第15章 达朗伯原理
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达朗贝尔原理 理论力学
J z mi ri m
2
2 z
－刚体对z轴的转动惯量。
ρ：回转半径
J z J ZC md
2
J z mi ri m
2
2 z
－平行移轴公式
例1 求简单物体的转动惯量。(平行移轴）
解：由转动惯量的定义：
Jc
1 dx x x 3
2
l 2
l 2 l 2
a A R A R O
A O
A O 2( M P sinR )
(Q 3P ) R
2
FIA
g
FN
例6 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O 均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其 质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求： 圆柱体A的角加速度。
(2)
FgC2 MgC2
A
FAX
C2 mg
B
4 均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状 态开始，自固定端O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾 角为 ，忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力。
解题分析
以整体为研究对象，画受力图。
？确定惯性力大小
求解惯性力就是求解运动； 求解FN就是求解未知的约束力（包括动反力）
在已知运动求约束力的问题中，动静法往往十分方便
3.质点系的达朗伯原理
一 原理描述
质点i:
质点系的主动力系，约束力系和惯性力系组成平衡力系：
作用于质点系上的主动力系，约束力系和惯性力 系在形式上组成平衡力系。－质点系的达朗伯原理。
2 i i z
结论
平面刚体做定轴转动
如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 向质量对称面进行简化，取转轴与该面交点为简化中心
理论力学动力学部分5达朗伯原理
同时力的作用线通过转轴O。
③当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时， r FIR = 0，M IC = 0 ，惯性力系自成平衡力系。
五 达朗贝尔原理
23
3）平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运 动平面与质量对称平面互相平行。
对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力 系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
F1 FI1 FNam2m121FIiFmN1iFNFi ai
合力和外约束反力的合力，于是得
F2 a2
i
å
Mår OFr(i
+ Fi
å FrNi )+å
M+r
å FrIi O (FNi
=0 )+å
Mr O
( FIi
)
=
0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所
有主动力系，约束反力系和惯性力系构成形式上的平
五 达朗贝尔原理
24
解法1：利用达朗伯原理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：
以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr 求导得：aC = e Ar + e Br 由达朗伯原理：
åMO(F)
=
0,
1 2
×
P g
×r2
×eA
+
1 2
×
P g
×r2
×eB
-
P ×2r
衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
五 达朗贝尔原理
11
质点系达朗贝尔原理的投影形式
å Fix + FNix + FIix = Fx = 0 i
③当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时， r FIR = 0，M IC = 0 ，惯性力系自成平衡力系。
五 达朗贝尔原理
23
3）平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运 动平面与质量对称平面互相平行。
对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力 系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
F1 FI1 FNam2m121FIiFmN1iFNFi ai
合力和外约束反力的合力，于是得
F2 a2
i
å
Mår OFr(i
+ Fi
å FrNi )+å
M+r
å FrIi O (FNi
=0 )+å
Mr O
( FIi
)
=
0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所
有主动力系，约束反力系和惯性力系构成形式上的平
五 达朗贝尔原理
24
解法1：利用达朗伯原理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：
以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr 求导得：aC = e Ar + e Br 由达朗伯原理：
åMO(F)
=
0,
1 2
×
P g
×r2
×eA
+
1 2
×
P g
×r2
×eB
-
P ×2r
衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
五 达朗贝尔原理
11
质点系达朗贝尔原理的投影形式
å Fix + FNix + FIix = Fx = 0 i
第十五章 达朗伯原理
σ=
A 2πA
=
mrω
例15-3
均质杆OA质量为m，长为l，可绕O轴转动。图示 瞬时，角速度为零，角加速度为ε，求该瞬时杆的惯性力系向 O轴简化的结果，并画出惯性主矢和惯性主矩的方向。
σ = T = 1 mrω 2 A 2πA
§15-3 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
在同一瞬时，平动刚体内各点的加速度相等， 设刚体质心C的加速度为aC，则 m1 ai = aC i = 1,2,⋯n 在各质点上虚加对应的惯性力 aC Fg C mi ai
Fgi = −mi ai = −maC i
第十五章
达朗伯原理
引
言
• 达朗伯原理由法国科学家达朗伯(J. le Rond D‘Alembert 1717--1783)在其著作《动力学 专论》中提出。 • 达朗伯原理将非自由质点系的动力学方程 用静力学平衡方程的形式表述。或者说， 将事实上的动力学问题转化为形式上的静 力学平衡问题，既所谓“动静法”。
将质点系所受的力按内力、外力来分， 外力Fi (e) 如第i个质点受力 内力Fi (i) 由于质点系的内力总是成对 出现，所以，内力系的主矢及对 任意点之矩的主矩恒为零，即 所以对整个质点系来说，
∑Fi = 0
(i ) i =1
n
n
∑MO (Fi ) = 0
(i ) i =1
在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质点的惯性力 与作用于该质点系的外力组成形式上的平衡力系。 即
的
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主 动力Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力 Fgi=－miai ， 则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi 与Fgi 应组成 形式上的平衡力系，即
第十五章 达朗伯原理汇总
2g
Fg
朗
设力F g的作用点到点A的距离为 d ， 由合力矩定理，有
P B
伯 原 理
F g (d cos ) l ( cos )dF g 0
l P 2 sin 2d
即
0
d
gl
2l
P l 2 sin
3
2g
假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理
mA(F) 0
F gd cos P l sin 0
Fg
F
M
r
mNg O
朗 从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半
伯 径为r ，试求钢球的脱离角 。
解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，
原 受力如图。
理
钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为
a 0 an r 2 惯性力F g的大小为 F g mr 2
假想地加上惯性力，由达朗伯原理
Fn 0 N mg cos F g 0
第十五章 达朗伯原理
• 达朗伯原理 • 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系 动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理 为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普 遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平 衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此 这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题 的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工 程中被广泛使用。
刚 体。其上任一点的惯性力的分量的
体 大小为 惯
Fig miai miri
Fg Fig
ain
O
ri
M
aCn
g O
aC
其则加有速度的方向相F反。N
Fg
0
即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动 力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式 上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。
达朗伯原理
步骤：选研究对象，作受力分析，虚加惯性力，列平衡方程
例题：如图所示AB=BD=1m，质量均为3kg，呈直角，AE、BF 等长且平行，绳AF，试求割断AF的瞬时两杆所受的力。杆的质 量不计，刚体质心坐标（0.75m,0.25m)。 D
y (0.75,0.25) C A
30
D B
30
x
aA
aC A
C
y aiτ ain MIO x Fii n FIiτ
FIR 简化的结果为一个主矢和一个主矩 mi ri mrC mi ai maC 主矢的大小等于刚体的质量 FIR FIi (mi ai ) maC 与质心加速度的乘积，方向 与质心加速度的方向相反。 FIR maC n M IO M z ( FIi ) M z ( FIi ) M z ( FIi ) ri (mi ri )
B a2 W2 FI2
例题3：曲柄连杆机构如图所示，曲柄OA=r，连杆AB=l， 质量为m，连杆质心C的加速度为aCx，aCy，连杆的角加速 度为α，试求曲柄销A和光滑导板B的约束反力。
A
C
y aCy aCx
FAx A FAy
例题 C MIC
FIRx FIRy
O
O
B
W
B FNB
解：（1）取连杆AB和滑块B为研究对象，作受力分析， 如图所示，虚加惯性力和惯性力偶，根据达朗伯原理， 列平衡方程
FIR B FBF
E
F
τ
FAE
2mg aB
n
解：取ABD为研究对象，作受力分析，外力 D 有 2mg、FAE、FBF，绳割断瞬时， ABD平动， 其角速度为0，角加速度为α，平动刚体的惯 C FIR aC 性力加在质心处，由达朗伯原理，列平衡方 A B 程： aA 2mg aB FBF F 0 2m g sin 30 FIR 0 τ FAE 2 n
例题：如图所示AB=BD=1m，质量均为3kg，呈直角，AE、BF 等长且平行，绳AF，试求割断AF的瞬时两杆所受的力。杆的质 量不计，刚体质心坐标（0.75m,0.25m)。 D
y (0.75,0.25) C A
30
D B
30
x
aA
aC A
C
y aiτ ain MIO x Fii n FIiτ
FIR 简化的结果为一个主矢和一个主矩 mi ri mrC mi ai maC 主矢的大小等于刚体的质量 FIR FIi (mi ai ) maC 与质心加速度的乘积，方向 与质心加速度的方向相反。 FIR maC n M IO M z ( FIi ) M z ( FIi ) M z ( FIi ) ri (mi ri )
B a2 W2 FI2
例题3：曲柄连杆机构如图所示，曲柄OA=r，连杆AB=l， 质量为m，连杆质心C的加速度为aCx，aCy，连杆的角加速 度为α，试求曲柄销A和光滑导板B的约束反力。
A
C
y aCy aCx
FAx A FAy
例题 C MIC
FIRx FIRy
O
O
B
W
B FNB
解：（1）取连杆AB和滑块B为研究对象，作受力分析， 如图所示，虚加惯性力和惯性力偶，根据达朗伯原理， 列平衡方程
FIR B FBF
E
F
τ
FAE
2mg aB
n
解：取ABD为研究对象，作受力分析，外力 D 有 2mg、FAE、FBF，绳割断瞬时， ABD平动， 其角速度为0，角加速度为α，平动刚体的惯 C FIR aC 性力加在质心处，由达朗伯原理，列平衡方 A B 程： aA 2mg aB FBF F 0 2m g sin 30 FIR 0 τ FAE 2 n
达朗贝尔原理dAlembertsrinciple
2 A[ ]
mr
§3 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
在同一瞬时，平动刚体内各点的加速度相等，
设刚体质心C的加速度为aC，则
ai aC i 1, 2, n
m1
在各质点上虚加对应的惯性力 FIi miai miaC
这些惯性力组成一同向平行力系。
FI C
该力系简化为通过质心的合力
aC ai
o
可以计算或查表得四分之一薄圆环的质心
位置为 OC 2 2 r
aCn OC 2
TB
∴惯性力合力的大小为
FI
1
2
2 mr22
根据质点系达朗贝尔原理，TA、TB与惯性力FI组成形式上的
F
)
=
0，
(FA
FB
)
sin
60
b 2
(FA
FB ) cos 60
b 2
0
……② ……③ ……④
解得 a = 4.9 m/s2, FA = 72 N, FB = 268 N
例2续2 已知边长b=100mm，m=40kg，求(2) 当AD、BE铅直时板a及两绳的张力。
D 60°
(2)当AD、BE铅直时,板受力如图。
FI maC maC maCn α
MIO =－JO
MIO aC
aC
FI
aCn
刚体绕定轴转动惯性力系的简化
（转轴垂直于质量对称面）(续)
MIO
FI maC FI FIn
FIn
MIO =－JOα
若将上述平面惯性力系向质心C 简化,将会出现什么结果?
MIC FIn
MIC = FI ·OC －JOα = maC ·OC －JOα
理论力学经典课件达朗伯原理
02
该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ，后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出，在一个动力学系统 中，对于任何一个质点，其受到的合 外力等于零，即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时，只需要 考虑主动力，而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中，物体的加速度与 作用力成正比，与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律，可以建立物 体运动的动力学方程，描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中，为了保持牛顿运 动定律的形式不变，引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出，在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下，单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析，可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理，可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中，达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析，可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用，特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律，例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外，达朗伯原理还可以应用于工程学领域，例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理，我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为，从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ，后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出，在一个动力学系统 中，对于任何一个质点，其受到的合 外力等于零，即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时，只需要 考虑主动力，而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中，物体的加速度与 作用力成正比，与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律，可以建立物 体运动的动力学方程，描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中，为了保持牛顿运 动定律的形式不变，引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出，在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下，单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析，可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理，可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中，达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析，可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用，特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律，例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外，达朗伯原理还可以应用于工程学领域，例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理，我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为，从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
达朗伯原理(免费)
根据动量矩定理：
d 2 2 [( m1r1 m2 r2 J ) ] m1 gr1 m2 gr2 dt
m1r1 m2 r2 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
32
2008-7-16
方法3 用动能定理求解 取系统为研究对象，任一瞬时系统的 1 1 1 2 2 T m1v1 m2v2 J 2 2 2 2 2 (m1r12 m2 r2 2 J ) 2 元功 W F m1 gds1 m2 gds2
定义：质点惯性力
Q ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯 性反抗的总和。
2008-7-16 3
2 d x Qx m ax m 2 dt d2y Q y m ay m 2 dt 2 d z Qz m az m 2 dt
d 2s Q m a m 2 dt v2 Qn m an m
2008-7-16
1
第十四章
达朗伯原理
§14–1
惯性力的概念 ·达朗伯原理
§14–3
§14–4 §14–5
2008-7-16
刚体惯性力系的简化
定轴转动刚体的轴承动反力
静平衡与动平衡的概念
达朗伯原理的应用
2
§14-1
惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念 人用手推车 F ' F ma
33
例-7 P340：已知曲柄OA=r，质量m，匀角速度转动，连杆AB=2r，质量 2m，滑块B质量m，受阻力F作用，求主动力偶MO．
解: 运动分析及惯性力计算 速度分析
加速度分析
2008-7-16
34
受力分析
1
d 2 2 [( m1r1 m2 r2 J ) ] m1 gr1 m2 gr2 dt
m1r1 m2 r2 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
32
2008-7-16
方法3 用动能定理求解 取系统为研究对象，任一瞬时系统的 1 1 1 2 2 T m1v1 m2v2 J 2 2 2 2 2 (m1r12 m2 r2 2 J ) 2 元功 W F m1 gds1 m2 gds2
定义：质点惯性力
Q ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯 性反抗的总和。
2008-7-16 3
2 d x Qx m ax m 2 dt d2y Q y m ay m 2 dt 2 d z Qz m az m 2 dt
d 2s Q m a m 2 dt v2 Qn m an m
2008-7-16
1
第十四章
达朗伯原理
§14–1
惯性力的概念 ·达朗伯原理
§14–3
§14–4 §14–5
2008-7-16
刚体惯性力系的简化
定轴转动刚体的轴承动反力
静平衡与动平衡的概念
达朗伯原理的应用
2
§14-1
惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念 人用手推车 F ' F ma
33
例-7 P340：已知曲柄OA=r，质量m，匀角速度转动，连杆AB=2r，质量 2m，滑块B质量m，受阻力F作用，求主动力偶MO．
解: 运动分析及惯性力计算 速度分析
加速度分析
2008-7-16
34
受力分析
1
达朗贝尔原理
例13-4 已知：l， m， ω ，α 求：惯性力系向点Ｏ简化的结果
解：
l F m 2 l 2 n FIO m 2 1 2 M IO ml 3
t IO
思考：惯性力系向点C简化的结果?
例13-5 已知：电动机定子及其外壳总质量为m1，质心位于O处。 转子的质量为m2 ，质心位于Ｃ 处，偏心矩OC＝e ， 图示平面为转子的质量对称面。电动机用地角螺钉 固定于水平基础上，轴O与水平基础间的距离为h. 运动开始时，转子质心Ｃ位于最低位置，转子以匀角 速度ω 转动。 求：基础与地角螺钉给电动机总的约束力。
FB
0
§13-3
刚体惯性力系的简化
FIi
1.刚体平移
惯性力系向点O简化
i
ai
M IO ri FIi ri (mi aC ) ( mi ri ) aC mrC aC （ 惯性力系向质心简化 rC 0） M IC 0 只简化为一个力 FIR maC
例13-2 已知：r， m，m１，m2 (m１>m2) ， 求： a 解：
FI1 m1a, FI 2 m2 a
F mi rLeabharlann mi a ,t IiM
由
O
0,
m1 g m1a m2 g m2 a r mi ar 0
i
v F mi r
n Ii
2
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力， 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向 与加速度方向相反。
FIR FIi mi aC maC
C ri
rC
O
aC
5达朗伯原理
关于惯性力，学术界还存在着争议：
一种观点,惯性力是真实的力。
比如，人拉小车加速前进，因为小车 有加速度，惯性力存在，并且我们的手可 以感受到这个力。
Q=maC C
a F F' F
另一种观点认为, 惯性力不是真实的力。 真实的力有三要素: 大小、方向、作用点, 还有施力者以及 作用在施力者上的反作用力。
LQ M C (Qi ) ri Qi ri (mi aC )
m2 Q1 m1
a1 aC
LQ mi ri a C MrC aC
rC为质心C对简化中心的矢径，且
Q2
RQ
Qn
a2
C mn
an
rC
mr
M
因为简化中心与质心C重合, 故
rC 0
LQ 0
惯性力:北半球向东发射远程炮弹偏右现象
（中程导弹射程：1000Km～4000Km；远程导弹：>4000Km；洲际导弹：8000～16000Km）
在“一战”期间 (1918), 德军用射程 113Km的巨形大炮轰击巴黎 , 炮长 34m, 外径1m, 炮重750T, 炮弹重120Kg, 3分30秒飞完115Km射程, 最大高度 40Km,发现炮弹总是向右偏离目标, 就是因为没有考虑到地球的自转偏向力。
a
n i
Qi
Qi Qi Qin , Qi mi ri , Qin mi ri 2
ω
ε
当惯性力系向转轴 O简化时， 只有各个质点的切向惯性 力才产生附加力偶，附加力偶矩的大小为Qiτ×ri = miri2ε, 其转 向与角加速度方向相反 , 因此，刚体惯性力系主矩LQ为： LQ M O (Q i ) (mi ri 2 ) ( mi ri 2 ) I z 结论：定轴转动刚体对转轴Z的惯性力主矩等于刚体对该 轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度方向相反。
理论力学精品课程第十五章 达朗伯原理
求：A 端的约束反力。
第十四章 达朗贝尔原理
解： 取 AB 杆为研究对象
A
l
B
（1）分析运动，施加惯性力。
r O
FRt
ma
t C
2mr
FRn
ma
n C
2mr 2
M O
J O
7 mr 3
2
MA FAy
A
C
B
FAx
Fx 0 FAx(FR nFR t )co4s5 0
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成 空间一般力系。
第十四章 达朗贝尔原理
惯性力系的主矢: F R ＝ F i＝ ( m ia i) m a C
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积， 方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。
惯性力系的主矩－惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
第十四章 达朗贝尔原理
例题1
离心调速器
已知：
m1－球A、B 的质量；
m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度；
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求： － 的关系。
l l
A
B
l
l
C
第பைடு நூலகம்四章 达朗贝尔原理
解： 1、分析受力：以球 B (或A)和重锤 C 为研究对象，分析所受的主动力和约束力
FRt
ma
C
2mr
FRn
ma
n C
2mr 2
M C
J C
1 mr 2
3
理论力学达朗贝尔原理
§10-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力R Q 和一个 惯性力偶 M QO 。
RQ QmaMaC MQOmO(Q)
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
5
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F ， 约束反力 N ，合力 RFNm a FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
7
例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
8
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得
agtg
对平面任意力系：
Xi(e) Qix0 Yi(e) Qiy0 mO(Fi(e) )mO(Qi )0
对于空间任意力系：
Xi(e)Qix0 , mx(Fi(e))mx(Qi)0 Yi(e)Qiy0 , my(Fi(e))my(Qi)0 Zi(e)Qiz0 , mz(Fi(e))mz(Qi)0
dv dvdv dvgsin dt d dt Rd
v2 2gR(1cos)
F Nm(3 g co s2)
§10-2 质点系的达朗伯原理
达朗伯原理
= −∑ mi ri ε = − I Oε
2
rn F gR
O ε
ω ε
rτ MgO F gR
MgO = −IOε (负 负 与 ε反 ) 负 示 向
ri C Mi r rτ Fn gi Fgi
11
达 郎 伯 原 理
三. 惯性力系的简化
3. 刚体作平面运动
设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动， 设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动， 则刚体平面运动视为质量对称平面的运动
r rn rτ r 主矢： 主矢： FgR＝ M C＝ MaC − MaC ＝ a ＝
主矩： 主矩： M gO
r r Fgi = −mai i rn rn Fgi = −mai i rτ rτ Fgi = −mai i
rn rτ = ∑ mO ( Fgi ) + ∑ mO ( Fgi ) = 0 + (−∑ r i ⋅ mi riε )
质点系的惯性力系
a2
r r r r F 1, F 2,L F i ,L F n , g , g g g
r r r ∑F + ∑FNi + ∑Fgi = 0 i r r r r r r ∑MO(F ) + ∑MO(FNi ) + ∑MO(Fgi ) = 0 i
质点系的达朗伯原理
5
达 郎 伯 原 理
例2
o x
r r r F + FN + Fg = 0
质点的达朗伯原理
作用在质点上的主动力和约束 力与假想施加在质点上的惯性力， 力与假想施加在质点上的惯性力， 形式上组成平衡力系 2
F —— 主动力 FN —— 约束力
达 郎 伯 原 理
2
rn F gR
O ε
ω ε
rτ MgO F gR
MgO = −IOε (负 负 与 ε反 ) 负 示 向
ri C Mi r rτ Fn gi Fgi
11
达 郎 伯 原 理
三. 惯性力系的简化
3. 刚体作平面运动
设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动， 设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动， 则刚体平面运动视为质量对称平面的运动
r rn rτ r 主矢： 主矢： FgR＝ M C＝ MaC − MaC ＝ a ＝
主矩： 主矩： M gO
r r Fgi = −mai i rn rn Fgi = −mai i rτ rτ Fgi = −mai i
rn rτ = ∑ mO ( Fgi ) + ∑ mO ( Fgi ) = 0 + (−∑ r i ⋅ mi riε )
质点系的惯性力系
a2
r r r r F 1, F 2,L F i ,L F n , g , g g g
r r r ∑F + ∑FNi + ∑Fgi = 0 i r r r r r r ∑MO(F ) + ∑MO(FNi ) + ∑MO(Fgi ) = 0 i
质点系的达朗伯原理
5
达 郎 伯 原 理
例2
o x
r r r F + FN + Fg = 0
质点的达朗伯原理
作用在质点上的主动力和约束 力与假想施加在质点上的惯性力， 力与假想施加在质点上的惯性力， 形式上组成平衡力系 2
F —— 主动力 FN —— 约束力
达 郎 伯 原 理
达朗伯原理
F N ma 0
F N Q 0
— 质点的达朗伯原理
质点运动的每一瞬 时，作用于质点上的主 动力、约束反力，以及 虚加于该质点上的惯性力在形式上组成一个平衡力系。
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
第十五章 达朗伯原理
本章重点、难点
⒈重点
惯性力的概念，平动、 定轴转动和平面运动刚 体惯性力系的简化。
质点系的达朗伯原理。 用质点系的达朗伯原理求解动力学问题。
⒉难点
惯性力系的简化。 惯性积和惯性主轴的概念。
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。因而，这种解答动力学 问题的方法，也称动静法。
③ 虚加惯性力系：
RQ
ml
2
RQn man 0
,
M
QA
I
A
ml 2
3
④ 取An坐标轴如图；
⑤ 根据达朗伯原理求解：
F 0 , RA mgcos0 RQ 0 (1) Fn 0 , RAn mgsin0 RQn 0 (2) mA (F )0 , mgcos0 l/2M QA 0 (3)
§15-1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来
的运动状态，对于施力物体(人手)产生的
反抗力。称为小车的惯性力。
⒈ 质点惯性力定义
Q ma
当质点受到其他物体的作用而引起运动状态变化时，由 于质点本身的惯性而引起了对施力物体的反抗力，这种反抗 力称为该质点的惯性力。
F N Q 0
— 质点的达朗伯原理
质点运动的每一瞬 时，作用于质点上的主 动力、约束反力，以及 虚加于该质点上的惯性力在形式上组成一个平衡力系。
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
第十五章 达朗伯原理
本章重点、难点
⒈重点
惯性力的概念，平动、 定轴转动和平面运动刚 体惯性力系的简化。
质点系的达朗伯原理。 用质点系的达朗伯原理求解动力学问题。
⒉难点
惯性力系的简化。 惯性积和惯性主轴的概念。
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。因而，这种解答动力学 问题的方法，也称动静法。
③ 虚加惯性力系：
RQ
ml
2
RQn man 0
,
M
QA
I
A
ml 2
3
④ 取An坐标轴如图；
⑤ 根据达朗伯原理求解：
F 0 , RA mgcos0 RQ 0 (1) Fn 0 , RAn mgsin0 RQn 0 (2) mA (F )0 , mgcos0 l/2M QA 0 (3)
§15-1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来
的运动状态，对于施力物体(人手)产生的
反抗力。称为小车的惯性力。
⒈ 质点惯性力定义
Q ma
当质点受到其他物体的作用而引起运动状态变化时，由 于质点本身的惯性而引起了对施力物体的反抗力，这种反抗 力称为该质点的惯性力。
达朗贝尔原理
F
FAy
A
FAx
F
r
M IA
FIA
r
FIC
r 2
mgr
cos 300
0
C
FIC
3
1
3
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg
(1)
mg 30° B
取AB杆: mA(F ) 0 :
3
1
3
FAy
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg (1)
F
A
FAx
mA(F ) 0 : mgrcos 300 FIC r sin 300 0
FI 1
A
1
L
M I 1 C1
mg
FI 2
L
B MI2
. C2 mg
2
D
P
解: 双自由度, 初瞬时问题求加速度.
P力作用在D处时, BD杆平面运动, 圆盘定轴转动, 惯性力系简化如图示.
aC1
L FI 1 m aC1 m1 2
MI1
J A1
3 2
m(
L 2
)2 1
3 8
m L21
L
aC2
FI 2 m aC2 m( 1L 2 2 )
C FIC
mg 30° B
3
1
mg 2 maA 2 0
aA 3 g ( 2 )
α
M IA
(2) 代入(1)
F
3 2 mAaA
1 2
ma A
3 mg
2
F
A
FIA
aA
aC C
FIC
mAg mg 30° B
得:
F
33 2
mAg
2015年太原理工大学《理论力学》ppt课件合集
力
对刚体的作用效果。
学
该公理是力系简化的理论依据。
公
理
———————————————————
推论1 力的可传性原理
——————————————————
1.静 2
作用在刚体上的力可沿其作用线任 意移动，而不改变该力对刚体的作用。
力
学
F
F
B
公
A
A
理
作用于刚体上的力的三要素为：大 小、方向、作用线。（推车、拉车效果相
A
F2 它是力系简化的基础。
适宜刚体和变形体
———————————————————
推论2 三力平衡汇交定理 ——————————————————
1.静 2
当刚体受三个力作用而平衡时，若其
力
中任何两力的作用线相交于一点，则其 余一力的作用线亦必交于同一点，且三
学
力的作用线在同一平面内。
公
F2
说明不平行三力平衡的
———————————————————
约束反力的确定
1.约3
约束反力取决于约束本身的性质、主 动力和物体的运动状态。
束
与
约束反力阻止物体运动的作用是通
约 过约束与物体相互接触来实现的，因此
束 反
它的作用点在相互接触处；它的方向总
力 是与约束所能阻止物体的位移方向相
反；大小将由平衡方程求出。
———————————————————
理；（4）不添加自重。
———————————————————
例1 ——————————————————
1.受 4
作图示轧路机轧轮的受力图。
力
分
析
F
F
第十五章 达朗伯原理-2
C
FT′
∑ MC (F ) = 0 , M IC − F ⋅ R = 0
1 mR 2α B 2 运动学关系: a C = R ⋅ α B FI = maC , M IC =
FI
mg D
αB
′ F FN
F=
M − mgR sin α 4R
19
FI
O
M IO
A）简化为一力偶矩，与α的方向相反。
C α≠0
τ aC
B）简化为过O点的一合力和一力偶矩。 合力垂直OC，力偶矩与α的转向相反。
ω =0
C）简化为过O点一合力，垂直OC向上。 D）简化为一平衡力系。
解：B对。定轴转动时惯性力向转轴简化，
τ n ∵ FI = maC = maC (ω 0 = 0故aC = 0)
通过质心C轴的转动惯量
1
特殊情况讨论 1）刚体匀速转动，转轴不通过质点C
M IO = 0
2）转轴过质点C，但 α ≠0
FIR = 0
M IC = 0
3）刚体匀速转动，且转轴过质心，则
FIR = 0
RQO F
IR
α
2
概念练习题
1）质量m的均质圆盘一端固定于铅垂面，在图示位置从静止下落 问其惯性力的简化结果？
2 Pg a= Q + 2P
[例8] 已知重物重P，轮重Q且为均质圆盘，半径为r，杆长s，不计 绳子重量及摩擦。求重物下落时C处的约束反力。
解:1)用达朗贝尔原理求重物加速度
分析轮：
FBy
M IB
α
B
FBx
s B C
Q
FT′
α
M IB
Q 2 = rα 2g
B
∑M
FT′
∑ MC (F ) = 0 , M IC − F ⋅ R = 0
1 mR 2α B 2 运动学关系: a C = R ⋅ α B FI = maC , M IC =
FI
mg D
αB
′ F FN
F=
M − mgR sin α 4R
19
FI
O
M IO
A）简化为一力偶矩，与α的方向相反。
C α≠0
τ aC
B）简化为过O点的一合力和一力偶矩。 合力垂直OC，力偶矩与α的转向相反。
ω =0
C）简化为过O点一合力，垂直OC向上。 D）简化为一平衡力系。
解：B对。定轴转动时惯性力向转轴简化，
τ n ∵ FI = maC = maC (ω 0 = 0故aC = 0)
通过质心C轴的转动惯量
1
特殊情况讨论 1）刚体匀速转动，转轴不通过质点C
M IO = 0
2）转轴过质点C，但 α ≠0
FIR = 0
M IC = 0
3）刚体匀速转动，且转轴过质心，则
FIR = 0
RQO F
IR
α
2
概念练习题
1）质量m的均质圆盘一端固定于铅垂面，在图示位置从静止下落 问其惯性力的简化结果？
2 Pg a= Q + 2P
[例8] 已知重物重P，轮重Q且为均质圆盘，半径为r，杆长s，不计 绳子重量及摩擦。求重物下落时C处的约束反力。
解:1)用达朗贝尔原理求重物加速度
分析轮：
FBy
M IB
α
B
FBx
s B C
Q
FT′
α
M IB
Q 2 = rα 2g
B
∑M
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y
原 理
g g 元段虚加惯性力dF ，dF 的大小为
g 2
P dm d 。在该微 微元段的质量 gl
an ( sin )
2
XA
YA
A
d
P
g F
B
P P dF dm an ( sin ) d sin d gl gl
2
例2
于是整个杆的惯性力的合力的大小为 X A 2 15.1 l P P A g g 2 F dF sin d l sin
方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为
g g 由于Fin 通过O点，则有 mO ( Fin ) 0，所以
g O
g g g MO mO (Fin ) mO (Fi )
g g M mO (Fi ) Fi ri (mi ri )ri ( mi ri2 )
g 惯性力F 的大小为 F g m r 2 假想地加上惯性力，由达朗伯原理
球磨机的滚筒以匀角速度 绕水
g F
F
a 0
an r
2
Fn 0
N mgcos F 0
g
例1
15.1
达 朗 伯 原 理
r 解得： N m g( cos ) g
2
这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力， 显然当钢球脱离筒壁时， N 0 ，由此可求出其 脱离角 为 2
例2
重P长 l 的等截面均质细杆AB，其 C 15.1 A端铰接于铅直轴AC上，并以匀角速 达 度 绕该轴转动，如图。求角速度 A 与角 的关系。 d g dF 朗 解：以杆AB为研究对象，受力如图。 an B 杆AB匀速转动，杆上距A点 的 伯 微元段 d 的加速度的大小为
伯 原 理
g g 于是，假想 F 是一个力，称之为质点的惯性力。F 的 大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与 其加速度的方向相反。 g 则有 FNF 0
令
g F ma
N
即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动 力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式 上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。
伯 原 理
g Fi N i Fi 0 g mO (Fi ) mO ( Ni ) mO (Fi ) 0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上 的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点 系上的惯性力系构成形式上的平衡力系。这就是 质点系的达朗伯原理。
YA
d
gl 2g 达 g 设力F 的作用点到点A的距离为 d ， 朗 由合力矩定理，有 l 伯 g F (d cos ) ( cos )dF g 0 2 原 l P sin 2 d 2 理 即 d 0 gl l
0
P
g F
B
P l 2 sin 2g
A
N D 39.47N
X A 617.9 N YA 357.82N
例4
均质悬臂梁AB长l，重W，B端 15.2 与重G、半径为r的均质圆轮铰接。 A 在圆轮上作用一矩为M的力偶，借 刚 助于细绳提升重为P的重物C。试求 体 惯 固定端A的约束反力。 解：先以轮和重物为研究对象，受 性 力 力如图。 轮的惯性力系向转轴简化，则 系 1 G 2 a Gr g 的 M B J B r a 2 g r 2g 简 P g 物体C的惯性力的大小为 FC a 化
故
g M O J O
综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系，可以简 g g F 和一个惯性力偶M O。 化为通过转轴O的一个惯性力 g 的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的 15.2 力 F g 乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶 M O 的矩 刚 等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘 体 积，转向与角加速度的转向相反。
一、质点的达朗伯原理
设质量为 m 的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬 15.1 时作用于质点M上的主动力为 F ，约束反力为 N ，其 加速度为 a 。 Fg 达 根据动力学基本方程有 ma F N M F 朗 将上式改写成 F N (ma) 0 a
下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯 性力系的简化结果。 15.2 首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质 刚 点 M i的质量为mi ，加速度为a i ，刚体的质量为M， 体 质心的加速度为aC，则惯性力系的主矢为
惯 性 力 系 的 简 化
由质心的矢径表达式知 mi ri MrC，将其两边对时 间求两阶导数，有
例3
如图所示，均质杆AB的 B l 15.2 质量m 40kg，长 l 4m ，A点 以铰链连接于小车上。不计摩 h 1m D 30 刚 A 2 擦，当小车以加速度 a 15m s a 体 惯 向左运动时，求D处和铰A处 y 的约束反力。 x 性 B D a 解：以杆为研究对象，受力 Fg 力 如图，建立如图坐标。 N D mg 系 A g XA Y 杆作平动，惯性力的大小为 F m a 。 的 A 简 假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理 化 l l g l mA (F ) 0 mg cos 30 N D F sin 30 0 2 2 2 于是得
二、刚体绕定轴转动
15.2 如图所示，具有质量对称面且 绕垂直于质量对称面的轴转动的刚 体。其上任一点的惯性力的分量的 大小为 F g m a m r
i i i i i
刚 体 惯 性 力 系 的 简 化
g Fin mi ain mi ri 2
g Fn g g O MO n F aC aC g ain ri Fi g Fi Fi Fi 0 e i g mO (Fi ) mO (Fi ) mO (Fi ) 0
二、质点系的达朗伯原理
因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等 i i 15.1 值反向，因此有 F 0和 m ( F ) 0 ；而剩下的 i O i 外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约 达 束反力系。设 Fi 、 Ni 分别为作用在第 i 个质点上的 朗 主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得
M J C 。此时惯性力系简化为一惯性力偶。
g C
三、刚体作平面运动
如图所示，设刚体作平面运动， 15.2 取质心C为基点，这时可将刚体的作平 面运动分解为随同质心的平动和绕质 刚 心的转动。将随同质心平动部分的惯 体 性力系向质心C简化，得
aC
g F
g MC
惯 性 力 系 的 简 化
N D m( g cos30 a sin 30 )
例3
15.2
X 0 Y 0
刚 体 惯 性 力 系 的 简 化
X A F N D sin 30 0
g
B
y
a
D
mg
x
XA
ND
Fg
YA N D cos30 mg 0
代入数据，解之得：
YA
例1
15.1 平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的 M r 物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离 N 达 mg O 筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下， 朗 从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半 伯 径为 r ，试求钢球的脱离角 。 解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象， 原 受力如图。 钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为 理
F Fi (mi ai ) mi ai
g g
于是有
mi ai MaC g F MaC
此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主 矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方 向与质心加速度的方向相反。
15.2
刚 一、刚体作平动 aC 体 F C 如图所示，将惯性力系向刚体的 惯 质心C简化，惯性力系的主矩为 g 性 力 MC ri (mi ai ) ( mi ri ) aC MrC aC 系 式中， rC 是质心C的矢径，由于C为简化中心，显 的 然 rC 0 ，于是有 g 简 MC 0 化 综上可得结论：平动刚体的惯性力系，可以简化为
综上可得结论：平面运动刚体的惯性力系， g 可以简化为通过质心C的一个惯性力 F 和一 g 15.2 g F 个惯性力偶 M C 。力 的大小等于刚体的质量 刚 与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加 g 体 速度的方向相反；力偶 M C 的矩等于刚体对过 惯 质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积， 性 力 转向与角加速度的转向相反。 系 在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时， 的 应首先分析刚体的运动形式，正确虚加惯 简 化 性力和惯性力偶，然后再列平衡方程求解。
第十五章
• •
达朗伯原理
达朗伯原理 刚体惯性力系的简化
引
言
前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系 动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理 为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普 遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平 衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此 这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题 的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工 程中被广泛使用。
Fi ri
g
g
对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体 运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下 面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力 系的简化结果。 M
i
ai
一个通过质心的合力 F g ，合力 F g 的大小等于刚体的 质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速 度的方向相反。
r arccos( ) g
原 理
g g 元段虚加惯性力dF ，dF 的大小为
g 2
P dm d 。在该微 微元段的质量 gl
an ( sin )
2
XA
YA
A
d
P
g F
B
P P dF dm an ( sin ) d sin d gl gl
2
例2
于是整个杆的惯性力的合力的大小为 X A 2 15.1 l P P A g g 2 F dF sin d l sin
方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为
g g 由于Fin 通过O点，则有 mO ( Fin ) 0，所以
g O
g g g MO mO (Fin ) mO (Fi )
g g M mO (Fi ) Fi ri (mi ri )ri ( mi ri2 )
g 惯性力F 的大小为 F g m r 2 假想地加上惯性力，由达朗伯原理
球磨机的滚筒以匀角速度 绕水
g F
F
a 0
an r
2
Fn 0
N mgcos F 0
g
例1
15.1
达 朗 伯 原 理
r 解得： N m g( cos ) g
2
这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力， 显然当钢球脱离筒壁时， N 0 ，由此可求出其 脱离角 为 2
例2
重P长 l 的等截面均质细杆AB，其 C 15.1 A端铰接于铅直轴AC上，并以匀角速 达 度 绕该轴转动，如图。求角速度 A 与角 的关系。 d g dF 朗 解：以杆AB为研究对象，受力如图。 an B 杆AB匀速转动，杆上距A点 的 伯 微元段 d 的加速度的大小为
伯 原 理
g g 于是，假想 F 是一个力，称之为质点的惯性力。F 的 大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与 其加速度的方向相反。 g 则有 FNF 0
令
g F ma
N
即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动 力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式 上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。
伯 原 理
g Fi N i Fi 0 g mO (Fi ) mO ( Ni ) mO (Fi ) 0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上 的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点 系上的惯性力系构成形式上的平衡力系。这就是 质点系的达朗伯原理。
YA
d
gl 2g 达 g 设力F 的作用点到点A的距离为 d ， 朗 由合力矩定理，有 l 伯 g F (d cos ) ( cos )dF g 0 2 原 l P sin 2 d 2 理 即 d 0 gl l
0
P
g F
B
P l 2 sin 2g
A
N D 39.47N
X A 617.9 N YA 357.82N
例4
均质悬臂梁AB长l，重W，B端 15.2 与重G、半径为r的均质圆轮铰接。 A 在圆轮上作用一矩为M的力偶，借 刚 助于细绳提升重为P的重物C。试求 体 惯 固定端A的约束反力。 解：先以轮和重物为研究对象，受 性 力 力如图。 轮的惯性力系向转轴简化，则 系 1 G 2 a Gr g 的 M B J B r a 2 g r 2g 简 P g 物体C的惯性力的大小为 FC a 化
故
g M O J O
综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系，可以简 g g F 和一个惯性力偶M O。 化为通过转轴O的一个惯性力 g 的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的 15.2 力 F g 乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶 M O 的矩 刚 等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘 体 积，转向与角加速度的转向相反。
一、质点的达朗伯原理
设质量为 m 的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬 15.1 时作用于质点M上的主动力为 F ，约束反力为 N ，其 加速度为 a 。 Fg 达 根据动力学基本方程有 ma F N M F 朗 将上式改写成 F N (ma) 0 a
下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯 性力系的简化结果。 15.2 首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质 刚 点 M i的质量为mi ，加速度为a i ，刚体的质量为M， 体 质心的加速度为aC，则惯性力系的主矢为
惯 性 力 系 的 简 化
由质心的矢径表达式知 mi ri MrC，将其两边对时 间求两阶导数，有
例3
如图所示，均质杆AB的 B l 15.2 质量m 40kg，长 l 4m ，A点 以铰链连接于小车上。不计摩 h 1m D 30 刚 A 2 擦，当小车以加速度 a 15m s a 体 惯 向左运动时，求D处和铰A处 y 的约束反力。 x 性 B D a 解：以杆为研究对象，受力 Fg 力 如图，建立如图坐标。 N D mg 系 A g XA Y 杆作平动，惯性力的大小为 F m a 。 的 A 简 假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理 化 l l g l mA (F ) 0 mg cos 30 N D F sin 30 0 2 2 2 于是得
二、刚体绕定轴转动
15.2 如图所示，具有质量对称面且 绕垂直于质量对称面的轴转动的刚 体。其上任一点的惯性力的分量的 大小为 F g m a m r
i i i i i
刚 体 惯 性 力 系 的 简 化
g Fin mi ain mi ri 2
g Fn g g O MO n F aC aC g ain ri Fi g Fi Fi Fi 0 e i g mO (Fi ) mO (Fi ) mO (Fi ) 0
二、质点系的达朗伯原理
因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等 i i 15.1 值反向，因此有 F 0和 m ( F ) 0 ；而剩下的 i O i 外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约 达 束反力系。设 Fi 、 Ni 分别为作用在第 i 个质点上的 朗 主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得
M J C 。此时惯性力系简化为一惯性力偶。
g C
三、刚体作平面运动
如图所示，设刚体作平面运动， 15.2 取质心C为基点，这时可将刚体的作平 面运动分解为随同质心的平动和绕质 刚 心的转动。将随同质心平动部分的惯 体 性力系向质心C简化，得
aC
g F
g MC
惯 性 力 系 的 简 化
N D m( g cos30 a sin 30 )
例3
15.2
X 0 Y 0
刚 体 惯 性 力 系 的 简 化
X A F N D sin 30 0
g
B
y
a
D
mg
x
XA
ND
Fg
YA N D cos30 mg 0
代入数据，解之得：
YA
例1
15.1 平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的 M r 物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离 N 达 mg O 筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下， 朗 从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半 伯 径为 r ，试求钢球的脱离角 。 解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象， 原 受力如图。 钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为 理
F Fi (mi ai ) mi ai
g g
于是有
mi ai MaC g F MaC
此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主 矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方 向与质心加速度的方向相反。
15.2
刚 一、刚体作平动 aC 体 F C 如图所示，将惯性力系向刚体的 惯 质心C简化，惯性力系的主矩为 g 性 力 MC ri (mi ai ) ( mi ri ) aC MrC aC 系 式中， rC 是质心C的矢径，由于C为简化中心，显 的 然 rC 0 ，于是有 g 简 MC 0 化 综上可得结论：平动刚体的惯性力系，可以简化为
综上可得结论：平面运动刚体的惯性力系， g 可以简化为通过质心C的一个惯性力 F 和一 g 15.2 g F 个惯性力偶 M C 。力 的大小等于刚体的质量 刚 与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加 g 体 速度的方向相反；力偶 M C 的矩等于刚体对过 惯 质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积， 性 力 转向与角加速度的转向相反。 系 在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时， 的 应首先分析刚体的运动形式，正确虚加惯 简 化 性力和惯性力偶，然后再列平衡方程求解。
第十五章
• •
达朗伯原理
达朗伯原理 刚体惯性力系的简化
引
言
前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系 动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理 为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普 遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平 衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此 这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题 的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工 程中被广泛使用。
Fi ri
g
g
对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体 运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下 面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力 系的简化结果。 M
i
ai
一个通过质心的合力 F g ，合力 F g 的大小等于刚体的 质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速 度的方向相反。
r arccos( ) g