概率论与数理统计教程(华东师范大学)
数学与应用数学专业(师范类)
数学与应用数学专业（师范类）培养方案学科门类: 理学专业代码: 070101一、培养目标本专业培养适应社会主义现代化建设需要、德智体全面发展、掌握数学科学的基本理论、基础知识与基本方法, 能够运用数学知识和使用计算机解决若干实际数学问题, 具备在科技、经济部门从事研究以及在高等和中等学校进行数学教学的教师、教学研究人员及其他教育工作者。
二、培养要求本专业学生主要学习数学和应用数学的基本理论和方法, 受到严格的数学思维训练, 掌握计算机的基本原理和运用手段, 并通过教育理论课程和教学实践环节, 形成良好的教师素养, 培养从事数学教学的基本能力和数学教育研究、数学科学研究、数学实际应用等基本能力。
毕业生应获得以下几方面的知识和能力:1.具有扎实的数学基础, 初步掌握数学科学的基本思想方法, 其中包括数学建模、数学计算、解决实际问题等基本能力。
2.有良好的使用计算机的能力, 能够进行简单的程序编写, 掌握数学软件和计算机多媒体技术, 能够对教学软件进行简单的二次开发。
3.具备良好的教师职业素养和从事数学教学的基本能力。
熟悉教育法规, 掌握并初步运用教育学、心理学基本理论以及数学教学理论。
4.了解近代数学的发展概貌及其在社会发展中的作用, 了解数学科学的若干最新发展, 数学教学领域的一些最新研究成果和教学方法, 了解相近专业的一般原理和知识；学习文理渗透的课程, 获得广泛的人文和科学修养。
5.较强的语言表达能力和班级管理能力。
6.掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获得相关信息的基本方法, 并有一定的科研能力。
7.具有一定的体育基本知识, 掌握科学锻炼身体的基本技能, 达到国家规定的大学生体育锻炼合格标准, 具有健康的体魄。
8.具有良好的心理素质，具有坚强的意志力，具有很好的心理自我调节能力。
9.能够比较熟练地掌握一门外语，初步具有听、说、读、写、译的能力。
三、学制和学分1.学制: 四年。
2.学分：166。
概率论与数理统计第一章概率论的基本概论.
A AB B
19
§1.1随机现象与随机事件
n
推广 称A k为 n个事 A 1,A 2件 , ,A n的积 ; 事
k1
称A k为可列 A 1,个 A 2, 事 的件 积. 事
k1
和事件与积事件的运算性质
A A A , A , A A ,
王梓坤著 科学出版社
2
第 一章 概率论的基本概念
3
第1章 概率论的基本概念
§1.1 随机现象与随机事件
一 随机现象与随机试验 自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例 “太阳从东方升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
正面、反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现. 故为随机试验. 9
§1.1随机现象与随机事件
同理可知下列试验都为随机试验.
1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. 3. 记录某公共汽车站每日 上午某时刻的等车人数.
4. 从一批灯泡中任取 一 只,测试其寿命.
1. 事件的包含与相等
若事件 A 发生必然导致 B 发生 , 则称事件 B 包含事件 A, 记作 BA 或 A B .
若事件A 包含事件B， 而且事件B 包含事件A， 则称事件A与事件B相等，记作 A=B.
图示 B 包含 A.
AB
17
§1.1随机现象与随机事件
2. 事件的和 “事件A或事件B至少有一个发生”是一个事件 ,
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
概率论与数理统计教程华东师大课件
概率论与数理统计教程华东师大课件目录一、课程概述 (2)1. 课程简介 (3)2. 教学目标 (4)3. 课程设置 (4)二、概率论基础 (5)1. 随机事件与概率 (7)1.1 随机事件 (8)1.2 概率概念 (9)2. 随机变量与分布 (10)2.1 随机变量 (11)2.2 概率分布 (12)3. 数字特征与期望 (13)3.1 数学期望 (14)3.2 方差与标准差 (15)三、数理统计基础 (16)1. 统计量与抽样分布 (17)1.1 统计量概念 (18)1.2 抽样分布概述 (20)2. 参数估计与假设检验 (21)2.1 参数估计方法 (21)2.2 假设检验原理与应用 (23)3. 方差分析与回归分析 (24)3.1 单因素方差分析 (25)3.2 回归分析概述与应用实例 (26)四、概率论与数理统计应用实例解析 (27)1. 实际问题中概率模型构建方法论述 (28)2. 典型案例分析与解题思路分享 (30)一、课程概述概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的数学基础课程，它对于培养我们的科学素养、提高分析和解决问题的能力具有重要意义。
本教程主要面向华东师范大学的本科生，旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本原理和方法，培养学生运用概率论与数理统计解决实际问题的能力。
本教程共分为五部分：概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律及中心极限定理、统计推断。
在教学过程中，我们将结合典型的例子和实际问题，引导学生理解和掌握概率论与数理统计的基本知识。
第一部分概率论基础主要包括概率的基本概念、条件概率、独立性、贝叶斯公式等内容；第二部分随机变量及其分布主要介绍离散型随机变量及其分布律、连续性随机变量及其概率密度函数、期望与方差等内容；第三部分多维随机变量及其分布主要讲解多元正态分布、多元伯努利分布等内容；第四部分大数定律及中心极限定理主要讲述大数定律的基本思想、中心极限定理的应用等内容；第五部分统计推断主要涉及假设检验、置信区间、回归分析等内容。
峁诗松 概率论与数理统计
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第三章 多维随机变量及其分布
第29页
3.2.1 边际分布函数
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则
X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第30页
3.2.2 边际分布列
(4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性) F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第6页
3.1.3 联合分布列 二维离散随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
第33页
注 意 点 (1)
由联合分布可以求出边际分布.
但由边际分布一般无法求出联合分布.
所以联合分布包含更多的信息.
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第34页
注 意 点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( )，
地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第15页
3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在 非负可积函数 p(x, y)，使得
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
华东师范大学茆诗松《概率论与数理统计教程》第7章 假设检验
“ 0 ”是否成立。这里的“判断”在统 计学中
称为检验或检验法则。
17 June 2020
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第骤
一、建立假设
在假设检验中，常把一个被检验的假设称为 原假设，用 H0表示，通常将不应轻易加以否 定的假设作为原假设。当 H0被拒绝时而接收 的假设称为备择假设，用 H1表示，它们常常 成对出现。
17 June 2020
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第七章 假设检验
第7页
三、选择显著性水平
检验可能犯以下两类错误：
➢ 其一是 H0为真但样本观测值落在拒绝域中， 从而拒绝原假设 H0，这种错误称为第一类错 误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率， 或称拒真概率，通常记为 .
➢ 其二是 H0不真（即 H1为真）但样本观测值落 在接受域中，从而接受原假设 H，0 这种错误称 为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错 误的概率,或称受伪概率，通常记为 。
说明：在样本量一定的条件下不可能找到一
个使 和 都小的检验。
英国统计学家 Neyman 和 Pearson 提出水平
为 的显著性检验的概念。
17 June 2020
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第七章 假设检验
第14页
定义7.1.2 对检验问题 H0 : 0 对 H1 : 1
如果一个检验满足对任意的 0， 都有 g( ) ,
的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该
厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于
110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金，
测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为 x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
17 June 2020
概率论与数理统计答案(华东师大魏宗舒版)
概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
新版华东师范大学应用统计专硕考研真题考研经验考研参考书
经过一年的努力奋斗终于如愿以偿考到自己期望的学校，在这一年的时间内，我秉持着天将降大任于斯人也必先苦其心志劳其筋骨饿其体肤空乏其身的信念终于熬过了这段难熬却充满期待和自我怀疑的岁月。
可谓是痛并快乐着。
在这期间，我不止一次地怀疑自己有没有可能成功上岸，这样的想法，充斥在我的头脑中太多次，明知不可想这么多，但在休息时，思想放空的时候就会凭空冒出来，难以抵挡。
这对自己的心绪实在是太大的干扰，所以在此想跟大家讲，调整好心态，无论成功与否，付出自己全部的努力，到最后，总不会有那种没有努力过而与成功失之交臂的遗憾。
总之就是，付出过，就不会后悔。
在此，我终于可以将我这一年来的所有欣喜，汗水，期待，惶惑，不安全部写出来，一来是对这一重要的人生转折做一个回顾和告别，再有就是，希望我的这些经验，可以给大家以借鉴的作用。
无论是心态方面，考研选择方面，还是备考复习方面。
都希望可以跟大家做一个深入交流，否则这一年来的各种辛酸苦辣真是难吐难吞。
由于心情略微激动了些，所以开篇部分可能略显鸡汤，不过，认真负责的告诉大家，下面的内容将是满满的干货。
只是由于篇幅过长还望大家可以充满耐心的把它看完。
文章结尾会附赠我的学习资料供各位下载使用。
华东师范大学应用统计的初试科目为：(101)思想政治理论(204)英语二(303)数学三和(432)统计学。
参考书目为：1.《统计学》贾俊平、何晓群、金勇进，中国人民大学出版，第三版。
2.《概率论与数理统计教程》茆诗松、程依明（第三版）高等教育出版社。
先聊聊英语单词部分：我个人认为不背的单词再怎么看视频也没用，背单词没捷径。
你想又懒又快捷的提升单词量，没门。
（仅供个人选择）我建议用木糖英语单词闪电版，一天200个，用艾宾浩斯曲线一个月能记完，每天记单词需要1小时（还是蛮痛苦的，但总比看真题时啥也看不懂要舒服多）。
好处在于是剔除了初高中的简单词，只剩下考研的必考词，能迅速让你上手真题。
背单词要一直从3-4月份持续到考研前几天，第一遍记完必须要在暑假前。
华东师范大学茆诗松《概率论与数理统计教程》第4章 大数定律与中心极限定理
第20页
定理4.3.4
X n L X
Xn (t) X (t)
10 October 2020
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理
第21页
辛钦大数定律的证明思路
欲证:
第四章 大数定律与中心极限定理
第1页
第四章 大数定律与中心极限定理
§4.1 特征函数 §4.2 大数定律 §4.3 随机变量序列的两种收敛性 §4.4 中心极限定理
10 October 2020
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第四章 大数定律与中心极限定理
第2页
§4.1 特征函数
特征函数是处理概率论问题的有力工具， 其作用在于：
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第四章 大数定律与中心极限定理
切比雪夫大数定律
第11页
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律.
证明用到切比雪夫不等式.
10 October 2020
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第四章 大数定律与中心极限定理
马尔可夫大数定律
第12页
定理4.2.3
若随机变量序列{Xn}满足：
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
10 October 2020
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第四章 大数定律与中心极限定理
4.3.1 依概率收敛
第16页
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的 >0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
为 X 的特征函数.
(必定存在)
注意：i 1 是虚数单位.
华东师范大学茆诗松《概率论与数理统计教程》第6章 参数估计
13 January 2016
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第六章 参数估计
第17页
解 似然函数
L( ) 1
n
I
i 1
n
{0 xi }
1
n
I{ x
( n ) }
要使L( )达到最大，首先一点是示性函数取值 n n 应该为1，其次是1/ 尽可能大。由于1/ 是 的单调减函数，所以 的取值应尽可能小，但 示性函数为1决定了 不能小于x(n)，由此给出 ˆx 。 的极大似然估计： (n)
由此即可得到a, b的矩估计：
ˆ x 3s, a
13 January 2016
ˆ x 3s b
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第六章 参数估计
第9页
6.1.2 极(最)大似然估计
定义6.1.1 设总体的概率函数为P(x; )，是参 数 可能取值的参数空间，x1, x2 , …, xn 是样本， 将样本的联合概率函数看成 的函数，用L( ; x1, x2, …, xn) 表示，简记为L( )，
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第六章 参数估计
第19页
例6.1.9 设 x1 , x2 , …, xn是来自正态总体N( , 2) 2 ， 的样本，则和 2的极大似然估计为 x , s *2 于是由不变性可得如下参数的极大似然估计，它 们是:
ˆ s*； 标准差 的MLE是
另外，由于Var(X)=1/ ，其反函数为 1/ Var( X ) 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的， 这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采 用低阶矩给出未知参数的估计。
13 January 2016
华师概率论与数理统计答案6
作业1．第25题设标准正态分布N（0，1）的分布函数为，则（）（A）（B）-（C）1-（D）1+A.；B.；C.；D..标准答案：C您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.02．第26题设P（B）>0，则在事件B已发生的条件下，事件A的条件概率定义为P(A│B)=( ) (A)(B)(C)P(A)P(B) (D)P(AB)P(B)A.；B.；C.；D..标准答案：B您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.03．第27题设来自总体N（0，1）的简单随机样本，记，则=() （A）n（B）n-1（C）（D）A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：C您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.04．第29题设样本X1,X2,...X n，来自正态总体X~N（）,其中未知，样本均值为，则下列随机变量不是统计量的为（）（A）（B）X1 （C）Min(X1,,...X n) (D)A.；B.；C.；D..标准答案：D您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.05．第30题假设样本X1,X2,...X n来自总体X,则样本均值与样本方差S2=2独立的一个充分条件是总体X服从（）。
A.二项分布B.几何分布C.正态分布D.指数分布标准答案：A您的答案：题目分数：1.0此题得分：0.06．第31题设A,B是两个随机事件，且,,,则必有（）（A）（B）（C）（D）A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：C您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.07．第32题设随机变量X~U（0，1），则它的方差为D(X)=（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/12标准答案：D您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.08．第33题设正态分布X~N（2），则P（│X-│>3）=( ) (A)0.5 (B)0.1 (C)0.05 (D)0.0027A.；B.；C.；D..标准答案：D您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.09．第34题设来自总体的简单随机样本，则（）（A）（B）（C）（D）A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：D您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.010．第35题对于任意两事件A,B（）（A）若,则A,B一定独立（B）若,则A,B有可能独立（C）若,则A,B一定独立（D）若,则A,B一定不独立A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：B您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.011．第36题如果P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(B│A)=0.6,则P(AB)=( )A.0.1B.0.2C.0.24D.0.3标准答案：D您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.012．第37题某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中的概率为（）(A)(B)(C)(D)A.见题B.见题C.见题D.见题标准答案：C您的答案：题目分数：0.5此题得分：0.013．第59题概率函数为P（X=k）=p K(1-p)1-K，k=0.1的分布称为( )（A）“0-1”分布（B）几何分布（C）超几何分布（D）泊松分布A.；B.；C.；D.。
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数学与应用数学专业（师范类）培养方案学科门类：理学专业代码：070101一、培养目标本专业培养适应社会主义现代化建设需要、德智体全面发展、掌握数学科学的基本理论、基础知识与基本方法，能够运用数学知识和使用计算机解决若干实际数学问题，具备在科技、经济部门从事研究以及在高等和中等学校进行数学教学的教师、教学研究人员及其他教育工作者。
二、培养要求本专业学生主要学习数学和应用数学的基本理论和方法，受到严格的数学思维训练，掌握计算机的基本原理和运用手段，并通过教育理论课程和教学实践环节，形成良好的教师素养，培养从事数学教学的基本能力和数学教育研究、数学科学研究、数学实际应用等基本能力。
毕业生应获得以下几方面的知识和能力：1. 具有扎实的数学基础，初步掌握数学科学的基本思想方法，其中包括数学建模、数学计算、解决实际问题等基本能力。
2. 有良好的使用计算机的能力，能够进行简单的程序编写，掌握数学软件和计算机多媒体技术，能够对教学软件进行简单的二次开发。
3. 具备良好的教师职业素养和从事数学教学的基本能力。
熟悉教育法规，掌握并初步运用教育学、心理学基本理论以及数学教学理论。
4. 了解近代数学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的若干最新发展，数学教学领域的一些最新研究成果和教学方法，了解相近专业的一般原理和知识；学习文理渗透的课程，获得广泛的人文和科学修养。
5. 较强的语言表达能力和班级管理能力。
6. 掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获得相关信息的基本方法，并有一定的科研能力。
7. 具有一定的体育基本知识，掌握科学锻炼身体的基本技能，达到国家规定的大学生体育锻炼合格标准，具有健康的体魄。
8. 具有良好的心理素质，具有坚强的意志力，具有很好的心理自我调节能力。
9. 能够比较熟练地掌握一门外语，初步具有听、说、读、写、译的能力。
三、学制和学分1. 学制：四年。
2. 学分：166。
四、学位授予授予理学学士学位。
概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第二章 ppt课件
第2页
概率论与数理统计教程华东师 大茆诗松版第二章
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6.
(2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n
(3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，……
(4) 某种型号电视机的寿命 T : [0, +)
8/4/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件.
即 {a < X b} ={；a < X() b }
8/4/2020
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第二章 随机变量及其分布
第5页
概率论与数理统
计教程华东师大
茆诗松版第二章
(3) 注意以下一些表达式：
{X = k}= {X k}{X < k}； {a < X b} = {X b}{X a}； { X > b} = {X b}.
(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.
8/4/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第6页
概率论与数理统计教
第8页
概率论与数理统计教程华东师大茆 诗松版第二章
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
8/4/2020
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华东师范大学茆诗松《概率论与数理统计教程》第5章 统计量及其分布
原因在于总体的差异上！
1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报 告指出N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓 度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
13 January 2016
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第8页
图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图
表5.1.2中的样本观测值没有具体的数值， 只有一个范围，这样的样本称为分组样本。
13 January 2016
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第14页
样本的要求：简单随机样本
要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很 好地代表总体。通常有如下两个要求：
随机性: 总体中每一个个体都有同等机会
13 January 2016
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第五章 统计量及其分布
第22页
其经验分布函数为
Fn(x) =
0， 0.2， 0.4， 0.8， 1，
x < 344 344 x < 347 347 x < 351 344 x < 347 x 355
由伯努里大数定律： 只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
13 January 2016
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第9页
表5.1.1 各等级彩电的比例(%)
等级 I II III IV
美产
33.3
33.3
27.1
33.3
4.3
0
0.3
日产 68.3
13 January 2016
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
概率论与数理统计 华东师大茆诗松版 第五章 2014
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第五章 统计量及其分布
第13页
例5.1.5 设有一批产品共N个，需要进行抽样检 验以了解其不合格品率p。现从中采取不放回 抽样抽出2个产品，这时，第二次抽到不合格 品的概率依赖于第一次抽到的是否是不合格 品，如果第一次抽到不合格品，则 P(x2 = 1 | x1 = 1) = (Np1)/(N1) 而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合 格品的概率为 P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
27 May 2014
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第19页
更深刻的结果也是存在的，这就是格里纹科定理。
定理5.2.1（格里纹科定理） 设x1,x2,…,xn是取自 总体分布函数为F(x)的样本, Fn(x) 是其经验分 布函数，当n时，有 PsupFn(x) F(x)0 = 1 格里纹科定理表明：当n 相当大时，经验分布函 数是总体分布函数F(x)的一个良好的近似。 经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据， 其理由就在于此。
E( x )=, Var( x )=2 /n, E(s2) =2
27 May 2014
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第五章 统计量及其分布
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5.3.4 样本矩及其函数
样本均值和样本方差的更一般的推广是样本 矩，这是一类常见的统计量。
定义5.3.4 ak = (xik)/n 称为样本 k 阶原点矩， 特别，样本一阶原点矩就是样本均值。 bk = (xi x)k/n 称为样本k阶中心矩。 特别，样本二阶中心矩就是样本方差。
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例5.1.4 考察某厂生产的某种电子元件的 寿命，选了100只进行寿命试验，得到 如下数据：
概率论与数理统计2-3
P ( x1 < X ≤ x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 ) = ∫ x 2 f ( x )dx 1
x
3) 对任意 P(X=x)=0. 从而对任意实数 b, (a<b), 对任意x, 从而对任意实数a, P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X <与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
定理 : 设F ( x ), f ( x )分别为连续随机变量 X的分布函数 和密度函数 .若f ( x )在点x处连续 , 那么 f ( x ) = F ' ( x ). 由该定理和注8可知 可知,若 注9 由该定理和注 可知 若F(x)除至多可数个点外有连续 除至多可数个点外有连续 导数, 导数 那么密度函数 F ' ( x ) 在F ( x )有连续导数处 f ( x) = 任意取值 其他 由注9给出的密度函数可能会有一定差异 给出的密度函数可能会有一定差异,但不影响 注10 由注 给出的密度函数可能会有一定差异 但不影响 分布函数的表示和事件概率的计算. 分布函数的表示和事件概率的计算 这种现象是概率论研 究中的一种特色, 而称这样的密度函数是几乎处处相等的, 究中的一种特色 而称这样的密度函数是几乎处处相等的 对其简单说明如下: 设有随机变量X及函数 及函数g(x),h(x),若 对其简单说明如下 设有随机变量 及函数 若 P ( X ∈ { x : g( x ) = h( x )}) = 1, 几乎处处相等. 称g(x),h(x)几乎处处相等 几乎处处相等
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概率论与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
3 几个常用的连续型分布 1) 均匀分布 设连续型随机变量X具有密度函数 设连续型随机变量 具有密度函数 1 b− a − 1 b− a , a ≤ x ≤ b, f ( x) = 其他 , 0, a b 则称X在区间 在区间[a, 上服从均匀分布 上服从均匀分布. 则称 在区间 b]上服从均匀分布 记作X ~ U (a , b ) F ( x) 分布函数为： 分布函数为： 0 , 1 x < a,
概率论与数理统计教程(华东师范大学)
称
f n ( A)
为事件A的频率.
频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值). 用频率的稳定值作为该事件的概率.
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第一章 随机事件与概率
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1.2.4 确定概率的古典方法
古典方法 设 为样本空间，若
① 只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为:
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1.2.1 概率的公理化定义
• 非负性公理： P(A)0; • 正则性公理： P(Ω)=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An …… 互不相容，则
P Ai i 1
P( A )
i i 1
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第一章 随机事件与概率
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3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 A B ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} 相容 ③ A ={x＞22}， B ={x＜19} 不相容
解：1) 先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，
所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：
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事件运算的图示
AB
AB
AB
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第一章 随机事件与概率
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德莫根公式
A B A B;
n n
A B A B
n n
Ai
i 1 i 1
Ai ;
i 1
Ai
i 1
Ai
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An
n 1
F .
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§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. • 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率. • 古典定义；几何定义.
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第一章 随机事件与概率
第一章 随机事件与概率
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概率论与数理统计
茆诗松、程依明、濮晓龙
研制
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第一章 随机事件与概率
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第一章 随机事件与概率
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 随机事件及其运算 概率的定义及其确定方法 概率的性质 条件概率 独立性
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A B A B B, AB A
A B A AB
A B A ( B A) A ( B AB )
A AB AB
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样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有
1. Ai互不相容；
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第一章 随机事件与概率
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5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AB AC BC
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
A
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概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
集合论
空间 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集
n ( A) n
称
f n ( A)
为事件A的频率.
频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值). 用频率的稳定值作为该事件的概率.
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1.2.4 确定概率的古典方法
古典方法 设 为样本空间，若
① 只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为:
2. A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
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课堂练习
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( B )， AB = ( A )
2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ③ ) ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件.
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第一章 随机事件与概率
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1.1.2 样本空间
1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性. 2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果. 3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合. 4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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例1.2.2
n 个人围一圆桌坐， 求甲、乙两人相邻而坐的概率.
解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐， 而“甲乙相邻”只有两种情况，所以 P(A) = 2/(n-1)。
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例1.2.3
n个人坐成一排， 求甲、乙两人相邻而坐的概率. (注意：请与上一题作比较)
注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
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加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
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1.2.2 排列与组合公式
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. • • • • • 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr n! r 选排列： Pn n( n 1)......( n r 1)
( n r )!
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P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
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注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
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注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并=Ω
A A
A A Ω
A
A A
A A
A
A B A B
AB
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注意点(2)
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3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 A B ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} 相容 ③ A ={x＞22}， B ={x＜19} 不相容
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例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？ 解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
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解：1) 先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，
所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：
2 2( n 2) n( n 1)
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2 n
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§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
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1.1.4 随机变量
表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z …表示.
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事件的表示
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.
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第6页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集. 5. 随机变量 表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z …表示.
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1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象. • 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
• 随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果
会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性.
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