《点集拓扑讲义》第四章 连通性 学习笔记
点集拓扑学(教学课题大纲)
点集拓扑学（教学大纲）General Topology课程编码：学分： 3 课程类别：专业方向课计划学时：其中讲课：实验或实践：0 上机：0适用专业：数学与应用数学专业推荐教材：熊金城，《点集拓扑讲义》（第三版），高等教育出版社，2003。
参考书目：1. J.R.曼克勒斯，《拓扑学基本教程》，科学出版社，1987。
2. 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，2006。
课程的教学目的与任务拓扑学是研究图形在同胚映射下的不变性质（即拓扑性质）的一门数学分科，其基本思想和处理方法对近代数学产生了深刻的影响，它与近世代数、泛函分析一起被称作数学的“新三基”；它的中心任务是研究拓扑不变性质，对拓扑空间按照同胚分类。
通过本课程的学习，使学生掌握点集拓扑的一些基本概念、基本理论、基本方法，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性；培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、理论联系实际分析问题解决问题的能力，提高学生的数学素养，为进一步学习、研究现代数学打好基础。
课程的基本要求1、使学生了解公理集合论的初步知识并将度量空间中熟悉的知识推广到一般的拓扑空间中去。
比如连续映射的概念。
2、掌握由已知拓扑空间构造新的拓扑空间的若干方法。
比如子空间的概念，有限乘积空间。
3、掌握几种重要的拓扑性质：可数性、分离性、紧致性、连通性等。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章：集合与映射建议学时：6[教学目的与要求] 了解朴素集合论和公理集合论的区别，了解选择函数与选择公理的内容；从关系的角度理解映射的概念。
[教学重点与难点] 选择公理及其等价形式。
[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。
[授课内容]第一节集合论一、集合的基本运算二、公理集合论的相关内容第二节映射理论一、关系与映射的联系二、选择公理第二章：拓扑空间与连续映射建议学时：8[教学目的与要求]将连续函数的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间之间的连续映射；将开区间的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间中的开集。
《点集拓扑》课件
点集拓扑的基本性质
01
02
03
04
性质1
任意两个不同的点不能是等价 的。
性质2
有限多个开集的并集仍然是开 集。
性质3
闭集的补集是开集。
性质4
连续映射下的开集和闭集保持 不变。
点集拓扑的重要性
应用广泛
点集拓扑在数学、物理学、工程 学等领域都有广泛应用，如微分 几何、代数几何、微分方程等领
域。
基础学科
点集拓扑是数学的一门基础学科， 为其他学科提供了数学工具和语言 ，促进了数学的发展。
理论意义
点集拓扑的研究有助于深入探讨数 学中的一些基本问题，如连续性、 连通性、紧致性等，推动了数学理 论的发展。
02
拓扑空间与基
拓扑空间的定义
总结词
抽象的空间
详细描述
拓扑空间是一个由点集构成的空间，这些点集通过集合的并、交、补等运算形 成。它是一个抽象的概念，不依赖于度量或连续性的具体性质。
连通性与道路连通性
连通性的定义与分类
总结词
连通性是描述点集拓扑空间中点之间的相互关系的重要概念，它分为三种类型：强连通 、弱连通和道路连通。
详细描述
连通性定义为一个点集拓扑空间中任意两点可以通过一系列连续变换（如移动、旋转、 缩放等）相互到达。根据连通性的不同性质，可以分为强连通、弱连通和道路连通三种 类型。强连通是指任意两点都相互可达；弱连通是指任意两点至少有一个可达；道路连
基的定义与性质
总结词
定义与性质
详细描述
基是拓扑空间中一个特殊的子集系统，它具有一些重要的性质，如基的任意并仍 属于基，基的有限交仍属于基等。基是定义拓扑空间的重要工具。
基在拓扑空间中的应用
完整word版点集拓扑讲义学习笔记
度量空间与连续映射2章第它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．度量空间与连续映射§2.1本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中,R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考.察出发，抽象出度量和度量空间的概念，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量．如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1 实数空间R．对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积＝R×R×…×R（）x=×→R如下：对于任意ρ定义,： y=，令）＝y xρ（，页40 共* 页2 第是的一个度量，因此偶容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ，ρ)是一个度量空间．(这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．对这里定，称为义的度量ρ的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3 Hilbert空间H．记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即)|<∞} ＝ {x=(H定义ρ如下：对于任意＝（）∈H），yx ＝（(x,y)= 令ρ（即验证<∞）以及验证ρ是说明这个定义是合理的H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert 空间．例2.1.4 离散的度量空间．设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（的一个离散度量，如果对于每一个x，y） y∈X，x≠y，成立．＞对于任何页40 共** 页3 第例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何x，y∈X，有(x,y)=ρ容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义2.1.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合{y∈X|ρ（x，y）<ε}），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻记作B（x，ε域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．页40 共* 页4 第，）是x∈XB（x (2)如果B（x的两个球形邻域，任意选取实，）和数}min{ ，则易见有ε＞0，使得ε＜，）∩B（x，））B （x，εB（x 即B（x，ε）满足要求．）．显然．＞0．如果xρ（，yz∈B，（3）设y∈B（xε＝）．令ε-，），则（y ）＜xy，）+ρ）+ρ（y，x=ε（（（z，x）≤ρz，yρ，y）ε）．这证明B（εB（x，）．，所以z∈B（x定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．注意：此处的开集仅是度量空间的开集．例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．设a，b∈R，a＜b．我们说开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令ε＝min{x-a，b-x}，则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}（-∞,∞）＝R都是R中的开集．然而闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}页40 共** 页5 第却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}无限的闭区问[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集．定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质：本身和空集都是开集；X （1）集合（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 满足开集的条件；空集X中不包含任何一个点，也自然地可以认为中，所以它满足开集的条件．的一个球形邻x如果x∈U∩V，则存在U设和V是X中的两个开集．（2）．根据V，的一个球形邻域B（x）包含于域B（x，）包含于U，也存在x ，（xε）同时包含于BB（2），x有一个球形邻域（x，）和B定理2.1.1，），因此（x，）U∩V B（x，B（x，）∩B（xε）由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．页40 共* 页6 第中的开集构成的子集族．如果，则存在是一个由X3）设*Α（A有一个球形邻域包含于是一个开集，所以由于∈*x使得，显x∈然这个球形邻域也包含于中的一个开集．．这证明是X此外，根据定理2.1.1（3）可见，每一个球形邻域都是开集．球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈VU，则称U是点x的一个邻域．下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x∈VU，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．页40 共** 页7 第f(如果对于)是两个度量空间，f:X→Y，∈X以及定义2.1.5 设X和Y （ε），，存在δ的某一个球形邻域B），的任何一个球形邻域B（f(),），则称映射在点处是连续的．（)，δ）），εB（使得f(Bf（如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果在点f处连续，可以说成：和Y设ρ中的度量，则和分别是度量空间X对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，x∈B （,δ）便有）＜δ（即f(f(x)∈B（.（即(f(x),f())ε））．＜ε)，下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．以及∈X．X→Y则下述条件Y是两个度量空间，f：和定理2.1.4 设X：和（*2）*（1）和（2）分别等价于条件（1））f处是连续的；在点（1的每一个邻域的原象是的一个邻域；（1）*f( )（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．（）的一个邻域．根令U为f成立．1）蕴涵（）*：设（1）1证明条件（），ε）包含于B（fU（．由于f）有一个球形邻域2.1.3据定理，f（处是连续的，所以在点有一个球形邻域（（BfBεB（fB）），δ（（），）．然而，（（）使得，δf 页40 共* 页8 第），所以（），εU）（）是）B），这证明（（U（U的一个邻域．，δ（f1）*成立．任意给定）的一个邻条件（1）*蕴涵（1）．设条件（，根据定理2.1.3是（的一个邻域．f()，ε域B（εf(),），）则（B ）包含于δ（，有一个球形邻域B （）．f），ε（B（（f（B在点处连续．因此，δ））B（f（），ε）．这证明f中的一个开集，为Y*．设条件（2）成立．令V2条件（）蕴涵（2）是一个开集，所Vx）∈V．由于）．对于每一个x∈U，我们有f（U（＝VxU是1）*，）的一个邻域．由于以V是f（xf在每一点处都连续，故根据（由U＝∪x∈UUx．U．易见Ux的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得 U是一个开集．都是开集，根据定理2.1.2，于每一个Ux）的x是f（2）*成立，对于任意x∈X，设U条件（2）*蕴涵（2）．设（根．U）（（的一个开集x）V U．从而Vx∈）f一个邻域，即存在包含（x的一个邻域，对于U据条件（2）*，（V）是一个开集，所以）是x（是任意选取的，所以处连续．由于点x在点*成立，于是fx）而言，条件（1 f是一个连续映射．从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念性质（定理2.1.2作业：P47 1.2.3.4.页40 共** 页9 第拓扑空间与连续映射§2.2:本节重点. 并在此空间上建立起来的连续映射的概念拓扑与拓扑空间的概念,: 注意区别. 拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理 2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．ττ满足如下X是一个集合，定义2.2.1 设X的一个子集族．如果是条件：τ∈（；lX），Tτ；（2）若A，B∈A∩B∈，则（3）若τ是X的一个拓扑．则称ττ）是一个拓扑空间，或X如果，是集合X的一个拓扑，则称偶对（τT是一个相对于拓扑而言的拓扑空间；此外称集合的每一个元素都叫做Xττ．即：A∈A是开集.）或（开集XX拓扑空间（，）中的一个（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．页40 共* 页10 第现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．中的所有开集构为由ρ）是一个度量空间·令定义X2.2.2 设（X，的一个拓扑．我们称2.1.2）是，（X 为成的集族．根据定理，X的X由．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度度量ρ诱导出来的拓扑）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，X，ρρ）为拓扑量空间（空间时，指的就是拓扑空间（X，）空），HilbertR因此，实数空间，n维欧氏空间（特别，欧氏平面间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．例2.2.1 平庸空间．TT是X，}．容易验证，设X是一个集合．令的一个拓扑，称之为 ={X T）为一个平庸空间．在平庸空间（；并且我们称拓扑空间（X，X，的X平庸拓扑T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．TP（X），即由XX是一个集合．令 =的所有子集构成的族．容易验证，设TT）为一X；并且我们称拓扑空间（，的一个拓扑，称之为X的离散拓扑是X T）中，X的每一个子集都是开集．在离散空间（X，个离散空间.T ={，{a}，{a，b}，{a，{a，bc}．令，b，c}}．＝2.2.3 例设X TT）是一个拓扑空间．这个拓扑X的一个拓扑，因此（，容易验证，是X空间既不是平庸空间又不是离散空间．页40 共** 页11 第例2.2.4 有限补空间．设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令X|T ={U 的一个有限子集}∪{是X}T是X的一个拓扑：先验证；另外，根据定义便有∈T．）X∈T (因为 =)（1T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A（2）设A，B∈和B T ．的一个有限子集，所以A∩B∈是都不是空集．这时X,显然有）设（3．令，则如果X任意选取．这时是设的一个有限子集，所以P是X的一个拓扑，称之为3），X的有限补拓根据上述（1），（2）和（P）称为一个有限补空间．，扑．拓扑空间（X例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T 的一个可数子集}∪{X}={U X|是T 是X2.2.4通过与例中完全类似的做法容易验证（请读者自证）的一个T ）称为一个可数补空间．，的可数补拓扑．拓扑空间（拓扑，称之为XX页40 共* 页12 第一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？P使）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量设（X，ρ定义2.2.3PP）是一个ρ诱导出来的拓扑可度量化空，则称（得拓扑X，即是由度量间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑可以看出，和从§2．1中的习题23空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是中给出的那个空间只含有三个点，2.2.3离散空间，因此它不是可度量化的；例拓扑空间是比可度量空间的但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这范围要广泛．是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．U定义2.2.4 是两个拓扑空间，f:X→Y．如果中每一个开集Y设X和Y的一个连续映射，或简称Xf是中的一个开集，则称X到Y（的原象U）是映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）页40 共** 页13 第但所指出的却是连续映射的最重要的下面的这个定理尽管证明十分容易，性质．都是拓扑空间．则，Y和ZX定理2.2.1 设是一个连续映射；1:X→X）恒同映射：（也是连续映射．和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z（2）如果f:X→Y l连续．），所以证明（）设2f:X→Y,g:Y →Z都是连续映射（连续．这证明gof如在线性代数中我们考在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后群论中的同构，者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．是一个—一映射，f：X→Y Y设X和是两个拓扑空间．如果2.2.5 定义和f是一个同胚映射或同胚．都是连续的，则称：Y→X并且f定理2.2.2 设X都是拓扑空间．则Y和Z，：X→X）恒同映射（1是一个同胚；）如果f：X→Y（：Y→X也是一个同胚；2是一个同胚，则页40 共* 页14 第：X→Z也是一个同胚．：Y→Z都是同胚，则gof（3）如果f：X→Y和g 2.2.1，定理证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理．5．4．．53和定理1．l是一个—一映射，并且（l是同胚．），都是连续的，从而是一个—一映射，并且f和）设f：X→Y是一个同胚．因此f都（2也都是连续的，也是一个—一映射并且是连续的．于是和所以也是一个同胚．，f都是—一映射，并且因此f和gf）设：X→Y和g：Y→Z都是同胚．（3和且gof射，并—因此gof也是一映，g续和都是连的． gof是一个同胚．都是连续的．所以：X→Y，则f和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚设定义2.2.6 X ．同胚于YX是同胚的，或称X与Y同胚，或称X称拓扑空间与拓扑空间Y 粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．都是拓扑空间．则和Z设X，Y定理2.2.3X同胚；1）X与（同胚；Y与X同胚，则（2）如来X与Y Z同胚．同胚，则与ZX与同胚，）如果（3X与YY 2.2.2直接得到．证明从定理在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，我们可以说：根据定理2.2.3，因而同胚关系将这个拓扑空两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．页40 共** 页15 第，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚P拓扑空间的某种性质．换言之，拓拓扑不变性质的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这段时期才完成的工作．种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某也正因为如此，是一个去粗取精的过程．一个方面）的精粹而进行的一次提升，新的概念和理论往往有更多的包容．一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正拓扑学无疑也是如此，的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3 邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）．页40 共* 页16 第我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，定义2.3.1 设（X，P使得x∈VU，则称U满足条件：存在一个开集V∈是点x的一个邻域．点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．是空集，以下证明充分性．如果U证明定理中条件的必要性是明显的． U ≠．根据定理中的条件，当然U是一个开集．下设使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．定理2.3.2概括了邻域系的基本性质．页40 共** 页17 第是一个拓扑空间．记为点x∈XX的邻域系．则：定理2.3.2 设U∈x∈X，；并且如果≠，则（1）对于任何x∈U；U ∩V∈，V∈ U，则；（2）如果V∈并且U； V （3）如果，则U∈V∈满足条件：(a)VU和，则存在(b) （4）如果对于任何U∈ V ∈．y∈V，有P且由定义,∴X∈证明（1）,∴,≠如果 X,X∈，则x∈UU∈PP和使得∈则存在设2（）U，V∈．U．和∈ T,∴U∩V∈成立．从而我们有, U∈，并且设3（）P．V满足条件已经满足条件（a），根4（）设U∈．令V∈据定理2.3.1，它也满足条件（b）．以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）～（4）．则x有惟一的一P子集族x ∈X，个拓扑T使得对于每一点在拓扑空间恰是点x（X，)中的邻域系．(证明略)页40 共* 页18 第现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果的原象（U）是Ux∈X的一个邻域，则称映射ff（x）∈Y的每一个邻域是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发．并且该定理也保证了：当X 和Y是两个度量空间时，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然．这里我们也有与定理2.2.l类似的定理．定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则）恒同映射：X→X在每一点x∈X（1处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．证明请读者自己补上．以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续．页40 共** 页19 第x处连续．充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点f连续．这就证明了作业: ,掌握证明一个映射是否连续的方法．掌握证明一个子集是邻域的方法§2.4 导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，AX．如果点x∈X的每一个邻域U ，则称点xx中异于的点，即U∩（A-{x}是集合）≠A的一个凝聚中都有A点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如＝，）U ∩（A-{x}使得即存在x果x∈A并且不是A的凝聚点，x的一个邻域U 的一个孤立点．为Ax则称):(牢记即页40 共* 页20 第在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，）＝． d（A从而A的导集是空集，即2.4.2 例平庸空间中集合的凝聚点和导集．是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：设X是一个平庸空间，A A显然没有任何一个凝聚点，亦即第1种情形：．这时A=．（可以参见定理2.4.1中第（d（A）l=）条的证明．）。
熊金城点集拓扑讲义
熊金城点集拓扑讲义一、引言点集拓扑学是现代数学的一个重要分支。
它的研究对象是一般的拓扑空间，即是由不同类型的点及其之间的关系组成的空间。
它是抽象代数学的一部分。
它探索的是空间的本质结构，不仅仅考虑空间的代数性质，而是将空间中多样的几何性质整合起来，从而揭示空间的整体性质。
点集拓扑可由简单形式的集合拓扑展开，进而发展为更为深奥和复杂的分支，如流形、纤维丛等。
点集拓扑学具有广泛的应用，如在物理、化学、计算机科学、天文学等领域均有涉及。
二、定义与基本概念点集拓扑学的基本对象是拓扑空间，其定义如下：定义1.1 拓扑空间设X是一个集合，T是X的一个子集族，若其满足以下三个条件：1. X及空集∅∈T；2. T的任意（包括可数无穷）并集仍属于T；3. T的有限交仍属于T，则称X配以集合族T为一拓扑空间，简称拓扑空间（topological space）。
通常我们将配以不同拓扑的同一集合视为不同的拓扑空间，即称(X,T1)和(X,T2)为不同的拓扑空间。
给定拓扑空间(X,T)，若S⊆X，则S处在S所在空间的拓扑子集上，此时称(X,yS,T|S)为子拓扑。
定义1.3 闭集、开集给定拓扑空间(X,T)，S是X的一个子集，如果S的补集S′∈T，那么称S是X的一个闭集；如果S∈T，那么称S是开集。
由于0和整个集合X本身总是开集，因而称它们是平凡开集；空集是闭集，其余闭集就是其余集合的开集的补集。
设A是拓扑空间X的一个子集，x是X的一个点，若对于任何包含x的开集U，有U∩A≠∅，那么称x是A的极限点（accumulation point）。
若A的闭包为X，那么称A在X中是稠密的（dense），也就是说，任何不属于A的X 的点，它都是A的极限点。
三、连通性和紧性连通性和紧性是点集拓扑的两个最为基本的概念。
连通性考虑了空间内元素之间的连通情况，紧性则关注空间的内部有多少信息。
定义2.1 连通性设X是拓扑空间，若对于任意的开集A∈T，它的对立集X-A也是连通的，那么称X是连通的（connected）。
拓扑学笔记整理
拓扑学笔记整理一、拓扑学基础概念。
1. 拓扑空间。
- 定义：设X是一个集合，T是X的一个子集族。
如果T满足以下三个条件：- 空集∅和X都属于T。
- T中任意多个元素（即子集）的并集仍属于T。
- T中有限个元素的交集仍属于T。
- 则称T为X上的一个拓扑，(X, T)为一个拓扑空间。
- 例子：- 离散拓扑：设X是一个集合，T = P(X)（X的幂集，即X的所有子集组成的集合），则(X, T)是一个拓扑空间，称为离散拓扑空间。
- 平凡拓扑：设X是一个集合，T={∅, X}，则(X, T)是一个拓扑空间，称为平凡拓扑空间。
2. 开集与闭集。
- 开集：在拓扑空间(X, T)中，T中的元素称为开集。
- 闭集：集合A是拓扑空间(X, T)中的闭集当且仅当X - A是开集。
- 性质：- 空集∅和X既是开集又是闭集（在任何拓扑空间中）。
- 开集的任意并集是开集，闭集的任意交集是闭集。
- 开集的有限交集是开集，闭集的有限并集是闭集。
3. 邻域。
- 定义：设(X, T)是一个拓扑空间，x∈X。
如果存在开集U∈T，使得x∈U⊆N，则称N是x的一个邻域。
- 性质：- 一个集合是开集当且仅当它是其每个点的邻域。
二、拓扑空间中的连续映射。
1. 连续映射的定义。
- 设(X, T₁)和(Y, T₂)是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射。
如果对于Y中的任意开集V∈T₂，f⁻¹(V)（V在f下的原像）是X中的开集（即f⁻¹(V)∈T ₁），则称f是连续映射。
2. 连续映射的等价定义。
- 对于X中的任意一点x和任意邻域N(f(x))（f(x)在Y中的邻域），存在x在X 中的邻域M，使得f(M)⊆N(f(x))。
- 对于Y中的任意闭集C，f⁻¹(C)是X中的闭集。
三、拓扑空间的基与子基。
1. 基的定义。
- 设(X, T)是一个拓扑空间，B是T的一个子集族。
如果对于任意的U∈T以及任意的x∈U，存在B中的元素B，使得x∈B⊆U，则称B是拓扑T的一个基。
点集拓扑讲义知识点总结
点集拓扑讲义知识点总结一、拓扑空间基本概念1.1 集合和拓扑空间在点集拓扑学中，最基本的两个概念就是集合和拓扑空间。
集合是元素的无序集合，而拓扑空间是一个集合，其中定义了一种称为拓扑结构的特定结构。
这个结构用来描述集合中元素的“接近”或“相邻”的概念。
1.2 拓扑结构拓扑结构定义了哪些子集被认为是开集，从而为集合赋予了拓扑性质。
具体来说，给定一个集合X，如果满足以下条件：（1）空集和X本身是开集；（2）任意开集的任意并集仍然是开集；（3）有限个开集的任意交集仍然是开集。
那么这个集合X连同其定义的拓扑结构称为一个拓扑空间。
1.3 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个非常重要的概念。
开集是指每个点都包含在集合内部的集合，闭集则是指包含了其边界的集合。
开集和闭集的性质和运算是拓扑学中的基础。
1.4 拓扑空间的连通性拓扑空间的连通性描述了空间内部的连通性质，一个拓扑空间如果不是两个不相交开集的并，则称为连通的。
连通性质是描述空间整体结构的一种重要方式。
二、拓扑空间的结构和性质2.1 度量空间和拓扑空间度量空间是一种拥有度量的拓扑空间，度量是一种满足一系列性质的函数，用来度量空间中两点之间的距离。
度量空间可以定义一种称为度量拓扑的拓扑结构，这种拓扑结构给出了空间中点的“接近”概念。
2.2 Hausdorff空间Hausdorff空间是指任意两个不同的点都存在不相交的邻域的拓扑空间。
这种空间具有较强的分离性质，能够更好地描述空间中点的位置关系。
2.3 紧空间在拓扑学中，紧空间是指任何开覆盖都存在有限子覆盖的空间。
紧空间具有重要的性质，例如有限覆盖性质和闭性性质，这些性质在分析和拓扑学的研究中有着重要的应用。
2.4 连通空间连通空间是指空间中不存在非空且既开又闭的子集的空间。
换句话说，连通空间是指空间中的点在拓扑上是连续的，没有间断。
这是拓扑空间中另一个极为重要的性质。
2.5 分离性和局部性在拓扑学中，还存在一些描述拓扑空间性质的分离性和局部性定理，包括T0空间、T1空间、T2空间等概念。
点集拓扑讲义
连通性和道路连通性
连通性的定义：如果点集中的任意两点都可以通过点集中的一条路径相连则称该点集是连通的。
道路连通性的定义：如果存在一条路径使得点集中任意两点都可以通过这条路径相连则称该点集是道路连通的。
连通性与道路连通性的关系：如果一个点集是连通的那么它一定是道路连通的；反之则不一定成立。
连通性和道路连通性的应用：在几何学、图论等领域中连通性和道路连通性是重要的概念对于研究点集的拓扑性 质和结构具有重要意义。
定理和性质的应用
定理和性质在数学领域中 的应用
在物理问题中的具体应用
在计算机科学中的实际应 用
在其他领域中的应用和推 广
在几何学中的应用
拓扑不变性：点集拓扑学中的概念指在拓扑变换下保持不变的性质。 几何结构：研究几何对象的拓扑性质如连通性、紧致性等。 流形：在点集拓扑学中流形是一类特殊的拓扑空间可以用来研究几何对象的形状和结构。 组合几何：利用点集拓扑学中的方法研究几何形状的组合和构造。
添加标题
同胚：在点集拓扑中如果存在一个从拓扑空间到拓扑空间B的连续映射并且这个映射可以逆向地由一个 从拓扑空间B到拓扑空间的连续映射构成则称拓扑空间与拓扑空间B同胚。
分离公理和紧致性
分离公理：点集拓扑中的基本性质指对于任意两个 不同的点存在一个开邻域不包含另一个点。
紧致性：点集拓扑中的基本性质指一个点集是紧致 的当且仅当它的闭包等于自身。
基的概念：拓扑空间中一个重要的概念是用来定义空间的拓扑结构的。基由若干个开集组成 满足一定的性质。
基的分类：根据基的性质可以将基分为第一类基和第二类基。第一类基是可数的第二类基是 不可数的。
基的性质：基具有连通性、可数性、分离性等性质这些性质对于研究拓扑空间的性质和结构 非常重要。
点集拓扑
第三章 子空间， （有限）积空间和商空间
教学目的
介绍用已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种方法，使得拓扑空间中的一个给定
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陈冬梅： 《点集拓扑》课程教学大纲
的子集，有限个拓扑空间的笛卡儿积或一个拓扑空间中的商集都可以作为独立的拓 扑对象进行考察。
主要内容
第一节 子空间 第二节（有限）积空间 第三节 商空间系
3．题型与举例
深圳大学数学与计算科学学院
200× -200× 学年 课程 点集拓扑 年级 第× 学期 期末考试Ａ卷 姓名 成绩
一、判断题（每小题 2 分，共 20 分） （ （ （ （ （ ）1. 仿紧空间是度量空间。 ）2. 局部道路连通空间不一定是道路连通空间。 ）3. 度量空间 X 紧致的充要条件是 X 上的任意一个连续函数都是有界的。 ）4. 可分空间一定满足 C2 公理。 ）5. 紧度量空间的每一个开覆盖都有 Lebesgue 数。
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陈冬梅： 《点集拓扑》课程教学大纲
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为 54 学时，安排在第 学期，每周 3 学时，上课 18 周。具体分配 如下： 第一章 集合论初步 第二章 拓扑空间与连续映射 第三章 子空间，（有限）积空间和商空间 第四章 连通性 第五章 有关可数性的公里 第六章 分离性公里 第七章 紧致性 8 学时 10 学时 4 学时 8 学时 6 学时 8 学时 10 学时
陈冬梅： 《点集拓扑》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号
课程名称
点集拓扑
课程类别
综合选修
教材名称
点集拓扑
点集拓扑讲义
从而 U f ( f 1(U)) BB1 f (B)
是 B 中某些元素的并. 故 B 是
f (X)的基，由th4. 4.1知 f (X) 是局 4.3 设 X1, X 2 , , X n
局部连通空间
2
1 T
sin 1 x
B0
S
-1
S
{( x, sin
1 x
)
|
x
(0,1]}
2
T {0}[1,1]
S1 S T
定义4.1.1 设 X 是一个拓扑空 间，x∈X. 如果 x 的每一个邻域 U 中 都包含着 x 的某一个连通邻域 V ， 则称拓扑空间 X 在点 x 处是局部连 通的.
f : X Y是 一 个 连 续 开 映 射 .
则 f (X)是一个局部连通空间. 证明: 由于X 是局部连通空间, 由th4,.2.1知X 有一个基B ，其中的 每一个成员都是连通的.
由由于于f f是是一一个个连连续续的的开开映映射射，，从从而而 易易知知BB{{f f(B(B))| |BBBB}}是是由由ff(X(X)) 的的连连通通开开集集构构成成的的集集族族. . 下下面面我我们们证证明明BB 是是ff(X(X))的的一一个个基基. . 设设UU是是ff(X(X))的的任任意意开开集集，，则则 ff(1U(U)) 是是XX中中的的一一个个开开集集，，从从而而存存在在
包含于U ，因为 V C 不是空集, 所以 V C ，因此 C 是 x 的邻域,
故 C 是开集.
(2) (3) 若（2）成立，则X 的所 有开集的所有连通分支构成的集族 B 恰是X 的一个基. (3) (1) 显然. 注: 在局部连通空间中，连通分支
周振荣版拓扑学第4章连通性与路连通性 课后答案
Hale Waihona Puke November 12, 2012
謱 练 习 0.1. 若空间(X, T )是连通的，T ⊆ T 是X 的拓扑，则空间(X, T )也是连通 的． Proof. 如果(X, T )不连通，则存在既开又闭的非空真子集A．因T ⊆ T ，所以 它又是(X, T )的既开又闭的非空真子集，从而(X, T )不连通，矛盾． ¯ = ∅，Y ∩ Z c = ∅， 练 习 0.2. 设Y 是X 的连通子集，设Z 是X 的子集，若Y ∩ Z b 则Y ∩ Z = ∅． ¯ ∪ Z c ，所以 Proof. 因为X = Z ∪ Z c = Z ¯ ∪ Z c ) = (Y ∩ Z ¯ ) ∪ (Y ∩ Z c ). Y = Y ∩ X = Y ∩ (Z ¯ ) ∩ (Y ∩ Z c ) = ∅，则Y = (Y ∩ Z ¯) 若Y ∩ Z b = (Y ∩ Z 矛盾． ˜n ∼ 练 习0.3. 证明R = Rn ． ˜ n 作为子空间，其基开集为U1 × · · · × Un × {0} × · · · 。 Proof. 提示：R 练 习0.4. 设ξ : S 1 → S 1 是 同 胚 ， 满 足ξ ◦ ξ = idS 1 ． 证 明 对 任 意 连 续 映 射f : S 1 → R，存在点z ∈ S 1 ，使得f (z ) = f (ξ (z ))． Proof. 令F (z ) = f (z ) − f (ξ (z ))，z ∈ S 1 ，则F : S 1 → R为连续映射． 取点z0 ∈ S 1 ，若F (z0 ) = 0则结论已真．若F (z0 ) = 0，不仿设F (z0 ) > 0， 由ξ 的定义ξ (z0 ) ∈ S 1 且 F (ξ (z0 )) = f (ξ (z0 )) − f (ξ (ξ (z0 ))) = f (ξ (z0 )) − f (z0 ) = −F (z0 ) < 0, 由介值定理及S 1 的连通性存在z ∈ S 1 ，使得F (z ) = 0，即f (z ) = f (ξ (z ))． 练 习0.5. 设X 是无限集，T = {∅} ∪ {U |U c 有限}，则(X, T )是连通的． Proof. 如果不连通，则存在既开又闭的非空真子集A．由于A开，则Ac 有限， 从而A无限；由于A闭，则Ac 开，从而A = Acc 有限；矛盾． 练 习0.6. 设Y 为不少于两点的离散拓扑空间，那么，X 连通的充要条件是每个 连续映射f : X → Y 是常值的． Proof. 必 要 性 ． 设X 是 连 通 空 间 ，f : X → Y 为 连 续 映 射 ， 则f (X )为 连 通 子 集 ． 若f 不 是 常 值 的 ， 则f (X )多 于一 点 ， 设y ∈ f (X )． 由 于Y 是 离 散 空 间 ， 所 以{y }，Y − {y }皆 为Y 的 非 空 开 集 ， 且 它 们 无 交 ， 这 与f (X )连 通 矛 盾 ． 故f (X )是单点集，即f 为常值映射． 充 分 性 ． 设 每 一 连 续 映 射f : X → Y 都 是 常 值 映 射 ． 若X 不 连 通 ， 则 存 在 非 空 开 集A, B ， 使 得A ∪ B = X 謬A ∩ B = ∅， 定 义 映 射f : X → Y ， 使 得f (A) = {0}，f (B ) = {1}，显然f 为连续映射，但f 非常值，矛盾． 练 习 0.7. 设A是X 的 连 通 子 集 ，B 是X 的 既 开 又 闭 的 子 集 ， 若A ∩ B = ∅， 则A ⊆ B ． (Y ∩ Z c )．这与Y 连通
[原创]《点集拓扑学》§4.5道路连通空间
![[原创]《点集拓扑学》§4.5道路连通空间](https://img.taocdn.com/s3/m/779b3b5068eae009581b6bd97f1922791688befe.png)
§4.5 道路连通空间较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”．定义4.5.1 设X是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X的每一个连续映射f:[0，1]→X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f 的起点和终点．当x＝f（0）和y＝f（1）时，称f是X中从x到y的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．如果f是X中的一条道路，则道路f的象集f([0，l])称为X中的一条曲线或弧，并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点．或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念．定义4.5.2 设X是一个拓扑空间．如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路（或曲线），我们则称X是一个道路连通空间．X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间．(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)实数空间R是道路连通的．这是因为如果x，y∈R，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的．定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间．证明对于任何x，y∈X，由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f:[0，l]→X这时曲线f（[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y∈f（[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间．连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l中的是一个连通空间．不难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的．道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了．定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X→Y是一个连续映射．则 f（X）是道路连通的．证明设．由于X是道路连通的，故X中有从到的一条道路g：[0，1]→X．易见，映射h：[0，1]→f(X)，定义为对于任意t∈[0，1]有h（t）=f g（t），是f（X）中从到的一条道路．这证明f（X）是道路连通的．根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质.定理 4.5.3设是n≥1个道路连通空间．则积空间也是道路连通空间．证明我们只需要对n＝2的情形加以证明．设对于i=l，2，由于是道路连通空间，故在中有从到的一条道路：[0，1]→．定义映射f：[0，1]→，使得对于任何t∈[0，l]有f（t）＝（)．容易验证（应用定理3．2.7）f是连续的，并且有f(0)=x,f(1)=y．这也就是说f是中从x到y的一条道路．这证明是一个道路连通空间．作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n维欧氏空间是一个道路连通空间．（这个结论也容易直接验证．）为了今后的需要我们证明以下引理，定理4.5.4[粘结引理] 设A和B是拓扑空间X中的两个开集（闭集），并且有X＝A∪B．又设Y是一个拓扑空间，：A→Y和：B→Y是两个连续映射，满足条件：定义映射f:X→Y使得对于任何x∈X，f（x）＝则f是一个连续映射．证明首先注意，由于，映射f的定义是确切的．因为当x∈A∩B时，有．其次，我们有：对于Y的任何一个子集Z有这是由于现在设U是Y的一个开集．由于都连续，所以分别是A和B的开集．然而A和B都是X的开集，所以也都是X的开集．因此是X的一个开集．这便证明了f是一个连续映射．当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的．我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念．定义4.5.3 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一条从x到y的道路，我们则称点x和y是道路连通的．(注意:是“点”道路连通)根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X（它必然是连续的）便是一条从x到x的道路．）（2）如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0，1]→X是X中从x到y 的一条道路．定义映射j：[0，l]→X，使得对于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1－t）．容易验证j是一条从y到x的道路．)（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（设：[0，1]→X分别是X中从x到y和从y到z的道路．定义映射f:[0，1]→X使得对于任何t∈[0，l]，应用粘结引理立即可见f是连续的，此外我们有f（0）＝（0）=x和f(1)= (1)=z．因此f是从x到z的一条道路．）以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．定义4.5.4 设X是一个拓扑空间．对于X中的点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个道路连通分支．如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个道路连通分支称为X的子集Y的一个道路连通分支．拓扑空间X的每一个道路连通分支都不是空集；X的不同的道路连通分支无交；以及X的所有道路连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个道路连通分支当且仅当x和y道路连通．拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个道路连通分支的充分必要条件是A中有一条从x到y的道路．根据定义易见，拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集；根据定理4.5.1，它也是一个连通子集；又根据定理4．3．l，它必然包含在某一个连通分支之中．作为定理4.5.l在某种特定情形下的一个逆命题，我们有下述定理：定理4.5.5 n维欧氏空间的任何一个连通开集都是道路连通的．证明首先我们注意n维欧氏空间中的任何一个球形邻域都是道路连通的，这是因为它同胚于n维欧氏空间本身．其次证明n维欧氏空间的任何一个开集的任何一个道路连通分支都是一个开集：设U是的一个开集，C是U的一个道路连通分支．设x∈C．因为U是一个包含x的开集，所以也包含着以x为中心的某一个球形邻域B（x，ε）．由于球形邻域B(x,ε)是道路连通的，并且B（x，ε）∩C包含着x，故非空,这导致B（x，ε）C．所以C是一个开集．最后,设V是的一个连通开集．如果V，则没有什么要证明的．下设V．V是它的所有道路连通分支的无交并，根据前一段中的结论，每一个道路连通分支都是开集．因此如果V有多于一个道路连通分支，易见这时V可以表示为两个无交的非空开集之并，因此V是不连通的，这与假设矛盾．因此V只可能有一个道路连通分支，也就是说V是道路连通的．推论 4.5.6 n维欧氏空间中任何开集的每一个道路连通分支同时也是它的一个连通分支．证明由于n维欧氏空间是一个局部连通空间，根据定理4．4．1，它的任何开集的任何连通分支都是开集.根据定理4.5.5，的任何开集的任何连通分支都是道路连通的，因此包含于这个开集的某一个道路连通分支之中．另一方面．任何一个集合的道路连通分支，由于它是连通的，因此包含于这个集合的某一个连通分支之中，本推论的结论成立．通过引进局部道路连通的概念，定理4.5.5和推论4.5.6的结论可以得到推广．（参见习题5．）作业:P132 1. 2.本章总结：（1）有关连通、局部连通、道路连通均为某个集合的概念，与这个集合的母空间是否连通、局部连通、道路连通无关．（2）掌握连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系．（3）记住中的哪些子集是连通、局部连通、道路连通的．（4）连通、局部连通、道路连通分支是一个分类原则，即每个集合都是若干个某某分支的并，任两个不同的分支无交，每个分支非空．若两个分支有交，则必是同一个分支．（5）连通是本章的重点．（6）掌握证明连通、不连通及道路连通的方法．特别注意反证法．（7）掌握连通性、局部连通性、道路连通是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的．。
河北师大点集拓扑第四章教案
河北师大点集拓扑第四章教案教案：河北师大点集拓扑第四章教学内容：本节课主要讲解第四章的内容，包括拓扑空间的连通性、道路连通性、紧性以及可数性。
具体内容包括：1. 拓扑空间的连通性：定义连通空间、路径连通空间、开覆盖等概念，并探讨它们之间的关系。
2. 道路连通性：定义道路连通空间，探讨道路连通性与连通性的关系。
3. 紧性：定义紧空间，探讨紧性与道路连通性的关系，以及紧空间的性质。
4. 可数性：定义可数空间，探讨可数性与紧性的关系，以及可数空间的性质。
教学目标：1. 理解拓扑空间的连通性、道路连通性、紧性以及可数性的概念，并掌握它们的性质和关系。
2. 能够运用这些概念和性质解决相关问题，提高逻辑思维和解决问题的能力。
3. 培养学生的抽象思维能力，提高对数学概念的理解和运用能力。
教学难点与重点：1. 教学难点：紧性的定义和判断，可数性的性质和判断。
2. 教学重点：连通性与路径连通性的关系，紧性与道路连通性的关系。
教具与学具准备：1. 教具：黑板、粉笔、投影仪。
教学过程：1. 引入：通过简单的实例，引导学生回顾第三章的内容，复习连通性、路径连通性、开覆盖等概念。
2. 讲解：详细讲解第四章的内容，包括连通性、道路连通性、紧性以及可数性的定义和性质。
通过示例和图示，帮助学生理解和掌握这些概念。
3. 练习：给出一些练习题，让学生现场解答，巩固所学的知识。
4. 讨论：组织学生进行小组讨论，探讨连通性、道路连通性、紧性以及可数性之间的关系，引导学生运用所学的知识解决实际问题。
板书设计：1. 连通性：定义、性质、与路径连通性的关系。
2. 道路连通性：定义、性质、与连通性的关系。
3. 紧性：定义、性质、与道路连通性的关系。
4. 可数性：定义、性质、与紧性的关系。
作业设计：a) 直线上的开区间b) 平面上的单位圆c) 实数轴上的有理数集d) 实数轴上的无理数集答案：a) 连通性：是，道路连通性：是，紧性：是，可数性：是。
河北师大点集拓扑第四章优质教案
河北师大点集拓扑第四章优质教案一、教学内容1. 4.1 节：拓扑空间的定义与基本性质2. 4.2 节：度量空间的概念及其性质3. 4.3 节：紧致性与连通性二、教学目标1. 理解并掌握拓扑空间、度量空间的基本概念及性质。
2. 学会运用紧致性定理和连通性定理分析问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的抽象思维能力，为后续学习高级拓扑学打下基础。
三、教学难点与重点1. 教学难点：拓扑空间与度量空间的概念及其性质，紧致性与连通性的判定。
2. 教学重点：拓扑空间的基本性质，度量空间的定义及实例，紧致性与连通性的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入拓扑空间和度量空间的概念。
2. 新课导入：详细讲解拓扑空间、度量空间的基本概念及性质，结合实例进行分析。
3. 例题讲解：讲解典型例题，引导学生运用所学知识解决问题。
4. 随堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
5. 知识拓展：介绍紧致性与连通性的定理及其应用。
7. 课后作业布置：布置作业，要求学生课后巩固所学知识。
六、板书设计1. 拓扑空间的基本概念与性质2. 度量空间的概念及其性质3. 紧致性与连通性4. 典型例题及解题方法5. 课后作业七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：任意两个度量空间之间的同胚映射是连续的。
（3）举例说明紧致性与连通性的应用。
2. 答案：见附录。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：针对本节课的教学过程，反思教学方法是否得当，学生掌握情况如何，下一步教学计划如何调整。
2. 拓展延伸：引导学生进一步学习高级拓扑学知识，了解拓扑学在数学及相关领域中的应用。
重点和难点解析：1. 教学难点与重点的确定2. 教学过程中的例题讲解与随堂练习3. 作业设计4. 课后反思及拓展延伸详细补充和说明：一、教学难点与重点的确定1. 拓扑空间与度量空间的基本概念：这是学生接触拓扑学的基石，需重点讲解，并通过实例加深理解。
拓扑学中的连通性与紧致性-教案
拓扑学中的连通性与紧致性-教案一、引言1.1拓扑学的基本概念1.1.1拓扑空间：集合与开集的公理化定义1.1.2拓扑性质：连续性、连通性、紧致性等1.1.3拓扑学的应用：数学、物理、计算机科学等领域1.1.4拓扑学的重要性：研究空间结构的理论基础1.2连通性与紧致性的基本概念1.2.1连通性：空间中任意两点可以通过路径相连1.2.2紧致性：空间中任意开覆盖都有有限子覆盖1.2.3连通性与紧致性的关系：相互独立但相互影响1.2.4连通性与紧致性的应用：证明定理、解决实际问题1.3教学目标与教学方法1.3.1教学目标：理解连通性与紧致性的概念及其应用1.3.2教学方法：讲解、讨论、练习相结合1.3.3教学评价：课后练习、小测验、期末考试1.3.4教学资源：教材、参考书、网络资源二、知识点讲解2.1连通性的分类与性质2.1.1连通性的分类：路径连通、弧连通、连通2.1.2连通性的性质：连通子集、连通分支、连通积2.1.3连通性的应用：拓扑空间的分类、不动点定理2.1.4连通性的证明方法：构造路径、使用连通分支2.2紧致性的定义与性质2.2.1紧致性的定义：任意开覆盖都有有限子覆盖2.2.2紧致性的性质：闭包、内部、边界均为紧致2.2.3紧致性的应用：有限覆盖定理、紧致空间的性质2.2.4紧致性的证明方法：构造有限子覆盖、使用紧致性质2.3连通性与紧致性的关系2.3.1紧致空间的连通性：紧致空间必连通2.3.2连通空间的紧致性：连通空间不一定紧致2.3.3连通性与紧致性的相互影响：紧致空间的连通分支2.3.4连通性与紧致性的应用：证明定理、解决实际问题三、教学内容3.1教学重点与难点3.1.1教学重点：连通性、紧致性的概念及其应用3.1.2教学难点：连通性与紧致性的证明方法3.1.3教学重点与难点的处理：讲解、讨论、练习相结合3.1.4教学重点与难点的评价：课后练习、小测验、期末考试3.2教学内容安排3.2.1连通性的概念与性质：2课时3.2.2紧致性的概念与性质：2课时3.2.3连通性与紧致性的关系：2课时3.2.4教学内容安排的合理性：充分考虑学生的接受能力3.3教学方法与手段3.3.1讲解：深入浅出地讲解概念、性质、应用3.3.2讨论：引导学生思考、提问、回答问题3.3.3练习：布置课后练习、小测验、期末考试3.3.4教学方法与手段的有效性：提高学生的学习兴趣和积极性四、教学目标4.1理解连通性与紧致性的概念4.1.1能够准确描述连通性的定义及其分类4.1.2能够解释紧致性的含义及其在数学中的应用4.1.3能够区分连通性与紧致性的不同特点4.1.4能够通过具体例子说明连通性与紧致性的重要性4.2掌握连通性与紧致性的性质4.2.1能够列举并解释连通性的基本性质4.2.2能够阐述紧致性的主要性质及其证明方法4.2.3能够分析连通性与紧致性之间的关系4.2.4能够应用连通性与紧致性的性质解决实际问题4.3应用连通性与紧致性解决实际问题4.3.1能够使用连通性证明某些拓扑空间的性质4.3.2能够应用紧致性解决数学分析中的问题4.3.3能够将连通性与紧致性的概念应用于其他学科4.3.4能够设计实验或例子来验证连通性与紧致性的应用五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1连通性与紧致性的严格定义及其理解5.1.2连通性与紧致性性质的证明方法5.1.3连通性与紧致性在复杂空间中的应用5.1.4学生对于抽象概念的接受与运用能力5.2教学重点5.2.1连通性与紧致性的基本概念及其分类5.2.2连通性与紧致性的性质及其相互关系5.2.3连通性与紧致性在实际问题中的应用5.2.4学生对于连通性与紧致性的理解和应用能力5.3教学难点与重点的处理5.3.1通过直观例子和图形解释抽象概念5.3.2分步骤讲解性质证明，强调逻辑推理5.3.3结合实际问题，展示连通性与紧致性的应用5.3.4通过练习和讨论，提高学生的理解和应用能力六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1白板和马克笔：用于展示公式、图形和概念6.1.2多媒体设备：用于播放PPT和视频资料6.1.3模型或实物：用于直观展示连通性与紧致性的例子6.1.4教学软件：用于模拟拓扑空间的变换和性质6.2学具准备6.2.1笔记本和文具：用于记录课堂笔记和练习6.2.2数学软件：用于验证和探索连通性与紧致性6.2.3参考书籍和资料：用于课后复习和深入学习6.2.4小组讨论材料：用于小组合作学习和讨论6.3教具与学具的有效使用6.3.1教具与教学内容紧密结合，提高教学效果6.3.2学具鼓励学生主动学习和探索，增强实践能力6.3.3定期检查和更新教具与学具，确保其适用性6.3.4教具与学具的使用与评价相结合，促进教学反馈七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入连通性与紧致性的背景和意义7.1.2通过日常生活中的例子激发学生兴趣7.1.3提出问题，引导学生思考和讨论7.1.4阐述本节课的学习目标和内容安排7.2知识讲解7.2.1详细讲解连通性与紧致性的定义和分类7.2.2通过图形和模型展示连通性与紧致性的性质7.2.3举例说明连通性与紧致性的应用场景7.2.4引导学生参与讨论，加深对概念的理解7.3练习与应用7.3.1布置练习题，巩固学生对概念的理解7.3.2通过小组合作，解决实际问题中的应用7.3.3鼓励学生提出问题，进行课堂讨论和解答7.3.4对学生的练习和讨论进行评价和反馈7.4.1回顾本节课的主要内容和学习目标7.4.2邀请学生分享学习心得和收获7.4.3对教学过程进行反思，提出改进措施7.4.4布置课后作业，为下一节课做好准备八、板书设计8.1连通性与紧致性的定义8.1.1连通性的定义8.1.2紧致性的定义8.1.3连通性与紧致性的对比8.1.4具体例子展示8.2连通性与紧致性的性质8.2.1连通性的性质8.2.2紧致性的性质8.2.3性质的证明方法8.2.4性质的应用举例8.3连通性与紧致性的应用8.3.1在数学中的应用8.3.2在物理学中的应用8.3.3在计算机科学中的应用8.3.4实际生活中的应用实例九、作业设计9.1基础概念理解9.1.1连通性与紧致性的定义9.1.2连通性与紧致性的分类9.1.3连通性与紧致性的性质9.1.4连通性与紧致性的应用9.2案例分析9.2.1分析给定空间的连通性9.2.2判断给定空间的紧致性9.2.3应用连通性与紧致性解决实际问题9.2.4设计实验验证连通性与紧致性的应用9.3深度思考与拓展9.3.1探讨连通性与紧致性的相互关系9.3.2研究连通性与紧致性在复杂数学问题中的应用9.3.3分析连通性与紧致性在其他学科中的应用9.3.4设计实验或研究项目，深入研究连通性与紧致性十、课后反思及拓展延伸10.1教学效果评估10.1.1学生对连通性与紧致性概念的理解程度10.1.2学生对连通性与紧致性性质的掌握情况10.1.3学生应用连通性与紧致性解决问题的能力10.1.4教学方法的适用性和有效性10.2教学反思与改进10.2.1教学内容的难易程度与学生的接受能力10.2.2教学方法的创新与改进10.2.3教学资源的利用与优化10.2.4学生学习兴趣与积极性的提升10.3拓展延伸10.3.1引导学生探索连通性与紧致性的高级性质10.3.2结合其他数学分支，研究连通性与紧致性的应用10.3.3鼓励学生参加数学竞赛或研究项目，深入研究连通性与紧致性10.3.4开展数学俱乐部或研讨会，促进学生间的交流与合作重点关注环节补充和说明：1.教学难点与重点的处理：通过直观例子和图形解释抽象概念，分步骤讲解性质证明，强调逻辑推理，结合实际问题，展示连通性与紧致性的应用，通过练习和讨论，提高学生的理解和应用能力。
《点集拓扑讲义》第四章连通性学习笔记
第4章连通性本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．§4.1连通空间本节重点:掌握连通与不连通的定义；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果则称子集A和B是隔离的．明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l）X是一个不连通空间；（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求．条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．条件（3）蕴涵（4）．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由A＝和B=易见A和B都是X中的闭集，因此A、B 是X中既开又闭的真（∵A、B≠，A∪B=X，∴A、B≠X）子集，所以条件（4）成立．条件（4）蕴涵（l）．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B=．则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l）成立．例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合（-∞，r）∩Q＝（－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集．定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间．证明我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4.1.1，在R中有两个非空闭集A和B使得A∩B=和A∪B＝R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性可设a＜b．令=A∩[a,b]，和=B∩[a,b]．于是和是R中的两个非空闭集分别包含a和b，并且使得∩=和∪=[a，b]成立．集合有上界b，故有上确界，设为．由于是一个闭集，所以∈，并且因此可见＜b，因为＝b将导致b∈∩，而这与∩=矛盾．因此（，b]．由于是一个闭集，所以∈．这又导致∈∩，也与∩=矛盾．定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集．拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与X的连通与否没有关系．)．因此，如果，则Y是X 的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，B Y．则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集．因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y．证明用、分别表示A在Y，X中的闭包．因为因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4.1.4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B使得Y AUB，则或者Y A，或者Y B．证明如果A和B是X中的隔离子集使得Y AUB，则这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩Y＝Y因此根据定理4.1.3，集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果A∩Y=，据上式立即可见Y B，如果B∩Y＝，同理可见Y A．定理 4.1.5 设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足条件．则Z也是X的一个连通子集．证明假设Z是X中的一个不连通子集．根据定理4.1.3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B，因此Y AUB．由于Y是连通的，根据定理4.1.4，或者Y A．或者Y B,同理,．这两种情形都与假设矛盾．定理4.1.6 设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族．如果，则是X的一个连通子集．证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得，＝A∪B．任意选取x∈，不失一般性，设x∈A．对于每一个γ∈Γ，由于连通，根据定理 4.1.4，或者或者；由于x∈∩A，所以．根据定理4.1.3，这就证明了是连通的．定理4.1.7 设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x，y∈Y存在X中的一个连通子集使得x，y∈Y，则Y是X中的一个连通子集．证明如果Y=，显然Y是连通的．下设Y≠,任意选取a∈Y，容易验证Y＝并且a∈．应用定理4.1.6，可见Y是连通的．我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2．2）．所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．以下定理4.1.8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．定理4.1.8 设f:X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射．则f（X）是Y的一个连通子集．证明如果f（X）是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A 和B使得f（X）＝A∪B．于是（A）和（B）是X的非空子集，并且所以（A）和（B）是X的非空隔离子集．此外，（A）∪（B）＝（A∪B）=(f(X))=X这说明X不连通．与定理假设矛盾．拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n＞0个拓扑空间都具有性质p，蕴涵着积空间也具有性质p．例如，容易直接证明，如果拓扑空间都是离散空间（平庸空间），则积空间也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质．根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质．为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间．定理4.1.9 设是n个连通空间．则积空间也是连通空间．证明根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明．首先我们指出：如果两个点有一个坐标相同，则有一个连通子集同时包含x和y不失一般性，设定义映射k：使得对于任何有．由于是取常值的映射，为恒同映射，它们都是连续映射，其中分别是到第1和第2个坐标空间的投射．因此，k是一个连续映射．根据定理4.1.8，k()是连通的．此外易见，，因此它同时包含x和y．现在来证明：中任何两个点同时属于的某一个连通子集．这是因为这时若令，则根据前段结论，可见有的一个连通子集同时包含x和z，也有的一个连通子集同时包含y和z．由于z∈，因此根据定理4.1.6，是连通的，它同时包含x和y．于是应用定理4.1.7可见是一个连通空间．因为n维欧氏空间是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间是一个连通空间．作业:P116 3．5．6．8．14．§4.2连通性的某些简单应用本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b∈E，a＜b，则有[a，b]={x∈R|a≤x≤b} E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：（-∞，∞），（a，∞），［a，∞），（-∞，a），(-∞，a］（a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果ER是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E，而将E归入以上9类之一在定理4．1．2中我们证明了实数空间R是一个连通空间．因为区间（a，∞），（－∞，a）和（a，b）都同胚于R（请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于根据定理4．1．5可见区间[a，∞），（－∞，a]，[a，b），（a，b]和[a，b］都是连通的．另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E不是一个区间，则,也就是说,存在a<c<b,使得；从而，若令A=（－∞，c）∩E，B=(c，∞)∩E则可见A和B都是E的非空开集，并且有A∪B=E和A∩B=，因此E不连通.综合以上两个方面，我们已经证明了：定理4.2.1 设E是实数空间R的一个子集．E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间．定理4.2.2 设X是一个连通空间，f:X→R是一个连续映射．则f(X)是R 中的一个区间．因此，如果x，y∈X，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t（即当f(x)≤f(y)时，f(x)≤t≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t≤f(x))，存在z∈X 使得f(z)=t．证明这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4.2.1的明显推论．以下证明第二段．设x，y∈X．如果f（x）＝f（y），则没有什么要证明的．现在设f（x）≠f（y），并且不失一般性，设f（x）＜f（y）．由于f（X）是一个区间，所以［f（x），f（y）］f（X）．因此对于任何t，f(x)≤t≤f(y)，有t∈f(X)，所以存在z∈X,使得f（z）=t.根据定理4.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理．定理4.2.3［介值定理］设f:[a，b]→R是从闭区间[a，b]到实数空间R的一个连续映射．则对于f（a）与f（b）之间的任何一个实数r，存在z∈［a，b］使得f(z)=r．定理4.2.4[不动点定理] 设f:[0，1]→［0，1］是一个连续映射．则存在z∈[0，1]使得f(z)=z证明如同数学分析中的证法那样,只需构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.容易证明欧氏平面中的单位圆周是连通的.这是因为如果定义映射f:R→使得对于任意t∈R有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈，则易于验证f是一个连续映射，并且f(R)＝．因此是连通空间R在一个连续映射下的象，所以它是连通的．设点称为点x的对径点．映射r：使得任何x∈,有r(x)=-x，称为对径映射．对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面到自身的反射l：在单位圆周上的限制．其中，映射l 定义为对于任何,有l（x）＝-x，容易验证（请读者自行验证)是一个连续映射．定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理] 设f:→R是一个连续映射．则在中存在一对对径点x和-x，使得f(x)=f(-x)．证明(略)我们已经知道n维欧氏空间是连通空间，下面进一步指出：定理4.2.6 n＞1维欧氏空间的子集-{0}是一个连通子集，其中0=（0，0，…，0）∈．证明我们只证明n＝2的情形．根据定理4．1．9，中的子集(-∞，0)×R和（0，∞）×R都是连通的．由于所以根据定理4．1．5，Rn中的子集A=［0，∞）×R-{0}是连通的；同理，子集B=(-∞，0］×R-{0}是连通的．由于A∩B≠以及A∪B=-{0}，因此根据定理4.1．6可见，-{0}是连通的．一般情形的证明类似，请读者自行补证.定理4.2.6可以得到进一步的改善（参见习题第4题）定理4.2.7 欧氏平面和实数空间R不同胚．证明假设与R同胚，并且设f:→R是一个同胚．因此对于连续映射我们有．但根据定理 4.2.6，-{0}是连通的，而根据定理4.2.1，R-{f(0)}是不连通的．这与定理4．1．8矛盾．定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例．定理4.2.4，定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：定理4.2.8[Brouwer不动点定理] 设f：是一个连续映射，其中是n维球体．则存在z∈使得f（z）=z．定理4.2.9[Borsuk－Ulam定理] 设f：是一个连续映射，其中n≥m，则存在x∈使得f（x）=f（-x）．定理4.2.10 如果n≠m，则欧氏空间和不同胚．这些定理的证明（除去我们已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍．作业：P121 4.§4.3连通分支本节重点:掌握连通分支的定义(即连通”类”的分法)；掌握连通分支的性质(定理4.3.1)．从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）．定义4.3.1 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一个连通子集同时包含x和y，我们则称点x和y是连通的．(注意:是点连通) 根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）；（2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x，y∈A和y，z∈B．从而由于y∈A∩B 可见A∪B连通，并且x，z∈A∪B．因此x和z连通．）以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系．定义4.3.2 设X是一个拓扑空间．对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支．如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支．拓扑空间X≠的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通．拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y．定理4.3.1 设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支．则（1）如果Y是X的一个连通子集，并且Y∩C≠；（2）C是一个连通子集；（3）C是一个闭集．本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集．证明（1）任意选取x∈Y∩C．对于任何y∈Y由于x和y连通，故y∈C．这证明Y C．（2）对于任何x，y∈C，根据定义可见，存在X的一个连通子集使得x，y∈．显然∩C≠，故根据（1），C．应用定理4．1．7可知，C是连通的．（3）因为C连通，根据定理4．1．5，连通．显然，．所以根据（1），．从而C是一个闭集．但是，一般说来连通分支可以不是开集．例如考虑有理数集Q（作为实数空间R的子空间）．设x，y∈Q，x≠y．不失一般性，设x＜y．如果Q的一个子集E同时包含x和y，令A=(-∞，r)∩E和B=(r，∞)∩E，其中r是任何一个无理数，x＜r＜y．此时易见A和B都是Q的非空开集，并且E＝A∪B．因此E不连通．以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的，也就是说，Q的连通分支都是单点集．然而易见Q中的每一个单点集都不是开集．记住这个事实:任一个集合A都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通分支互不相交)．即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支,这个结论也成立．作业:P123 1．3．4．8．§4.4局部连通空间本节重点:掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)；掌握连通与局部连通的关系.引进新的概念之前，我们先来考察一个例子．例4.4.1 在欧氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}．T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证＝S∪T，因此＝S∪T也是连通的．尽管如此，倘若我们查看中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来．定义4.4.1 设X是一个拓扑空间，x∈X．如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的．如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间．回到例4.4.1中所定义的拓扑空间．容易证明，在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的．也因此，尽管是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间．局部连通的拓扑空间也不必是连通的．例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间．又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的），特别，欧氏空间本身是局部连通的．另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）．此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点x∈X处是局部连通的当且仅当x 的所有连通邻域构成点x处的一个邻域基，定理4.4.1 设X是一个拓扑空间．则以下条件等价：（1）X是一个局部连通空间；（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的．证明（1）蕴涵（2）．设C是X的一个连通分支,．如果x∈C，由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U．又由于V∩C包含着点x,所以不是空集，根据定理4．3．1可见．因此C∈．这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集．条件（2）蕴涵（3）．若（2）成立，则X的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基．条件（3）蕴涵(1)．显然．我们常用到定理4.4.1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集．定理4.4.2 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的．又设f:X→Y 是一个连续开映射．则 f（X）是一个局部连通空间．证明根据定理4.4.1，可设B是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的．对于每一个B∈B，集合f(B)是连通的，并且由于f是一个开映射，f（B）是Y中的一个开集，因此也是f（X）的一个开集．这证明集族B1={f（B）|B∈B}}是一个由f（X）的连通开集构成的族．我们指出B1是f(X)的一个基，这是因为，如果U是f(X)中的一个开集，则（U）是X中的一个开集，因此是B1中某些元素之并．于是根据定理4.4.l可知f（X）是局部连通的．根据定理4.4.2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.定理 4.4.3设是n≥1个局部连通空间．则积空间也是局部连通空间．证明(略)应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多．例如，实数空间R由于所有的开区间构成它的一个基，所以它是局部连通的；n维欧氏空间是n个R 的积空间，所以它也是局部连通的．当然这些事情我们早就知道了．作业:P127 1.2.3.§4.5道路连通空间较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”．定义4.5.1 设X是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X的每一个连续映射f:[0，1]→X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点．当x＝f（0）和y＝f（1）时，称f是X中从x到y的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．如果f是X中的一条道路，则道路f的象集f([0，l])称为X中的一条曲线或弧，并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点．或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念．定义4.5.2 设X是一个拓扑空间．如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路（或曲线），我们则称X是一个道路连通空间．X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间．(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)实数空间R是道路连通的．这是因为如果x，y∈R，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的．定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间．证明对于任何x，y∈X，由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f:[0，l]→X这时曲线f（[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y∈f（[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间．连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l中的是一个连通空间．不难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的．道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了．定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X→Y是一个连续映射．则 f（X）是道路连通的．证明设．由于X是道路连通的，故X中有从到的一条道路g：[0，1]→X．易见，映射h：[0，1]→f(X)，定义为对于任意t∈[0，1]有h（t）=f g（t），是f（X）中从到的一条道路．这证明f（X）是道路连通的．根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质.定理 4.5.3设是n≥1个道路连通空间．则积空间也是道路连通空间．证明我们只需要对n＝2的情形加以证明．设对于i=l，2，由于是道路连通空间，故在中有从到的一条道路：[0，1]→．定义映射f：[0，1]→，使得对于任何t∈[0，l]有f（t）＝（)．容易验证（应用定理3．2.7）f是连续的，并且有f(0)=x,f(1)=y．这也就是说f是中从x到y的一条道路．这证明是一个道路连通空间．作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n维欧氏空间是一个道路连通空间．（这个结论也容易直接验证．）为了今后的需要我们证明以下引理，定理4.5.4[粘结引理] 设A和B是拓扑空间X中的两个开集（闭集），并且有X＝A∪B．又设Y是一个拓扑空间，：A→Y和：B→Y是两个连续映射，满足条件：定义映射f:X→Y使得对于任何x∈X，f（x）＝则f是一个连续映射．证明首先注意，由于，映射f的定义是确切的．因为当x∈A∩B时，有．其次，我们有：对于Y的任何一个子集Z有这是由于现在设U是Y的一个开集．由于都连续，所以分别是A和B的开集．然而A和B都是X的开集，所以也都是X的开集．因此是X的一个开集．这便证明了f是一个连续映射．当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的．我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念．定义4.5.3 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一条从x到y 的道路，我们则称点x和y是道路连通的．(注意:是“点”道路连通) 根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X（它必然是连续的）便是一条从x到x的道路．）（2）如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0，1]→X是X中从x到y的一条道路．定义映射j：[0，l]→X，使得对于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1－t）．容易验证j是一条从y到x的道路．)（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（设：[0，1]→X分别是X中从x到y和从y到z的道路．定义映射f:[0，1]→X使得对于任何t∈[0，l]，应用粘结引理立即可见f是连续的，此外我们有f（0）＝（0）=x和f(1)=(1)=z．因此f是从x到z的一条道路．）以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．。
《点集拓扑学学习心得》
《点集拓扑学学习心得》点集拓扑学是由分析、几何、和代数等许多学科的一些基本概念和问题抽象而成的一个数学分支，是理工科相关专业的一门基础课。
它的许多概念、理论、方法广泛的应用与泛函分析、微分几何和微分方程等领域中。
通过这门课程的学习可以加强我们对学习了的数学分析、实变函数、常微分方程等课程的理解。
因此我们有必要努力学好这一门课程。
在学习中我有几点深刻的体会。
第一、这门课程确实很抽象。
它不同于我们学习的其他数学课程，如数学分析、高等代数、常微分方程、实变函数等，点击拓扑几乎没有计算的内容，逻辑性强。
在学习概念后就是一连串的定理、推论，例子也比较少，且多为证明。
所以学习起来就比较枯燥。
一开始学习的掉以轻心让我后悔不已。
第二、抽象的概念也是有它形成的基础。
点集拓扑学是一门建立在集合论的基础上的一门学科，因此第一章的集合论初步是学习的预备知识。
尤其是映射的像和原像的性质，这些性质对刻画拓扑空间中映射的连续性有重要作用。
而第二章是全书的理论基础，尤其重要。
并且概念和概念之间也是相互联系的。
比如度量给出以后，度量空间的相应概念由此产生。
开集、邻域的概念形成后，导集、闭集、闭包、内部、边界及其性质大都是借助它们来说明的。
因此学习的时候每一个概念都要弄懂。
第三、点集拓扑学中涉及到很多我们已经在其他学科中学习到的知识，因此我们要注意对比分析。
序列的极限、函数的连续性是数学分析的基础，其中涉及两个实数的距离。
数学分析中绝大多数问题都离不开距离。
而点集拓扑学中建立了以距离为出发点的距离空间。
数学分析中我们熟知的欧式空间和欧式空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间的连续映射，抽象到拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。
数学分析中数列涉及敛散性、连续性、以及极限存在的条件等，而点集拓扑学中序列也涉及到这些内容，但是它们之间存在着异同之处。
在拓扑空间中一般不能用点列的收敛来刻画聚点，进而拓扑空间之间的连续映射不能用极限来刻画。
《点集拓扑学》§4.4 局部连通空间
§4.4 局部连通空间本节重点:掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)；掌握连通与局部连通的关系.引进新的概念之前，我们先来考察一个例子．例4.4.1在欧氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}．T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证＝S∪T，因此＝S∪T也是连通的．尽管如此，倘若我们查看中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来．定义4.4.1 设X是一个拓扑空间，x∈X．如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的．如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间．回到例4.4.1中所定义的拓扑空间．容易证明，在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的．也因此，尽管是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间．局部连通的拓扑空间也不必是连通的．例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间．又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的），特别，欧氏空间本身是局部连通的．另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）．此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点x∈X处是局部连通的当且仅当x的所有连通邻域构成点x 处的一个邻域基，定理4.4.1 设X是一个拓扑空间．则以下条件等价：（1）X是一个局部连通空间；（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的．证明（1）蕴涵（2）．设C是X的一个连通分支,．如果x∈C，由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U．又由于V∩C包含着点x,所以不是空集，根据定理4．3．1可见．因此C∈．这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集．条件（2）蕴涵（3）．若（2）成立，则X的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基．条件（3）蕴涵(1)．显然．我们常用到定理4.4.1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集．定理4.4.2 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的．又设f:X→Y 是一个连续开映射．则 f（X）是一个局部连通空间．证明根据定理4.4.1，可设B是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的．对于每一个B∈B，集合f(B)是连通的，并且由于f是一个开映射，f（B）是Y中的一个开集，因此也是f（X）的一个开集．这证明集族B1={f（B）|B∈B}}是一个由f（X）的连通开集构成的族．我们指出B1是f(X)的一个基，这是因为，如果U是f(X)中的一个开集，则（U）是X中的一个开集，因此是B1中某些元素之并．于是根据定理4.4.l可知f（X）是局部连通的．根据定理4.4.2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.定理 4.4.3设是n≥1个局部连通空间．则积空间也是局部连通空间．证明(略)应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多．例如，实数空间R由于所有的开区间构成它的一个基，所以它是局部连通的；n维欧氏空间是n个R的积空间，所以它也是局部连通的．当然这些事情我们早就知道了．作业:P127 1.2.3.。
点集拓扑学教学讲义1
第四章连通性P123 习题2．设A1,A2,B1,B2都是拓扑空间X的子集，证明：集合A1⋃A2和B1⋃B2是隔离子集当且仅当对于任何i,j∈{1,2},集合Ai ,Bj是隔离的。
证：由于[(A1⋃A2)⋂(21BB⋃]⋃[(B1⋃B2)⋂(21AA⋃)]=}2,1{,)]()[(∈⋂⋃⋂j iijjiABBA由隔离子集的定义立即得证3.设A，B是拓扑空间X的隔离子集，证明：如果A⋃B是开集（闭集），则A，B是开集（闭集）。
证明：由于A，B是X的隔离子集，则X1=A⋃B是X中不连通子集。
由定理4.1.1知，A，B 为X1的非空开子集，也为非空闭子集。
若X1=A⋃B为开（闭）子空间，则A，B必为开（闭）集。
4.有限补空间和可数补空间何时是连通的？何时不是连通的？给出结论和证明。
解：设X为有限补空间，Y为可数补空间，若X为有限集，则X中每个开集同时为闭集，由定理4.1.1此时X为不连通的。
若Y为可数集，则Y中每个开集同时为闭集，由定理4.1.1此时Y为不连通的。
5.设J和I是X的两个拓扑，I⊂J，证明：若（X，J）是连通的，则（X，I）也是连通的。
证：设i：（X，J）→（X，I）为恒同映射。
由I⊂J，则i为连续的，由定理4.1.8立即得结论。
6.设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合。
证明：如果A⋂B≠φ，则A⊂B证明：若B=X，则证毕若B⊂X，则X=B⋃（X＼Ｂ），从而Ｘ不是连通空间。
Ａ＝Ａ⋂Ｘ＝（Ａ⋂Ｂ）⋃[A⋂(X\B)]由A为连通子集，A⋂B≠φ，必有A⋂（X\B）≠φ所以 A ⊂B9.设Y 是拓扑空间X 的一个子集，证明：Y 是X 的一个不连通子集当且仅当X 中存在两个非空集合A 和B 使得Y ⊂ A ⋃B ，φ≠⋂B A ，Y ⋂A φ≠，Y ⋂B φ≠成立。
证：⇐显然⇒由Y 不连通，则存在X 的隔离子集A ，B ，使得Y ⊂Y =A ⋃B=B A ⋃=B A ⋃， 所以A =A ⋂Y =A ⋂（A ⋃B ）=A ⋃（A ⋂B ）=A 所以A 为闭集，同理B 为闭集 所以B A ⋂=A ⋂B φ=若Y ⋂A φ=则Y ⊂B ，所以Y ⊂B =B 所以Y ⋂A=B ⋂A φ=，矛盾 所以Y ⋂A φ≠ ，同理Y ⋂B φ≠。
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第4章连通性本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．§4.1连通空间本节重点:掌握连通与不连通的定义；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果则称子集A和B是隔离的．明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l）X是一个不连通空间；（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求．条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．条件（3）蕴涵（4）．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由A＝和B=易见A和B都是X中的闭集，因此A、B 是X中既开又闭的真（∵A、B≠，A∪B=X，∴A、B≠X）子集，所以条件（4）成立．条件（4）蕴涵（l）．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B=．则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l）成立．例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合（-∞，r）∩Q＝（－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集．定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间．证明我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4.1.1，在R中有两个非空闭集A和B使得A∩B=和A∪B＝R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性可设a＜b．令=A∩[a,b]，和=B∩[a,b]．于是和是R中的两个非空闭集分别包含a和b，并且使得∩=和∪=[a，b]成立．集合有上界b，故有上确界，设为．由于是一个闭集，所以∈，并且因此可见＜b，因为＝b将导致b∈∩，而这与∩=矛盾．因此（，b]．由于是一个闭集，所以∈．这又导致∈∩，也与∩=矛盾．定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集．拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与X的连通与否没有关系．)．因此，如果，则Y是X 的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，B Y．则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集．因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y．证明用、分别表示A在Y，X中的闭包．因为因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4.1.4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B使得Y AUB，则或者Y A，或者Y B．证明如果A和B是X中的隔离子集使得Y AUB，则这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩Y＝Y因此根据定理4.1.3，集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果A∩Y=，据上式立即可见Y B，如果B∩Y＝，同理可见Y A．定理 4.1.5 设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足条件．则Z也是X的一个连通子集．证明假设Z是X中的一个不连通子集．根据定理4.1.3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B，因此Y AUB．由于Y是连通的，根据定理4.1.4，或者Y A．或者Y B,同理,．这两种情形都与假设矛盾．定理4.1.6 设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族．如果，则是X的一个连通子集．证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得，＝A∪B．任意选取x∈，不失一般性，设x∈A．对于每一个γ∈Γ，由于连通，根据定理 4.1.4，或者或者；由于x∈∩A，所以．根据定理4.1.3，这就证明了是连通的．定理4.1.7 设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x，y∈Y存在X中的一个连通子集使得x，y∈Y，则Y是X中的一个连通子集．证明如果Y=，显然Y是连通的．下设Y≠,任意选取a∈Y，容易验证Y＝并且a∈．应用定理4.1.6，可见Y是连通的．我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2．2）．所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．以下定理4.1.8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．定理4.1.8 设f:X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射．则f（X）是Y的一个连通子集．证明如果f（X）是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A 和B使得f（X）＝A∪B．于是（A）和（B）是X的非空子集，并且所以（A）和（B）是X的非空隔离子集．此外，（A）∪（B）＝（A∪B）=(f(X))=X这说明X不连通．与定理假设矛盾．拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n＞0个拓扑空间都具有性质p，蕴涵着积空间也具有性质p．例如，容易直接证明，如果拓扑空间都是离散空间（平庸空间），则积空间也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质．根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质．为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间．定理4.1.9 设是n个连通空间．则积空间也是连通空间．证明根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明．首先我们指出：如果两个点有一个坐标相同，则有一个连通子集同时包含x和y不失一般性，设定义映射k：使得对于任何有．由于是取常值的映射，为恒同映射，它们都是连续映射，其中分别是到第1和第2个坐标空间的投射．因此，k是一个连续映射．根据定理4.1.8，k()是连通的．此外易见，，因此它同时包含x和y．现在来证明：中任何两个点同时属于的某一个连通子集．这是因为这时若令，则根据前段结论，可见有的一个连通子集同时包含x和z，也有的一个连通子集同时包含y和z．由于z∈，因此根据定理4.1.6，是连通的，它同时包含x和y．于是应用定理4.1.7可见是一个连通空间．因为n维欧氏空间是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间是一个连通空间．作业:P116 3．5．6．8．14．§4.2连通性的某些简单应用本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b∈E，a＜b，则有[a，b]={x∈R|a≤x≤b} E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：（-∞，∞），（a，∞），［a，∞），（-∞，a），(-∞，a］（a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果ER是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E，而将E归入以上9类之一在定理4．1．2中我们证明了实数空间R是一个连通空间．因为区间（a，∞），（－∞，a）和（a，b）都同胚于R（请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于根据定理4．1．5可见区间[a，∞），（－∞，a]，[a，b），（a，b]和[a，b］都是连通的．另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E 不是一个区间，则,也就是说,存在a<c<b,使得；从而，若令A=（－∞，c）∩E，B=(c，∞)∩E则可见A和B都是E的非空开集，并且有A∪B=E和A∩B=，因此E不连通.综合以上两个方面，我们已经证明了：定理4.2.1 设E是实数空间R的一个子集．E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间．定理4.2.2 设X是一个连通空间，f:X→R是一个连续映射．则f(X)是R 中的一个区间．因此，如果x，y∈X，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t（即当f(x)≤f(y)时，f(x)≤t≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t≤f(x))，存在z∈X 使得f(z)=t．证明这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4.2.1的明显推论．以下证明第二段．设x，y∈X．如果f（x）＝f（y），则没有什么要证明的．现在设f（x）≠f（y），并且不失一般性，设f（x）＜f（y）．由于f（X）是一个区间，所以［f（x），f（y）］f（X）．因此对于任何t，f(x)≤t≤f(y)，有t∈f(X)，所以存在z∈X,使得f（z）=t.根据定理4.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理．定理4.2.3［介值定理］设f:[a，b]→R是从闭区间[a，b]到实数空间R的一个连续映射．则对于f（a）与f（b）之间的任何一个实数r，存在z∈［a，b］使得f(z)=r．定理4.2.4[不动点定理] 设f:[0，1]→［0，1］是一个连续映射．则存在z∈[0，1]使得f(z)=z证明如同数学分析中的证法那样,只需构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.容易证明欧氏平面中的单位圆周是连通的.这是因为如果定义映射f:R→使得对于任意t∈R有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈，则易于验证f是一个连续映射，并且f(R)＝．因此是连通空间R在一个连续映射下的象，所以它是连通的．设点称为点x的对径点．映射r：使得任何x∈,有r(x)=-x，称为对径映射．对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面到自身的反射l：在单位圆周上的限制．其中，映射l 定义为对于任何,有l（x）＝-x，容易验证（请读者自行验证)是一个连续映射．定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理] 设f:→R是一个连续映射．则在中存在一对对径点x和-x，使得f(x)=f(-x)．证明(略)我们已经知道n维欧氏空间是连通空间，下面进一步指出：定理4.2.6 n＞1维欧氏空间的子集-{0}是一个连通子集，其中0=（0，0，…，0）∈．证明我们只证明n＝2的情形．根据定理4．1．9，中的子集(-∞，0)×R和（0，∞）×R都是连通的．由于所以根据定理4．1．5，Rn中的子集A=［0，∞）×R-{0}是连通的；同理，子集B=(-∞，0］×R-{0}是连通的．由于A∩B≠以及A∪B=-{0}，因此根据定理4.1．6可见，-{0}是连通的．一般情形的证明类似，请读者自行补证.定理4.2.6可以得到进一步的改善（参见习题第4题）定理4.2.7 欧氏平面和实数空间R不同胚．证明假设与R同胚，并且设f:→R是一个同胚．因此对于连续映射我们有．但根据定理 4.2.6，-{0}是连通的，而根据定理4.2.1，R-{f(0)}是不连通的．这与定理4．1．8矛盾．定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例．定理4.2.4，定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：定理4.2.8[Brouwer不动点定理] 设f：是一个连续映射，其中是n维球体．则存在z∈使得f（z）=z．定理4.2.9[Borsuk－Ulam定理] 设f：是一个连续映射，其中n≥m，则存在x∈使得f（x）=f（-x）．定理4.2.10 如果n≠m，则欧氏空间和不同胚．这些定理的证明（除去我们已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍．作业：P121 4.§4.3连通分支本节重点:掌握连通分支的定义(即连通”类”的分法)；掌握连通分支的性质(定理4.3.1)．从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）．定义4.3.1 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一个连通子集同时包含x和y，我们则称点x和y是连通的．(注意:是点连通) 根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）；（2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x，y∈A和y，z∈B．从而由于y∈A∩B 可见A∪B连通，并且x，z∈A∪B．因此x和z连通．）以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系．定义4.3.2 设X是一个拓扑空间．对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支．如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支．拓扑空间X≠的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通．拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y．定理4.3.1 设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支．则（1）如果Y是X的一个连通子集，并且Y∩C≠；（2）C是一个连通子集；（3）C是一个闭集．本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集．证明（1）任意选取x∈Y∩C．对于任何y∈Y由于x和y连通，故y∈C．这证明Y C．（2）对于任何x，y∈C，根据定义可见，存在X的一个连通子集使得x，y∈．显然∩C≠，故根据（1），C．应用定理4．1．7可知，C是连通的．（3）因为C连通，根据定理4．1．5，连通．显然，．所以根据（1），．从而C是一个闭集．但是，一般说来连通分支可以不是开集．例如考虑有理数集Q（作为实数空间R的子空间）．设x，y∈Q，x≠y．不失一般性，设x＜y．如果Q的一个子集E同时包含x和y，令A=(-∞，r)∩E和B=(r，∞)∩E，其中r是任何一个无理数，x＜r＜y．此时易见A和B都是Q的非空开集，并且E＝A∪B．因此E不连通．以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的，也就是说，Q的连通分支都是单点集．然而易见Q中的每一个单点集都不是开集．记住这个事实:任一个集合A都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通分支互不相交)．即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支,这个结论也成立．作业:P123 1．3．4．8．§4.4局部连通空间本节重点:掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)；掌握连通与局部连通的关系.引进新的概念之前，我们先来考察一个例子．例4.4.1 在欧氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}．T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证＝S∪T，因此＝S∪T也是连通的．尽管如此，倘若我们查看中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来．定义4.4.1 设X是一个拓扑空间，x∈X．如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的．如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间．回到例4.4.1中所定义的拓扑空间．容易证明，在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的．也因此，尽管是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间．局部连通的拓扑空间也不必是连通的．例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间．又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的），特别，欧氏空间本身是局部连通的．另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）．此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点x∈X处是局部连通的当且仅当x 的所有连通邻域构成点x处的一个邻域基，定理4.4.1 设X是一个拓扑空间．则以下条件等价：（1）X是一个局部连通空间；（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的．证明（1）蕴涵（2）．设C是X的一个连通分支,．如果x∈C，由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U．又由于V∩C包含着点x,所以不是空集，根据定理4．3．1可见．因此C∈．这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集．条件（2）蕴涵（3）．若（2）成立，则X的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基．条件（3）蕴涵(1)．显然．我们常用到定理4.4.1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集．定理4.4.2 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的．又设f:X→Y 是一个连续开映射．则 f（X）是一个局部连通空间．证明根据定理4.4.1，可设B是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的．对于每一个B∈B，集合f(B)是连通的，并且由于f是一个开映射，f（B）是Y中的一个开集，因此也是f（X）的一个开集．这证明集族B1={f（B）|B∈B}}是一个由f（X）的连通开集构成的族．我们指出B1是f(X)的一个基，这是因为，如果U是f(X)中的一个开集，则（U）是X中的一个开集，因此是B1中某些元素之并．于是根据定理4.4.l可知f（X）是局部连通的．根据定理4.4.2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.定理 4.4.3设是n≥1个局部连通空间．则积空间也是局部连通空间．证明(略)应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多．例如，实数空间R由于所有的开区间构成它的一个基，所以它是局部连通的；n维欧氏空间是n个R 的积空间，所以它也是局部连通的．当然这些事情我们早就知道了．作业:P127 1.2.3.§4.5道路连通空间较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”．定义4.5.1 设X是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X的每一个连续映射f:[0，1]→X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点．当x＝f（0）和y＝f（1）时，称f是X中从x到y的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．如果f是X中的一条道路，则道路f的象集f([0，l])称为X中的一条曲线或弧，并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点．或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念．定义4.5.2 设X是一个拓扑空间．如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路（或曲线），我们则称X是一个道路连通空间．X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间．(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)实数空间R是道路连通的．这是因为如果x，y∈R，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的．定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间．证明对于任何x，y∈X，由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f:[0，l]→X这时曲线f（[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y∈f（[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间．连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l中的是一个连通空间．不难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的．道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了．定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X→Y是一个连续映射．则 f（X）是道路连通的．证明设．由于X是道路连通的，故X中有从到的一条道路g：[0，1]→X．易见，映射h：[0，1]→f(X)，定义为对于任意t∈[0，1]有h（t）=f g（t），是f（X）中从到的一条道路．这证明f（X）是道路连通的．根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质.定理 4.5.3设是n≥1个道路连通空间．则积空间也是道路连通空间．证明我们只需要对n＝2的情形加以证明．设对于i=l，2，由于是道路连通空间，故在中有从到的一条道路：[0，1]→．定义映射f：[0，1]→，使得对于任何t∈[0，l]有f（t）＝（)．容易验证（应用定理3．2.7）f是连续的，并且有f(0)=x,f(1)=y．这也就是说f是中从x到y的一条道路．这证明是一个道路连通空间．作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n维欧氏空间是一个道路连通空间．（这个结论也容易直接验证．）为了今后的需要我们证明以下引理，定理4.5.4[粘结引理] 设A和B是拓扑空间X中的两个开集（闭集），并且有X＝A∪B．又设Y是一个拓扑空间，：A→Y和：B→Y是两个连续映射，满足条件：定义映射f:X→Y使得对于任何x∈X，f（x）＝则f是一个连续映射．证明首先注意，由于，映射f的定义是确切的．因为当x∈A∩B时，有．其次，我们有：对于Y的任何一个子集Z有这是由于现在设U是Y的一个开集．由于都连续，所以分别是A和B的开集．然而A和B都是X的开集，所以也都是X的开集．因此是X的一个开集．这便证明了f是一个连续映射．当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的．我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念．定义4.5.3 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一条从x到y 的道路，我们则称点x和y是道路连通的．(注意:是“点”道路连通) 根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X（它必然是连续的）便是一条从x到x的道路．）（2）如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0，1]→X是X中从x到y的一条道路．定义映射j：[0，l]→X，使得对于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1－t）．容易验证j是一条从y到x的道路．)（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（设：[0，1]→X分别是X中从x到y和从y到z的道路．定义映射f:[0，1]→X使得对于任何t∈[0，l]，应用粘结引理立即可见f是连续的，此外我们有f（0）＝（0）=x和f(1)=(1)=z．因此f是从x到z的一条道路．）以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．。