y=a(x-h)2+k的图象和性质

（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），
求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位
得到的抛物线是 。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
练习4:
相同,其对称轴与抛物线
一条抛物线的形状与抛物线
y 3x 2 y ( x 2)
2
相同,且顶点的纵坐标是4,写出这条抛物 线的解析式.
小练习:
抛物线
1 2 y x 2
开口方 向
开口向上 开口向上 开口向上 开口向上 开口向上 开口向下
对称轴
直线x=0 直线x=0 直线x=-1 直线x=1 直线x=-1 直线x=-1 直线x=h
顶点坐标
(0,0) (0,2) (-1,0) (1,-2) (-1,-2) (-1,2) (h,k)
平移方法2:
x=－1
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
y
y=2x2
4. 3. 2. 1.
(1，1)
1.
(0，0)
-3. -2 -1 0. -1
(1，0)
2.
3.
x
在同一坐标系内,画出四个抛物线的草图。
3
各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移
y = a( x - h )2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x - h )2
左右平移
y=
ax2
左 加 右 减 上 加 下 减
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状 相同，位置不同。∣a∣越大开口越小。
y
8
7
6 6
5
4 4
y 3x
2
3 2 2 1
-5 -5 -4 -3
0
-2 -1 0 -1
-2 -2
1
2
3
4
5
5
x
10
-4
2 y=a(x-h) +k的图像和性质
-6
填表
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
2
y 0.5x
2
开口向下 开口向下 开口向下
直线X=0 直线X=0 直线X=0
(0,0)
y 0.5x 1
2 y 2 ( x 2 ) 练习5：一条抛物线的形状与抛物线 相同,其顶点坐标是(-1,3),写出这个抛物线的解析式.
2 y a ( x h ) k 解:设函数解析式为
∵所求抛物线的形状与y 2( x 2)
2
相同,
∴a=-2或a=2.
又∵所求抛物线顶点坐标是(-1,3),所以h=-1,k=3 ∴这个函数的解析式为:y=2(x+1)2+3 或
x …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
再描点、连线
-4 -3 -2 -1 0 1 2 …
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
1 2
(1)抛物线 y ( x 1) 2 1
直线x=－1
1 y x
的开口方向、对称轴、顶点?
1 y ( x 1) 2 1 2
1 2 y x 1 的顶点坐标是______ (-1,0) ； 4.抛物线 2
1 2 5.抛物线 y x 1 向上平移3个单位后， 2 (-1,3)
顶点的坐标是________；
1 2 6.抛物线 y x 1 3 的对称轴是_____. x=-1 2
7．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x 轴向 ___ 右 平移____ 2 个单位，得到图像 的对称轴是直线x=3.
(0,1)
(0,-1)
y 0.5x 1
2
填表:
抛物线
开口方向 对称轴
直线X=0
顶点坐 标
(0, 0) (1, 0)
y 2x
2
开口向上
2
y 2( x 1)
开口向上 直线X=1
2
y 2( x 1)
开口向上 直线X=-1
(-1, 0)
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
练习2:对称轴是直线x= -2的抛物线是(C ) A y= -2x2-2 B y=2x2-2
C y= -2(x+2)2-2
D y= -5(x-2)2-6
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1、试分别说明将抛物线的图象通过怎 样的平移得到y=x2的图象： (1) y=(x-3)2+2 (2)y=(x+4)2－5
2.与抛物线y=－4x 2形状相同， 顶点为（2，-3）的抛物线 2-3或y= 4(x-2)2-3 y= 4(x-2) 解析式为_______________________
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下 向下
直线x=-3
直线x=1 直线x=3
( -3 , 0 )
(1,0) ( 3, 0)
上下平移
1 2 如何由 y 3 x 的图象得到 1 2 1 2 y x 3 的图象。 y x 3 、 3 3
y
5 4（0,3） 1 2 y x 3 3 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 （0,-3） 1 2 – 3 1 2 y x –4 y x 3 3 –5 3
图像的性质:开口向下,对称轴是 x=-1,顶点坐标是(-1,-1)
2 y a ( x h ) k 归纳总结:
y a( x h) k
2
的图像性质:
(1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
一般地，抛物线y a( x h) 2 k与y ax 2形状 相同 _____ ， 2 不同 位置 ____ 。把抛物线y ax 向上（下）向左（右） 平移，可以得到抛物线y a( x h) 2 k。 h、k 的值来决定。 平移的方向、距离要根据_____
y 2( x 1) 3
2
即:y=2x2 +4x+5 或y=-2x2 -4x+1
练习5 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖 直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷 水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 0=a(3－1)2＋3
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1 2 1 2 (2)抛物线 y (和 有什么关系 y? x x 1) 1 2 2
1 y x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 2 -2 y ( x 1 ) 1 平移、方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10
抛物线y a ( x h) k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； （2）对称轴是直线____ x=h ； （3）顶点坐标是（ ______ 。 h，k）
2
练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标， 最值及增减性。
1) y=2(x+3)2+5 2) y=4(x-3)2+7 3) y=-3(x-1)2-2 4) y=-5(x+2)2-6
8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向 右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个 2-1 y= -3x 单位，得到_________的图像．
9．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x 轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平 移2个单位，得到图像的顶点坐标是 (-3,-2) ______．
10.如图所示的抛物线： 0或-2 时，y=0； 当x=_____ < 当x<－2或x>0时， y_____0 ； 2 < x<0范围内时，y>0； 当x在－ _____ -1 时，y有最大值_____. 3 当x=_____
x
1.完成下列表格:
二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1
( 1 , －2 )
y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7
向上
向下
直线x=3
直线x=2
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛 物线y=4x2怎样平移得到?
函数y= (x+1)2-9的图象 是 ，开口 ，对 称轴是 ，顶点坐标是 ___，当 时，函数y有最 __值，是 ，当 x __ 时， y随x 的增大而减小，当 x 时， y随x 的增大而增大， 它可由函数__平移得到。
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1 2 例3.画出函数 y ( x 1) 1 的图像.指出它的开口方向、 2 顶点与对称轴、
解:
x
先列表
… -4 -5.5 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点
后连线.
解: 先列表
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 2 y=(x+4) 得到_____________的图像； y=(x+2)2+1 的图像， （2）把二次函数_____________ 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 2-2 y=3(x+3) 得到_____________的图像； 2 y=-3(x+6) （2）把二次函数_____________的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
左右平移
1 1 2 2 y ( x 2 ) y x 的图象得到 如何由 3 3 、 1 2
y
y ( x 2) 的图象。 3
5 x= - 2 4 x= 2 3 2 (-2,0) 1 (2,0) x –52 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 1 1 2 –1 y x 2 y x 2 – 2 3 3 –3 1 2 y x –4 3 –5
1 2 y x 2
1 2 1 2 y x 1 y ( x 1) 1 2 2
1 y ( x 1) 2 2
1 2 y x 2
1 2 y x 1 2
1 y ( x 1) 2 2
1 y ( x 1) 2 1 2
1 y ( x 1) 2 1 2
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物 线y=4x2平移得到吗?
如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 2 4
3 y ( x 3) 2 3 4
3 y ( x 5) 2 2 4
考考你学的怎么样：
1．抛物线的上下平移 （1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移３个单位， y=(x+1)2+3 得到_____________ 的图像； 2+3 y=x （2）把二次函数_____________的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
y 5x 2
2
2
y 2( x 1)
y ( x 1)2 2
y ( x 1)2 2
y 3( x 1) 2
2
y a( x h) k (a 0)
2
开口向下
练习3
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=__________
说出（1）抛物线y=2x² +3和抛物线y=2x² -3如何 由抛物线y=2x² 平移而来.
式 + －
形 向上 向下
（2）二次函数y=2(x-3)² 与抛物线y=2(x+3)² 如
何由抛物线y=2x²平移而来。
式 + －
形 向左 向右
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 k>0 上移 y=ax2 k<0 下移 左加 y=ax2 右减 y=a(x-h)2 y=ax2+k