概率论与数理统计教程(茆诗松)
概率论与数理统计教程(茆诗松)第一章
5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；A B C ③ 恰有一个出现；A B C A B C A B C ④ 至少有一个出现；ABC ⑤ 至多有一个出现；A B C A B C A B C A B C ⑥ 都不出现； A B C
⑦ 不都出现； ABCABC ⑧ 至少有两个出现；A B A C B C
• 非负性公理： P(A)0;
• 正则性公理： P(Ω)=1;
• 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则
U
P Ai P(Ai ) i1 i1
3/22/2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
1.2.2 排列与组合公式
第23页
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. • 排列讲次序，组合不讲次序. • 全排列：Pn= n! • 0! = 1. • 重复排列：nr • 选排列： P nr(nn !r)!n(n1)......(nr1)
第29页
注意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 • Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)} 此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
➢ 而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相 交，则频率为: n/N.
➢ 用频率代替概率得： 2lN/(dn). ➢ 历史上有一些实验数据.
3/22/2020
A发生但 B不发生
• 对立： A
A 不发生
3/22/2020
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(参数估计)【圣才出品】
第6章 参数估计6.1 复习笔记一、点估计的概念与无偏性 1．点估计及无偏性（1）定义：设x 1，…，x n 是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计．（2）定义：设θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的θ∈Θ，有E θ（θ∧）＝θ，则称θ∧是θ的无偏估计，否则称为有偏估计．注意：①当样本量趋于无穷时，有E （s n 2）→σ2，称s n 2为σ2的渐近无偏估计，这表明当样本量较大时，s n 2可近似看作σ2的无偏估计．②若对s n 2作如下修正：则s 2是总体方差的无偏估计．这个量常被采用．③无偏性不具有不变性．即若θ∧是θ的无偏估计，一般而言，其函数g （θ∧）不是g （θ）的无偏估计，除非g （θ）是θ的线性函数．④并不是所有的参数都存在无偏估计，当参数存在无偏估计时，我们称该参数是可估的，否则称它是不可估的．22211()11nn i i ns s x x n n ===---∑2．有效性定义：设θ∧1，θ∧2是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ∈Θ有Var （θ∧1）≤Var （θ∧2），且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称θ∧1比θ∧2有效．二、矩估计及相合性 1．替换原理和矩法估计 替换原理指：（1）用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩． （2）用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数．2．概率函数已知时未知参数的矩估计设总体具有已知的概率函数p （x ；θ1，…，θk ），（θ1，…，θk ）∈Θ是未知参数或参数向量，x 1，…，x n 是样本．假定总体的k 阶原点矩u k 存在，则对所有的j （0＜j ＜k ）u j 都存在，若假设θ1，…，θk 能够表示成u 1，…，u k 的函数θj ＝θj （u 1，…，u k ），则可给出θj 的矩估计：θ∧j ＝θj （a 1，…，a k ），j ＝1，…，k ，其中a 1，…，a k 是前k 阶样本原点矩进一步，如果我们要估计θ1，…，θk 的函数η＝g （θ1，…，θ∧k ），则可直接得到η的矩估计η∧＝g （θ∧1，…，θ∧k ）．注：当k ＝1时，我们通常可以由样本均值出发对未知参数进行估计；如果k ＝2，我们可以由一阶、二阶原点矩（或二阶中心矩）出发估计未知参数．11n jj ii a x n ==∑3．相合性定义：设θ∈Θ为未知参数，θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个ε＞0，有则称θ∧n 为参数θ的相合估计． 判断相合性的两个有用定理：（1）设θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若则θ∧n 是θ的相合估计．（2）若θ∧n1，…，θ∧nk 分别是θ1，…，θk 的相合估计η＝g （θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则η∧＝g （θ∧n1，…，θ∧nk ）是η的相合估计．三、最大似然估计与EM 算法 1．最大似然估计定义：设总体的概率函数为P （x ；θ），θ∈Θ，其中θ是一个未知参数或几个未知参数组成的参数向量，Θ是参数空间，x 1，…，x n 是来自该总体的样本，将样本的联合概率函数看成θ的函数，用L （θ；x 1，…，x n ）表示，简记为L （θ），L （θ）＝L （θ；x 1，…，x n ）＝p （x 1；θ）p （x 2；θ）…p （x n ；θ）ˆlim ()0n n P θθε→∞-≥=ˆlim ()nn E θθ→∞=ˆlim ()0nn Var θ→∞=L （θ）称为样本的似然函数．如果某统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）满足则称θ∧是θ的最大似然估计，简记为MLE ．注意：在做题时，习惯于由lnL （θ）出发寻找θ的最大似然估计，再求导，计算极值．但在有些场合用求导就没用，此时就需要从取值范围中的最大值和最小值来入手．2．EM 算法当分布中有多余参数或数据为截尾或缺失时，其MLE 的求取是比较困难的，这时候就可以采用EM 算法，其出发点是把求MLE 的算法分为两步：（1）求期望，以便把多余的部分去掉； （2）求极大值．3．渐近正态性最大似然估计有一个良好的性质：它通常具有渐近正态性．（1）定义：参数目的相合估计θ∧n 称为渐近正态，若存在趋于0的非负常数序列σn （θ），使得依分布收敛于标准正态分布．这时也称θ∧n 服从渐近正态分布N （θ，σn 2（θ）），记为θ∧n ～AN （θ，σn 2（θ）），σn 2（θ）称为θ∧n 的渐近方差．（2）定理：设总体x 有密度函数p （x ；θ），θ∈Θ，Θ为非退化区间，假定 ①对任意的x ，偏导数∂lnp/∂θ，对所有θ∈Θ都存在； ②∀θ∈Θ有|∂p/∂θ|＜F 1（x ），|∂2p/∂θ2|＜F 2（x ），|∂3lnp/∂θ3|＜F 3（x ）()()ˆmax L L θθθ∈Θ=()ˆn n θθσθ-其中函数F 1（x ），F 2（x ），F 3（x ）满足③∀θ∈Θ，若x 1，x 2，…，x n 是来自该总体的样本，则存在未知参数θ的最大似然估计θ∧n ＝θ∧n （x 1，x 2，…，x n ），且θ∧n 具有相合性和渐近正态性，该定理表明最大似然估计通常是渐近正态的，且其渐近方差σn 2（θ）＝（nI （θ））－1有一个统一的形式，其中，I （θ）称为费希尔信息量．四、最小方差无偏估计 1．均方误差（1）使用条件：小样本，有偏估计．（2）均方误差为：MSE （θ∧）＝E （θ∧－θ）2，常用来评价点估计． 将均方误差进行如下分解：MSE （θ∧）＝E[（θ∧－E θ∧）＋（E θ∧－θ）]2＝E （θ∧－E θ∧）2＋（E θ∧－θ）2＋2E[（θ∧－E θ∧）1()d F x x ∞-∞<∞⎰2()d F x x ∞-∞<∞⎰3sup ()(;)d F x p x x ∞-∞∈Θ<∞⎰θθ()()2ln 0;d p p x x ∞-∞∂⎛⎫<I =<∞ ⎪∂⎝⎭⎰θθθ1ˆ~(,)()nAN nI θθθ（E θ∧－θ）]＝Var （θ∧）＋（E θ∧－θ）2由分解式可以看出均方误差是由点估计的方差与偏差|E θ∧－θ|的平方两部分组成．如果θ∧是θ的无偏估计，则MSE （θ∧）＝Var （θ∧）．（3）一致最小均方误差设有样本x 1，…，x n ，对待估参数θ有一个估计类，如果对该估计类中另外任意一个θ的估计θ~，在参数空间Θ上都有MSE （θ∧）≤MSE （θ~），称θ∧（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计．2．一致最小方差无偏估计定义：设θ∧是θ的一个无偏估计，如果对另外任意一个θ的无偏估计θ~．在参数率间Θ上都有Var （θ∧）≤Var （θ~），则称θ∧是θ的一致最小方差无偏估计，简记为UMVUE ．关于UMVUE ，有如下一个判断准则：设X ＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，θ∧＝θ∧（X ）是θ的一个无偏估计，Var （θ∧）＜∞，则θ∧是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E （φ（X ））＝0和Var （φ（X ））＜∞的φ（X ）都有Cov θ（θ∧，φ）＝0，∀θ∈Θ．这个定理表明UMVUE 的重要特征是：θ的最小方差无偏估计必与任一零的无偏估计不相关，反之亦然．3．充分性原则定理：总体概率函数是p （x ；θ），x 1，…，x n 是其样本，T ＝T （x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）；令ˆ()E T θθ=。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(参数估计)【圣才出品】
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解第6章参数估计6.1复习笔记一、矩估计及相合性判断相合性的两个定理：（1）设ꞈθn ＝ꞈθn （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若ˆlim ()nn E θθ→∞=，ˆlim Var()0n n θ→∞=，则ꞈθn 是θ的相合估计。
（2）若ꞈθn1，…，ꞈθnk 分别是θ1，…，θk 的相合估计，η＝g（θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则ꞈη＝g（ꞈθn1，…，ꞈθnk ）是η的相合估计。
二、最大似然估计（1）求样本似然函数；（2）求对数似然函数；（3）求导；（4）找到ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）满足()()ˆmax L L θθθ∈Θ=。
三、最小方差无偏估计1．均方误差（1）MSE（ꞈθ）＝E（ꞈθ－θ）2，如果ꞈθ是θ的无偏估计，则MSE（ꞈθ）＝Var（ꞈθ）。
（2）一致最小均方误差如果对该估计类中另外任意一个θ的估计~θ，在参数空间Θ上都有MSE （ꞈθ）≤MSE （~θ），称ꞈθ（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计。
2．一致最小方差无偏估计UMVUE 判断准则：设X＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，ꞈθ＝ꞈθ（X）是θ的一个无偏估计，Var （ꞈθ）＜∞，则ꞈθ是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E（φ（X））＝0和Var（φ（X））＜∞的φ（X）都有Cov θ（ꞈθ，φ）＝0，∀θ∈Θ。
3．充分性原则定理：总体概率函数是p（x；θ），x 1，…，x n 是其样本，T＝T（x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）；令~θ＝E（ꞈθ|T），则ꞈθ也是θ的无偏估计，且Var（ꞈθ）≤Var（ꞈθ）。
4．Cramer-Rao 不等式（1）费希尔信息量I（θ）2()=ln (;)I E p x θθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎣⎦（2）定理（Cramer-Rao 不等式）设总体分布P（X；θ）满足费希尔信息里I（θ），x 1，x 2…，x n 是来自该总体的样本，T ＝T（x 1，x 2…，x n ）是g（θ）的任一个无偏估计，g′（θ）∂g（θ）/∂θ存在，且对Θ中一切θ，对1i 11()...(,,)(;)d d nn ni g T x x p x x x θθ∞∞-∞-∞==∏⎰⎰ 的微商可在积分号下进行，即1111111()...(,...,)((;))d d ...(,,)ln(;)(;)d d nn i ni nnn i i ni i g T x x p x x x T x x p x p x x x θθθθθθ∞∞-∞-∞=∞∞-∞-∞==∂'=∂∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦∏⎰⎰∏∏⎰⎰ 对离散总体，则将上述积分改为求和符号后，等式仍然成立。
概率论与数理统计教程 第二版 茆诗松 程依明 濮晓龙 习题一参考答案
第一章 随机事件与概率习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个． 解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0； （2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ； （5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？ 解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3． 设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生； （2）A , B , C 中不多于一个发生； （3）A , B , C 中不多于两个发生； （4）A , B , C 中至少有两个发生． 解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ； （4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4． 指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ； （2）AB = A ． 解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5． 设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ； （2）B A U ；（3）AB ； （4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ； （4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7． 试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅； （3）(A ∪B ) − B = A ； （4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(； （4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8． 若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9． 请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”． 解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”； （3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =； （2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21． 对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111； （3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }； （6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111； （3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ， 故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ； （5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(， 两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ； （6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ， 再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率． 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1， 即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4． 掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6； （2）点数之和不超过6； （3）至少有一个6点． 解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5． 考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ． 事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ．6． 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃； （2）同花；（3）没有两张同一花色； （4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7． 设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ； 事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ． 10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )， 故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ； （2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5． 解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ； （2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率． 解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率． 解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ． 15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926； （2）P {一对} = 0.4630； （3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）； （5）P {四枚一样} = 0.0193； （6）P {五枚一样} = 0.0008． 解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==； （2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ， 故P {一对}4630.077763600==； （3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ， 故P {两对}2315.077761800==； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==； （5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ，故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ； 事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为158210112}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=， 故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布． 解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ； 事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率． 解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ， （1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ， 故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ， 故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}， 得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ， 故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576， 事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”， 若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ， 故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ， 从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ， 若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ， 有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交； 如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交； 当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为dcb a m E m E P π)()()(++=Ω=． 方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”， 由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )， 因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0， 则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交， 有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=， 故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ， 事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ， 故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率． 解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫， 故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31． 设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生； （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生． 解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2． 设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件； （5）P (A ) = 0或P (B ) = 0； （6）P (A − B ) = P (A )． 解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0； （6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率． 解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =， 则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ， 故取到二级品的概率92)(=B P ．4． 从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}； （2）A 2 = {三个数字中不含0或5}； （3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ； （2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ； （3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率： （1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ； （3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？ 解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8． 从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率． 解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”， 则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”， 设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ， 且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9． 口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球， 则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率． 解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率． 解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ； （2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……， 故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问： （1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4． 注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1． 证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )． （2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)， 则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ． 证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤， 故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
茆诗松概率论与数理统计教程第一章
n 10 20 23 30 40 50 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97
上表所列的答案是出乎很多人意料的, 因为”一个班
级至少有两个人生日相同”的概率, 并不如大多数人
直觉中想象的那样小, 而是相当大. 这个例子告诉我
们, “直觉”有时并不可靠, 这就说明研究随机现象
B=“两球都是红球”,共有22 种取法, C=“两球中至少有一只白球”, 则
AB=“两个球颜色相同”,事件CB,
故P(A)=(44)/(6 6) 0.444，P(B)=(22)/(6 6) 0.111, 则P(AB)=P(A)+P(B) 0.556, P(C)=1-P(B) .0.889
(b)不放回抽样
P(C)=1-P(B) =14/15
.
例六.(分房问题, 类比于教材中例1.2.6的盒子模型) 设有n个人, 每个人都等可能地被分配到N个房 间中的任一间去住(n≤N), 求下列事件的概率 (1)指定的n个房间各有一个人住 (2)恰好有n个房间, 其中各住一个人
解: 将n个人分配到N个房间去, 相当于对每个人, 我们从
.
.
例二(被闪电击中概率的研究).
如何求一个人在某年中被 闪电击中的概率?
中国1.1×109人中, 在2005年被闪电击中 的人数为3300人, 通过概率的频率方法 我们知道, 某人被闪电击中的概率为
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第1章 随机事件与概率【圣
③对立事件一定是互不相容的事件，即 A∩B＝∅．但互不相容的事件不一定是对立事件．
＿
④A－B 可以记为 AB．
7．事件的运算性质
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（1）交换律
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A∪B＝B∪A，AB＝BA
（2）结合律
（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）
n r 1
次所得的组合，此种重复组合总数为
r
，这里的 r 也允许大于 n．
上述四种排列组合及其总数计算公式在使用中要注意识别有序与无序、重复与不重复．
3．确定概率的频率方法 （1）确定概率的频率方法 在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是： ①与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行．
4．随机变量 定义：表示随机现象结果的变量，常用大写字母 X，Y，Z 表示． 注意：很多事件都用随机变量表示时，应写明随机变量的含义．在同一个随机现象中， 不同的设置可获得不同的随机变量，如何设置可按需要进行．
5．事件间的关系 假设在同一个样本空间 Ω（即同一个随机现象）中进行．事件间的关系与集合间关系
2．排列与组合公式 排列与组合都是计算“从 n 个元素中任取 r 个元素”的取法总数公式． 区别：组合公式是不讲究取出元素间的次序，否则用排列公式．而所谓讲究元素间的次 序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次 序的，因为“甲右乙左”与“乙右甲左”是两件事．
7 / 85
＿
1-1-5），或用概率论的语言说“A 不发生”，即A＝Ω－A．
＿
图 1-1-5 A 的对立事件A
注意：
＿
＿
①对立事件是相互的，即 A 的对立事件是A，而A的对立事件是 A．必然事件 Ω 与不可
茆诗松概率论与数理统计1.2第一章1.2
1.2
概率的定义及其确定方法
• 例6 (会面问题)甲乙两人相约在0到T这段时间 内在某处会面. 先到的人等候另一个人, 经过时 间t(t<T)后离去. 设每人在0到T这段时间内各时刻 到达该地是等可能的, 且两人到达的时刻互不牵 连. 求甲,乙两人能会面的概率. • 解:以x,y分别表示甲乙两人到达的时刻, 那末 0xT, 0yT. 若以x,y表示平面上点的坐标，则： （1）所有基本事件可以用一边长为T正方形 内所有点表示. （2）两人能会面的条件是 |x-y|t .
n 个人
结果有点出 乎人们意料
n 20 p 0.41
365个盒子 ,则 n P{ n 个人生日各不相同 } A365n 365 n A P{ 至少有两人生日相同 } 1 365n 365 25 30 40 50 55 100 0.57 0.71 0.89 0.97 0.99 0.9999997
件次品出现在 n 次中的方式有 C n k 种 , 故由乘法
原理，共有 C n k K k ( N - K ) n-k 种取法。故 A 中基本 事件个数为Cnk Kk(N-K)n-k，因此有 n k n k K N K k P ( A) Nn k n k n K K k N 1 N , ( k 0,1,2, , n).
0.0016 0.0010 0.0009 0.0006
N
S
0.0706
0.0634
C
F
0.0268
0.0256
B
V
0.0156
0.0102
10/22
1.2
概率的定义及其确定方法
当 n 很大时,事件 A 的频率 f n ( A) 接近一个常数 ,即有
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2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.
1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.
1.1.7 事件域
定义1.1.1 设Ω为一样本空间，ℱ为Ω的某些子集所组成的集合类.如果ℱ满足：
(1) Ω∈ℱ；
(2)若A ∈ℱ，则对立事件A ∈ℱ；
(3)若A n ∈ℱ,n =1,2,…，则可列并⋃A n ∞n=1∈ℱ.
则称ℱ为一个事件域，又称为σ代数.
在概率论中，又称(Ω,ℱ)为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设Ω为一样本空间，ℱ为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈ℱ，定义在ℱ上的一个实值函数P(A)满足：
(1)非负性公理 若A ∈ℱ，则P (A )≥0；
(2)正则性公理 P (Ω)=1；
(3)可列可加性公理 若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有
P (⋃A i ∞i=1)=∑P (A i )∞
i=1
则称P(A)为事件A 的概率，称三元素(Ω,ℱ,P)为概率空间.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X(ω)称为随机变量.
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称
F (x )=P(X ≤x)
为随机变量X 的分布函数.且称X 服从F (x )，记为X~F (x ).
2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
定义2.1.4 设随机变量X 的分布函数为F (x )，如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x)，使得对任意实数x 有
F (x )=∫p(t)dt x −∞
则称X 为连续随机变量，称p(x)为X 的概率密度函数，简称为密度函数. 密度函数的基本性质
(1)非负性 p (x )≥0；
(2)正则性 ∫p(x)dx +∞−∞=1.
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及其联合分布
3.1.1 多维随机变量
定义 3.1.1 如果X 1(ω),…,X n (ω)定义在同一个样本空间Ω={ω}上的n 个随机变量，则称
X (ω)=(X 1(ω),…,X n (ω))
为n 维(或n 元)随机变量或随机向量.
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 对任意的n 个实数x 1,…,x n ，则n 个事件{X 1≤x 1},…,{X n ≤x n }同时发生的概率
F (x 1,…,x n )=P(X 1≤x 1,…,X n ≤x n )
称为n 维随机变量(X 1,…,X n )的联合分布函数.
3.4 多维随机变量的特征数
3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵
定义3.4.3 记n 维随机向量为X =(X 1,…,X n )′，若其每个分量的数学期望都存在，则称
E (X )=(E(X 1),…,E(X n ))′
为n 维随机向量X 的数学期望向量，简称为X 的数学期望，而称
E [(X −E (X ))(X −E (X ))′]=[Var(X 1)Cov(X 1,X 2)…Cov(X 1,X n )
Cov(X 2,X 1)Var(X 2)…Cov(X 2,X n )…………Cov(X n ,X 1)Cov(X n ,X 2)…Var(X n )
] 为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为Cov(X).
例 3.4.12(n 元正态分布) 设n 维随机变量X =(X 1,…,X n )′的协方差阵为B =Cov(X)，数学期望向量为a =(a 1,…,a n )′.又记x =(x 1,…,x n )′，则由密度函数
p (x 1,…,x n )=p (x )=1
(2π)n 2(detB)12
exp (−12(x −a )′B −1(x −a))
定义的分布称为n元正态分布，记为X~N(a,B).
第四章大数定律与中心极限定理
4.1 特征函数
4.1.1 特征函数的定义
定义4.1.1 设X是一个随机变量，称
φ(t)=E(e itX),−∞<t<+∞
为X的特征函数.设p(x)是随机变量X的密度函数，则
φ(t)=∫e itx p(x)
+∞
−∞
dx
4.2 大数定律
4.2.1伯努利大数定律
定理4.2.1(伯努利大数定律) 设μn为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中A出现的概率，则对任意的ε>0，有
lim n→+∞P{|
μn
n
−p|<ε}=1
4.2.2 常用的几个大数定律
4.3 随机变量序列的两种收敛性
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1(依概率收敛) 设{Y n}为一随机变量序列，Y为一随机变量，如果对任意的ε>0，有
lim
n→+∞
P{|Y n−Y|<ε}=1
则称{Y n}依概率收敛于Y，记作Y n P
→Y.
4.4 中心极限定理
4.4.2 独立同分布下的中心极限定理
定理4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设{X n}是独立同分布的随机变量序列，
且E(X i)=μ,Var(X i)=σ2>0.记
Y n∗=X+⋯+X−nμ
σ√n
则对任意实数y有
lim n→+∞P(Y n∗≤y)=Φ(y)=
1
√2π
e−
t2
2
y
−∞
dt
第五章统计量及其分布
第六章参数估计
第七章假设检验
第八章方差分析与回归分析。