专题十一：综合能力题选讲

专题十一：综合能力题选讲〖要点梳理〗“立足基础，突出能力考查；从学科整体知识结构和思想体系上考虑问题，加强试题的综合性和应用性；创设新颖的情景和设问方式”构成了高考命题(数学科)的主旋律．这使得高考试卷中综合能力题的分量越来越重．通过综合知识来完成“逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力”的考查入情入理，而解答综合能力 题离不开数学的基本思想和基本方法的指导和运用．这就要求我们在平时的教学中注意和重视数学基本思想和方法的渗透和掌握，加强能力培养，教会学生善于抓住问题的实质，对所给问题提供的信息能进行分解、组合和加工，以便寻找解决问题的方法．另外，“增加思考量，控制计算量”值得我们在几何复习中深思．〖慧眼评题〗例1．设R x ∈，试比较()x f =x cos cos 与()x g =x sin sin 的大小关系．【解答】观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等．初步判断便可以确定：()x f 、()x g 都是周期函数，且最小正周期分别为π、π2．所以，只需考虑[]ππ,-∈x 的情形．另外，由于()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的x 的范围继续缩小？事实上，当[]0,π-∈x 时，()x f >0，()x g 0≤恒成立，此时，()x f >()x g ． 下面，我们只需考虑[]π,0∈x 的情形．如果我们把()x f 看作是关于x cos 的余弦函数，把()x g 看作是关于x sin 的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性．⎪⎭⎫⎝⎛-=x x sin 2cos sin sin π至此为止，可以看出：由于x sin 2-π和x cos 同属于余弦函数的一个单调区间，（即x sin 2-π，x cos ∈[]π,0），所以，只需比较x sin 2-π与x cos 的大小即可．事实上，（x sin 2-π）—x cos =x sin 2-π—x cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22ππx 022>-≥π 所以，利用余弦函数在[]π,0上单调递减，可得：x sin sin <x cos cos ．也即()x g <()x f 综上，()x g <()x f ．【点评】本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助．是一道很有训练价值的好题．【变式训练】已知函数()b x a x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos 6sin 6sin ππ（R b a ∈,，且均为常数），（1）求函数()x f 的最小正周期；（2）若()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π上单调递增，且恰好能够取到()x f 的最小值2，试求b a ,的值．〖答案与提示〗2,1=-=b a例2．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<．（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()({}22,1,,1,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-+=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数()f x ．【解答】（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==．得：()()()110f f f =⋅．因为()10f ≠，所以，()01f =．（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <．在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-．由于210x x ->，所以()2110f x x >->．为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可．在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=． ∵ 0x >时，()01f x <<， ∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-．又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >． ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦． ∴ 函数()f x 在R 上单调递减．（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子．()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()10f ax y f -==，即0ax y -+=．由A B ⋂=∅，所以，直线0ax y -+=与圆面221x y +<无公共点．所以，1≥． 解得：11a -≤≤．（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【点评】根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决．【变式训练】已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； （2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+试回答下列问题：（Ⅰ）试求()0f 的值；（Ⅱ）判断并证明函数()f x 的单调性； （Ⅲ）若函数()f x 存在反函数()g x ，求证：21111511312g g g g n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．〖答案与提示〗（Ⅰ）()00f =．（Ⅱ）函数()f x 在R 上单调递减．（Ⅲ）略。

例3．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC ⋅=．（Ⅰ）求双曲线G 的渐近线的方程； （Ⅱ）求双曲线G 的方程；（Ⅲ）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．【解答】（Ⅰ）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则由渐近线与圆2210200x y x +-+==所以，12k =±．双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G 的方程为：224x y m -=． 把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程，整理得2381640x x m ---=．则8164, 33A B A B mx x x x ++==- （＊）∵ 2PA PB PC ⋅=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上， ∴ ()()()2P A B P P C x x x x x x --=-，即：()()4416B A x x +--=，整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =．所以，双曲线的方程为221287x y -=． （Ⅲ）由题可设椭圆S的方程为：(222128x y a a+=>．下面我们来求出S中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则2211222222128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a -+-++=由于12124y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+=所以，0024028x y a -=， 所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x ya-=截在椭圆S 内的部分．又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，211122a =．所以，256a =，椭圆S 的方程为：2212856x y +=．【点评】解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．【变式训练】设抛物线过定点()1,0A -，且以直线1x =为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰被直线12x =-平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+，试求m 的取值范围．〖答案与提示〗（Ⅰ）抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2214y x += ()1x ≠．（Ⅱ）0m m <<≠． 例4．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解答】（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为360030001250-=，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：()()30003000100150505050x x f x x --⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭． 整理得：()()2211622100040503070505050x f x x x =-+-=--+．所以，当4050x =时，()f x 最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元． 【点评】实际问题的最值要注意自变量的取值范围．【变式训练】小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．〖答案与提示〗小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．。