算法设计及分析基础

算法设计与分析
The Design and Analysis of Algorithms
2019/1/21
1
LingJie/GDUT
第1章 绪 论
• 主要内容：
1.1 1.2 1.3 1.4 算法的概念 算法问题求解的基础 重要问题类型 基本数据结构×
2019/1/21
2
LingJie/GDUT
2019/1/21
21
LingJie/GDUT
1.2.6 详细表述该算法的方法
• 可以用到的工具有自然语言（nature •
language）、伪代码（pseudocode）以及程序 流程图（flow chart）等。 当对一个问题有了概要的理解后，下面的工作 就是把这个问题的想法进行细化。所谓的细化 就是把它们表示成算法的步骤。
•
2019/1/21
17
LingJie/GDUT
1.2.2 了解计算设备的能力
• 在清楚了解了问题的内容之后，下一步是确定
用于解决问题的设备的能力。目前一般使用的 计算机都是冯诺依曼（von Neumann）体系架 构的。它的一个最重要假设是，程序指令的执 行是顺序的。针对这一类计算机设计的算法被 称为串行算法（sequential algorithms）。与 之相区别的是所谓的并行计算机以及并行算法 （parallel algorithms）。指令能够并行的执行， 效率当然会大大提高，额外需要考虑的则是指 令执行顺序以及同步等问题。并行算法的设计 有相应的理论，这里仅考虑串行算法。
23 LingJie/GDUT
•
2019/1/21
1.2.8 对算法的分析
• • • •
时空的观点 发展的观点：算法的适应性（generality）最强 设计的观点：算法的设计时间最少 交流的观点：算法最容易理解（simplicity）
2019/1/21
24
LingJie/GDUT
1.2.9 为算法写代码<程序实现>
2019/1/21
19
LingJie/GDUT
1.2.4 确定合适的数据结构
• 许多程序设计的教程都提到：程序设计＝算法
＋数据结构（Programs = Algorithms + Data Structures），由此可以看出数据结构对算法 的重要性。例如在处理搜索问题时，对于仅仅 进行搜索的算法只需要用到简单的数组即可， 如果搜索后伴随着插入删除操作时，那么用链 表以及堆等复杂的数据结构的算法更加可取。
2019/1/21
3
LingJie/GDUT
2、算法的概念图
问题
算法
输入
“计算机”
输出
注意：计算机发明以前也有算法
2019/1/21
4
LingJie/GDUT
3、算法的三个要素 1).数据: 运算序列中作为运算对象和 结果的数据. 2).运算: 运算序列中的各种运算:赋 值,算术和逻辑运算 3).控制和转移: 运算序列中的控制和 转移.
2019/1/21
9
LingJie/GDUT
• 算法三：质因数分解法
第一步：找出m的所有质因数。 第二步：找出n的所有质因数。 第三步：从第一步求得的m的质因数分解式和第二步求得的n 的质因数分解式中，找出所有公因数。 第四步：将第三步找到的公因数相乘，结果为所求的 gcd(m,n) 例： m=60=2×2×3×5 n=24=2×2×2×3 公因数为 2×2×3 结果为 gcd(m,n)=12 存在问题：如何求所有的质因数/素因子？
1.1 算法的概念
1、算法概念 • 没有一个统一的严谨的定义。一般而言，对于计 算机算法的概念是这样描述的：算法是在有限步 骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的指令。 • 本书采用的定义：An algorithm is a sequence of unambiguous instructions for solving a problem=算法是求解某一问题所使用的一系列清 晰的指令。
2019/1/21
10
LingJie/GDUT
求连续素数序列的筛法 问题：求不大于n=25的质数
序列。
筛法：
-6
2 7
3 8
4 9
5 10 15 20 25
1、取 p=2，消去p的倍数。
2、取 p=3，消去p的倍数。
11 12 13 14 16 17 18 19 21 22 23 24
…
直至 p=? 结束
2019/1/21
13
LingJie/GDUT
5、算法的分类
从解法上分： • 优化算法:算法中的基本运算为逻辑运算。 • 数值算法:算法中的基本运算为算术运算。
从处理方式上分： • 串行算法:串行计算机上执行的算法。 • 并行算法:并行计算机上执行的算法。
2019/1/21
14
LingJie/GDUT
2019/1/21
20
LingJie/GDUT
1.2.5 选择算法设计技术
• 算法设计技术（algorithm design technique）
或者算法设计策略（strategy）指的是解决一 系列不同问题的通用设计思想。常用的设计技 术包括分治法（Divide and Conquer），贪婪 法（Greedy Technique），动态规划 （Dynamic Programming），回溯法 （Backtracking），分支限定法（Branch and Bound）等。
18 LingJie/GDUT
2019/1/21
1.2.3 选择精确或者近似的算法
• 解决问题下一步要考虑的是使用精确的还是近
似的算法。并不是每一个可解的问题都有精确 的算法，例如求一个数的平方根，求非线性方 程的解等。有时候一个问题有精确的解法但是 算法的执行效率很差，例如旅行家问题。因此 如果待处理的问题涉及到上述那些方面，则要 考虑是选择精确的还是近似的算法。
25 LingJie/GDUT
2019/1/21
1.3 重要问题的类型
• • • • • • • •
排序问题（Sorting） 查找/搜索问题（Searching） 串处理问题（String problems） 图论问题（Graph problems） 组合问题（Combinatorial problems） 几何问题（Geometric problems） 数值计算问题（Numerical problems） 加密问题（Encrpytion problems）
2019/1/21 8 LingJie/GDUT
求gcd(m,n)的其他算法
• 算法二：连续整数检测法
第一步：将min{m,n}赋值给t。 第二步：m除以t，如果余数为0，进入第三步，否则进入第四步。 第三步：n除以t，如果余数为0，返回t的值；否则进入第四步。 第四步：把t的值减1，返回第三步。 例：gcd(60, 24) t=min{60, 24}=24, m=60, n=24 60mod24=12≠0, t=23, 24 mod 23=1 ≠0 t=22, 24 mod 22=2 ≠0 t=21, 24 mod 21=3 ≠0 ….. t=12, 24 mod 12=0, 返回gcd(m, n)=t=12
2019/1/21
6
LingJie/GDUT
举例: 计算最大公约数的欧几里德算法
• • • • • • • • •
ALGORITHM Euclid（m，n） //计算两个整数m、n的最大公约数gcd（m，n） // 输入：非负整数m，n，其中m，n不同时为零 // 输出：m，n的最大公约数 while n ≠ 0 do r ← m mod n m ←n n ←r return m
• 目前而言，大部分的算法最后还是需要通过程 •
序语言进行实现。针对不同的问题，还需要考 虑什么样的程序语言才是最适合的，这与个人 的知识组成以及程序语言本身的特性等有关。 部分的程序语言可能需要对算法进行修改以适 应这种语言本身。例如广泛用于科学计算的 Matlab语言，它是基于矩阵的语言，提供了大 量数值计算的函数，然而它的循环计算能力相 对较弱，所以如果把算法中涉及循环的过程通 过向量的形式进行，那么最终的效率将能得到 很大的提高。
12
11
13
19 23
LingJie/GDUT
2019/1/21
求连续素数序列的筛法
Sieve(n) For p=2 to n do //设立数组A[2]~A[n] A[p]=p For p=2 to n do // if A[p]≠0, j=p*p while j<=n do A[j]=0 j=j+p i=0 // 将A中剩余的元素复制到数组L供连续输出 For p=2 to n do if A[p]≠0, L[i]=A[p] i=i+1 Return L
2019/1/21 5 LingJie/GDUT
4、算法的一般特征
1).有穷性 finiteness 算法必须在执行有穷步后终止,且每一步均在有 限时间内完成 2).确定性 definiteness 算法的每个步骤必须有明确的意义,对每种可能 的情况,算法都要给出确定的操作. 3).能行性effectiveness 算法中的每个步骤是能够实现的,算法执行结果 要达到预期目的 4).有0个或多个输入项,至少有一个输出项.
了解问题的内容
确定计算设备的能力 选择精确或者近似的算法 选择合适的数据结构 相关分析的错误 环境变化 选择算法设计技术 算法设计错误 设计算法 寻求更佳算法
确定算法错误的原因
确认算法的正确性
对该算法进行分析
算法有待改进
对算法的程序实现
图1.2 算法设计与分析的过程
2019/1/21 16 LingJie/GDUT