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平面分空间

n个平面把空间分割成的部分数最多，个平面把空间分割成的部分数最多，其位置关系如何呢？其位置关系如何呢？任何两个平面相交； 1）任何两个平面相交； 2）任何三个平面呢？任何三个平面呢？
任何三个平面，任何三个平面，不相交于同一条直线，不相交于同一条直线，交线也不能相互平行；交线也不能相互平行；
与“3条直线分割平面最多有几个部分”类比条直线分割平面最多有几个部分” 有一部分有限。无限部分是：有一部分有限。无限部分是：与三角形有一公共边的有三部分，与三角形有一公共边的有三部分，与三角形有一公共顶点的有三部分，与三角形有一公共顶点的有三部分，于是，总的分割数是1 于是，总的分割数是1+3+3=7。
…… …… …… …… …… …… …… ……
结论： ♦结论：
维空间分割r维空间得到的最大用 n个( r-1)维空间分割维空间得到的最大维空间数目个维空间分割维空间得到的最大r维空间数目 = 用 (n-1)个( r-1)维空间分割维空间得到的最大维空维空间分割r维空间得到的最大个维空间分割维空间得到的最大r维空间数目+用维空间分割(r-1)维空间得到的最间数目用 (n-1)个(r-2)维空间分割个维空间分割维空间得到的最维空间数目. 大(r-1)维空间数目维空间数目即对任意的r维空间，个即对任意的维空间，n个(r-1)维超平面最多可以把 r维维空间维超平面最多可以把维切割成W(n,r)部分，则部分，空间切割成部分
r 1 2 3 4 5 6 …… n 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 4 4 3 4 7 8 8 8 8 4 5 11 15 16 16 16 5 6 16 26 31 32 32 6 7 22 42 57 63 64 7 8 29 64 99 120 127 …… …… …… …… …… …… ……

n个平面最多把空间分成几部分

n个平面最多把空间分成几部分
解: (1)先来解决一个问题：n条直线最多把平面分成几个部分呢？不妨记为f(n),易得f(1)=2,f(2)=4,f(3)=7,第n条直线与前n-1条直线两两相交，有n-1个交点，这n-1个交点最多把第n条直线分成n段，这样第n条直线就把原来的平面多分成了n个部分，所以有f(n)=f(n-1)+n (n>=2)通过计算求得f(n)=n(n+1)/2+1=C(n+1,2)+1 -----(I) (2)设n个平面最多能把空间分成g(n)部分,易得g(1)=2 g(2)=4 g(3)=8 g(4)=15 第n个平面与前面n-1平面两两相交，有n-1条直线，这n-1条直线最多把第n个平面分成f(n-1)个部分，每一部分就把原来的空间多分成了一部分，所以有g(n)=g(n-1)+f(n-1) n>=2 -----(II) 利用递推公式（II)公式（I）可得：g(n)=g(1)+f(1)+f(2)+…+f(n-1) =C(2,2)+C(3,2)+…+C(n,2)+n+1 =C(3,3)+C(3,2)+…+C(n,2)+n+1 =C(4,3)+C(4,2)+…+C(n,2)+n+1… =C(n+1,3)+n+1。

平面划分最多问题

划分问题及最多问题一．直线划分平面问题。

（1）1条直线可以把平面分成2个部分，如图：①②（2）2条直线可以把平面分成3或4个部分，如图：①②③①②③④所以，2条直线最多可以把平面分成4个部分。

（3）3条直线可以把平面分成4或6或7个部分，如图：①②③④①②③④⑤⑥① ② ③④ ⑤ ⑥① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦所以，3条直线最多可以把平面分成7个部分。

（4）4条直线呢？最多可以把平面分成几个部分？（5）n 条直线最多可以把平面分成几个部分？分析：要n 条直线最多把平面分成若干部分，必须n 条直线两两相交且无3条过同一点，记n 条直线最多可以把平面分成a n 个部分,第n 条直线与前n-1 条直线最多有n-1个交点，这些交点把第n 条直线分成n 段，每一段把原来对应的部分分为两部分，所以从n-1条直线增加了1条直线共增加了 n 个部分，即a n -a n-1=n (n>1),累加求和得，)2(212++=n n a n二．平面划分空间问题。

（1）1个平面可以把空间分成2个部分，如图：①②（2）23或4个部分，如图：①②③①②③④所以，2个平面最多可以把空间分成4个部分，（3）3个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分，如图：①②③④⑤⑥③④⑤⑥⑦⑧所以，3个平面最多可以把空间分成8个部分. （4）4个平面最多可以把空间分成几个部分？（5）n个平面最多可以把空间分成几个部分？分析：记n 个平面最多可以把空间分成a n 部分,第n 个平面与前n-1 个平面最多有n-1条交线，这些交线把第n 个平面分成)2(212+-n n 部分，每部分把对应的空间分为两部分，所以共增加了 )2(212+-n n 部分，a n -a n-1=)2(212+-n n ， (n>1)累加求和得，*∈+-+=N n n n n a n ),6)(1(612. n 个平面把空间最多分成)6)(1(612+-+n n n 个部分.①②③④⑤⑥⑦⑧。

n个平面最多可将空间分成多少个部分

--1--空间分成多少个部分问题提出：空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分？问题分析：显然，当这n 个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。

1、这n 个平面两两相交；2、没有三个以上的平面交于一点；3、这n 个平面的交线任两条都不平行。

对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。

设n 个平面分空间的部分数为n a ，易知当1=n时，2=n a ；当2=n 时，4=n a当3=n 时，8=n a 当4=n 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知15=n a ；从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n 的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。

那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n 条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n 条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n 条直线最多可将平面分割成n b 个部分，那么当3,2,1=n 时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。

当k n =时，设k 条直线将平面分成了k b 个部分，接着当添加上第1+k 条直线时，这条直线与前k 条直线相交有k 个交点，这k 个交点将第k 条直线分割成n 段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了1+k个区域，故得递推关系式 )1(1++=+k b b k k ，即11+=-+k b b k k显然当1=k时, 21=b ,当1,,2,1-=n k 时，我们得到1-n 个式子：212=-b b323=-b b434=-b b ……n b b n n =--1将这1-n 个式子相加，得)2(212++=n n b n ，即n 条直线最多可将平面分割成)2(212++n n 个部分。

我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定k b 与1+k b 的递推关系，最后得出结论。

现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k 个平面将空间分割成k a 个部分，再添加上第1+k 个平面，这个平面与前k 个平面相交有k 条交线，这k 条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第1+k 个平面就被这k 条直线分割成k b 个部分。

n条直线分平面问题

N 条直线分平面问题1.n 条直线最多能将平面分为多少个区域？设n 条直线最多能将平面分为n a 个区域,则121,4a a ==。

下面来建立1n a +与n a 的关系，设已画出n 条直线的情况，对于n+1条直线，我们看成是在n 条的基础上再增加一条直线所得，设新增直线为L,L 与n 条直线最多有n 个交点，n 个交点将L 分为 n+1个部分，而每个部分均将其在的区域一分为二，所以增一条L ，使在n 条直线的基础上最多增加n+1个区域，从而11n n a a n +=++。

由递推知11221,1,,2n n n n a a n a a n a a ----=-=--= 。

累加得11(1)(2)2(1)12n a a n n n n n -=+-+-++=+- ,故1(1)12n a n n =++。

所以n 条直线最多能将平面分为1(1)12n n ++个区域。

2.平面上n 条直线相交，内部最多能得到多少个区域？方法（1）设n 条直线相交，内部最多能得到n a 个区域,则1230,0,1a a a ===。

下面来建立1n a +与n a 的关系，设已画出n 条直线的情况，对于n+1条直线，我们看成是在n 条的基础上再增加一条直线所得，设新增直线为L,L 与n 条直线最多有n 个交点，n 个交点将L 分为 n+1个部分，而每个部分均将其在的区域一分为二，只有两头两部分没有使所在区域增加一个内部区域，中间n-1个部分使所在区域均增加一个内部区域，所以增一条L ，使在n 条直线的基础上最多增加n-1个内部区域，从而11n n a a n +=+-。

由递推知112212,3,,0n n n n a a n a a n a a ----=--=--= 。

累加得11(2)(3)(4)10(1)(2)2n a a n n n n n -=-+-+-+++=-- ,故1(1)(2)2n a n n =--。

平面最多分割空间问题

平面最多分割空间问题祁阳一中王勇波高一学了立几后，学生就把思维的灵光扩大到我们所生活的空间，总有同学问我n 个平面最多能把空间分成几部分，我跟他们说，这是切西瓜的问题，几个平面即是几刀去切一个大西瓜，三刀以下学生很好理解，四刀以上就搞不定了。

要弄清这个问题先要学习“数列”“推理证明”等相关的知识点。

一、首先要弄清直线分割平面的问题直线要最多分割平面的前提条件是：任两条直线都要相交，任何三条直线都不能交于同一点。

设n 条直线最多分割平面为f （n ）部分,一条直线分平面为二部分，即f （1）＝2，f （2）＝4，f （3）＝7，…，接下来我们要弄清f （n ＋1）与f （n ）的内在联系（这个我们初中是接触过的）。

我们来看增加的第n ＋1条直线，按照题目的意思知道，没有任何三条直线交于同一点，这样第n ＋1条直线与前面n 条直线有n 个交点，而这n 个交点把第n ＋1条直线分成n ＋1段，而这n ＋1段把它所在的区域一分为二，这由n 条直线到n ＋1条直线平面就增加了n ＋1个区域，即f （n ＋1）＝f （n ）＋n ＋1，故有：f （1）＝2 (1)f （2）＝f （1）＋2 (2)f （3）＝f （2）＋3 (3)…………f （n ）＝f （n －1）＋n (n )上述n 个式子相加即有f （n ）＝2＋2＋3＋4＋…＋n =21()12n n ++ f （1）＝2也适合式子故f （n ）＝2＋2＋3＋4＋…＋n =21()12n n ++（此结论后面有用的）二、平面最大分割空间这里首先要明白平面最大分割空间要满足什么条件，即是所有平面都相交，任何三个平面都不能交于同一条直线。

我们也仿照上面直线分割平面的方法来处理这个问题。

设n 个平面最多分割空间为F （n ）个区域,一条直线分平面为二部分，即F （1）＝2，F （2）＝4，F （3）＝8，…，接下来我们要弄清F （n ＋1）与F （n ）的内在联系。

六年级数学专题：图形区域分割计数

第36章图形区域分割计数【内容综述】用一些几何图形去分割另一个图形，得到最多区域数是有规律可循的．如用点分直线，直线分平面，三角形分平面，平面分空间等等．下面我们来探索它们的规律，主要是从最简单的情形出发，依次递推，找到相邻两个图形之间的“增量”规律，然后归纳出一般公式．这里出现符号P (n )，表示n 个图形分另一个图形的最多区域数．1、点分直线：n 个点最多把一条直线分成=+=+P n C C n n n 101)(部分．如图，直线上4个点，最多分加例5部分，n =1 =P 12)( 12n =2=+P 512)(n =3 +=+P 2519)(……当增加第3个角时，与前每个角最多有4个交点，被分成2⨯4+1=9段，增加9部分，所以3个角最多把平面分成2+5+9=16部分．如此类推，得到6个角最多把平面分成2+5+9+13+17+21=67部分．【评注】注意，添加第2个角时，大家很容易发现增加5部分，后面就认为每个都增加5k 部分，就会发生错误，为了不出现错误，还是看新增的角的边被分成了几部分．我们可以归纳出n 个角最多把平面分成：⎣⎦⎡⎤⋯=++++++-+P n n 4152913171)()(例6部分；部分．=P 12)(=+P 126)( =++P 12612)(3）1个四边形分平面2部分；2个四边形最多把平面分成2+8=10部分，因为当画第2个四边形时，它与前一个四边形最多有8个交点，四边形边界被分成8段，每段都使区域数增加1部分，故最多把平面分成2+8=10部分；如图，通过归纳得到10个四边形最多把平面分成=P (10)2+8⨯1+8⨯2+8⨯3+⋯+8⨯9=362部分．=12部分； n 个a 变形，最多把平面分成区域数为=-+P n an n (1)2)(．例3. 如果n 个相同的图形最多把平面分成-+an an 22部分，则称这种图形为“a 边形”．例如4个三角形最多把平面分成⨯-⨯+=34342382部分，则称三角形为“3边形”；5个正方形最多把平面分成⨯-⨯+=52825442部分，则称正方形为“4边形”；……．那么根据定义，当a =1时，可以最多把平面分成-+n n 22部分，则称为“1边形”，圆就是一种“1边形”．因此我们猜想：可以最多把平面分n =1 n =3 n =2成-+n n 2222部分的图形称为“2边形”．那么，有没有“2边形”呢？如果有，请举出实例．【分析】通过例2的学习，我们把圆看作“1边形”，有没有“2边形”？显然“角”分平面不是“2边形”．若是“2边形”，必须=+⨯+⨯+⨯++⨯-=-+⋯P n n n n ()24142434(1)2(1)2．【解答】一个“2边形”，首先第1个“2边形”分平面为2部分，后面每一个“2边形”都与前面每一个“2边形”相交时，区域数都最多增加4部分．如图，这样的“2边形”可以是椭圆、弓形、梭形、纺锤形等等．例1点，就会增加线1段基本线段．当两点重合时，就会减少1段．因此直线上有n 个点，就会把直线分成=+=+P n C C n n n ()101部分．这n +1部分中，有(n -1)部分为线段，2部分为射线．所以对于直线上有6个点，最多把直线分成1+6=7部分．。

n个平面最多可将空间分成多少个部分

--35--邯郸市一中校刊n 个平面最多可将空间分成多少个部分数学教师赵新国问题提出：空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分？问题分析：显然，当这n 个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。

1、这n 个平面两两相交；2、没有三个以上的平面交于一点；3、这n 个平面的交线任两条都不平行。

对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。

我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定k b 与1+k b 的递推关系，最后得出结论。

平面切割公式

平面切割公式这类问题一般都有固定的公式，告诉大家一个技巧：二维的一般是an^2+bn+c,三维的一般是an^3+bn^2+cn+d.用待定系数法求出各个系数就OK了，不用想破脑筋找规律0rz此乃神人(1) n条直线最多分平面问题题目大致如:n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。

析:可能你以前就见过这题目，这充其量是一道初中的思考题。

但一个类型的题目还是从简单的入手，才容易发现规律。

当有n-1条直线时，平面最多被分成了f(n-1)个区域。

则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。

这样就会得到n-1个交点。

这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。

而每条射线和线断将以有的区域一分为二。

这样就多出了2+(n-2)个区域。

故：f(n)=f(n-1)+n=f(n-2)+(n-1)+n=f(1)+1+2++n=n(n+1)/2+1(2) 折线分平面(hdu2050)根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。

当n-1条折线时，区域数为f(n-1)。

为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*(n-1)条线段相交。

那么新增的线段数为4*(n-1)，射线数为2。

但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1=f(n-1)+4(n-1)+1=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2=f(1)+ 4+4*2++4(n-1)+(n-1)=2n^2-n+1(3) 封闭曲线分平面问题题目大致如设有n 条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

析：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，则第n个圆被分为2(n-1)段线段，增加了2(n-1)个区域。

故：f(n)=f(n-1)+2(n-1)=f(1)+2+4++2(n-1)=n^2-n+2(4)平面分割空间问题(hdu1290)由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。

直线划分平面的问题与凸多边形的边线及其对角线划分其内部区域问题的接头

讨论直线划分平面的问题与凸多边形的边线及其对角线划分平面问题：多边形（边数）对角线数划分内部区域数直线数划分平面数301124242455115166925946…………………………n n*(n-3)/2？x(x^2+x+2)/2 71450141061、直线划分平面问题平面上有n条直线两两相交，但没有三条直线交于一点。

问这n条直线把平面划分成多少个区域？分析：当我们遇到一个较为复杂的数学问题时，往往想起与它类似的问题，类似的形式，类似的解法等等，并联想起与它相应的定理，相应的公式，相应的法则等，从而把所遇到的问题与联想起的问题进行比较。

通过类比推理的思考方法，将所遇到的问题进行等效“转化”，向想起的问题“靠拢”，又将联想起的类似的方法“移植”到所遇到的问题上。

因此在解决直线分平面的问题时，我们可通过类比和联想，从点分直线的情况出发来探索直线分平面的问题。

解：首先我们来考虑点分直线的问题。

设一直线上的n个点能将直线分成an 个部分，那么容易得到an=n+1。

接着我们再来研究直线分平面问题。

平面上有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设这n条直线将平面分成bn个部分，在观察的基础上进行归纳可知，第k＋1条直线与前k条直线均相交得k个交点，由前面点分直线的情形可知，该直线被k个交点分成k＋1段，而其中每一段都把平面上的每一个区域分成两个区域，所以平面部分应增加(k＋1)块。

由此可得递推关系式为b k+1=b k＋(k＋1)，并且b1=2 所以，当k=1时，b2-b1=2 当k=2时，b3-b2=3 当k=3时，b4-b3=4 … 当k=n-1时，bn-b n-1=n 把以上n-1个式子相加得： (b2-b1)＋(b3-b2)+(b4-b3)＋…＋(b n-b n-1) ＝2＋3＋4＋…＋n 则： bn-b1=2＋3＋4＋…＋n=2＋2＋3＋4＋…＋n 即：bn 因此n条两两相交，且没有三线交于一点的直线可把平面分成回顾：本题还可利用差分法来帮助发现规律，从而解决问题，首先我们考虑一条直线、两条直线、三条直线，……，将平面所分的区域数。

N个平面最多可将空间分成多少个部分

N个平面最多可将空间分成多少个部分在立体几何中有一个问题：“3个相互平行的平面可将空间分成几部分？”答案是“4个部分。

”接着提出：“3个平面可将空间分成几部分？”的问题,由于去掉了“相互平行”的条件,这个问题必须分类讨论回答：1.当3个平面相互平行时,分空间为4个部分；2.当有且仅有两个平面平行时,分空间为6个部分；3.当3个平面两两相交于一条直线时,分空间为6个部分；4.当3个平面两两相交,3条交线不交于同一点时,分空间为7个部分；5.当3个平面两两相交,3条交线交于一点时,分空间为8个部分。

于是我们得出“3个平面最多可将空间分为8个部分”的结论。

在这一背景下,提出了值得深入研究的新课题：“4个平面最多可将空间分为多少部分？n个平面又将空间最多分成多少部分？”首先应明确，当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。

1.这n个平面两两相交；2.没有三个以上的平面交于一点；3.这n个平面的交线任两条都不平行。

对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。

设n 个平面分空间的部分数为，易知：当n=1时， =2 ；当n=2时， =4；当n=3时， =8；当n=4 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，三棱锥的4个面延展后就成了4个平面两两相交,且交线互不平行,每3个平面相交于一点,4个交点就是三棱锥的4个顶点。

每个顶点各自“对着”一部分空间，4个顶点，6条棱，4个面“对着”14个部分空间,但4个面中间围了一部分空间,所以4个平面最多可将空间分成15个部分。

可知。

从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。

那么，我们把问题再进一步简单化，将空间问题退化到平面问题,三维退化到二维，二维退化到一维。

一、n个点最多可将一条直线分割成多少个部分记n个点最多可将一条直线分成部分数为，易知，，，且每增加一个点，会把原有的线段（射线）中的某一个线段（射线）一分为二，即。

n条线段分割平面公式

n条线段分割平面公式在我们的数学世界里，有一个挺有趣的玩意儿，那就是“n 条线段分割平面公式”。

这听起来好像有点复杂，但别担心，咱们一起来慢慢搞清楚它。

先来说说什么是线段分割平面。

想象一下，你在一张大大的白纸上，随便画一条线段。

这时候，这张纸就被分成了两个部分，对吧？那要是再画一条线段呢？情况就变得有点不一样了。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个调皮的小家伙就开始在纸上乱画，边画还边嘟囔：“这能有啥规律啊？”我笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢找。

”咱们继续哈，当有两条线段的时候，它们之间可能相交，也可能平行。

如果平行，那平面就被分成了三个部分；要是相交呢，平面就被分成了四个部分。

那三条线段呢？这就更复杂一些啦。

它们可能两两相交，也可能有的平行，有的相交。

经过仔细地画图和分析，我们发现平面被分成的部分更多了。

那到底有没有一个公式，可以让我们一下子就算出 n 条线段能把平面分成多少个部分呢？答案是有的！经过数学家们的努力研究，这个公式就是：1 + n(n + 1) / 2 。

这个公式看起来有点抽象，咱们来具体解释一下。

n 表示线段的数量。

比如说，当 n = 1 时，1 + 1×(1 + 1) / 2 = 2，正好和我们前面说的一条线段把平面分成两个部分对上了。

再比如，当 n = 2 时，1 + 2×(2 + 1) / 2 = 4，也和两条线段相交把平面分成四个部分相符合。

在学习这个公式的过程中，同学们一开始可能会觉得有点头疼，但是只要多画画图，多琢磨琢磨，就能慢慢理解其中的奥秘。

就像我之前教过的一个班级，刚开始大家都被这个公式搞得晕头转向的。

后来我让他们每个人都自己动手在纸上画线段，然后小组讨论，看看能不能找出规律。

结果还真不错，有几个小组的同学很快就发现了其中的门道，还兴奋地跑过来跟我分享他们的发现。

其实啊，数学里的很多知识都是这样，看起来很难，但只要我们愿意去探索，去尝试，总能找到解决问题的办法。

条直线最多可把平面分割成ppt课件

新增一條直線與原有直線最多有幾個交點
避免通過原有交點
避免平行
1.有幾段就切幾區
段數等於交點數＋1
4
2.與原有直線交點數？
原有直線有幾條
3
就會有幾個交點
3.結論：第 n 條線與
原 n-1 直線 1
2
有 n-1 個交點
分n 段
切 n 區域
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
第 n 條線切 n 個區域
n 切割切割區域線段區域總數
0001 1112 22243; 1+...+n
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
第 n 條線切 n 個區域
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
n 條直線最多可把平面分割成多少區域？
n 切割切割區域線段區域總數
0 0 0 1 1+1+2+3+4+…+n
1112
1 n n
2 2 2 4 =1 +
1.有幾段就切幾區段數是交點數＋1 交點越多越好
2.通過原有交點浪費造成交點的機會原先相異的交點重合
3.結論：避免通過原有交點
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
直線避免通過原有交點

n条直线能把平面最多分成几部分

n条直线能把平面最多分成几部分一、画图探索．一条线两条直线三条直线【答案】B．【点评】平面内一条直线将平面分成两部分，记作a1＝1＋1＝2；平面内两条直线将平面最多分成四部分，记作a2＝1＋1＋2＝4；平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作a3＝1＋1＋2＋3＝7；平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成11个部分，记作a4＝1＋1＋2＋3＋4＝11．个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点（1）当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，写成和的形式1+1+2+3+4+5；（2）当直线为10条时，把平面最多分成56部分；（3）当直线为n条时，把平面最多分成n(n+1)2+1解答：解：（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5=16；（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10=56；（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：n m11+121+1+231+1+2+3：：：n m=1+1+2+3+…+n=n(n+1)2+1．本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．三、平面内有n条直线，其中没有两条互相平行，也没有三条交于一点，一共有多少个交点？因为每两条直线都确定一个交点,则每一条直线与另外的(n-1)条直线都有一个交点,所以共有n(n-1)个交点.但是每一个交点都重复计算了一次,(例如直线a,b的交点和直线b,a的交点就是同一个)因此应该除以2.是故共有n(n-1)/2个交点.平面内n条直线，把这个平面最多分成几部分第1条分成2个, 第2条分成4个, 第3条分成7个, 第4条分成11个, 第2条比第1条多分2个, 第3条比第2条多分3个第4条比第3条多分4个所以第n条,比第n-1条多分n个. 第2条的个数:4=2+2 第3条的个数:7=2+2+3 第4条的个数:11=2+2+3+4 第n条的个数:=2+2+3+4+ ----- +n 2+2+3+4+ ----- +n =1+1+2+3+4+ ---- +n =1+n*(n+1)/2 当n=1时,1+n*(n+1)/2=2 当n=2时,1+n*(n+1)/2=4 当n=3时,1+n*(n+1)/2=7 所以n条直线把平面分成1+n*(n+1)/2个Welcome ToDownload !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

分平面的递推计数(六年级)

分平面的递推计数(六年级)知识图谱计数第01讲_分平面的递推计数-一、分平面的递推计数直线或角分平面封闭图形分平面组合图形分平面一：分平面的递推计数知识精讲分平面（无边界）问题的总体思路是增量分析，即先求出新画图形与已有图形的交点数，进而推出它使平面增加了几部分．其中，求交点数是最关键的一步．为了使平面被划分成的部分尽量多，显然应让交点也尽量多．一．直线或角分平面1．直线：第条直线与前n条直线最多有n个交点，被截为段，可使平面增加部分．2．角：第个角与前n个角最多有个交点，被截为段（拐弯处视为一段），可使平面增加部分．二．封闭图形分平面1．n边形：与直线类似，先数每条边与之前图形的交点数，再乘n即为n 边形与之前图形的交点数，进而求出平面增加的部分数．2．圆：任意两个不同的圆最多有2个交点．三．组合图形分平面1．封闭图形间的组合：与单种封闭图形分平面类似，建议先画圆．2．直线与封闭图形间的组合：建议先画直线．三点剖析重难点：本类型题目的关键是不同图形之间交点数的求法．此外，对于组合图形分平面，若最后画直线，容易多算一部分．因此，建议先画直线．题模精讲题模一直线或角分平面例1.1.1、5条直线最多把平面划分为多少部分？n条直线呢？答案：16；解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成部分；5条直线，直线间增加4个交点，把平面分成部分．第n条直线与前条直线最多有个交点，故其最多被分成n 段．每段使原来平面的一部分一分为二，即可增加n部分．开始时平面只有一部分，故n条直线最多将平面分成部分．例1.1.2、用直线把一个平面分成50部分，至少要在平面上画_______条直线．答案：10解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成部分……设n条直线把一个平面分成50部分，则有，可得，即至少要在平面上画10条直线．例1.1.3、五个角最多可以把平面分成多少部分？答案：43解析：显然应让交点尽量多．两个角最多把平面分成7部分，第三个角与之前最多有个交点，被分为8段（转角处为一段），可使平面增加8部分．类似的，第四、五个角可使平面增加12、16部分．综上，五个角最多可以把平面分成部分．题模二封闭图形分平面例1.2.1、一个圆能把平面分成两个区域，两个圆最多能把平面分成四个区域，那么四个圆最多能把平面分成________个区域．答案：14解析：时，第个圆与前n个圆最多有2n个交点，使得自身被分为2n段，每段使原来的一个区域一分为二，故第个圆最多可使平面增加2n部分，四个圆最多能把平面分成部分．例1.2.2、如果在一个平面上画出8个三角形，最多可以把平面分成几个部分？答案：170解析：1个三角形可以把平面分成2部分；画第2个三角形时，它与前面的三角形最多有6个交点，这6个交点会把新画的三角形分成6段，每一段都会使整个平面多分出一个部分，因此2个三角形可以把平面分成个部分；画第3个三角形，它与前面的图形有12个交点，同理可知，平面增加了12个部分，因此2个三角形可以把平面分成个部分；……第n个三角形与前面的图形有个交点，平面增加了个部分，综上，n个三角形最多把平面分成个部分．因此8个三角形最多可以把平面分成个部分．例1.2.3、如果在一个平面上画出4个凸五边形，最多可以把平面分成________个部分．答案：62解析：增量分析．每画一个凸五边形，最多可与之前的n个凸五边形有个交点，可使平面增加部分．因此，画4个凸五边形最多可以把平面分成个部分．题模三组合图形分平面例1.3.1、有10条直线和2个圆，最多可以把平面分成________个部分．答案：98解析：增量分析．先画直线，画完第1条直线后平面被分为2部分．时，第n条直线与之前图形最多有个交点，可使平面增加n部分；第1个圆与直线最多有个交点，可使平面增加20部分；第2个圆与之前的图形最多有个交点，可使平面增加22部分．因此，10条直线和2个圆最多可以把平面分成部分．例1.3.2、在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？答案：78解析：依次画3个长方形、2个三角形和1条直线，通过增量分析可得最多可把这个平面分成个部分．随堂练习随练1.1、如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以分成几个部分？答案：37个；58个解析：根据上面第4题的解答可知：新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将8条直线的情况写为如下的一张数表：8个圆也是同样的道理：随练1.2、用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画_______条直线．答案：14解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成部分……设n条直线把一个平面分成100部分，则有，可得，即至少要在平面上画14条直线．随练1.3、在一个平面上画出20个圆，最多可以把平面分成_______个部分．答案：382解析：一个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成个部分；3个圆最多能把平面分成个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是4个圆最多将平面分成个部分；同理，5个圆最多将平面分成个部分……那么20个圆，最多可以把平面分成部分．随练1.4、在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？答案：122解析：第1个正方形将平面分为2部分，第2个正方形与第1个最多有8个交点，即被分为8段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加8部分．同理，第个正方形与之前的n个正方形最多有个交点，将使平面增加部分．因此，6个正方形最多可以把平面分成部分．随练1.5、在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？答案：68解析：第1个三角形将平面分为2部分，第2个三角形与第1个三角形最多有6个交点，即被分为6段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加6部分，同理第3个三角形使平面增加个部分，至此共部分；每个圆与1个三角形最多有6个交点，两圆间还可有2个交点，故画完圆可再增加部分；直线与之前的5个图形最多有10个交点，故还能增加10部分．综上，共部分．课后作业作业1、12条直线最多把平面划分为多少部分？答案：79解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；……12条直线可把平面分成部分．作业2、在一个平面上画出50条直线，最多可以把平面分成_______个部分．答案：1276解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成部分……50条直线，直线间增加49个交点，把平面分成部分．作业3、八个角最多可以把平面分成多少部分？答案：115解析：显然应让交点尽量多．两个角最多把平面分成7部分，第三个角与之前最多有个交点，被分为8段（转角处为一段），可使平面增加8部分．类似的，第四至八个角可使平面增加12、16、20、24、28部分．综上，八个角最多可以把平面分成部分．作业4、在一个平面上画出10个圆，最多可以把平面分成多少部分？答案：92解析：一个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成个部分；3个圆最多能把平面分成个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是4个圆最多将平面分成个部分；同理，5个圆最多将平面分成个部分……那么10个圆，最多可以把平面分成部分．作业5、在一个平面上画出4个正六边形，最多可以把平面分成几个部分？答案：74解析：第1个正六边形将平面分为2部分，第2个正六边形与第1个最多有个交点，即被分为12段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加12部分．同理，第3、4个正六边形将使平面增加24、36部分．因此，4个正六边形最多可以把平面分成部分．作业6、在一个平面上画出4个三角形、2条直线，最多可以把平面分成几个部分？答案：64解析：2条直线最多把平面分成4部分．第1个三角形与2条直线最多有个交点，可使平面增加6部分；第2、3、4个三角形分别能使平面增加12、18、24部分．因此，4个三角形、2条直线最多可以把平面分成个部分。