤ 4所以 a 有 7个不一样的取值， b 有 5 个不一样的取值，75于是整数对 a , b 共有7535个．4.∵x y z ，∴x y z 2 z ，即1802z，∴z90，三角形为钝角三角形．5.如图，补三个等边三角形，则 a b c c d e a f e ，于是a b d e．a b ca cdfee6.利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论a m h ．7.设该球队胜、平、负的场数分别为x 、y、 15 x y ，则 3x y33 ．x ≥ 0y ≥ 0 x ，于是 0 ≤ y ≤ 6 ，又y能整除 3 ，于是 y 0 , 3 , 6 ．y ≤ 153x y 33对应的 x 11 , 10 , 9 ，共3种状况．8.∵11与 x y 成反比，∴x y11m ，此中 m 为非零常数．x y x y于是yx m 2 ，所以y为定值．x y x2y2而 x y22y y1， x2y2x2 1 ，联合y为定值xxx x x所以 x y2与x2y2成正比．9. B 与 C 的纵坐标相等，即k2，∴k2AC6AC AB AB10.假定报出来的数是 3 的人内心想的数是 x ，则报出来的 12345678910数4 x x8 x 4 x12 x内心想的数于是 4x 12x20 ，解得 x2 ．11. x 4 24x 22 7 x 224 2 7 x 228 x 28 7 x4 48 7x 4828x 2 56 7x 5222 8 2 x7 25 6x 752．412. 过 A 、 A 1 作 x 轴的垂线，利用弦图简单获得A 1 b , a ．aba 2ba 211a b13.a bba b∵b 2a 2b 2aba 2，ab11ba2222而a2b2 ≥ 2 a 2 b 22bab a∴ab a b ≥1 1a b ，即ab1 1 ．b 2a 2a bb 2 a 2 ≥ a b14. ∵a 2 b 2a 2 b 2a 2b21 ， b 1110 ，∴a于是 a a b b a b 12 10 1 ．15.x 3 2 a 1 x 2 a 2 2 a 1 x2a 1x 3 2ax 2 a 2 1 x x 2 2ax a 2 1x 1 x 22axa1 a 1x 1 x a 1 x a116. 设当 B 在 A 、C 正中间是 ABBC1，则 C 相对 B 的速度为1，C 相对 A 的速度为 2 ，1015所以 B 相对 A 的速度为1，故 B 追上 A 需要时间为 30 分钟．30于是再过 15 分钟， B 追上 A ．17. 设等腰三角形的腰长为x ，则底边长为 20 2x ，于是 0 20 2xxx ，有 5 x 10 ，∴x 的可能取值有 6 , 7 , 8 , 9，共 4 种．其面积为10 1022 x10 ，∴当 x7 时三角形面积最大，此时底边长为6 ．x18. 在 BC 上取一点 E ，使得 CE CA ，简单证明 △ AEB ≌△ ADC ，于是 ABC 40 ．19. ∵ A 3 , 0 ，B 0,1，∴ AB 2于是 S △ ABC 12AB22∵S△ ABP1 1 1 a1 3 11 3 a 12 ，解得 a3 4 ．2 2222220. △ ABC 的面积不小于三边长分别为 3 , 9 , 10 的三角形面积，于是S △ABC ≥ 11 11 3 11 9 11 10262 ；而 △A B C 的面积不大于周长为 18 的正三角形面积，于是3 2S 2 ≤18243 ．49 33∴S 1 S 2 ．。

希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)

1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

希望杯第届初二第试试题及参考答案

第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛初二第2试2006年4月16日上午8：30至lO：30 得分___________一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．1．下列四组根式中，是同类二次根式的一组是( )2．要使代数式有意义，那么实数x的取值范围是( )3．以线段a=13，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a，c为梯形的两底，这样的梯形( )(A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．(英汉词典：Fig．figure的缩写，图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)(A)是完全平方数，还是奇数． (B)是完全平方数，还是偶数．(C)不是完全平方数，但是奇数． (D)不是完全平方数，但是偶数．6．将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的顶点重合，然后剪去纸片的不重合部分，展开纸片，再一次对折，使另外的两个顶点重合，再剪去不重合的部分后展开，此时纸片的形状是( )(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．7．若a,b,c都是大于l的自然数，且c a=252b,则n的最小值是( )(A)42． (B)24． (C)21 (D)15(英汉词典：two-placed number两位数；number数，个数；to satisfy满足；complete square完全平方(数)；total总的，总数)9．下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜，其中歌曲J 是新上榜的歌曲，箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，不标注的则表明名次没有变化，已知每首歌的名次变化都不超过两位，则上星期排在第1，5，7名的歌曲分别是( )(A)D ，E ，H ． (B)C ，F ，I ． (C)C ，E ，I ． (D)C ，F ，H ． 10．设n(n ≥2)个正整数1a ，2a ，…，n a ，任意改变它们的顺序后，记作1b ，2b ，…，n b ，若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b )，则( )(A)P 一定是奇数． (B)P 一定是偶数．(C)当n 是奇数时，P 是偶数． (D)当”是偶数时，P 是奇数．二、填空题(每小题4分，共40分．)11．消防云梯的长度是34米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼16米远的地方，则云梯能达到大楼的高度是______米．15．从凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n 边形对角线条数的94，那么此n 边形的内角和为_____．16．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适，那么人从感染第一个病毒后，经过_______分钟，就会感到不适．(1米=109纳米)19．如图2，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 点在BC 边上的高AD 上，且21=PD AP ， BP 的延长线交AC 于E ，若ABC S ∆=10，则ABE S ∆=______，DEC S ∆=_______.20．一个圆周上依次放有1，2，3，…，20共20个号码牌，随意选定一个号码牌(如8)，从它开始，先把它拿掉，然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8，10，12，…)，并一直循环下去，直到剩余两个号码牌时停止，则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或_______．三、解答题(本大题共3小题，共40分．) 要求：写出推算过程． 21．(本小题满分10分)如图3，正方形ABCD 的边长为a ，点E 、F 、G 、H 分别在正方形的四条边上，已知EF ∥GH ．EF=GH ．(1)若AE=AH=a 31，求四边形EFGH 的周长和面积；(2)求四边形EFGH 的周长的最小值．22．(本小题满分15分)已知A 港在B 港的上游，小船于凌晨3:00从A 港出发开往B 港，到达后立即返回，来回穿梭于A 、B 港之间，若小船在静水中的速度为16千米／小时，水流速度为4千米／小时，在当晚23：OO 时，有人看见小船在距离A 港80千米处行驶．求A 、B 两个港口之间的距离.23．(本小题满分15分)在2,3两个数之间，第一次写上5132=+，第二次在2，5之间和5，3之间分别写上27252=+和4235=+,如下所示：第k 次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的k1. (1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和；(2)经过k 次操作后所有数的和记为k S ，第k+1次操作后所有数的和记为1+k S ，写出1+k S 与k S 之间的关系式； (3)求6S 的值.第十七届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初中二年级第2试一．选择题(每小题4分)二．填空题(每小题4分)三、解答题21．(1)如图1，连结HF ．由题知四边形EFGH 是平行四边形，所以又所以所以(3分)所以△AHE 和△DHG 都是等腰直角三角形，故∠EHG=090，四边形EFGH 是矩形．易求得所以四边形EFGH 的周长为2a 2，面积为294a ．(5分)(2)如图2，作点H 关于AB 边的对称点H '，连结H F '，交AB 于E '，连结 E 'H ．显然，点E 选在E '处时．EH+EF 的值最小，最小值等于H F '.(7分)仿(1)可知当AE≠AH 时，亦有(8分)所以因此，四边形EFGH周长的最小值为2a2．(10分)22．设A、B两个港口之间的距离为L，显然(1分)(1)若小船在23：00时正顺流而下，则小船由A港到达下游80千米处需用即19：00时小船在A港，那么在3：00到19：00的时间段内，小船顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了t小时，则逆流行驶用了(16一t)小时，所以解得 t=6 (5分)即顺流行驶了由于所以A、B两个港口之间的距离是120千米．(7分)(2)若小船在23：00时正逆流而上，则小船到达A港需再用即小船在内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了t 小时，则逆流行驶用了小时，所以解得(12分)即顺流行驶了由于所以A、B两个港口之间的距离可能是100千米或200千米． (14分)（15综上所述，A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米．分)23．(1)第3次操作后所得到的9个数为它们的和为255(4分) (2)由题设知0S =5，则(10分)(3)因为所以(15分)。

历年初中希望杯数学竞赛试题大全

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八年级数学第15届“希望杯”第1试试题

山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第15届“希望杯”第1试试题一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1、小伟自制了一个小孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两头别离用半透明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。

小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“ F”形状的光源，则他在半透明纸上观看到的像的形状是（A）（B）（C）（D）F2、代数式的化简结果是（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么（A）31 （B）21 （C）13 （D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数①；②；③；④中，老是最简分数的有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the value ofis（A）4 （B）6 （C）3 （D）4or66、某出版社打算出版一套百科全书，固定本钱为8万元，每印制一套需增加本钱20元。

若是每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精准到千位）（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，知足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则那个三角形是（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是（A）15 （B）12 （C）11 （D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F别离是对角线AC、BD的中点，则（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[]=3，[－]=－3，[4]=4，则（A）1001 （B）2003 （C）2004 （D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。

第二十届希望杯全国数学邀请赛初二第2试参考答案及评分标准(WORD版)

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二第2试（每小题4分）（每小题4分，含两个空的小题，每空2分）三、解答题21.设所求的最简分数是n m ，()1,=n m ，n m <<0，15<n ，则 nn m n m 52552-=-，因为52≠n m ，且m ，n 是正整数，所以 125≥-n m .（1）当125=-n m 时，有125=-n m （当52>n m 时），或125-=-n m （当52<n m 时），所以 512+=n m 或512-=n m . 由m 是整数，知2n +1或2n -1（n <15）是5的倍数.（5分）要使nn m 5152=-最小，则n 应最大. 由2n +1或2n -1（n <15）是5的倍数，知n 最大取13，对应的m=5，此时65152=-n m .（8分）（2）当125>-n m 时，因为n <15，m ，n 是正整数，所以nnm n m 52552-=-≥6513511452>=⨯. 综上可知，52-n m 的最小值是651，此时对应的m =5，n =13，故135是最接近52，但分母小于15的最简分数. （10分）22.（1）依题意，函数y =3-x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当y =0时，x =1；当x =0时，y =3，所以点A 的坐标是（1，0），点B 的坐标是（0，3）于是 AB =22OB OA +=2. 在Rt △ABC 中，∠ABC =30º，AB =2.设AC =x ，则BC =2x ，由勾股定理，得222)2(2x x =+，得342=x ，332=x .所以 AC =332， S △ABC =21AB ·AC =332. （5分）（2）点P 在第二象限内，且P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,m ，则m<0，S 四边形AOPB = S △AOB +S △BOP =21×1×3+21×3×（-m ）=()m -123. 又S △APB = S 四边形AOPB - S △AOP =()23121123⨯⨯--m =()m 2143-，由△APB 与△ABC 的面积相等，得()3322143=-m ，解得 65-=m . （10分）（3）这样的点存在，一共有6个，分别是：以AB 为底边的等腰三角形有两个，这时，Q 点的坐标是（-1，0）或（0，33）；以AB 为一条腰的等腰三角形有四个，这时，Q 点的坐标是（0，23+），（0，23-），（0，3-），（3，0）. （15分）23.点A 和点B 之间的距离是5，所以它们之间的连线是直角三角形的斜边，设点C 的坐标是（a ，b ），则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.163942222b a b a ， ① 或者()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.931642222b a b a ，② （5分）对于①，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+.169691682222b b a a b a ，两式相减，得 01468=--b a ，因此 )74(31-=a b ，将它代入①的第二个式子，得0)2825)(4(91=--a a ，解得 4=a ，或2528=a ，对应的b 的值是3或2521-，所以点C 的坐标是（4，3）或⎪⎭⎫ ⎝⎛-25212528，. 对应的k 的值是12或625588-. （10分）对于②，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+.996161682222b b a a b a ，两式相减，得 068=-b a ，因此 a b 34=，将它代入②的第一个式子，得0)7225(91=-a a ，解得 =a 0，或2572=a ，对应的b 的值是0或2596.因为原点不可能在反比例函数的图象上，所以点C 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛25962572，，对应的k 的值是6256912. 综上所述，k 的值是12或625588-或6256912. （15分）。