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化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
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概率论与数理统计ppt课件
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件!! 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P( Bi |A) P(Bi |A.)
注 当A＝S时!! P【B｜S】=P【B】!! 条件概率 化为无条件概率!! 因此无条件概率可看成条
计算件条概件率概. 率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
二. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下!! 确定B的缩减样本空间!!
(3) 对于两两互斥个 的事 可 A件 1,列 A2, 多, P(A1A2)P(A1)P(A2)
三. 统计定义:
【一】 频率
一. 在相同的条件下!! 共进行了n次试验!!事件A发生的
次数nA!! 称为A的频数!! nA/n称为事件A发生的频率!! 记 为fn【A】.
2. 频率的基本性质：
(1) 0f（ n A） 1； （非负性）
二.概率的性质： 性1质 . P()0.
性质 2. 若A1,A2,,An是两两互不相容, 则 P(A1A2 An)
P(A1)P(A2) P(An).(有 限 可 )
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P【B-A】=P【B】-P【AB】.
性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
【一】 样本空间中的元素只有有限个!!
【二】 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子!!观察出现的点数.
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件!! 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P( Bi |A) P(Bi |A.)
注 当A＝S时!! P【B｜S】=P【B】!! 条件概率 化为无条件概率!! 因此无条件概率可看成条
计算件条概件率概. 率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
二. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下!! 确定B的缩减样本空间!!
(3) 对于两两互斥个 的事 可 A件 1,列 A2, 多, P(A1A2)P(A1)P(A2)
三. 统计定义:
【一】 频率
一. 在相同的条件下!! 共进行了n次试验!!事件A发生的
次数nA!! 称为A的频数!! nA/n称为事件A发生的频率!! 记 为fn【A】.
2. 频率的基本性质：
(1) 0f（ n A） 1； （非负性）
二.概率的性质： 性1质 . P()0.
性质 2. 若A1,A2,,An是两两互不相容, 则 P(A1A2 An)
P(A1)P(A2) P(An).(有 限 可 )
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P【B-A】=P【B】-P【AB】.
性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
【一】 样本空间中的元素只有有限个!!
【二】 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子!!观察出现的点数.
概率论与数理统计数学PPT课件
i 1
i 1
且 fn (A) 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．
13
(二) 概率
定义1：fn ( A)的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 0 P( A) 1
2。 P(S) 1
k
k
3。 若A1, A2,…,Ak两两互不相容，则 P( Ai ) P( Ai )
3
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
①，②，…，n
Ak
)
a n
a
a}，Ak
b
{ ①，②，…，a
}
无关，且与 a， b都无关，若a ＝0呢？对吗？
为什么？
不 是 等 可 能 概
记第k次摸到的球的颜色为一样本点：
型
S＝{红色,白色}，Ak {红色} P( Ak ) 1 2 22
例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次 接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是 有规定的?
----------与k无关
21
解2：
视哪几次摸到红球为一样本点
, , ,, 12 k n
总样本点数为
Cna
，每点出现的概率相等，而其中有
C a1 n 1
个
样本点使 Ak
发生，
P( Ak )
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18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验, 每个样本点出现是等可能的,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个, 且具有非 零的,有限的几何度量,即0 m() ,则称这一随机 试验是一几何概型的.
19
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
(2) P() 1, P() 0;
(3) 对于两两互斥的可列多个事件A1, A2 ,, P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
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三. 统计定义:
(一) 频率
1. 在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次
数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为 fn(A).
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
性质4. 对任一事件A, P(A) 1.
性质5. 对任一事件A, P(A) 1 P(A).
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称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计课件(完整)
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由 怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者， 即认为其接待时间是有规定的。
1.3 频率与概率
某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（ A） =？ 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(8-9) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
种取法.
1、抽球问题
例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N () C
2 5
1 1 N ( A) C3 C2
CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有
1.3 频率与概率
某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（ A） =？ 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(8-9) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
种取法.
1、抽球问题
例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N () C
2 5
1 1 N ( A) C3 C2
CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有
概率论与数理统计教程ppt课件
1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
16 March 2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
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第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
644221 8 6 5 4 3 2 1 15
第30页
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第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
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第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
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第一章 随机事件与概率
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
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第一章 随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
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第一章 随机事件与概率
例1.2.1 六根草，头两两相接、
尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算 所求概率为
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第一章 随机事件与概率
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
UFA.n
n 1
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第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小.
• 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
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第一章 随机事件与概率
概率论与数理统计ppt课件
P( A) m( A)
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
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注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
概率论与数理统计(最新完整版)ppt课件
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
概率论与数理统计课件 完整版
2020/4/3
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “可导必连续”, 确定性现象的特征: 条件完全决定结果
2020/4/3
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i,i1,6;
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 基本事件 A i {i}i,i , 1 ,2 , ,6 ;
A{2,4,6}; B{1,3,5}.
2020/4/3
小结
1 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
2020/4/3
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
其结果可能为: 正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
2020/4/3
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “可导必连续”, 确定性现象的特征: 条件完全决定结果
2020/4/3
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i,i1,6;
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 基本事件 A i {i}i,i , 1 ,2 , ,6 ;
A{2,4,6}; B{1,3,5}.
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小结
1 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
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四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
其结果可能为: 正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
2020/4/3
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
《概率论与数理统计》课件
条件概率与独立性
条件概率
在某个事件B已经发生的条件下，另 一事件A发生的概率，记为P(A|B)。
独立性
两个事件A和B如果满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是 独立的。
随机变量及其分布
01
随机变量
随机变量是定义在样本空间上的 一个实值函数，表示随机试验的 结果。
02
离散型随机变量
03
连续型随机变量
离散型随机变量的取值可以一一 列举出来，其概率分布可以用概 率质量函数或概率函数表示。
连续型随机变量的取值范围是一 个区间或半开区间，其概率分布 可以用概率密度函数表示。
数理统计初步
02
统计数据的描述
01
统计数据的收集
描述如何通过调查、试验或观测 等方法，获取用于统计分析的数
据。
03
夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程是一组随机变量，每个随机 变量对应于时间或空间的一个点。
有限维分布
描述随机过程在有限个时间点上的联 合分布。
独立性
如果随机过程在不相交的时间区间上 的随机变量是独立的，则该随机过程
是独立的。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫性
在已知现在状态下，未来与过去独立，即“未来 只取决于现在”。
03
数据的可视化
介绍如何使用图表（如直方图、 散点图等）将数据可视化，以便 更直观地理解数据分布和关系。
02
数据的整理
介绍如何对数据进行分类、排序 和分组，以便更好地理解和分析
。
04
数据的数字特征
介绍如何使用均值、中位数、众 数、方差等统计量来描述数据的
中心趋势和离散程度。
参数估计与置信区间
概率论与数理统计PPT课件
24
例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求 解1：
号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．
----------与k无关
可设想将n个球进行编号： 其中
18
性质：
19
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
20
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
31
三、全概率公式与Bayes公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。
32
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称：
试验序号
n =5
n =50
n =500
nH
fn(H)
nH
fn(H)
nH
fn(H)
12345678910
2315124233
0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6
22252125242118242731
0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62
例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求 解1：
号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．
----------与k无关
可设想将n个球进行编号： 其中
18
性质：
19
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
20
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
31
三、全概率公式与Bayes公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。
32
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称：
试验序号
n =5
n =50
n =500
nH
fn(H)
nH
fn(H)
nH
fn(H)
12345678910
2315124233
0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6
22252125242118242731
0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62
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概率论与数理统计完整版
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
A的对立事A件 .若A与 记B互 为为对立事件 A， B, 则记为 或BA.
B A
S
BA
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12
7.事件的运算律:
交换律: A B B A ； A B B A .
结合律: A(BC)(AB )C; A(BC)(AB )C.
分配律: A(BC )(AB)(AC ); A(BC )(AB)(AC ).
A中 的 基 本 事k件 数
P(A)S中 的 基 本 事n件 总 数
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15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集. (2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算: P(A)SA 中 中的 的基 基本 本事 事 kn件 件总 数数
概率论与数理统计完整版
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.BLeabharlann A S(1) AB
概率论与数理统计完整版
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
对偶律: A B A B;
AB AB.
证明 对偶律.
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13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有， ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
概率论与数理统计
概率论与数理统计完整版
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性.
3. 概率与数理统计的广泛应用.
概率论与数理统计完整版
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
若 A B,则A 称 与 B 是 互 不 ,或 相 互 ,容 即 斥 的 的
A 与 B 不能同 . 时发生
B
AB
A
概率论与数理统计完整版
11
6. 对立事件(逆事件)： 若ABS且AB， 则A称 与B互 为 逆 事 件 ， 也
为对立.事 即:件 在一次实 , 事 验件 A中 与B中必然有一 个 发,且 生仅 有 一.个 发 生
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 SA K 为可列B 个事件A1, A2, ...的积事件. k 1
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14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
概率论与数理统计完整版
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“恰好 出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
概率论与数理统计完整版
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
概率论与数理统计完整版
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试验 中实际上是不可能发生的”.
概率论与数理统计完整版
概率论与数理统计完整版
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.
E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
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3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
(2)AB
A B
(3)A B
S 概率论与数理统计完整版
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4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A-BAAB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)AB
概率论与数理统计完整版
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5.事件的互不相容(互斥):