中考初三圆知识点专题复习

圆，所对的弦是
C A
O
推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角 形是直角三角形。
B
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB
C A
O
∴△ ABC 是直角三角形或C 90
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 【例 1】如图，已知⊙O 中，AB 为直径，AB=10cm，弦 AC=6cm，∠ACB 的平分线交⊙O 于 D，求 BC、AD 和 BD 的长．
例题 7、平行与相似
已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是弦， AE CD于 E ， BF CD 于 F .求证： EC FD .
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3
定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
图5 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图： O1O2 垂直平分 AB 。
10
A
O1
O2
B
即：∵⊙ O1、⊙ O2 相交于 A 、 B 两点
A
∴ O1O2 垂直平分 AB
C
O2
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长： RtO O C 中， AB2 CO 2 O O 2 CO 2 ；
一、圆中重要的知识点 1、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，
．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结
论的正确性．
八、圆内接四边形
C
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内 对角。
即：在⊙O 中，
B
∵四边形 ABCD 是内接四边形
∴ C BAD 180 B D 180
D
A
E
DAE C
例 1、如图 7-107，⊙O 中，两弦 AB∥CD，M 是 AB 的中点，过 M 点作弦 DE．求证：E，M，O，C 四点共圆．
3
B1
O
R
C
A
r
B
1．如图，AB 切⊙O 于点 B，OA= 2 3 ，AB=3，弦 BC∥OA，则劣弧 BC的弧长为（
）．
12
A． 3 3
B． 3 2
3
C．
D．
2
2、如图，在△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F，点 P 是 ⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．
推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ PA 、 PB 是的两条切线 ∴PA PB PO 平分BPA
例题 2、垂径定理
1、 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深
度为 16cm，那么油面宽度 AB是
cm.
1
2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为
cm.
3、如图，已知在⊙ O 中，弦 AB CD ，且 AB CD ，垂足为 H ， OE AB 于 E ， OF CD 于 F .
【例 4】如图 1，AB 是半⊙O 的直径，过 A、B 两点作半⊙O 的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O 上 C 点时，则有 AC·AC＋BC·BC=AB2．
1 如图 2，若两弦交于点 P 在半⊙O 内，则 AP·AC＋BP·BD=AB2 是否成立？请说明理由．
2 如图 3，若两弦 AC、BD 的延长线交于 P 点，则 AB2=
AF=BF．求：∠A 的度数．
利用切线性质证明角相等 例 3：如图，已知：AB 为⊙O 的直径，过 A 作弦 AC、AD，并延长与过 B 的切线交于 M、N．求证：
∠MCN=∠MDN．
利用切线性质证线段相等 例 4：如图，已知：AB 是⊙O 直径，CO⊥AB，CD 切⊙O 于 D，AD 交 CO 于 E．求证：CD=CE．
例题 5、平行问题 在直径为 50cm 的⊙O 中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 AB∥CD，求：AB 与 CD 之间的距离.
例题 6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB，交小圆于 C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为
3
a, b .求证： AD BD a2 b2 .
【例 2】如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC=4cm． （1）求证：AC⊥OD； （2）求 OD 的长； （3）若 2sinA－1=0，求⊙O 的直径．
5
【例 3】四边形 ABCD 中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求 BD 的长．
D
B
O
P
C
A
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中 项。
B
即：在⊙O 中，∵直径 AB CD ，
∴ CE2 AE BE
C OE A
D
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线
A
O
S
l
B
n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图
S表底 S侧 2S = 2 rh 2 r2
D A
D1
㍅ ㍅㍅
㍅㍅㍅㍅ ㍅
B
C1
C
（2）圆柱的体积：V r2h
3 .圆锥侧面展开图
（1） S表底 S侧 S = Rr r2 （2）圆锥的体积：V 1 r2h
cm。
图3 例4 . 如图4，AB 为⊙O 的直径，过 B 点作⊙O 的切线 BC，OC 交⊙O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D，（1）求证：
；（2）若 AB＝BC＝2厘米，求 CE、CD 的长。
图4
例5 . 如图5，在直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，以 AB 边为直径作⊙O，交斜边 BC 于点 D，过 D 点作⊙O 的切线交 AC 于 E。求证：BC＝2OE。
1 求证：四边形OEHF 是正方形.
2 若 CH 3 ， DH 9 ，求圆心O 到弦 AB 和 CD 的距离.
4、已知：△ABC 内接于⊙O，AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长．
5、如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，AD⊥BC 于 D，求证：AD= 1BF. 2
6
九、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ MN OA 且 MN 过半径OA 外端 ∴ MN 是⊙ O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
O
M
A
N
推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
9
E，求 DE：AE 的值。
例2. ⊙ O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E，若 AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么 CE＝
cm。
例3.如图3，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点 C，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于 A、B 两点，如果
PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O 的半径为10cm，则圆心 O 到 AB 的距离是
B
O P
A
利用切线性质计算线段的长度
7
例 1：如图，已知：AB 是⊙O 的直径，P 为延长线上的一点，PC 切⊙O 于 C，CD⊥AB 于 D，又 PC=4，⊙O 的半 径为 3．求：OD 的长．
利用切线性质计算角的度数 例 2：如图，已知：AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于 C，AE⊥CD 于 E，BC 的延长线与 AE 的延长线交于 F，且
B
C
O O
A
E
D
B A
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 RtOAB 中进行， AB : OB : OA 1: 3 : 2 .
1、如图所示，正六边形螺帽的边长是 2cm，这个扳手的开口 a 的值应是( )
A． 2 3 cm
B． 3 cm
C． 2 3 cm 3
D．1 cm
11
2、已知圆的半径是 2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
12
1
12
2
（2）外公切线长：CO2 是半径之差； 内公切线长：CO2 是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
B O1
C
O
B
D
A
在⊙ O 中△ ABC 是正三角形，有关计算在 RtBOD 中进行： OD : BD : OB 1: 3 : 2 ；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 RtOAE 中进行， OE : AE : OA 1:1: 2：