南航A(二)试题与答案

南京航空航天大学·高等数学Ⅱ(A 卷试题)
一、填空题(每小题3分,共24分): 1.设函数x
y z ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=31,则
=
∂∂)
1,1(x
z 2.设),(y x f 连续,交换二次积分的次序:⎰
⎰1
12),(x
dy y x f dx
3.设∑是上半球面224y x z --=
,则曲面积分dS z y x ⎰⎰
∑
+++2
2211
4.设→
→
→
→-+-++=k z x z j z x y i z x x A )1()1()1(2
2
2
,则→
A div
=3.
5.函数)21ln()(x x f += 展开成x
6.已知幂级数
n n n x a )1(0
-∑∞
=在x=-1收敛,则该幂级数在2
3
=
x 的敛散性为：绝对收敛. 7.已知0)()4(2
=+++dy y ax dx y x 是全微分方程,则
a = 4.
二、(6分) 设y=y(x)是由方程y
x
e e xy -= 确定的函数,试计算0
=x dy
.
三、(8分)设f 是任意二阶可导函数,并设)(x ay f z +=,满足方程222226y z
y x z x
z ∂∂-∂∂∂+∂∂=0
,试确定a 的值.
2,,3060622-==∴=-+⇒=''-''+''a or a a a f a f a f
四、(6分)计算dy xy y dx xy x
L
)2()2(22
-+-⎰,其中L 是抛物线2x y =上点(-1,1)到(1,1)
的一段弧.
五、(10分)判别下列级数的敛散性:
(1)(4分)∑∞
=1!
3n n n n
n .
(2)(6分)
∑∞
=+-1
11
sin
)1(n a n n
,若收敛,指明是条件收敛还是绝对收敛.
同敛散，故当1>α时原级数绝对收敛.
六、(8分)将函数⎪
⎩
⎪
⎨⎧-=101
)(x f ππ≤<=<≤-x x x 000展开成傅里叶级数.
七、(10分)求幂级数n
n x n ∑∞
=+0)12(的收敛域及和函数,并求∑∞
=+-0
2)
12()1(n n
n n 的值.
八、(10分)计算曲面积分dxdy z dzdx x y dydz z x I )1()1()1(3
33+++++++=
⎰⎰∑
,其中∑是上半球面2
2
1y x z --= 的上侧.
解:设辅助圆面1:),(,0:220≤+∈=y x D y x z S xy 的下侧,则
:
十、(8分)设定义在(-∞,+∞)上的函数f(x),对任意x,y ∈(-∞,+∞),满足
x y e y f e x f y x f )()()(+=+,且)0()0(≠='a a f ,
(1)证明:对任意x ∈(-∞,+∞),)(x f '存在,并求出函数)(x f ; (2)将)(x f 展开成(x-1)的幂级数,并求)1()
2007(f .
(1)证: Θx x
e x
f e
x f x x f )()()(∆+=∆+∆,0)0()0()0()00()0(=⇒+=+=f f f f f
x axe x f =∴)(
故ae f
2008)1()
2007(=。