高考数学一轮复习人教版解析几何第八单元听课正文第52讲椭圆

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高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆学案文-人教版高三全册数学学案

第五节椭圆1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．答案常数(大于|F 1F 2|)1．判断正误(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( ) 答案：(1)× (2)×2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝10⇒|PF 2|＝7.答案：7知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) (a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b－a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为____；短轴B 1B 2的长为____焦距 |F 1F 2|＝____离心率e ＝ca ∈______ a ，b ，c的关系c 2＝______答案2a 2b 2c (0,1) a 2－b 23．(选修1－1P42第2(1)题改编)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：因为椭圆x 2m －2＋y210－m＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.答案：A4．(选修1－1P42第5(3)题改编)已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝2，b 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝15．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝(c＋32a ，－b 2)·(c －32a ，－b 2)＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63. 答案：63热点一椭圆的定义及标准方程【例1】 (1)过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B ．x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D ．x 28＋y 24＝1【解析】 (1)因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1.【答案】 (1)B (2)A 【总结反思】(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等． (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.(1)已知动圆M 过定点A (－3,0)并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 27＋y 216＝1 C.x 216－y 27＝1 D.x 27－y 216＝1 (2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：(1)因为点A 在圆B 内，所以过点A 的圆与圆B 只能内切，因为B (3,0)，所以|AB |＝6.所以|BM |＝8－|MA |，即|MB |＋|MA |＝8>|AB |，所以动点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，又a ＝4，c ＝3，b 2＝7，所以方程为x 216＋y 27＝1.故选A.(2)由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，所以2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2.所以|PF 1||PF 2|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9.所以b ＝3.答案：(1)A (2)3 热点二椭圆的几何性质考向1 求椭圆的离心率(或取值范围)【例2】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【解析】设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋y m ＝1，由题意可知M (－c ，m －mc a)，(0，m 2)和B (a,0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m 2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝13. 【答案】 A考向2 根据椭圆的性质求值或范围【例3】 (1)(2017·安庆模拟)P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF →的取值范围是( )A ．[0,15]B ．[5,15]C ．[5,21]D ．(5,21)(2)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B.332C.94D.154【解析】 (1)PE →·PF →＝(PN →＋NE →)·(PN →＋NF →)＝(PN →＋NE →)·(PN →－NE →)＝PN →2－NE →2＝|PN →|2－4，因为a －c ≤|PN →|≤a ＋c ，即3≤|PN →|≤5，所以PE →·PF →的范围是[5,21]．(2)由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32. 设P (x 1，y 1)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →＝(0，y 0)，所以F 1P →·F 2A →＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，F 1P →·F 2A →的最大值为332.【答案】 (1)C (2)Bb ≤y ≤b,0<e <1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系． (2)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.(1)已知椭圆E ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 (2)(2017·安徽淮南一模)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在椭圆C上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：(1)不妨设左焦点为F 2，连接AF 2，BF 2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF 2的对角线互相平分，所以四边形AFBF 2为平行四边形，所以|AF |＋|BF |＝|BF 2|＋|BF |＝2a ＝4，所以a ＝2，设M (0，b )，所以d ＝45b ≥45⇒b ≥1，所以e ＝1－b 2a2＝1－b 24≤1－14＝32，又e ∈(0,1)，所以e ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. (2)由题意，得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则有x 204＋y 203＝1，整理，得y 20x 20－4＝－34.因为k PA 1 ＝y 0x 0＋2，k PA 2 ＝y 0x 0－2，所以k PA 1 ·k PA 2 ＝y 20x 20－4＝－34，又k PA 2∈[－2，－1]，所以kPA 1 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34，故选C. 答案：(1)A (2)C热点三直线与椭圆的位置关系【例4】 (2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P (3，12)在椭圆E 上．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.【解】 (Ⅰ)由已知，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (3，12)，故34b 2＋14b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(Ⅱ)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点的坐标为(－m ，m 2)，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C (－2，22)，D (2，－22)或C (2，－22)，D (－2，22)．所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)．又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m2－2)]＝54(2－m 2)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.【总结反思】(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求椭圆C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a＝－2(舍去)．故椭圆C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.1．涉及椭圆定义的题目，要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于2a ”这个特征．充分利用定义．“回到定义中去”是一个很重要的思想方法．2．求椭圆方程的方法(1)直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a ，b 的值，按标准方程写出方程，其中难点为确定a ，b 的值．(2)待定系数法：先设出字母系数的方程，根据条件建立字母系数的方程并求解，然后代入所设方程而得方程，其中难点是建立字母系数的方程．3．离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．4．直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，把方程组转化成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．。

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第五节椭圆1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系a2＝b2＋c21.e 与b a ：因为e ＝c a＝a 2－b 2a＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以离心率e 越大，则b a越小，椭圆就越扁；离心率e 越小，则ba越大，椭圆就越圆．2．点与椭圆的位置关系：已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20 a 2 ＋y 20b 2 ＜1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20 a 2 ＋y 20b2 ＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20 a 2 ＋y 20b2 ＞1.3．设椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 为短轴端点；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，这时，P 为长轴端点．4．若点P 是椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2.5．过椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的焦点F 作x 轴的垂线，交椭圆于A ，B ，则|AB |＝2b 2a.6．椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0.7．若P 为椭圆x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，则a －c ≤|PF |≤a ＋c .1．(基础知识：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是( )①平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；②椭圆的离心率越大，椭圆越接近圆；③若方程x 25－k ＋y 2k －3 ＝1表示椭圆，则(5－k )(k －3)＞0；④椭圆的离心率e ∈(0，1).A ．1B ．2C ．3D ．0〖答案〗B2．(基础知识：椭圆的定义)已知椭圆x 225 ＋y 216 ＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7〖答案〗D3．(基本方法：椭圆的方程)过点A (3，－2)且与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A ．x 215 ＋y 210 ＝1B ．x 225 ＋y 220 ＝1C ．x 210 ＋y 215 ＝1D ．x 220 ＋y 215 ＝1〖答案〗A4．(基本能力：椭圆的离心率)已知椭圆x 25 ＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105 ，则m 的值为________．〖答案〗3或2535．(基本应用：椭圆的性质)已知点P 是椭圆x 25 ＋y 24 ＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为____________．〖答案〗⎝⎛⎭⎫152，1 或⎝⎛⎭⎫152，－1题型一椭圆的定义及应用1．已知圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 264 －y 248 ＝1B ．x 248 ＋y 264 ＝1C ．x 248 －y 264＝1D ．x 264 ＋y 248＝1〖解析〗设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264 ＋y 248＝1.〖答案〗D2．(2021·河南郑州第二次质量检测)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为23 ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C的标准方程为( )A ．x 23 ＋y 2＝1B ．x 23 ＋y 22 ＝1C ．x 29 ＋y 24＝1D ．x 29 ＋y 25＝1〖解析〗由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23 ，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29 ＋y 25＝1.〖答案〗D3．设点P 为椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．〖解析〗由题意知，c ＝a 2－4 .又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4 ，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P |·|PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos 60°＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12 |F 1P |·|PF 2|sin 60°＝12 ×163 ×32 ＝433 .〖答案〗4334．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．〖解析〗椭圆方程可化为x 29 ＋y 25 ＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2，0)， ∴|AF 1|＝2 ，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当且仅当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴|P A |＋|PF |≤6＋2 ，|P A |＋|PF |≥6－2 . 〖答案〗6＋2 6－25．已知动圆M 过定点A (－3，0)并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．〖解析〗因为点A 在圆B 内，所以过点A 的圆与圆B 只能内切，因为定圆圆心坐标为B (3，0)，所以|AB |＝6.所以|BM |＝8－|MA |，即|MB |＋|MA |＝8＞|AB |，所以动点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，即a ＝4，c ＝3.故b 2＝7.所以椭圆方程为x 216 ＋y 27＝1. 〖答案〗x 216 ＋y 27 ＝1方法总结椭圆定义应用技巧思路应用解读求方程条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程求焦点三角形求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正、余弦定理，其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a .平方是常用技巧求最值利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a 为定值，利用基本不等式求|PF 1|·|PF 2|最值或利用三角形求最值．如a ＋c 、a －c题型二椭圆的标准方程及应用〖典例剖析〗〖典例〗 (1)(2020·福建宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3 )是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A ．x 28 ＋y 26 ＝1B ．x 216 ＋y 26 ＝1C ．x 24 ＋y 22＝1D ．x 28 ＋y 24＝1〖解析〗设椭圆的标准方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0).由点P (2，3 )在椭圆上知4a 2 ＋3b 2 ＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎨⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，解得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28 ＋y 26＝1. 〖答案〗A(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52 ，(3 ，5 )，则椭圆的方程为________________________________________________________．〖解析〗设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ). 由⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16 ，n ＝110 .∴椭圆方程为y 210 ＋x 26 ＝1.〖答案〗y 210 ＋x 26＝1(3)已知椭圆C 1：x 24 ＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，求椭圆C 2的方程．〖解析〗法一(待定系数法)：由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2 ＋x 24 ＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32 ，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216 ＋x 24＝1. 法二(椭圆系法)：因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24 ＋x 2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1.又2k ＝2×2，故k ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216 ＋x 24 ＝1.〖答案〗y 216 ＋x 24 ＝1方法总结求椭圆标准方程的方法方法解读适合题型定义法根据题目的条件，判断是否满足椭圆的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c 的值，即可求得方程涉及两焦点的距离问题待定系数法(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程；(2)当焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可以设能够明确椭圆的焦点位置椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)椭圆系法根据共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其他条件确定方程：与x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1有相同离心率的椭圆为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝λ(λ>0)或y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝λ(λ>0)；与x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1有共同焦点的椭圆为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0)具有某共同特征的椭圆求标准方程〖对点训练〗1．(2021·四川成都模拟)与椭圆x 24 ＋y 23 ＝1有相同离心率且经过点(2，－3 )的椭圆方程为________________．〖解析〗因为e ＝ca＝a 2－b 2a＝1－b 2a2 ＝1－34 ＝12，若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m 2 ＋y 2n 2 ＝1(m ＞n ＞0)，则1－⎝⎛⎭⎫n m 2＝14 ，从而⎝⎛⎭⎫n m 2＝34 ，n m ＝32 . 又4m 2 ＋3n2 ＝1，所以m 2＝8，n 2＝6. 所以所求椭圆方程为x 28 ＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2h 2 ＋x 2k 2 ＝1(h ＞k ＞0)，则3h 2 ＋4k 2 ＝1，且k h ＝32 ，解得h 2＝253 ，k 2＝254 . 故所求椭圆方程为y 2253 ＋x 2254 ＝1，即3y 225 ＋4x 225 ＝1.〖答案〗x 28 ＋y 26 ＝1或3y 225 ＋4x 225＝12．已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3，0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________________．〖解析〗若焦点在x 轴上，则a ＝3.由e ＝53得c ＝5 ，∴b 2＝a 2－c 2＝9－5＝4，所以椭圆方程为x 29 ＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，a 2－c 2＝9，又离心率e ＝c a ＝53 ，解得a 2＝814 ，所以椭圆方程是y 2814＋x 29 ＝1，即4y 281 ＋x 29 ＝1.〖答案〗x 29 ＋y 24 ＝1或4y 281 ＋x 29＝1题型三椭圆的几何性质〖典例剖析〗类型 1 求离心率(范围)〖例1〗 (1)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22D ．223〖解析〗∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 .〖答案〗C(2)设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足F A → ·FB →＝0，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤22，53 B ．⎣⎡⎭⎫53，1C ．⎣⎡⎦⎤22，3－1 D ．〖3 －1，1)〖解析〗设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′、BF ′(图略).由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又F A → ·FB →＝0，即F A ⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设|AF ′|＝n ，|AF |＝m ，则在Rt △AF ′F 中，m ＋n ＝2a ， m 2＋n 2＝4c 2，①得mn ＝2b 2，②①÷②得m n ＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c 2b 2 . 又由|FB |≤|F A |≤2|FB |得1≤|F A ||FB |≤2，则mn ＝t ∈〖1，2〗， ∴t ＋1t ＝2c 2b2 ∈⎣⎡⎦⎤2，52 ，又2c 2b 2 ＝2c 2a 2－c 2 ＝2e 21－e 2 ，则可得22 ≤e ≤53 ，即离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤22，53 . 〖答案〗A(3)(2021·陕西西安检测)已知P 为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1、F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．〖解析〗易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1与y 轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a 23 ＝4c 2，即a ＝3 c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33. 〖答案〗33类型 2 有关最值及范围〖例2〗 (1)已知点P (0，1)，椭圆x 24 ＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP → ＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．〖解析〗设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP → ＝2PB → ，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2. 因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14 m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14 m 2＋52 m －94 ＝－14 (m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2. 〖答案〗5(2)(2021·山东烟台模拟)已知F (2，0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦长为6，若A (－2，2 )，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________．〖解析〗设椭圆的左焦点为F ′，由椭圆的右焦点为F (2，0)，得c ＝2，又过F 且垂直于x 轴的弦长为6，即2b 2a ＝6，则a 2－c 2a ＝a 2－4a＝3，解得a ＝4，所以|MF |＋|MA |＝8－|MF ′|＋|MA |＝8＋|MA |－|MF ′|，当M ，A ，F ′三点共线时，|MA |－|MF ′|取得最大值， (|MA |－|MF ′|)max ＝|AF ′|＝2 ，所以|MF |＋|MA |的最大值为8＋2 . 〖答案〗8＋2 方法总结1．求椭圆离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由e 2＝c 2a 2 ＝a 2－b 2a2 ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2 直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0<e <1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．〖题组突破〗1．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A ．23B ．12C ．13D ．14〖解析〗如图所示，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3 ，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan ∠P AB ＝|PB ||AB | ＝3a ＋2 ＝36 ，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14 .〖答案〗D2．已知点P 为椭圆x 216 ＋y 212 ＝1上的动点，EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一直径，则PE → ·PF →的最大值和最小值分别是( )A ．16，12－43B ．17，13－43C ．19，12－43D ．20，13－43〖解析〗∵EF 是圆N 的直径，∴|NE |＝|NF |＝1，且NF → ＝－NE → ，则PE → ·PF → ＝(PN →＋NE → )·(PN → ＋NF → )＝(PN → ＋NE → )·(PN → －NE → )＝PN → 2－NE → 2＝PN → 2－1.设P (x 0，y 0)，则有x 20 16 ＋y 20 12 ＝1，即x 20 ＝16－43 y 2，又N (0，1)， ∴|PN → |2＝x 20 ＋(y 0－1)2＝－13 (y 0＋3)2＋20，又∵y 0∈〖－23 ，23 〗，∴当y 0＝－3时，|PN → |2取得最大值20，则(PE → ·PF → )max ＝20－1＝19.当y 0＝23 时，|PN →|2取得最小值13－43 ，则(PE → ·PF → )min ＝12－43 .综上，PE → ·PF →的最大值和最小值分别为19，12－43 .〖答案〗C题型四椭圆的综合应用〖典例剖析〗〖典例〗 (2020·安徽模拟)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆C 上一点，满足3|PF 1|＝5|PF 2|，且cos ∠F 1PF 2＝35.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点，点Q ⎝⎛⎭⎫14，0 ，若|AQ |＝|BQ |，求k 的取值范围．〖解析〗(1)由题意设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，① 则3r 1＝5r 2. 又r 1＋r 2＝2a ，②联立①②，解得r 1＝54 a ，r 2＝34a .在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝r 21 ＋r 22 －|F 1F 2|22r 1r 2＝⎝⎛⎭⎫54a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2－222×54a ×34a ＝35，解得a 2＝4.因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，于是椭圆C 的标准方程为x 24 ＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2， x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，且Δ＝(8km )2－4×(3＋4k 2)×(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0.③ 设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，连接QM ，图略则 x 0＝x 1＋x 22 ＝－4km 3＋4k 2 ，y 0＝kx 0＋m ＝3m 3＋4k 2 . 因为|AQ |＝|BQ |，所以AB ⊥QM .又Q ⎝⎛⎭⎫14，0 ，M 为线段AB 的中点，所以k ≠0，直线QM 的斜率存在，所以k ·k QM ＝k ·3m3＋4k 2－4km3＋4k 2－14＝－1，解得m ＝－3＋4k 24k .④把④代入③，得3＋4k 2>⎝⎛⎭⎪⎫－3＋4k 24k 2 ，解得k <－12 或k >12.即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ . 方法总结1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] 或|AB |＝1＋1k2 |y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] (k 为直线斜率，k ≠0). 提醒利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．〖对点训练〗已知P (1，1)为椭圆x 24 ＋y 22 ＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．〖解析〗法一：易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1 .又∵x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2＋1 ＝2，解得k ＝－12 .经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y －1＝－12 (x －1)，即x ＋2y －3＝0.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21 4 ＋y 212＝1，①x 22 4 ＋y 222 ＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4 ＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2 ＝0.∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22 ＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12 .经检验，k ＝－12 满足题意．∴此弦所在的直线方程为 y －1＝－12 (x －1)，即x ＋2y －3＝0. 〖答案〗x ＋2y －3＝0再研高考创新思维(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22 ＋y 2＝1B ．x 23 ＋y 22 ＝1C ．x 24 ＋y 23＝1D ．x 25 ＋y 24＝1〖解析〗设椭圆的标准方程为x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0).由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a . ∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |， ∴|AB |＝|BF 1|＝32 |AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ， ∴点A 是椭圆的短轴端点，如图所示．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，，得B ⎝⎛⎭⎫32，b 2 .由点B 在椭圆上，得94a 2 ＋b 24b 2 ＝1，解得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23 ＋y 22 ＝1.〖答案〗B 素养升华椭圆离心率的范围问题已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 在椭圆上且满足，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫33，1B ．⎣⎡⎦⎤33，22 C ．⎣⎡⎦⎤13，12D ．⎝⎛⎦⎤0，22 〖解析〗设P (x ，y )，则x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，y 2＝b 2－b 2a 2 x 2，－a ≤x ≤a ，＝(－c －x ，－y )，＝(c －x ，－y ). 所以＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2 x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2 x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤≤b 2.所以b 2－c 2≤c 2≤b 2.所以2c 2≤a 2≤3c 2. 所以33 ≤c a ≤22. 〖答案〗B。

数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案含解析

第五讲椭圆知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;（3）若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；（2）直线AB的斜率k AB＝－错误!．7．若M、N为椭圆错误!＋错误!＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点,则K PM·K PN＝－错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×）(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．(×)（3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0,m≠n）表示的曲线是椭圆．(√）(4）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于(C）A．4 B．8C．4或8 D．12［解析］当焦点在x轴上时,10－m＞m－2＞0,10－m－(m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3）过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C 上的一点，若PF1⊥PF2,且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D）A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1［解析］设|PF2｜＝x，则｜PF1｜＝3x，｜F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1|＋|PF2｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2｜＝2x，于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1．5．（2019·课标Ⅰ，10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0)，F2(1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2｜F2B|，｜AB|＝|BF1｜,则C的方程为（B)A．x22＋y2＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［解析]设｜F2B|＝x（x＞0），则｜AF2|＝2x，｜AB|＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－(｜AB｜＋|BF1｜)＝4a－6x,由椭圆的定义知｜BF1|＋｜BF2|＝2a＝4x，所以|AF1｜＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2｜2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1,①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2|2－2｜AF2｜·｜F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!，a＝错误!,所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1）(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是（B)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线（2）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1）是一定点．则|PA|＋｜PF｜的最大值和最小值分别为__6＋错误!，6－错误!__．(3)已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3错误!，则b＝__3__．［解析]（1）如图所示，由题知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1(其中a＞b＞0）．连接MO，由三角形的中位线可得:｜F1M|＋｜MO|＝a（a＞|F1O｜），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6．∴|PA|＋|PF|＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程x29＋y25＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0),∴|AF1｜＝错误!．利用－｜AF1|≤|PA|－｜PF1｜≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF｜≤6＋错误!，|PA|＋｜PF|≥6－错误!．故|PA|＋｜PF｜的最大值为6＋2，最小值为6－错误!．（3）｜PF1|＋｜PF2｜＝2a,又∠F1PF2＝60°,所以｜PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1||PF2｜cos 60°＝|F1F2|2，即(｜PF1|＋|PF2|）2－3|PF1｜|PF2｜＝4c2，所以3｜PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1||PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!｜PF1|｜PF2|sin 60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3．故填3．［引申］本例(2）中，若将“A(1,1）”改为“A(2，2)”，则｜PF｜－|PA|的最大值为__4__，|PF｜＋|PA|的最大值为__8__．［解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵｜PF1｜＋|PA|≥|AF1|＝2（P在线段AF1上时取等号），∴｜PF|－|PA|＝6－（｜PF1|＋｜PA｜）≤4,∵|PA|－|PF1|≤｜AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号),∴｜PF|＋｜PA｜＝6＋｜PA｜－|PF1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用范围:①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1｜｜PF2｜；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕（1)(2021·大庆模拟)已知点M（3，0)，椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!）交于点A、B,则△ABM的周长为__8__．（2）(2019·课标Ⅲ,15）设F1，F2为椭圆C：错误!＋错误!＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，错误!)__．（3）(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4),则｜PM|－｜PF1|的最小值为__－5__．［解析]（1)直线y＝k（x＋错误!）过定点N(－错误!，0)．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．（2）因为F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知｜F1M｜＝｜F1F2|,又由椭圆方程错误!＋错误!＝1，知｜F1F2|＝8，｜F1M｜＋｜F2M｜＝2×6＝12，所以|F1M｜＝|F1F2|＝8，所以｜F2M|＝4．设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则错误!解得x0＝3，y0＝错误!,即M(3，错误!)．（3)由题意可知F2(3，0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．∴｜PM｜－|PF1｜＝|PM｜－(2a－|PF2|)＝｜PM|＋|PF2｜－2a≥｜MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又｜MF2|＝错误!＝5,2a＝10,∴｜PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM｜－|PF1|的最小值为－5．考点二椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；（3）经过点P(－2错误!,1)，Q（错误!，－2）两点;（4）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点(2，－错误!)．［解析］（1）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴错误!＝1,∴a＝3．∵2a＝3×2b,∴b＝1．∴方程为错误!＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴9b2＝1,∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为错误!＋错误!＝1．综上所述,椭圆方程为错误!＋y2＝1或错误!＋错误!＝1．(2)由已知，有错误!解得错误!从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为x212＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．（3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n)，∵点P(－2错误!，1），Q(错误!，－2）在椭圆上，∴错误!解得m＝错误!，n＝错误!．故椭圆方程为错误!＋错误!＝1．（4）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝t（t＞0)，将点（2,－错误!）代入,得t＝错误!＋错误!＝2．故所求方程为错误!＋错误!＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝λ(λ＞0）代入点（2，－3），得λ＝错误!，∴所求方程为错误!＋错误!＝1．综上可知椭圆方程为x28＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:①作判断：根据条件判断焦点的位置;②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解,得方程．（3）椭圆的标准方程的两个应用①方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝λ（λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）共焦点的椭圆系方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0，k＋b2＞0），恰当运用椭圆系方程,可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m＜6”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞0)的右焦点为F,O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足｜OF|＝|FP|，则C的方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1[解析](1）错误!＋错误!＝1表示椭圆⇔错误!⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B．(2)根据对称性知P在x轴上，|OF｜＝|FP|，故a＝2c,a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1,故椭圆方程为：错误!＋错误!＝1．故选：D．考点三,椭圆的几何性质-—师生共研例3 （1)(2017·全国）椭圆C的焦点为F1(－1,0），F2(1，0）,点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝错误!，则C的长轴长为(D）A．2 B．2错误!C．2＋错误!D．2＋2错误!(2)（2021·河北省衡水中学调研）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为(B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的左、右焦点,若在直线x＝错误!上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1）椭圆C的焦点为F1(－1，0),F2（1,0），则c＝1，∵｜PF2|＝2，∴|PF1｜＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1｜2＝｜F1F2｜2＋|PF2｜2－2|F1F2|·|PF2｜·cos 错误!，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×错误!，解得a＝1＋错误!，a＝1－错误!（舍去），∴2a＝2＋2错误!，故选D．（2）不妨设直线l:错误!＋错误!＝1,即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离错误!＝错误!⇒e＝错误!＝错误!，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知错误!－c≤2c,∴e2＝错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，｜y|≤b，0＜e＜1,建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立题设条件有明显的几何关系〔变式训练3〕(1）（2017·全国卷Ⅲ）已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）（2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）已知F1，F2是椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__错误!__．[解析](1）由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0),半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝错误!＝a，解得a＝错误!b,∴ba＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．（2）当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知错误!＝tan 60°＝错误!，∴错误!＝错误!,∴e＝错误!＝错误!，故选D．(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b,∴c2≥a2－c2，∴错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．考点四,直线与椭圆—-多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4 若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5［解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点（0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选D．解法二：由错误!消去y整理得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20（1－m)（5k2＋m）≥0对一切k∈R 恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴错误!，即m≥1,又m≠5，∴m≥1且m≠5．故选D．角度2中点弦问题例5 （1）(2021·湖北省宜昌市调研）过点P（3，1）且倾斜角为错误!的直线与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)相交于A,B两点，若AP→＝错误!，则该椭圆的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2)已知椭圆错误!＋y2＝1,点P错误!，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析］（1)由题意可知P为AB的中点,且k AB＝－1，设A （x1，y1)，B（x2,y2)，则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1，两式相减得错误!＝－错误!，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－1，即错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!,故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),中点为M （x 0,y 0），则有错误!＋y 错误!＝1，错误!＋y 错误!＝1．两式作差，得错误!＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，错误!＝k AB ,代入后求得k AB ＝－错误!＝－错误!，∴其方程为y －错误!＝－错误!错误!,即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P 错误!，椭圆E 的一个焦点为(3，0）．（1）求椭圆E 的方程；（2)若直线l 过点M （0，错误!)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求｜AB |的最大值．[解析] （1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（－错误!，0),F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P 错误!，得|PF 1｜＋|PF 2｜＝4＝2a ，∴a ＝2,c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1．（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A(x1，y1），B(x2,y2）．由错误!得(1＋4k2)x2＋8错误!kx＋4＝0．由Δ＞0得(8错误!k）2－4（1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!得|AB|＝错误!·错误!＝2错误!．设t＝11＋4k2，则0＜t＜错误!，∴|AB|＝2错误!＝2错误!≤错误!，当且仅当t＝错误!时等号成立．当直线l的斜率不存在时,|AB｜＝2＜错误!．综上,｜AB|的最大值为错误!．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．（2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a,b，c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2),则｜AB|＝错误!＝错误!（其中k为直线斜率）．提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x1，y1)，B（x2，y2)，代入曲线方程,通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2,x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是__相交__．（2）（角度2）(2021·广东珠海期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的右焦点为F，离心率错误!,过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1），则直线l的斜率为（D）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!(3）(角度3)斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1)＋1过定点（－1,1），而（－1，1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2）因为错误!＝错误!,∴4c2＝2a2，∴4（a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2,设A（x1，y1)，B(x2，y2），且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，错误!,相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2（y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2错误!＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－错误!，选D．(3）设A,B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2）,直线l的方程为y＝x＋t，由错误!消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0,则x1＋x2＝－错误!t，x1x2＝错误!．∴|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝2·错误!＝错误!·错误!,当t＝0时，|AB｜max＝错误!．故选C．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图,焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为__4__．[解析］e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴b2＝3,∴椭圆方程为x24＋错误!＝1,且F（－1,0）,A(2，0),设P（2sin θ，错误!cos θ)，则错误!·错误!＝（－1－2sin θ，－错误!cos θ）·（2－2sin θ，－错误!cos θ）＝sin2θ－2sin θ＋1＝（sin θ－1）2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号，故错误!·错误!的最大值为4．另解：设P（x，y），由上述解法知错误!·错误!＝（－1－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－x－2＝错误!（x－2）2（－2≤x≤2)，显然当x ＝－2时,错误!·错误!最大且最大值为4．名师点拨遇椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解,即令x＝a sin θ,y＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（D)A．3 B．11C．2错误!D．错误!［解析]设椭圆错误!＋错误!＝1上的点P(4cos θ,2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝错误!＝错误!，∴d max＝错误!＝错误!．。

椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或（2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-，所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时，此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1．故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤，则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径，所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立，所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =，故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即22a =，所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______．【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤，设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增，故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增，故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-，所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<，所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ．故答案为：2xy =-()22-<<x ．例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程；（2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ，又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ，故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-，故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=．【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =，又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-，代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =，所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△，所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==．综上，||||4PA PB ⋅=．【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《椭圆》课件ppt

A.x62＋y52＝1
√B.x52＋y42＝1
C.x32＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点，得C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以x0＝1，所以a12＋by202＝1，解得 y0＝ba2，即 A1，ba2，所以 C0，2ba2 ，B－2，－2ba2 ，
(2)(2022·全国甲卷)椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称.若直线 AP，AQ 的斜率之积为14，则 C 的离心率为
√A.
3 2
1 C.2
2 B. 2
1 D.3
设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
常用结论
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (6)焦点三角形的周长为2(a＋c).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
b4 将点 B 的坐标代入椭圆方程得a42＋4ba22＝1，即a42＋4ba22＝1，
结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的标准方程是x52＋y42＝1.
题型三椭圆的几何性质
命题点1 离心率例 4 (1)(2022·太原模拟)设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右

高三数学一轮复习第8篇椭圆的定义与标准方程学案理

第五十课时椭圆的定义与标准方程课前预习案1、掌握椭圆的定义，并会用椭圆定义解题；掌握求椭圆标准方程的基本步骤（定型、定位、定量）掌握求椭圆标准方程的基本方法（定义法和待定系数法）2、命题趋势：椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。

定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。

1．定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )．两焦点间的距离叫做②定义的符号表示：。

注意：当122a F F =时，轨迹是；当122a F F < 时，。

③,,a b c 之间的关系。

2．椭圆的标准方程（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为，焦点坐标为，焦距为。

（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为，焦点坐标为，焦距为。

1.已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为（）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 2.已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>,它的两个焦点分别是F 1,F 2,且| F 1F 2|=8,弦AB 过F 1,则∆ABF 2的周长为( )2．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于（）A .3316 B .)32(4- C .)32(16+ D .16课内探究案考点1：椭圆的定义【典例1】下列说法中，正确的是（）A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆C ．方程()2222210x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()222210,0x y a b a b+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆【变式1】1F ，2F 是定点，126F F =，动点M 满足126MF MF +=，则点M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆考点2．椭圆的标准方程【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1,1),P 2求椭圆的方程.【变式2】已知椭圆的中心在原点，且经过点(0,3)P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．考点3．椭圆的焦距【典例3】椭圆 63222=+y x 的焦距是（） A ．1B ．)23(2-C ．2D ．)23(2+【变式3】椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（）A ．5B ．3C ．5或3D ．不存在1．如果方程222=+my x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）2．若椭圆116222=+by x 过点（－2，3），则其焦距为（） A.25 B.23 C. 43 D. 45 3.若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是（）A ．22184y x += B ．221106y x += C ．22148y x += D ．221106x y += 4. （2013年高考广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x课后拓展案 A 组全员必做题1．（2013年高考大纲卷）已知()()1221,0,1,0,F F C F -是椭圆的两个焦点过且垂直于x 轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（） A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =则Γ的两个焦点之间的距离为_______.3.如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.求椭圆M 的标准方程.4．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,，求椭圆C 的方程.5．已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.1．（2013年高考安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点P ，求椭圆C 的方程.2．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =求椭圆C 的方程;3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．求椭圆C 1的方程.参考答案1.C2.D3.B【典例1】C 【变式1】C【典例2】（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）22193x y +=. 【变式2】198122=+y x 或1922=+x y 【典例3】C【变式3】C1.D2.C3.D4.D组全员必做题1.C2.33. 2214x y += 4. 2212x y += 5. 22143x y +=.组提高选做题1. 22184x y += 2. 2214x y +=3. 2212x y +=。

高考数学总复习第八章解析几何8.5椭圆理新人教A版

4.理解数形结合的思想. 以解答题的形式呈现，具有
一定的综合性.
课堂探究考点突破
真题模拟演练
课堂探究考点突破
考点一椭圆的定义及标准方程
(1)已知椭圆 C：x42＋y32＝1，M，N 是坐标平面内的两点，
且 M 与 C 的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，
线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝( B )
解：设弦的端点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是 M(x，y)．
x221＋y21＝1，① x222＋y22＝1，②
①－②得yx22－－yx11＝－2xy22＋＋xy11＝－2xy，
所以－2xy＝yx－－12，化简得 x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆x22＋y2＝1 内部的部
圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1 .
解析：设点 B 的坐标为(x0，y0)． ∵x2＋by22＝1， ∴F1(－ 1－b2，0)，F2( 1－b2，0)． ∵AF2⊥x 轴，设点 A 在 x 轴上方，则 A( 1－b2，b2)．
∵|AF1|＝3 1－b2，y0)． ∴x0＝－53 1－b2，y0＝－b32. ∴点 B 的坐标为－53 1－b2，－b32. 将 B－53 1－b2，－b32代入 x2＋by22＝1，得 b2＝23.
B．

32－1，12
D．0，12
解析：由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos
∠ PF1F2 ＝ 4c2 ＋ 4c2 － 2·2c·2c·cos ∠ PF1F2 ，即 |PF2| ＝ 2 2
c· 1－cos∠PF1F2 ，所以
1.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 2．椭圆方程的求解方法 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法． (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2 ＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．

2024届新高考一轮总复习人教版第八章第5节第2课时直线与椭圆课件(30张)

2．过圆 x2＋y2＝r2 上一定点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2，此结论可推
广到圆锥曲线上．过椭圆1x22 ＋y42＝1 上的点 A(3，－1)作椭圆的切线 l，则过 A 点且与直
线 l 垂直的直线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．x－y－3＝0
C．2x＋3y－3＝0
D．3x－y－10＝0
【思维升华】弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，可利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]求解．
【思维升华】判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点 2 中点弦及弦长问题
【典例引领】
中点弦问题
[例 1](1) (2023·福建三明模拟)以椭圆x42＋y32＝1 内一点 P1，1为中点的弦所在的直线
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y＝－1k(x－1). 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则 x1＋x2＝3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122，
x1＋x2＋
的重心，得
3
22a＝0，y1＋y23＋
2
2
b ＝0，

椭圆课件-2025届高三数学一轮基础专项复习

2.［链接苏教选必一P88—P89知识］椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，若，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用，，表示，利用，，自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或（舍去）.故选C.

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章 §8.5 椭圆

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章§8.5　椭　圆1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的 .注意：(1)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数>|F 1F 2|时，动点M 的轨迹为椭圆；(2)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数＝|F 1F 2|时，动点M 的轨迹为以F 1，F 2为两端点的线段；(3)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数<|F 1F 2|时，动点M 的轨迹不存在.常数焦点焦距2.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程范围__________________________________________－a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上顶点____________________________________________________________________________________轴长短轴长为，长轴长为____焦点________________________________________焦距|F 1F 2|＝____A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)2b 2a F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )2c焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上对称性对称轴：，对称中心：_____离心率____________a ，b ，c 的关系___________x 轴和y 轴原点a 2＝b 2＋c 2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大，最大.(2)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c .12F PF S △(4)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.(5)焦点三角形的周长为2(a ＋c ).自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)设F 1(－4,0)，F 2(4,0)为定点，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( )(4)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( )×√××√得a2＝25，即a＝5，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝6，即点P与另一个焦点F2的距离为6.√√返回第二部分探究核心题型题型一　椭圆的定义及其应用例1　(1)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为√M|＝5－|MQ|，|C2M|＝1＋如图，由题意得，|C|MP|，其中|MQ|＝|MP|，所以|C1M|＋|C2M|＝5－|MQ|＋1＋|MP|＝6>2＝|C1C2|，由椭圆定义可知，动圆圆心M的轨迹为以C1，C2为焦点且长轴长为6的椭圆，9－1＝8，12F PF S △思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.跟踪训练1　(1)(2023·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为√A.4B.8C.10D.20由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20.(2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容.例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图).步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕.圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C.按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为______.由对称性可知|MF|＝|MA|，且A，M，E三点共线，以FE所在直线为x轴，EF的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，所以|ME|＋|MF|＝|EA|＝4>|EF|＝2，所以曲线C是以F，E为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，题型二　椭圆的标准方程例2　(1)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为√√则C为AF的中点，F为BC的中点，所以x A＝1，又a 2－b 2＝1，所以a 2＝5，b 2＝4，思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.跟踪训练2　(1)(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为√2PF QS △√如图，连接PF 1，QF 1，由椭圆的对称性得四边形PF 1QF 2为平行四边形，所以|PF 2|＋|F 2Q |＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝6，得a ＝3.又因为PF 2⊥F 2Q ，所以四边形PF 1QF 2为矩形，设|PF 2|＝m ，|F 2Q |＝n ，2PF QS △题型三　椭圆的几何性质命题点1　离心率√√设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，(*)因为点P在椭圆C上，思维升华求椭圆离心率或其范围的方法(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.命题点2　与椭圆有关的范围(最值)问题12PF F S △√√12PF F S △思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.(2)利用函数，尤其是二次函数.(3)利用不等式，尤其是基本不等式.√。

2025高考数学一轮复习-8.5-椭圆【课件】

得（x1－x2）a（2 x1＋x2）＋（y1－y2）b（2 y1＋y2）＝0. 因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，且 kAB＝xy11－－yx22＝12，所以ba22＝12，即 a2＝2b2②. 由①②，得 b2＝9，a2＝18，所以椭圆 E 的方程为1x82＋y92＝1.
第八章平面解析几何
知识诊断基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 _椭__圆___.这两个定点叫做椭圆的__焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距__，焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若__a_＞__c___，则集合P为椭圆； (2)若__a_＝__c___，则集合P为线段； (3)若__a_＜__c___，则集合P为空集.
D. x2＋y2＝1 18 9
解析由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①. 因为直线 AB 经过点(1，－1)，F(3，0)，所以 kAB＝－1－ 1－30＝12. 设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则xaxa212222＋＋bbyy212222＝＝11，，两式相减，
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点

高三数学第52课时椭圆教案教案

课题：椭圆教学目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.教学重点：椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质及应用.（一）主要知识：（二）主要方法：1.求椭圆方程的方法：除了根据定义外，常用待定系数法（先定性，后定型，再定参）.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时，可设方程为221x y m n+=（,0m n >）可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为221mx ny +=（0m >,0n >）. 2.椭圆有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点，四个顶点），“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）.要注意它们之间的位置关系（如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离（如焦点到相应顶点的距离为a c -，到相应准线的距离为22a b c c c-=即焦准距）. 3.要重视椭圆定义解题的重要作用，要注意归纳提炼，优化解题过程，简化解题过程.4.当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式. （三）典例分析：问题1．根据下列条件求椭圆的标准方程：()1已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1P，(2P ；()2两准线间的距离为5，焦距为 ()3和椭圆2212420x y +=共准线，且离心率为12；()4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.()5问题2．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，()1,1A 是一定点.()1求23PA PF +的最小值，并求点P 的坐标；()2求PA PF +的最大值和最小值.(1A (0,)a -，),021F 2FP B 1F 2FP问题3. ()1设点(),P x y 在椭圆2244x y +=上，求x y +的最大值和最小值.()2 椭圆224936x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 位其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是问题4．已知点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使1260F PF ∠=︒.()1求椭圆离心率e 的取值范围；()2求12PF F △的面积问题5. (07陕西) 已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求AOB △面积的最大值.（四）课后作业：1.已知P 是椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为2.点P 在椭圆221259x y +=上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是3.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是4.（08届高三重庆酉阳一中四检）2007年10月24日18时05分，在西昌卫星发射中心，“嫦娥一号”卫星顺利升空，24分钟后，星箭成功分离，卫星首次进入以地心为焦点的椭圆形调相轨道，卫星近地点为约200公里，远地点为约51000公里。

2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8_5_1椭圆课件文新人教A版

解析 (1)设圆 M 的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，所以 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为6x42 ＋4y82 ＝1。
答案 (1)D
(2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x42＋by22＝1(0<b<2)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点。若 3|AF1|＝5|AF2|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________。
常数}。 (1)若 a＞c ，则 M 点的轨迹为椭圆。 (2)若 a＝c ，则 M 点的轨迹为线段 F1F2。 (3)若 a＜c ，则 M 点不存在。
2．椭圆的标准方程和几何性质
1．椭圆方程中的 a，b，c (1)a，b，c 关系：a2＝b2＋c2。 (2)e 与ba：因为 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba2，所以离心率 e 越大，则ba越小，椭圆就越扁；离心率 e 越小，则ba越大，椭圆就越圆。 2．在求焦点在 x 轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用以下不等关系：－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1。 3．焦点三角形椭圆上的点 P 与焦点 F1，F2 若构成三角形，则称△PF1F2 为焦点三角形，焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系。
【变式训练】 (1)(2019·惠州调研)设 F1，F2 为椭圆x92＋y52＝1 的两个焦
点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则||PPFF21||的值为(
)
A．154
B．59
C．49
D．153
解析 (1)如图，设线段 PF1 的中点为 M，因为 O 是 F1F2 的中点，所以 OM∥PF2，可得 PF2⊥x 轴，可求得|PF2|＝53，|PF1|＝2a－|PF2|＝133，||PPFF12||＝ 153。故选 D。

(精品人教)2020届高考数学一轮复习第8单元解析几何听课学案理

第八单元解析几何第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课前双击巩固1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为.(2)范围:倾斜角α的取值范围是.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .(2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= .若x1=x2,则直线的斜率,此时直线的倾斜角为90°.3.直线方程的五种形式常用结论直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:题组一常识题1.[教材改编]已知直线经过点A(4,-2),B(1,1),则直线AB的斜率为,倾斜角α为.2.[教材改编]一条直线经过点M(-2,3),且它的斜率是直线y=2x的斜率的3倍,则该直线的方程为.3.[教材改编]若直线l在两坐标轴上的截距互为负倒数,且绝对值相等,则直线l的方程为. 题组二常错题◆索引:忽略直线斜率不存在的情况;对倾斜角的取值范围不清楚;忽略截距为0的情况.4.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是.5.已知A(2,2),B(-1,3),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的倾斜角α的取值范围是.6.过点(-2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是.课堂考点探究探究点一直线的倾斜角和斜率1 (1)设直线l的倾斜角为α,且≤α≤,则直线l的斜率k的取值范围是.(2)[2017·湖北部分重点中学联考]直线l:x-y sin θ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.B.∪C.D.∪[总结反思] (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助图像或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,直线垂直于x轴.式题 (1)平面上有相异两点A(cos θ,sin2θ),B(0,1),则直线AB的倾斜角α的取值范围是.(2)已知两点M(2,-3),N(-3,-2),斜率为k的直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则k的取值范围是. 探究点二直线的方程2 求适合下列条件的直线l的方程:(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.[总结反思] (1)求直线方程一般有以下两种方法:①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.式题 (1)直线l1:x-y+-1=0绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,则旋转后得到的直线l2的方程为()A.x-y+1=0B.x-y=0C.x+y+1=0D.3x-y-1=0(2)若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点()A.B.C.D.探究点三直线方程的综合应用3 (1)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O为坐标原点,△AOB的面积为S,则当S取得最小值时直线l的方程为.(2)[2018·江西师大附中月考]已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y-1=0和x+ay+2=0上,且线段AB的中点为P0,,则线段AB的长为.[总结反思] (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值;(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题.式题 (1)已知直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k的取值范围是.(2)[2017·遵义四中月考]已知直线l:+=1(a>0,b>0)在两坐标轴上的截距之和为4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是()A.2B.4C.6D.2第47讲两直线的位置关系、距离公式课前双击巩固1.两条直线的位置关系直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:2.两直线的交点设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的就是方程组的解.(1)若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是;(2)若方程组无解,则两条直线,此时两条直线,反之,亦成立.3.距离公式常用结论1.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0平行,则方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.若所求直线过点P(x0,y0),且与Ax+By+C=0垂直,则方程为:B(x-x0)-A(y-y0)=0.3.过两直线交点的直线系方程若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这条直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.4.点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).5.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).6.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).7.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).8.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).9.点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).题组一常识题1.[教材改编]已知过A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线2x-y+1=0平行,则a的值为.2.[教材改编]过点(3,1)且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是.3.[教材改编]过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为.4.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=2x+3的距离为.题组二常错题◆索引:判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况;求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系;两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况.5.若直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a= .6.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是.7.若直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+a2y+a=0平行,则实数a= .课堂考点探究探究点一两条直线的位置关系1 (1)[2017·咸阳二模]已知p:m=-1,q:直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·广州二模]已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为()A.B.C.D.[总结反思] (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在;(2)“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2=0”.式题 (1)[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等重点中学联考]“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)[2017·沈阳二中一模]已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos-2α的值为()A. B.-C.2 D.-探究点二距离问题2 (1)[2017·河北武邑中学月考]已知两平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c=()A.-12B.48C.36D.-12或48(2)若(a≠b),则坐标原点O(0,0)到经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的距离为.[总结反思] (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式;(2)运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中的x,y的系数对应相等.式题 (1)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离的最小值是()A.B.C.D.(2)[2017·辽宁锦州中学期中]若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.4探究点三对称问题考向1点关于点的对称3 (1)点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则()A.m=-3,n=10B.m=3,n=10C.m=-3,n=5D.m=3,n=5(2)直线2x-y+3=0关于定点M(-1,2)对称的直线方程是()A.2x-y+1=0B.2x-y+5=0C.2x-y-1=0D.2x-y-5=0[总结反思] 中心对称问题主要有两类:(1)点关于点的对称:点P(x,y)关于O(a,b)对称的点P'(x',y')满足(2)直线关于点的对称:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,也可考虑利用两条对称直线是相互平行的,并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.考向2点关于线对称4 (1)已知直线l的方程为2x-y-3=0,点A(1,4)与点B关于直线l对称,则点B的坐标为.(2)点M(3,-4)和点N(m,n)关于直线y=x对称,则()A.m=-4,n=-3B.m=4,n=-3C.m=-4,n=3D.m=4,n=3[总结反思] 若点A(a,b)与点B(m,n)关于直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)对称,则直线Ax+By+C=0垂直平分线段AB,即有考向3线关于线对称5 (1)直线l1:2x+y-4=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线l2的方程为.(2)直线l1:3x-y+1=0与直线l2:3x-y+7=0关于直线l对称,则直线l的方程为.[总结反思] 求直线l1关于直线l对称的直线l2,有两种处理方法:(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点,再用两点式写出直线l2的方程.(2)设点P(x,y)是直线l2上任意一点,其关于直线l的对称点为P1(x1,y1)(P1在直线l1上),若直线l的方程为Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),则有从中解出x1,y1,再代入直线l1的方程,即得直线l2的方程.考向4对称问题的应用6 (1)一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),则反射光线所在直线的方程为.(2)将一张坐标纸折叠一次,使得点(3,-2)与点(-1,2)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则mn= .[总结反思] 在对称关系的两类问题中,中心对称的本质是“中点”,体现在中点坐标公式的运用上;轴对称的本质是“垂直、平分”,即“对称点连线与对称轴垂直,对称点构成的线段的中点在对称轴上”.强化演练1.【考向3】与直线x+3y-2=0关于x轴对称的直线方程为()A.x-3y-2=0B.x-3y+2=0C.x+3y+2=0D.3x+y-2=02.【考向2】两点A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线4x+3y=11对称,则()A.a=-4,b=2B.a=4,b=-2C.a=4,b=2D.a=2,b=43.【考向3】若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,那么直线l2恒过定点()A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)4.【考向1】直线y=3x+3关于点M(3,2)对称的直线l的方程是.5.【考向4】[2017·西安一中一模]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为点(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是.6.【考向4】已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是.第48讲圆的方程课前双击巩固1.圆的定义及方程圆心为,2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则.(2)若M(x0,y0)在圆上,则.(3)若M(x0,y0)在圆内,则.常用结论常见圆的方程的设法:题组一常识题1.[教材改编]若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是.2.[教材改编]已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是.3.[教材改编]已知圆C经过点A(1,1)和B(4,-2),且圆心C在直线l:x+y+1=0上,则圆C的标准方程为.4.[教材改编]与圆x2+y2-4x+2y+4=0关于直线x-y+3=0对称的圆的一般方程是.题组二常错题◆索引:忽视表示圆的条件D2+E2-4F>0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围.5.若方程x 2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是.6.半径为2,且与两坐标轴都相切的圆的方程为.7.已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,则3x2+4y2的最大值为.课堂考点探究探究点一圆的方程1 (1)[2017·包头一模]圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为()A.+y2=B.+y2=C.+y2=D.+y2=(2)[2017·广西名校一模]过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4[总结反思] 求圆的方程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.式题 (1)若圆C过点(0,-1),(0,5),且圆心到直线x-y-2=0的距离为2,则圆C的标准方程为.(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为.探究点二与圆有关的最值问题考向1斜率型最值问题2 (1) 若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为()A.B.C.D.(2)[2017·抚州临川一中二模]点M(x,y)在圆x2+(y-2)2=1上运动,则的取值范围是()A.∪B.∪∪C.∪D.[总结反思] 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.求形如k=的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a,b)和(x,y)的直线斜率的最值问题.考向2截距型最值问题3 (1)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是,最小值是.(2)已知P(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=5上运动,当2x+ay(a>0)取得最大值8时,其最小值为.[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由Δ≥0求得u的范围,进而求得最值.考向3距离型最值问题4 (1)[2017·嘉兴一中联考]已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是.(2)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为()A.4B.6C.3+1D.1+[总结反思] 若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把(x-a)2+(y-b)2看作是点(a,b)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解.考向4利用对称性求最值5 [2017·赤峰期末]一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路径的长是()A.4B.5C.3-1D.2[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.强化演练1.【考向1】设实数x,y满足(x+2)2+y2=3,那么的取值范围是()A.B.∪C.D.(-∞,-]∪[,+∞)2.【考向3】若直线l:ax+by+1=0经过圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的圆心,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.B.5C.2D.103.【考向4】已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ()A.5 -4B.-1C.6-2D.4.【考向3】[2017·合肥一中三模]若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则的最小值为.5.【考向2】[2017·广东华南师大附中月考]已知实数x,y满足(x+2)2+(y-3)2=1,则|3x+4y-26|的最小值为.6.【考向3】已知圆C:x2+(y+1)2=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥,则的最小值是.探究点三与圆有关的轨迹问题6 (1)动点P与定点A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+y2=1D.y=(2)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1[总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考]自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点A(1,0)和圆C:x2+y2=4上一点P,动点Q满足=2,则点Q的轨迹方程为()A.+y2=1B.x2+=1C.x2+=1D.+y2=1第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系课前双击巩固1.直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出x M+x N和x M·x N,则|MN|=·.题组一常识题1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.题组二常错题◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a= .6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.7.若直线过点P-3,-且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为.课堂考点探究探究点一直线与圆的位置关系1 (1)[2017·海南中学模拟]直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定(2)[2017·渭南二模]直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.0<m<1B.-4<m<0C.m<1D.-3<m<1[总结反思] 判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.式题 (1)圆2x2+2y2=1与直线x sin θ+y-1=0θ∈R,θ≠+kπ,k∈Z的位置关系是(横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).(2)[2017·长沙长郡中学三模]过定点P(-2,0)的直线l与曲线C:(x-2)2+y2=4(0≤x≤3)交于不同的两点,则直线l 的斜率的取值范围是.探究点二圆的切线与弦长问题2 (1)[2017·淄博二模]过点(1,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,当=4时,直线l的方程为.(2)[2017·南充三模]已知圆的方程是x2+y2=1,则经过上一点M,的切线方程是.[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.式题 (1)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+m=0相切,则实数m的值为.(2)[2017·重庆巴蜀中学三诊]设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x-my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:x+y=0对称,则= .(3)已知点M在直线x+y+a=0上,过点M引圆O:x2+y2=2的切线,若切线长的最小值为 2,则实数a的值为()A.±2B.±3C.±4D.±2探究点三圆与圆的位置关系3 (1)[2017·银川二模]已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则圆C1和圆C2的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切(2)已知经过点P1,的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.[总结反思] (1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.式题 (1)[2017·绵阳二诊]已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=|PM|,则r的最小值是.(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第50讲椭圆课前双击巩固1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若,则集合P为椭圆;(2)若,则集合P为线段;(3)若,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质+=1(a>b>0) +=1(a>b>0)常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=,r2=.①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).(2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:①当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b2tan =c,当=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长l min=.(4)AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则①弦长l==|y1-y2|;②直线AB的斜率k AB=-.题组一常识题1.[教材改编]椭圆36x2+81y2=324的短轴长为,焦点为,离心率为.2.[教材改编]已知动点P(x,y)的坐标满足+=16,则动点P的轨迹方程为.3.[教材改编]若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为10,一个焦点的坐标是(-,0),则椭圆的标准方程为.4.[教材改编]椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角,则Rt△PF1F2的面积为.题组二常错题◆索引:椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围.5.平面内一点M到两定点F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是.6.短轴长等于6,离心率等于的椭圆的标准方程为.7.设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则5x2+y2-6x的最大值为.课堂考点探究探究点一椭圆的定义1 (1)过椭圆+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长为()A.8B.4C.4D.2(2)[2017·西宁一模]在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆+=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则+的最大值为()A.5B.4C.3D.2[总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.式题 (1)[2017·汕头三模]若椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为()A.36B.16C.20D.24(2)已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b= .探究点二椭圆的标准方程2 (1) 椭圆E的焦点在x轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E的标准方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1(2)[2017·马鞍山三模]已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若线段AB 的中点的坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系数法求出m,n的值即可.式题 (1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F1的直线l交椭圆于M,N两点,若△MF2N的周长为8,则椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1(2) 过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1探究点三椭圆的几何性质3 (1)[2017·西宁二模]设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b相切的☉F2交椭圆于点E,且点E恰好是直线EF1与☉F2的切点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.(2)椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△FAB外接圆的圆心P(m,n)在直线y=-x的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为()A.B.C.D.[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法:(1)求出a,c,代入公式e=.(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.式题 (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,位于第一象限,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且=2.若·=0,则e2=()A.-1B.2-C.2-D.-2(2)中心为原点O的椭圆的焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P为椭圆上一点,若∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.探究点四直线与椭圆的位置关系4 [2018·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]已知点M是圆E:(x+)2+y2=16上的动点,点F(,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围.[总结反思] (1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==(k为直线斜率).(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:式题 [2017·咸阳三模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点,N为线段PQ的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点M0,,且MN⊥PQ,求线段MN所在的直线方程.第51讲双曲线课前双击巩固1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当时,P点的轨迹是双曲线;(2)当时,P点的轨迹是两条射线;(3)当时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质-=1(a>0,b>0-=1(a>0,b>0)),常用结论双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为-=λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|,则①-=1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.②-=1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.题组一常识题1.[教材改编]若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=4,则|PF2|= .2.[教材改编]已知双曲线经过点P(3,-2)和点Q(6,-7),则该双曲线的标准方程为.3.[教材改编]双曲线C:12x2-3y2=24的离心率是,渐近线方程是.题组二常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F1F2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.5.平面内到点F1(6,0),F2(-6,0)距离之差的绝对值等于12的点的轨迹是.6.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是.7.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为.8.P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是它的左、右焦点,且|PF1|=9,则|PF2|= .探究点一双曲线的定义及标准方程1 (1)F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且=8,则△PF1F2的周长为()A.15B.16C.17D.18。