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人教B版高中数学必修一高一新生入学考试

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人教B版高一数学必修一单元测试题全套及答案.docx

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最新人教B版高一数学必修一单元测试题全套及答案第一章检测试题一、选择题(每小题5分，共10小题，共50分.从给出的A、B、C、D四个选项中选出唯一正确的答案填在题后的括号内)1.若集合/={x|—2<x<l}, 5={x|0<x<2},则)A.{x| — 1<X<1}B. {x|—2<x<l}C. {x|-2<x<2}D. {x|0<x<l}解析利用数轴，数形结合可知D正确.答案D2.满足集合MU{1,2,3,4},且{1,2,4} = {1,4}的集合M的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析由题意可知，且2尙W,集合M可以是{1,4}, {1,3,4}.答案B3.设全集U=MUN={l,2,3,4,5},MQ([tW)={2,4},则N=( )A. {.1,2,3}B. {1,3,5}C. {1,4,5}D. {2,3,4}解析画出韦恩图，阴影部分为MQ(®N)= {2,4}，:.N= {1,3,5},故选B./UB={1,3,5}, U={1,2,3,4,5},.•.[亦UB） = {2,4}.答案B4.已知集合A = {0,l,2},则集合B={x~y\x^A, y^A}中元素的个数是（）A. 1B. 3C. 5D. 9解析逐个列举可得.x=0,尹=0,1,2时，x~y=0,—1, —2; x=l,尹=0,1,2 时，x—尹=1,0, —1; x=2,尹=0,1,2 时，X—y=2,l,0. 根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为一2, -1,0,1,2.共5个.答案C5.设全集t/= {1,3,5,7,9},集合A={1, |tz-5|,9}, 血= {5,7}, 则a的值为（）A. 2B. 8C. —2 或8D. 2 或8解析由血= {5,7},可知/= {1,3,9},• • |tz—5] — 3, ..a = 8,或a=2.答案D6.已知集合B, C 中，A^B, A^C,若^={0,1,2,3}, C= {0,2,4},则/的子集最多有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个解析S, AQC,.•.佔{0,2}.当集合力={0,2}时，它的子集最多有4个. 答案B7. 已知全集 U=R,集合 M= {x|-2<x-l<2}和 N ={x|x=2広 —1, k^}的关系韦恩（Venn ）图，如图所示，则阴影部分所示的集 合的元素共有（）解析 图中阴影部分表示的集合为MCN,集合M= {x|-l<x<3},集合N 中的元素为正奇数，:.MCN= {1,3}- 答案B8. 设集合 S={x|x>5 或则Q 的取值范围是（）A. —3<a<—1 C. aW — 3 或 — 1\a<— 1,解析 借助数轴可知：［Q + 8>5.答案A9. 已知全集 /= {1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M= {3,4,5},集合 N= {1,3,6},则集合{2,7,8}是（ ）A. MUNB. MCNC.L MU L ND.Cjl/A I I NT= {x\a<x<a + 8}, SUT=R,B. —3WaW — 1 D. a<—3 或 a>—1—3<a<— 1.答案Df 3 1 f 1 '10.设数集M=\x mWxWm +才爲N=(x "—亍WxW"爲P= {x|0WxWl},且M, N都是集合P的子集，如果把b~a叫做集合{xQWxWb}的“长度”,那么集合MCN的“长度”的最小值是()A-3 B.|。

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高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）安徽省舒城中学2011-2012学年度高一新生入学考试数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．32-的倒数是（ ）A ．32 B. 23 C. 23- D. 32-2.计算()221222-+---1（-）=（ ） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．10 3. 将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）A.30°B.45°C.60°D.75°4.实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+-化简后为（ ）A．7B.﹣7 C ．2a ﹣15D.无法确定5. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）510aA.6折B.7折C.8折D.9折6.若函数xm y 2+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．2->m Ｂ．2-<m Ｃ．2>m Ｄ．2<m7. 设一元二次方程(1)(2)(0)x x m m --=<的两根分别为,αβ，且αβ<，则,αβ满足（ ）A. 12αβ<<<B. 12αβ<<<C. 12αβ<<<D. 1α<且 2β> 8.如图为抛物线2y ax bx c =++的图象，,,A B C 为抛物线与坐标轴的交点，且1OA OC == 则下列关系正确的是（ ）A. 1a b +=-B. 1a b -=-C. 2b a <D. 0ac <9.已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310.已知梯形ABCD 的四个顶点的坐标分别为(1,0)A -，(5,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，直线2y kx =+将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）A. 47-B.29-C. 23-D. 27-二、填空题：(本大题6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分24分.)11.分解因式：2710x x -+＝12. 要使式子2a a+有意义，则a 的取值范围为_________．(15题)13. 已知23102,106,10aba b-===则_________14. 在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，8，则这组数据的中位数是 ．15. 如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是 16. 凸n 边形的对角线的条数记作(4)n n a ≥，例如：42a =，那么：①___________5a =；②____________65a a -=；③____________1n n a a +-=．（4n ≥，用n 含的代数式表示）三、解答题（本题有8个小题，共86分）（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答尽量写出来。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析

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人教B 选择性必修第一册综合测验第一章 空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章 平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章 平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。

高中数学 模块综合测评 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题

高中数学 模块综合测评 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}【解析】∵全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，∴∁U A ＝{0,4}，又B ＝{2,4}， 则(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．故选C. 【答案】 C2．可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )【解析】 由函数的定义可知：每当给出x 的一个值，则f (x )有唯一确定的实数值与之对应，只有D 符合．【答案】 D3．同时满足以下三个条件的函数是( )①图象过点(0,1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数． A ．f (x )＝－(x ＋1)2＋2B ．f (x )＝3|x |C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D ．f (x )＝x －2【解析】 A ．若f (x )＝－(x ＋1)2＋2，则函数关于x ＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.B ．若f (x )＝3|x |，在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.C ．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，则三个条件都满足．D ．若f (x )＝x －2，则f (0)无意义，不满足条件①.故选C. 【答案】 C4．下列函数中，与y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝|x |－1|x |C ．y ＝－(2x＋2－x)D ．y ＝x 3－1【解析】y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上是增函数，对于选项A ，D 不是偶函数，B ，C 是偶函数；对于选项B ，当x <0时，y ＝－x ＋1x是减函数；故答案选C.【答案】 C5．函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)【解析】∵函数f (x )＝2x －1＋log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (1)＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)＜0，故连续函数f (x )的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C. 【答案】 C6．若函数f (x )是幂函数，且f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A ．－3B ．－13C ．3 D.13【解析】 设f (x )＝x α(α为常数)，则f 4f 2＝4α2α＝3【答案】 D7．函数f (x )＝2x21－x＋lg (3x ＋1)的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 【解析】 要使函数有意义，x 应满足：⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13＜x ＜1，故函数f (x )＝2x21－x＋lg (3x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 【答案】 A8．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－1)＝f (1)，解得m ＝0， ∴f (x )＝2|x |－1函数图象如图所示：∵log 0.53＝－log 23，|－log 23|<log 25，f (2m )＝f (0)＝0 ∴f (log 25)>f (－log 23)>f (0)，即c <a <b . 【答案】 B9．若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )【解析】 由f (x )＝(k －1)a x －a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，所以k ＝2,0<a <1，再由对数的图象可知A 正确．【答案】 A10．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若f (a )＝g (b )，则b 的取值X 围是( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)【解析】令f (a )＝g (b )＝k ，则直线y ＝k 与函数f (x )与g (x )都有公共点时符合题意，此时－1<g (x )≤1，令g (b )＝－b 2＋4b －3＝－1，解得b ＝2±2，∴2－2<b <2＋ 2.【答案】 B11．在y ＝2x，y ＝log 2x ，y ＝x 2这三个函数中，当0＜x 1＜x 2＜1时，使f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f x 1＋f x 22恒成立的函数的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 当0＜x 1＜x 2＜1时，y ＝2x 使f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22恒成立，y ＝log 2x 使f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f x 1＋f x 22恒成立，y ＝x 2使f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22恒成立．故选B.【答案】 B12．若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则(x －1)·f (x )＜0的解是( )A ．(－3,0)∪(1，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(1,3)【解析】∵f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f (x )也是增函数，又∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴当x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f (x )＜0；当x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f (x )＞0，∵(x －1)·f (x )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，f x <0，解得－3＜x ＜0或1＜x ＜3，∴不等式的解集是(－3,0)∪(1,3)，故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.【解析】∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝b ，∴b 2b＝b ， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4. 【答案】 4 214．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值X 围是________．【解析】 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∴－x 2－2x ＋3<3， ∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )，得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ， ∴a <－2，∴实数a 的取值X 围是(－∞，－2)． 【答案】 (－∞，－2)15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋4x，x ≥4，log 2x ，0<x <4，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值X 围是________．【解析】 关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根， 等价于函数f (x )与函数y ＝k 的图象有两个不同的交点， 作出函数的图象如下：由图可知实数k 的取值X 围是(1,2)． 【答案】 (1,2)16．对于定义在R 上的函数f (x )，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________． ①若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称； ②若对x ∈R ，有f (x ＋1)＝f (x －1)，则y ＝f (x )关于直线x ＝1对称；③若函数f (x －1)关于直线x ＝1对称，则函数f (x )为偶函数； ④函数f (x ＋1)与函数f (1－x )关于直线x ＝1对称．【解析】①，∵函数f (x )是奇函数，∴f (x )的图象关于点O (0,0)对称．又y ＝f (x －1)的图象是将y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，∴f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，故①正确；②，∵f (x ＋1)＝f (x －1)≠f (1－x )，∴y ＝f (x )不关于直线x ＝1对称，故②错误； ③，∵函数y ＝f (x －1)关于直线x ＝1对称，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称， ∴函数f (x )为偶函数，故③正确；④，函数f (x ＋1)的图象与函数f (1－x )的图象不关于直线x ＝1对称，如f (x )＝x 时，f (1＋x )＝x ＋1，f (1－x )＝1－x ，这两条直线显然不关于x ＝1对称，故④错误．【答案】①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x＋x ，求f (x )的解析式．【解】 由题意，当x ＝0时，f (x )＝0，∵x ＞0时，f (x )＝2x＋x ，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝2－x－x ，又∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x＋x ， 综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2－x＋x ，x <0，0，x ＝0，2x ＋x ，x >0.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －1(a >0且a ≠1)．(1)若函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)点，求a 的值； (2)若f (lg a )＝100，求a 的值；(3)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程．【解析】 (1)∵函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)， ∴a3－1＝4，即a 2＝4.又a >0，所以a ＝2. (2)由f (lg a )＝100知，a lg a －1＝100.∴lg alg a －1＝2(或lg a －1＝log a 100)．∴(lg a －1)·lg a ＝2.∴lg 2a －lg a －2＝0， ∴lg a ＝－1或lg a ＝2， ∴a ＝110或a ＝100.(3)当a >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100>f (－2.1)； 当0<a <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100<f (－2.1)． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3，f (－2.1)＝a －3.1， 当a >1时，y ＝a x在(－∞，＋∞)上为增函数． ∵－3>－3.1，∴a －3>a－3.1.即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100>f (－2.1)； 当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－3>－3.1，∴a －3<a－3.1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100<f (－2.1)． 19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}． (1)若A ≠∅，某某数a 的取值X 围； (2)若A ∩B ＝A ，某某数a 的取值X 围．【解】 (1)分两种情况考虑：①当a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23≠∅；②当a ≠1时，Δ＝9＋8(a －1)≥0，即a ≥－18且a ≠1，综上所述，a 的取值X 围为a ≥－18.(2)由A ∩B ＝A ，得到A ⊆B ，分两种情况考虑： ①当A ＝∅时，a ＜－18；②当A ≠∅时，得到B 中方程的解1和2为A 的元素，即A ＝{1,2}， 把x ＝1代入A 中方程得：a ＝0.综上所述，a 的取值X 围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－18或a ＝0. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)，(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0.【解】 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，1－2x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )．∴F (x )为奇函数．(3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0， 即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )．①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ，∴－12<x <0.②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12.综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0； 当a ＞1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0. 21．(本小题满分12分)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲，乙两图：甲 乙图1甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条． 乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个． 请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．【解】 由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y 甲＝0.2x ＋0.8，图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲×y 乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设第m 年的规模最大，总出产量为n ， 那么n ＝y 甲y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34)＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25，因此，当m ＝2时，n 最大值为31.2. 即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ·2x －2＋a2x＋1(a ∈R ).(1)试判断f (x )的单调性，并证明你的结论； (2)若f (x )为定义域上的奇函数， ①求函数f (x )的值域；②求满足f (ax )＜f (2a －x 2)的x 的取值X 围．【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f (x )＝a －22x ＋1，任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝22x 2－2x 12x 2＋12x 1＋1，∵y ＝2x在R 上单调递增，且x 1＜x 2，word11 / 11 ∴0<2<2x 2，2x 2－2>0,2＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数．(2)∵f (x )在定义域上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＝0对任意实数x 恒成立，化简得2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x2x ＋1＋22x ＋1＝0， ∴2a －2＝0，即a ＝1，①由a ＝1得f (x )＝1－22x ＋1，∵2x ＋1＞1，∴0<12x ＋1<1，∴－2<－22x ＋1<0，∴－1<1－22x ＋1<1，故函数f (x )的值域为(－1,1)． ②由a ＝1，得f (x )＜f (2－x 2)，∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，∴x ＜2－x 2， 解得－2＜x ＜1，故x 的取值X 围为(－2,1)．。

2025版新教材高中数学本册综合测试卷新人教B版选择性必修第一册

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本册综合测试卷时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知e 为直线l 的方向向量，m ，n 是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)，那么下列说法正确的个数为( )①e ·m ＝0⇔l ∥α；②m ⊥n ⇔α⊥β；③m ∥n ⇔α∥β；④e ∥m ⇔l ∥α. A ．1B ．2C ．3D ．42．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F (0，22)，则双曲线的方程是( ) A ．y 28－x 28＝1B ．y 24－x 24＝1C ．x 28－y 28＝1D ．x 24－y 24＝13．如图，在棱长均相等的四面体O ­ABC 中，点D 为AB 的中点，CE ＝12ED ，设OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c ，则OE →＝( )A ．16a ＋16b ＋13cB ．13a ＋13b ＋13cC ．16a ＋16b －13cD ．16a ＋16b ＋23c 4．如图所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在其次、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ．2B ．3C ．32D ．625．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 应满意的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋3b ＋1＝06．直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]7．已知抛物线y 2＝4x ，F 为其焦点，抛物线上两点A ，B 满意|AF |＋|BF |＝8，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．2B ．3C ．4D ．68．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos∠F 1PF 2的值等于( )A ．13B ．14C ．19D ．35二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＝(λ＋1，0，2)，b ＝(6，2μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3，12D ．－3，210．下列四个命题中真命题有( ) A ．直线y ＝x －2在y 轴上的截距为－2B ．经过定点A (0，2)的直线都可以用方程y ＝kx ＋2表示C ．直线6x ＋my ＋14＝0(m ∈R )必过定点(－73，0)D ．已知直线3x ＋4y ＋9＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则平行线间的距离是111．已知圆M ：(x －a )2＋(y －a －1)2＝1(a ∈R )，则( ) A ．圆M 可能过原点B ．圆心M 在直线x －y ＋1＝0上C ．圆M 与直线x －y －1＝0相切D ．圆M 被直线x －y ＝0截得的弦长等于 212．已知椭圆C ：x 24＋y 28＝1内一点M (1，2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是( )A ．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)B ．椭圆C 的长轴长为4 2 C ．椭圆的离心率为e ＝22D ．直线l 的方程为x ＋y －3＝0 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上． 13．已知u ＝(3，a ，b )(a ，b ∈R )是直线l 的方向向量，n ＝(1，2，3)是平面α的法向量，假如l ⊥α，则a ＋b ＝________．14．已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(其中m ，n 为非零常数)，若m ＋n ＝0，则曲线C 的离心率e 为________．15．若圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上有且仅有三个点到直线ax －3y ＋3＝0(a ∈R )的距离为1，则a ＝________.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为16，则b 2a ＋1的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，若直线l 1：x －y ＋2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2 2.(1)求圆C 的方程；(2)求过点P (2，－3)且与圆C 相切的直线l 2的方程．18．(12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (0＜p ＜2)的焦点为F ，M (2，y 0)是C 上的一点，且|MF |＝52.(1)求C 的方程；(2)直线l 交C 于A ，B 两点，k OA ·k OB ＝－2且△OAB 的面积为16，求l 的方程．19．(12分)已知四棱锥S ­ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的随意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离； (3)当SA AB的值为多少时，二面角B ­SC ­D 的大小为120°？20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长为4＋2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若∠F 1MF 2＝60°，求△MF 1F 2的面积；(3)设P 为圆x 2＋y 2＝5上随意一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，推断PA →·PB →是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．21．(12分)如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2.(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； (3)若二面角E ­BD ­F 的余弦值为13，求线段CF 的长．22．(12分)在①离心率e ＝12，②椭圆C 过点(1，32)，③△PF 1F 2面积的最大值为3，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为k 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，已知椭圆C 的短轴长为23，________．(1)求椭圆C 的方程；(2)若线段PQ 的中垂线与x 轴交于点N ，求证：|PQ ||NF 1|为定值．本册综合测试卷1．答案：B 解析：因为e 为直线l 的方向向量，m ，n 是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)， 若e ·m ＝0，则e ⊥m ，由于不确定直线l 是否在平面α内，当直线l 不在平面α内，则l ∥α，故①错误；若m ⊥n ，则α⊥β，故②正确； 若m ∥n ，则α∥β，故③正确；若e ∥m ，即e 也是平面α的法向量，所以l ⊥α，故④错误．故选B. 2．答案：B解析：因为所求双曲线为等轴双曲线，且焦点在y 轴上，故设双曲线的方程为y 2－x2＝λ>0，因为双曲线的一个焦点坐标为F (0，22)，所以c ＝22，则2λ＝c 2＝8，即λ＝4，所以双曲线的方程为y 24－x 24＝1.故选B.3．答案：D解析：∵CE ＝12ED ，∴CE →＝13CD →＝13(CA →＋AD →)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋12AB →＝13CA →＋16AB →，∴OE →＝OC →＋CE →＝OC →＋13CA →＋16AB →＝OC →＋13()OA →－OC →＋16()OB →－OA → ＝16OA →＋16OB →＋23OC →＝16a ＋16b ＋23c . 4．答案：D解析：由椭圆定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线C 2有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.故选D.5．答案：B解析：由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为2(1＋a )x ＋2(1＋b )y －a 2－1＝0，而点(－1，－1)在此直线上，故有a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.故选B.6．答案：A解析：设圆心到直线AB 的距离d ＝|2＋0＋2|2＝2 2.点P 到直线AB 的距离为d ′.易知d －r ≤d ′≤d ＋r ，即2≤d ′≤3 2.又AB ＝22，∴S △ABP ＝12·|AB |·d ′＝2d ′，∴2≤S △ABP ≤6.故选A.7．答案：B解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，准线方程x ＝－1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝8，解得x 1＋x 2＝6，∴线段AB 的中点横坐标为3，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为3.故选B.8．答案：A解析：由题意知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝92，y 2＝12．取P 点坐标为(322，22)，PF 1→＝(－2－322，－22)，PF 2→＝(2－322，－22)， cos∠F 1PF 2＝PF 1→·PF 2→|PF 1→||PF 2→|＝（－2－322）×（2－322）＋12（－2－322）2＋12（2－322）2＋12＝13.故选A.9．答案：AC解析：由a ∥b ，可设b ＝k a ，即(6，2μ－1，2λ)＝k (λ＋1，0，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝k （λ＋1），2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得μ＝12，λ＝－3或2.故选AC.10．答案：AC解析：对于直线方程y ＝x －2，令x ＝0解得y ＝－2，故该直线在y 轴上的截距为－2，故A 正确；经过点A (0，2)的直线若斜率存在，可用y ＝kx ＋2表示；若斜率不存在，则无法用y ＝kx ＋2表示，故B 错误；当m ≠0时，6x ＋my ＋14＝0可整理为y ＝－6m (x ＋73)，恒过定点(－73，0)；当m ＝0时，6x ＋my ＋14＝0即为x ＝－73，过点(－73，0).故直线6x ＋my ＋14＝0(m ∈R )必过定点(－73，0)，故C 正确；直线3x ＋4y ＋9＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则m ＝8，此时6x ＋my ＋14＝0即6x ＋8y ＋14＝0，也即3x ＋4y ＋7＝0，则两平行线间的距离d ＝|9－7|32＋42＝25，故D 错误．故选AC. 11．答案：ABD解析：圆M ：(x －a )2＋(y －a －1)2＝1(a ∈R )，圆心为(a ，a ＋1)，半径为1，若圆M 过原点，则(0－a )2＋(0－a －1)2＝1，解得a ＝0或a ＝－1，故A 正确；因为a －(a ＋1)＋1＝0，所以圆心在直线x －y ＋1＝0上，故B 正确；圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝|a －（a ＋1）－1|2＝2>1，故圆M 与直线x －y －1＝0相离，故C 错误；圆心到直线x －y＝0的距离d 1＝|a －（a ＋1）|2＝22，所以圆M 被直线x －y ＝0截得的弦长l ＝212－（22）2＝2，故D 正确．故选ABD. 12．答案：BCD解析：由C ：x 24＋y 28＝1，得椭圆焦点在y 轴上，且a 2＝8，b 2＝4，则a ＝22，b ＝2，c＝a 2－b 2＝2.∴椭圆的焦点坐标为(0，2)，(0，－2)，长轴长为2a ＝42，离心率e ＝c a＝222＝22，故A 错误，BC 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21 4＋y 21 8＝1，x 22 4＋y 22 8＝1，两式作差可得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）4＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）8，∵M (1，2)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝4，则y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝－2×24＝－1，∴直线l 的方程为y －2＝－1×(x －1)，即x ＋y －3＝0，故D 正确．故选BCD.13．答案：15解析：∵l ⊥α，∴n ∥u ，∴31＝a 2＝b3，解得a ＝6，b ＝9，∴a ＋b ＝15. 14．答案： 2解析：∵曲线C ：mx 2＋ny 2＝1，m ＋n ＝0，∴曲线C ：mx 2－my 2＝1(其中m ，n 为非零常数)，即曲线为等轴双曲线，∴e ＝ 2. 15．答案：± 3解析：圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax －3y ＋3＝0(a ∈R )的距离是1，所以圆心到直线ax －3y＋3＝0(a ∈R )的距离是圆的半径的一半，即|2a －3＋3|a 2＋9＝1，解得a ＝± 3.16．答案：4 解析：由△PQF 2的周长为16，得△ABF 2的周长为32.因为AB 是双曲线的通径，所以|AB |＝2b 2a .因为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝32，|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，可得2|AB |＝4b2a＝32－4a ，所以b 2＝a (8－a )，可得a ∈(0，8)，则b2a ＋1＝8a －a 2a ＋1＝－(a ＋1＋9a ＋1－10)≤4，当且仅当a ＋1＝9a ＋1，即a ＝2时等号成立．即b2a ＋1的最大值为4.17．解析：(1)设圆心到直线l 1的距离为d ，则r 2－d 2＝(|AB |2)2，即d 2＝r 2－2，又d ＝21＋1＝2，所以r 2＝4，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线l 2斜率不存在时，l 2的方程为x ＝2，恰好与圆相切，满意题意； 当直线l 2斜率存在时，设l 2的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0，则圆心到直线l 2的距离为|－2k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝－512，此时直线l 2的方程为y ＋3＝－512(x －2)，即5x ＋12y ＋26＝0， 综上，直线l 2的方程为5x ＋12y ＋26＝0或x ＝2.18．解析：(1)将M (2，y 0)代入x 2＝2py 得y 0＝2p ，又|MF |＝y 0－(－p 2)＝2p ＋p 2＝52，∴p＝1或p ＝4(舍)，∴抛物线的方程为x 2＝2y .(2)直l 的斜率明显存在，设直线l ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2＝2y 得x 2－2kx －2b ＝0， ∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2b .由k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝x 1x 24＝－b2＝－2，∴b ＝4.∴直线方程为y ＝kx ＋4，所以直线恒过定点(0，4)，原点O 到直线l 的距离d ＝41＋k2，∴S △OAB ＝12×d |AB |＝12×41＋k2·1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝21＋k21＋k24k 2＋32＝24k 2＋32＝16，∴4k 2＋32＝64，解得k ＝±22， 所以直线方程为：y ＝±22x ＋4.19．解析：(1)证明：由ABCD 是正方形，故AC ⊥BD ， 因为SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则SA ⊥BD ， 又SA ∩AC ＝A ，SA ，AC ⊂平面SAC ，故BD ⊥平面SAC ， 因为BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面SAC .(2)由题设V S ­ABD ＝V A ­SBD ，而V S ­ABD ＝13×SA ×S △ABD ＝13×4×12×2×2＝83，由AB ，AD ⊂平面ABCD ，易知：SA ⊥AB ，SA ⊥AD ，故SB ＝SD ＝25，又BD ＝22，所以S △SBD ＝12×BD ×SB 2－（BD2）2＝6，若A 到平面SBD 的距离为h ，则13h ×6＝83，可得h ＝43，即A 到平面SBD 的距离为43． (3)构建以A 为原点，AB →，AD →，AS →为x ，y ，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：若AB ＝a >0，SAAB＝λ>0时，则B (a ，0，0)，C (a ，a ，0)，D (0，a ，0)，S (0，0，λa )， 所以SC →＝(a ，a ，－λa )，SB →＝(a ，0，－λa )，SD →＝(0，a ，－λa )， 令m ＝(x ，y ，z )为平面SBC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·SC →＝ax ＋ay －λaz ＝0m ·SB →＝ax －λaz ＝0，令x ＝λ，即m ＝(λ，0，1)，令n ＝(α，β，γ)为平面SDC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SC →＝aα＋aβ－λaγ＝0n ·SD →＝aβ－λaγ＝0，令β＝λ，即n ＝(0，λ，1)，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝11＋λ2＝|cos120°|＝12，可得λ＝±1.因为λ>0，所以λ＝1，所以当SA AB＝1时，二面角B ­SC ­D 的大小为120°.20．解析：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝322a ＋2c ＝4＋23a 2＝b 2＋c2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依据椭圆的定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝16 ①，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|·cos60°，即12＝|MF 1|2＋|MF 2|2－|MF 1|·|MF 2| ②，由①②得|MF 1|·|MF 2|＝43，所以＝12·|MF 1|·|MF 2|·sin60°＝12×43×32＝33. (3)圆的方程为x 2＋y 2＝5，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，留意到(2，1)，(2，－1)，(－2，1)，(－2，－1)是圆上的点，过上述四个点中的随意一个作椭圆C 的切线，则两条切线垂直，即PA →·PB →＝0.当P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝5上除去上述四个点外的随意一点时， 切线PA 和切线PB 的斜率存在且不为零， 设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k （x －x 0）x 24＋y 2＝1消去y 并化简得(1＋4k 2)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4[(y 0－kx 0)2－1]＝0，令Δ＝64k 2(y 0－kx 0)2－4×(1＋4k 2)×4[(y 0－kx 0)2－1]＝0，整理得(x 20 －4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20 －1＝0，所以k PA ·k PB ＝y 20 －1x 20 －4，由于x 20 ＋y 20 ＝5，所以k PA ·k PB ＝y 20 －1x 20 －4＝－1，即PA →·PB →＝0.综上所述，PA →·PB →是定值，且定值为0.21.解析：(1)证明：依题意，以A 为坐标原点，分别以AB →，AD →，AE →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，1，0)，E (0，0，2)，设CF ＝h (h >0)，则F (1，2，h ).依题意知，AB →＝(1，0，0)是平面ADE 的法向量，又BF →＝(0，2，h )，可得BF →·AB →＝0， 因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE .(2)依题意，BD →＝(－1，1，0)，BE →＝(－1，0，2)，CE →＝(－1，－2，2).设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n ＝0，BE →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得n ＝(2，2，1).因此有cos 〈CE →，n 〉＝CE →·n |CE →||n |＝－49，所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.(3)设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BDF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧BD →·m ＝0，BF →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，2y 1＋hz 1＝0，不妨令y 1＝1，可得m ＝(1，1，－2h).由题意得|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－2h 32＋4h 2＝13，解得h ＝87.经检验，符合题意，所以线段CF 的长为87.22．解析：(1)选①，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，2b ＝23，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝2，，b ＝3，c ＝1，所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.选②，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，2b ＝23，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.选③，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12×2c ×b ＝3，2b ＝23，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明：(ⅰ)当k ＝0时，|PQ |＝2a ＝4，|NF 1|＝c ＝1，所以|PQ ||NF 1|＝2a c＝4. (ⅱ)当k ≠0时，由题意可得，F 1(－1，0).设直线PF 1的方程为y ＝k (x ＋1)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，明显Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 所以|PQ |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·（－8k 23＋4k 2）2－4·4k 2－123＋4k 2＝12＋12k23＋4k2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝－8k 33＋4k 2＋2k ＝6k 3＋4k 2， 所以线段PQ 的中点M (－4k 23＋4k 2，3k 3＋4k2)， 则线段PQ 的中垂线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k (x ＋4k 23＋4k2). 令y ＝0，可得x ＝－k 23＋4k 2，即N (－k 23＋4k 2，0)，又F 1(－1，0)， 所以|NF 1|＝－k 23＋4k 2＋1＝3k 2＋33＋4k 2，所以|PQ ||NF 1|＝12＋12k23＋4k 23k 2＋33＋4k 2＝4，综上|PQ ||NF 1|＝4.。

高中数学 第一章 集合综合测试(B)新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题

高中数学 第一章 集合综合测试(B)新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题

第一章综合测试(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014～2015学年度某某育才中学高一上学期月考)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2－y 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，故选D ．2．(2015·新课标Ⅱ理，1)已知集合A ＝{－2，－1,0,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}[答案] A[解析] 由已知得B ＝{x |－2<x <1}， 故A ∩B ＝{－1,0}，故选A ．3．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知全集U ＝{0,1,2}，且∁U A ＝{2}，则集合A 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{1}D ．∅ [答案] B[解析] ∵U ＝{0,1,2}，且∁U A ＝{2}，∴A ＝{0,1}．4．(2014～2015学年度德阳五中高一上学期月考)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，P ＝{1,2,3,4,5}，Q ＝{3,4,5,6,7}，则P ∪(∁U Q )＝( )A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,6,7}D ．{1,2,3,4,5} [答案] D[解析] ∁U Q ＝{1,2}，P ∪(∁U Q )＝{1,2,3,4,5}．5．(2015·某某理，1)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A BD ．B A[答案] D[解析] 根据子集的定义，B A，故选D．6．(2014～2015学年度某某某某市高一上学期期中测试)已知集合M＝{x|y＝2－x}，N ＝{y|y＝x2}，则M∩N＝( )A．∅B．{(1,1)}C．{x|x≥0} D．{y|y>0}[答案] C[解析] M＝{x|y＝2－x}＝R，N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∴M∩N＝{x|x≥0}．7．(2014·某某文，1)设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝( )A．(－∞，5] B．[2，＋∞)C．(2,5) D．[2,5][答案] D[解析] S∩T＝{x|x≥2}∩{x|x≤5}＝{x|2≤x≤5}，故选D．8．已知A∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A共有( )A．2个B．4个C．6个D．8个[答案] B[解析] ∵A∩{－1,0,1}＝{0,1}，∴0∈A,1∈A．又∵A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，∴－2,2可能是集合A的元素，也可能不是集合A的元素．∴A＝{0,1}或A＝{0,1，－2}，或A＝{0,1,2}，或A＝{0,1，－2,2}．9．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{1,3,4}B．{2,4}C．{4,5}D．{4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2,3}∩{2,4}＝{2}，图中阴影部分所表示的集合是∁B(A∩B)＝{4}．10．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则( )A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝2，b ＝3C ．a ＝－3，b ＝－2D ．a ＝－2，b ＝－3[答案] B[解析] ∵A ∩B ＝{(2,5)}，∴(2,5)∈A ，(2,5)∈B ， ∴5＝2a ＋1,5＝2＋b ，∴a ＝2，b ＝3.11．已知集合A ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0}，若A ∩R ＝∅，则实数m 的取值X 围是( ) A ．m <4 B ．m >4 C ．0<m <4 D ．0≤m <4[答案] A[解析] ∵A ∩R ＝∅，∴A ＝∅，即方程x 2＋mx ＋1＝0无解，∴Δ＝(m )2－4<0， ∴m <4.12．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗(a ⊕c )＝( ) A ．a B ．b C ．c D ．d[答案] A[解析] 由题中表格可知，a ⊕c ＝c ，d ⊗(a ⊕c )＝d ⊗c ＝a ，故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．若{a,0,1}＝{c ，1b，－1}，则a ＝______，b ________，c ＝________.[答案] －1 1 0[解析] ∵1b≠0，∴c ＝0，a ＝－1，b ＝1.14．(2014～2015学年度某某启东中学高一上学期月考)若集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝________.[答案] {x |2<x <3}[解析] A ∩B ＝{x |1<x <3}∩{x |2<x <4} ＝{x |2<x <3}．15．已知U ＝{2,3，a 2＋6a ＋13}，A ＝{|a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________. [答案] －2[解析] ∵∁U A ＝{5}，∴5∉A,5∈U ，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|＝3a 2＋6a ＋13＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝3a 2＋6a ＋8＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－3a 2＋6a ＋8＝0，解得a ＝－2.16．有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有________人．[答案] 2[解析] 设两种都没买的有x 人，由题意知，只买电视的有6人，只买电脑的有5人，两种均买了的有2人，∴6＋5＋2＋x ＝15，∴x ＝2.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设全集U ＝{x ∈Z |0≤x ≤10}，A ＝{1,2,4,5,9}，B ＝{4,6,7,8,10}，C ＝{3,5,7}．求：A ∪B ，(A ∩B )∩C ，(∁U A )∩(∁U B )．[解析] U ＝{x ∈Z |0≤x ≤10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A ∪B ＝{1,2,4,5,6,7,8,9,10}， A ∩B ＝{4}，(A ∩B )∩C ＝{4}∩{3,5,7}＝∅. ∁U A ＝{0,3,6,7,8,10}， ∁U B ＝{0,1,2,3,5,9}， ∴(∁U A )∩(∁U B )＝{0,3}．18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某师X 大学附属第二中学高一上学期月考)已知全集U ＝{x |x －2≥0或x －1≤0}，A ＝{x |x <1或x >3}，B ＝{x |x ≤1或x >2}．求：A ∩B ，A ∪B ，(∁U A )∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )．[解析] U ＝{x |x ≥2或x ≤1}，∴∁U A ＝{x |x ＝1或2≤x <3}，∁U B ＝{x |x ＝2}． ∴A ∩B ＝{x |x <1或x >3}，A ∪B ＝{x |x ≤1或x >2}，(∁U A )∩(∁U B )＝{x |x ＝2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x ＝1或2≤x <3}．19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，试求出实数k 的值，并用列举法表示集合A ．[解析] ∵集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实根或有两个相等的实数根．①当k ＝0时，方程－8x ＋16＝0只有一个实数根2，此时A ＝{2}． ②当k ≠0时，由Δ＝(－8)2－64k ＝0， 得k ＝1，此时A ＝{x |x 2－8x ＋16＝0}＝{4}． 综上可知，k ＝0，A ＝{2}或k ＝1，A ＝{4}．20．(本小题满分12分)(2014～2015学年度某某正定中学高一上学期月考)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－1≤x ≤4m －2}，P ＝{x |x >2或x ≤1}．(1)若m ＝2，求M ∩P ；(2)若M ∩P ＝R ，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)m ＝2时，M ＝{x |－1≤x ≤6}， ∴M ∩P ＝{x |－1≤x ≤1或2<x ≤6}． (2)若M ∪P ＝R ，则有4m －2≥2，∴m ≥1.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x <－1或x ≥1}，B ＝{x |x ≤2a 或x ≥a ＋1}，若(∁R B )⊆A ，某某数a 的取值X 围．[解析] ∵B ＝{x |x ≤2a 或x ≥a ＋1}， ∴∁R B ＝{x |2a <x <a ＋1}．当2a ≥a ＋1，即a ≥1时，∁R B ＝∅⊆A ， 当2a <a ＋1，即a <1时，∁R B ≠∅， 要使∁R B ⊆A ，应满足a ＋1≤－1或2a ≥1， 即a ≤－2或12≤a <1.综上可知，实数a 的取值X 围为a ≤－2或a ≥12.22．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |x 2－4ax ＋2a ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ∩B ≠∅，求a 的取值X 围．[解析] ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅，即方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0有实数根，∴Δ＝(－4a )2－4(2a ＋6)≥0，即(a ＋1)(2a －3)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥02a －3≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤02a －3≤0，解得a ≥32或a ≤－1.①又B ＝{x |x <0}，∴方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0至少有一个负实数根．若方程x 2－4ax ＋2a＋6＝0没有负实数根，则需有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＝4a ≥0x 1·x 2＝2a ＋6≥0，解得a ≥32.所以方程至少有一负实数根时有a <32.②由①②取得公共部分得a ≤－1.即当A ∩B ≠∅时，a 的取值X 围为a ≤－1.。

人教B版高中数学必修一高一新生开学检测.docx

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2016年高一新生开学检测数学试题（时间：120分钟，总分：120分） 2016.9一、选择题（每小题3分，共30分）1、人体内的某种细胞的形状可近似看作是球状，它的直径为 0.00000156m ，则这个数用科学记数法表示是 ( )A ．1.56×10−6mB ．1.56×10−5mC ．156×10−5mD ．1.56×106m 2.下列各组根式中，属于同类二次根式是( ) A ．2112和B. 2718和C. 313和 D. 5445和 3．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )等腰梯形D平行四边形C等边三角形圆BA4.下面关于x 的方程中:①ax 2+x+2=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3=;④x 2-a=0（a 为任意实数）; ⑤=x-1.一元二次方程的个数是( )A.1B.2C.3D.45．从正方形铁片上截去2cm 宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm 2，•则原来正方形的面积为（ ）A ．100cm 2B ．121cm 2C ．144cm 2D ．169cm 26．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2-16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．48C ．24或85D ．857. 抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A.23(1)2y x =-- B. 23(1)2y x =+- C. 23(1)2y x =++ D. 23(1)2y x =-+8. ⊙O 的半径r ＝5 cm ，圆心到直线l 的距离OM ＝4 cm ，在直线l 上有一点P ，且PM ＝3 cm ，则点P ( )A ．在⊙O 内B ．在⊙O 上C ．在⊙O 外D ．可能在⊙O 上或在⊙O 内 9.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个10.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ） ① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.① 二、填空题（每小题4分，共20分）1．使xx 23 有意义，则x 的取值范围是__________. 2、 一组数据 1，2，a 的平均数为 2，另一组数据 −1，a ，1，2，b 的唯一众数为 −1，则数据−1，a ，1，2，b 的中位数为________________ 。

高一数学高中数学新课标人教B版试题答案及解析

高一数学高中数学新课标人教B版试题答案及解析

高一数学高中数学新课标人教B版试题答案及解析1.若的图像是（）【答案】B【解析】主要考查指数函数与对数函数的图象和性质、指数函数与对数函数互为反函数关系。

解：，所以，，故选B。

2.设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使1993+1993+1993≥k•1993恒成立，则k的最大值是．【答案】9【解析】先利用换底公式进行化简，然后令a=lgx0﹣lgx1，b=lgx1﹣lgx2，c=lgx2﹣lgx3，将题目转化成不等式恒成立问题，最后利用柯西不等式求出最值即可求出所求．解：要使1993+1993+1993≥k•1993恒成立即使++≥k•恒成立令a=lgx0﹣lgx1，b=lgx1﹣lgx2，c=lgx2﹣lgx3，而x＞x1＞x2＞x3＞0∴a＞0，b＞0，c＞0即使得≥k•（a＞0，b＞0，c＞0）恒成立即k≤（）（a+b+c）的最小值根据柯西不等式可知（）（a+b+c）≥（++）2=（1+1+1）2=9∴k的最大值是9故答案为：9点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及柯西不等式的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．3.已知x+5y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．【答案】【解析】利用题中条件：“x+5y+3z=1”构造柯西不等式：（x2+y2+z2）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）2这个条件进行计算即可．证明：∵35=1+25+9，∴35（x2+y2+z2）=（x2+y2+z2）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）2=1可得：x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为，故答案为：．点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（x2+y2+z2）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）2．4.（不等式选讲）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=9，则x+2y+3z的最大值是．【答案】【解析】由柯西不等式可得：（x2+y2+z2）×（12+22+32）≥（x+2y+3z）2，结合已知x2+y2+z2=9，可求x+2y+3z的最大值．解：由柯西不等式可得：（x2+y2+z2）×（12+22+32）≥（x+2y+3z）2已知x2+y2+z2=9，∴（x+2y+3z）2≤9×14，∴x+2y+3z的最大值是．故答案为：．点评：本题考查柯西不等式，构造柯西不等式（x2+y2+z2）×（12+22+32）≥（x+2y+3z）2是关键．5.（2007•北京）如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一【答案】A【解析】根据均值不等式分别有：；；则a，b，c，d满足a+b=cd=4，进而可得2化简即得．当且仅当a=b=c=d=2时取等号．解：如果a，b是正数，则根据均值不等式有：，则（a+b）2≥4ab如果c，d是正数，则根据均值不等式有：；则∵a，b，c，d满足a+b=cd=4，∴2当且仅当a=b=c=d=2时取等号．化简即为：ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一．故选A．点评：要熟练使用均值不等式，能正用、逆用，而且还要会变用．使用时还要特别注意等号成立的条件．6.设a1，a2，…，an为实数，证明：≤．【答案】见解析【解析】利用排序原理，n个式子相加，可得n（a12+a22+…+an2）≤（a1+a2+…+an）2，上式两边除以n2，并开方可得结论．证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，则由排序原理得：a 12+a22+…+an2=a1a1+a2a2+…+anana 12+a22+…+an2≤a1a2+a2a3+…+ana1a 12+a22+…+an2≤a1a3+a2a4+…+an﹣1a1+a n a2…a 12+a22+…+an2≤a1an+a2a1+…+anan﹣1．将上述n个式子相加，得：n（a12+a22+…+an2）≤（a1+a2+…+an）2，上式两边除以n2，并开方可得：≤．点评：本题考查排序原理，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.设a1，a2，…，an为正数，求证：++…++≥a1+a2+…+an．【答案】见解析【解析】不妨设a1＞a2＞…＞an＞0，则a12＞a22＞…＞an2，，由排序原理：乱序和≥反序和，可得结论．证明：不妨设a1＞a2＞…＞an＞0，则a12＞a22＞…＞an2，由排序原理：乱序和≥反序和，可得：++…++≥=a1+a2+…+an．点评：本题考查不等式的证明，考查排序原理：乱序和≥反序和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.设a，b，c是正实数，求证：a a b b c c≥（abc）．【答案】见解析【解析】不妨设a≥b≥c＞0，则lga≥lgb≥lgc，据排序不等式，可得三个不等式，相加，即可得出结论．证明：不妨设a≥b≥c＞0，则lga≥lgb≥lgc．据排序不等式有：alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algcalga+blgb+clgc≥clga+algb+blgcalga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc上述三式相加得：3（alga+blgb+clgc）≥（a+b+c）（lga+lgb+lgc）即lg（a a b b c c）≥lg（abc）故a a b b c c≥（abc）．点评：本题考查不等式的证明，考查排序不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.（2011•绵阳二模）若不等式|x﹣a|﹣|x|＜2﹣a2当x∈R时总成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C【解析】先利用绝对值不等式的性质：﹣|a+b|≤|a|﹣|b|≤|a+b|，去绝对值符号确定|x﹣a|﹣|x|的取值范围，然后让2﹣a2大于它的最大值即可．解：令y=|x﹣a|﹣|x|≤|a|所以要使得不等式|x﹣a|﹣|x|＜2﹣a2当x∈R时总成立只要2﹣a2≥|a|即可∴a∈（﹣1，1）故选C．点评：本题主要考查不等式恒成立问题．关键是利用结论：大于一个函数式只需要大于它的最大值即可．10.（2014•南昌三模）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【答案】D【解析】依题意，关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集⇔a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|，可求其最大值，从而可解关于a的不等式即可．解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，∴a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，则a2+a+1＞f（x）max ，∵f（x）max=1，∴a2+a+1＞1，∴a2+a＞0，解得a＞0或a＜﹣1．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）故选D．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想的应用与一元二次不等式的解法的考查，属于中档题．11.（2014•吉安二模）已知f（x）=|x﹣1|+|x+m|（m∈R），g（x）=2x﹣1，若m＞﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，﹣]B．（﹣1，﹣）C．（﹣∞，﹣]D．（﹣1，+∞）【答案】B【解析】依题意，x∈[﹣m，1]时，f（x）=1﹣x+x+m=1+m；又x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，问题转化为1+m＜g（x）min=﹣2m﹣1恒成立，从而可得答案．解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+m|，∴当m＞﹣1，x∈[﹣m，1]时，f（x）=1﹣x+x+m=1+m；又g（x）=2x﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，即1+m＜2x﹣1（x∈[﹣m，1]）恒成立，又当x∈[﹣m，1]时，g（x）min =﹣2m﹣1，∴1+m＜﹣2m﹣1，解得：m＜﹣，又m＞﹣1，∴﹣1＜m＜﹣．故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与综合运算能力，属于中档题．12.（2014•安徽模拟）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，则关于x 的不等式：|x﹣1|+|x﹣3|≥m的解集为（）A．（﹣∞，0]B．[4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）【答案】D【解析】（1）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1，化简为，再利用不等式整数解有且仅有一个值为2，求出m的值．（2）可以分类讨论，根据讨论去掉绝对值，然后求解．解：（1）由不等式|2x﹣m|≤1，可得，∵不等式的整数解为2，∴，解得3≤m≤5．再由不等式仅有一个整数解2，∴m=4．（2）（2）本题即解不等式|x﹣1|+|x﹣3|≥4，当x≤1时，不等式等价于1﹣x+3﹣x≥4，解得x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．当1＜x≤3时，不等式为x﹣1+3﹣x≥4，解得x∈∅，不等式解为∅．当x＞3时，x﹣1+x﹣3≥4，解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．综上，不等式解为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故选D．点评：此题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意进行分类讨论，解题的关键是去掉绝对值，属于中档题．13.（2014•武汉模拟）若关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是（）A ．（﹣∞，1]B ．（﹣∞，1）C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】A【解析】不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|＜a 的解集是空集⇔|x ﹣3|+|x ﹣4|≥a 恒成立，令f （x ）=|x ﹣3|+|x ﹣4|，利用绝对值不等式可求得f （x ）min =1，从而可得答案． 解：∵不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|＜a 的解集是空集， ∴|x ﹣3|+|x ﹣4|≥a 恒成立，令f （x ）=|x ﹣3|+|x ﹣4|，则a≤f （x ）min ．∵f （x ）=|x ﹣3|+|x ﹣4|≥|（x ﹣3）﹣（x ﹣4）|=1，即f （x ）min =1， ∴a≤1，即实数a 的取值范围是（﹣∞，1]， 故选：A ．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的应用，突出等价转化思想的考查，属于中档题．14. （2014•郴州三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f （x ）=xlnx ﹣x 的图象上的动点，该曲线在点P 处的切线l 交y 轴于点M （0，y M ），过点P 作l 的垂线交y 轴于点N （0，y N ）．则的范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）B ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）C ．[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]【答案】A【解析】设出P 的坐标，求导函数，可得曲线在点P 处的切线l 的方程，过点P 作l 的垂线的方程，令x ﹣0，可得y M =﹣a ，y N =alna ﹣a+，进而可求=﹣lna+1﹣，利用基本不等式，即可求出的范围．解：设P （a ，alna ﹣a ），则 ∵f （x ）=xlnx ﹣x ， ∴f′（x ）=lnx ，∴曲线在点P 处的切线l 的方程为y ﹣alna+a=lna （x ﹣a ），即y=﹣a+xlna ． 令x=0，可得y M =﹣a ，过点P 作l 的垂线的方程为y ﹣alna+a=﹣（x ﹣a ），令x=0，可得y N =alna ﹣a+，∴=﹣lna+1﹣，∵lna+≥2或lna+≤﹣2，∴﹣（lna+）≤﹣2或﹣（lna+）≥2， ∴=﹣lna+1﹣的范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故选A ．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，属于中档题．15. （2014•长春三模）已知函数f （x ）=x 2的图象在点A （x 1，f （x 1））与点B （x 2，f （x 2））处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是（ ） A ．（﹣，3）B ．（0，﹣4）C ．（2，3）D ．（1，﹣）【答案】D【解析】由已知函数解析式求得A ，B 的坐标，求出原函数的导函数，得到函数在A ，B 两点出的导数值，由图象在点A （x 1，f （x 1））与点B （x 2，f （x 2））处的切线互相垂直得到，由点斜式写出过A ，B 两点的切线方程，通过整体运算求得，即P 点纵坐标为，然后逐一核对四个选项可得答案． 解：由题意可知，（x 1≠x 2），由f （x ）=x 2，得f′（x ）=2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1=2x 1，k 2=2x 2， 又切线互相垂直， ∴k 1k 2=﹣1，即．两条切线方程分别为，联立得（x 1﹣x 2）[2x ﹣（x 1+x 2）]=0， ∴2x ﹣（x 1+x 2）=0，x=．代入l 1得，，结合已知选项可知，P 点坐标可能是D ． 故选：D ．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值，考查了整体运算思想方法，是中档题．16. （2014•吉林二模）已知曲线y=﹣3lnx 的一条切线的斜率为﹣，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．【答案】B【解析】求出原函数的导函数，设出斜率为的切线的切点为（x 0，y 0），由函数在x=x 0时的导数等于2求出x 0的值，舍掉定义域外的x 0得答案． 解：由y=﹣3lnx ，得，设斜率为2的切线的切点为（x 0，y 0）， 则．由，解得：x 0=﹣3或x 0=2．∵函数的定义域为（0，+∞）， ∴x 0=2． 故选：B ．点评：考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了基本初等函数的导数公式，是中档题．17. （2014•齐齐哈尔一模）已知曲线f （x ）=x 3﹣x 2﹣（x ＞1），则在该曲线上点（x 0，f（x 0））处切线斜率的最小值为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【解析】先求出曲线对应函数的导数，由基本不等式求出导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值．解：f（x）=x3﹣x2﹣（x＞1）的导数f′（x）=x2﹣2x+，∴在该曲线上点（x0，f（x））处切线斜率 k=x2﹣2x+，即k=（x﹣1）2+﹣1，由函数的定义域知 x0＞1，即x﹣1＞0，∴k≥2﹣1=7，当且仅当（x0﹣1）2=，即x="3" 时，等号成立．∴k的最小值为7．故选A．点评：本题考查曲线的切线斜率与对应的函数的导数的关系，以及基本不等式的应用，体现了转化的数学思想．18.（2014•揭阳三模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0]时，f（x）=e﹣x﹣ex2+a，则函数f（x）在x=1处的切线方程为（）A．x+y=0B．ex﹣y+1﹣e=0C．ex+y﹣1﹣e=0D．x﹣y=0【答案】B【解析】利用f（0）=0先求出a的值，设x∈（0，+∞），根据已知条件求出f（﹣x），再利用奇函数，求出f（x）在（0，+∞）上的解析式，同时可求出导函数；求出切点坐标，再求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．解：由题意得，f（0）=1﹣0+a=0，解得a=﹣1，∴当x∈（﹣∞，0]时，f（x）=e﹣x﹣ex2﹣1，设x∈（0，+∞），则﹣x＜0，f（﹣x）=e x﹣ex2﹣1，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣e x+ex2+1，此时x∈（0，+∞），∴f′（x）=﹣e x+2ex，∴f′（1）=e，把x=1代入f（x）=﹣e x+ex2+1得，f（1）=1，则切点为（1，1），∴所求的切线方程为：y﹣1=e（x﹣1），化简得ex﹣y﹣e+1=0，故选B．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，奇函数性质的利用，以及函数解析式，求函数在某范围内的解析式，一般先将自变量设在该范围内，再想法转化到已知范围上去，考查了转化思想．19.点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，得到点B与点A的纵标和竖标相同，而横标为0，写出点B的坐标，根据两点之间的距离公式，得到结果．解：∵点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，∴点B与点A的纵标和竖标相同，而横标为0，∴B的坐标是（0，2，3）∴|OB|==，故选B．点评：本题考查空间两点之间的距离公式，考查点的正投影，是一个基础题，注意在运算过程中不要出错，本题若出现是一个送分题目．20.直角坐标平面上连结点（﹣2，5）和点M的线段中点是（1，0），那么点M坐标为（）A．（﹣4，5）B．（4，﹣5）C．（4，5）D．（﹣4，﹣5）【答案】B【解析】设点M的坐标为（a，b），根据题意利用中点公式可得，解得a、b的值，即可得到点M坐标．解：设点M的坐标为（a，b），根据直角坐标平面上连结点（﹣2，5）和点M的线段中点是（1，0），由中点公式可得，解得，∴点M坐标为（4，﹣5），故选B．点评：本题主要考查线段的中点公式的应用，属于中档题．。

2024新教材高中数学本册综合测评新人教B版选择性必修第一册

2024新教材高中数学本册综合测评新人教B版选择性必修第一册
本册综合测评
时间：120 分钟
满分：150 分
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若向量 a＝(1，x,2)，b＝(2，－1,2)，a，b 夹角的余弦值为89，则实
数 x 的值为( )
A．2
B．－2
C．－2 或525
32 B. 2 D．3 2
答案
解析 双曲线x42－y22＝1 的右焦点坐标为( 6，0)，一条渐近线的方程为 y＝ 22x，不妨设点 P 在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点 P 的横坐标为 26， 纵坐标为 22× 26＝ 23，即△PFO 的底边长为 6，高为 23，所以它的面积 为12× 6× 23＝342.故选 A.
解析
11．已知圆 M 与直线 x＋y＋2＝0 相切于点 A(0，－2)，圆 M 被 x 轴所 截得的弦长为 2，则下列结论正确的是( )
A．圆 M 的圆心在定直线 x－y－2＝0 上 B．圆 M 的面积的最大值为 50π C．圆 M 的半径的最小值为 1 D．满足条件的所有圆 M 的半径之积为 10
∴∠F1BF2＝90°.
∴OF2＝OB，
∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
解析
∴△OBF2 为等边三角形． 如图 1 所示，不妨设 B 的坐标为2c，－ 23c. ∵点 B 在直线 y＝－bax 上，∴ba＝ 3， ∴渐近线方程为 y＝± 3x， 离心率 e＝ac＝ 1＋ba2＝2.
D．2 或－525
解析 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3×6－5＋x x2＝89，解得 x＝－2 或 x＝525.故选

(人教版B版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷一(附答案)

(人教版B版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷一(附答案)

（人教版B 版2017课标）高中数学必修第一册 全册综合测试卷一（附答案）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4}B =，则()uA B =U ð（ ） A .{0,2,4}B .{4}C .{1,2,4}D .{0,2,3,4}2.已知集合{0,2,3}A =，{|,,}B x x a b a b A ==⋅∈，则集合B 的子集的个数是（ ） A .4B .8C .15D .163.如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.设a ，b ∈R ，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ）A .1B .1-C .2D .2-5.若集合{0,1,2}M =，{(,)|210210,,}N x y x y x y x y M =-+--∈且厔，则N 中元素的个数为（ ） A .9B .6C .4D .26.命题:q x ∀∈R ，3210x x -+„的否定是（ ） A .32,10x x x ∃∈-+R „B .32,10x x x ∃∈-+R …C .32,10x x x ∃∈-+R ＞D .32,10x x x ∀∈-+R ＞7.已知p 是r 的充分条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件；③r 是q 的必要条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件；⑤r 是s 的充分条件.则正确命题的序号是（ ） A .①④⑤B .①②④C .②③⑤D .②④⑤8.已知集合{}2|0M x x x =->，{|1}N x x =…，则M N =I （ ） A .[1,)+∞B .(1,)+∞C .∅D .(,0)(1,)-∞+∞U9.设集合{|0}M x x m =-„，{}2|(1)1,N y y x x ==--∈R .若M N =∅I ，则实数m 的取值范围是（ ） A .[1,)-+∞B .(1,)-+∞C .(,1]-∞-D .(,1)-∞-10.已知全集U R =，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =≤，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A .(2,1)-B .[1,0)[1,2)-UC .(2,1)[0,1]--UD .[0,1]11.设条件p ：关于x 的方程()221210m x mx -+-=的两根一个小于0，一个大于1，若p 是q 的必要不充分条件，则条件q 可设为（ ）A .(1,1)m ∈-B .(0,1)m ∈C .(1,0)m ∈-D .(2,1)m ∈-12.关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是（ ） A .01a 剟B .1a ＜C .1a „D .01a ＜„或0a ＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13.已知非空集合M 满足：{1,2,3,4,5}M ⊆，且若x M ∈，则6x M -∈.则满足条件的集合M 有__________个.14.设全集S 有两个子集A ，B ，若sA x x B ∈⇒∈ð，则x A ∈是x sB ∈ð的条件是__________. 15.关于x 的不等式2043x ax x +++＞的解集为(3,1)(2,)--+∞U 的充要条件是__________. 16.已知集合{|||1}A x x a =-„，{}2|540B x x x =-+…，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+＜，()22|01x a B x x a ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭＜. （1）当2a =时，求A B ⋂； （2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）若{|68,,}A x x a b a b ==+∈Z ，{|2,}B x x m m ==∈Z ，求证：A B =.19.（本小题满分12分）已知命题p ：方程2220a x ax +-=在区间[1,1]-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤.若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知{}2|320A x x x =++≥，{}2|410,B x mx x m m =-+-∈R ＞，若 0A B =I ，且A B A =U ，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知{}2:|10p A x x ax =++≤，{}2:|320q B x x x =-+≤，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知集合{}2|8200P x x x =--≤，{||1|}S x x m =-„. （1）若()P S P ⊆U ，求实数m 的取值范围.（2）是否存在实数m ，使“x P ∈”是“x S ∈”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.第一单元测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】由题意得uA {0,4}=ð，又{2,4}B =，所以(){0,2,4}uA B =U ð，故选A . 2.【答案】D【解析】∵{0,4,6,9}B =，∴B 的子集的个数为4216=. 3.【答案】A【解析】因为丁⇒丙⇔乙⇒甲，故丁⇒甲（传递性）. 4.【答案】C【解析】∵集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，又0a ≠∵，0a b +=∴，即a b =-，1ba=-∴，1b =. 2b a -=∴，故选C .5.【答案】C【解析】N ∵为点集，x M ∈，y M ∈，∴由x ，y 组成的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2).其中满足210x y -+≥且210x y --≤的仅有(0,0)，(0,1)，(1,1)，(2,1)四个元素.6.【答案】C【解析】原命题的否定是“32,10x x x ∃∈-+R ＞”. 7.【答案】B【解析】由已知有p r ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，由此得g s ⇒且s q ⇒，r q ⇒且q r ⇒，所以①正确，③不正确. 又p q ⇒，所以②正确.④等价于p s ⇒，正确.r s ⇒且s r ⇒，⑤不正确.故选B .8.【答案】B【解析】由20x x -＞得0x ＜或1x ＞，∵(1,)M N =+∞I .故选B . 9.【答案】D【解析】由已知得(,]M m =-∞，[1,)N =-+∞，∵M N =∅I ，1m ∴-＜，故选D . 10.【答案】C【解析】由已知得{|20}A x x =-＜＜，{|11}B x x =-≤≤，所以(2,1]A B =-U ，[1,0)A B =-I ，所以阴影部分表示的集合为()(2,1)[0,1]A B A B =--⋃U I ð，故选C .11.【答案】C【解析】构造函数()22121y m x mx =-+-，则0x =时，1y =-，函数的图像开口向上，由1x =时21210m m -+-＜得2m ＞或0m ＜，又p 是q 的必要不充分条件，所以p ⇒q ，q p ⇒，故选C .12.【答案】C【解析】若0∆=，则440a -=，1a =，满足条件，当0∆＞时，4401a a -⇒＞＜.所以1a ≤. 二、 13.【答案】7【解析】列举如下：{1,5}M =，{2,4}M =，{3}M =，{1,3,5)M =，{2,3,4}M =，{1,2,4,5}M =，{1,2,3,4,5}M =，共7个.14.【答案】必要 不充分【解析】由已知得S A B ⊆ð，两边取补集，有()S S S A B ⊇痧?，即S A B ⊇ð，所以S x B x A ∈⇒∈ð，反之，不一定成立，故x ∈A 是S x B ∈ð的必要不充分条件.15.【答案】2a =-【解析】令2430x x ++=，得3x =-或1x =-，∴可猜想20a +=，即2a =-.代入原不等式得22043x x x -++＞，解得(3,1)(2,)x ∈--+∞U .故2a =-.16.【答案】(2,3)【解析】由题意得{|11}A x a x a =-+≤≤，{|14}B x x x 或剠，A B =∅Q I ，1114a a ->⎧⎨+<⎩∴，23a ∴＜＜.三、17.【答案】（1）∵当2a =时，{|27}A x x =＜＜，{|45}B x x =＜＜，{|45}A B x x =I ∴＜＜（2）由已知得{}2|21B x a x a =+＜＜，当13a ＜时，{|312}A x a x =+＜＜，要使B A ⊆，必须满足2231,12,a a a +⎧⎨+⎩…„此时1a =-；当13a =时，A =∅，使B A ⊆的a 不存在； 当13a ＞时，(2,31)A a =+，要使B A ⊆，必须满足2222,131,12,a a a a a ⎧⎪++⎨⎪+≠⎩…„此时13a <„.综上可知，使B A ⊆的实数a 的取值范围为(1,3]{1}-U .18.【答案】证明：①设t A ∈，则存在,a b ∈Ζ，使得682(34)t a b a b =+=+.34a b +∈Z ∵t B ∈∴，t B ∴∈即A B ⊆.②设t B ∈，则存在m ∈Z ，使得26(5)84t m m m ==⨯-+⨯.0a =∴t A ∈∴ 5m -∈Z ∵，4m ∈Z ，，即B A ⊆. 由①②知A B =.19.【答案】由2220a x ax +-=，得(2)(1)0ax ax +-=， 显然0a ≠，2x a =-∴或1x a=. [1,1]x ∈-∵，故21a ≤或11a„，||1a ∴…. “只有一个实数x 满足2220x ax a ++≤”即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，2480a a ∆=-=∴，或2a =，∴命题“p 或q ”为真命题时“||1a ≥或0a =”.∵命题“p 或q ”为假命题，∴实数a 的取值范围为{|10 01}a a a -＜＜或＜＜. 20.【答案】A B A =U ∵，B A ⊆∴， 又A B =∅I ，B =∅∴{}2|410,B x mx x m m =-+-∈R ∵＞，∴对一切x ∈R ，使得2410mx x m -+-≤恒成立，于是有0,164(1)0,m m m ⎧⎨--⎩＜≤解得m „∴实数m的取值范围是|m m ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭„21.【答案】{}2|320{|12}B x x x x x =∈-+=R 剟?，p ∵是q 的充分不必要条件，p q ⇒∴，q ⇒p ，即A 是B 的真子集，可A =∅或方程210x ax ++=的两根在区间[1,2]内，210a ∆=-∴＜或0,12,2110,4210,a a a ∆⎧⎪⎪-⎪⎨⎪++⎪++⎪⎩…剟……解得22a -＜„. 22.【答案】由28200x x --≤，得210x -剟，所以{|210P x x =-≤≤. 由|1|x m -≤，得11m x m -+剟.所以{|11}S x m x m =-+≤≤. （1）要使()P S P ⊆U ，则S P ⊆ ①若S =∅，则0m ＜；②若S ≠∅，则0,12,110,m m m ⎧⎪--⎨⎪+⎩……„解得03m 剟.综合①②可知，实数m 的取值范围为(,3]-∞.（2）由“x P ∈”是“x S ∈”的充要条件，知S P =，则12,110,m m -=-⎧⎨+=⎩此方程组无解，所以这样的实数m 不存在.第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若23A a ab =+，24B ab b =-，则A ，B 的大小关系是（ ） A .A B „B .A B …C .A B ＜或A B ＞D .A B ＞2.下列结论正确的是（ ） A .若ac bc ＞，则a b ＞ B .若22a b ＞，则a b ＞C .若a b ＞，0c ＜，则a c b c ++＜D .a b ＜3.下列变形是根据等式的性质的是（ ） A .由213x -=得24x = B .由2x x =得1x = C .由29x =得x=3 D .由213x x -=得51x =-4.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）A .0a b +=B .b a ＜C .0ab ＞D .||||b a ＜5.已知||a b a ＜＜，则（ ）A .11a b＞ B .1ab ＜C .1ab＞ D .22a b ＞6.若41x -＜＜，则222()1x x f x x -+=-（ ） A .有最小值2B .有最大值2C .有最小值2-D .有最大值2-7.已知0a ＞，0b ＞，2a b +=，则14y a b=+的最小值是（ ） A .72B .4C .92D .58.已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121234x x x x +-=，那么b 的值为（ ） A .5B .5-C .4D .4-9.不等式22120x ax a --＜（其中0a ＜）的解集为（ ） A .(3,4)a a -B .(4,3)a a -C .(3,4)-D .(2,6)a a10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数()*x x ∈N 为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运_____年，营运的年平均利润最大（ ）A .3B .4C .5D .611.若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A .245B .285C .5D .612.已知a b ＞，二次三项式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立，又0x ∃∈R ，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A .1BC .2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.当1x ＞时，不等式11x a x +-≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 14.若0a b ＜＜，则1a b -与1a的大小关系为__________.15.若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是__________.16.已知关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两个不相等的实数根1x 、2x .若1226x x -=，则实数m 的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解下列不等式（组）：（1）2(2)01x x x +⎧⎨⎩＞，＜；（2）262318x x x --＜„.18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且1abc =.111a b c++＜.19.（本小题满分12分）已知21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.（1）当12a =时，解不等式()0f x „； （2）若0a ＞，解关于x 的不等式()0f x „.20.（本小题满分12分）某镇计划建造一个室内面积为2800 m 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？21.（未小题满分12分）设函数2()3(0)f x ax bx a =++≠. （1）若不等式()0f x ＞的解集为(1,3)-，求a ，b 的值； （2）若(1)4f =，0a ＞，0b ＞，求14a b+的最小值.22.（本小题满分12分）解下列不等式. （1）2560x x --+＜；（2）()(2)0a x a x --＞.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】()2222334240b A B a ab ab b a b ⎛⎫-=+--=-+ ⎪⎝⎭∵…，A B ∴….2.【答案】D【解析】当0c ＜时，A 选项不正确；当0a ＜时，B 选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C 选项错误. 3.【答案】A【解析】A .根据等式的性质1，在等式213x -=的左右两边同时加上1，可得24x =，故本选项正确；B .在等式2x x =的左右两边同时除以x ，可得1x =，但是当0x =时，不成立，故本选项错误；C .将等式29x =的左右两边开平方，可得3x =±，故本选项错误；D .根据等式的性质1，在等式213x x -=的左右两边同时加上(31)x +，可得561x x =+，故本选项错误. 4.【答案】D【解析】根据题图可知，21a --＜＜，01b ＜＜，所以||||b a ＜. 5.【答案】D【解析】由||a b a ＜＜，可知0||||b a ＜„，由不等式的性质可知22||||b a ＜，所以22a b ＞. 6.【答案】D【解析】2221()(1)11x x f x x x x -+==-+--.又41x -∴＜＜，10x -∴＜，(1)0x --∴＞ 1()(1)2(1)f x x x ⎡⎤=---+-⎢⎥--⎣⎦∴„当且仅当111x x -=-，即0x =时等号成立.7.【答案】C【解析】2a b +=∵，12a b+=∴∴14142a bab a b +⎛⎫+=+⋅⎪⎝⎭52592222a b b a ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭… （当且仅当22a b b a =，即423b a ==时，等号成立） 故14y a b=+的最小值为92.8.【答案】A【解析】12,x x ∵是关于x 的方程230x bx +-=的两根，12x x b +=-∴，123x x =-， 121234x x x x +-=∵，94b -+=∴，解得5b =.9.【答案】B【解析】方程22120x ax a --=的两根为4a ，3a -，且43a a -＜，43a x a <<-∴. 10.【答案】C【解析】求得函数式为2(6)11y x =--+，则营运的年平均利润2512122y x x x ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭„， 当且仅当25x x=时，取“=”号，解得5x =. 11.【答案】C【解析】35x y xy +=∵，13155y x+=∴1334(34)1(34)55x y x y x y y x ⎛⎫+=+⨯=++ ⎪⎝⎭∴3941213555555x y y x =++++=…当且仅当31255x y y x =，即1x =，12y =时等号成立. 12.【答案】D【解析】a b ∵＞，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 0a ∴＞，且440ab ∆=-„，1ab ≥∴.再由0x ∃∈R ，使20020ax x b ++=成立，可得0∆…，1ab ∴…，又a b ＞，1a ＞.2224231101a a b a a a b a a a a+++==---∴＞ 2242484243624222211*********a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫+++⎝⎭=== ⎪-+-⎛⎫⎝⎭+-+- ⎪⎝⎭ 22222221124412a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭令22112a a +=＞，则24231(2)4(2)44(2)444822a t t t a a t t ⎛⎫+-+-+==-+++= ⎪---⎝⎭…， 当且仅当4t =，即a 时取等.故2431a a a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为8，故22a b a b +-二、13.【答案】(,3]-∞ 【解析】1x ∵＞，11(1)11311x x x x +=-++=--∴….3a ∴„. 14.【答案】11a b a-＜ 【解析】110()()a ab ba b a a a b a a b -+-==---∵＜. 11a b a-∴＜ 15.【答案】[9,)+∞【解析】33ab a b =++…，所以1)0…，3，所以9ab ….16.【答案】2-【解析】由题意知123x x +=，1226x x -=∵，即12236x x x +-=， 2336x -=∴，解得21x =-，代入到方程中，得1320m ++=，解得2m =-. 三、17.【答案】（1）原不等式组可化为 2 0,11,x x x -⎧⎨-⎩＜或＞＜＜即01x ＜＜，所以原不等式组的解集为{|01}x x ＜＜. （2）原不等式等价于22623,318,x x x x x ⎧--⎨-⎩≤＜即2260,3180,x x x x ⎧--⎨--⎩＜…因式分解，得(3)(2)0,(6)(3)0,x x x x -+⎧⎨-+⎩＜…所以 2 3,36,x x -⎧⎨-⎩或＜＜剠所以132x --＜≤或36x ＜„.所以不等式的解集为{|3236}x x x --＜≤或≤＜.18.【答案】证明：因为a ，b ，c 都是正实数，且1abc =，所以112a b +…11b c +=…11a c +=…以上三个不等式相加，得1112a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…，即111a b c++因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“=”不同时成立.111a b c++＜.19.【答案】（1）当12a=时，有不等式25()102f x x x=-+≤，1(2)02x x⎛⎫--⎪⎝⎭∴„，122x∴剟，即所求不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）1()()0f x x x aa⎛⎫=--⎪⎝⎭∵„，0a＞且方程1()0x x aa⎛⎫--=⎪⎝⎭的两根为1x a=，21xa=，∴当1aa＞，即011a＜＜，不等式的解集为1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1aa＜，即1a＞，不等式的解集为1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1aa=，即1a=，不等式的解集为{1}.20.【答案】设矩形温室的左侧边长为 ma，后侧边长为 mb，蔬菜的种植面积为2mS，则800ab=.所以(4)(2)4288082(2)808648 S a b ab b a a b=--=--+=-+-„当且仅当2a b=，即40a=，20b=时等号成立，则648S=最大值.故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648 m.21.【答案】（1）因为不等式()0f x＞的解集为(1,3)-，所以1-和3是方程()0f x=的两个实根，从而有(1)30,(3)9330,f a bf a b-=-+=⎧⎨=++=⎩解得1,2,ab=-⎧⎨=⎩（2）由(1)4f=，得1a b+=，又0a＞，0b＞，所以1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭4559b a a b =+++… 当且仅当4b a a b =即1,32,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以14a b+的最小值为9. 22.【答案】（1）2560x x --+<∵，2560x x +->∴， (1)(6)0x x -+∴＞，解得6x -＜或1x ＞，∴不等式2560x x --+＜的解集是{| 6 1}x x x -＜或＞. （2）当0a ＜时，()(2)y a x a x =--的图象开口向下，与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =，且2a <，()(2)0a x a a --∴＞的解集为{|2}x a x ＜＜.当0a =时，()(2)0a x a x --=，()(2)0a x a x --∴＞无解.当0a ＞时，抛物线()(2)y a x a x =--的图像开口向上， 与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =.当2a =时，不等式可化为22(2)0x -＞，解得2x ≠. 当2a ＞时，解得2x ＜或x a ＞. 当2a ＜时，解得x a ＜或2x ＞.综上，当0a ＜时，不等式的解集是{|2}x a x ＜＜； 当0a =时，不等式的解集是∅；当02a ＜＜时，不等式的解集是{| 2}x x a x ＜或＞； 当2a =时，不等式的解集是{|2}x x ≠； 当2a ＞时，不等式的解集是{|2}x x x a ＜或＞.第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知2()1f x x =+，则[(1)]f f -的值等于（ ） A .2B .3C .4D .5 2.已知函数()1f x x =+，其定义域为{1,0,1,2}-，则函数的值域为（ ） A .[0,3]B .{0,3}C .{0,1,2,3}D .{|0}y y …3.函数0y =的定义域是（ ）A .{|01}x x 剟B .{| 1 1}x x x --＜或＞C .{|01}x x x ≠-＜且D .{}|1 0x x x ≠-≠且4.已知二次函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且函数图像截x 轴所得的线段长为8，则函数()y f x =的零点为（ ） A .2，6B .2，6-C .2-，6D .2-，6-5.若函数()y f x =的定义域是{|01}x x ≤≤，则函数()()(2)(01)F x f x a f x a a =+++＜＜的定义域是（ ）A .1|22a a x x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤B .|12a x x a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭≤≤C .{|1}x a x a --≤≤D .1|2a x a x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤6.如图所示，可表示函数()y f x =的图像的只可能是（ ）ABCD7.已知函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，则a b +的值是（ ） A .1B .1-C .1或1-D .0或18.若()f x 满足()()f x f x -=-，且在(,0)-∞上是增函数，(2)0f -=，则()0xf x ＜的解集是（ ） A .(2,0)(0,2)-UB .(,2)(0,2)-∞-UC .(,2)(2,)-∞-+∞UD .(2,0)(2,)-+∞U9.设函数()f x 与()g x 的定义域是{|1}x x ∈≠±R ，函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于（ ） A .2221x x -B .211x -C .221x -D .221xx - 10.已知2()21(0)f x ax ax a =++＞，若()0f m ＜，则(2)f m +与1的大小关系式为（ ） A .(2)1f m +＜B .(2)1f m +=C .(2)1f m +＞D .(2)1f m +…11.函数()f x =（ ） A .是奇函数但不是偶函数 B .是偶函数但不是奇函数 C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数12.已知2()2f x x x =+，若存在实数t ，使()3f x t x +„对[1,]x m ∈恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A .6B .7C .8D .9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.已知1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x ∈⎧=⎨-∉⎩，当[()]1f f x =时，x ∈__________.14.关于x 的方程240x x a --=有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__________.15.已知函数719()1x f x x +=+，则()f x 的图像的对称中心是__________，集合{}*|()x f x ∈=N __________.16.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数2()2||1f x x x =--.（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数()f x 的解析式写成分段函数； （2）在坐标系中画出()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域.18.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()2(1)f x f x =-+，且()f x 在区间[0]1，上有解析式2()f x x =. （1）求(1)f -和(1.5)f 的值；（2）写出()f x 在区间[2,2]-上的解析式.19.（本小题满分12分）函数2()1ax bf x x +=+是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求实数a ，b 的值.（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值.如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）.20.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x ，且(1)f x -的图像关于点(1,0)对称，当0x ＞时，1()3x f x x=-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件：①()f x在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()()x D y f x =∈为闭函数.（1）求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b . （2）判断函数31()(0)4f x x x x=+＞是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数y k =+k 的取值范围.22.（本小题满分12分）设函数()f x 的定义域为R ，当0x ＞时，()1f x ＞，对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=g ，且(2)4f =. （1）求(0)f ，(1)f 的值.（2）证明：()f x 在R 上为单调递增函数.（3）若有不等式1()2f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭g ＜成立，求x 的取值范围.第三章测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由条件知(-1)2f =，(2)5f =，故选D . 2.【答案】C【解析】将x 的值依次代入函数表达式可得0，1，2，3，所以函数的值域为{0,1,2,3}，故选C . 3.【答案】C【解析】由条件知10x +≠且0x x -＞，解得0x ＜且1x ≠-.故选C 4.【答案】C【解析】由于函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，所以直线2x =为二次函数()y f x =图像的对称轴，根据二次函数图像的性质，图像与x 轴的交点必关于直线2x =对称.又两交点间的距高为8，则必有两交点的横坐标分别为1246x =+=，2242x =-=-.故函数的零点为2-，6.故选C . 5.【答案】A【解析】由条件知01,021,x a x a +⎧⎨+⎩剟剟，又01a ＜＜则122a ax --≤≤，故选A .6.【答案】D【解析】由函数定义可得，任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D . 7.【答案】B【解析】因为函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，所以21a a =-，1a =-，0b =，因此1a b +=-，故选B.8.【答案】A【解析】根据题意可知函数是奇函数，且在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数，对()0xf x ＜，分0x ＞，0x ＜进行讨论，可知解集为(2,0)(0,2)-U ，故选A.9.【答案】B【解析】1()()1f x g x x -=-∵，1()()1f x g x x ---=--∴，1()()1f xg x x +=--∴， 21122()111f x x x x =-=-+-∴，21()1f x x =-，故选B . 10.【答案】C【解析】因为2()21(0)f x ax ax a =++＞，所以其图像的对称轴为直线1x =-，所以()(2)0f m f m =--＜，又(0)1f =，所以(2)1f m +＞，故选C .11.【答案】A【解析】由定义城可知x 因此原式化简为()f x =那么根据函数的奇偶性的定义，可知该函数是奇函数不是偶函数，故选A . 12.【答案】C【解析】由题意知，对任意[1,]x m ∈，2()2()3x t x t x +++…恒成立，这个不等式可以理解为()f x t +的图像在直线3y x =的图像的下面时x 的取值范围.要使m 最大，需使两图像交点的横坐标分别为1和m .当1x =时，3y =，代入可求得4t =-（0t =舍去）.进而求得另一个交点为(8,24)，故8m =.故选C. 二、13.【答案】[0,1][2,3]{5}U U【解析】因为1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x ∈⎧=⎨-∉⎩所以要满足元[()]1f f x =，需()[0,1]f x ∈，[0,1]x ∈或2[0,1]x -∈或5x =，这样解得x 的取值范围是[0,1][2,3]{5}U U .14.【答案】(0,4)【解析】原方程等价于24x x a -=，在同一坐标系内作出函数24y x x =-与函数y a =的图像，如图所示：平移直线y a =，可得当04a ＜＜时，两图像有4个不同的公共点，相应地方程240x x a --=有4个不相等的实数根，综上所述，可得实数a 的范围为04a ＜＜. 15.(1,7)- {13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}----- 【解析】因为函数71912()711x f x x x +==+++，则()f x 的图像的对称中心为(1,7)-， 集合{|()}{13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}x f x *∈=-----N 16.【答案】0【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，因此令12x =-，可知11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别令32x =-，52x =-，可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令1x =-.得(0)0f =，因此可知502f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、17.【答案】（1）22321,0()2||121,0x x x f x x x x x x ⎧--=--=⎨+-⎩＜….（2）图像如图所示.单调增区间为(1,0)-，(1,)+∞， 单调减区间为(,1)-∞-，(0,1). 值域为[2,)-+∞.18.【答案】（1）由题意知(1)2(11)2(0)0f f f -=--+=-=，1111(1,5)(10.5)(0.5)2248f f f =+=-=-⨯=-. （2）当[0,1]x ∈时，2()f x x =； 当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，211()(1)(1)22f x f x x =--=--； 当[1,0)x ∈-时，1[0,1)x +∈， 2()2(1)2(1)f x f x x =-+=-+；当[2,1)x ∈--时，1[1,0)x +∈-，22()2(1)22(11)4(2)f x f x x x ⎡⎤=-+=-⨯-++=+⎣⎦.所以22224(2),[2,1),2(1),[1,0),(),[0,1],1(1),(1,2].2x x x x f x x x x x ⎧+∈--⎪-+∈-⎪⎪=⎨∈⎪⎪--∈⎪⎩19.【答案】（1）2()1ax bf x x +=+∵是奇函数()()f x f x -=-∴， 2211ax b ax bx x -++=-++∴，0b =∴. 故2()1ax f x x =+，又1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵，1a =∴ （2）证明：由（1）知2()1xf x x =+，任取1211x x -＜＜＜，()()()()()()1212121222121211111x x x x x xf x f x x x x x ---=-=++++1211x x -∵＜＜＜，1211x x -∴＜＜，120x x -＜，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，()()120f x f x -∴＜，即()()12f x f x ＜，()f x ∴在(1,1)-上是增函数.（3）单调减区间为(,1),(1,)-∞-+∞.当1x =-时，min 1()2f x =-；当1x =时，max 1()2f x =.20.【答案】（1）由题意知()f x 的图像关于点(0,0)对称，是奇函数，∴(0)0f = 当0x ＜时，0x -＞，1()3x f x x--=--∴， 又∵函数()f x 是奇函数.∴()()f x f x -=-，1()3x f x x=-∴. 综上所述，1(0),()30(0).x x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩（2）2(1)(0)03f f =-=∵＜，且()f x 在R 上单调.∴()f x 在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜，得()()2222f t t f t k ---＜.∵()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t --＜，又∵()f x 是减函数， ∴2222t t k t --＞即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，∴4120k ∆=+＜，得13k -＜.21.【答案】（1）由题意，3y x =-，在[,]a b 上单调递减，则33,,,b a a b b a ⎧=-⎪=-⎨⎪>⎩解得1,1,a b =-⎧⎨=⎩所以，所求区间为[1,1]-.（2）取11x =，210x =，则()()1273845f x f x ==＜，即()f x 不是(0,)+∞上的减函数.取，1110x -=，21100x =，()()12331010040400f x f x =++=＜，即()f x 不是(0,)+∞上的增函数.所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.（3）若y k =+[,]a b ，在区间[,]a b 上，函数()f x 的值域为[,]a b，即a k b k ⎧=+⎪⎨=⎪⎩∴a ，b为方程x k =的两个实根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=-厖有两个不等的实根，故两根均大于等于2-，且对称轴在直线2x =-的右边.当2k -„时，有220,(2)2(21)20,212,2k k k ⎧⎪∆⎪-+++-⎨⎪+⎪-⎩＞＞…解得924k --＜„.当2k -＞时，有220,(21)20,21,2k k k k k k ⎧⎪∆⎪-++-⎨⎪+⎪⎩＞＞…无解.综上所述，9,24k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.22.【答案】（1）因为(20)(2)(0)f f f +=g ，所以44(0)f =⋅，所以(0)1f =， 又因为24(2)(11)(1)f f f ==+=，且当0x ＞时，()1f x ＞，所以(1)2f =.（2）证明：当0x ＜时，0x -＞，所以()1f x -＞，而(0)[()]()()f f x x f x f x =+-=-g ， 所以1()()f x f x =-，所以0()1f x ＜＜，对任意的12,x x ∈R ， 当12x x ＜时，有()()()]()()()1212222121f x f x f x x x f x f x f x x -=⎡-+-=--⎣， 因为120x x ＜＜，所以120x x -＜，所以()1201f x x -＜＜，即()1210f x x --＜， 所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜，所以()f x 在R 上是单调递增函数.（3）因为1()12f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭g ＜，所以11(1)f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜，而()f x 在R 上是单调递增函数，所以111x x ++＜，即10x x+＜，所以210x x +＜，所以0x ＜，所以x 的取值范围是(,0)-∞.。

(人教版B版)高中数学必修第一册 第一章综合测试试卷03及答案

(人教版B版)高中数学必修第一册 第一章综合测试试卷03及答案

第一章综合测试一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|13A x x =-＜＜，{}|2B x x =＞，则A B =U （ ）A .(1,3)-B .(2,3)C .(1,)-+¥D .(2,)+¥2.下列全称量词命题中真命题的个数是（ ）①2[2,)20x x x "Î+¥--，＞；②210x x "Î+R ，…；③所有的梯形都有一组对边平行；④{}{}{},,,,x a b c x a b c "Î，Þ.A .1B .2C .3D .43.设集合{}{}|12|A x x B x x a ==＜＜，＜，若A B Í，则实数a 的取值范围是（ ）A .{}|2a a ≥B .{}|1a a ≤C .{}|1a a ≥D .{}|2a a ≤4.命题“20,210x x x "-+＞＞”的否定是（ ）A .20210x x x $-+＞，≤B .20210x x x "-+＞，≤C .20210x x x $-+≤，≤D .20210x x x "-+≤，≤5.记全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,52,4,6U M N ===，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A .{}4,6,7,8B .{}2C .{}7,8D .{}1,2,3,4,5,66.已知集合{1,1,4}B =-，则满足条件M B ÆÍÞ的集合M 的个数为（ ）A .3B .6C .7D .87.设集合{(,)|,}{(,)|20}{(,)|0}U x y x y M x y x y m N x y x y n =ÎÎ=-+=+-R R ，＞，≤，那么点()()2,3U M N ÎI ð的充要条件是（）A .1,5m n -＞＜B .1,5m n -＜＜C .1,5m n -＞＞D .1,5m n -＜＞8.已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =-＜或＞，那么集合()()U U M N I ðð等于（ ）A .{|34}x x ＜≤B .{|34}x x x ≤或≥C .{|34}x x ≤＜D .{|13}x x -≤≤9.已知,M N 为集合I 的非空真子集，且,M N 不相等，若()I N M =ÆI ð，则M N U 等于（ ）A .MB .NC .ID .Æ二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）10.已知集合,{|(2)0}A B x x x ==-Z ≤，则下列元素是集和合A B I 中元素的有（ ）A .1B .0C .2D .2-E .1-11.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}S =，则U S Êð（ ）A .{}5B .{}1,2,5C .{2,3,4}D .ÆE .{}3,412.定义集合运算：{|()()}A B z z x y x y x A y B Ä==+´-ÎÎ，，，设{A B ==，，则（ ）A .当x =y =时，1z =B .x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+´-对应4个式子C .A B Ä中有4个元素D .A B Ä中所有元素之和为4E .A B Ä的真子集有7个三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.设集合{}2{0,1,2,3}|0U A x U x mx ==Î+=，，若{1,2}U A =ð，则实数m =________.14.设:2p x ＞或2,:23x q x ＜＞或1x -＜，则p Ø是q Ø的________条件.15.已知集合{|260,}{|,}{|5}A x x x B x x a x R C x x =-Î=Î=R ＞，≥，≤，若(){|45}A B C x x =≤≤I I ，则实数a 的值是________.16.若命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是假命题，则实数a 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）设集合{|4}{|12}{|13}U x x A x x B x x ==-=≤，≤≤，≤≤.求：（1）()U A B Èð；（2）()()U U A B Çðð.18.（12分）已知集合{}223,1,{3,21,+1}{3}A a a B a a a A B =-+=--=-，，I .（1）求实数a 的值；（2）写出集合A 的所有非空真子集.19.（12分）已知集合{|24},{|0}A x x B x x m =-=-＜＜＜.（1）若3m =，全集U A B =U ，试求()U A B I ð；（2）若A B =ÆI ，求实数m 的取值范围；（3）若A B A =I ，求实数m 的取值范围.20.（12分）已知m ÎR ，命题:[0,1]22p x m x "Î-，≥，命题:[1,1]q x m x $Î-，≤.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 与q 一真一假，求实数m 的取值范围.21.（12分）设集合{}{222|280|120}A x x x B x x ax a =--==++-=，，且A B A =U ，求满足条件的a 组成的集合.22.（12分）设,x y ÎR ，求证||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥.第一章综合测试答案解析一、单选题1.【答案】C【解析】Q 集合{13}{|2}A x B x x =-=＜＜，＞，{}|1A B x x \=-＞U ，故选C .2.【答案】C【解析】①中，2x =时，220x x --=，故220x x --＞不成立，为假命题；易知②③④均为真命题.故选C .3.【答案】A【解析】若A B Í，则利用数轴可知2a ≥.故选A .4.【答案】A【解析】含有量词的命题的否定，一改量词：将“"”改为“$”，二否结论将：“＞”改为“≤”，条件不变，故选A .5.【答案】C【解析】题图中阴影部分可表示为()U M N U ð，且{1,2,3,4,5,6}M N =U ，所以(){7,8}U M N =U ð.故选C .6.【答案】C【解析】由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个.故选C .7.【答案】A【解析】()(2,3)U M N ÎQ I ð，(2,3)M \Î，且(2,3)N Ï，则2230230m n ´-+ìí+-î＞，＞，解得15.m n -ìíî＞，＜故选A .8.【答案】A【解析】{| 2 3}U M x x x =-Q ＜或＞ð，{|24}U N x x =-≤≤ð，()(){|34}U U M N x x \=＜≤I ðð.故选A .9.【答案】A【解析】()U N M =ÆI ð，所以N M Í（如图），所以M N M =U ，故选A .二、多选题10.【答案】ABC【解析】由(2)0x x -≤得02x ≤≤，即{|02}B x x =≤≤，所以{0,1,2}A B =I .故选ABC .11.【答案】AD【解析】易得}S {5U =ð，其子集为{5}和Æ.故选AD .12.【答案】BE【解析】当x y ==0z =´=，A 错误；由于A =，{B =，则()()z x y x y =+-对应1)1)1+´-=，0+´=，1)1)2´=，1´=四个式子，B 正确；由集合中元素的互异性，得集合A B Ä有3个元素，元素之和为3，C 、D 错误；集合A B Ä中的真子集个数为3217-=，E 正确.故选BE .三、填空题13.【答案】3-【解析】{0,1,2,3},{1,2}U U A ==Q ð，{0,3}A \=，即方程20x mx +=的两根为0和3，3m \=-.14.【答案】充分不必要【解析】由题意得2:2,:123p x q x ØØ-≤≤≤≤，p q \ØÞØ，但q p ØØ¿，p \Ø是q Ø的充分不必要条件.15.【答案】4【解析】由题意得集合{}|3A x x =＞，{|,}B x x a x =ÎR ≥，而(){|45}A B C x x =≤≤I I ，所以4a =.16.【答案】(,1][0,)-¥-+¥U 【解析】若对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞，则2160a a =+△＜，即160a -＜＜；若对于任意实数x ，都有2210x ax -+＞，则2440a =-△＜，即11a -＜＜，故命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是真命题时，(1,0)a Î-，而命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是假命题，故(,1][0,)a Î-¥-+¥U .四、解答题17.【答案】（1）{|4},{|12}U x x A x x ==-Q ≤≤≤，{| 1 24}U A x x x \=-＜或＜≤ð.{}|13B x x =Q ≤≤()A B {| 1 14}U x x x \=<-或≤≤U ð.（2）{|4},{|13}U x x B x x ==Q ≤≤≤，{| 1 34}U B x x x \=＜或＜≤ð，()(){| 1 34}U U A B x x x \=-＜或＜≤I ðð18.【答案】（1）{3}A B =-Q I ，3B \-Î33a \-=-或213a -=-或213a +=-（无解），解得0a =或1a =-.当0a =时， {3,1,0},{3,1,1}A B =-=--，{3,1}A B =-I ，不合题意，舍去；当1a =-时，{3,0,1}A =-，{4,3,2}B =--，{3}A B =-I ，符合题意.\实数a 的值为1-.（2）由（1）知集合{3,0,1}A =-，\集合A 的所有非空真子集有：{}{}{}{}{}{}3103,13,01,0---，，，，，.19.【答案】当3m =时，由于0x m -＜得3x ＜，{|3}B x x \=＜.{|4}U A B x x \==＜U ，{|34}U B x x \=≤＜ð(){|34}U A B x x \=≤＜I ð.（2）{|24}A x x =-Q ＜＜，{|}B x x m =＜，又A B =ÆI ，2m \-≤，∴实数m 的取值范围是2m -≤.（3）{|24},{|}A x x B x x m =-=Q ＜＜＜，由A B A =I ，得A B Í，4m \≥∴实数m 的取值范围是4m ≥.20.【答案】（1）[0,1],22x m x "Î-Q ≥，22m x \-≥在[0,1]x Î上恒成立，max (22)0m x \-=≥，即p 为真命题时，实数m 的取值范围是0m ≥.（2）[1,1],,1x m x m $Î-\Q ≤≤，即命题q 为真命题时，1m ≤.Q 命题p 与q 一真一假，∴p 真q 假或p 假q 真.当p 真q 假时，0,1,m m ìíî≥＞即1m ＞；当p 假q 真时，0,1,m m ìíî＜≤，即0m ＜.综上所述，命题p 与q 一真一假时，实数m 的取值范围为0m ＜或1m ＞.21.【答案】由题意得{4,2}A =-，A B A =Q U ，B A\ÍB \可能为Æ或{4}或{}2-或{4,2}-.①当B =Æ时，方程22120x ax a ++-=无实数根，()2224123480a a a \=--=-+△＜，即2160a -＞，4a \-＜或4a ＞；②当{4}B =时，方程22120x ax a ++-=有两个相等的根4，223480164120a a a ì=-+=ï\í++-=ïî△，，无解；③当{2}B =-时，方程22120x ax a ++-=有两个相等的根2-，223480,42120,a a a ì=-+=ï\í-+-=ïî△解得4a =；④当{4,2}B A =-=时，方程22120x ax a ++-=与2280x x --=是同一个方程，22,128,a a =-ìï\í-=-ïî解得2a =-.综上所述，满足条件的a 组成的集合为{|442}a a a a -=-＜或≥或.22.【答案】①充分性：若0xy ≥，则有0xy =和0xy ＞两种情况，当0xy =时，不妨设0x =，则x y y +=，x y y +=，\等式成立.当0xy ＞时，00x y ＞，＞或00x y ＜，＜，当00x y ＞，＞时，x y x y +=+，x y x y +=+.等式成立.当00x y ＜，＜时，()x y x y +=-+，x y x y +=+，∴.等式成立.综上，当0xy ≥时，x y x y +=+成立.②必要性：若x y x y +=+，且,x y ÎR .则22()x y x y +=+，即222222||x xy y x y x y ++=++×，xy xy \=，xy \≥综上可知，0xy ≥是等式x y x y +=+成立的充要条件.。

(新教材)人教B版数学必修第一册 学期综合测评

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学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4} 答案 C解析 ∵全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，∴∁U A ＝{0,4}，又B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．故选C. 2．已知条件p ：|x －1|<2，条件q ：x 2－5x －6<0，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 命题p ：－1＜x ＜3，记A ＝{x |－1＜x ＜3}，命题q ：－1＜x ＜6，记B ＝{x |－1＜x ＜6}，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件．3．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是 ( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 A解析 设幂函数为y ＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以有－18＝(－2)α，解得α＝－3，所以幂函数的解析式为y ＝x －3，由f (x )＝27，得x －3＝27，所以x ＝13.4．函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2)答案 C解析 ∵函数f (x )＝2x －1＋log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (1)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＜0，故连续函数f (x )的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C.5．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝sin2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6答案 D解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所得的图象对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D.6．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，则有( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a 答案 C解析 a ＝12cos6°－32sin6°＝sin30°cos6°－cos30°·sin6°＝sin24°，b ＝2tan13°1－tan 213°＝tan26°，c ＝1－cos50°2＝sin25°，∴a ＜c ＜b . 7．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析由图象可知ω4＋φ＝π2＋2mπ，5ω4＋φ＝3π2＋2mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝π4＋2mπ，m∈Z，所以函数f(x)＝cos⎝⎛⎭⎪⎫πx＋π4＋2mπ＝cos⎝⎛⎭⎪⎫πx＋π4的单调递减区间为2kπ<πx＋π4<2kπ＋π，k∈Z，即2k－14<x<2k＋34，k∈Z，故选D.8．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是() A．(－∞，6) B．(－∞，6]C．[6，＋∞) D．(6，＋∞)答案 A解析由题意得，当x>0时，mx<x2＋9，即m<x＋9x恒成立．设函数f(x)＝x＋9x(x>0)，则有x＋9x≥2x·9x＝6，当且仅当x＝9x，即x＝3时，等号成立．则实数m的取值范围是m<6.9．在△ABC中，若2sinB2·cosB2sin C＝cos2A2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．非等腰三角形D．直角三角形答案 B解析在△ABC中，因为2sinB2cosB2sin C＝cos2A2，所以sin B sin C＝cos2A2，即sin B sin C＝1＋cos A2，2sin B sin C＝1－cos(B＋C)，2sin B sin C＝1－cos B cos C＋sin B sin C，即cos B cos C＋sin B sin C＝1，所以cos(B－C)＝1，则B－C＝0，即B＝C，故选B.10．如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的()答案 B解析 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.11．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎨⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)，故选D.12．若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则(x －1)f (x )＜0的解是( )A ．(－3,0)∪(1，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(1,3) 答案 D解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f (x )也是增函数，又∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴当x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f (x )<0；当x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f (x )>0；∵(x －1)·f (x )<0，∴⎩⎨⎧ x －1＜0，f (x )＞0或⎩⎨⎧x －1＞0，f (x )＜0，解得－3<x <0或1<x <3，∴不等式的解集是(－3,0)∪(1,3)，故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14＞0，则綈p 为________．答案 ∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，一是要改变相应的量词，二是要否定结论．14．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则f (log 14x )<0的解集为_______________________________________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 因为定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，由f (log 14x )<0可得log 14x <－12或log 14x >12，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．15．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，故f (x )的最大值为1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋4x (x ≥4)，log 2x (0＜x ＜4)，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，等价于函数f (x )与函数y ＝k 的图象有两个不同的交点，作出函数的图象如图，由图可知实数k 的取值范围是(1,2)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：解18．(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (2α＋2π)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos (π－2α)＋sin 2α的值．解 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13. (2)原式＝sin2α－cos 2α1＋cos2α＋sin 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＋sin 2α＝2tan α－12＋tan 2α＝－1519. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0. 解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎨⎧2x ＋1＞0，1－2x ＞0，(2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数．(3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0，即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )．①当0＜a ＜1时，0＜2x ＋1＜1－2x ，∴－12＜x ＜0. ②当a ＞1时，2x ＋1＞1－2x ＞0，∴0＜x ＜12.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解 (1)f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x ＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋2π3，k ∈Z . (3)f (x )＝65，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.21．(本小题满分12分)某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．(1)设房前面墙的长为x ，两侧墙的长为y ，一套简易房所用材料费为p ，试用x ，y 表示p ；(2)一套简易房面积S 的最大值是多少？当S 最大时，前面墙的长度是多少？ 解 (1)依题得前后两面墙的钢板费用均为450x ，两侧墙的钢板费用均为200y ，房顶面积为xy ，房顶材料费用为200xy ，∴一套简易房所用材料费为p ＝900x ＋400y ＋200xy .(2)∵S ＝xy ，∴p ＝900x ＋400y ＋200xy ≥2900×400S ＋200S ＝200S ＋1200S ， 又∵p ≤32000，∴200S ＋1200S ≤32000， 化简得S ＋6S －160≤0，解得－16≤S ≤10， 又S >0，∴0<S ≤100， 当且仅当⎩⎨⎧900x ＝400y ，xy ＝100，即x ＝203，y ＝15时S 取得最大值． ∴每套简易房面积S 的最大值是100平方米，当S 最大时前面墙的长度是203米．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－23x ＋1. (1)求函数f (x )的定义域，判断并证明f (x )的奇偶性； (2)用单调性的定义证明函数f (x )在其定义域上是增函数； (3)解不等式f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0.解 (1)∵3x >0，∴3x ＋1≠0，函数f (x )的定义域为R ，即(－∞，＋∞)，f (x )是奇函数．证明如下：∵f (x )的定义域为R ，又f (x )＝1－23x ＋1＝3x ＋1－23x ＋1＝3x －13x ＋1，∴f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝1－3x3x 1＋3x 3x ＝1－3x1＋3x＝－f (x )，∴f (x )是定义在R 上的奇函数．(3)由f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0得f (3m ＋1)<－f (2m －3)， ∵函数f (x )为奇函数，∴－f (2m －3)＝f (3－2m )， ∴f (3m ＋1)<f (3－2m )，由(2)已证得函数f (x )在R 上是增函数， ∴f (3m ＋1)<f (3－2m )，即3m ＋1<3－2m ， ∴m <25，则不等式f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <25.。

人教版高一数学必修1测试题(含答案)

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人教版高一数学必修1测试题(含答案) 人教版数学必修I测试题一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1、设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,5}，则A∩(CU B)=（）A、{2}B、{2,3}C、{3}D、{1,3}2、已知集合M={0,1,2}，N={xx=2a,a∈M}，则集合MN （）A、{}B、{0,1}C、{1,2}D、{0,2}3、函数y=1+log2x，(x≥4)的值域是（）A、[2,+∞)B、(3,+∞)C、[3,+∞)D、(-∞,+∞)4、在y=1/x2，y=2x，y=x2+x，y=3x5四个函数中，幂函数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5、如果a>1,b<-1,那么函数f(x)=ax+b的图象在（）A第一、二、三象限 B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、四象限6、设集合M={x|x2-6x+5=0}，N={x|x2-5x=0}，则MN等于（）A.{}B.{5}C.{1,5}D.{-1,-5}7、若102x=25，10x则等于（）A、-15B、5C、11/50D、6258、函数y=ax+2(a且a≠1)图象一定过点()A（0,1）B（0,3）C（1,0）D（3,0）9、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟。

骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合是（）10、若f(2x)=x2，则f(3)=（）A、9B、49/4C、9/4D、3/2二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11、函数y=x+1+1/(2-x)的定义域为(-∞,2)U(2,∞)。

12、f(x)=x2+1,x≤0；f(x)= -2x,x>0.若f(x)=10，则x=-2.13、函数f(x)=2+log5(x+3)在区间[-2，2]上的值域是[2,3]。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册全册书各章节课时练习题及章末综合测验含答案解析

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第一章空间向量与立体几何...................................................................................................... - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其运算.............................................................................................. - 2 -1.1.2空间向量基本定理.............................................................................................. - 9 -1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系................................................................ - 17 -1.2空间向量在立体几何中的应用................................................................................... - 25 -1.2.1空间中的点、直线与空间向量........................................................................ - 25 -1.2.2空间中的平面与空间向量................................................................................ - 32 -1.2.3直线与平面的夹角............................................................................................ - 44 -1.2.4二面角 ............................................................................................................... - 53 -1.2.5空间中的距离 ................................................................................................... - 70 -第一章综合测验 ................................................................................................................... - 81 - 第二章平面解析几何 ................................................................................................................... - 95 -2.1坐标法 .......................................................................................................................... - 95 -2.2直线及其方程............................................................................................................. - 102 -2.2.1直线的倾斜角与斜率...................................................................................... - 102 -2.2.2直线的方程 ..................................................................................................... - 108 -2.2.3两条直线的位置关系...................................................................................... - 119 -2.2.4点到直线的距离.............................................................................................. - 126 -2.3圆及其方程 ................................................................................................................ - 133 -2.3.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 133 -2.3.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 140 -2.3.3直线与圆的位置关系...................................................................................... - 146 -2.3.4圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 154 -2.4曲线与方程................................................................................................................. - 162 -2.5椭圆及其方程............................................................................................................. - 168 -2.5.1椭圆的标准方程.............................................................................................. - 168 -2.5.2椭圆的几何性质.............................................................................................. - 176 -2.6双曲线及其方程......................................................................................................... - 186 -2.6.1双曲线的标准方程.......................................................................................... - 186 -2.6.2双曲线的几何性质.......................................................................................... - 194 -2.7抛物线及其方程......................................................................................................... - 202 -2.7.1抛物线的标准方程.......................................................................................... - 202 -2.7.2抛物线的几何性质.......................................................................................... - 209 -第二章综合训练 ................................................................................................................. - 217 -第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算1.下列命题中为真命题的是( ) A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等2.下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗3.已知e 1,e 2为单位向量,且e 1⊥e 2,若a =2e 1+3e 2,b =k e 1-4e 2,a ⊥b ,则实数k 的值为( ) A.-6 B.6C.3D.-3a ·b=0,e 1·e 2=0,|e 1|=|e 2|=1,所以(2e 1+3e 2)·(k e 1-4e 2)=0,所以2k-12=0, 所以k=6.故选B .4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.a 2 B.12a 2 C .14a 2 D .√34a 2⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AD ⃗⃗⃗⃗⃗=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14a×a×12+a×a×12=14a 2.5.(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD 连接AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( ) A.PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(BC⃗⃗⃗⃗⃗ )2≠0. 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD , 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又因为AD ⊥AB ,AD ⊥PA ,所以AD ⊥平面PAB ,所以AD ⊥PB ,所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,同理PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此B,C,D 中的数量积均为0.故选B,C,D .6.设e 1,e 2是平面内不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+k e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k= .87.化简:12(a +2b -3c )+5(23a -12b +23c)-3(a -2b +c )= .+92b -76c8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为 .√11AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√11. 9.在四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AC ,BD 的中点,求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =右边,得证. 10.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1. (1)求<CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值; (2)求证:BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12.又|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52,所以cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >=25.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .11.已知空间向量a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),则|a -b |的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.4a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),∴a -b =(2,1-t ,t-1),则|a-b |=√22+(1-t )2+(t -1)2=√2(t -1)2+4, ∴当t=1时,|a-b |取最小值为2.故选C .12.设平面上有四个互异的点A ,B ,C ,D ,已知(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B .等腰三角形 C.钝角三角形 D .锐角三角形DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,即△ABC 是等腰三角形. 13.如图,已知PA ⊥平面ABC ,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC 等于( )A.6√2 B .6C.12D .144PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =36+36+36+2×36×cos60°=144,所以PC=12. 14.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;③对于任意向量a ,b ,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中所有真命题的序号为 .①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.15.等边三角形ABC 中,P 在线段AB 上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .-√22|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a (a>0),由题知,0<λ<1.如图, CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=a 2λ-12a 2, PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(λ-1)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ(λ-1)a 2, 则a 2λ-12a 2=λ(λ-1)a 2, 解得λ=1-√22λ=1+√22舍.16.如图,平面α⊥平面β,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2√29CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+36+64=116,∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√29.17.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E ,点F 为D'C'上一点,且D'F=23D'C'.(1)化简:12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)设点M 是底面ABCD 的中心,点N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点(靠近C'),设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +γAA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求α,β,γ的值.由AA'的中点为E ,得12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D'F=23D'C',因此23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .从而12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此α=12,β=14,γ=34.18.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM=2A 1M ,C 1N=2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)试用a ,b ,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若∠BAC=90°,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,AB=AC=AA 1=1,求MN 的长.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c-a )+a+13(b-a ) =13a+13b+13c.(2)因为(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b+2b ·c+2a ·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=√5,所以|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|a+b+c |=√53,即MN=√53. 19.如图所示,已知线段AB 在平面α内,线段AC ⊥α,线段BD ⊥AB ,且AB=7,AC=BD=24,线段BD 与α所成的角为30°,求CD 的长.AC ⊥α,可知AC ⊥AB ,过点D 作DD 1⊥α, D 1为垂足,连接BD 1,则∠DBD 1为BD 与α所成的角,即∠DBD 1=30°,所以∠BDD 1=60°,因为AC ⊥α,DD 1⊥α,所以AC ∥DD 1,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°.又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为BD ⊥AB ,AC ⊥AB , 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=242+72+242+2×24×24×cos120°=625, 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25,即CD 的长是25.20.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=a ,PA ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 的上方),则边BC 上是否存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?Q (点Q 在边BC 上),使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 连接AQ ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥QD. 又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即点Q 在以边AD 为直径的圆上,圆的半径为a2.又AB=1,所以当a2=1,即a=2时,该圆与边BC 相切,存在1个点Q 满足题意; 当a2>1,即a>2时,该圆与边BC 相交,存在2个点Q 满足题意; 当a 2<1,即a<2时,该圆与边BC 相离,不存在点Q 满足题意. 综上所述,当a ≥2时,存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当0<a<2时,不存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .1.1.2 空间向量基本定理1.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点.若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a +12b +c B.12a +12b +c C.12a -12b +c D.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .2.对于空间一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,且有6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.O ,A ,B ,C 四点共面 B.P ,A ,B ,C 四点共面 C.O ,P ,B ,C 四点共面 D.O ,P ,A ,B ,C 五点共面6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.又三个向量的基线有同一公共点P ,∴P ,A ,B ,C 四点共面. 3.(多选)已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的值不可能为 ( ) A.1 B .0 C .3D .13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且M ,A ,B ,C 四点共面,∴x+13+13=1,∴x=13.4.已知向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a +6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a -2b ,则一定共线的三点是( ) A.A ,B ,D B .A ,B ,C C.B ,C ,D D .A ,C ,DAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +6b =3(a +2b )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ,所以A ,B ,D 三点共线. 5.下列说法错误的是( )A.设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b =b ·aC.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 一定不共面D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面,正确,因为向量可以平移;B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b=b ·a ,正确,因为向量的数量积满足交换律;C.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 可能共面,可能不共面,故C 错误;D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c ,正确,因为向量的数量积满足分配律.故选C .6.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+k e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A ,B ,D 三点共线,实数k= .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7e 1+(k+6)e 2,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即7e 1+(k+6)e 2=x e 1+xk e 2,故(7-x )e 1+(k+6-xk )e 2=0,又e 1,e 2不共线, ∴{7-x =0,k +6-kx =0,解得{x =7,k =1,故k 的值为1. 7.在以下三个命题中,所有真命题的序号为 .①三个非零向量a ,b ,c 不能构成空间的一个基底,则a ,b ,c 共面;②若两个非零向量a ,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a ,b 共线; ③若a ,b 是两个不共线的向量,而c=λa +μb (λ,μ∈R 且λμ≠0),则{a ,b ,c }构成空间的一个基底.与a ,b 共面,不能构成基底.8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)用a ,b ,c 表示向量AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)设G ,H 分别是侧面BB'C'C 和O'A'B'C'的中心,用a ,b ,c 表示GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a .(2)GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =GO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OG ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(a+b+c+b )+12(a+b+c+c )=12(c-b ).9.已知三个向量a ,b ,c 不共面,并且p =a +b -c ,q =2a -3b -5c ,r =-7a +18b +22c ,向量p ,q ,r 是否共面?λ,μ,使p =λq +μr ,则a +b -c =(2λ-7μ)a +(-3λ+18μ)b +(-5λ+22μ)c .∵a ,b ,c 不共面,∴{2λ-7μ=1,-3λ+18μ=1,-5λ+22μ=-1,解得{λ=53,μ=13,即存在实数λ=53,μ=13,使p =λq +μr ,∴p ,q ,r 共面.10.如图所示,四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形,且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点.判断CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共线?M ,N 分别是AC ,BF 的中点,而四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB⃗⃗⃗⃗⃗ .又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CE⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.11.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间内任意一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 分别是 ( ) A.1,-1,2 B.-12,12,1 C.12,-12,1 D.12,-12,-1⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a -12b+c ,因此,x=12,y=-12,z=1.故选C .12.在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z 等于( )A.76 B .23C .34D .56于AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.13.(多选)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么对点M 判断错误的是( ) A.在平面BAD 1内 B .在平面BA 1D 内 C.在平面BA 1D 1内 D .在平面AB 1C 1内=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 于是M ,B ,A 1,D 1四点共面.14.已知空间单位向量e 1,e 2,e 3,e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,若空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,则x+y+z= ,|m |=.√34为e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,所以{(xe 1+ye 2+ze 3)·e 1=4,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 2=3,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 3=5,即{x +45z =4,y =3,45x +z =5,解得{x =0,y =3,z =5,所以x+y+z=8,|m |=√34.15.已知O 是空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= .1=2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3y OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -4z OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1, 即2x+3y+4z=-1.16.如图,设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点,E 为OC 的中点,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x ,y 的值.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-32OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=12,y=-32.17.已知非零向量e 1,e 2不共线,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+8e 2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1-3e 2,求证:A ,B ,C ,D 四点共面.:令λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+v (3e 1-3e 2)=0,则(λ+2μ+3v )e 1+(λ+8μ-3v )e 2=0.∵e 1,e 2不共线,∴{λ+2μ+3v =0,λ+8μ-3v =0.易知{λ=-5,μ=1,v =1是其中一组解,则-5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴A ,B ,C ,D 四点共面.证法二:观察易得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+8e 2)+(3e 1-3e 2)=5e 1+5e 2=5(e 1+e 2)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .由共面向量知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. 又它们有公共点A ,∴A ,B ,C ,D 四点共面.18.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,求证:B 1C ∥平面ODC 1.1C ⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵O 是B 1D 1的中点,∴B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,且B 1C ⊄平面OC 1D. ∴B 1C ∥平面ODC 1.19.如图所示,四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CG ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34FG⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|FG ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵点F 不在EH 上,∴四边形EFGH 是梯形. 20.已知平行四边形ABCD ,从平面ABCD 外一点O 引向量OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:(1)点E ,F ,G ,H 共面; (2)直线AB ∥平面EFGH.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB⃗⃗⃗⃗⃗ . 而OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理,EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EG ⃗⃗⃗⃗⃗ k =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ k+EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ k,即EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又它们有同一公共点E ,∴点E ,F ,G ,H 共面. (2)由(1)知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ∥EF .又AB ⊄平面EFGH , ∴AB 与平面EFGH 平行,即AB ∥平面EFGH.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系1.已知向量a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则向量b 等于( ) A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D .(2,1,-3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2 C.-1 D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x=0,y=-1,∴x+y=-1.3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.√10B.-√10C.2√D.±√10⃗⃗⃗ =(-6,1,2k),CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±√10.4.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形=(3,4,2),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A为锐角;由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C为锐角;由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴,e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x e1+y e2,则把有序数对(x,y)叫做向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的反射坐标,记为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),在θ=2π3的反射坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是()A.a-b=(-1,3)B.|a|=√3C.a⊥bD.a∥b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b =(-1,3),故A 正确; |a |=√(e 1+2e 2)2=√5+4cos2π3=√3,故B 正确;a ·b =(e 1+2e 2)·(2e 1-e 2)=2e 12+3e 1·e 2-2e 22=-32,故C 错误;D 显然错误.6.已知向量a =(1,2,3),b =(x ,x 2+y-2,y ),并且a ,b 同向,则x+y 的值为 .a ∥b ,所以x1=x 2+y -22=y3,即{y =3x ,①x 2+y -2=2x ,②把①代入②得x 2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当{x =-2,y =-6时,b =(-2,-4,-6)=-2a ,向量a ,b 反向,不符合题意,故舍去. 当{x =1,y =3时,b =(1,2,3)=a , a 与b 同向,符合题意,此时x+y=4.7.已知向量a =(5,3,1),b =-2,t ,-25,若a 与b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为 . 答案-∞,-65∪-65,5215解析由已知得a ·b =5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a 与b 的夹角为钝角,所以a ·b <0,即3t-525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25, 所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-52,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.8.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标. 解设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83.9.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)求cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >.设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2.(2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66.10.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BP C.BC=√53 D.AP ∥BC⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确;BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确;BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确;假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确.11.已知点A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√66D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ2+1×2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .12.已知点A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)×√42+(-3)=-5√41,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-5√41=-4.13.已知空间向量a =(1,-2,3),则向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是 .-2,0)14.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .,12,0)CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a-2,b+1,c-2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0). 15.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,P A=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系, (1)求cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面P AB 内找一点N ,使NE ⊥平面P AC ,求N 点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E 0,12,1,从而AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2). 则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2√7=3√714.∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面P AB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z , 由NE ⊥平面P AC 可得,{NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1.16.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在有向线段为边的平行四边形的面积; (2)若|a |=√3,且向量a 分别与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1). 17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1).(1)求证:P A ⊥平面ABCD ; (2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即P A ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A ,∴P A ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=48, 又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P-ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).18.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长; (2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >;(3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a ,则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2.(2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √63.(3)由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0),λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量1.已知l 1的方向向量为v 1=(1,2,3),l 2的方向向量为v 2=(λ,4,6),若l 1∥l 2,则λ等于( ) A.1 B .2 C .3 D .4l 1∥l 2,得v 1∥v 2,得1λ=24=36,故λ=2.2.空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是( ) A.[0,π] B.(0,π) C.(0,π2] D.(0,π2),空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是(0,π2]. 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 为A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( ) A.BDB.ACC.A 1DD .A 1A。

高中数学 模块综合测评(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学试题

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模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |2x 2－x ≥0}，B ＝{y |y ＞－1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，0] B ．(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B [A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥12，∴A ∩B ＝(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.]2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式¬p 为( ) A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2 B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2 C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2D [全称量词命题的否定是存在量词命题，不等号要改变，故选D.]3．已知p ：x －a ＞0，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)D [已知p ：x －a ＞0，x ＞a ，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，根据小X 围推出大X 围得到a ≥1.故选D.]4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14B ．14C ．32D ．－32A [令12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.令4m ＋7＝6，得m ＝－14.故选A.]5．函数f (x )＝x ＋1＋1x －3的定义域为( ) A ．(－3，0]B ．(－3，1]C ．[－1，3)∪(3，＋∞)D ．[－1，3)C [由条件知⎩⎨⎧x ＋1≥0x －3≠0，∴x ≥－1且x ≠3，故选C.]6．函数f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1在区间(－∞，1]上为减函数，则m 的取值X 围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C [当m ＝0时，f (x )＝1－x ，满足在区间(－∞，1]上为减函数，当m ≠0时，因为f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝1－m2m ，且函数在区间(－∞，1]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m 2m ≥1，解得0＜m ≤13.综上，0≤m ≤13.故选C.]7．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱( )A ．8元B ．16元C ．24元D ．32元D [设方形巧克力每块x 元，圆形巧克力每块y 元，小明带了a 元钱， ⎩⎨⎧3x ＋5y ＝a ＋8，①5x ＋3y ＝a －8，②①＋②，得8x ＋8y ＝2a ，∴x ＋y ＝14a ， ∵5x ＋3y ＝a －8，∴2x ＋(3x ＋3y )＝a －8， ∴2x ＋3×14a ＝a －8，∴2x ＝14a －8，∴8x ＝a －32， 即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D.]8．已知函数f (x )＝mx ＋1的零点在区间(1，2)内，则m 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．()－∞，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B [根据题意，函数f (x )＝mx ＋1，当m ＝0时，f (x )＝1，没有零点， 当m ≠0时，f (x )为单调函数，若其在区间(1，2)内存在零点， 必有f (1)f (2)＜0，即(m ＋1)(2m ＋1)＜0，解得－1＜m ＜－12，即m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B.]二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题中是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，2x 2－3x ＋4＞0 B ．∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1＞0 C ．∃x ∈N ，使x ≤xD ．∃x ∈N *，使x 为29的约数 ACD [对于A ，这是全称量词命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x 2－3x ＋4＞0恒成立，故A 为真命题；对于B ，这是全称量词命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1＞0不成立，故B 为假命题；对于C ，这是存在量词命题，当x ＝0时，有x ≤x 成立，故C 为真命题； 对于D ，这是存在量词命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以D 为真命题．]10．有以下说法，其中正确的为( ) A ．“m 是有理数”是“m 是实数”的充分条件 B ．“x ∈A ∩B ”是“x ∈A ”的必要条件 C ．“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件 D ．“x ＞3”是“x 2＞4”的充分条件ACD[A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确．因为“x∈A”“x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确．由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x ＝3”的必要条件；D正确．由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．]11．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，若f(a)·f(－a)＝4，则实数a的值可为()A．－3 B．－1C．1 D．3BC[∵f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，①当a＞0时，f(a)·f(－a)＝[f(－a)]2＝(－a－1)2＝4，解得，a＝1或a＝－3(舍)；②当a＜0时，f(a)·f(－a)＝[f(a)]2＝(a－1)2＝4，解可得，a＝－1或a＝3(舍)，综上可得，a＝－1或1，故选BC.]12．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是()A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)B．1f（x）在[a，b]上有最小值f(a)C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－cD．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)CD[A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数1f（x）在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a ，b ]上有最小值cf (a )，D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．不等式－2x 2＋x ＋3＜0的解集为________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞[化－2x 2＋x ＋3＜0为2x 2－x －3＞0，解方程2x 2－x－3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，所以不等式2x 2－x －3＞0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.]14．已知函数f (x )＝5－xx ，则f (1)＝________，函数y ＝f (x )的定义域为________．(本题第一空2分，第二空3分)2 (－∞，0)∪(0，5][函数f (x )＝5－x x ，则f (1)＝5－11＝2，令⎩⎨⎧5－x ≥0，x ≠0，解得x ≤5且x ≠0， ∴函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，5].]15．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值X 围为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54[y ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0， 作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54.]16．设函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题： ①f (x )一定是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图像一定关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |.其中正确命题的序号是________．③[若a ＝1，b ＝1，则f (x )＝|x 2－2x ＋1|＝x 2－2x ＋1，显然f (x )不是偶函数，所以①错误；若a ＝－1，b ＝－4，则f (x )＝|x 2＋2x －4|，满足f (0)＝f (2)，但显然f (x )的图像不关于直线x ＝1对称，所以②错误；若a 2－b ≤0，则f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝x 2－2ax ＋b ，此时函数f (x )的图像是开口向上的抛物线，且抛物线的对称轴是直线x ＝a ，所以f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以③正确；显然函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )没有最大值，所以④错误．故填③.]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4－2x x －7＞0，B ＝{x |x 2－4x ＋4－m 2≤0，m ＞0}．(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝B ，某某数m 的取值X 围．[解](1)若m ＝3，解得：A ＝(2，7)，B ＝[－1，5]， 所以A ∩B ＝(2，5]；(2)由题意得：B ＝[2－m ，2＋m ]， 又因为A ∪B ＝B ，有A ⊆B ，则有：2－m ≤2①；2＋m ≥7②；m ＞0③；同时成立． ∴m ≥5.18．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值X 围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值． [解](1)依题意，得Δ＝b 2－4ac ≥0， 即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因为k≤1 2，所以k1＝k2＝1不合题意，舍去．②当x1＋x2<0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1).解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.综合①②可知k＝－3.法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1).由(1)可知k≤12，所以2(k－1)<0，即x1＋x2<0.所以－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋1x＋1，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0).(1)判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；(2)若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g(m0)＝f(m)成立，某某数a 的取值X围．[解](1)函数f(x)在[0，1]上单调递增，证明如下：设0≤x1＜x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1＋1－x2－1x2＋1＝(x1－x2)＋x2－x1（x1＋1）（x2＋1）＝（x1－x2）（x1x2＋x1＋x2）（x1＋1）（x2＋1）.因为x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1x 2＋x 1＋x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[0，1]上单调递增． (2)由(1)知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.因为a ＞0，g (x )＝ax ＋5－2a 在[0，1]上单调递增， 所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5－2a ，5－a ]. 依题意，只需⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆[5－2a ，5－a ]所以⎩⎪⎨⎪⎧5－2a ≤1，5－a ≥32，解得2≤a ≤72， 即实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－mx ＋2m －4(m ∈R ). (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立，求m 的取值X 围． [解](1)因为m ＝1，所以f (x )＝x 2－x －2. 所以x 2－x －2≥0，即(x －2)(x ＋1)≥0， 解得x ≤－1或x ≥2.故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}．(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立等价于m ≤x 2－3x －2在(2，＋∞)上恒成立．因为x ＞2，所以x －2＞0，则x 2－3x －2＝（x －2）2＋4（x －2）＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋4≥2（x －2）·1x －2＋4＝6.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 故m 的取值X 围为(－∞，6].21．(本小题满分12分)某商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值X 围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？[解](1)根据题意，得y ＝(2400－2000－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4×x 50，即y ＝－225x 2＋24x ＋3 200.(2)由题意，得－225x 2＋24x ＋3 200＝4 800， 整理得x 2－300x ＋20 000＝0， 解得x ＝100或x ＝200，又因为要使消费者得到实惠，所以应取x ＝200， 所以每台冰箱应降价200元．(3)y ＝－225x 2＋24x ＋3 200＝－225(x －150)2＋5 000， 由函数图像可知，当x ＝150时，y max ＝5 000，所以每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5 000元．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件：①f (x )在D 上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b ]D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ].那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由；(2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，某某数k 的取值X 围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)[解](1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎨⎧－a 3＝b ，－b 3＝a ，解得a ＝－1，b＝1，所以存在区间[－1，1]满足②， 所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足② 即：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋a ＋2＝a ，k ＋b ＋2＝b .即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根， a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根． 且a ≥k ，b >k .令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧f （k ）≥0，Δ>0，2k ＋12>k ，解得－94<k ≤－2，所以实数k 的取值X 围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2.。

人教B版高中数学必修一高一试题 .10.docx

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学试题 2015.10一、选择题（每题4分）1、集合{}3x N x ∈≤的另一种表示方法为（ ）A 、{}0,1,2,3B 、{}1,2,3C 、{}1,2,3,4D 、{}0,1,2,3,42、已知集合A 、若集合{}(1,2),(3,4)A =，则集合A 中元素的个数是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、43、{}{}7,6,5,3,2,6,4,2,1==B A ，则=⋂B A （ ）A 、{}7,6,5,4,3,2,1B 、{}6,2C 、{}7,6,3,2D 、{}6,4,2,1 4、已知集合{}5,4,3,2,1,0=U ，{}2,1=A ，{}4,3,2=B ，则)(B A C U ⋃=（）A 、{}2B 、{}5,4,3,0C 、{}4,3,2,1D 、{}5,05、方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 的解集为（ ）A 、 {1，2} B.、{(1，2)} C 、{2，1} D 、{(1，2),(2，1)} 班级 姓名 学号6、若函数x xx f +=1)(，则(3)f =（ ）A 、32 B 、23 C 、34 D 、437、下列函数中，与函数1y x =有相同定义域的是（ ）A 、 ()11f x x x =++ B 、()1f x x =C 、()f x x =D 、()f x x x =+-8、下列函数在()0,+∞是减函数的是（ ）A 、()2f x x =B 、()1f x x =C 、()3f x x =D 、 ()f x x =9、下列函数在是奇函数的是（ ）A 、()2f x x =B 、()1f x x =C 、()33f x x =+ D.、()f x x =10、如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，则()f x 在区间[]7,3--上是（）A 、增函数且最小值为5-B 、增函数且最大值为5-C 、减函数且最小值为5-D 、减函数且最大值为5-11、已知映射()():,,f x y x y x y →+-，则()2,3在f 作用下的象是（ ）A 、()5,1B 、()5,1-C 、51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 、51,22⎛⎫⎪⎝⎭12、 函数()f x 在R 上是增函数，且()()29f m f m >-+，则实数m 的取值范围是（ ）A 、(),3-∞-B 、()0,+∞C 、()3,+∞D 、()(),33,-∞-+∞二、填空题（每个4分）13、设},03|{2=+-=a x x x A 若A ∈4,则=a _14、若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数(1)f x +的定义域是15、函数()f x 是R 上的奇函数，若(3)5f =，则(3)f -=16、已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，则(1)f -=三、解答题17、设集合{}{},31,24≤≤-=≤≤-=x x B x x A 求B A C B A B A R ⋂⋃⋂,,18、求下列函数的定义域（1）()0()21f x x =- （2）4()1x f x x +=-（3）311()36f x x x =++19、判断下列函数的奇偶性(1)2()2f x x =-+(2)31()f x x x =-(3) 21(),(1,3)+1f x x x =∈-20、已知函数)(x f 为偶函数，且在0≥x 时2()f x x x =-, 求当0<x 时)(x f 的解析式.21、求证函数2()f x x=在(0,)+∞上是减函数。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作新课标必修1单元过关测试题班别 姓名 学号 考分一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则()U M C N ⋂等于（ ） A. {5} B. {0，3} C. {0，2，3，5} D. {0，1，3，4，5}2．下列四组对应中，按照某种对应法则f ，能构成从A 到B 的映射的是 （ ）3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 211x y x -=-与1y x =+B. lg y x =与21lg 2y x =C.12-=x y 与1-=x y D. x y =与xa a y log =（0>a 且1≠a ） 4. 函数()2112log x y -=的定义域为（ ） A. ]2,1()1,2[⋃-- B. )2,1()1,2(⋃-- C. ]2,1()1,2[⋃-- D. )2,1()1,2(⋃-- 5. 函数341)(2++=ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[0，)43B ．（0，)43C ．（),43+∞D ． （－∞，0）6. 为了得到函数x y )31(3=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ） A. 向左平移3个单位长度B. 向右平移3个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度7. 设9.014=y ，5.1348.02)21(,8-==y y ，则（ ）A.213y y y >> B. 312y y y >> C. 321y y y >> D. 231y y y >>8．函数y=a x-1+1 (a>0且a ≠1)的图象一定经过点(A) （0，1） (B) （1，0） (C) （1，2） (D) （1，1）9．已知⎩⎨⎧>+-≤+=)1(,3)1(,1)(x x x x x f ，那么)]21([f f 的值是（A ）25（B ）23 （C ）29 （D ）21-10. 函数)(x f 满足882)1()1(2+-=++-x x x f x f ，)2(4)1()1(-=--+x x f x f ，且)(,21),1(x f x f -- 成等差数列，则x 的值是（ ）A. 2B. 3C. 2或3D. 2或3-二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高中数学 测试卷精品练习(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学试题

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必修一 全册测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x|2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x∈Z |x ≤2}，A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 3．已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，2x ＋y ＝7，则x ＋y 的值是( )A ．3B ．5C ．7D ．94．关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是－2，则方程的另一个根是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－25．已知a ，b ∈R ，条件甲：a >b >0；条件乙：1a <1b，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－1,3) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)7．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 009个，则f (x )的零点的个数为( )A ．1 007B ．1 008C ．2 018D ．2 0198．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值X 围是( )A ．(8，＋∞) B．(8,9] C ．[8,9] D ．(0,8)二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列表达式的最小值为2的有( ) A ．当ab ＝1时，a ＋b B ．当ab ＝1时，b a ＋a bC ．a 2－2a ＋3 D.a 2＋2＋1a 2＋210．若函数f (x )的图像在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法错误的有( )A ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 11．下列命题正确的是( ) A ．∃a ，b ∈R ，|a －2|＋(b ＋1)2≤0 B ．∀a ∈R ，∃x ∈R ，使得ax >2 C ．ab ≠0是a 2＋b 2≠0的充要条件 D ．a ≥b >－1，则a1＋a ≥b1＋b12．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，给出下面几个结论中正确的有( ) A ．f (x )的图像关于点(－1,1)对称 B ．若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2) C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．函数g (x )＝f (x )－x 有三个零点三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．命题∃x ∈R ，x 2－2x >0的否定是________．14．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]的单调递增区间为______，f (x )max ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)15．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是________．16．已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)设集合A ＝{x |a －1<x <2a ，a ∈R }，不等式x 2－7x ＋6<0的解集为B . (1)当a ＝0时，求集合A ，B ； (2)当A ⊆B 时，某某数a 的取值X 围．18．(12分)已知函数f (x )＝2x－x ，(1)判断f (x )的奇偶性；(2)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上为减函数．19.(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值．21．(12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m －1)>0，某某数m的取值X围．22．(12分)2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌，40年来我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设，某某市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数M(x)(单位：百万元)：M(x)＝50x10＋x，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数N(x)(单位：百万元)：N(x)＝0.2x.(1)设分配给植绿护绿项目的资金为x(百万元)，则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域；(2)生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y 的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？必修一 全册测试卷1．解析：A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤3，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.答案：B2．解析：由函数y ＝1－x22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 答案：D3．解析：两个方程相加，得3x ＋3y ＝15，∴x ＋y ＝5，故选B. 答案：B4．解析：设方程的另一个根为t ，由根与系数的关系可得，－2·t ＝－2，解得t ＝1，故选B.答案：B5．解析：条件乙：1a <1b，即为1a －1b <0⇔b －a ab<0，若条件甲：a >b >0成立，则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则b >0>a 也可以，但是此时不满足条件甲：a >b >0， 所以甲是乙成立的充分不必要条件． 答案：A6．解析：关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )·(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集为(－1,3)．答案：C7．解析：∵f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 009个零点，∴在(－∞，0)上也有1 009个零点，又∵f (0)＝0，∴共有2 018＋1＝2 019(个)零点．答案：D8．解析：∵f (9)＝f (3)＋f (3)＝2，∴不等式f (x )＋f (x －8)≤2可化为f (x (x －8))≤f (9)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x x －8≤9x >0x －8>0，解得8<x ≤9，∴x 的取值X 围是(8,9]，故选B. 答案：B9．解析：对选项A ，当a ，b 均为负值时，a ＋b <0，故最小值不为2；对选项B ，因为ab ＝1，所以a ，b 同号，所以b a >0，ab>0，所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝±1时取等号，故最小值为2； 对选项C ，a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2，当a ＝1时，取最小值2； 对选项D ，a 2＋2＋1a 2＋2≥2a 2＋2·1a 2＋2＝2，当且仅当a 2＋2＝1a 2＋2，即a 2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2，故选BC. 答案：BC10．解析：由题知f (0)·f (1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f (x )在区间(0,1)上一定有零点，又f (1)·f (2)>0，因此无法判断f (x )在区间(1,2)上是否有零点．答案：ABD11．解析：A.当a ＝2，b ＝－1时，不等式成立，所以A 正确．B.当a ＝0时，0·x ＝0<2，不等式不成立，所以B 不正确．C.当a ＝0，b ≠0时，a 2＋b 2≠0成立，此时ab ＝0，推不出ab ≠0.所以C 不正确．D.由a 1＋a －b1＋b＝a 1＋b －b 1＋a 1＋a 1＋b ＝a －b1＋a 1＋b，因为a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b，所以D 正确．故选AD.答案：AD12．解析：函数f (x )的定义域为全体实数，f (－x )＝－x 1＋|－x |＝－x1＋|x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图像关于原点对称，f (x )＝x1＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x ，x ≥0x1－x ，x <0.选项A ：由上分析函数关于原点对称，若函数关于(－1,1)对称，原点关于(－1,1)对称的点是(－2,2)，而f (－2)＝－21＋|－2|＝－23≠2，显然(－2,2)不在该图像上，故函数不关于(－1,1)对称，本选项是错误的；选项B ：当x ≥0时，f (x )＝x1＋x ＝1－11＋x，显然函数单调递增，此时0≤f (x )<1； 当x <0时，f (x )＝x 1－x ＝－1＋11－x，显然函数单调递增，此时－1<f (x )<0，因此函数在整个实数集上是单调递增的，因此若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)是正确的，本选项是正确的；选项C ：由选项B 的分析可以知道本选项是正确的； 选项D ：g (x )＝f (x )－x ＝0⇒f (x )＝x ⇒x1＋|x |＝x ⇒－x |x |1＋|x |＝0⇒x ＝0，只有一个零点，D 错误，故选BC.答案：BC13．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即∀x ∈R ，x 2－2x ≤0. 答案：∀x ∈R ，x 2－2x ≤014．解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 815．解析：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2，所以x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15(当且仅当x＝1时取等号)，所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15，所以由已知不等式恒成立得a ≥15.故a 的取值X围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 16．解析：设函数g (x )＝f (x )－ax ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x >0，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋a －a 24，x ≤0，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24－2a ，x >0.依题意得，函数g (x )恰有两个零点，即函数g (x )与x 轴有两个交点．又因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －a 24>0，a 24－2a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －a 24<0，a 24－2a <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －a 24＝0，a 24－2a ＝0，解得4<a <8.所以a 的取值X 围为(4,8)． 答案：(4,8)17．解析：(1)当a ＝0时，A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x 2－7x ＋6<0}＝{x |1<x <6}．(2)①当a －1≥2a ，即a ≤－1时， 可得A ＝∅，满足A ⊆B ，故a ≤－1符合题意．②当a －1<2a ，即a >－1时，由A ⊆B ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，2a ≤6，解得2≤a ≤3.综上可得a ≤－1或2≤a ≤3.∴实数a 的取值X 围是(－∞，－1]∪[2,3]．18．解析：(1)函数f (x )＝2x－x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝2－x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－x 1－2x 2＋x 2 ＝2x 2－x 1x 1x 2＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1x 2.∵x 1>0，x 2>0，且x 1<x 2， ∴(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．19．解析：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3，∴q ：2<x ≤3，当a >0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集为{x |a <x <3a }， ∴p ：a <x <3a .∵p 是q 的必要不充分条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2.当a <0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0的解集为{x |3a <x <a }， ∴p ：3a <x <a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a >3，此时无解．综上所述，a 的取值X 围是(1,2]． 20．解析：(1)由f (0)＝2，得c ＝2， 又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得：a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1函数f (x )图像的对称轴为x ＝1，且开口向上， 所以f (x )单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． (3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 对称轴为x ＝1∈[－1,2]， 故f min (x )＝f (1)＝1， 又f (－1)＝5，f (2)＝2， 所以f max (x )＝f (－1)＝5. 21．解析：由f (m )＋f (m －1)>0， 得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又因为f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数，所以f (x )在[－2,2]上为减函数．所以1－m >m ，又－2≤m －1≤2，－2≤m ≤2， 所以解得－1≤m <12.故m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 22．解析：(1)由题意可得处理污染项目投放资金为(100－x )百万元， 所以N (x )＝0.2(100－x )，所以y ＝50x10＋x ＋0.2(100－x )，x ∈(0,100)．(2)由(1)可得，y ＝50x 10＋x ＋0.2(100－x )＝70－⎝ ⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋x 5，＝72－⎝⎛⎭⎪⎫50010＋x ＋10＋x 5≤72－250010＋x ×10＋x5＝72－20＝52， 当且仅当50010＋x ＝10＋x5，即x ＝40时等号成立．此时100－x ＝100－40＝60.word∴y的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．- 11 - / 11。

(人教版B版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷一(附答案)

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（人教版B 版2017课标）高中数学必修第一册 全册综合测试卷一（附答案）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4}B =，则()uA B =U ð（ ） A .{0,2,4}B .{4}C .{1,2,4}D .{0,2,3,4}2.已知集合{0,2,3}A =，{|,,}B x x a b a b A ==⋅∈，则集合B 的子集的个数是（ ） A .4B .8C .15D .163.如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.设a ，b ∈R ，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ）A .1B .1-C .2D .2-5.若集合{0,1,2}M =，{(,)|210210,,}N x y x y x y x y M =-+--∈且厔，则N 中元素的个数为（ ） A .9B .6C .4D .26.命题:q x ∀∈R ，3210x x -+„的否定是（ ） A .32,10x x x ∃∈-+R „B .32,10x x x ∃∈-+R …C .32,10x x x ∃∈-+R ＞D .32,10x x x ∀∈-+R ＞7.已知p 是r 的充分条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件；③r 是q 的必要条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件；⑤r 是s 的充分条件.则正确命题的序号是（ ） A .①④⑤B .①②④C .②③⑤D .②④⑤8.已知集合{}2|0M x x x =->，{|1}N x x =…，则M N =I （ ） A .[1,)+∞B .(1,)+∞C .∅D .(,0)(1,)-∞+∞U9.设集合{|0}M x x m =-„，{}2|(1)1,N y y x x ==--∈R .若M N =∅I ，则实数m 的取值范围是（ ） A .[1,)-+∞B .(1,)-+∞C .(,1]-∞-D .(,1)-∞-10.已知全集U R =，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x =≤，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A .(2,1)-B .[1,0)[1,2)-UC .(2,1)[0,1]--UD .[0,1]11.设条件p ：关于x 的方程()221210m x mx -+-=的两根一个小于0，一个大于1，若p 是q 的必要不充分条件，则条件q 可设为（ ）A .(1,1)m ∈-B .(0,1)m ∈C .(1,0)m ∈-D .(2,1)m ∈-12.关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是（ ） A .01a 剟B .1a ＜C .1a „D .01a ＜„或0a ＜二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13.已知非空集合M 满足：{1,2,3,4,5}M ⊆，且若x M ∈，则6x M -∈.则满足条件的集合M 有__________个.14.设全集S 有两个子集A ，B ，若sA x x B ∈⇒∈ð，则x A ∈是x sB ∈ð的条件是__________. 15.关于x 的不等式2043x ax x +++＞的解集为(3,1)(2,)--+∞U 的充要条件是__________. 16.已知集合{|||1}A x x a =-„，{}2|540B x x x =-+…，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+＜，()22|01x a B x x a ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭＜. （1）当2a =时，求A B ⋂； （2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）若{|68,,}A x x a b a b ==+∈Z ，{|2,}B x x m m ==∈Z ，求证：A B =.19.（本小题满分12分）已知命题p ：方程2220a x ax +-=在区间[1,1]-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220x ax a ++≤.若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知{}2|320A x x x =++≥，{}2|410,B x mx x m m =-+-∈R ＞，若 0A B =I ，且A B A =U ，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知{}2:|10p A x x ax =++≤，{}2:|320q B x x x =-+≤，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知集合{}2|8200P x x x =--≤，{||1|}S x x m =-„. （1）若()P S P ⊆U ，求实数m 的取值范围.（2）是否存在实数m ，使“x P ∈”是“x S ∈”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.第一单元测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】由题意得uA {0,4}=ð，又{2,4}B =，所以(){0,2,4}uA B =U ð，故选A . 2.【答案】D【解析】∵{0,4,6,9}B =，∴B 的子集的个数为4216=. 3.【答案】A【解析】因为丁⇒丙⇔乙⇒甲，故丁⇒甲（传递性）. 4.【答案】C【解析】∵集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，又0a ≠∵，0a b +=∴，即a b =-，1ba=-∴，1b =. 2b a -=∴，故选C .5.【答案】C【解析】N ∵为点集，x M ∈，y M ∈，∴由x ，y 组成的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2).其中满足210x y -+≥且210x y --≤的仅有(0,0)，(0,1)，(1,1)，(2,1)四个元素.6.【答案】C【解析】原命题的否定是“32,10x x x ∃∈-+R ＞”. 7.【答案】B【解析】由已知有p r ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，由此得g s ⇒且s q ⇒，r q ⇒且q r ⇒，所以①正确，③不正确. 又p q ⇒，所以②正确.④等价于p s ⇒，正确.r s ⇒且s r ⇒，⑤不正确.故选B .8.【答案】B【解析】由20x x -＞得0x ＜或1x ＞，∵(1,)M N =+∞I .故选B . 9.【答案】D【解析】由已知得(,]M m =-∞，[1,)N =-+∞，∵M N =∅I ，1m ∴-＜，故选D . 10.【答案】C【解析】由已知得{|20}A x x =-＜＜，{|11}B x x =-≤≤，所以(2,1]A B =-U ，[1,0)A B =-I ，所以阴影部分表示的集合为()(2,1)[0,1]A B A B =--⋃U I ð，故选C .11.【答案】C【解析】构造函数()22121y m x mx =-+-，则0x =时，1y =-，函数的图像开口向上，由1x =时21210m m -+-＜得2m ＞或0m ＜，又p 是q 的必要不充分条件，所以p ⇒q ，q p ⇒，故选C .12.【答案】C【解析】若0∆=，则440a -=，1a =，满足条件，当0∆＞时，4401a a -⇒＞＜.所以1a ≤. 二、 13.【答案】7【解析】列举如下：{1,5}M =，{2,4}M =，{3}M =，{1,3,5)M =，{2,3,4}M =，{1,2,4,5}M =，{1,2,3,4,5}M =，共7个.14.【答案】必要 不充分【解析】由已知得S A B ⊆ð，两边取补集，有()S S S A B ⊇痧?，即S A B ⊇ð，所以S x B x A ∈⇒∈ð，反之，不一定成立，故x ∈A 是S x B ∈ð的必要不充分条件.15.【答案】2a =-【解析】令2430x x ++=，得3x =-或1x =-，∴可猜想20a +=，即2a =-.代入原不等式得22043x x x -++＞，解得(3,1)(2,)x ∈--+∞U .故2a =-.16.【答案】(2,3)【解析】由题意得{|11}A x a x a =-+≤≤，{|14}B x x x 或剠，A B =∅Q I ，1114a a ->⎧⎨+<⎩∴，23a ∴＜＜.三、17.【答案】（1）∵当2a =时，{|27}A x x =＜＜，{|45}B x x =＜＜，{|45}A B x x =I ∴＜＜（2）由已知得{}2|21B x a x a =+＜＜，当13a ＜时，{|312}A x a x =+＜＜，要使B A ⊆，必须满足2231,12,a a a +⎧⎨+⎩…„此时1a =-；当13a =时，A =∅，使B A ⊆的a 不存在； 当13a ＞时，(2,31)A a =+，要使B A ⊆，必须满足2222,131,12,a a a a a ⎧⎪++⎨⎪+≠⎩…„此时13a <„.综上可知，使B A ⊆的实数a 的取值范围为(1,3]{1}-U .18.【答案】证明：①设t A ∈，则存在,a b ∈Ζ，使得682(34)t a b a b =+=+.34a b +∈Z ∵t B ∈∴，t B ∴∈即A B ⊆.②设t B ∈，则存在m ∈Z ，使得26(5)84t m m m ==⨯-+⨯.0a =∴t A ∈∴ 5m -∈Z ∵，4m ∈Z ，，即B A ⊆. 由①②知A B =.19.【答案】由2220a x ax +-=，得(2)(1)0ax ax +-=， 显然0a ≠，2x a =-∴或1x a=. [1,1]x ∈-∵，故21a ≤或11a„，||1a ∴…. “只有一个实数x 满足2220x ax a ++≤”即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，2480a a ∆=-=∴，或2a =，∴命题“p 或q ”为真命题时“||1a ≥或0a =”.∵命题“p 或q ”为假命题，∴实数a 的取值范围为{|10 01}a a a -＜＜或＜＜. 20.【答案】A B A =U ∵，B A ⊆∴， 又A B =∅I ，B =∅∴{}2|410,B x mx x m m =-+-∈R ∵＞，∴对一切x ∈R ，使得2410mx x m -+-≤恒成立，于是有0,164(1)0,m m m ⎧⎨--⎩＜≤解得m „∴实数m的取值范围是|m m ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭„21.【答案】{}2|320{|12}B x x x x x =∈-+=R 剟?，p ∵是q 的充分不必要条件，p q ⇒∴，q ⇒p ，即A 是B 的真子集，可A =∅或方程210x ax ++=的两根在区间[1,2]内，210a ∆=-∴＜或0,12,2110,4210,a a a ∆⎧⎪⎪-⎪⎨⎪++⎪++⎪⎩…剟……解得22a -＜„. 22.【答案】由28200x x --≤，得210x -剟，所以{|210P x x =-≤≤. 由|1|x m -≤，得11m x m -+剟.所以{|11}S x m x m =-+≤≤. （1）要使()P S P ⊆U ，则S P ⊆ ①若S =∅，则0m ＜；②若S ≠∅，则0,12,110,m m m ⎧⎪--⎨⎪+⎩……„解得03m 剟.综合①②可知，实数m 的取值范围为(,3]-∞.（2）由“x P ∈”是“x S ∈”的充要条件，知S P =，则12,110,m m -=-⎧⎨+=⎩此方程组无解，所以这样的实数m 不存在.第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若23A a ab =+，24B ab b =-，则A ，B 的大小关系是（ ） A .A B „B .A B …C .A B ＜或A B ＞D .A B ＞2.下列结论正确的是（ ） A .若ac bc ＞，则a b ＞ B .若22a b ＞，则a b ＞C .若a b ＞，0c ＜，则a c b c ++＜D .a b ＜3.下列变形是根据等式的性质的是（ ） A .由213x -=得24x = B .由2x x =得1x = C .由29x =得x=3 D .由213x x -=得51x =-4.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）A .0a b +=B .b a ＜C .0ab ＞D .||||b a ＜5.已知||a b a ＜＜，则（ ）A .11a b＞ B .1ab ＜C .1ab＞ D .22a b ＞6.若41x -＜＜，则222()1x x f x x -+=-（ ） A .有最小值2B .有最大值2C .有最小值2-D .有最大值2-7.已知0a ＞，0b ＞，2a b +=，则14y a b=+的最小值是（ ） A .72B .4C .92D .58.已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121234x x x x +-=，那么b 的值为（ ） A .5B .5-C .4D .4-9.不等式22120x ax a --＜（其中0a ＜）的解集为（ ） A .(3,4)a a -B .(4,3)a a -C .(3,4)-D .(2,6)a a10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数()*x x ∈N 为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运_____年，营运的年平均利润最大（ ）A .3B .4C .5D .611.若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A .245B .285C .5D .612.已知a b ＞，二次三项式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立，又0x ∃∈R ，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A .1BC .2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.当1x ＞时，不等式11x a x +-≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 14.若0a b ＜＜，则1a b -与1a的大小关系为__________.15.若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是__________.16.已知关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两个不相等的实数根1x 、2x .若1226x x -=，则实数m 的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解下列不等式（组）：（1）2(2)01x x x +⎧⎨⎩＞，＜；（2）262318x x x --＜„.18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且1abc =.111a b c++＜.19.（本小题满分12分）已知21()1f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.（1）当12a =时，解不等式()0f x „； （2）若0a ＞，解关于x 的不等式()0f x „.20.（本小题满分12分）某镇计划建造一个室内面积为2800 m 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？21.（未小题满分12分）设函数2()3(0)f x ax bx a =++≠. （1）若不等式()0f x ＞的解集为(1,3)-，求a ，b 的值； （2）若(1)4f =，0a ＞，0b ＞，求14a b+的最小值.22.（本小题满分12分）解下列不等式. （1）2560x x --+＜；（2）()(2)0a x a x --＞.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】()2222334240b A B a ab ab b a b ⎛⎫-=+--=-+ ⎪⎝⎭∵…，A B ∴….2.【答案】D【解析】当0c ＜时，A 选项不正确；当0a ＜时，B 选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C 选项错误. 3.【答案】A【解析】A .根据等式的性质1，在等式213x -=的左右两边同时加上1，可得24x =，故本选项正确；B .在等式2x x =的左右两边同时除以x ，可得1x =，但是当0x =时，不成立，故本选项错误；C .将等式29x =的左右两边开平方，可得3x =±，故本选项错误；D .根据等式的性质1，在等式213x x -=的左右两边同时加上(31)x +，可得561x x =+，故本选项错误. 4.【答案】D【解析】根据题图可知，21a --＜＜，01b ＜＜，所以||||b a ＜. 5.【答案】D【解析】由||a b a ＜＜，可知0||||b a ＜„，由不等式的性质可知22||||b a ＜，所以22a b ＞. 6.【答案】D【解析】2221()(1)11x x f x x x x -+==-+--.又41x -∴＜＜，10x -∴＜，(1)0x --∴＞ 1()(1)2(1)f x x x ⎡⎤=---+-⎢⎥--⎣⎦∴„当且仅当111x x -=-，即0x =时等号成立.7.【答案】C【解析】2a b +=∵，12a b+=∴∴14142a bab a b +⎛⎫+=+⋅⎪⎝⎭52592222a b b a ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭… （当且仅当22a b b a =，即423b a ==时，等号成立） 故14y a b=+的最小值为92.8.【答案】A【解析】12,x x ∵是关于x 的方程230x bx +-=的两根，12x x b +=-∴，123x x =-， 121234x x x x +-=∵，94b -+=∴，解得5b =.9.【答案】B【解析】方程22120x ax a --=的两根为4a ，3a -，且43a a -＜，43a x a <<-∴. 10.【答案】C【解析】求得函数式为2(6)11y x =--+，则营运的年平均利润2512122y x x x ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭„， 当且仅当25x x=时，取“=”号，解得5x =. 11.【答案】C【解析】35x y xy +=∵，13155y x+=∴1334(34)1(34)55x y x y x y y x ⎛⎫+=+⨯=++ ⎪⎝⎭∴3941213555555x y y x =++++=…当且仅当31255x y y x =，即1x =，12y =时等号成立. 12.【答案】D【解析】a b ∵＞，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 0a ∴＞，且440ab ∆=-„，1ab ≥∴.再由0x ∃∈R ，使20020ax x b ++=成立，可得0∆…，1ab ∴…，又a b ＞，1a ＞.2224231101a a b a a a b a a a a+++==---∴＞ 2242484243624222211*********a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫+++⎝⎭=== ⎪-+-⎛⎫⎝⎭+-+- ⎪⎝⎭ 22222221124412a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭令22112a a +=＞，则24231(2)4(2)44(2)444822a t t t a a t t ⎛⎫+-+-+==-+++= ⎪---⎝⎭…， 当且仅当4t =，即a 时取等.故2431a a a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为8，故22a b a b +-二、13.【答案】(,3]-∞ 【解析】1x ∵＞，11(1)11311x x x x +=-++=--∴….3a ∴„. 14.【答案】11a b a-＜ 【解析】110()()a ab ba b a a a b a a b -+-==---∵＜. 11a b a-∴＜ 15.【答案】[9,)+∞【解析】33ab a b =++…，所以1)0…，3，所以9ab ….16.【答案】2-【解析】由题意知123x x +=，1226x x -=∵，即12236x x x +-=， 2336x -=∴，解得21x =-，代入到方程中，得1320m ++=，解得2m =-. 三、17.【答案】（1）原不等式组可化为 2 0,11,x x x -⎧⎨-⎩＜或＞＜＜即01x ＜＜，所以原不等式组的解集为{|01}x x ＜＜. （2）原不等式等价于22623,318,x x x x x ⎧--⎨-⎩≤＜即2260,3180,x x x x ⎧--⎨--⎩＜…因式分解，得(3)(2)0,(6)(3)0,x x x x -+⎧⎨-+⎩＜…所以 2 3,36,x x -⎧⎨-⎩或＜＜剠所以132x --＜≤或36x ＜„.所以不等式的解集为{|3236}x x x --＜≤或≤＜.18.【答案】证明：因为a ，b ，c 都是正实数，且1abc =，所以112a b +…11b c +=…11a c +=…以上三个不等式相加，得1112a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…，即111a b c++因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“=”不同时成立.111a b c++＜.19.【答案】（1）当12a=时，有不等式25()102f x x x=-+≤，1(2)02x x⎛⎫--⎪⎝⎭∴„，122x∴剟，即所求不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）1()()0f x x x aa⎛⎫=--⎪⎝⎭∵„，0a＞且方程1()0x x aa⎛⎫--=⎪⎝⎭的两根为1x a=，21xa=，∴当1aa＞，即011a＜＜，不等式的解集为1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1aa＜，即1a＞，不等式的解集为1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当1aa=，即1a=，不等式的解集为{1}.20.【答案】设矩形温室的左侧边长为 ma，后侧边长为 mb，蔬菜的种植面积为2mS，则800ab=.所以(4)(2)4288082(2)808648 S a b ab b a a b=--=--+=-+-„当且仅当2a b=，即40a=，20b=时等号成立，则648S=最大值.故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648 m.21.【答案】（1）因为不等式()0f x＞的解集为(1,3)-，所以1-和3是方程()0f x=的两个实根，从而有(1)30,(3)9330,f a bf a b-=-+=⎧⎨=++=⎩解得1,2,ab=-⎧⎨=⎩（2）由(1)4f=，得1a b+=，又0a＞，0b＞，所以1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭4559b a a b =+++… 当且仅当4b a a b =即1,32,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以14a b+的最小值为9. 22.【答案】（1）2560x x --+<∵，2560x x +->∴， (1)(6)0x x -+∴＞，解得6x -＜或1x ＞，∴不等式2560x x --+＜的解集是{| 6 1}x x x -＜或＞. （2）当0a ＜时，()(2)y a x a x =--的图象开口向下，与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =，且2a <，()(2)0a x a a --∴＞的解集为{|2}x a x ＜＜.当0a =时，()(2)0a x a x --=，()(2)0a x a x --∴＞无解.当0a ＞时，抛物线()(2)y a x a x =--的图像开口向上， 与x 轴交点的横坐标为x a =，2x =.当2a =时，不等式可化为22(2)0x -＞，解得2x ≠. 当2a ＞时，解得2x ＜或x a ＞. 当2a ＜时，解得x a ＜或2x ＞.综上，当0a ＜时，不等式的解集是{|2}x a x ＜＜； 当0a =时，不等式的解集是∅；当02a ＜＜时，不等式的解集是{| 2}x x a x ＜或＞； 当2a =时，不等式的解集是{|2}x x ≠； 当2a ＞时，不等式的解集是{|2}x x x a ＜或＞.第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知2()1f x x =+，则[(1)]f f -的值等于（ ） A .2B .3C .4D .5 2.已知函数()1f x x =+，其定义域为{1,0,1,2}-，则函数的值域为（ ） A .[0,3]B .{0,3}C .{0,1,2,3}D .{|0}y y …3.函数0y =的定义域是（ ）A .{|01}x x 剟B .{| 1 1}x x x --＜或＞C .{|01}x x x ≠-＜且D .{}|1 0x x x ≠-≠且4.已知二次函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且函数图像截x 轴所得的线段长为8，则函数()y f x =的零点为（ ） A .2，6B .2，6-C .2-，6D .2-，6-5.若函数()y f x =的定义域是{|01}x x ≤≤，则函数()()(2)(01)F x f x a f x a a =+++＜＜的定义域是（ ）A .1|22a a x x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤B .|12a x x a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭≤≤C .{|1}x a x a --≤≤D .1|2a x a x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤6.如图所示，可表示函数()y f x =的图像的只可能是（ ）ABCD7.已知函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，则a b +的值是（ ） A .1B .1-C .1或1-D .0或18.若()f x 满足()()f x f x -=-，且在(,0)-∞上是增函数，(2)0f -=，则()0xf x ＜的解集是（ ） A .(2,0)(0,2)-UB .(,2)(0,2)-∞-UC .(,2)(2,)-∞-+∞UD .(2,0)(2,)-+∞U9.设函数()f x 与()g x 的定义域是{|1}x x ∈≠±R ，函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于（ ） A .2221x x -B .211x -C .221x -D .221xx - 10.已知2()21(0)f x ax ax a =++＞，若()0f m ＜，则(2)f m +与1的大小关系式为（ ） A .(2)1f m +＜B .(2)1f m +=C .(2)1f m +＞D .(2)1f m +…11.函数()f x =（ ） A .是奇函数但不是偶函数 B .是偶函数但不是奇函数 C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数12.已知2()2f x x x =+，若存在实数t ，使()3f x t x +„对[1,]x m ∈恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A .6B .7C .8D .9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.已知1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x ∈⎧=⎨-∉⎩，当[()]1f f x =时，x ∈__________.14.关于x 的方程240x x a --=有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__________.15.已知函数719()1x f x x +=+，则()f x 的图像的对称中心是__________，集合{}*|()x f x ∈=N __________.16.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数2()2||1f x x x =--.（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数()f x 的解析式写成分段函数； （2）在坐标系中画出()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域.18.（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数x 均有()2(1)f x f x =-+，且()f x 在区间[0]1，上有解析式2()f x x =. （1）求(1)f -和(1.5)f 的值；（2）写出()f x 在区间[2,2]-上的解析式.19.（本小题满分12分）函数2()1ax bf x x +=+是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求实数a ，b 的值.（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值.如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）.20.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x ，且(1)f x -的图像关于点(1,0)对称，当0x ＞时，1()3x f x x=-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足下列条件：①()f x在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()()x D y f x =∈为闭函数.（1）求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b . （2）判断函数31()(0)4f x x x x=+＞是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数y k =+k 的取值范围.22.（本小题满分12分）设函数()f x 的定义域为R ，当0x ＞时，()1f x ＞，对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=g ，且(2)4f =. （1）求(0)f ，(1)f 的值.（2）证明：()f x 在R 上为单调递增函数.（3）若有不等式1()2f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭g ＜成立，求x 的取值范围.第三章测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由条件知(-1)2f =，(2)5f =，故选D . 2.【答案】C【解析】将x 的值依次代入函数表达式可得0，1，2，3，所以函数的值域为{0,1,2,3}，故选C . 3.【答案】C【解析】由条件知10x +≠且0x x -＞，解得0x ＜且1x ≠-.故选C 4.【答案】C【解析】由于函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，所以直线2x =为二次函数()y f x =图像的对称轴，根据二次函数图像的性质，图像与x 轴的交点必关于直线2x =对称.又两交点间的距高为8，则必有两交点的横坐标分别为1246x =+=，2242x =-=-.故函数的零点为2-，6.故选C . 5.【答案】A【解析】由条件知01,021,x a x a +⎧⎨+⎩剟剟，又01a ＜＜则122a ax --≤≤，故选A .6.【答案】D【解析】由函数定义可得，任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D . 7.【答案】B【解析】因为函数2()1f x ax bx =++为定义在[2,1]a a -上的偶函数，所以21a a =-，1a =-，0b =，因此1a b +=-，故选B.8.【答案】A【解析】根据题意可知函数是奇函数，且在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数，对()0xf x ＜，分0x ＞，0x ＜进行讨论，可知解集为(2,0)(0,2)-U ，故选A.9.【答案】B【解析】1()()1f x g x x -=-∵，1()()1f x g x x ---=--∴，1()()1f xg x x +=--∴， 21122()111f x x x x =-=-+-∴，21()1f x x =-，故选B . 10.【答案】C【解析】因为2()21(0)f x ax ax a =++＞，所以其图像的对称轴为直线1x =-，所以()(2)0f m f m =--＜，又(0)1f =，所以(2)1f m +＞，故选C .11.【答案】A【解析】由定义城可知x 因此原式化简为()f x =那么根据函数的奇偶性的定义，可知该函数是奇函数不是偶函数，故选A . 12.【答案】C【解析】由题意知，对任意[1,]x m ∈，2()2()3x t x t x +++…恒成立，这个不等式可以理解为()f x t +的图像在直线3y x =的图像的下面时x 的取值范围.要使m 最大，需使两图像交点的横坐标分别为1和m .当1x =时，3y =，代入可求得4t =-（0t =舍去）.进而求得另一个交点为(8,24)，故8m =.故选C. 二、13.【答案】[0,1][2,3]{5}U U【解析】因为1,[0,1],()2,[0,1],x f x x x ∈⎧=⎨-∉⎩所以要满足元[()]1f f x =，需()[0,1]f x ∈，[0,1]x ∈或2[0,1]x -∈或5x =，这样解得x 的取值范围是[0,1][2,3]{5}U U .14.【答案】(0,4)【解析】原方程等价于24x x a -=，在同一坐标系内作出函数24y x x =-与函数y a =的图像，如图所示：平移直线y a =，可得当04a ＜＜时，两图像有4个不同的公共点，相应地方程240x x a --=有4个不相等的实数根，综上所述，可得实数a 的范围为04a ＜＜. 15.(1,7)- {13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}----- 【解析】因为函数71912()711x f x x x +==+++，则()f x 的图像的对称中心为(1,7)-， 集合{|()}{13,7,5,4,3,0,1,2,3,5,11}x f x *∈=-----N 16.【答案】0【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，因此令12x =-，可知11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别令32x =-，52x =-，可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令1x =-.得(0)0f =，因此可知502f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、17.【答案】（1）22321,0()2||121,0x x x f x x x x x x ⎧--=--=⎨+-⎩＜….（2）图像如图所示.单调增区间为(1,0)-，(1,)+∞， 单调减区间为(,1)-∞-，(0,1). 值域为[2,)-+∞.18.【答案】（1）由题意知(1)2(11)2(0)0f f f -=--+=-=，1111(1,5)(10.5)(0.5)2248f f f =+=-=-⨯=-. （2）当[0,1]x ∈时，2()f x x =； 当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，211()(1)(1)22f x f x x =--=--； 当[1,0)x ∈-时，1[0,1)x +∈， 2()2(1)2(1)f x f x x =-+=-+；当[2,1)x ∈--时，1[1,0)x +∈-，22()2(1)22(11)4(2)f x f x x x ⎡⎤=-+=-⨯-++=+⎣⎦.所以22224(2),[2,1),2(1),[1,0),(),[0,1],1(1),(1,2].2x x x x f x x x x x ⎧+∈--⎪-+∈-⎪⎪=⎨∈⎪⎪--∈⎪⎩19.【答案】（1）2()1ax bf x x +=+∵是奇函数()()f x f x -=-∴， 2211ax b ax bx x -++=-++∴，0b =∴. 故2()1ax f x x =+，又1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵，1a =∴ （2）证明：由（1）知2()1xf x x =+，任取1211x x -＜＜＜，()()()()()()1212121222121211111x x x x x xf x f x x x x x ---=-=++++1211x x -∵＜＜＜，1211x x -∴＜＜，120x x -＜，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，()()120f x f x -∴＜，即()()12f x f x ＜，()f x ∴在(1,1)-上是增函数.（3）单调减区间为(,1),(1,)-∞-+∞.当1x =-时，min 1()2f x =-；当1x =时，max 1()2f x =.20.【答案】（1）由题意知()f x 的图像关于点(0,0)对称，是奇函数，∴(0)0f = 当0x ＜时，0x -＞，1()3x f x x--=--∴， 又∵函数()f x 是奇函数.∴()()f x f x -=-，1()3x f x x=-∴. 综上所述，1(0),()30(0).x x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩（2）2(1)(0)03f f =-=∵＜，且()f x 在R 上单调.∴()f x 在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜，得()()2222f t t f t k ---＜.∵()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t --＜，又∵()f x 是减函数， ∴2222t t k t --＞即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，∴4120k ∆=+＜，得13k -＜.21.【答案】（1）由题意，3y x =-，在[,]a b 上单调递减，则33,,,b a a b b a ⎧=-⎪=-⎨⎪>⎩解得1,1,a b =-⎧⎨=⎩所以，所求区间为[1,1]-.（2）取11x =，210x =，则()()1273845f x f x ==＜，即()f x 不是(0,)+∞上的减函数.取，1110x -=，21100x =，()()12331010040400f x f x =++=＜，即()f x 不是(0,)+∞上的增函数.所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.（3）若y k =+[,]a b ，在区间[,]a b 上，函数()f x 的值域为[,]a b，即a k b k ⎧=+⎪⎨=⎪⎩∴a ，b为方程x k =的两个实根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=-厖有两个不等的实根，故两根均大于等于2-，且对称轴在直线2x =-的右边.当2k -„时，有220,(2)2(21)20,212,2k k k ⎧⎪∆⎪-+++-⎨⎪+⎪-⎩＞＞…解得924k --＜„.当2k -＞时，有220,(21)20,21,2k k k k k k ⎧⎪∆⎪-++-⎨⎪+⎪⎩＞＞…无解.综上所述，9,24k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.22.【答案】（1）因为(20)(2)(0)f f f +=g ，所以44(0)f =⋅，所以(0)1f =， 又因为24(2)(11)(1)f f f ==+=，且当0x ＞时，()1f x ＞，所以(1)2f =.（2）证明：当0x ＜时，0x -＞，所以()1f x -＞，而(0)[()]()()f f x x f x f x =+-=-g ， 所以1()()f x f x =-，所以0()1f x ＜＜，对任意的12,x x ∈R ， 当12x x ＜时，有()()()]()()()1212222121f x f x f x x x f x f x f x x -=⎡-+-=--⎣， 因为120x x ＜＜，所以120x x -＜，所以()1201f x x -＜＜，即()1210f x x --＜， 所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜，所以()f x 在R 上是单调递增函数.（3）因为1()12f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭g ＜，所以11(1)f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜，而()f x 在R 上是单调递增函数，所以111x x ++＜，即10x x+＜，所以210x x +＜，所以0x ＜，所以x 的取值范围是(,0)-∞.。

人教B版高中数学必修一第一章测试题

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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作必修1第一章测试题注意事项： 1.本卷共150分，考试时间120分钟2.将答案写在答题卡的相应位置一、选择题（12 小题，每小题5分）1.有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x 的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{45}x x是有限集. 其中正确的说法是A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D.以上四种说法都不对2.有下列四个命题：①0是空集；②若aN ，则aN ；③集合2|210A x R x x 有两个元素；④集合6|B x Q N x是有限集，其中正确命题的个数是A 、0B 、1C 、2D 、33.已知映射f:AB ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是（） A ．4B ．5C ．6D ．74.如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定5.设1,32352xy ，集合|2,,M m m a b a Q bQ ，那么,x y 与集合M 的关系是A 、,xM y M B 、,x M y MC 、,xM y M D 、,x M y M6.设I 是全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（）A ．P M (C N I)B ．NM (C P I)C ．(M C N I C M I)D ．)()(P M N M7.若{|2},{|1}xMy yP y yx ，则M ∩P （）A.{|1}y yB. {|1}y yC. {|0}y yD. {|0}y y8.设32x x A ，a xx B ，若B A 则a 的取值范围是（）A2aB3aC2aD3a 9.设集合},412|{Z kk xx M，},214|{Z kk xx N，则（）A N MB M N CN M D M N10.已知集合2{|lg(2)},{|2,0}xA x y x xB y y x，R 是实数集，则()R B Ae A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(,0]D ．以上都不对11.已知全集21{|230},{|0},3x u x x xAx x 则U C A（）A ．{|12}x xB ．{|12}x x C ．{|23}x xD ．{|231}x x x 或12.满足M N a b ，的集合M N ，共有（）Ａ．7组Ｂ．8组Ｃ．9组Ｄ．10组二、填空题（小题，每小题分）13.已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,{aba ，又可表示成}0,,{2b a a ，则20042003ba .14.2{|3100}A x xx ，{|121}B x a xa ，U R ，且A C BU ，求实数a 的取值范围.15.设集合723),(,64),(y x y x B y x y x A ，则满足()C A B 的集合C的个数是 .16.（2009江苏卷）已知集合2log 2,(,)Ax xB a ，若AB 则实数a 的取值范围是(,)c ，其中c =.三、解答题（小题，每小题分）17.若集合{x ，xy ，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log 8（x 2＋y 2）的值为多少．18.已知{25}A x x，{121}B x m x m ，B A ,求m 的取值范围。

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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作安徽省舒城中学2011-2012学年度高一新生入学考试数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．32-的倒数是（ ）A ．32 B. 23 C. 23- D. 32-2.计算()221222-+---1（-）=（ ） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．10 3. 将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）A.30°B.45°C.60°D.75°4.实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+-化简后为（ ）A ．7B.﹣7 C ．2a ﹣15D.无法确定5. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）510aA.6折B.7折C.8折D.9折6.若函数xm y 2+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．2->m Ｂ．2-<m Ｃ．2>m Ｄ．2<m7. 设一元二次方程(1)(2)(0)x x m m --=<的两根分别为,αβ，且αβ<，则,αβ满足（ ）A. 12αβ<<<B. 12αβ<<<C. 12αβ<<<D. 1α<且 2β> 8.如图为抛物线2y ax bx c =++的图象，,,A B C 为抛物线与坐标轴的交点，且1OA OC == 则下列关系正确的是（ ）A. 1a b +=-B. 1a b -=-C. 2b a <D. 0ac <9.已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310.已知梯形ABCD 的四个顶点的坐标分别为(1,0)A -，(5,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，直线2y kx =+将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）A. 47-B.29-C. 23-D. 27-二、填空题：(本大题6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分24分.)11.分解因式：2710x x -+＝12. 要使式子2a a+有意义，则a 的取值范围为_________．(15题)13. 已知23102,106,10aba b-===则_________14. 在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，8，则这组数据的中位数是 ．15. 如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是 16. 凸n 边形的对角线的条数记作(4)n n a ≥，例如：42a =，那么：①___________5a =；②____________65a a -=；③____________1n n a a +-=．（4n ≥，用n 含的代数式表示）三、解答题（本题有8个小题，共86分）（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答尽量写出来。

）17．（本题满分6分） 计算：113(()3cos3020113)o π--+---． 18．（本题满分8分）先化简，再求值：241(1)32a a a -⋅---，其中3a =-． 19. （本题满分10分）解方程：2224(35510)0x y x y --+--=20. （本题满分10分 ）五一期间，小红同学到美丽的万佛湖参加社会实践活动，在景点P 处测得景点B 位于南偏东45︒方向；然后沿北偏东60︒方向走100米到达景点A ，此时测得景点B 正好位于景点A 的正南方向，求景点A 与B 之间的距离.（结果精确到0.1米）21.（本题满分12分 ）今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环境意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量（吨） 单价（元/吨） 不大于10吨部分 1.5大于10吨不大于m 吨部分(2050m ≤≤) 2大于m 吨部分 3（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费； （2）记该用户六月份用水量为x 吨，缴纳水费为y 元，试列出y 与x 的函数式； （3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y 元的取值范围为7090y ≤≤，试求m 的取值范围。

22.（本题满分12分） 有3张扑克牌，分别是红桃3、黑桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． ⑴先后两次抽得的数字分别记为和t ，则1s t -≤的概率．⑵甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A 方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B 方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案胜率更高？23.（本题满分13分）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0），与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ． （1）已知AC=3，求OC 的长（2）求点B 的坐标；（3）若AC=a , D 是OB 的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数xky =的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）．24.（本题满分15分 ）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C （5，0），抛物线对称轴l 与x 轴相交于点M ．xy（1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）设点P 为抛物线（5 x ）上的一点，若以A 、O 、M 、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出．．．．点P 的坐标； （3）连接AC ．探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请你说明理由．答题卡一.选择题（每小题4分，合计40分） 12345678910二.填空题（每小题4分，合计24分）11. _________12. _________13. _________14. _________15. _________ 16. _________ 三.解答题 17. 18.A B C 0xy19.20.21.22.y23.xy24.ABC0 x参考答案：一．选择题 1-5 CADAB 6-10 BABDC二．填空题 11. (2)(5)x x -- 12. 20a a ≥-≠且 13. 15414. 8.5 15. 6 16. 5, 4, 1n - 三．解答题17. 1-2….（6分） 18. -1 ....（8分） 19. 解：由题意得：2240355100x y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ ()()12 ············ （4分）由方程（2）得：325y x =-代人（1）式得235100x x -+= · （5分） 解得，5x =或25x =． ·················· （7分）代人得51x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或254x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （10分）20. AB =50(13)+136.6≈ …………（10）分21. 解：（1）六月份应缴纳的水费为：1.5102831⨯+⨯=（元） ······· （3分）（2）当010x ≤≤时， 1.5y x =当10x m <≤时，152(10)25y x x =+-=-当x m >时，152(10)3()35y m x m x m =+-+-=--∴ 1.52535xy x x m ⎧⎪=-⎨⎪--⎩(010)(10)()x x m x m ≤≤<≤> （7分）（3）当4050m ≤≤时，240575y =⨯-=元，满足条件，当2040m ≤<时，3405115y m m =⨯--=-，则7011590m <-< ∴2540m <<综上得，2540m <≤ （12分）22. 解：（1）如下表甲（s ）乙(t)红桃3黑桃4黑桃5红桃3 330-= 431-= 532-= 黑桃4 341-= 440-= 541-= 黑桃5352-=451-=550-=由上表可知：1s t -≤的概率=79。

（2）方案A ：如表甲（花色） 乙(花红桃3 黑桃4 黑桃5 红桃3同色 不同色 不同色 黑桃4 不同色 同色 同色 黑桃5不同色同色同色由上表可得5=9P （甲胜）方案B ：如表甲乙红桃3 黑桃4 黑桃5 红桃3 3+3=6 3+4=7 3+5=8 黑桃4 4+3=7 4+4=8 4+5=9 黑桃55+3=85+4=95+5=10由上表可得4=9P （甲胜）因为5499>，所以选择A 方案甲的胜率更高． 【答案】⑴23⑵A 方案5=9P （甲胜），B 方案4=9P （甲胜），故选择A 方案甲的胜率更高．（1） 23. 解：（1） OC=4，( 2分)（2）)320,0(B ···( 7)分 （3）点O 、P 、C 、D 四点在同一个圆上，理由如下：连接CP 、CD 、DP ，∵OC ⊥AB ，D 为OB 上的中点， ∴OD OB CD ==21，∴∠3=∠4，又∵OP=CP ，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90 ∴PC ⊥CD ，又∵DO ⊥OP ，∴Rt △PDO 和Rt △PDC 是同以PD 为斜边的直角三角形，∴PD 上的中点到点O 、P 、C 、D 四点的距离相等，∴点O 、P 、C 、D 在以DP 为直径的同一个圆上； ·················9分由上可知，经过点O 、P 、C 、D 的圆心1O 是DP 的中点，圆)2,2(1OD OP O ，…………10分 由（2）知：Rt △AOC ∽Rt △ABO ，∴AB OA OA AC =，求得：AB=a 25，在Rt △ABO 中， a a OA AB OB 222255-=-=，OD=a a OB 2255212-=，252==OA OP ∴)4255,45(21a a O -，点1O 在函数x k y =的图象上， ∴5442552k a a =-， ∴aa k 1625252-=…………13分 24. 解：（1） =y 2416(3)55x =--，···········4分 ∴抛物线的对称轴是：3=x ．············· 5分 （2）由已知，可求得P （6，4）． ···································8分提示：由题意可知以A 、O 、M 、P 为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P 的坐标中5>x ，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt △AOM 中，5342222=+=+=OM OA AM ，因为抛物线对称轴过点M ，所以在抛物线5>x 的图象上有关于点A 的对称点与M 的距离为5，即PM=5，此时点P 横坐标为6，即AP=6；故以A 、O 、M 、P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P （6，4）．···································8分⑶ 假设在直线AC 的下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大．设N 点的横坐标为t ，此时点N )452454,(2+-t t t（)50<<t ，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ；由点A （0，4）和点C （5，0）可求出直线AC 的解析式为：454+-=x y ；把t x =代入得：454+-=t y ，则G )454,(+-t t ， 此时：NG=454+-t -（4524542+-t t ）， =t t 520542+-． ························· 12分 ∴225)25(21025)52054(2121222+--=+-=⨯+-=⋅=∆t t t t t OC NG S ACN ∴当25=t 时，△CAN 面积的最大值为225，由25=t ，得：34524542-=+-=t t y ，∴N （25， -3）． ····15 分。

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