小学奥林匹克数学 除法中的巧算试卷

除法中的巧算
（一）学习方法指导
我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。

一般有这样的公式：()()a b a n b n ÷=⨯÷⨯ 或 ()()()=÷÷÷≠a n b n n 0
如：()()123122322464÷=⨯÷⨯=÷= 或 ()()12612262632÷=÷÷÷=÷=
例1. 用简便方法计算下列各题。

（1）82525÷ （2）47700900÷
分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。

（1）82525÷
()()
=⨯÷⨯=÷=82542543300100
33
想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。

（2）47700900÷
()()
=÷÷÷=÷=477001009001004779
53
看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。

在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。

一般公式：()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷ 如：()126212262639+÷=÷+÷=+= ()126212262633-÷=÷-÷=-= 这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。

例2. 用简便方法计算。

（1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷
分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。

（1）()2501655+÷ （2）()7022134143--÷
=÷+÷=+=25051655
5033
83
=÷-÷-÷=--=7023213341432347113825
除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：
（1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除
数。

一般有：a b c a c b ÷÷=÷÷ 如：12321223÷÷=÷÷
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。

一般有：a b c a c b ⨯÷=÷⨯ 或=÷⨯b c a 如：1262122636⨯÷=÷⨯= 或：1262621236⨯÷=÷⨯=
例3. 计算下面各题。

（1）52575÷÷ （2）12858⨯÷
分析：这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。

（1）52575÷÷ （2）12858⨯÷
=÷÷=÷=52557
1057
15
=÷⨯=⨯=12885
16580
在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质： 1. 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。

一般公式：()a b c a b c ÷⨯=÷÷ 如：()126212621÷⨯=÷÷= 例5. 简便计算下面各题。

（1）()75679÷⨯
（2）126079÷÷
分析：利用以上公式计算，发现（1）被除数÷两个数的积，可以用下面公式计算： （1）()75679÷⨯ （2）126079÷÷
=÷÷=÷=75679108912
()
=÷⨯=÷=12607912606320
2. 一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。

一般的有：()a b c a b c ⨯÷=⨯÷ 如：()12621262⨯÷=⨯÷ 例6. 简便计算。

（1）720124⨯÷ （2）()12582⨯÷
分析：以上两题可以利用乘除混合运算“去括号”，或“添括号”的性质进行巧算。

（1）720124⨯÷ （2）()12582⨯÷
()
=⨯÷=⨯=7201247203
2160
=⨯÷=÷=1258210002500
3. 一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。

一般有：()a b c a b c ÷÷=÷⨯ 如：()126212624÷÷=÷⨯= 例7. 简便计算下面各题。

（1）216246÷⨯
（2）()87500010008÷÷
分析：这两题即根据小③性质去做，可“添括号”。

（1）216246÷⨯ （2）()87500010008÷÷
()
=÷÷=÷=2162462164
54
=÷⨯=⨯=8750001000887587000
以上6题都是利用乘除混合运算去括号，或添括号的性质解决的。

但要注意：我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。

如果商有余数，在使用这些运算性质时，余数是会发生变化的。

如：
()
324973246359÷⨯=÷=……
()
3249732497
36751
÷⨯=÷÷=÷=……
例8. 巧算下面各题。

（1）132639÷ （3）248681724824848⨯-⨯+⨯ （2）520125⨯ （4）999999⨯⨯
分析：以上4题，有些算式表面看起来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或转化，从而使计算简便。

另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。

（1）132639÷
()
=÷⨯=÷÷=÷=13261331326133
102334
这题我们将39分解为39133=⨯，然后按性质去做。

（2）520125⨯
()
=⨯÷=⨯÷=÷⨯=⨯=5201000852010008
5208100065100065000
此题将125转化为10008125÷= （3）248681724824848⨯-⨯+⨯ ()=⨯-+248681748
=⨯24899………………这一步将99转化为()1001-
()
=⨯-=⨯-=248100124810024824552
此题直接利用乘法分配律计算就可以。

（4）999999⨯⨯
()=-⨯⨯10001999
()=-⨯99000999………………再次转化为()101-
()
=⨯-=-=9890110198901098901890109
对接近100的两位数相乘的速算。

接近100的两位数，用被乘数减去，100减乘数的差，所得的结果作积的前两位；再用100减去被乘数的差与100减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。

或用乘数减去，100减被乘数的差，所得的结果作积的前两位，再用100减去被乘数的差与100减去乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。

我们用这种方法计算。

例9. 计算：9891⨯
分析：因为100982-=……<1>差对98而言 100919-=……<2>差对91而言 所以98989-= 或91289-=
2918⨯= 2918⨯= 所以98918918⨯= 98918918⨯= 用这种方法，有两种特例需要注意：
特例1. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积不足10时，要在这个一位数前添0，否则积变成三位数就错了。

如：9698⨯速算为：
10096410098212-=-=<><>…………差差
96294
428
-=⨯=
∴⨯=96989408
（注意8前添0）
发现：差<1>、差<2>，用第一个因数－差<2>，再用差<2>×差<1>，最后结果是第一个因数×差<2>的结果做为前两位数，差<2>×差<1>的结果做为后两位数。

如果结果为一位数，前面要添0。

特例2. 用100分别减去两个因数所得的差相乘之积大于10时，要将百位作为向前进位的数，否则积变成五位数就错了。

如：9384⨯速算为：
100937100841612-=-=<><>……差……差
931677167112
-=⨯=
∴⨯=93847812（注意百位上的1要向前进位）
［答题时间：30分钟］ 练习：
（1）9796⨯ （2）9593⨯ （3）9897⨯ （4）9992⨯ （5）8889⨯ （6）9585⨯
请做完之后，再看答案
【试题答案】
（1）9796⨯
10097310096412-=-=<><>……差……差
97493341297969312
-=⨯=∴⨯=
（2）9593⨯
10095510093712-=-=<><>……差……差
95788
5735
95938835
-=⨯=∴⨯=
（3）9897⨯
10098210097312-=-=<><>……差……差
9839523698979506
-=⨯=∴⨯=
（4）9992⨯
10099110092812-=-=<><>……差……差
9989118899929108
-=⨯=∴⨯=
（5）8889⨯
1008812100891112-=-=<><>……差……差
881177
1112132
88897832
-=⨯=∴⨯=
（6）9585⨯
100955100851512-=-=<><>……差……差
951580
15575
98858075
-=⨯=∴⨯=。