习题1

习题1-13、求下列函数的定义域：（6）)31ln(21arccosx x y -++= 解：下列不等式的解⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+≤-0311211x x 满足定义域，解得313-<≤-x 。

8、试讨论下列函数在指定区间内的单调性：（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=21,0),1(2x x x y解：x x y -=3，对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀21,0,21x x ，若21x x <，则()()()()121122212131232-++-=---x x x x x x x x x x，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x ，所以014141411211222<-++<-++x x x x ，故()()0121122212<-++-x x x x x x ，故原函数在指定区间上是单调减少函数。

10、求下列函数的反函数： （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=6,6,3sin 2ππx x y 解：由x y 3sin 2=解得2arcsin 31,3sin 2yx x y ==，因此原函数的反函数为： []2,2,2arcsin 31-∈=x xy 。

（5）)2ln(1++=x y解：由)2ln(1++=x y 解得21-=-y ex ，因此原函数的反函数为：)(21R x e y x ∈-=-。

12、下列各题中的函数由哪些函数复合而成？ （3）x y tan ln =解：原函数由x u u y tan ,ln ==复合而成。

（4）3tan3xy = 解：原函数由3,tan ,3xv v u u y ===复合而成。

（5）21cos x y += 解：原函数由21,,cos x v v u u y +===复合而成。

15、已知xxx f -=1)(，求)(x f f 。

解：[]⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21121111)()(x x x x x x x x x f f x f f 且 。

18、某运输公司规定货物的吨公里运价为：在a 公里以内（含a 公里），每公里k 元，超过a 公里时，超过部分每公里k 54元。

求每吨货物运价m 与里程s 之间的函数关系。

解：每吨货物运价m 与里程s 之间的函数关系为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤=a s a s k ka a s ks m ),(540,习题1-41、 计算下列极限4）31232lim 22=+-∞→x x x （直接估算） 6）012lim 42=+-+∞→x x x x （直接估算） 8）3223lim 221-++-→x x x x x解：4132lim )1)(3()1)(2(lim 3223lim 11221-=+-=-+--=-++-→→→x x x x x x x x x x x x x （约分）17）xx x x --+→11lim解：()()()x x x x xx x xx xx x -++--+-++=--+→→111111lim11lim()()1211lim211lim=-++=-++=→→x x xx x x x x （分母有理化，约去极限为零项）18）143lim2++++∞→x x x x解：3111lim 43lim 11143lim 143lim 222=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=++++∞→+∞→+∞→+∞→xx x x x xx x x x x x x （分子分母同时除以x ）20）()x x xx -++∞→1lim 2解：()()()()()xx x xx xx xx xx x xx x x ++=++++-+=-++∞→+∞→+∞→1lim111lim1lim 22222211111lim2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+∞→x x （分子分母同时除以x ）2、计算下列极限 1）nnn arctan lim∞→解：因为2arctan 01π<→∞→n ，n，n 而时，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以原式n nn arctan 1lim∞→==0。

（以下各题同理） 2）0sin 1lim 1sin lim=+=+∞→∞→n n nn n n n n 3）1arctan 1arctan 11lim arctan arctan lim =+-=+-∞→∞→xxxx x x x x x xB-2、当0→x 时，函数xxx f sin cos 1)(-=的极限存在吗？说明道理。

解：2cos2sin 22sin 2sin cos 12x x x xx=-，222cos2sin 22sin 2lim sin cos 1lim 200==-++→→xx x xxx x 222cos2sin 22sin 2lim sin cos 1lim 200-==---→→x x xxxx x ，左右极限存在但不相等，故原函数当0→x 时极限不存在。

B-5、要使极限012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x 成立，其中之一常数a 和b 应如何选择？ 解：()12)(1lim 12lim 22+-++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++∞→∞→x bx b a x a b ax x x x x 要使极限012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x 成立，显然分子的最高次幂要小于分母的最高次幂，故01=+=-b a a ，从而1,1-==b a 。

B-6、计算下列极限5）()x x x sin 1sin lim 2-++∞→解：利用公式2sin 2cos 2sin sin BA B A B A -+=-，()21sin21cos 2lim sin 1sin lim 222xx x x x x n n -+++=-+∞→∞→ ()()()()()012121sin lim 21cos lim 2121sin 21cos 2lim 1211sin 21cos 2lim 22222222=⨯⨯=++⋅++=++++=++++-+++=∞→∞→∞→∞→xx x x xx x x xx xx x x xx n n n n习题1-5（A ）1、 计算下列极限： 1）222sin lim 2lim 22sin 2lim 2sin lim0000=⋅=⋅=→→→→xxx x x x x x x x2）βαβαββααβα=⋅⋅=→→x x x x x x x x sin sin lim sin sin lim003）1cos sin lim cot lim 0=⋅=++→→x xx x x x x5）212cos2122sinlim 2cos 2sin 22sin 2lim sin cos 1lim 0200=⋅==-→→→x x x x x x x x x x x x x 2、 计算下列极限 1）44411lim 1lim e x x x xx xx =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→ 2）()()33310131lim 31lim e x x x x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+→→ 5）()()()()15153lim 3101533105031lim 31lim 31lim ----→---→+→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-e x x x x x x x x x xxx x ＝6）e n n n n n n n n n n n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→++∞→∞→∞→2lim222211lim 211lim 23lim3、利用夹逼准则证明：2）112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 证明：令nn n n x n ++++++=22212111 ，nn n y n +=2，1=n z （或12+=n n z n ）则n n n z x y <<，且1l i m l i m ==∞→∞→n n n n z y ，根据夹逼准则，112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 习题1-5（B ）1. 计算下列极限1）202sin 13lim 11sin 2lim sin 1311sin 2lim sin 31sin 2lim2=+=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→∞→∞→∞→x xx x x x x x x x x x x x x x 3、要使9lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，其中的常数a 应取何值？解：921lim 21lim lim 22lim222==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--∞→--∞→∞→∞→a ax ax aa x x ax ax aa x x xx e a x a a x a a x a x x ，则3ln =a4、 设21=x ，()++∈+=N n x x n n 21，证明数列{}n x 的极限存在，并求出此极限。

证明：1）先证明数列{}n x 有界。

1=n 时，2≤n x 成立。

令()1≥=N N n 时，2≤n x 成立，则22221=+≤+=+N N x x ，所以对+∈∀N n ，都有2≤n x 。

2）再证明数列{}n x 单调。

显然，1122222x x x =>+=+=，令()1≥=N N n 时N N x x ≥+1成立，则11222+++=+>+=N N N N x x x x ，故对+∈∀N n ，都有，n n x x >+1。

单调有界数列必有极限，故原命题成立。

令a x n n =∞→lim ，对n n x x +=+21两边取极限得：a a +=2，解得2),121=-=a a （舍去。

P60-习题1-65、利用等价无穷小的代换性质，计算下列极限3）22lim 1lim 2=⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→∞→x x e x x x x 4）111lim ))1(1ln()1arcsin(lim ln )1arcsin(lim111-=--=-+-=-→→→x xx x x x x x x6）212lim )1ln(2)1(lim 2020=⋅=+-→→x x x x x e x x x7）3131lim tan 11lim 030==-+→→x x x x x xP69-习题1-7(A)3、下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类型。

如果是可去间断点，则补充或修改函数的定义，使之在该点处连续：1）3,1,341)(22==+--=x x x x x x f 解：()()()()2131lim 3311lim 341lim 11221=+++-+-=+--→→→x x x x x x x x x x x x ，∞=+--→341lim 223x x x x 所以1=x 为函数第一类间断点中的可去间断点，()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∞⋃⋃∞-∈+--=121,33,11,341)(22x x x x x x f ，，，则)(x f 在1=x 处连续。