《概率论与数理统计》课件之8

y < 0, y ≥1
x
0 ≤ y <1 FY (y)不是连续函数
Ch2-113
第7周
问题
X = [1+ g(Y)]/2
设随机变量 X 服从(0,1)内均匀分布, 又
t2 2
其中 g( y) = 求随机变量
∫ 2π
2
y
o
e
dt
Y 的概率密度.
Ch2-114
第8周
问题
设随机变量Z服从参数为 设随机变量 服从参数为 1 的指 数分布,引入随机变量: 数分布,引入随机变量:
k =1,2,
由已知函数 g( x)可求出随机变量 Y 的 x) 所有可能取值,则 Y 的概率分布为
P(Y = yi ) =
k: g( xk )=yi
∑
pk ,
i =1,2,
Ch2-92
例1 已知 X 的概率分布为 X pk -1
1 8
0
1 8
1
1 4
2
1 2
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 解 Y1 pi -3
0 Z ≤1 0 Z ≤2 X = Y = 1 Z >1 1 Z > 2
求 (X , Y) 的联合分布律
�
0,
1 2
(f y
X
( y ) + f X ( y ) ,
)
y ≤0
y >0
0, fY (y) = 1 e 2 π y1/ 2
y 2
y ≤0
, y >0
Ch2-104
解二 从密度函数出发 当y<0时
y + y
y
y = x2
P( y < Y ≤ y + y) = 0
当y>0时
P( y < Y ≤ y + y)
1 2
Ch2-105
f X (x1) f X (x2 ) = + dy dy dx x=x dx x=x
1
2
f X ( y) f X ( y) = + dy dy dx x= y dx x= y
1 1 = e | 2 y | 2π 1 1 + 2π e | 2 y |
( y )2 2
当y ≤ 0时,FY (y) = 0 当 y > 0 时,
F ( y) = P( X ≤ y) Y
2
y y ]
[ [ y [
= P( y ≤ X ≤ y)
y
= FX ( y) FX ( y)
Ch2-103
0, y ≤0 FY (y) = FX ( y) FX ( y), y > 0
故
fY (y) =
∫f
(x)dx
⑵.利用 = g( X )的分布函数与密度函数之间的 Y 关系求Y = g( X )的密度函数 fY ( y) = F′( y) Y
例3 已知 X 密度函数为 f X (x),Y = aX +b, a, b为常数,且 a ≠ 0, 求 fY ( y ) 解 F ( y) = P(Y ≤ y) Y
即
x1 + (x)1 x1 y + y
y
x2 x2 + (x)2
= P(x1 + (x)1 ≤ X < x1) + P(x2 < X ≤ x2 + (x)2 )
fY ( y) y = f X (x1)[(x)1] + f X (x2 )(x)2
f X (x1) f X (x2 ) fY ( y) = + dy dy dx x=x dx x=x
注意 连续随机变量的函数的分布 函数不一定是连续函数 例如 X ~ U (0,2)
1, 0 < x < 2 f X (x) = 2 0, 其 他
Ch2-112
y 0, x ≤ 0 g(x) = x, 0 < x ≤1 令Y=g (X) 1 1, x >1
0, y F ( y) = , Y 2 1,
= P(aX + b ≤ y)
Ch2-98
当a > 0 时,
1 F ( y) = P X ≤ ( y b) Y a 1 ( y b) = FX a 1 1 fY ( y) = f X ( y b) a a
Ch2-99
当a < 0 时,
X ≥ 1 ( y b) F ( y) = P Y a
=
1 2πσ | a |
e
( yba )2 2a2σ 2
∞ < y < ∞
Y ~ N ( a +b, a2σ2 ) 特别地 ,若 X ~ N ( ,σ 2) , 则 Y=
X
σ
~ N(0,1)
Ch2-101
例4 X ~ E (2), Y = – 3X + 2 , 求 fY (y)
1 1 ( y 2) 解 fY ( y) = fX | 3| 3
1 2 y32 y 2 2e , >0 = 3 3 0, 其 他 2 2(23 y) e , y<2 = 3 0, 其他
例5 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y) 解一 从分布函数出发
Ch2-102
F ( y) = P(Y ≤ y) Y
3
例7 设 X 的概率密度函数为
2x , 0 < x < π 2 f X (x) = π 0, 其 他 求Y = sin X 的概率密度函数
Ch2-110
解 由图可知, Y 的取 值范围为(0,1) 故当 y ≤ 0 或 y ≥1 时 f Y (y) = 0
y = sin x(0 < x < π )
1 8
-1
1 8
1
1 4
3
1 2
Ch2-93
Y2 pi
1
0
1
4
1 8
0
1 8
1
1 4
4
1 2
Y2 pi
1 8
3 8
1 2
Ch2-94
例2 已知 X 的概率分布为
P( X = k ) = pq , k = 0,1,2, 2 其中 p + q = 1, 0 < p < 1,
k
π
求 Y = Sin X 的概率分布
y1
1 0.8 0.6 0.4 0.2
y
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
π x
当0 < y <1时
y = sin x(0 < x < π ) 1 y π x 0 arcsiny π - arcsiny
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Ch2-111
1 2arcsin y 2(π arcsin y) fY ( y) = + 2 2 2 π 1 y π 2 = 2 π 1 y 故 2 , 0 < y <1 2 fY ( y) = π 1 y 0, 其 他
1(y)
y = g(x) y
x1
x
1 , 例6 设 f X (x) = 2 π (1+ x )
Ch2-109
∞ < x < +∞
Y =1 X
3
y =1 3 x
y
3
求 f Y (y) 解
f X [(1 y) fY ( y) = dy dx x=(1y)
3
]
(1 - y)3 x
2 dx 3(1 y) 3 = f X [(1 y) ] = ,∞ < y < +∞ 6 dy x=(1y) π[1+ (1 y) ]
π 解 P(Y = 0) = P ∪( X = 2m ) 2 m=0
∞
p = ∑ pq = 2 1 q m=0
2m
∞
P(Y
π =1) = P ∪( X = 2mπ + ) 2 m=0
∞
Ch2-95
π = P ∪( X = (4m +1) ) 2 m=0
∞
= ∑ pq
m=0
∞
4m+1
Ch2-90
§2.5 随机变量函数的分布
已知随机变量 X 的密度函数 问题 已知 或分布律 求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数
f X (x)
fY (y) 或分布律
方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件
Ch2-91
离散型随机变量函数的分布 设随机变量 X 的分布律为
P( X = xk ) = pk ,
x1
x2
x3
… xn
x
f X (xn ) f X (x1) f X (x2 ) fY ( y) = + ++ dy dy dy dx x=x dx x=x dx x=x
1 2
n
特别地,若g(x)为单调函数,则 f X (x1) fY ( y) = 其中x1= g dy dx x=x
1
Ch2-108
3π P(Y = 1) = P ∪( X = 2mπ + ) 2 m=0 ∞ π = P ∪( X = (4m + 3) ) 2 m=0 3 ∞ pq 4m+3 = ∑ pq = 4 1 q m=0
∞
pq = 4 1 q
Ch2-96
故 Y 的概率分布为
Y pi -1 0 1
pq3 1 q4
Ch2-106
( y )2 2
=
1 e 2 y π
y 2