专题讲测：《方程与不等式组》

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第2讲方程（组）与不等式（组）（解析）

第2讲方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么b c2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【典例】例1如果3m＝3n，那么下列等式不一定成立的是（）A．m﹣3＝n﹣3B．2m+3＝3n+2C．5+m＝5+n D．m−3=n −3【解答】解：A、由3m＝3n得m＝n，两边都减去3得m﹣3＝n﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意；B、3m＝3n两边都加上2得3m+2＝3n+2，原变形错误，故此选项符合题意；C、由3m＝3n得m＝n，两边都加上5得5+m＝5+n，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由3m＝3n得m＝n，两边都除以﹣3得m−3=n−3，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：B．【方法总结】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以一个不为0的数），所得结果仍是等式．例2解方程：（1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2）；（2）．【解答】解：（1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2），去括号，得2﹣3x+3＝2x﹣4，移项，得﹣3x﹣2x＝﹣4﹣2﹣3，合并同类项，得﹣5x＝﹣9，系数化为1，得x＝；（2），去分母，得3（3x+2）＝15﹣5（2x﹣1），去括号，得9x+6＝15﹣10x+5，移项，得9x+10x＝15+5﹣6，合并同类项，得19x＝24，系数化为1，得x＝．【方法总结】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．例3若方程12﹣3（x+1）＝7﹣x的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x+3）的解相同，求k的值．【解答】解：∵12﹣3（x+1）＝7﹣x，∴12﹣3x﹣3＝7﹣x，∴2＝2x，∴x＝1，把x＝1代入6﹣2k＝2（x+3）得6﹣2k＝8，∴k＝﹣1．【方法总结】本题考查了同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．例4若方程2（2x﹣1）＝3x+1与关于x的方程2ax＝（a+1）x﹣6的解互为倒数，求a的值．【解答】解：解方程①得，x＝3，方程②的解为x＝，代入得，解得a＝﹣17．【方法总结】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．例5我市某区为鼓励毕业大学生自主创业，经过调研决定：在2021年对60名自主创业的大学生进行奖励，共计奖励50万元．奖励标准是：大学生自主创业连续经营一年以上的给予5000元奖励；自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的，再给予1万元奖励．问：该区自主创业大学生中连续经营一年以上的和自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生分别有多少人？【解答】解：50万＝500000元，设自主创业且连续经营一年以上的大学生有x人，自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生有（60﹣x）人，根据题意得：5000x +10000（60﹣x ）＝500000，解得：x ＝20，则60﹣x ＝60﹣20＝40（人），答：自主创业且连续经营一年以上的大学生有20人，自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生有40人．【方法总结】本题考查一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．例6两辆汽车从相距80km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇？（1）两车的速度各是多少？（2）两车出发几小时后相距20km ？【解答】解：（1）设乙车的速度为xkm /h ，则甲车速度为（x +20）km /h ，根据题意得：（x +x +20）×12=80，解得：x ＝70， ∴x +20＝70+20＝90，则甲车速度为90km /h ，乙车速度为70m /h ；（2）设两车出发y 小时相距20km ，当两车没有相遇时相距20km ，根据题意得：（70+90）y +20＝80，解得：y =38；当两车相遇后相距20km ，根据题意得：（70+90）y ＝80+20，解得：y =58，综上，两车出发38小时或58小时后相距20km ．【方法总结】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．【随堂练习】1．在下列方程的变形中，正确的是（） A ．由2x +1＝3x ，得2x +3x ＝1 B ．由25x =34，得x =34×52C ．由2x =34，得x =32D ．由−x+13=2，得﹣x +1＝6 【解答】解：A 、由2x +1＝3x 得2x ﹣3x ＝﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意； B 、由25x =34得x =34×52，原变形正确，故此选项符合题意；C 、由2x =34得x =38，原变形错误，故此选项不符合题意； D 、由−x+13=2得﹣x ﹣1＝6，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：B ． 2．解方程：（1）3x +2＝4（2x +3）；（2）﹣1．【解答】解：（1）去括号得：3x +2＝8x +12，移项得：3x ﹣8x ＝12﹣2，合并得：﹣5x ＝10，解得：x ＝﹣2；（2）去分母得：2（5y ﹣9）＝3（3y ﹣1）﹣6，去括号得：10y ﹣18＝9y ﹣3﹣6，移项得：10y ﹣9y ＝﹣3﹣6+18，合并得：y ＝9． 3．某同学在解关于y 的方程﹣＝1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y ＝10．（1）求a 的值；（2）求方程正确的解．【解答】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12，则原方程变为3（3y ﹣a ）﹣2（5y ﹣7a ）＝1， ∵方程的解为y ＝10，代入得3（30﹣a ）﹣2（50﹣7a ）＝1．解得a＝1．（2）将a＝1代入方程﹣＝1，得﹣＝1，解得y＝﹣1，即原方程的解为y＝﹣1．4．已知关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，求m的值．【解答】解：因为关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，所以解方程3x﹣2＝﹣4，得x=−2 3，把x=−23代入2（x﹣1）＝3m﹣1，得2（−23−1）＝3m﹣1，解得m=−7 9．5．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：每月用水量单价（元）不超过23立方米的部分m超过23立方米的部分m+1.1（1）某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求m的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？【解答】解：（1）依题意得：10m＝26，∴m＝2.6，答：m的值为2.6；（2）∵23×2.6＝59.8＜82，∴该用户5月份用水超过23立方米，设该用户5月份用水x立方米，根据题意得：23×2.6+（2.6+1.1）•（x﹣23）＝82，解得x＝29，答：该用户5月份用水为29立方米．知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242ab b ac -±-.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. )0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠221,2440)b b ac x b ac -±-=-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x（3）<0一元二次方程没有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1若关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程，求m 的值．【解答】解：∵关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程， ∴，解得m ＝1．【方法总结】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），特别要注意a ≠0的条件．例2解方程：9（x ﹣1）2＝16（x +2）2．【解答】解：两边直接开平方，得：3（x ﹣1）＝±4（x +2），即3x ﹣3＝4x +8或3x ﹣3＝﹣4x ﹣8，解得：x ＝﹣11或x ＝﹣．【方法总结】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．例3用配方法解方程：x 2﹣8x +13＝0．ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．【方法总结】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程．例4若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1且k≠0．【方法总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．例5岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶．（1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为360元；（2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价．【解答】解：（1）（20﹣16﹣1）×[80+20×（1÷0.5）]＝360（元）．答：如果销售单价降低1元，那么每天的销售利润为360元．故答案为：360；（2）设销售单价降低x元，则每瓶的销售利润为20﹣16﹣x＝（4﹣x）元，每天的销售量为80+20×＝（80+40x）瓶，依题意，得：（4﹣x）（80+40x）＝350，解得：x1＝1.5，x2＝0.5，又∵为尽快减少库存，∴x＝1.5，∴20﹣x＝18.5，答：西板豆豉的销售单价为18.5元．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系：每天的销售利润＝每瓶的销售利润×日销售量是解决问题的关键．例6在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？【解答】解：设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（40﹣x）米，宽（20﹣x）米的矩形，依题意得：（40﹣x）（20﹣x）＝741，整理得：x2﹣60x+59＝0，解得：x1＝1，x2＝59．又∵20﹣x＞0，∴x＜20，∴x＝1．答：小道的宽为1米．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【随堂练习】1．解方程：（1）（x﹣1）2﹣＝0；（2）2x2+8x﹣1＝0．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣＝0，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝或x﹣1＝﹣，解得x1＝，x2＝﹣；（2）2x2+8x﹣1＝0，x2+4x＝，x2+4x+4＝+4，即（x+2）2＝，则x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．2．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝k2+8，∵不论k取何实数，k2≥0，∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为β，∴2β＝﹣2，∴β＝﹣1，∴另一个根为﹣1．3．惠友超市于今年年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场获利4250元？【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，则256（1+x）2＝400，解得：x1＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），答：二、三月份销售量的月平均增长率是25%；（2）设降价y元，（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，整理得：y2+65y﹣350＝0，解得：y1＝5，y2＝﹣70（不合题意，舍去），答：当商品降价5元时，商场当月获利4250元．4．如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．【解答】解：（1）∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm．故答案为：（20﹣2x）；（13﹣2x）．（2）依题意，得：（20﹣2x）（13﹣2x）＝144，整理，得：2x2﹣33x+58＝0，解得：x1＝2，x2＝14.5（不合题意，舍去）．答：x的值为2．知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1解方程：（1）＝﹣2．（2）＝．【解答】解：（1）＝﹣2，原方程化为：＝﹣2，方程两边都乘2（x﹣1），得2x＝3﹣4（x﹣1），解得：，检验：当时，2（x﹣1）≠0，所以x＝是原分式方程的根，即原分式方程的解是x＝；（2）＝，原方程化为：＝，方程两边都乘（2x+1）（2x﹣1），得2（2x+1）＝4，解得：，检验：当时，2x﹣1＝0，所以x＝是原方程的增根，即原方程无解．【方法总结】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．例2用换元法解方程(xx+1)2+5(x x+1)+6=0时，若设xx+1=t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是t2+5t+6＝0．【解答】解：把xx+1=t代入方程(x x+1)2+5(x x+1)+6=0，得t2+5t+6＝0．故答案为：t2+5t+6＝0．【方法总结】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．例3定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝1，即＝1，去分母得：x﹣4＝1，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣4≠0，∴分式方程的解为x＝5．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，弄清题中的新定义是解本题的关键．例4疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A 、B 两种型号机器人搬运原料．已知A 型机器人每小时搬运的原料比B 型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B 型机器人搬运2400千克所用时间与A 型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．【解答】解：设B 型机器人每小时搬运xkg 原料，则A 型机器人每小时搬运（12x +50）kg原料，依题意，得：2400x=200012x+50，解得：x ＝150，经检验，x ＝150是原方程的解，且符合题意， ∴12x +50＝125．答：A 型机器人每小时搬运125kg 原料，B 型机器人每小时搬运150kg 原料．【方法总结】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．例5 2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？【解答】解：设小伟原计划每天做x 页数学寒假作业，则做作业的效率提高后每天做2x 页的数学寒假作业，依题意，得：﹣（5+）＝6，解得：x ＝2，经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：小伟原计划每天做2页数学寒假作业．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．例6要在规定天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成．现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑．若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？【解答】解：设甲队x 天完成任务，则乙队（x +8）天完成任务，由题意得：×+＝，解得：x ＝8，检验得：x ＝8是原方程的根，则2×（+）＝＜，答：若让两队再共同修筑2天，不能完成任务．【方法总结】此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【随堂练习】1．用换元法解方程x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为 y 2+2y ﹣3＝0 ．【解答】解：x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，则原方程化为：y =3y −2， y 2＝3﹣2y ， y 2+2y ﹣3＝0，故答案为：y 2+2y ﹣3＝0． 2．解方程：（1）＝；（2）﹣3．【解答】解：（1）去分母得：x +2（x ﹣2）＝x +2，去括号得：x+2x﹣4＝x+2，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝3；（2）去分母得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），去括号得：1＝x﹣1﹣3x+6，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，∴x＝2是增根，分式方程无解．3．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣3）＝x+3，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0或x+3＝0，即x＝±3，把x＝3代入整式方程，可得：m＝6，把x＝﹣3代入整式方程，可得：m＝12，综上，可得：方程的增根是x＝±3，方程产生增根时m＝6或12．4．虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间，开展“我为群众办实事”活动，为某小区铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．【解答】解：设原计划每天铺设管道x米．由题意，得：﹣＝2，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．答：原计划每天铺设管道60米．5．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？【解答】解：设B班每天植树x棵，那么A班每天植树1.5x棵，依题意，得3001.5x =240x−2，解之得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解则当x＝20时，1.5x＝30．答：A班每天植树30棵，B班每天植树20棵．知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1下列方程中，是二元一次方程的是（）A．xy＝2B．3x＝4y C．x+1y=2D．x2+2y＝4【解答】解：A、是二元二次方程，故本选项不符合题意；B、是二元一次方程，故本选项符合题意；C、不是整式方程，故本选项不符合题意；D、是二元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【方法总结】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．例2解方程组：（1）；（2）．【解答】解：（1），①+②×2，得11x＝﹣11，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入②，得y＝2，故方程组的解为；（2）方程组整理，得，②×2﹣①，得5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入②，得6﹣2y＝6，解得y＝0，故方程组的解为．【方法总结】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．例3已知方程组与有相同的解，求m和n值．【解答】解：由已知可得，解得，把代入剩下的两个方程组成的方程组，得，解得m＝﹣1，n＝﹣4．【方法总结】解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力．例4糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？【解答】解：设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得：{5x +4=y 8(x −7)=y ，解得：{x =20y =104，答：竹签有20根，山楂有104个．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．例5中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某种药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙两种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示：车型甲乙运载量（吨/辆） 10 12 运费（元/辆）700720若全部中药材用甲、乙两种车型一次性运完，需支付运费9900元，问甲、乙两种车型各需多少辆？【解答】解：设甲种车型需x 辆，乙种车型需y 辆，根据题意得：，解得：，答：甲种车型需9辆，乙种车型需5辆．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．【随堂练习】1．如果3x 3m﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（） A ．m ＝2，n ＝3 B ．m ＝2，n ＝1C ．m ＝﹣1，n ＝2D ．m ＝3，n ＝4【解答】解：∵3x 3m ﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，∴{3m −2n =1n −m =1，解得：{m =3n =4，故选：D ．2．如果方程组{ax −by =134x −5y =41与{ax +by =32x +3y =−7有相同的解，则a ，b 的值是（）A ．{a =2b =1B ．{a =2b =−3C ．{a =52b =1D ．{a =4b =−5【解答】解：由已知得方程组{4x −5y =412x +3y =−7，解得{x =4y =−5，代入{ax −by =13ax +by =3，得到{4a +5b =134a −5b =3，解得{a =2b =1．故选：A ．3．解方程组：．【解答】解：，①+②×2得：13x ＝26，即x ＝2，把x ＝2代入②得：y ＝4，则方程组的解为．4．列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？【解答】解：设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟，依题意得：{x +y =1680x +200y =1880，解得：{x =11y =5．答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．5．某市要在A ，B 两景区安装爱心休闲椅，它有长条椅和弧形椅两种类型，其中每条长条椅可以同时供3人使用，每条弧形椅可以同时供5人使用．（列二元一次方程组解答）（1）市政府现在要为B 景区购买长条椅120条，弧形椅80条，若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元，为B 景区购买共花费了32800元，求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元？（2）现决定从某公司为A 景区采购两种爱心休闲椅共400条，且正好可让1400名游客同时使用，求A 景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条？【解答】解：（1）设长条椅的单价为x 元，弧形椅的单价为y 元，依题意得：，解得：．答：长条椅的单价为100元，弧形椅的单价为260元．（2）设A 景区采购长条椅m 条，弧形椅n 条，依题意得：，解得：．答：A 景区采购长条椅300条，弧形椅100条．知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜；（2）若＞，＞0则＞（或＞）；（3）若＞，＜0则＜（或＜）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④a b a c c b +a b c ac bc c a c b a b c ac bc c a cbax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x。

专题复习《方程组与不等式组》分式方程教学课件

专题复习《方程组与不等式组》分式方程教学课件ppt xx年xx月xx日•引言•知识回顾•分式方程介绍目录•分式方程的解题步骤•案例分析•总结与反思01引言学生在学习方程之前已经掌握了代数式、等式和不等式等基础知识，为学习方程组与不等式组奠定了基础。

方程组与不等式组是数学中的重要内容，对于提高学生数学素养和解决实际问题具有重要意义。

课程背景学习目标掌握方程组与不等式组的解法；理解方程组与不等式组的意义和作用；会用方程组与不等式组解决实际问题。

教学内容010203分式方程的解法；分式方程的应用；方程组与不等式组的综合练习。

02知识回顾线性方程组回顾线性方程组的解法，如高斯消元法、矩阵求解等。

非线性方程组总结常见的非线性方程组及其解法，如牛顿法、拟牛顿法等。

方程组回顾不等式组回顾不等式基本性质复习不等式的基本性质，如传递性、可加性、同向不等式的可加性等。

利用导数求解不等式总结利用导数求解不等式的方法和步骤，特别是不等式的单调性和极值点问题。

03分式方程介绍分式方程是一种特殊类型的方程，通常表现为等式两侧为两个分式。

分母中不含有未知数，且分母可以是多项式或单项式。

分式方程定义VS解分式方程的基本思想是将其转化为整式方程，通过求解得出未知数的值。

解分式方程的方法包括去分母、移项、合并同类项和系数化为1等步骤。

解分式方程时需要验根，确保所得解为原方程的解。

在解分式方程过程中要注意移项时符号的变化以及通分时最简公分母的选择。

VS04分式方程的解题步骤确定未知数，列出方程确定未知数在题目中找出需要求解的未知数，将其作为未知数。

列出方程根据题目中所给条件，列出含有未知数的分式方程。

化简方程通过移项、通分等方法，化简方程，将未知数的次数降低到最低。

求解未知数通过求解方程，得出未知数的值。

化简方程，求解未知数确定未知数的范围•确定未知数的范围：根据题目要求，确定所求未知数的取值范围。

检验根•检验根：将求得的未知数的值代入原方程中，检验是否为方程的根。

《方程(组)与不等式相结合的解集问题》专题(含解析)

《方程（组）与不等式相结合的解集问题》专题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 1．（2020春•常熟市期末）已知关于x、y的方程组（m是常数）．（1）若x+y＝1，求m的值；（2）若1≤x﹣y≤15．求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，化简：|2m+1|﹣|m﹣7|＝．2．（2020春•鼓楼区期末）已知4x+y＝1．（1）y＝．（用含x的代数式表示）（2）当y为非负数时，x的取值范围是．（3）当﹣1＜y≤2时，求x的取值范围．3．（2020春•仪征市期末）已知关于x、y的方程组．（1）求该方程组的解（用含a的代数式表示）；（2）若方程组的解满足x＜0，y＞0，求a的取值范围．4．（2020春•张家港市期末）已知关于x、y的方程组．（1）求方程组的解（用含m的代数式表示）；（2）若方程组的解满足x≤0，y＜0，且m是正整数，求m的值．5．（2020春•相城区期末）已知方程组的解x、y的值均大于零．（1）求a的取值范围；（2）化简：|2a+2|﹣2|a﹣3|．6．（2020春•汕尾期末）已知关于x，y的二元一次方程组（1）用含有m的代数式表示方程组的解；（2）如果方程组的解x，y满足x+y＞0，求m的取值范围．7．（2020春•东丽区期末）已知方程组的解x，y满足x+y＜1，且m为非负数，求m的取值范围．8．（2020春•高州市期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式x+y为非负数，求实数m的取值范围．9．（2020春•定襄县期末）已知关于x、y的方程组．（1）若a＝2，求方程组的解；（2）若方程组的解x、y满足x＞y，求a的取值范围．10．（2019春•三门县期末）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）当a＝2时，求方程组的解；（2）当a为何值时，y≥0？11．（2020春•张家港市校级月考）已知关于x，y的方程组．（1）求方程组的解（用含a的代数式表示）；（2）若方程组的解满足xy＜0，求a的取值范围．12．（2018春•开福区校级期中）已知关于x、y的方程组的解满足不等式x+y ＜3．（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，解关于a的方程|a﹣1|2．13．（2019春•新野县期中）已知关于x的二元一次方程组（k为常数）．（1）求这个二元一次方程组的解（用k的代数式表示）．（2）若方程组的解满足x+y＞5，求k的取值范围．14．（2018春•宽城区期中）感知：解方程组，下列给出的两种方法中，最佳的方法是（A）由①，得x代入②，先消去x，求出y，再代入求解；（B）将①代入②，得4×7﹣y＝27，解得y＝1，再代入求解．探究：利用最佳的方法解方程组应用：若关于x、y的二元一次方程组的解中x的值是正数，则a的取值范围为．15．（2019春•房山区期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y ＞5．求m的取值范围．16．（2016春•衡阳县校级期末）已知x＝1满足不等式组，求a的取值范围．17．（2019春•雁江区期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．18．（2020春•南关区月考）感知：解方程组，下列给出的两种方法中，方法简单的是．（A）由①，得x，代入②，先消去x，求出y，再代入求解．（B）将①代入②，得4×7﹣y＝27，解得y＝1，再代入求解．探究：解方程组．应用：若关于x，y的二元一次方程组的解中的x是正数，则a的取值范围为．19．（2020春•荔城区校级月考）已知关于x、y的方程组．（1）若此方程组的解是二元一次方程2x+3y＝16的一组解，求m的值；（2）若此方程组的解满足不等式x+3y＞6，求m的取值范围．20．（2020春•宝应县期末）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）若满足方程x﹣2y＝k，请求出此时这个方程组的解；（2）若该方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．21．（2020春•万州区期末）已知方程组的解满足x﹣2y＜8．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求代数式2（m2﹣m+1）﹣3（m2+2m﹣5）的值．22．（2020春•叙州区期末）若关于x、y的二元一次方程组．（1）若方程组的解满足x﹣y＝1，求k的值；（2）若x+y≤﹣1，求k的取值范围．23．（2014春•福清市校级期末）已知不等式组（1）当k＝﹣2时，不等式组的解集是：；当k＝3时，不等式组的解集是：（2）由（1）可知，不等式组的解集随k的值变化而变化，若不等式组有解，求k的取值范围并求出解集．24．（2020春•海淀区校级期中）已知关于x，y的方程组的解满足x＜y，求p的取值范围？25．（2020春•沭阳县期末）关于x、y的方程组的解满足x+y．（1）求k的取值范围；（2）化简：|5k﹣1|﹣|4﹣5k|．1．（2020春•常熟市期末）已知关于x、y的方程组（m是常数）．（1）若x+y＝1，求m的值；（2）若1≤x﹣y≤15．求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，化简：|2m+1|﹣|m﹣7|＝3m﹣6．【分析】（1）①+②，化简得出x+y，由x+y＝1列出关于m的方程，解之可得答案；（2）①﹣②，得：x﹣y＝2m+2，结合1≤x﹣y≤15得出关于m的不等式组，解之可得；（3）利用绝对值的性质去绝对值符号，再去括号、合并即可得．【解析】（1），①+②，得：3x+3y＝8m﹣2，则x+y，∵x+y＝1，∴1，解得m；（2）①﹣②，得：x﹣y＝2m+2，∵1≤x﹣y≤15，∴1≤2m+2≤15，解得2m+2≥1，得：m≥﹣0.5，解2m+2≤15，得m≤6.5，则﹣0.5≤m≤6.5；（3）∵﹣0.5≤m≤6.5，∴2m+1≥0，m﹣7≤﹣0.5，则原式＝2m+1﹣（7﹣m）＝2m+1﹣7+m＝3m﹣6，故答案为：3m﹣6．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和等式、不等式的基本性质、绝对值的性质是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．（2020春•鼓楼区期末）已知4x+y＝1．（1）y＝1﹣4x．（用含x的代数式表示）（2）当y为非负数时，x的取值范围是x．（3）当﹣1＜y≤2时，求x的取值范围．【分析】（1）根据等式的性质移项即可；（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可；（3）根据题意得出不等式组，求出不等式组的解集即可．【解析】（1）4x+y＝1，移项得：y＝1﹣4x，故答案为：1﹣4x；（2）∵y为非负数，∴y＝1﹣4x≥0，解得：x，故答案为：x；（3）∵﹣1＜y≤2，∴﹣1＜﹣4x+1≤2，∴﹣2＜﹣4x≤1，∴x，即x的取值范围是：x．【点评】本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，能根据等式的性质进行变形是解（1）的关键，能得出不等式或不等式组是进而（2）（3）的关键．3．（2020春•仪征市期末）已知关于x、y的方程组．（1）求该方程组的解（用含a的代数式表示）；（2）若方程组的解满足x＜0，y＞0，求a的取值范围．【分析】（1）利用加减消元法求解可得；（2）根据题意列出关于a的不等式组，解之可得．【解析】（1），②﹣①，得：x＝﹣2a+1，将x＝﹣2a+1代入①，得：﹣2a+1﹣y＝﹣a﹣1，解得y＝﹣a+2，所以方程组的解为；（2）根据题意知，解不等式﹣2a+1＜0，得，解不等式﹣a+2＞0，得a＜2，解得：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．（2020春•张家港市期末）已知关于x、y的方程组．（1）求方程组的解（用含m的代数式表示）；（2）若方程组的解满足x≤0，y＜0，且m是正整数，求m的值．【分析】（1）利用加减消元法求解可得；（2）根据题意列出不等式组，解之求出m的取值范围，从而得出答案．【解析】（1），由①，得2x+2y＝2m﹣18．③，由②+③，得5x＝10m﹣20，x＝2m﹣4；将x＝2m﹣4代入①，得y＝﹣m﹣5，∴原方程组的解为；（2）∵，∴，解得﹣5＜m≤2，且m是正整数，∴m＝1或m＝2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．（2020春•相城区期末）已知方程组的解x、y的值均大于零．（1）求a的取值范围；（2）化简：|2a+2|﹣2|a﹣3|．【分析】（1）把a看做已知数表示出方程组的解，根据x与y同号求出a的范围即可；（2）由a的范围判断绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解析】（1），①+②得：5x＝15﹣5a，即x＝3﹣a，代入①得：y＝2+2a，根据题意得：解得﹣1＜a＜3；（2）∵﹣1＜a＜3，∴|2a+2|﹣2|a﹣3|＝2a+2+2a﹣6＝4a﹣4．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组，绝对值的性质，是基础题，难度不大．6．（2020春•汕尾期末）已知关于x，y的二元一次方程组（1）用含有m的代数式表示方程组的解；（2）如果方程组的解x，y满足x+y＞0，求m的取值范围．【分析】（1）将m看做已知数求出方程组的解即可；（2）根据已知不等式求出m的范围即可．【解析】（1）①﹣②，得3y＝12﹣3m，解得y＝4﹣m．将y＝4﹣m代入②，得x﹣（4﹣m）＝3m，解得x＝2m+4．故方程组的解可表示为；（2）∵x+y＞0，∴2m+4+4﹣m＞0，解得m＞﹣8．故m的取值范围是m＞﹣8．【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．7．（2020春•东丽区期末）已知方程组的解x，y满足x+y＜1，且m为非负数，求m的取值范围．【分析】根据消元法，得出x、y的值，再根据x+y＜1，且m为非负数，可得答案．【解析】，①+②，得：3x+3y＝2+2m，∴x+y，∵x+y＜1，即1，解得，m，又∵m≥0，∴．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出m的取值范围．8．（2020春•高州市期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式x+y为非负数，求实数m的取值范围．【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于a的式子，代入x+y＞0，然后解出a的取值范围．【解析】方程组中两个方程相加得3x+3y＝3+m，即x+y＝1m，又x+y≥0，即1m≥0，解一元一次不等式得m≥﹣3．【点评】本题是综合考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合运用，灵活运用二元一次方程组的解法是解决本题的关键．9．（2020春•定襄县期末）已知关于x、y的方程组．（1）若a＝2，求方程组的解；（2）若方程组的解x、y满足x＞y，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝2代入，解利用加减消元法求解可得；（2）解方程组得出x、y，再根据x＞y得出关于a的不等式，解之可得．【解析】（1）当a＝2时，，①﹣②，得：3y＝6，y＝2，将y＝2代入①，得：x+2＝11，x＝9，则方程组的解为；（2）解方程组得，∵x＞y，∴，解得a．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．10．（2019春•三门县期末）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）当a＝2时，求方程组的解；（2）当a为何值时，y≥0？【分析】（1）用加减消元法求解即可；（2）解出二元一次方程组中y关于a的式子，然后即可解出a的范围．【解析】（1）当a＝2时，方程组为，②×3﹣①×2得，17y＝17，解得y＝1，把y＝1代入①得，3x﹣4＝2，解得x＝2，所以，方程组的解是；（2）①×2﹣②×3得，﹣17y＝5a﹣27，即y，解0，得，a，∴当a时，y≥0．【点评】此题考查的是二元一次方程组和解一元一次不等式，明确解题步骤是关键．11．（2020春•张家港市校级月考）已知关于x，y的方程组．（1）求方程组的解（用含a的代数式表示）；（2）若方程组的解满足xy＜0，求a的取值范围．【分析】（1）利用加减消元法解之可得；（2）根据xy＜0得出关于a的不等式组，解之可得．【解析】（1）两个方程相加，得：3x＝6a+3，解得x＝2a+1，将x＝2a+1代入2x+y＝5a，得：4a+2+y＝5a，解得y＝a﹣2，∴方程组的解为；（2）根据题意，得：或，解得a＜2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12．（2018春•开福区校级期中）已知关于x、y的方程组的解满足不等式x+y ＜3．（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，解关于a的方程|a﹣1|2．【分析】（1）先用a表示出x、y的值，再代入不等式x+y＜3即可得出关于a的不等式，进而得出a的取值范围．（2）先取绝对值，再解一元一次方程即可求解．【解析】，①+②得3x＝6a+3，解得x＝2a+1；把x＝2a+1代入①得2a+1﹣y＝3，解得y＝2a﹣2，∵x+y＜3，∴2a+1+2a﹣2＜3，解得a＜1．故实数a的取值范围为a＜1；（2）∵a＜1，∴|a﹣1|2可以变形为﹣a+12，解得a．【点评】本题考查的是解二元一次方程组及一元一次不等式，先根据题意用a表示出x、y的值是解答此题的关键．13．（2019春•新野县期中）已知关于x的二元一次方程组（k为常数）．（1）求这个二元一次方程组的解（用k的代数式表示）．（2）若方程组的解满足x+y＞5，求k的取值范围．【分析】（1）利用加减消元法求解可得；（2）由方程组的解满足x+y＞5，得5，解之可得．【解析】（1）①+②得4x＝2k﹣1，∴，代入①得，所以方程组的解为；（2）方程组的解满足x+y＞5，所以5，∴．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．（2018春•宽城区期中）感知：解方程组，下列给出的两种方法中，最佳的方法是（B）（A）由①，得x代入②，先消去x，求出y，再代入求解；（B）将①代入②，得4×7﹣y＝27，解得y＝1，再代入求解．探究：利用最佳的方法解方程组应用：若关于x、y的二元一次方程组的解中x的值是正数，则a的取值范围为a＞4．【分析】感知：根据题目中的解答过程可知（B）种方法简答；探究：根据感知中的解答方法可以解答此方程组；应用：根据感知中的方法，可以用含a的代数式表示出x，再根据方程组的解中x是正数，从而可以求得a的取值范围．【解析】感知：由题目中的解答过程可知，最佳的方法是（B），故答案为：（B）；探究：，将①代入②，得2×2018﹣5y＝3951，解得，y＝17，将y＝17代入①，得x＝2001，故原方程组的解是；应用：，将①代入②，得，解得，x，∵关于x、y的二元一次方程组的解中x的值是正数，∴0，解得，a＞4，故答案为：a＞4．【点评】本题考查解一元一次不等式、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．15．（2019春•房山区期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y ＞5．求m的取值范围．【分析】将两个方程相加得出3x+3y＝﹣2m+2，结合x+y＞5知3x+3y＞15，据此列出关于m的不等式，解之可得．【解析】两个方程相加可得3x+3y＝﹣2m+2，∵x+y＞5，∴3x+3y＞15，则﹣2m+2＞15，解得m．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．16．（2016春•衡阳县校级期末）已知x＝1满足不等式组，求a的取值范围．【分析】首先对不等式组进行化简，根据不等式的解集的确定方法，就可以得出a的范围．【解析】将x＝1代入3x﹣5≤2x﹣4a，得4a≤4，解得a≤1；将x＝1代入3（x﹣a）＜4（x+2）﹣5，得a．不等式组解集是a≤1，a的取值范围是a≤1．【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．17．（2019春•雁江区期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．【分析】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值．【解析】（1）解原方程组得：，∵x≤0，y＜0，∴，解得﹣2＜m≤3；（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，∵x＞1，∴2m+1＜0，∴m，∴﹣2＜m，∴m＝﹣1．【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．（2020春•南关区月考）感知：解方程组，下列给出的两种方法中，方法简单的是B．（A）由①，得x，代入②，先消去x，求出y，再代入求解．（B）将①代入②，得4×7﹣y＝27，解得y＝1，再代入求解．探究：解方程组．应用：若关于x，y的二元一次方程组的解中的x是正数，则a的取值范围为a＞4．【分析】感知：根据题目中的解答过程可知（B）种方法简答；探究：根据感知中的解答方法可以解答此方程组；应用：根据感知中的方法，可以用含a的代数式表示出x，再根据方程组的解中x是正数，从而可以求得a的取值范围．【解析】感知：由题目中的解答过程可知，最佳的方法是（B），故答案为：（B）；探究：，将①代入②，得1009﹣5y＝1094，解得，y＝﹣17，将y＝﹣17代入①，得x＝2035，故原方程组的解是；应用：，将①代入②，得，解得，x，∵关于x，y的二元一次方程组的解中的x是正数，∴0，解得，a＞4，故答案为：a＞4．【点评】本题考查解一元一次不等式、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．19．（2020春•荔城区校级月考）已知关于x、y的方程组．（1）若此方程组的解是二元一次方程2x+3y＝16的一组解，求m的值；（2）若此方程组的解满足不等式x+3y＞6，求m的取值范围．【分析】（1）根据方程组的解法解答即可；（2）根据不等式的解法解答即可．【解析】（1），①﹣②得：3y＝﹣6m，解得：y＝﹣2m，①+②×2得：3x＝21m，解得：x＝7m，将x＝7m，y＝﹣2m代入2x+3y＝16得：14m﹣6m＝16，解得m＝2；（2）由（1）知：x＝7m，y＝﹣2m，代入x+3y＞6，得（﹣6m）＞6，∴m．【点评】此题考查解一元一次不等式问题，关键是根据一元一次不等式的解法解答．20．（2020春•宝应县期末）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）若满足方程x﹣2y＝k，请求出此时这个方程组的解；（2）若该方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．【分析】（1）把x与y的值代入已知方程求出k的值，进而求出方程组的解即可；（2）表示出方程组的解，根据x＞y，求出k的范围即可．【解析】（1）把代入x﹣2y＝k得：k＝3+4＝7，方程组为，①﹣②×2得：y＝﹣9，把y＝﹣9代入①得：x＝﹣11，则方程组的解为；（2），①﹣②得：x﹣y＝5﹣k，∵x＞y，即x﹣y＞0，∴5﹣k＞0，解得：k＜5．【点评】此题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．21．（2020春•万州区期末）已知方程组的解满足x﹣2y＜8．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求代数式2（m2﹣m+1）﹣3（m2+2m﹣5）的值．【分析】（1）解方程组得出x＝2m+1，y＝1﹣2m，代入不等式x﹣2y＜8，可求出m的取值范围；（2）根据题意求出m＝1，化简原式即可得出答案．【解析】（1）解方程组得，，∵x﹣2y＜8，∴2m+1﹣2（1﹣2m）＜8，解得，m．（2）∵m，m为正整数，∴m＝1，∴原式＝2m2﹣2m+2﹣3m2﹣6m+15＝﹣m2﹣8m+17．当m＝1时，原式＝﹣1﹣8+17＝8．【点评】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．22．（2020春•叙州区期末）若关于x、y的二元一次方程组．（1）若方程组的解满足x﹣y＝1，求k的值；（2）若x+y≤﹣1，求k的取值范围．【分析】（1）先利用加减消元法解方程组得到，则利用x﹣y＝1得到﹣17k﹣15﹣（9k+10）＝1，然后解关于k的方程即可；（2）利用x+y≤﹣1得到﹣17k﹣15+9k+10≤﹣1，然后解关于k的不等式即可．【解析】（1）解方程组得，∵x﹣y＝1，∴﹣17k﹣15﹣（9k+10）＝1，∴k＝﹣1；（2）∵x+y≤﹣1，∴﹣17k﹣15+9k+10≤﹣1，∴k．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．也考查了解二元一次方程组．23．（2014春•福清市校级期末）已知不等式组（1）当k＝﹣2时，不等式组的解集是：﹣1＜x＜1；当k＝3时，不等式组的解集是：无解（2）由（1）可知，不等式组的解集随k的值变化而变化，若不等式组有解，求k的取值范围并求出解集．【分析】（1）把k＝﹣2和k＝3分别代入已知不等式组，分别求得三个不等式的解集，取其交集即为该不等式组的解集；（2）当k为任意有理数时，要分1﹣k＜﹣1，1﹣k＞1，﹣1＜1﹣k＜1三种情况分别求出不等式组的解集．【解析】（1）把k＝﹣2代入，得，解得﹣1＜x＜1；把k＝3代入，得，无解．故答案是：﹣1＜x＜1；无解；（2）若k为任意实数，不等式组的解集分以下三种情况：当1﹣k≤﹣1即k≥2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为无解；当1﹣k≥1即k≤0时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1；当﹣1＜1﹣k＜1即0＜k＜2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1﹣k．【点评】本题考查的是不等式的解集，特别注意在解（2）时要分三种情况求不等式组的解集．24．（2020春•海淀区校级期中）已知关于x，y的方程组的解满足x＜y，求p的取值范围？【分析】解不等式组求出，再根据x＜y得出关于p的不等式，解之可得答案．【解析】解方程组，得：，∵x＜y，∴p+5＜﹣p﹣7，解得p＜﹣6．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．25．（2020春•沭阳县期末）关于x、y的方程组的解满足x+y．（1）求k的取值范围；（2）化简：|5k﹣1|﹣|4﹣5k|．【分析】（1）两方程相加、化简得出x+y，结合x+y知，解之可得答案；（2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再去括号、合并即可得．【解析】（1）将两个方程相加可得3x+3y＝k+1，则x+y，∵x+y，∴，解得k；（2）原式＝5k﹣1﹣（5k﹣4）＝5k﹣1﹣5k+4＝3．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．。

专题：方程组与不等式含参问题

专题：方程组和不等式的含参问题【考点1：二元一次方程组的含参问题】【例题精讲】二元一次方程组的定解问题方法：当含有字母参数的方程组的解已经给出时，可把解直接带入原方程组，构造出关于字母的方程，进而求得其值。

例题1 （17-18天河）若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+51ay bx by ax 的解，则b a 3+=_______. 答案：6【举一反三】1．（17-18白云）03x y =⎧⎨=⎩和15x y =⎧⎨=⎩都是方程y kx b =+的解，则（）A ．23k b =⎧⎨=⎩B ．23k b =-⎧⎨=⎩C ．23k b =-⎧⎨=-⎩D ．23k b =⎧⎨=-⎩答案：A2．（19-20番禺）已知12x y 是二元一次方程24x ay 的一个解，则a 的值为（） A ．2 B ．−2 C ．1 D ．−1答案：C3．（17-18番禺）在等式2y ax bx c =++中，当x =−1时，y =0；当x =2时，y =3，则a +b 的值为________．答案：14．（18-19荔湾）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是( ) A ．2- B ．2C ．3D ．3-答案：B【例题精讲】二元一次方程组的同解问题方法：当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含字母参数的二元一次方程组组成方程组，并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组。

例题1．（17-18越秀）若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-+=+7)12(843y m mx y x 的解也是二元一次方程1132=-y x 的解，则m 的值为 .【举一反三】已知关于x,y 的方程组x 52522y ax by +=⎧⎨+=-⎩与2x-y=1ax-by-8=0⎧⎨⎩有相同的解，则a= ,b= .【例题精讲】二元一次方程组的解满足特定关系式问题方法：方程组的解满足一定的等式的字母求值问题，常常应把方程组中的字母当作已知数，用含有它的式子表示方程组的解，再根据满足的等式，构造出关于字母的方程。

专题复习《方程组与不等式组》分式方程教学课件ppt

要点三
不等式的性质
不等式的解是一个满足所有不等式的解的集合，同时解的个数可能有限或者无穷。
03
分式方程的解法及应用
分式方程的解法
01
解题步骤
解分式方程的步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1 。
02
注意问题
在解分式方程过程中，需要注意不能漏乘分母，不能忽视分母为0的情况，同时要注意验根。
VS
举例
例如，在解决追及问题、工程问题、利润问题等实际问题时，分式方程可以迅速准确地得到答案，提高解决问题的效率。
分式方程未来的发展方向和趋势
拓展
随着数学和其他学科的不断发展，分式方程的理论和应用方面也在不断深化和完善。未来，分式方程可能会更加注重与其他数学分支、计算机科学、物理等领域的交叉融合，开拓新的研究领域和应用范围。
方程组的解法
对方程组进行求解，得到各个变量的值，通常使用代入法或消元法。
方程组的性质
方程组的解是一个满足所有方程的解，同时解的个数可能有限或者无穷。
不等式组基础知识回顾
要点一
不等式组的概念
要点二
不等式的解法
不等式组是由多个不等式组成的数学模型，用于描述多个变量之间的关系。
对不等式进行求解，得到各个变量的取值范围，通常使用分离常数法、图像法等。
创新
未来可以通过创新的方式，将分式方程的理论和方法应用到更多领域中，如金融、环境科学、生物医学等领域，为解决实际问题提供更多有效的方法和工具。
学习建议和提升方法
方法
为了更好地掌握分式方程，学生应该注重概念的理解和方法的掌握，多做练习题和实际问题的应用题，提高解题能力和应用水平。

方程(组)与不等式(组)知识点

中考复习三方程（组）与不等式（组）【一次方程及方程】一、等式与方程的有关概念1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤：①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 二、二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有未知数（元）并且未知数的次数是的整式方程.2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的组成的方程组叫二元一次方程组.3．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有个解.4．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤：二元一次方程组方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有消元和消元法两种. 6．易错知识辨析：（1）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.（2）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；（3）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值；（4）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.1.（2009年，3分）如图9加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55 cm ，此时木桶中水的深度是 cm ．2.（2010年，2分）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x 张，根据题意，下面所列方程正确的是 A ．48)12(5=-+x x B ．48)12(5=-+x x C ．48)5(12=-+x x D ．48)12(5=-+x x 【一元二次方程及其应用】1.一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)x b ac =-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.4．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。

专题2：方程和不等式(组)常见题型和解题方法(终稿)

2017—2018学年度第二学期初三数学中考复习专题2：方程和不等式（组）常见题型和解题方法一、热点再练：1. 方程36x =的解为 .2. 关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有一个根为1，则a +b +c = . 3．方程0532=++px x 的一个根为5，另一个根为______、p =_______.4．如果关于x 的方程(m –2)x 2–2x +1=0有解，则m 的取值范围是_______.5．已知关于x 的方程a (1–x 2)+2bx +c (1+x 2)=0有两个相等的实数根且a 、b 、c 均为正数，以a 、b 、c 为边围成一个三角形，则该三角形是________三角形.6．方程)2()2(2-=-x x 的根是________.方程组⎩⎨⎧=+=-1435y x y x 的解为________. 7．若关于x 的一元一次不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是________. 8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【】A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩， C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩， D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， 9．下列方程中，两实数根之和是2的是【】A ．x 2–2x +5=0B ．x 2+2x –5=0C ．x 2+2x +5=0D ．x 2–2x –5=010．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且10x <，2130x x -<，则【】A ．1,2m n >⎧⎨>⎩B ．1,2m n >⎧⎨<⎩C ．1,2m n <⎧⎨>⎩D ．1,2m n <⎧⎨<⎩11．已知直线y =2x －b 经过点（－2，0），则关于x 的不等式2x －b ≥0的解集为__________．12．设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两根分别为α、β，且a <β，则a ，β满足【】A ．1<a <β<2B ．1<a <2<βC ．a <1<β<2D ．a <1且β>2（第9题）13．关于x 、y 的二元一次方程组5323x y x y p +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，则整数p 的值为__________． 14．解分式方程225103x x x x-=+-．二、规律剖析例1. 解不等式组：331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪---⎩，≤并在数轴上把解集表示出来．例2.已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，求k 的取值范围．例3. 已知关于x 的一元二次方程mx 2－（3m ＋1）x ＋2m ＋2＝0的两实根为x 1，x 2．（1）请用含m 的代数式表示x 1，x 2；（2）且n ＝x 2－x 1－1，求在直角坐标系xOy 中动点P （m ，n ）所形成的曲线解析式．三、变式训练1. 若关于x 的不等式组10,233544(1)3x x x a x a+⎧+>⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．2. 若关于x 的分式方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是．3．已知关于x 的一元二次方程2(41)330mx m x m -+++=的两个实数根分别为1x ，2x ，212n x x =--，设点A （1，a ），B （b ，2）两点在动点P （m ，n ）所形成的曲线上，求直线AB 的解析式．四、分层作业1．一元二次方程(2x －1)2＝(3－x )2的解是．2．关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是【】A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜23．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了张．4．设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝． 5. 下列关于x 的方程有实数根的是【】A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝06．若关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0有两个相等的实数根，则m = ．7．下列一元二次方程两实数根和为－4的是【】A ．x 2＋2x －4=0B ．x 2－4x ＋4=0C ．x 2＋4x ＋10=0D ．x 2＋4x －5=08．已知关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A ．－2B ．0C ．1D ．29．若关于x 的一元一次不等式组10,0x x a -<⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（） A ．a ≥1 B ．a ＞1C ．a ≤－1D ．a ＜－1 10．关于x 的不等式x －b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（）A ．―3＜b ＜―2B ．―3＜b ≤―2C ．―3≤b ≤―2D ．―3≤b ＜―211．求不等式组364,213(1)x x x x --⎧⎨+>-⎩≥的解集，并写出它的整数解．12.已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．13. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？14. 关于x的一元二次方程ax2－3x＋1＝0的两个不相等的实数根都在0和1之间（不包括0和1），求a的取值范围．★15.已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，求整数a的值．★16.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．。

专题二：方程(组)与不等式(组)

专题二：方程（组）与不等式（组）复习目标：1、能够运用恰当的方法熟练地解方程（组）或不等式（组）。

2、会运用方程（组）与不等式（组）解决实际问题。

复习重点：熟练地运用恰当方法解方程（组）或不等式（组）复习难点：方程（组）或不等式（组）在实际问题中的运用。

学教过程：一、基本知识填空（一）一次方程（组）的有关概念：1、方程中只含有___个未知数，未知数的指数是____次，未知数的系数_____________，这样的方程叫一元一次方程。

2、一元一次方程的一般形式为__________________________。

练习：若(m-2)x 32m=5是一元一次方程，m 的值是（）A.±2B.﹣2C.2D.43、含有____个未知数，并且未知数的项的最高次数都是____次的整式方程叫二元一次方程。

4、把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个___________________。

5、一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解。

6练习：1、若方程组则a+b=_______. 2、解方程组（二）等式的基本性质：1、等式的两边加（或减）________，结果仍相等，用式子表示：若a=b,则a ±c=________.2、等式两边乘以_________（或除以）____________，结果仍相等，用式子表示：若a=b ，则ac=________；若a=b ，则ca=_______（c ≠0）练习：根据等式的基本性质，下列各式中变形正确的是（）A 若2x+5=13 则2x=13+5B 若5x=3x-2 ,则5x-3x=2C 若-x=5,则x= -5D 若3x =1,则x=31(三) 一元二次方程 1、定义：只含有个未知数，且未知数的最高次是，这样的方程叫做一元二次方程。

2、一元二次的一般形式：。

练习：（1）若方程（a-1）x 12+a+5x-3=0是一元二次方程，则a= .（2）把方程21+x =33-x 2化为一般形式。

专题3：方程(组)和不等式(组)

2001-2012年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题3：方程（组）和不等式（组）锦元数学工作室编辑一、选择题1. （江苏省南通市2002年3分）用换元法解方程2220x 3x 8x 3x=+-+，若设x 2＋3x=y ，则原方程可化为【】A ．20y 2＋8y －1=0 B ．8y 2－20y ＋1=0 C ．y 2＋8y －20=0 D ．y 2－8y －20=0 【答案】D 。

【考点】换元法解分式方程。

【分析】根据原方程的特点，把x 2+3x 看作整体，用y 代替，转化为关于y 的分式方程20y 8y=-，去分母并整理得一元二次方程y 2－8y －20=0。

故选D 。

2. （江苏省南通市2002年3分）某厂今年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月上升的百分率是多少？若设4、5月份平均每月上升的百分率为x ，则列出的方程是【】A ．50（1＋x ）=72B ．50（1＋x ）＋50（1＋x ）2 = 72C ．50（1＋x ）×2=72 D．50（1＋x ）2 = 72【答案】D 。

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）【分析】设4、5月份平均每月上升的百分率为x ，4月份的产值为50(1＋x)，则5月份的产值为50(1＋x) (1＋x) ＝50(1＋x)2。

据此列出方程50(1＋x)2=72。

故选D 。

3. （江苏省南通市2004年3分）一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是【】A 、126312312=--x x B 、131226312=-+xxC 、126312312=+-x x D 、131226312=--xx【答案】C 。

【考点】由实际问题抽象出分式方程【分析】关键描述语为：“现在该列车从甲站到乙站用的时间比原来减少了1h ．”；等量关系为：提速前所用的时间-提速后用的时间=1。

第二章《方程(组)与不等式(组)》自我测评

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(2)∵当 t>350 时， (0.25t＋ 20.5)－ (0.19t＋ 21.5)＝ 0.06t－ 1>0， ∴当两种计费方式的费用相等时，t 的值在 150<t<350 内取得．∴列方程 0.25t＋ 20.5＝88，解得 t ＝ 270. 答：当主叫时间为 270 分时，两种计费方式的费用相等．
2 2 x1· x2－ x1 －x2 ≥ 0
成立．
∵ x1， x2 是原方程的两根， ∴ x1＋x2＝ 2k＋1，x1· x2 由 x1· x2－x1 － x2 ≥ 0，得 3x1· x2－(x1＋x2) ≥0. ∴ 3(k2＋ 2k)－ (2k＋ 1)2≥0，整理，得－ (k－1)2≥0， ∴只有当 k＝ 1 时，上式才能成立．
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10． (2013· 梧州 )父子两人沿周长为 a 的圆周骑自行车匀速行驶，同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为 11 倍．已知儿子的速度为 v，则父亲的速度为 ( B ) A． 1.1v B． 1.2v C． 1.3v D． 1.4v
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二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分 ) 1 11． (2013· 包头 )不等式 (x－ m)＞3－ m 的解集为 x 3 ＞ 1，则 m 的值为 4 .
2 2 2 2
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解： (1)∵原方程有两个实数根， ∴ b2－ 4ac＝ [－ (2k＋ 1)]2－ 4(k2＋ 2k)≥ 0. 1 ∴ 4k ＋ 4k＋ 1－ 4k － 8k≥ 0， ∴1－ 4k≥ 0， ∴k≤ . 4 1 ∴当 k≤ 时，原方程有两个实数根． 4
2 2
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(2)假设存在实数 k，使得＝ k2＋2k.

中考数学精讲篇考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第一节一次方程(组)及其应用

5．(数学文化)《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的质量各为多少？设一只雀的质量为 x 斤，一只燕的质量为 y
5x＋6y＝1，斤，则可列方程组为__4x＋y＝5y＋__x.
【考情分析】广西近 6 年主要考查解一元一次方程或二元一次方程组，应用一元一次方程或二元一次方程组解决简单的实际问题，难度小，分值 3－10 分，常在解答题中与不等式、一次函数的实际应用结合考查．
x＝1，则方程组的解为y＝－1.
x－3y＝－2， 5．(2020·玉林第 20 题 6 分)解方程组：2x＋y＝3.
x－3y＝－2①，解：2x＋y＝3②. ①＋②×3 得 x＋6x＝－2＋3×3，解得 x＝1，将 x＝1 代入②得 2＋y＝3，解得 y＝1.
x＝1，则方程组的解为y＝1.
根据题意可列方程组为
y＝3x－2， A.y＝2x＋9
y＝3x－2， C.y＝2x－9
y＝3（x－2）， B.y＝2x＋9
y＝3（x－2）， D.y＝2x－9
( B)
7．(2021·桂林第 24 题 8 分)为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多 200 m2，甲队与乙队合作一天能完成 800 m2 的绿化改造面积． (1)甲、乙两工程队每天各能完成多少 m2的绿化改造面积？ (2)该社区需要进行绿化改造的区域共有 12 000 m2，甲队每天的施工费用为 600 元，乙队每天的施工费用为 400 元，比较以下三种方案： ①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？

专题07方程与不等式(教师版含详细解析)

专题07方程与不等式专题综述一元二次不等式的解法是初中阶段一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，也与后面的线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.一元二次不等式的解法在整个高中数学中具有很强的基础性和工具性.一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间有着密切联系，理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系.二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，要深入理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一元二次不等式的解题步骤：①.将含x的式子用y来表示，构建一个一元二次函数；②.令这个函数中的y=0，构建一个一元二次方程，求出对应方程的解，即找到图中的关键点——函数的零点；③.利用图象开口与零点画出对应函数的草图；④观察草图，得出不等式所对应的解集.课程要求《初中课程要求》1、了解了一元二次不等式的概念，会解一些简单的元二次不等式，如二次项系数为1的一元二次不等式2、熟悉一元二次方程的求根公式，初步认识了一元二次方程与二次函数的关系，但对根的分布情况没有深入了解《高中课程要求》1、熟练各种一元二次不等式的解法，并熟记解题技巧，会解含参数的一元二次不等式2、理解一元二次方程根的各种分布情况，能找出每种分布情况的等价条件并求解；掌握利用二次函数的图象来解决根的分布问题知识精讲高中必备知识点1：二元二次方程组的解法方程22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．高中必备知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x 2，0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，由图2.3－2①可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ＜x 1，或x ＞x 2；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为x 1＜x ＜x 2．（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ≠－b 2a；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．典例剖析高中必备知识点1：二元二次方程组的解法【典型例题】已知方程组2+22−6=0=B+3有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.【答案】=±1,当=1时=−2=1;当=−1时=2=1【解析】2+22−6=0①=B+3②把②代入①后计算得22+12+12B+12=0，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m）2−4（2m2+1）•12＝0，解得：=±1，当=1时，解得=−2=1当=−1时，解得=2=1【变式训练】解方程组：2−B−22=0,2+2B+2=1,【答案】1=231=13;2=−232=−13【解析】x2−B−2y2=0①x2+2B+y2=1②，由①得（x+y）（x-2y）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得（x+y）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为+=0+=1或+=0+=−1或−2=0+=1或−2=0+=−1，所以原方程组的解为x1=23y1=13x2=−23y2=−13．【能力提升】解方程组： +=4; 2 +B−22 =0.【答案】1=81=−4,2=22=2【解析】由②得：(+2p(−p=0所以+2=0或−=0所以+=4+2=0或+=4−=0,所以原方程组的解为1=81=−4,2=22=2.高中必备知识点2：一元二次不等式的解法【典型例题】解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；【答案】(1)4{x/-2x}3≤≤.(2){x/-2x1,23}x≤<-<≤.【解析】(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.【变式训练】求不等式()()2460x x --≤的解．【答案】{|2x x ≤-或26}x ≤≤【解析】由题意，不等式()()2460x x --≤，可得24060x x ⎧-≤⎨-≥⎩或24060x x ⎧-≥⎨-≤⎩，由不等式组24060x x ⎧-≤⎨-≥⎩，可得解集为ϕ由不等式组24060x x ⎧-≥⎨-≤⎩，可得解集为2x -≤或26x ≤≤，所以不等式的解集为{|2x x ≤-或26}x ≤≤.【能力提升】解下列不等式：（1）0622≥+--x x ；（2）012>++x x ；（3）(31)(1)4x x -+>．【答案】（1）3{|2}2x x -≤≤；（2）R ；（3）5{|3x x <-或1}x >.【解析】（1）由题意，不等式0622≥+--x x ，可化为23262(2)()02x x x x +-=+-≤，所以不不等式的解集为3{|2}2x x -≤≤；（2）由题意，可得22131()024x x x ++=++>，所以不等式的解集为R ；（3）由不等式(31)(1)4x x -+>，可化为23250x x +->，即5(1)(03x x -+>，所以不等式的解集为5{|3x x <-或1}x >.对点精练1．若实数a 使关于x 的不等式组312(3)23x x x a +≥-⎧⎪-⎨<⎪⎩至少有3个整数解，且使关于y 的分式方程4133y y ay y-+=--有正整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．7-B ．12-C ．21-D ．23-【答案】B解：解不等式组312(3)23x x x a +≥-⎧⎪-⎨<⎪⎩可得：76x x a ≥-⎧⎨<+⎩，∵不等式组至少有3个整数解，∴65a +>-,∴11a >-，解分式方程4133y y a y y-+=--可得：32ay --=，∵分式方程有正整数解，∴332a y --=≠且302ay --=>，∴9a ≠-，且3a <-，∴a 可以取值为-7，-5，∴符合条件的所有整数a 的和为-7-5=-12，故选B ．2．不等式组8596217x x x +>+⎧⎨-<⎩的解集为（）A ．14x -<<B ．1x <-C ．4x <D ．无解【答案】B 解：8596217x x x +>+⎧⎨-<⎩①②，由①得：x ＜-1，由②得：x ＜4，∴不等式组的解集为：1x <-．故选B ．3．已知关于x 的分式方程131022ax x x -+-=--有整数解，且关于x 的不等式组()431122x x x x a ⎧≥-⎪⎨--<⎪⎩有且只有3个负整数解，则符合条件的所有整数a 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A解：分式方程去分母得：1-ax -3-2+x =0，即（1-a ）x =4，由分式方程有整数解，得到1-a ≠0，解得：x =41a-，不等式组整理得：3213x a x ≥-⎧⎪-⎨<⎪⎩，即2a 13x 3--≤<，由不等式组有且只有3个整数解，得到21103a --<≤，解得：-1＜a ≤12，由x 为整数，且421a≠-，得到1-a =±1，-2，±4，解得：a =0，则符合条件的所有整数a 的个数为1，故选：A ．4．已知不等式组122x a x b +>⎧⎨-<⎩的解为：23x -<<，则()2020a b -的值为（）A ．1B ．2020C ．-1D ．-2020【答案】A解：解不等式x +a ＞1，得：x ＞1﹣a ，解不等式2x -b ＜2，得：x ＜22b+，所以不等式组的解集为1﹣a ＜x ＜22b+，∵不等式组的解集为﹣2＜x ＜3，∴1﹣a =﹣2，22b+=3，解得：a =3，b =4，∴202020202020()(34)(1)a b -=-=-=1．故选：A ．5．下面是解不等式2163x x ->-的过程，每一步只对上一步负责，则其中有错的步骤是（）解：∵2163x x ->-∴624x x >--①∴264x x ->-②∴2x ->③∴2x >-④A ．只有④B ．①③C ．②④D ．①②④【答案】D ∵2163x x ->-，∴624x x >-+，故①错误；由624x x >--，得32x >，故②错误；由264x x ->-，得2x ->，故③正确；由2x ->，得2x <-，故④错误．综上所述：错误点步骤有：①②④故选：D ．6．下列命题正确的是（）A ．若||x x -=-，则0x ≥B ．m ，n 为整数，若2,2m n a b ==，则332m n a b +=+C ．若0(1)1x -=，则1x >D ．若0a b >>，则22a b >【答案】D解：A 、若||x x -=-，则0x -≥，解得0x ≤，故此选项不符合题意；B 、m ，n 为整数，若2m a =，2n b =，则()333322222m n m n m n ab +=== ，故此选项不符合题意；C 、若0(1)1x -=，10x -≠即1x ≠，故此选项不符合题意；D 、若0a b >>，则22a b >，故此选项符合题意．故选D ．7．不等式组1214x x +>⎧⎨+<⎩的解集在数轴上表示为（）A．B ．C．D ．【答案】A 解：1214x x +>⎧⎨+<⎩①②解不等式①得，1x >；解不等式②得，3x <所以，不等式组的解集为：13x <<在数轴上表示为：故选：A ．8．若关于x 的一元一次不等式组21341x x x a⎧>-⎪⎨⎪+≥⎩恰有3个整数解，且一次函数()21y a x a =-++不经过第三象限，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】C解：由不等式组21341x x x a⎧>-⎪⎨⎪+≥⎩，得134a x -≤<，∵关于x 的一元一次不等式组21341x x x a⎧>-⎪⎨⎪+≥⎩恰有3个整数解，∴1104a --<≤，解得-3＜a ≤1，∵一次函数y =（a -2）x +a +1不经过第三象限，∴a -2＜0且a +1≥0，∴-1≤a ＜2，又∵-3＜a ≤1，∴-1≤a ≤1，∴整数a 的值是-1，0，1，∴所有满足条件的整数a 的值之和是：-1+0+1=0，故选：C ．9．关于x 的不等式组121232x x x a -+⎧-≤⎪⎨⎪->⎩只有3个整数解，求a 的取值范围（）A ．89a ≤＜B ．89a <≤C ．89a <<D ．89a ≤≤【答案】A 解：121232x x x a -+⎧-≤⎪⎨⎪->⎩①②，解①得，13x ≤，解②得，2x a >+，∴不等式组的解集为：213a x +<≤，∵不等式组只有3个整数解，∴10211a ≤+<，解得，89a ≤<，故选：A ．10．若整数a 是使得关于x 的不等式组1164265x x x a -⎧>-⎪⎨⎪-≥⎩有且只有2个整数解，且使得且关于y 的分式方程231y y +-＋11a y+-＝a 有非负数解，则所有满足条件的整数a 的个数为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B 解：1164265x x x a -⎧-⎪⎨⎪-≥⎩①②由①得，2（x -1）＞3x -6解得：x ＜4，由②得，x ≥5+6a ，∵有且只有2个整数解，∴1＜5+6a ≤2，解得，1＜a ＜7,231y y +-＋11a y+-＝a2y +3-a -1=a (y -1)(2-a )y =-2y =-22-a,a ≠2∵有非负数解，∴2-a ＜0，∴a ＞2，∴1＜a ≤7，∴2＜a ≤7∴a 可为3、4、5、6、7，故答案为：B .11．不等式组21321x x ->⎧⎨-<⎩的解集是______．【答案】2x >解：21321x x ->⎧⎨-<⎩①②．不等式①的解集是x >2，不等式②的解集是x >1．在数轴上表示为：∴原不等式组的解集是x >2．故答案为：x >2．12．已知二次函数22y x x m =++的图象与x 轴有且只有一个公共点，则一元二次不等式220x x m ++>的解集为________．【答案】x≠−1.如图所示：∵二次函数y=x 2+2x+m 的图象与x 轴有且只有一个公共点，∴△=22−4m=0，解得：m=1，故y=x 2+2x+1,则图象与x 轴交于点(−1,0)，故一元二次不等式x 2+2x+m>0的解集为：x≠−1.故答案为：x≠−1.13．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是______．【答案】－1<x<3【解析】由图象可知一元二次不等式20ax bx c ++>的解是:1 3.x -<<故答案为:1 3.x -<<14．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次不等式220x x m -++>的解集为______________________．【答案】13x -<<由图可知，对称轴为直线1x =，所以，二次函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（1-，0），由图象可知：函数值大于0的x 的取值范围为：13x -<<，所以，220x x m -++>的解集为13x -<<．故答案为：13x -<<．15．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的顶点坐标()1,3及部分图象（如图所示），其中图象与横轴的正半轴交点为()3,0，由图象可知：①当x ________时，函数值随着x 的增大而减小；②关于x 的一元二次不等式2ax bx c 0++>的解是________．【答案】1>1x 3-<<①由图可知，x ＞1时，函数值随着x 的增大而减小；②∵顶点坐标（1，3）图象与横轴的正半轴交点为（3，0），∴图象与横轴的另一交点为（-1，0），∴ax 2+bx+c ＞0的解是-1＜x ＜3．故答案为＞1；-1＜x ＜3．16．自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：25x x -＞0．解：设25x x -=0，解得：1x =0，2x =5，则抛物线y=25x x -与x 轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=25x x -的大致图象（如图所示），由图象可知：当x ＜0，或x ＞5时函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即25x x -＞0，所以，一元二次不等式25x x -＞0的解集为：x ＜0或x ＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式25x x -＜0的解集为．（3）用类似的方法解一元二次不等式：223x x --＞0．【答案】（1）①，③；（2）0＜x ＜5；（3）x ＜﹣1或x ＞3．【解析】（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；故答案为①③；（2）由图象可知：当0＜x ＜5时函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即25x x -＜0，∴一元二次不等式25x x -＜0的解集为：0＜x ＜5；故答案为0＜x ＜5．（3）设223x x --=0，解得：1x =3，2x =﹣1，∴抛物线y=223x x --与x 轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．画出二次函数y=223x x --的大致图象（如图所示），由图象可知：当x ＜﹣1，或x ＞3时函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即223x x --＞0，∴一元二次不等式223x x --＞0的解集为：x ＜﹣1或x ＞3．17．不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <，则k 的取值范围为_____．【答案】k≥1【解析】解不等式2x+9＞6x+1可得x ＜2，解不等式x-k ＜1，可得x ＜k+1，由于x ＜2，可知k+1≥2，解得k≥1.故答案为k≥1.18．不等式组131722523(1)x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪+>-⎩的整数解的个数是_________．【答案】7解不等式131722x x -≤-得：x≤4解不等式523(1)x x +>-得：x ＞52-∴52-＜x≤4∴整数解有：－2、－1、0、1、2、3、4共7个故答案为：719．关于x 的不等式组430340a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰好只有三个整数解，则a 的取值范围是_____________.【答案】4332a ≤≤解不等式4a+3x>0得：x>-43a ，解不等式3a-4x≥0得：x≤34a ，∴不等式的解集为：-43a<x≤34a ，∵方程组只有三个整数解，∴方程组的解包括0，∴方程组的整数解为：0、1、2或-1、0、1或-2、-1、0，当整数解为0、1、2时：41033234a a ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，方程组无解，当整数解为-1、0、1时：42133124aa⎧-≤-≤-⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，解得：43≤a≤32，当整数解为-2、-1、0时：43233014aa⎧-≤-≤-⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩方程组无解，∴a的取值范围为：43≤a≤32，故答案为43≤a≤3220．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px＞4x+p﹣3恒成立，则实数x的取值范围是_______．【答案】x＞3或x＜﹣1【解析】试题解析：令y=x2+px-（4x+p-3）=x2+px-3x-（x+p-3）=x（x+p-3）-（x+p-3）=（x-1）（x+p-3）＞0∴其解为x＞1且x＞3-p①，或x＜1且x＜3-p②，因为0≤p≤4，∴-1≤3-p≤3，在①中，要求x大于1和3-p中较大的数，而3-p最大值为3，故x＞3；在②中，要求x小于1和3-p中较小的数，而3-p最小值为-1，故x＜-1；故原不等式恒成立时，x的取值范围为：x＞3或x＜-1．故答案为：x＞3或x＜-1．21．请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：x2－3x＞0．解：x(x－3)＞0，∴30xx>⎧⎨->⎩或30xx<⎧⎨-<⎩，解得x＞3或x＜0．∴一元二次不等式x2－3x＞0的解集为x＜0或x＞3．结合上述解题过程回答下列问题：（1）上述解题过程渗透的数学思想为；（2）一元二次不等式x 2－3x ＜0的解集为；（3）请用类似的方法解一元二次不等式：x 2－2x －3＜0．【答案】（1）转化的思想；（2）0＜x ＜3；（3）－1＜x ＜3（1）根据解题过程知，解题过程渗透的数学思想为：转化的思想；（2）∵x 2－3x ＜0，即x (x －3)＜0，∴030x x >⎧⎨-<⎩或030x x <⎧⎨->⎩，解得：0＜x ＜3，∴一元二次不等式x 2－3x ＜0的解集为0＜x ＜3；（3）x 2－2x －3＜0，即(x －3)(x ＋1)＜0，则3010x x ->⎧⎨+<⎩或3010x x -<⎧⎨+>⎩，解得：-1＜x ＜3．∴一元二次不等式x 2－2x －3＜0的解集为：-1＜x ＜3．22．先阅读理解下列题，再按要求完成问题：例题：解一元二次不等式0262>--x x 解：把262--x x 分解因式得：)12)(23(262+-=--x x x x 又0262>--x x 所以0)12)(23(>+-x x 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）⎩⎨⎧>+>-012023x x 或（2）⎩⎨⎧<+<-012023x x ，解不等式组（1），得32>x 解不等式（2），得21-<x 因此，一元二次不等式0262>--x x 的解集为32>x 或21-<x ；问题；根据阅读解不等式：03215<-+x x .【答案】2351<<-x 【解析】因为03215<-+x x ，由有理数除法法法则“两数相除，异号得负”，有（1）⎩⎨⎧<->+032015x x 或（2）⎩⎨⎧>-<+032015x x ，再分别求出这两个不等式组的解集即可.因为03215<-+x x ，由有理数除法法法则“两数相除，异号得负”，有（1）⎩⎨⎧<->+032015x x 或（2）⎩⎨⎧>-<+032015x x 解不等式组（1），得2351<<-x 解不等式（2），得无解因此03215<-+x x 的解集为2351<<-x .23．请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：230x x ->.解：(3)0x x ->030x x >⎧∴⎨->⎩，或030x x <⎧⎨-<⎩，解得3x >或0x <.∴一元二次不等式230x x ->的解集为0x <或3x >.结合上述解答过程回答下列问题：（1）上述解题过程渗透的数学思想为________；（2）一元二次不等式230x x -<的解集为________；（3）请用类似的方法解一元二次不等式：2560x x --<.【答案】（1）分类讨论思想；（2）03x <<；（3）16x -<<.（1）分类讨论思想；（2）由解题过程可知：230x x -<，即(3)0x x -<.030x x <⎧∴⎨->⎩，或030x x >⎧⎨-<⎩，解得03x <<.（3）2560x x --<，即(1)(6)0x x +-<，则1060x x +>⎧⎨-<⎩或1060x x +<⎧⎨->⎩，解得16x -<<.∴一元二次不等式2560x x --<的解集为16x -<<.24．阅读材料，解答问题.例：用图象法解一元二次不等式：2230x x -->解：设223y x x =--，则y 是x 的二次函数.∵10a =>，∴抛物线开口向上.又∵当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =.∴由此得抛物线223y x x =--的大致图象如图所示.观察函数图象可知：当1x <-或3x >时，0y >.∴2230x x -->的解集是：1x <-或3x >.（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230x x --<的解集是______；（2）仿照材料、用图象法解一元二次不等式：210x ->.【答案】（1）13x -<<；（2）1x <-或1x >（1）观察图象可知：13x -<<时，y<0，∴2230x x --<的解集是13x -<<，故答案为：13x -<<（2）设21y x =-，则y 是x 的二次函数，∵10a =>，∴抛物线开口向上.又∵当0y =时，210x -=，解得11x =-，21x =.∴由此得抛物线21y x =-的大致图象如图所示.观察函数图象可知：当1x <-或1x >时，0y >.∴210x ->的解集是：1x <-或1x >.25．阅读材料，解答问题：例：用图象法解一元二次不等式：2230x x -->．解：设223y x x =--，则y 是x 的二次函数．10a =>∴ ，抛物线开口向上．又当0y =时，2230x x --=，解得1213x x =-=，．∴由此得抛物线223y x x =--的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当1x <-或3x >时，0y >．∴2230x x -->的解集是：1x <-或3x >．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230x x --<的解集是；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：2430x x -+-<．【答案】（1）-1<x<3；(2)x<1或x>3，作图见解析.(1)观察图象可以写出直接写出一元二次不等式：2230x x --<的解集是-1<x<3；(2)设243y x x =-+-,则y 是x 的二次函数， 1a =-，∴抛物线开口向下.当y=0时，2430x x -+-＝解得：1213x x ，==由此得抛物线243y x x =-+-的大致图象如图所示：观察图象可知：当x<1或x>3时，y<0；∴2430x x -+-<的解集是：x<1或x>326．先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题例题：解一元二次不等式＞0.解：令y=，画出y=如图所示，由图像可知：当x ＜1或x ＞2时，y ＞0.所以一元二次不等式＞0的解集为x ＜1或x ＞2.填空：（1）＜0的解集为；（2）＞0的解集为；用类似的方法解一元二次不等式＞0.【答案】（1）1<x<2；（2）x<-1或x>1；-6＜x ＜1.【解析】（1）＜0的解集为1<x<2；（2）＞0的解集为x<-1或x>1；令y=画出y=如图所示：由图像可知：当-6＜x ＜1，y ＞0所以一元二次不等式＞0的解集为-6＜x ＜1.27．解一元二次不等式240x ->．请按照下面的步骤，完成本题的解答．解：240x ->可化为(2)(2)0x x +->．（1）依据“两数相乘，同号得正”，可得不等式组①2020x x +>⎧⎨->⎩或不等式组②________．（2）解不等式组①，得________．（3）解不等式组②，得________．（4）一元二次不等式240x ->的解集为________．【答案】（1）2020x x +>⎧⎨->⎩；（2）2x >；（3）2x <-；（4）2x >或2x <-.（1）∵“两数相乘，同号得正”，∴另一不等式组应为2020x x ⎧⎨⎩＋＜－＜；故答案为：2020x x ⎧⎨⎩＋＜－＜（2）2020xx⎧⎨⎩＋＞①－＞②，解不等式①得x＞﹣2，解不等式②得x＞2.∴不等式组①的解集为x＞2.故答案为：x＞2（3）2020xx⎧⎨⎩＋＜①－＜②，解不等式①得x＜﹣2，解不等式②得x＜2.∴不等式组②的解集为x＜﹣2.故答案为：x＜﹣2（4）∵不等式组②的解集为x＞2，不等式组②的解集为x＜﹣2，所以一元二次不等式x2－4＞0的解集为x＜﹣2或x＞2.故答案为：x＜﹣2或x＞2.28．先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题．例题：解一元二次不等式x2﹣3x+2＞0解：令y=x2﹣3x+2，画出y=x2﹣3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0所以一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2（1）填空：x2﹣3x+2＜0的解集为；x2﹣3x≥0的解集为．（2）用类似的方法解一元二次不等式：﹣x2﹣2x+3＞0．【答案】（1）1＜x＜2；x≤0或x≥3；（2）﹣3＜x＜1．【解析】解：（1）x2﹣3x+2＜0的解集为1＜x＜2；x2﹣3x≥0的解集为x≤0或x≥3；故答案为1＜x＜2；x≤0或x≥3；（2）令y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，画出y=﹣x2﹣2x+3的图象，如图所示，由图象可知当﹣3＜x＜1时，y＞0，所以一元二次不等式﹣x2﹣2x+3＞0的解集为﹣3＜x＜1．29．先阅读，再解题.例题:解一元二次不等式(x+3)(x-3)>0解:因为(x+3)(x-3)>0.由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”，所以有3030xx+>⎧⎨->⎩①或3030xx+<⎧⎨-<⎩②解不等式组①,得x>3,解不等式组②,得x<-3.故(x+3)(x-3)>0的解集为x>3或x<-3．即一元二次不等式(x+3)(x-3)>0的解集为x>3或x<-3．问题:求不等式51023xx+<-的解集.【答案】13 52x-<<【解析】由有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”得，不等式组①510230xx+>⎧⎨-<⎩或②510230xx+<⎧⎨->⎩.解不等式组①得13 52x-<<；解不等式组②得无解；所以原不等式的解集为13 52x-<<.30．阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0的解集是________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0．【答案】解：（1）x＜﹣1或x＞3；（2）设y=x2﹣1，则y是x的二次函数，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1．∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．。

中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．下列等式变形错误的是（）A ．若 33x y -=- 则 0x y -=B ．若112x x -= 则 12x x -= C ．若 13x -= 则 4x =D ．若 342x x += 则 324x x -=-2．用配方法解一元二次方程2870x x +-= 则方程可化为（）A ．2(4)23x +=B ．2(8)23x +=C ．2(4)9x +=D ．2(8)9x +=3．在解方程3157246x x -+-= 时第一步去分母去分母后结果正确的是（） A ．12(31)12212(57)x x --⨯=+ B ．3(31)1222(57)x x --⨯=+ C ．3(31)322(57)x x --⨯=+D ．3(31)22(57)x x --⨯=+4．下列方程为一元一次方程的是（）A ．+2=3 x yB ．5y =C ．22x x =D ．12y y+= 5．《九章算术》中记载：“今有善田一亩价三百恶田七亩价五百．今并买一顷价钱一万．问善恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩价值300钱坏田7亩价值500钱．今共买好坏田1顷（1顷=100亩）价钱10000钱．问好坏田各买了多少亩？设好田买了x 亩坏田买了y 亩则下面所列方程组正确的是（） A ．{x +y =100300x +7500y =10000 B ．{x +y =100300x +5007y =10000 C ．{x +y =1007500x +300y =10000D ．{x +y =1005007x +300y =100006．已知方程组35ax by ax by +=-⎧⎨-=⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩则2a b -的值是（） A ．3B ．－3C ．5D ．－57．如图由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上重叠部分（阴影）的面积是4m 2 广告牌所占的面积是 30m 2（厚度忽略不计）除重叠部分外矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2 设矩形面积是xm 2 三角形面积是ym 2 则根据题意可列出二元一次方程组为（）A ．{x +y −4=30(x −4)−(y −4)=2B ．{x +y =26(x −4)−(y −4)=2C ．{x +y −4=30(y −4)−(x −4)=2D ．{x −y +4=30x −y =28．为了奖励学习认真的同学班主任老师给班长拿了40元钱让其购买奖品现有单价为4元的A 种学习用品和单价为6元的B 种学习用品可供选择若40元钱恰好花完则班长的购买方案有（） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种9．若x y < 则下列不等式中不成立的是（）A ．22x y -<-B ．22x y -<-C ．22x y ->- D ．22x y ->-10．已知公式12111R R R =+ （ 12R R ≠ ）则表示 1R 的公式是（） A ．212R RR RR -=B ．212RR R R R =-C ．1212()R R R R R +=D ．212RR R R R=-二填空题11．已知2x =是方程230x x m -+=的解则m 的值为． 12．已知a ＝120222023+ b ＝120232023+ c ＝120242023+ 则代数式 2（a 2＋b 2＋c 2-ab-bc-ac ）的值是．13．若一元二次方程 22(1)310k x x k -++-= 有一个根为 0x = 则k= ．14．今年春节某超市组装了甲乙两种礼品盆他们都是由 ,,a b c 三种零食组成其中甲礼品盒装有3千克 a 零食 1千克 b 零食 1千克 c 零食乙礼品盒装有2千克 a 零食 2千克 b 零食 2千克 c 零食甲乙两种礼品盒的成本均为盆中 ,,a b c 三种零食的成本之和.已知每千克 a 的成本为10元乙种礼品盒的售价为60元每盒利润率为25%甲种每盒的利润率为50%当甲乙两种礼盒的销售利润率为13时该商场销售甲乙两种礼盒的数量之比是 . 三解答题15．计算：（1）解方程组：{y =2x −5 ①7x −3y =20 ② （2）解不等式：32523x x --> （3）解不等式组：523923x x ->⎧⎨-<⎩（4）解不等式组：{5x −12≤2(4x −3)x+42<3−6x−1616．解方程：241x - + 21x + ＝ 1xx - 17．小红和小凤两人在解关于x y 的方程组 {ax +3y =5 ，bx +2y =8 .时小红只因看错了系数a 得到方程组的解为 {x =−1 ，y =2 . 小凤只因看错了系数b 得到方程组的解为 {x =1 ，y =4 .求a b 的值和原方程组的解.18．阅读理解下列材料然后回答问题：解方程:x²-3|x|+2=0解：（1）当x≥0时原方程化为x²-3x+2=0 解得： 1x =2 2x =1 （ 2 ）当x ＜0时原方程化为x²+3x+2=0 解得： 1x =1 2x =-2. ∴原方程的根是 1x =2 2x =1 3x =1 4x =-2. 请观察上述方程的求解过程试解方程x²-2|x-1|-1=0.19．如图在矩形ABCD 中剪去正方形ABFE 后剩下的矩形EFCD 与原矩形ABCD 相似．求矩形ABCD 的宽和长的比．20．为了丰富市民的文化生活我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人门票价格为60元/人标准二：如果人数超过20人每超过1人门票价格降低2元但门票价格不低于50元/人．（1）当夜游人数为15人时人均门票价格为元当夜游人数为25人时人均门票价格为元（2）若某单位支付门票费用共1232元则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？21．已知 422(2)50a a b y y+--+= 是关于y 的一元一次方程.（1）求 ,a b 的值. （2）若 2a x =-是 2211632x x x m--+-+= 的解求 b m a m +-- 的值.22．新冠疫情以来口罩成为了生活和工作的必需品.某口罩生产企业主要生产过滤式和供气式两种口罩.有过滤式口罩机和供气式口罩机各 10 台统计发现去年每台过滤式口罩机的产量比每台供气式口罩机多 60 万个过滤式口罩的出厂价为 0.2 元/个供气式口罩的出厂价为 4 元/个两种口罩全部售出总销售额为 10200 万元.（1）去年每台供气式口罩机的产量为多少万个？（2）今年为了加大口罩供应量该企业优化了生产方法在保持口罩机数量不变的情况下预计每台过滤式口罩机和供气式口罩机的产量将在去年基础上分别增加 2%a 和 %a .由于过滤式口罩更受市场欢迎出厂价将在去年的基础上上涨 %a 而供气式口罩的出厂价保持不变两种口罩全部售出后总销售额将增加20%17a 求 a 的值. 23．定义一种新运算“a ⊗ b”：当a≥b 时 a ⊗ b=a+2b 当a ＜b 时 a ⊗ b=a-2b.例如：3 ⊗ (-4)=3(8)(5)+-=- ()61262430-⊗=--=- .（1）填空：（-3） ⊗ （-2）=（2）若 (34)(5)(34)2(5)x x x x -⊗+=-++ 则x 的取值范围为（3）已知 (57)(2)1x x -⊗-> 求x 的取值范围（4）利用以上新运算化简： ()()2235102m m m m ++⊗- .答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】A.若 33x y -=- 则 0x y -= 正确B.若112x x -= 两边同乘以2 则 22x x -= 故错误 C.若 13x -= 则 4x = 正确 D.若 342x x += 则 324x x -=- 正确故答案为：B.【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等（2）在不等式两边同乘一个数或除以一个不为0的数结果仍相等。

中考数学总复习《方程(组)与不等式(组)》专项测试卷(带有答案)

中考数学总复习《方程(组)与不等式(组)》专项测试卷(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．下列方程变形中①方程3－2x 3－x －22＝1去分母，得2(3－2x)－3(x －2)＝1 ②方程3x ＋8＝－4x －7移项，得3x ＋4x ＝7－8③方程7(3－x)－5(x －3)＝8去括号，得21－7x －5x ＋15＝8 ④方程37x ＝73，得x ＝1 错误的有( )A ．4个B ．3个C ．1个D ．0个2．(2023·无锡)下列4组数中，不是二元一次方程2x ＋y ＝4的解的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.5，y ＝3 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4 3．二元一次方程x ＋3y ＝7的非负整数解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2023·南充)关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2m －1，x －y ＝n 的解满足x ＋y ＝1，则4m÷2n 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．85．(2023·温州)一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g ．设蛋白质、脂肪的含量分别为x(g)，y(g)，可列出方程为( )A.52x ＋y ＝30 B ．x ＋52y ＝30 C.32x ＋y ＝30 D ．x ＋32y ＝30 6．(2023·齐齐哈尔)为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm 的导线，将其全部截成10 cm 和20 cm 两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有( )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种7．(2023春·合川区期末)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝23，nx －my ＝－2的解，则5m ＋n 的平方根为( )A ．－4和4B ．－5和5C ．－13和13D ．－27和27 8．(2023·绍兴)《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x 斛，小容器的容量为y 斛，则可列方程组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝3，5x ＋y ＝2 B.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝3，x ＋5y ＝2 C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝y ＋3，x ＝5y ＋2 D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝y ＋2，x ＝5y ＋39．我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数有多少．设有x 人，则可列方程为．10．(2023·丽水)古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两(古代中国1斤等于16两)．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝斤．11．解方程：x －x －12＝x ＋23＋1.12．(2023·辽宁)某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元．(1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？(2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2 500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？13．(2023·宜昌)为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的单价；(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，表格列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元)；豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈20 30 270小乐妈妈 30 20 230①根据表格，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A ，B 两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计)，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A ，B 两种包装中分别有m 个豆沙粽，m 个肉粽，A 包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A ，B 两种包装的销量分别为(80－4m)包，(4m ＋8)包，A ，B 两种包装的销售总额为17 280元．求m 的值．参考答案1．下列方程变形中①方程3－2x 3－x －22＝1去分母，得2(3－2x)－3(x －2)＝1 ②方程3x ＋8＝－4x －7移项，得3x ＋4x ＝7－8③方程7(3－x)－5(x －3)＝8去括号，得21－7x －5x ＋15＝8④方程37x ＝73，得x ＝1 错误的有( B )A ．4个B ．3个C ．1个D ．0个2．(2023·无锡)下列4组数中，不是二元一次方程2x ＋y ＝4的解的是( D )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.5，y ＝3D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4 3．二元一次方程x ＋3y ＝7的非负整数解的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2023·南充)关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2m －1，x －y ＝n 的解满足x ＋y ＝1，则4m÷2n 的值是( D )A ．1B ．2C ．4D ．85．(2023·温州)一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g ．设蛋白质、脂肪的含量分别为x(g)，y(g)，可列出方程为( A ) A.52x ＋y ＝30 B ．x ＋52y ＝30 C.32x ＋y ＝30 D ．x ＋32y ＝30 6．(2023·齐齐哈尔)为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm 的导线，将其全部截成10 cm 和20 cm 两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有( C )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种7．(2023春·合川区期末)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝23，nx －my ＝－2的解，则5m ＋n 的平方根为( B )A ．－4和4B ．－5和5C ．－13和13D ．－27和27 8．(2023·绍兴)《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x 斛，小容器的容量为y 斛，则可列方程组是( B )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝3，5x ＋y ＝2 B.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝3，x ＋5y ＝2 C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝y ＋3，x ＝5y ＋2 D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝y ＋2，x ＝5y ＋3 9．我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数有多少．设有x 人，则可列方程为8x －3＝7x ＋4．10．(2023·丽水)古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两(古代中国1斤等于16两)．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝 967斤． 11．解方程：x －x －12＝x ＋23＋1. 解：去分母，得6x －3(x －1)＝2(x ＋2)＋6去括号，得6x －3x ＋3＝2x ＋4＋6移项合并，得x ＝7.12．(2023·辽宁)某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元．(1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？(2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2 500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？解：(1)设每个甲种驱蚊手环的售价是x 元，每个乙种驱蚊手环的售价是y 元根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝128，x ＋2y ＝76，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，y ＝20，答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；(2)设购买甲种驱蚊手环m 个，则购买乙种驱蚊手环(100－m)个根据题意，得36m ＋20(100－m)≤2 500解得m ≤1254又∵m 为正整数∴m 的最大值为31.答：最多可购买甲种驱蚊手环31个．13．(2023·宜昌)为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的单价；(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，表格列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元)；豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈20 30 270 小乐妈妈 30 20 230①根据表格，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A ，B 两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计)，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A ，B 两种包装中分别有m 个豆沙粽，m 个肉粽，A 包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A ，B 两种包装的销量分别为(80－4m)包，(4m ＋8)包，A ，B 两种包装的销售总额为17 280元．求m 的值．解：(1)设豆沙粽的单价为x 元，肉粽的单价为2x 元由题意，得10x ＋12×2x ＝136解得x ＝4∴2x ＝8(元)答：豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；(2)①设豆沙粽优惠后的单价为a 元，肉粽优惠后的单价为b 元由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋30b ＝270，30a ＋20b ＝230，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝7，答：豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②由题意，得[3m ＋7(40－m)]·(80－4m)＋[3(40－m)＋7m]·(4m ＋8)＝17 280解得m ＝19或m ＝10∵m ≤12(40－m) ∴m ≤403∴m ＝10.。

专题1.3 方程(组)、不等式(组)的解法

第一篇专题整合篇专题03方程（组）、不等式（组）的解法（讲案）一讲考点——考点梳理（一）方程的解．解方程及各种方程（组）的有关概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程，它包含两层意思：一是含有未知数，二是等式，二者缺一不可．从定义可说明方程是等式，但等式不一定是方程．2．方程的解：使方程左．右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根．3．解方程：求方程的解的过程，叫做解方程．4．同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．5．方程的同解原理（1）方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．（2）方程两边都乘以(或除以)同一不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程．6．方程的增根与遗根(1)在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根．(2)在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根．7．方程的分类⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩一元一次方程整式方程一元二次方程有理方程方程高次方程分式方程无理方程（二）一元一次方程及其解法；二元一次方程组及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的标准形式：0 (0)ax b a +=≠(2)一元一次方程的解法．(3)一元一次方程有唯一的一个解．说明：对于以x 为未知数的最简方程axb =，若没有给出字母a 和b 的取值范围，其解有下面三种情况：①0a ≠时一元一次方程，有唯一解b x a=．②0a =，0b ≠时，方程无解．③0a=，0b =时，方程有无数个解．2．二元一次方程组(1)一般形式：111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（111222a b c a b c ，，，，，不全为0）(2)解法：二元一次方程组−−−−−→代入法或加减法消元一元一次方程组．3．三元一次方程组(1)一般形式：111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩(2)解法：三元一次方程组−−−−−→代入法或加减法消元二元一次方程组−−−−−→代入法或加减法消元一元一次方程组．（三）用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程1．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：20ax bx c ++=（0a ≠）．2．一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为20ax bx c ++=（0a ≠）的形式，那么这个方程就是一元二次方程．3．一元二次方程的基本解法有四种：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法2()x a b +=≥0时有解，＜0时无解．配方法20x px q ++=二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方．公式法20ax bx c ++=（0a ≠）24b ac ∆=-≥0时，方程有解；24b ac ∆=-＜0时，方程无解．先化为一般形式再用公式．因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积．方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式．（四）可化为一元一次方程．一元二次方程的分式方程的解法分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．(1)分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．（五）一元二次方程根的判别式及应用一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-①0∆>⇒方程有两个不相等的实数根．②0∆=⇒方程有两个相等的实数根．③0∆<⇒方程无实数根．④0∆≥⇒方程有两个实数根．反之：①一元二次方程有两个不等实根⇒0a ∆>⎧⎨≠⎩②一元二次方程有两个相等实根⇒00a ∆=⎧⎨≠⎩③一元二次方程无实根⇒00a ∆<⎧⎨≠⎩④一元二次方程有两个实根⇒00a ∆≥⎧⎨≠⎩结论：（1）若二次三项式2ax bx c ++是完全平方式，则方程20ax bx c ++=的判别式∆=0．（2）方程20ax bx c ++=有实数根，包括两种情况：①0a ≠有两个实数根，②0a =，只有一个实数根．说明：根的判别式最常见的用法有：①不解方程判别一元二次方程根的情况．②由方程根的情况确定某些字母的值或范围．（六）一元二次方程根与系数的关系如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是12x x ，，则12b x x a +=-，12cx x a⋅=．①222121212()2x x x x x x +=+-，②21121211x x x x x x ++=，③12x x a-=（七）不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集（1）一般地，用不等号“>”，“<”“≥”“≤”“≠”表示不相等关系的式子叫不等式，而只含有一个末知数且末知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式“其标准形式为ax 一b>0，或ax 一b<0（a ≠0）”．（2）一个不等式的所有解叫不等式的解集．（3）两个或两个以上含有相同末知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，称为一元一次不等式组．（4）组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫这个不等式组的解集．（八）不等式的基本性质1．如果a b >，那么a c b c ±>±；2．如果0a b c >>，，那么ac bc >，a bc c >；3．如果0a b c ><，，那么ac bc <，a b c c<；4．如果0ba>，那么a b 、同号；5．如果0ba<，那么a b 、异号6．反对称性：如果a b >，则b a<7．传递性：如果a b b c >>，，则a c >性质文字叙述数学语言（I ）不等式的两边加（或减）同一个数或（式子），不等号的方向不变如果a b >，那么a c b c ±>±（II ）不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变如果0a b c >>，，那么ac bc >，a bc c>（III ）不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变如果0a b c ><，，那么ac bc <，a b c c<其它性质如果0ba>，那么a b 、同号；如果0ba<，那么a b 、异号反对称性：如果a b >，则b a <传递性：如果a b b c >>，，则a c>（九）一元一次不等式（组）的解法1．一元一次不等式的解法即通过去分母．去括号．移项合并同类项，把不等式化为ax b >(或ax b <)(0a ≠)的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．说明：在去分母和化系数为l 时，需特别注意不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下：①当0a >时，b x a >(或b x a <)．②当0a <时，b x a <(或bx a>)．③当0a =时，若0b ≥，不等式无解(或不等式的解集为一切实数)．④当0a =时，若0b <，不等式的解为一切实数(或不等式无解)．2．一元一次不等式组的解法即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中a b <)．在数轴上表示（十）三个一次”的关系一元一次不等式与一元一次方程．一次函数之间存在如下关系：对于一次函数y kx b =+，当0y =时，即0kx b +=变为一元一次方程；当y ＞0（或y ＜0时，就成为一元一次不等式．利用简单的函数图象求不等式的解集：设一次函数b ax y +=与x 轴的交点是⎪⎭⎫⎝⎛-0,a b （1）当0>a 时，一元一次不等式0>+b ax 的解集为a b x ->，一元一次不等式0<+b ax 的解集为ab x -<，（2）当0<a 时，一元一次不等式0>+b ax 的解集为a b x -<，一元一次不等式0<+b ax 的解集为abx ->．二讲题型——题型解析（一）对方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念的考查．例1一元一次方程410x +=的解是（）A．14B．14-C．4D．4-例2．方程322x x =-的解为（）A．2x =B．6x =C．6x =-D．无解（二）对一元一次方程及其解法、二元一次方程组及其解法的考查．例1．解二元一次方程组：27320x y x y -=⎧⎨+=⎩．例2．解分式方程：2134412142x x x x +=--+-．（三）对用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的考查．例1．方程)5(2)5(32-=-x x 的根是．例2．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9（四）对可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法的考查．例1．分式方程121x x=+的根是．例2．关于x 的方程2x ﹣4x+3=0与121x x a=-+有一个解相同，则a=．（五）对一元二次方程根的判别式及应用的考查．例1．一元二次方程22310x x ++=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定例2．若关于x 的一元二次方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是（）A．1B．0，1C．1，2D．1，2，3（六）对一元二次方程根与系数的关系的考查．例1．一元二次方程0342=-+x x 的两根为1x ，2x ，则21x x ⋅的值是（）A．4B．﹣4C．3D．﹣3例2．设1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两根，则2221x x +=（）A．6B．8C．10D．12例3．等腰三角形三边长分别为2a b 、、，且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或10（七）对不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集的考查．例1．不等式组21741x x +>⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．例2．不等式组1231x x +>⎧⎨-≥⎩的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．（八）对不等式的基本性质的考查．例1．解关于x 的不等式：20ax x -->．（九）对一元一次不等式（组）的解法的考查．例1．不等式组43262355x x x ->-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩的整数解的个数为（）A．1B．2C．3D．4例2．若关于x 的分式方程121m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是（）A．1m >-B．1m ≥C．1m >-且1m ≠D．1m ≥-且1m ≠例3．关于x 的不等式组314(1)x x x m->-⎧⎨<⎩的解集为x＜3，那么m 的取值范围为（）A．m=3B．m＞3C．m＜3D．m≥3例4．不等式组21521x x +≤⎧⎨+>⎩的解集是（）A．﹣1＜x＜2B．1＜x≤2C．﹣1＜x≤2D．﹣1＜x≤3（十）对三个一次”的关系的考查．例1．已知不等式组2x x aìïíïî 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为（）A．7＜a≤8B．6＜a≤7C．7≤a＜8D．7≤a≤8例2．已知1m x =+，2n x =-+，若规定1 ()1 ()m n m n y m n m n +-≥⎧=⎨-+<⎩，则y 的最小值为（）A．0B．1C．﹣1D．2三讲方法——方法点睛（一）解多元方程的基本思路是消元，方法有代入消元法和加减消元法．（二）解高次方程的基本思路是降次，方法有因式分解法和换元法．（三）解分式方程的基本思路是转化，通过去分母法或换元法将分式方程化为整式方程．解分式方程一定要检验．（四）解不等式（组），特别是含字母系数的不等式（组）可以画数轴，通过数形结合的方法解决．（五）代数式比较大小常用的方法有“差值比较法”和“商值比较法”．“差值比较法”适用于比较任何两个代数式的大小，基本步骤是“作差——变形——断号”；“商值比较法”只适用于比较两个同号代数式的大小，基本步骤是“做商——变形——判断商式与1的大小关系”．四练实题——随堂小练1．下列方程中，没有实数根的是（）A．x 2-4x+4=0B．x 2-2x+5=0C．x 2-2x=0D．x 2-2x-3=02．方程322x x =-的解为（）A．2x =B．6x =C．6x =-D．无解3．不等式组10360x x -≤⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．不等式21x ->的解集是（）A．1x >B．2x >C．3x >D．4x >5．等腰三角形三边长分别为2a b 、、，且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或106．如果201(1)x x x --=+，那么x 的值为（）A．2或-1B．0或1C．2D．-17．如图，数轴上所表示关于x 的不等式组的解集是（）A．x ≥2B．x >2C．x >-1D．-1<x ≤28．方程组⎩⎨⎧2=12=+y y x 的解为．9．若关于x 的一元二次方程x 2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=．10．不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是．11．解一元二次方程0322=-+x x 时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程12．已知实数a，b 是方程012=--x x 的两根，求ba ab +的值．13．（1）解方程：2230x x --=；（2）解不等式组：12241x x x ->⎧⎨+<-⎩．14．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．15．解不等式组422(3)2135x x x x +≥+⎧⎨+>-⎩，并求其整数解．16．已知关于x 的一元二次方程21102mx mx m ++-=有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．五练原创——预测提升1．不等式组x>12x31-⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是()2．不等式组x>1x>2⎧⎨⎩的解集是()A．x＞2B．x＞1C．1＜x＜2D．无解3．（一元一次不等式组2x1>0x50+⎧⎨-≤⎩的解集中，整数解的个数是()A．4B．5C．6D．74．方程组x3x y5=⎧⎨+=⎩的解是．5．设实数x，y满足方程组1x y431x y23⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则x y+=．6．解方程组3x y34x y11+=⎧⎨-=⎩．7．不等式组x3>2x1x<32-⎧⎪⎨-⎪⎩的解集是．8．不等式组2x84x1x+2⎧⎨-⎩＜＞的解集是.9．求不等式组()x3x2815x>2x2⎧--≤⎪⎨-⎪⎩的整数解是．10．已知关于x、y的方程组11mx ny22mx ny5⎧-=⎪⎨⎪+=⎩的解为x2y3=⎧⎨=⎩，求m、n的值．11．阅读理解：我们把a bc d称作二阶行列式，规定他的运算法则为a bad bcc d=-，如232534245=⨯-⨯=-．如果有23x>01x-，求x的解集．12．解不等式组：212>3x11x x1+≥--⎧⎪⎨+⎪⎩①②，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．13．求不等式组()()7x 1<4x 360.5x 12x 5⎧--⎪⎨+≥+⎪⎩的整数解．。

专题二方程(组)与不等式(组)

专题二方程(组)与不等式(组)
【专题分析】方程 (组 ) 与不等式 ( 组 ) 的常见考点有：方程的解，解一元一次方程，一元一次方程的应用；二元一次方程组的解法，二元一次方程组的应用；一元二次方程的解法，一元二次方程的应用；解分式方程，分式方程的增根，分式方程的应用；不等式的性质，解一元一次不等式，确定不等式(组)的参数的范围，不等式(组)的特殊解，不等式(组 )的应用等．中考中对方程 ( 组 )与不等式 ( 组 ) 的考查基本以客观题形式呈现，题型多样，选择题、填空题、解答题都有考查；本专题在中考中所占比重约为 5% ～ 8%.
解析：设预定每组分配 x 人，根据题意，得
1 1 解得 11 <x<12 ， ∵ x 为整数， 2 4 ∴ x＝ 12.故选 C. 答案： C
11．(2013· 南宁 )陈老师打算购买气球装扮学校“六一 ”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束(4 个气球 )为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 ( C )
(2)乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
解： (1)设苹果进价为每千克 x 元， 3 000 由题意，得 400x＋ 10% x( － 400)＝ 2 100，解 x 得 x＝ 5. 经检验 x＝5 是原方程的根．答：苹果进价为每千克 5 元．
3 000 (2) 由 (1)知，每个超市苹果总量为＝ 600(千 5 克 )，甲超市大、小苹果每千克的售价分别为 10 元、 5.5 元， 10＋ 5.5 ∴乙超市获利 600× ( － 5)＝1 650(元 )． 2 ∵ 2 100>1 650，∴甲超市的销售方式更合算．

中考数学复习《方程(组)与不等式(组》测试题(含答案)

中考数学复习《方程(组)与不等式(组》测试题（含答案）一、选择题1.下列数值中不是不等式5x ≥2x ＋9的解的是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 22.将不等式3x －2＜1的解集表示在数轴上，正确的是( )3.若关于x 的方程x 2－2x ＋c ＝0有一根为－1，则方程的另一根为( ) A. －1 B. －3 C. 1 D. 34.已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍，设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，列方程组正确的是( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2yB. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7y ＝2x C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7x ＝2y D. ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7y ＝2x5.已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( ) A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 6.若关于x 的方程x ＋m x －3＋3m 3－x＝3的解为正数，则m 的取值范围是( ) A. m <92 B. m <92且m ≠32 C. m >－94 D. m >－94且m ≠－347.定义新运算：a ★b ＝a (1－b )，若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜1)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 与m 无关8.在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是( )A. 13x ＝18x －5B. 13x ＝18x ＋5C. 13x ＝8x －5D. 13x ＝8x ＋5 9.如图，某小区有一块长为18 m ，宽为 6 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x m ，则可列出关于x 的方程是( )A. x 2＋9x －8＝0 B. x 2－9x －8＝0 C. x 2－9x ＋8＝0 D. 2x 2－9x ＋8＝010.从－3，－1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a .若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13（2x ＋7）≥3x －a ＜0无解，且使关于x 的分式方程x x －3－a －23－x ＝－1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是( )31二、填空题11.一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是________元． 12.分式方程1x －2＝3x的解是________． 13.已知A ，B 两地相距160 km ，一辆汽车从A 地到B 地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4 h 到达，则这辆汽车原来的速度是________km/h.14.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞12x －1≤8－x 的最大整数解是________．15.若方程(x －m )(x －n )＝3(m ，n 为常数，且m ＜n )的两实数根分别为a 、b (a ＜b )，则m 、n 、a 、b 的大小关系为______________． 16.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3bx ＋ay ＝－7的解，则代数式(a ＋b )(a －b )的值为________．17.已知关于x 的方程2x ＝m 的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－n x ＋2y ＝5n (0<n <3)，若y >1，则m 的取值范围是________．三、解答题18.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧9x 2－4y 2＝36x －y ＝2.19.解方程：2x ＋3＝1x －1.20.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1）12x ≤8－32x ＋2a 有四个整数解，求实数a 的取值范围．21.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －3＜4x4（x ＋1）＋2≥x ，并把它们的解集在数轴上表示出来．22.关于x 的两个不等式①3x ＋a2<1与②1－3x >0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值； (2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．23.已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0. (1)若此方程的一个根为1，求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．24.某校学生利用双休时间去距学校10 km 的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．25.某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队中选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？26.春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．27.为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，2016年投入教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县将投入教育经费多少万元？28.五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同．(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？(2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求量的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？29.倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．(1)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？(2)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？30.如图，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780.(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．方程(组)与不等式(组)阶段测评1. D 【解析】不等式5x ≥2x ＋9的解集是x ≥3，因此2不是这个不等式的解，故选D.2. D 【解析】3x －2<1，解得x <1，故选D.3. D 【解析】设方程的另一个根为x 2，则根据根与系数关系有－1＋x 2＝2，解得x 2＝3.4. A【解析】根据题意可得等量关系：①甲数＋乙数＝7，②甲数＝乙数×2，根据等量关系列出方程组即可．设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2y，故选A.5. D 【解析】∵3是方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，∴9－3(m ＋1)＋2m ＝0，解得m ＝6，∴方程为x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，若等腰△ABC 的腰长为3，底边长为4，则其周长为3＋3＋4＝10；若等腰△ABC 的腰长为4，底边长为3，则周长为4＋4＋3＝11.6. B 【解析】由x ＋m x －3＋3m 3－x ＝3，得x ＋m x －3－3m x －3＝3，解得x ＝9－2m 2，解方程组⎩⎨⎧9－2m2>09－2m2≠3，得m <92且m ≠32，故选B.7. A 【解析】∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0的两根，∴a 2－a ＝－14m ，b 2－b ＝－14m ，∴b ★b －a ★a＝b (1－b )－a (1－a )＝b －b 2－a ＋a 2＝－(b 2－b )＋(a 2－a )＝14m －14m ＝0.8. B 【解析】根据题意可知：8x 的倒数18x 比3x 的倒数13x 小5，所以可列方程为13x ＝18x ＋5.9. C 【解析】因为人行道的宽度为x 米，所以阴影部分的长为(18－3x )米，宽为(6－2x )米，故阴影部分面积为(18－3x )(6－2x )＝60，化简得x 2－9x ＋8＝0.故选C.10. B 【解析】解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x <a，∵原不等式组无解，∴a ≤1，则a 不能取五个已知值中的3；解分式方程得x ＝5－a 2，又∵分式方程有整数解，∴5－a 2为整数，且5－a 2≠3，∴a 只能从－3，－1，12，1中取－3，1，所以满足条件的a 的值的和为－3＋1＝－2.11. 180 【解析】设成本为x 元，由题意得：300×0.8－x ＝60，解得x ＝180.12. x ＝3 【解析】去分母，两边同乘x(x －2)得x ＝3(x －2)，去括号得x ＝3x －6，移项并合并同类项得x ＝3，经检验x ＝3是原分式方程的根．13. 80 【解析】设这辆汽车原来的速度是x km /h ，根据题意得：160x －160（1＋25%）x ＝0.4，解得x ＝80，经检验x ＝80是原方程的根．14. 3 【解析】由x ＋2＞1得x ＞－1，由2x －1≤8－x 得x ≤3，所以原不等式组的解集是－1＜x ≤3，最大整数解为x ＝3.15. a ＜m ＜n ＜b 【解析】如解图，解方程(x －m)(x －n)＝3可以看作是求y ＝(x －m)(x －n)与y ＝3这两个函数图象的交点，由解图易得a ＜m ＜n ＜b.16. －8 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3bx ＋ay ＝－7的解，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝3 ①3b －2a ＝－7 ②，①＋②得a ＋b ＝－4，①－②得5a －5b ＝10，则a －b ＝2，∴(a ＋b)(a －b)＝－4×2＝－8.17. 25＜m ＜23 【解析】解原方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n ＋2y ＝2n －1.∵y ＞1，∴2n －1＞1，即n ＞1.∵0＜n ＜3，∴1＜n ＜3，∴3＜x ＜5.当x ＝3时，m ＝2x ＝23；当x ＝5时，m ＝2x ＝25.∵当x ＞0时，m 随x 的增大而减小，∴25＜m ＜23.18. 【思路分析】利用代入消元法，将方程②变为y ＝x －2，将此方程代入方程①求x ，进而求出y.解：⎩⎪⎨⎪⎧9x 2－4y 2＝36①x －y ＝2 ②，将②变形为y ＝x －2 ③，将③代入①得：9x 2－4(x －2)2＝36，化简得：5x 2＋16x －52＝0，将方程左边因式分解得：(x －2)(5x ＋26)＝0，解得x ＝2或x ＝－265，将x ＝2代入方程②得y ＝0；将x ＝－265代入方程②得y ＝－365.综上所述，原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－265y ＝－365.19. 解：去分母，得2(x －1)＝x ＋3，去括号、移项、合并同类项，得x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的根． ∴原方程的解为x ＝5.20. 解：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3（x －1） ①12x ≤8－32x ＋2a ②，解不等式①得x ＞－52，解不等式②得x ≤a ＋4，由不等式组的解集有四个整数解，得1≤a ＋4＜2， ∴－3≤a ＜－2.21. 解：解不等式5x －3<4x 得x<3，解不等式4(x ＋1)＋2≥x 得x ≥－2， ∴不等式组的解集为－2≤x<3. 解集在数轴上表示如解图所示：22. 解：解不等式①，得x<2－a3，解不等式②，得x<13.(1)∵两个不等式的解集相同， ∴2－a 3＝13， ∴a ＝1.(2)∵不等式①的解都是不等式②的解， ∴2－a 3≤13， ∴a ≥1.23. (1)解：将x ＝1代入x 2＋mx ＋m －2＝0，得 12＋1×m ＋m －2＝0，解得m ＝12.(2) 证明：一元二次方程x 2＋mx ＋m －2＝0的根的判别式为： b 2－4ac ＝m 2－4(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4. ∵不论m 取何实数，(m －2)2≥0， ∴(m －2)2＋4＞0，即b 2－4ac ＞0，∴不论m 取何实数，原方程都有两个不相等的实数根．24. 解：设骑车学生的速度为x km /h ，则汽车的速度为2x km /h ，可得：10x ＝102x ＋2060，解得x ＝15，经检验x ＝15是原方程的解，汽车的速度为：2x ＝2×15＝30 km /h ，答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是15 km /h ，30 km /h . 25. 解：设甲队单独完成此项工程需x 天，则乙队需(x ＋5)天，依据题意可以列方程： 1x ＋1x ＋5＝16，解得x 1＝10，x 2＝－3(舍去)，经检验x ＝10是原方程的解；设甲队每天的工程费用为y 元，则乙队每天的工程费用为(y －4000)元，依据题意得： 6y ＋6(y －4000)＝385200，解得y ＝34100，∴甲队单独完成此项工程费用为：34100×10＝341000元，乙队单独完成此项工程费用为：30100×15＝451500元， ∵341000＜451500，∴选择甲工程队．答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．⎪⎧2x ＋3y ＝270解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30y ＝70，答：甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为70元． (2)设商场购进甲种商品a 件，则购进乙种商品为(100－a)件，利润为w 元．根据题意得a ≥4(100－a)，解得a ≥80，由题意得w ＝(40－30)a ＋(90－70)(100－a)＝－10a ＋2000， ∵k ＝－10＜0，∴w 随a 的增大而减小，∴当a 取最小值80时，w 最大＝－10×80＋2000＝1200(元)，∴100－a ＝100－80＝20(件)．答：当商场购进甲种商品80件，乙种商品20件时，获利最大，最大利润为1200元． 27. 解：(1)设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意得： 6000(x ＋1)2＝8640，解得x 1＝－2.2(舍去)，x 2＝0.2答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)2017年该县投入教育经费为： 8640×(0.2＋1)＝10368(万元)，答：预算2017年该县将投入教育经费为10368万元．28. 解：(1)设乙种救灾物品每件x 元，则甲种救灾物品每件(x ＋10)元，由题意得： 350x ＋10＝300x，解得x ＝60，经检验x ＝60是原方程的解，∴x ＋10＝70(元)．答：甲、乙两种救灾物品每件的价格分别为70元、60元． (2)70×2000×14＋60×2000×34＝125000(元)．答：需筹集资金125000元．29. 解：(1)设购买A 种型号健身器材x 套，B 种型号健身器材y 套，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50310x ＋460y ＝20000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝30.答：购买A 种型号健身器材20套，B 种型号健身器材30套． (2)设购买A 种型号健身器材z 套，根据题意得： 310z ＋460(50－z)≤18000，解得z ≥3313.∵z 为整数，∴z 的最小值为34.答：A 种型号健身器材至少要购买34套．11 重叠部分的面积”，列方程求解即可．解：设配色条纹的宽度为x 米，由题意得5x ×2＋4x ×2－4×x 2＝1780×4×5，解得：x ＝14或x ＝174(不合题意舍去)．答：配色条纹的宽度为14米． (2)解：由题意得地毯的总造价为：1780×4×5×200＋(1－1780)×4×5×100＝850＋1575＝2425(元)，答：地毯的总造价为2425元．。