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计算机网络技术及应用新教材课后习题答案

计算机⽹络技术及应⽤新教材课后习题答案《计算机⽹络技术及应⽤》第1章认识计算机⽹络参考答案⼀、填空题：1．计算机⽹络是现代计算机技术与通信技术密切组合的产物。

它可以把在区域上分散的单个计算机有机的连接在⼀起，组成功能更强⼤的计算机⽹络，以此来达到数据通信和资源共享的⽬的。

2．计算机⽹络的功能表现在资源共享、信息传递、实时的集中处理、提⾼可靠性、均衡负荷和分布式处理及增加服务项⽬等6个⽅⾯。

3．通常根据⽹络范围和计算机之间的距离将计算机⽹络分为局域⽹、城域⽹和⼴域⽹。

4．从⽹络功能上，计算机⽹络由通信⼦⽹和资源⼦⽹两部分组成。

5．信号可以双向传输，但不能同时进⾏双向传送，只能交替进⾏。

在任何时刻，通道中只有在某⼀⽅向传输的信号，这种通信⽅式叫做半双⼯通信。

6．OSI的会话层处于传输层提供的服务之上，为表⽰层提供服务。

7．在TCP/IP层次模型中与OSI参考模型第四层（运输层）相对应的主要协议有TCP 协议和UDP协议，其中后者提供⽆连接的不可靠传输任务。

8．在传输⼀个字符时，有⼀个起始位，⼀个停⽌位，中间由5~8位组成，这种传输⽅式称为异步传输。

9．报⽂交换和分组交换均采⽤存储转发的传送⽅式。

⼆、选择题：1．公⽤电话⽹属于（C ）。

A．局域⽹B．城域⽹C．⼴域⽹D．因特⽹2．Internet采⽤的是（A ）拓扑结构。

A．⽹状B．树型C．星型D．环型3．⼀座⼤楼内的⼀个计算机⽹络系统，属于（B ）。

A．PAN B．LAN C．MAN D．W AN 4．⼀所⼤学拥有⼀个跨校园中许多办公楼的⽹络，其中⼏座办公楼分布在各个城区，它们组成⽹络教育中⼼，这种⽹络属于（C ）。

A．有线⽹B．⼴域⽹C．校园⽹D．城域⽹5. 计算机⽹络中负责节点间通信任务的那⼀部份称为（ D ）。

A．节点交换⽹B．节点通信⽹C．⽤户⼦⽹D．通信⼦⽹6. 调制解调器（Modem）的主要功能是（ C ）。

A．模拟信号的放⼤B．数字信号的整形C．模拟信号与数字信号的转换D．数字信号的编码7. 在计算机⽹络系统的远程通信中，通常采⽤的传输技术是（C ）。

计算机网络课后习题答案(第四章2)

计算机网络课后习题答案（第四章2）(2009-12-14 18:26:17)转载▼标签：课程-计算机教育21某单位分配到一个B类IP地址，其net-id为129.250.0.0.该单位有4000台机器，分布在16个不同的地点。

如选用子网掩码为255.255.255.0，试给每一个地点分配一个子网掩码号，并算出每个地点主机号码的最小值和最大值4000/16=250，平均每个地点250台机器。

如选255.255.255.0为掩码，则每个网络所连主机数=28-2=254>250，共有子网数=28-2=254>16，能满足实际需求。

可给每个地点分配如下子网号码地点：子网号（subnet-id）子网网络号主机IP的最小值和最大值1： 00000001 129.250.1.0 129.250.1.1---129.250.1.2542： 00000010 129.250.2.0 129.250.2.1---129.250.2.2543： 00000011 129.250.3.0 129.250.3.1---129.250.3.2544： 00000100 129.250.4.0 129.250.4.1---129.250.4.2545： 00000101 129.250.5.0 129.250.5.1---129.250.5.2546： 00000110 129.250.6.0 129.250.6.1---129.250.6.2547： 00000111 129.250.7.0 129.250.7.1---129.250.7.2548： 00001000 129.250.8.0 129.250.8.1---129.250.8.2549： 00001001 129.250.9.0 129.250.9.1---129.250.9.25410： 00001010 129.250.10.0 129.250.10.1---129.250.10.25411： 00001011 129.250.11.0 129.250.11.1---129.250.11.25412： 00001100 129.250.12.0 129.250.12.1---129.250.12.25413： 00001101 129.250.13.0 129.250.13.1---129.250.13.25414： 00001110 129.250.14.0 129.250.14.1---129.250.14.25415： 00001111 129.250.15.0 129.250.15.1---129.250.15.25416： 00010000 129.250.16.0 129.250.16.1---129.250.16.25422..一个数据报长度为4000字节（固定首部长度）。

第7章点集拓扑学练习题参考答案

点集拓扑学练习题参考答案（第7章）一、单项选择题1、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个（）① lindeloff空间②正则空间③紧致空间④可分空间答案：③2、紧致空间中的每一个闭子集都是（）①非紧致子集②开集③紧致子集④以上都不对答案：③3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（）①即开又闭子集②开集③闭集④以上都不对答案：③4、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（）①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集答案：②5、实数空间R的子集{1,2,3,4}A 是（）①闭集②紧致子集③开集④非紧致子集答案：①②6、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（）①T空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间2答案：①7、设X是拓扑空间，A是X的子集，则下列不正确的命题是 ( )①. 若A是序列紧致的，则A是可数紧致的②. A是列紧的当且仅当A是序列紧致的③. 若A是可数紧致的，则A是列紧的④. 若A是紧致的，则A是列紧的答案：②二、填空题（每题1分）1、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .答案：紧致空间2、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .答案：紧致子集3、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间4、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .答案：列紧空间5、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .答案：序列紧致空间6. 当X 为___________________________空间，则X 的闭集是紧致子集；X 为___________________________空间，则X 的紧致子集是闭集；7. X 为__________________________________, 且为序列紧空间时, X 为可数紧空间. 8.Y f →]1,0[:为连续的满射，则Y 是。

拓扑学导论第六章答案(朱培勇)

第六章习题参考解答1. X 为拓扑空间, 为离散空间, 试证明：Y X 为连通的当且仅当任一连续映象必为常值映射. 其中Y 不少于两个元素.:f X Y →证明: 如果()⇐X 不连通，即存在X 的非空开集U 和V 使得U V X =∪并且U V φ=∩取，并且定义映射合于：1y 2y Y ∈:f X Y →12,(),y x U f x y x V∈⎧=⎨∈⎩ 则对于任何W 开于Y ，因为121211212,,,,(),,,U y W y W V y W y W f W X y W y W y W y W φ−∈∉⎧⎪∉∈⎪=⎨∈∈⎪⎪∉∉⎩当时当时当时,当时则连续并且不是常值映射. 这与已知矛盾.:f X Y →()⇒设连续. 为离散空间.:f X Y →Y 如果不是常值映射,即, :f X Y →12,x x X ∃∈,使12()()f x f x ≠.令= ，1V 1\{()}Y f x 21{()}V f x =, 因Y 离散，则与均为Y 中非空开集. 又因为是连续映射, 1V 2V :f X Y →11)与12()f V −为X 中二非空开集，并且(f V −11()f V −∩12()f V −=112()f V V −=∩1()f φφ−=11()f V −12()f V −=∪112()f V V −∪1()f Y X −==.从而，X 被分解成了两个不相交的非空开集11()fV −与12()f V −的并. 因此, X 不连通. □2. 设X 为拓扑空间, E X ⊂, 则E 不连通当且仅当存在两个非空集合A 与B 使得且E A B =∪A B φ=∩.证明: 设()⇐A φ≠,B φ≠,E A B =∪并且A B φ=∩, 则E A B =∪A B =∪即, E 表成了两个不相交的非空闭集A 与B 的并. 由定理6.1.1, E 是不连通的. ()⇒设E 不连通, 由定理6.4.1(1)与(4)的等价性, 存在E 的不相交的两个非空的既开且闭的子集A 与B 使得E A B =∪, 则E E E ==∩()E A B ∩∪()()E A B E =∩∪∩.记,1A E A =∩1B E B =∩, 则(1) 1A φ≠并且1B φ≠.事实上, 若1A E A φ==∩, 则E X A X ⊂−⊂闭,故E ⊂X A −X A =−. 即, E A A φ==∩. 这与A φ≠矛盾. 从而, 1A φ≠. 同理, 1B φ≠.(2) 1A A =并且1B B =.事实上, 1A E A A =⊂∩, 1A A A ⊂=. 反过来, x A ∀∈,∀x 的开邻域U ,必有1U A φ≠∩. 这是因为, 如果1()U A U E A =∩∩∩()E U A =∩∩φ=, 则()E X U A ⊂−∩, 即E ⊂()X U A −∩()X U A =−∩, E ()U A φ=∩∩; 另一方面，因为x A ∈E ⊂并且()U x ∈U ，则x ∈()E U A ∩∩. 这与E ()U A ∩∩ =φ矛盾. 因此, 对∀x 的开邻域U ,必有1U A φ≠∩. 故1x A ∈. 从而, 1A A =.同理,1B B =.即, 存在非空集合1A φ≠, 1B φ≠, 11A B A B φ==∩∩且. □ 11A B E =∪3、证明：一个拓扑空间的任何一个既开且闭的连通子集必为这拓扑空间的一个连通分支(连通区).证明：设A 是拓扑空间X 中既开且闭的连通子集，取x A ∈，并记是包含的连通分支，则. 下证：x C x x A C ⊂x A C =.事实上，如果x A C ≠，则\x B C A =φ≠并且A 与B 为中不相交的两个非空的既开且闭子集, 又x C x C A B =∪，这与连通矛盾. 从而，.x C x A C =4、设拓扑空间只有有限个连通分支，证明：每个连通分支都是X 的既开且闭的子集.证明：设，，…，是拓扑空间1A 2A n A X 仅有的有限个连通分支，则12n X A A A =∪∪ ∪由定理6.1.10和定理6.1.11, ，，…，是拓扑空间1A 2A n A X 中两两不相交的闭子集. , 因为(1)j j ∀≤≤n 1,ni i j i A =≠∪闭于X ，则 j A =\X 1,ni i j i A =≠∪开于X ，即j A 在X 中既开且闭.5、设X 是一个拓扑空间，是一个开集，G X ⊂E 是G 的一个连通区，证明：b b E G ⊂. 其中：与分别是b E b G E 与的边界.G 证明：6、设X 是一个拓扑空间，证明：X 是局部连通的当且仅当，x X ∀∈U ∀∈()x U ，包含U 的连通分支是点的一个邻域.x7、设X 是一个不可数集合，证明：若在X 上赋予有限余拓扑或者可数余拓扑，则拓扑空间X 是局部连通空间.8、证明：局部连通空间的开子空间是局部连通的.9、证明：中的任何一个连通的开子集都是道路连通的.n10、设{|}A αα∈Γ是拓扑空间X 中的一族道路连通，证明：如果对于,αβ∀∈Γ，存在Γ中有限个元121,,,,k k αγγγγβ+== 使得(1)i i k ∀≤≤，有1i i A A γγφ+≠∩，则A αα∈Γ∪.11、设X 是一个拓扑空间，X 称为是局部道路连通的，如果，x X ∀∈U ∀∈()x U ，∃点的道路连通邻域V U ; x ⊂X 的一个子集称为是局部连通的，如果它作为X 的子空间是局部道路连通的. 试证明如下一些结论：（1）每个局部道路连通空间都是局部连通空间；（2）如果是从局部道路连通空间:f X Y →X 到拓扑空间Y 的一个连续开映射，则是Y 的局部道路连通子集；()f X （3）积空间X ×Y 是局部道路连通空间当且仅当X 与Y 都是局部道路连通空间；（4）局部道路连通空间X 的开子集是道路连通的当且仅当是G G X 的连通子集.12. 证明: 中开集G 为道路连通的当且仅当G 为连通的.nR 证明: 因为道路连通空间是连通的,所以, 是连通空间. ()⇒G ()⇐由定理4.10,每一点都有道路连通邻域的连通空间是道路连通的,因此,只需证明: ,0,x G δ∀∈∃>0,(),O x G δ⊂且道路连通.()O x δ事实上，因,故G ⊂开nR ,x G δ∀∈∃>使得()y O x δ∀∈.定义映射.其中::[0,1]f G →()(1),[0,1]f t t x ty t =−+∈:[0,1]f G →连续, (0),f x =(1)fy =且((),)f t x ρ===(,)(,).t y x y x ρρδ=≤<从而, 是中连接与f ()O x δx y 的道路.即, 道路连通.由定理 4.10, 是道路连通空间. □()O x δG。

计算机网络技术基础课后习题参考答案

高等院校计算机基础教育规划教材《计算机网络技术基础》课后习题参考答案习题1参考答案一、选择题1.B2.B3.B4.A5.C二、填空题1.资源，通信2.局域网，城域网，广域网3.计算机系统数据通信系统网络软件及协议4.金税金桥金关5.服务器三、思考题1.计算机网络根据不同的分类标准可分为许多类别，如根据网络的拓扑结构分类为星型网，环型网等，根据网络交换方式分为电路交换网，分组交换网等。

在这些分类标准中，最常用的是根据网络的覆盖范围分类，这种分类方法可以很好的反映不同类型网络的技术特征。

由于网络覆盖的地理范围不同，它们所采用的传输技术也就不同，因而形成了不同的网络技术特点与网络服务功能，使用这种方法，可以将计算机网络分为3类：局域网、城域网和广域网。

2.网络拓扑结构反映了网络中各实体之间的结构关系，有星型，总线，环状，树状和网状等，其中最常用最基本的是星型，总线，环状3种。

星型结构存在一个中心结点，每台计算机直接与中心节点相连，形成星型的拓扑结构，在这种拓扑结构中，任何两台计算机之间的通信都要通过中心节点来转接。

总线型结构中，LAN的节点均连接到一个单一连续的物理链路上，所有节点均在同一线路中通信。

环形结构是工作站，共享设备通过通信线路构成一个闭合的环。

信息在网络中沿固定方向流动，两节点间有唯一的通路，可靠性高。

习题2参考答案一、选择题1.A2.C3.A，E4.B5.A二、思考题1.在数字通信信道上，直接传输基带信号，称为基带传输。

基带传输是一种重要的传输方式，它要求形成适当的波形，使数据信号在带宽受限的信通上通过时不会由于波形失真而产生码间干扰。

宽带是指比音频带宽更宽的宽带。

使用这种宽频带进行传输的系统，称为宽带传输系统。

它可以容纳全部广播，并可进行高速数据传输。

一般通信线路在远距离传输时，只适合传输一定的频带信号，不适于基带信号。

由于电话网是目前覆盖面最广的通信方式，因此，利用模拟通信道进行数据通信也是最普遍使用的通信方式之一。

拓扑答案

练习 9 (9.). 证明
• 设 X 是拓扑空间，G 是 X 的开集．证明 G ∩ A− ⊆ (G ∩ A)−．
• 任取 x ∈ G ∩ A−，则对 x 的任意的开邻域 U，有 U ∩ A ̸= 0/ ．
– 因 U ∩ G 是 x 的开邻域，所以 (U ∩ G) ∩ A ̸= 0/ ，即 U ∩ (G ∩ A) ̸= 0/ ， – 所以 x ∈ (G ∩ A)−．
练习 2 (2.). • 设 X = {x, y, z}，下列子集族是不是 X 的拓扑？如果不是，请添加最少子集使它们成为拓扑．
（1） {X, 0/ , {x}, {y, z}}；（2） {X, 0/ , {x, y}, {x, z}}；（3） {X, 0/ , {x, y}, {x, z}, {y, z}}．
– 又 x ∈ Y ，所以 x ∈ DX (A) ∩Y ． – 反之，任取 x ∈ DX (A) ∩Y ，则存在 x 在 X 中的邻域 U 使得 U ∩ (A \ {x}) ̸= 0/ ． – 因 A ⊆ Y ，所以 U ∩(A\{x}) = U ∩(Y ∩ (A \ {x})) = (U ∩Y )∩(A\{x}) ̸= 0/ ，因此 x ∈ DY (A)．
– 由于 B = X，所以 A = A ∩ B = A ∩ B．又由于 A = X，得 X = A ∩ B，因此 A ∩ B 稠密．
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连续映射练习 18 (1.).
• 设 f : X → Y ，证明下列命题等价：
（1） f 连续；
（2）对 X 的每一子集 A，有 f (A−) ⊆ [ f (A)]−；（3）对 Y 中的每一子集 B，有 f −1(B−) ⊇ [ f −1(B)]−；（4）对 Y 中的每一子集 B，有 f −1(B◦) ⊆ [ f −1(B)]◦．

拓扑空间复习题及答案

拓扑空间复习题及答案# 拓扑空间复习题及答案一、选择题1. 以下哪个不是拓扑空间的公理？A. 并集公理B. 交集公理C. 子集公理D. 空集公理答案：C2. 一个集合和它的幂集构成的拓扑空间是：A. 离散拓扑B. 幂集拓扑C. 可数拓扑D. 欧几里得拓扑答案：A3. 在拓扑空间中，以下哪个概念与开集密切相关？A. 闭集B. 邻域C. 极限点D. 边界点答案：B二、填空题1. 一个集合 \( X \) 上的拓扑 \( \tau \) 必须满足三个条件：\( \emptyset \) 和 \( X \) 属于 \( \tau \)，任意个开集的并集仍属于 \( \tau \)，以及任意有限个开集的\( \)________。

答案：交集2. 在拓扑空间 \( (X, \tau) \) 中，如果 \( A \subseteq X \) 且\( A \) 的任意点都有一个开集 \( U \) 使得 \( U \cap A = A \)，则称 \( A \) 是 \( X \) 中的________。

答案：闭集三、简答题1. 解释什么是连续映射，并给出一个例子。

答案：连续映射是指在拓扑空间 \( (X, \tau_X) \) 和 \( (Y,\tau_Y) \) 之间，如果映射 \( f: X \rightarrow Y \) 满足：对于任意 \( Y \) 中的开集 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 是 \( X \) 中的开集，则 \( f \) 是连续的。

例如，考虑实数集\( \mathbb{R} \) 上的欧几里得拓扑，映射 \( f(x) = x^2 \) 是连续的，因为对于任意开区间 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 总是\( \mathbb{R} \) 中的开区间。

2. 什么是紧性？请给出一个紧空间的例子。

答案：紧性是拓扑空间的一个性质，指的是空间中的任意开覆盖都存在有限的子覆盖。

课后部分习题参考答案

部分习题参考答案：第一讲思考题习题2.有人说“我在说谎”，他是否属于所有说谎人所组成的集合？试分析说明之。

解：设说谎人集合为A ,诚实人集合为B ，则这人既不属于A ,也不属于B 。

因为①如果属于A ，他现在说“我在说谎”，说明他是诚实人了，则不属于A ，故矛盾。

②如果属于B ，他现在说“我在说谎”，说明他是说谎人了，则不属于B ，故又矛盾从而可知这人既不属于A ,也不属于B 。

这其实说的是罗素的“理发师悖论”，这也说明集合是不能够随便定义的！习题4.证明长度为1的线段和长度为2的线段的基数相同。

证明1：设△ABC 的中位线为1l 和△ABC 底边2l ，且线段12,l l 的长度分别是为1和2，设A 是线段1l 上的点集，B 是线段2l 上的点集，如图所示，显然A~B ，故结论成立。

证明2：设长度为1的线段为区间A=(0,1)，长度为2的线段为B=(0,2)，建立A 到B 的一一映射：y=2x ，这样A~B ，即基数相等。

习题6.求集合{1,2,3,,100}M = 的所有子集的元素和之和（规定空集的元素和为0）。

解：由幂集()P M （即M 的所有子集组成的集合）的元素可知，要求幂集()P M 的元素和之和只要知道集合M 的每个元素在幂集中出现的次数即可求得，下面就来求各元素出现的次数：①幂集()P M 中的空集∅，个元素出现的次数为0，②幂集()P M 中的单个元素集合如{1}，每个元素出现的次数为099C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取0个元素，故每个元素出现的次数为099C ；③幂集()P M 中的两个元素集合如{1,2}，每个元素出现的次数为199C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取1个元素，故每个元素出现的次数为199C ；以此类推……..，有④幂集()P M 中的100个元素集合如{1,2,,100} ，每个元素出现的次数为9999C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取99个元素，故每个元素出现的次数为9999C ；所以幂集()P M 的元素和之和为：019999999999(123100)()50502S C C C =+++++++=⨯习题7.证明：由直线上互不相交的开区间作为集A 的元素，则A 至多为可数集。

点集拓扑学第二章部分习题参考答案

点集拓扑学第⼆章部分习题参考答案P73 第2.1节3．设(),X ρ是⼀个的度量空间,证明: (1) X 的每⼀个⼦集都是开集;(2) 如果Y 也是⼀个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ?和任意顶的x A ∈,取1 4ε=,则(){},B x x A ε=?,所以A 是开集.(2) 设:f X Y →为任⼀映射,U ∈T Y,由(1)知,()1f U -∈TX,所以,f 是连续映射.6.从殴⽒平⾯2到实数空间的映射2,:m s →定义为对任何()12,x x x =，(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+证明m 和s 都是连续函数。

（提⽰：分别⽤2的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.）证先证m 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意⼀点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-(其中1ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,m B x B m x εε?,即m 在2x ∈对于的度量1ρ⽽⾔是连续的,由于2x ∈是任意的,从⽽对于2的度量1ρ⽽⾔连续.由习题5的结论知,m 对于2的度量ρ⽽⾔是连续的.下⾯再证s 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意⼀点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-(其中2ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,s B x B s x εε?,即s 在2x ∈对于2的度量2ρ⽽⾔是连续的,由于2x ∈是任意的,从⽽对于2的度量2ρ⽽⾔连续.由习题5的结论知,s 对于2的度量ρ⽽⾔是连续的.P73 第2.2节2. 对于每⼀个n +∈,令{}n A m m n +=∈≥,(1) 证明P ={}{}n A n +是正整数集+的⼀个拓扑;(2) 写出1+∈的所有开邻域.(1) 证显然1,A +=∈P .⼜n A ??=?∈P ,1,2,n =.任意,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ?=∈P ,对任意的P 1?P ，{}11min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ，因此P 为+的拓扑.(2) 1+∈的唯⼀开邻域为1A +=.7. 设P 1和P 2是集合X 的两个拓扑,证明P1P 2也是X 的⼀个拓扑.举例说明P1P 2可以不是X 的拓扑.证若P 1和P2都是X 的拓扑,,由于,X ?∈P 1,P2,所以,X ?∈P1P 2;任意,A B ∈P 1,P 2,则A B ?∈P 1,P2,所以A B ?∈P1P 2;对任意的P '?P 1P2,即P '?P1,P2,则'A T A ∈∈P 1,P2,所以'A T A ∈∈P 1?P 2. 因此P 1?P 2是X 的拓扑.例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =?, P {}{}{}{}2,,,,,,b a c a b c =?,显然, P1,P2都是X 的拓扑,P1P2{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =?,因{}{},a b ∈P 1?P2,{}{}{},a b a b =??P1P 2,因此P 1?P 2不是X 的拓扑.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P2,,U Y =或?,所以()1,fU X -=或?,它们都属于P 1,所以f 连续.(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P2)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P 2 ,(){}()11x f U f U x --∈=∈P1,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73 第2.4节2. 设X 是⼀个拓扑空间,,A B X ?,证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ??,则B 是⼀个闭集.证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈Ux,有{}()U A x ?-≠?,由{}{}(){}A x A x x -=--,从⽽{}(){}{}U A x x ?--≠?,即x 是集合{}A x -的凝聚点.(2) 因为()d A B A ??,所以()()d B d A B ??,即()d B B ?,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ?,()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?.证 “必要性”若Kuratovski 公理成⽴，则对任意,A B X ?，()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ?=?=?=?-?；“充分性”若对任意,A B X ?，有()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?，则令A B ==?，有()()()()()()******c c c c c c =?-?=???=?；令A B =，有()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ??=-?=，并且()()()***c c A c A ?，所以()()()***cc A c A =。

基础拓扑学讲义1.1的习题答案

习题记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族{}1\A ,A S U U τ=⊂是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑；（2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理；（3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间；（4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的；（5）说明(),R τ不满足2C 公理。

证明：（1）○1,A U R R U A ττ=∅=⎫⎫⇒∅∈⇒∈⎬⎬=∅=∅⎭⎭所以R 和∅都含在τ中 ○2()U A U A λλλλλλλ∈Λ∈Λ∈Λ-=-()0000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλλλλλλλλλλλλλλ∈Λ∈Λ∈Λ∈Λ∈Λ∀∈-⇔∃∈Λ∈-⇔∈∉⇔∈∉⇔∈-使U A λλλλτ∈Λ∈Λ-∈∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中○3()()()()11221212\\\U A U A U U A A =()()()()11221122112212121212\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ∀∈⇔∈-∈-⇔∈∉∈∉⇔∈∉⇔∈()()1212\U U A A τ∈∴τ中两个成员的交集仍在τ中综上所述：τ是R 上的拓扑（2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A这样我们就可以在1E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈ 则22\U A 为b 的一个开邻域且()()1122\\U A U A =∅∴(),R τ满足2T 公理由题意可知S 是闭集，a S ∀∉有理数如果W 是S 的任意一个开邻域因为S 为全集，所以S 的开邻域W 总会与a 的开邻域相交因此在(),R τ中，S 与a 不存在不想交的开邻域，故不满足3T 公理（3）x R ∀∈，做x 的一组可数邻域{}11,n U x x x Q n n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则{}n U 是x 的一个可数邻域对x 的任一开邻域U ，U 为R 中开集(),\\x a b S U S ∈⊂当n 充分大，(),\\n U a b S U S ⊂⊂所以{}n U 是x 的一个可数邻域基说明(),R τ满足1C 公理显然Q R ⊂x R ∀∈，x 的任一开邻域\U S()\U S Q x QR Q≠∅⇒∈⇒⊂所以Q R =所以Q 是(),R τ的可数稠密子集，所以(),R τ是可分的（4）设A S ⊂()\\R S A 是(),R τ的开集∴有()\\R S A S A =是(),S S τ的开集∴S 的每个子集都是(),S S τ的开集 ∴(),S S τ是离散拓扑空间，S 不可数 ∴从而(),S S τ是不可分的（5）假如(),R τ满足2C 公理2C 公理具有遗传性则(),S S τ也要满足2C 公理2C 空间是可分空间则(),S S τ是可分的与(),S S τ不可分矛盾了 ∴(),R τ不满足2C 公理设A 和B 都是拓扑空间X 的子集，并且A 是开集.证明A B A B ⊂.证明：对x AB ∀∈，即x A ∈且x B ∈令U 是x 的任一开邻域则UA 也是x 的开邻域因为x B ∈ 所以()U A B ≠∅ 即()UAB ≠∅所以x A B ∈，所以A B A B ⊂设12,,,n A A A 都是X 的闭集，并且1ni i X A ==.证明B X ⊂是X 的闭集⇔i B A 是()1,2,,i A i n =的闭集.证明：()⇒1,2,,i n ∀=有()Ci i i A BA B A -=(),i i i iC Cix A BA x A x BA xB x B x B A ∀∈-⇔∈∉⇔∉⇔∈⇔∈又B 是X 的闭集∴C B 是X 的开集从而i B A 是i A 的开集 ∴i B A 是i A 的闭集 ()⇐因为i BA 是()1,2,,i A n 的闭集故1,2,,i n ∀=，存在X 的闭集i B ，使i ii BA B A =，而()()111111nn n n n ni ii i i i i i i i i i i B B A B A B A B X B ======⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以B 是X 的闭集（有限多个闭集的并还是闭集）设{}n x 是(),c R τ中的一个序列.证明：n x x →⇔存在正整数N ，使得当n N >，n x x =.证明：()⇐显然的()⇒ 假设当n N >时，n x x =不成立那么可找到{}n x 的无穷子序列{}k n x ，{}()1,2,k n x x k =={}\k n R x 为x 的一个开邻域因为lim n x x x →∞=对x 的开邻域{}\k n R x 会{},,\k n n K n K x R x ∃>∈ 与{}\k k n n x R x ∉矛盾所以存在正整数N ，使得当n N >，n x x =证明：A 是拓扑空间X 的稠密子集⇔X 的每个非空开集与A 相交非空. 证明：()⇒因为A 是X 的稠密子集所以A X =故对x A ∀∈，x 的每个开邻域与A 都有交点从而X 的每个非空开集与A 相交非空 ()⇐因为X 的每个非空开集与A 相交非空故对x X ∀∈，X 的每个开邻域与A 都有交点所以x A ∈，即X A ⊂ 又因为A X ⊂，所以A X = 所以A 是X 的稠密子集若A 是X 的稠密子集，B 是A 的稠密子集，则B 也是X 的稠密子集.证明：令U 是X 的任一非空开集因为A 是X 的稠密子集所以U A ≠∅从而UA 是A 的非空开集又因为B 是A 的稠密子集，则()UB U A B =≠∅所以B 也是X 的稠密子集设:f X Y →是映射，证明下列条件互相等价：（1）f 是连续映射；（2）对X 的任何子集A ，()()f A f A ⊂；（3）对Y 的任何子集B ，()()11fB f B --⊂.证明：()()12→欲证()()f A f A ⊂即()y f A ∀∈，要有()y f A ∈ 设V 为y 的任一开邻域因为f 是连续映射所以()1f V -为x 开集()1fy A -∈，()()11f y f V --∈又因为()1f V A -≠∅所以()()1f f V A -≠∅即()()()()()()()11ff V A f f V f A V f A y f A --==⇒∈所以()()f A f A ⊂ ()()23→由（2）得，()()()()11f f B f f B B --⊂=所以()()11fB f B --⊂()()31→B 是Y 的闭集，且()()()111f B f B f B ---⊂=所以()1fB -是X 的闭集由定理可得，f 是连续映射。

周振荣版拓扑学第2章拓扑空间课后答案

λ∈Λ
Tλ ．
｡．显然∅, X ∈ T ；｢．∀U1 , U2 ∈ T ，则U1 , U2 ∈ Tλ ，由于Tλ 是拓扑，有U1 ∩ U2 ∈ Tλ ，所以U1 ∩ U2 ∈ T ；｣．∀A ⊆ T ，则A ⊆ Tλ ，由于Tλ 是拓扑，有 U ∈ Tλ ，从而 U ∈ T．
U ∈A
T ，由于T 是拓扑，有
U ∈A
U ∈ T ⊆ T ∗．
（Ｒ）设∞ ∈ X ∗ 的开邻域系为U∞ ，则U∞ = {X ∗ }．
Ｓ练习0.7. （Ｑ）设
n
1 2
Байду номын сангаас
d1 (x, y ) =
i=1
(xi − yi )
2
,
其中x = (x1 , · · · , xn )，y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn ，证明d1 是Rn 的度量．（Ｒ）设
∞ i=1
2−i ·
|xi −yi | 1+|xi −yi | ，其
中x = (xi ), y = (yi )．证明dF 是Rω 上的度量（dF 叫ｆｲ･｣ｨ･ｴ度量，Rω 上装备了ｆｲ･｣ｨ･ｴ度量后叫ｆｲ･｣ｨ･ｴ空间）．
t Proof. 提示：只需证明三角不等式．为此只需注意到函数 1+ t 当t > 0是单调增函数即可．
¯(x, y ) = min {|x − y |, 1}，在RΛ 上定义练习0.13. 在R上定义d ¯(xλ , yλ )|λ ∈ Λ , d(x, y ) = sup d ¯都是度量，其中d ¯叫R的标准有界度量，d叫RΛ 的其中x = (xλ ), y = (yλ )，证明d与d Λ 一致度量．（R 上由一致度量诱导的拓扑叫一致拓扑．） ¯是度量．因为正定性和对称性显然，所以只需证明三角不等 Proof. 首先，d ¯ 式．事实上，d(x, z ) = min {|x − z |, 1}， ¯(x, y ) + d ¯(y, z ) = min {|x − y |, 1} + min {|y − z |, 1} d = min {|x − y | + |y − z |, |x − y | + 1, |y − z | + 1, 2} ¯(x, z ). ≥ min {|x − y | + |y − z |, 1} ≥ min {|x − z |, 1} = d ¯满足三角不等式，所以有其次证明d是度量．同样只需证明三角不等式．因d ¯(xλ , zλ )|λ ∈ Λ d(x, z ) = sup d ¯(xλ , yλ ) + d ¯(yλ , zλ )|λ ∈ Λ ≤ sup d ¯(xλ , yλ )|λ ∈ Λ + ≤ sup d ¯(yλ , zλ )|λ ∈ Λ ≤ sup d = d(x, y ) + d(y , z ).

点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

点集拓扑学期末考试一、单项选择题（每题1分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④8、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④9、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（） ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③34、设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案：③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案：④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案：②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（）①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案：①40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案：④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案：③45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：③46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（）① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（） ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（） ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（） ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案：②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①62、整数集Z 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①63、无理数集是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案：③66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：①67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案：④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案：③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案：④71、下列叙述中正确的个数为（）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的；（Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的（Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②二、填空题（每题1分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ= ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为答案：{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个答案：开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个答案：闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个；答案：不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个；答案：不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个答案：不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个；答案：可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;答案：有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个；答案：不连通空间.三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）答案:√ 理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集. 证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的，所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂，由于Z Y A ⊂⊂，所以Z B A B φ⋂⊂⋂=，因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明：若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾，所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明：若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通，所以A B A ⋂=，故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明：若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。

第5章点集拓扑学练习题参考答案

点集拓扑学练习题参考答案(第5章)一、单项选择题1、实数空间R( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③2、整数集Z作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③3、有理数集Q作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③4、无理数集作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③5. 实数集合R的可数补空间是)3()2()1(空间A)4(T可分空间空间空间Lindeloff12答案：(4)6、2维欧氏间空间2R（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③7、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①平庸性②可分性③离散性④第一可数性公理答案：②8. 下列拓扑学的性质中，对开子空间不具有可遗传性的是（）① 第一可数性公理 ② 第二可数性公理 ③ 可分性 ④ Lindelorff答案：④二、填空题1、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理2、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质3、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；答案：稠密子集4、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个；答案：可分空间5、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个；答案：Lindel Öff 空间6、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质 P 为 ;答案：对于开子空间可遗传性质7、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质 P 为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质8. Lindelorff 空间的每一个都是Lindelorff ；这说明Lindelorff 空间具有 . 闭子空间，闭遗传9. 每一个可分的度量空间都满足公理；每一个正则且正规的空间一定是空间.第二可数；完全正则三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（）答案：√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满足第一可数性公理.2、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案：√理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的子空间Y 也满足第二可数性公理.3、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（）答案：√理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.4．度量空间中任一不可数子集，必含有凝聚点。

点集拓扑习题与参考答案

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题1分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案：③2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：①4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：③7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④8、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④9、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案：④11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案：②12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d答案：④13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案：①16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：④18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（）①φ②Q③R -Q④R答案：①20、在实数空间中，有理数集Q的边界()∂是（）Q①φ②Q③R -Q④R答案：④21、在实数空间中，整数集Z的内部Z是（）①φ②Z③R-Z④R答案：①22、在实数空间中，整数集Z的边界()∂是（）Z①φ②Z③R-Z④R答案：②23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：③24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（）①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)答案：③25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X = ③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d=B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案：①33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T是X 的拓扑，则（）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-答案：③34、设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案：④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案：②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（）①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案：③39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案：①40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案：④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：③46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（） ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=答案：③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案：②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=答案：②50、设{1,23}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案：①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=答案：②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=答案：④53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =答案：②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（）① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案：②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①62、整数集Z 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①63、无理数集是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案：③66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：①67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案：④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案：③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案：④71、下列叙述中正确的个数为（）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的；（Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的（Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②72、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案：③73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案：③74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③75、无理数集作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③作为实数空间R的子空间（）76、正整数集Z+①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③作为实数空间R的子空间（）77、负整数集Z-①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③78、2维欧氏间空间2R（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③79、3维欧氏间空间3R（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理答案：②81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①第一可数性公理②连通性③第二可数性公理④平庸性答案：②82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①第一可数性公理②可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性答案：②83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理答案：②84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：①85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：①86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间答案：①87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：①92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：③93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：③94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：①95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（） ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：②96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案：④97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案：④98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间答案：④99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案：④100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案：④101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案：④二、填空题（每题1分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ; 答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案：{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案：{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案：{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案：φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ; 答案：{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;答案：开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个；答案：不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个；答案：不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个；答案：不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个；答案：可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个；答案：不连通空间.30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;答案：第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案：可遗传性质33、设D是拓扑空间X的一个子集，且D X,则称D是X的一个；答案：稠密子集34、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个；答案：可分空间35、设X是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X是一个；答案：LindelÖff空间36、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个开子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案：对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质38、设X是一个拓扑空间，如果T空间;则称X是一个答案：X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X是一个拓扑空间，如果T空间;则称X是一个1答案：X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X是一个拓扑空间，如果T空间;则称X是一个2答案：X中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交T空间称为；41、正则的1答案：3T 空间42、正规的1T 空间称为；答案：4T 空间43、完全正则的1T 空间称为；答案： 3.5T 空间或Tychonoff 空间三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而()d A φ=. 5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （）答案：×理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （）答案：√理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )答案：√理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（）答案：√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（）答案：√理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（）答案：√理由：由于X满足第一可数性公理，所以对x Y∀∈,X在点x处有一个可数邻域基Vx ，因为Y是X的子空间，则{|}V |Vx Y xV Y V=⋂∈是Y在点x的一个可数邻域基，从而X的子空间Y也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}X=，{,,{2},{3},{2,3}}Xφ=T，则(,)X T是3T空间.( ) 答案：×理由：因为{1,3}是X的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是3T空间.注：也可以说明X不是1T空间．13、设{1,2,3}X=，{,,{1},{2},{1,2}}T Xφ=，则(,)X T是3T空间.( ) 答案：×理由：因为{2,3}是X的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是3T空间.注：也可以说明X不是1T空间．14、设{1,23}X=，，{,,{1},{3},{1,3}}Xφ=T，则(,)X T是1T空间.( ) 答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是1T 空间．注：也可以考虑点２和点３.15、设{1,23}X=，，{,,{1},{3},{1,3}}Xφ=T，则(,)X T是4T空间.( ) 答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是1T 空间．故(,)X T是4T空间.注：也可以考虑点２和点３.16、3T 空间一定是2T 空间.（）答案：√理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.（）答案：√理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，这说明X 是正则空间，因此X 是3T 空间.四．名词解释(每题2分)1．同胚映射答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4．拓扑空间(,)T X 的基答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B中的某些元素的并，则称B是拓扑T的一个基. 5．闭包答案：设X是一个拓扑空间，A X⊂.集合A与集合A的导集()d A的并()⋃称为集合A的闭包.A d A6、序列答案：设X是一个拓扑空间，每一个映射:→叫做X中的一个S Z X+序列.7、导集答案：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集,A B,使得A B X⋃=,则称X是一个不连通空间.9、连通子集答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集.10、不连通子集答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间，则称Y是X的一个不连通子集.A空间11、1答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称A空间.这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A空间12、2答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A空间.满足第二可数性公理的空间，简称为213、可分空间答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间.T空间：14、答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间.15、1T 空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1T 空间.16、2T 空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X 是2T 空间.17、正则空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.18、正规空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间.19、完全正则空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.五．简答题（每题4分）2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.13、试说明实数空间R 是可分空间.答案: 因为Q 是可数集，且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交，因此R Q =，故实数空间R 是可分空间.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答案：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设A 是X 的任何一个子集，若A 是空集，则()d A φ=，从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集，则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=，由于X 是1T 空间，从而{}U x -是开集，故{}(())U x d A '-⊂,于是(())U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域，故(())d A '是开集，因此()d A 是闭集.六、证明题（每题8分）2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂. 证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集，而}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.证明：设X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基.由于:f X Y →是一个开映射，{()|}B B f B B =∈是由Y 中开集构成的一个可数族. …………………………………………………………3分下面证明B 是Y 的一个基.设U 是Y 的任意开集，则1()f U -是X 中的一个开集.因此存在1 B B ⊂,使得11() B B f U B -∈=.由于f 是一个满射，所以有11(())() B B U f f U f B -∈==,从而U 是B 中某些元素的并，故B 是Y 的一个基.这说明Y 也满足第二可数性公理. ……8分12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

拓扑学复习题与参考答案

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d8、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d9、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（）① φ ② Q ③ R -Q ④ R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（）① φ ② Q ③ R -Q ④ R21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（）① φ ② Z ③ R -Z ④ R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（）① φ ② Z ③ R -Z ④ R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X = ③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-34、设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ= ③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（） ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的；（Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的（Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 78、2维欧氏间空间2R （）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 79、3维欧氏间空间3R （）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 平庸性 ② 连通性③ 离散性 ④ 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 第一可数性公理 ② 连通性③ 第二可数性公理 ④ 平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 第一可数性公理 ② 可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（） ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（）① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（）① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()d A= ;7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()d A= ;9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;10、设{1,2,3}X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}=,则X的子集{1,2}A=的内部T Xφ为 ;11、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}T Xφ为 ;12、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}为 ;13、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}T Xφ为 ;14、设{,,}=,则X的平庸拓扑为 ;X a b c15、设{,,}=,则X的离散拓扑为 ;X a b c16、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3}T XφX=,X的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}为 ;17、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}为 ;18、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集()f X的一个同胚，则称映射f是一个 .19、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 .20、设,→是一个映射，若X中任何一个开集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Yf U是Y中的一个开集，则称映射f是一个;()21、设,→是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Y()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为；42、正规的1T 空间称为；43、完全正则的1T 空间称为；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（）17、4T 空间一定是3T 空间.（）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的内点3、集合A 的内部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

熊金城著的拓扑学部分习题解答II

(3)设 Y 是拓扑空间 X 的一个子空间. A ⊂ Y .证明
① int X ( A) = intY ( A) ∩ int X (Y )
证先证 int X ( A) ⊂ intY ( A) ∩ int X (Y )
设 a ∈ int X ( A) ，则存在
X
的开集
U
X a
使得
a
∈U
X a
⊂
A ，而
(2)如果Wy 是点 y 在 X 中的一个邻域子基，则Wy Y 是点 y 在 Y 中的一个邻域子基。证设 G 是 y 在 Y 中的开邻域,则存在 X 的开集U ,使得 G = U ∩Y .因Wy 是点 y 在 X 中的一个邻域子基，存在 L1, L2 , , Ln ∈Wy ，使得 y ∈ L1 ∩ L2 ∩ ∩ Ln ⊂ U ,于是
Y
i−1 (U ) = U ∩ Y ∈T1 ，即V ∈T1 ，这表明T1 ⊃ T Y .
6. 设 X 和 Y 是两个拓扑空间 . 证明映射 f : X → Y 是一个连续映射当且仅当 f : X → f ( X ) 是一个连续映射。
证
必要性设 ( X ,τ1 ) ,(Y ,τ 2 ) ，若 U 是 f ( X ) 的开集，则 ∃G ∈τ 2 ，使得
O ( x,ε ) ⎯ψ≅⎯→ O (0,1) ⎯≅g⎯→
n ，ψ ( y1, y2 ,
,
yn
)
=
1 ε
(
y1
−
x1,
y2
−
x2
,
, yn − xn )
2.如果 Y 是拓扑空间 X 的一个开(闭)子集,则 Y 作为 X 的子空间时特别称为 X 的开(闭)子

拓扑学导论答案朱培勇

第四章习题参考解答1. 设B 为拓扑空间在的一个拓扑基, 则(,)X T X 为紧空间当且仅当由B 中开集组成的任意开覆盖存在有限子覆盖.证明 (⇒)是显然的，我们只需证().⇐设ϕ是生成拓扑基B 的拓扑子基，由于B 中元构成的开覆盖存在有限子覆盖，而ϕ⊂B ，所以ϕ中元构成的每一个开覆盖存在有限子覆盖，由Alexander 子基定理，X 为紧空间.2. 证明: 拓扑空间中有限个紧子集的并集也是紧集. 举例说明无限个紧子集的并集未必是紧的.证明设是拓扑空间1,,k A A X 中有限个紧集，令1k i i A A ==∪. 若U 是A 的一开覆盖，则i ∀(1i k ≤≤), . 由的紧性，存在i A A ⊂⊂∪U i A 1{,,i i i }s is U U ⊂U ，有1i i s i j A U =⊂∪(其中), 则i s ∈ 111i s k k i i i j ij A A U ====∪⊂∪∪. 即{1,1,2,,ij i U j s i ≤≤= }k 是U 的有限子覆盖. 从而，A 是X 中紧集.举例：{[,]}n n n −∈ 是实直线中无限个紧集，，但不是紧的. 事实上有一个开覆盖1[,n n n ∞==∪− ] {(,)}n n n −∈ 没有有限子覆盖，所以不紧.3. 证明: (1) 有限余拓扑空间是紧空间; （2）在离散空间中, 子集A 为紧集当且仅当A 为有限集合.证明 (1) 设X 为有限余拓扑空间，其拓扑T {U X X U =⊂\为有限集}，设U {}U λλ=∈Λ为X 的任意开覆盖，任取0λ∈Λ，0U λφ≠. 因为0U λ是X中开集，所以0\X U λ为有限集. 不妨设0\X U λ12{,,,}k x x x = ，i ∀(1),i k ≤≤i λ∃∈Λ使得i i x U λ∈，故00010(\)()i i k k i i X X U U U U U λλλλ===∪⊂∪∪=∪λ从而，X 为紧空间. (2) 设X 为离散空间() 设⇐12{,,,}k A x x x = 为X 中有限集，U 为A 的任意开覆盖，即A ⊂∪U . (1), i ∀i n ≤≤i U ∃∈U ，有i i x U ∈，故0i n i A U λ=⊂∪，从而为的有限子族构成的1{}i i n U ≤≤U X 的覆盖，从而A 紧.(⇒) 设A 为X 的紧子集，x A ∀∈，{}x 为X 中开集，因为，由{}x A A x ∈⊂∪A 的紧性，存在{{}}x x A ∈中有限子族1{{},,{}}n x x 使得1{}n i i A x =⊂∪=1{,,}n x x . 从而，A 为X 的有限子集.4. 设为无限集, X ,x y X ∈且x y ≠, 令={,T ,|X U U φ\{,}}X x y ⊂, 则 (1) (,是拓扑空间; (2) )X T \{}A X x =与\{}B X y =均为X 紧子集; (3)A B ∩不是紧子集.证明 (1) 因为φ∈T , X ∈T , 故公理真; 对于1()O 1A ∀2\{,}A X x y ⊂, 因为12A A ⊂∩\{,}X x y , 即, 则也真; 下面验证真.12A A ∈∩T 2()O 3()O 设{}，如果U λλ∈Λ⊂T λ∃∈Λ使得U X λ=，则U X λλ∈Λ=∈∪T ；如果λ∀∈Λ，U X λ≠，则. 从而, \{,}U X x y λ⊂\{,}U X x y λλ∈Λ=∪. 因此, ，故T 为U λλ∈Λ∈∪T X 上的一个拓扑.(2) 设U 是\{}A X x =的任意开覆盖，则\{}y X x ∈⊂∪U ，有，故y U ∃∈U y y U ∈y U X =. 所以{}{}y U X =是U 关于A 的子覆盖，从而A 紧.同理，\{}B X y =也是X 的紧子集.(3) 因为(\{})(\{})\{,}A B X x X y X x y ==∩∩是离散拓扑空间，如果紧，则A B ∩\{,}X x y 为有限集，这与X 为无限集矛盾.5. 设是紧空间, , 为闭集, 则X 2T F X ⊂F {|F U U =∩是的紧邻域}. F 证明设为的所有紧邻域的族，我们证明：V ()F F ∩V ()F F =.是显然的，因此只需证： F ⊂∩V ()F ∩V ()F F ⊂.0x ∀∈V ()F ，如果0\x X F ∈，则，由于0\{}F X x X ⊂⊂开X 为紧的，所以2T X 正规，故存在W 使得X ⊂开0\{}F W W X x ⊂⊂⊂. 故W 为的紧邻域，F W ⊂V ()F ，从而0x ∈V ()F W ⊂，这与0x W ∉矛盾，故必有0x F ∈，所以∩V ()F F ⊂.6. 设为X 1A 列紧空间, 为拓扑空间, Y :f X Y →为连续映射, 则()f X 在中也是列紧集.Y 证明设{}n n y ∈ 为中的任意一序列，()f X n ∀∈ ，取n x X ∈使得()n n f x y =. 因为{}n n x ∈ 是列紧空间X 中点列，故有一收敛子列{}，不妨设k n k x ∈ k n x x X →∈，记()y f x =，现在来证：()k n f x ()k kn y y f =⎯⎯→=x y 事实上，()W µ∀∈，由的连续性，:f X Y →1()()x fW x µ−∈∈, 所以，有0k ∃∈ 0k k ∀≥1()k n x f W −∈，故()k k n n y f x W =∈，从而，即为列紧的.k kn y y ⎯⎯→()f X7. 设为不可数集合, 则可数余拓扑空间(,是Lindeloff 空间, 但不是X )X T 1A 空间.证明设(,X J )为可列余拓扑空间，即J {U X X U =⊂\为至多可列集}{}φ∪，对于X 的任一开覆盖U ，任取0U ∈U ，0U φ≠，则0\X U 至多可列.不妨设012\{,,,,}n X U x x x = ，则，至多可列n ∀∈ n U ∃∈U 使得n n x U ∈，则{}n n U ω∈为U 的可数子族，满足00(\)n n X X U U U ω∈=∪⊂∪从而，X 为Lindelof 空间，下证X 不是空间.1A 如果X 是空间.，即，点有单调递减的可数开邻域基{}. 因为1A x X ∀∈x n n V ∈ \(n n n n \)X V X ∈∈∩=∪ V 至多可数，所以n n V X ∈∩⊂ 开，即n V ∈n ∩ 为点的开邻域. 从而，x 0n ∃∈ 使得，即00n n n V V ∈⊂∩⊂ n V 0n n n V V ∈∩= . 取，则0\{}n y V x ∈\{}X y 为的开邻域，所以x 1n ∃∈ 有1\{}n x V X y ∈⊂，所以，这与1n y V ∉01n n y V V ∈n ∈=∩⊂ 矛盾.从而，X 不是空间. 1A8. Lindelof 空间的连续像仍是Lindelof 空间.证明设X 是Lindelof 空间，为连续映射，Y 为一拓扑空间. 设U 为的任一开覆盖，则:f X Y →()f X 1{()fU U −∈U }为X 的开覆盖，由X 的Lindelof 性，使得{}i i U ∈∃⊂U 1()i X f U −∈=∪ ,1()[()]i i i i f X f f U U −∈=∪=∪ ()f X ∈ ，则是Lindelof 空间.9. 设f 为从紧空间到空间的连续映射, 证明: 2T f 是闭映射. 即闭集映射成闭集的映射.证明设X 是紧空间，Y 是空间，为连续映射，对于2T :f X Y →F X ∀⊂闭，为F X 的紧子集，所以为Y 的紧子集. 又因为空间中的紧子集是闭的，所以()f F 2T ()f F Y ⊂闭，从而为闭映射.:f X Y →10. 若拓扑空间的任意无穷子集至少有一个聚点, 则称为子集紧的. 试证明: 可数紧空间是子集紧的.X X 证明设X 为可数紧空间，A 为X 的任意无穷子集. 取{}为n n x ∈ A 中任意两项都不相等的一个点列. 由定理4.2.2中（i ）和（iii ）的等价性，{}有一个聚点n n x ∈ *x . 因此，存在{}n n x ∈ 的一个子例*k n x x →(k →∞), 则对于U ∀∈*()x U ，使得0k ∃∈ 0k k ∀≥有k n x U ∈. 因为**0(\{}){|}\{}k n U x A x k k x φ⊃≥≠∩，则*(\{})U x A φ≠∩. 从而，0x 为A 的聚点，即X 是子集紧的.11. 对于空间, 子集紧空间也是可数紧的.1T 证明设X 为子集紧空间，如果1T X 不是可数紧的，则由定理4.2.1，存在一个递降非空闭集列12n F F F ⊃⊃⊃⊃ 使得1n n F φ∞==∩.对于，取n ∀∈ n n x F ∈，并即，则12{,,,,}n A x x x = A 为无穷集合. 事实上，若A 为有限集，则必有一个元在A 中出现无限次. 即{}n x 有一个子列{}k n x 使得，k ∀∈ *k n x x X =∈. 从而, n ∀∈ ，k ∃∈ 有. 故k n n ≥*k n x x =∈k n F F ∈⊂n n ，故*1n x F ∞=∈∩. 这与1n n F φ∞==∩矛盾. 所以，A 为无穷集合.现在来证：A 没有聚点. 这就与X 为子集紧矛盾.事实上，x X ∀∈，因为1n n F φ∞==∩，所以i ∃∈ 使得i x F ∉，则121(\)\[{,,,}\{}]i i U X F x x x x −=为点的开邻域并且. 这是因为，对于x {}U A x ⊂∩n ∀∈ ，若n x x ≠，则当121{,,,}n i x x x x −∈ 时，n x U ∉；当121{,,,}n i x x x x −∉ 时，则n . 因此，i ≥n n i x F F ∈⊂，故121(\)\[{,,,}\{}]n i i x U X F x x x x −∉=从而，，即[\{}U A x ∩⊂{}]U x A φ∩=. 故A 没有聚点.12. 证明: 可数紧空间的闭子集仍是可数紧的.证明设X 为可数紧空间，A 为X 的任意一闭子空间，{}i i U ∈ 为A 的可数开覆盖.i ∀∈ ，i V X ∃⊂开使得，则i i U A V =∩{}i V i ∈ 为X 的可数开集族，V {\}X A =∪{}i V i ∈ 为X 的一可数开覆盖. 由X 的可数紧性，存在有限子族，使得1{,,,\}k i i V V X A ⊂ V 1()kj ij X V ==∪∪(\)X A ，故11()()k k k j ij j ij j i 1j A A V A V ====∩∪=∪∩=∪U从而，A 是可数紧空间.13. 证明: 可数紧空间的连续像是可数紧的.证明设X ，Y 是两个拓扑空间，连续，:f X Y →X 可数紧. 又设是的一个开覆盖，即，故1{}n n V ∞=Y 1n Y V ∞=⊂∪n 11()n n X fV ∞−=⊂∪，由的连续性，{(:f X Y →11)}n n f V −∞=为X 的开覆盖，再由X 的可数紧性，111{(),,()}k n n f V f V −−∃ 11{()}n n f V −∞=⊂使得，故 11()i k i X fV −=⊂∪n ()Y f X =⊂1111[()]()i i k k i n i n i 1i k n f f V f f V V −−===⊂∪∪ =∪从而，Y 可数紧.14. 举例说明度量空间的连续像可以不是局部紧的.解：设(,是一个非局部紧的拓扑空间，现在以)X T X 为底集合在X 上赋予离散度量ρ, 即:X X ρ+×→ 合于1,(,)0,x yx y x yρ≠⎧=⎨=⎩则(,)X ρ是一个度量空间，恒等映射:(,)(,)id X X ρ→T 是一个连续映射，度量空间(,)X ρ在id 下的连续像(,不是局部紧的. )X T15. 证明: 拓扑空间与某个紧空间Y 的一个闭子空间同胚当且仅当是一个紧空间.X X 证明:(设与某个紧空间Y 的一个闭子空间)⇒X Z 同胚，即存在同胚映射:f X Z →. 对于X 的任意开覆盖U ，V ={()|}f U U ∈U 是Z 的开覆盖. 因为Z 为紧空间Y 的闭子集，由定理4.1.6，Z 是紧子空间. 因此，存在有限集合族使得1{,,}n U U ⊂U 1()n i i Z f U ==∪i ，则1111()()n n i i i X f Z f f U U −−=====∪∪故X 是紧空间.()⇐ 设X 是紧空间，则存在紧空间Y X =的一个闭子空间Z X =使得恒等映射是一个同胚映射. 于是，结论得证.:X id X Z →。