斐波那契数列教案(六年级数学下册)
斐波那契数列教学案例（李小锋）
2009年瑞安市中小学（幼）教师参评案例学段：□高中、□初中、□小学、□幼儿园学科：数学学校：瑞安市职业中专*名：***文章题目：无“书”也精彩——《斐波那契数列》教学案例无“书”也精彩——《斐波那契数列》教学案例一．案例背景职业高中学生的数学成绩普遍较差，学习积极性不高，如果教师不能激发学生的学习兴趣，教学活动将越来越难以开展，教学效果也将越来越差。
如何使学生在课堂中“抬头”，参与到教学活动中，是职业高中数学教师需要解决的问题。
为了激发学生的学习兴趣，许多教师尝试了各种方法，取得很好的效果。
我在这方面也做了一些努力。
比如一堂《斐波那契数列》课，在无“书”，即没有教材的情况下，我借助计算机网络，在教学中尝试教学方法的改变，引导学生应用新的学习方式，使更多的学生参与到教学活动当中。
人民教育出版社出版的职高数学（基础版）教材中没有斐波那契数列这一节内容，但学生在连续学完“等差数列”和“等比数列”之后，思想上明显产生“倦意”，课堂也变的非常沉闷，如果按正常的教学安排进行数列这一章复习，学习效果肯定很差。
如何激发学生对数列知识的兴趣？如何拓展数列知识？在看到人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学⑤》（必修）第二章“数列”的“阅读与思考”——斐波那契数列，并在网络上搜索到很多有关该数列的资料之后，我想为什么不给学生上一节《斐波那契数列》。
考虑到学生的实际水平，我把上课的重点放在认识斐波那契数列和斐波那契数列的应用上；向学生展示生活中的数学，感受数学美和数学思想；指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识和学习知识进而解决问题；培养学生的观察能力、探究发现的能力、解决实际问题的能力、审美意识。
二．案例描述我上《斐波那契数列》这堂课，在教学的过程中，有几个改变：(1)上一堂教科书上没有的知识课,而学习内容让学生自己上网搜寻。
(2)让学生来讲授课的部分内容。
(3)利用网络上丰富的图片，动画，知识描述吸引学生。
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》课件
斐波那契螺旋
——黄金螺旋
黄 金 矩 形
5
3
1
1
2
8
大自然中的斐波那契数列
鹦鹉螺
大自然中的斐波那契数列
大自然中的斐波那契数列
种子的排列（松果）
大自然中的斐波那契数列
种子的排列（松果） 8
大自然中的斐波那契数列
种子的排列（松果） 13
大自然中的斐波那契数列
有13条逆时针螺旋 和21条顺时针螺旋
1250 ）
意大利杰出的数 论学家。 1202年著作《算 盘书》。
斐波那契数列与数学
【第1年】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 【第2年】 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 【第3年】 25 75025 26 121393 27 196418 28 317811 29 514229 30 832040 31 1346269 32 2178309 33 3524578 34 5702887 35 9227465 36 14930352 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 【第4年】 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 267914296 433494437 701408733 1134903170 1836311903 2971215073 4807526976
假设:一对刚出生的兔子一 个月后就能长成大兔，再过一 个月便能生下一对小兔子，并 且此后每个月都会生一对小兔 子，一年内没有死亡，那么， 12 个月后会有多少对兔子呢？
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
斐波那契数列教学设计77
《斐波那契数列》教学设计——株洲市外国语石峰学校陈胜钦【教学内容】新课标人教版小学数学六（下）第65页阅读资料“斐波那契数列”。
【教学目标】1．初步了解“斐波那契数列”及其特性。
2．通过独立探究和交流互动，在解决问题的实践中积累数学活动经验，感悟列表、图示等方法的普适性，培养学生的策略意识。
3．培养学生用数学的眼光观察生活，感受数学之美。
【教学重难点】了解斐波那契数列，发现其中的规律，解决“兔子问题”。
【教学过程】一、故事引入，提出问题1．介绍数学家斐波那契。
2．出示问题，理解题意。
课件出示：假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。
一年内没有发生死亡。
那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？（1）请学生读题，理解题意。
提问：同学们，你能用自己的话说说这段话的意思吗？（2）重点帮助学生理解：ａ．小兔子一个月能长成大兔子；ｂ．大兔子一个月后能生一对小兔子，并且以后还会接着生；ｃ．所有的兔子没有发生任何意外，一年之内没有死亡。
二、尝试探究、展示交流（一）自主尝试1．独立尝试解决问题。
2．把你的方法说给小组同学听。
3．你能听懂其它同学的方法吗？对他的方法，你有什么建议或疑问吗？（二）展示交流1．小组你表上台展示交流。
2．借助表格，发现规律（1）指导学生列表、分析。
（2）小组交流发现的规律。
（3）全班交流。
小结：前两个月兔子对数之和等于后一个月兔子的对数；上个月兔子的总对数等于下个月大兔的对数；上个月大兔的对数等于下个月小兔的对数。
3、运用规律、解决问题（1）运用发现的规律，完成下面表格1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1 123 5 8 13 21（2）描述斐波那契数列的特征：一个数列，如果从第三项起，每一项都是前两项之和，那么我们就把这样的数列称为斐波那契数列。
三、精练活用（一）链接生活、解释应用1．介绍“斐波那契完美曲线”的画法。
奇妙的斐波那契数列
《奇妙的斐波那契数列》教学设计【教学内容】新课标人教版小学数学六（下）第65页阅读资料“奇妙的斐波那契数列”。
【教学目标】1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。
2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感，培养良好的思维品质。
3、在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。
【教学过程】一、导入师：古人云：“有朋自远方来，不亦乐乎！”今天吴老师想带领大家来解决一个很有名气的数学问题，据说它的发现曾激起一个民族的数学学习热情，它的解决造就了一位著名的数学家；究竟是怎样的问题，有如此魅力,想了解吗？那我们可要“过五关斩六将”才行。
大家有信心没有？好，第一关,请看大屏幕：二、初涉规律，引入新课课件出示：第一关：找出规律填数。
（女生组 VS 男生组）女生组：5，10，15，（），（），304，6，（），10，（），14男生组：2，5，8，（），14，17，（）1，4，9，16，（），（），49指名回答，（引导）说出规律。
第二关：找规律填图形。
（女生组 VS 男生组）在空白处填上合适的图形。
女生组：(a) (b)男生组：(a)(b)第三关：抢答题。
1，1，2，3，5，8，（），（），……学生举手汇报，说出规律：前两个数之和等于第三个数。
师：刚才大家表现得很踊跃。
像这些找规律题，都需要观察前后数的关系。
下面我们就来研究这个著名的数学问题，它就是这个数列：（课件出示）1，1，2，3，5，8，13，21，……2、揭示名称师：这个数列还有个有趣的名字，叫做“兔子数列”，想知道为什么吗？（课件出示：“兔子数列”）师：这就要从一对刚出生的小兔子说起了。
三、故事引入，提出问题师：很久很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一个举世闻名的数学家。
这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题清楚的告诉了我们，请看大屏幕：假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。
人教版六年级数学下册斐波那契数列
松 果
列
种
()
子 的 排
松 果
列
种子的排列
向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数 ２１条；反向再数就变成了３４条．是不 是很有意思呀！
音乐中的斐波那契数列
从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程
5
2
3
共13个
3
5
8
从第三项起，数列中的每一项 都等于前两项之和。
单位: cm 5
3
11
2 8
兰 花
1 2
3
12
5
3
4
苹果花
格桑花
8 12
7
3
6 54
雏
菊
13 1 2 3
12
11
4
10 98
5
6 7
3
5
8
13
21
34
• 树丫的数目（树的分杈）
七 13六8五5四3
三
2
二
1
一
1
种
()
子 的 排
斐波那契数列
斐波那契（Leonardo Fibonacci） 是欧洲中世纪数学家，他对欧洲的数 学发展有着深远的影响。他生于意大 利的比萨，曾经游历过世界上的许多 地方。1202年，斐波那契出版了他的 著作《算盘书》。在这部著作中，他 首先引入了阿拉伯数字，将十进制计 数法介绍到欧洲。在此书中他还提出 了有趣的兔子问题。
兔子 对数
13
21
34
55
89 144
斐波那契数列
• 仔细观察 你能发现其中的规律吗
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》教学设计(课例)
（2）第五个月、第六个月有多少对兔子呢，你们愿意自己尝试着研究一下吗？把你研究的过程记录在这张纸上，咱们比一比，看谁的研究成果能让人一眼就看得懂、看得明白，拿出纸笔，开始吧！（完成的和周围同学说说，大家互相学习）哪位同学愿意来给大家讲讲自己的作品？他画的什么意思，听明白了吗？孩子，我有个问题：咱们研究的是兔子，你怎么画了这么多图形啊？（简单、好画）是这样吗？你们也是这样画的吗？还有画的不一样的吗？来看看这几位同学画的，也都是用了各种图形、符号，我们研究兔子，你们想到用图形代替，这种数学的思维意识非常好。
比较一下这几种不同的画法，你有什么想法吗？（展台同时展示几种不同的方法）（生评价）生1：画兔子的，麻烦、慢生2：用三角、圆、四边形的，不能一眼看出哪个是大兔哪个是小兔。
生3：用大圆和小圆的，用“大”“小”字的，一下就能看出哪个是大兔哪个是小兔。
我们研究的成果不仅要自己懂，还要让所有看图的人都懂。
在面对“第5个月第6个月有多少对兔子”这个比较复杂的问题时，我们通过画图就能简洁的、清晰的理解题意，其实在我们学习数学的过程中，有很多问题都可以借助图形、符号进行研究并帮助我们解决问题。
（课件验证）现在我们请小兔子们亲自为同学们演示一下，想看吗？月月月月月月现在如果要算算6月有多少对兔子，你能用一个算式表示吗？11235112358斐波那契螺旋——黄金螺旋黄金矩形大自然中的斐波那契数列 ）除了动物，哪里还会有呢？①看，这是什么？松果里有螺旋吗？种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列8 种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列13大自然中的斐波那契数列有13条逆时针螺旋和21条顺时针螺旋有13条顺时针螺旋和21条逆时针螺旋大自然中的斐波那契数列大自然中的斐波那契数列21条和34条最多可达89条和14434条和55条条和89条它的种子也排列成？（两组交错的斐波那契螺旋）一般是34和55条螺旋一组，还有和89条螺旋一组的，目前植物学家发现最多是条螺旋一组。
小学数学《斐波那契数列课题》教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《斐波那契数列的应用》课题设计一、课题的确定：孩子们小学六年学习了六年的数学，却从来没有想过为什么要学习数学，有的同学是认为学习数学是为了计算，而有的同学是认为学习数学是为了应用于生活，却从来没有亲身体会感受过数学的神奇，有没有一个课题能让学生感受到学习数学的目的，特别是让学生亲自体会感受一下数学的美，感受大自然的造物的神奇呢？我思考再三最终确定了研究课题《斐波那契数列的应用》。
二、课题的布置与指导：《斐波那契数列的应用》是数学史上非常著名的一个数列，课本是作为一段阅读材料呈现的，以《兔子的繁殖》为例介绍了斐波那契数列的产生，我本节课确定的目标主要是通过研究让孩子们领略学习数学的目的，感受一下数学本身的魅力以及大自然造物的神奇。
我是从四个方面来布置的课题研究任务：1、以《兔子的繁殖》为例，研究数列的产生，每个小组都要进行研究。
前一天进行了布置，第二天我们就进行了交流汇报，孩子们研究的不错。
于是又接着分组布置了任务：第一小组：从计算的角度研究斐波那契数列的秘密。
第二三小组：从应用的角度出发，到大自然中到生活中去观察是否有斐波那契数列。
孩子们真的是很善于思考，第二小组潘珂在爸爸领着去花棚里买花时，发现了花瓣里的斐波那契现象，而另一个同学惠鹏程却在住的小区里发现了植物叶序也存在着斐波那契现象。
第三小组的费枫舒在和妈妈去超市买东西时看到了正在削菠萝的阿姨，产生了兴趣蹲在那一个多小时发现了菠萝里的斐波那契现象。
而惠荣薪则是在一次上课快迟到了，大步流星的迈楼梯，突发奇想研究研究台阶的迈法，和她的小伙伴发现了楼梯里的斐波那契的秘密，组成了课题研究的第四小组。
我把孩子们的研究情况进行了汇总，考虑到时间有限，最终确定了把数列的产生不纳入到本节课的汇报当中。
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《斐波那契数列》教学设计
教学内容：第65页阅读资料“斐波那契数列”。
教学目标：1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。
2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力。
3、培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。
教学过程：
一、故事引入，提出问题
很久很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一个举世闻名的数学家。
这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题清楚的告诉了我们，请看大屏幕：
假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。
一年内没有发生死亡。
那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？
1、请学生读题，分析、理解题意。
你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？
重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡；
②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。
2、模拟兔子生长过程
⑴请同学们讨论，你想了解哪些问题？如何解决？（这一年当中，兔子的数量到底是怎样增长的？）我们来模拟一下，好不好？
⑵师生共同参与模拟过程，记录数据。
1月—4月，由教师带领学生体会兔子变化过程。
⑶引导发现规律，小组合作完成剩下月份的推导
⑷汇报交流，解决问题。
二、合作探究，解决问题
1、刚才大家表现得很踊跃。
下面我们就来研究这个著名的数学问题，
它就是这个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……
2、观察前后数的关系，从这个数列中你发现了什么规律?
①学生举手汇报，说出规律：前两个数之和等于第三个数。
②若一个数列，首两项等于 1，而从第三项起，每一项是前两项之和，则称该数列
为斐波那契数列。
三、应用新知，练习巩固
根据你发现的规律填空
四、课堂小结
请说一说这节课你学会了什么？。