高中数学必修5课时作业：第1章数列11(0924091631)

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高中数学必修5北师大版 1.1 数列的概念作业(含答案)

∴a34＝.
答案：C
6．若数列{an}满足关系：an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝()
A.B.C.D.
解析：a7＝＝，a6＝＝，a5＝＝.
答案：C
7．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据前面几个数的变化规律填出后面的数，现给出一组数：，－，，－，，…，则它的第8个数应当是__________．
解析：(1)设an＝an＋b，∴a1＝a＋b＝2，①
a17＝17a＋b＝66，②
由②－①得16a＝64，∴a＝4，b＝－2，∴an＝4n－2.
(2)令4n－2＝88，得n＝∉N*，∴88不是数列{an}中的项．
11．已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝－8，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，∵a1＝－8，适合上式，∴an＝2n－10.又5＜2k－10＜8，
∴＜k＜9，∴k＝8.
答案：2n－108
10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项？
D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
解析：将选项中各通项公式写出前4项，看是否为题干中的数即可．
答案：D
3．已知数列的通项公式an＝则a2·a3等于()
A．70 B．28
C．20 D．8
解析：数列的通项公式为分段函数形式，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，故a2·a3＝20.
∴(n－1)2an－1＝(n2－1)an，
即＝＝(an－1≠0)，
∴an＝··…··a1
＝··…··a1

高中数学北师大版必修5 第一章1.1 数列的概念作业 Word版含解析

[学业水平训练]1．下列说法正确的是( )①一个数列的通项公式可以有不同的形式．②数列的通项公式也可用一个分段函数表示．③任何数列都存在通项公式，若不存在通项公式也就不是一个数列了．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案：A2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－(n －1)B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2解析：选C.数列1，3，6，10，…可写成1×22，2×32，3×42，4×52，…，故选C. 3．已知数列12，23，34，…，n n ＋1，则0.96是该数列的( ) A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C.由a n ＝n n ＋1知0.96＝n n ＋1，解得n ＝24，故选C. 4．下列说法中，正确的是( )A ．数列3，5，7，9可表示为{3，5，7，9}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C ．数列{n ＋2n }的第k 项为1＋2kD ．数列1，3，5，7，…可记为{2n ＋1}解析：选C.A 错；选项B 中数的顺序不同，表示的是不同的数列，故B 错；选项D 中数列应记为{2n －1}，故D 错．5．数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（n ＝1），n 2－2（n ≥2），则该数列的前两项分别是( ) A ．1，2 B ．2，0C ．2，2D ．2，4解析：选C.当n ＝1时，a 1＝2；当n ＝2时，a 2＝22－2＝2.6．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是该数列的第________项．解析：由题意知a n ＝2n －1，又35＝45，∴45＝2n －1，n ＝23，即35是该数列的第23项．答案：237．数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第24项为________．解析：易知该数列的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，令n ＝24，得a 24＝600.答案：6008．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n ，则10－9是此数列的第________项．解析：a n ＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ＝10－9，观察可得：n ＝9. 答案：99．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 3n ＋2， (1)求a 3；(2)若a n ＝813，求n . 解：(1)将n ＝3代入a n ＝2n 3n ＋2，得a 3＝2×33×3＋2＝611. (2)将a n ＝813代入a n ＝2n 3n ＋2，得813＝2n 3n ＋2，解得n ＝8. 10．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数，求数列{a n }的通项公式，并求a 2 014.解：设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，把a 1＝3，a 10＝21代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1. 于是a n ＝2n ＋1.a 2 014＝4 029.[高考水平训练]1．已知数列{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数为( )(1)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]； (2)a n ＝sin 2 n π2； (3)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)； (4)a n ＝1－cos n π2； (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数，0，n 为奇数. A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于(3)，将n ＝3代入，a 3＝3≠1，易知(3)不是通项公式．通过观察、猜想、辨认的办法，根据半角公式可知(2)和(4)实质是一样的．数列1，0，1，0，…的通项公式，可猜想为12＋12(－1)n ＋1，这就是(1)的形式．另外我们可以联想到单位圆与x 轴，y 轴交点的横坐标依次为1，0，－1，0，根据三角函数的定义，可以猜想通项公式为sin n π2(n ∈N ＋)，这样1，0，1，0，…的通项公式可猜想为a n ＝sin 2 n π2(n ∈N ＋)．对于(5)，易看出它不是数列{a n }的一个通项公式．综上，可知可作为数列{a n }的通项公式的有三个，即有三种表示形式．故选C.2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n －12(n ∈N ＋)，则这个数列的第4项是________，65是这个数列的第________项．解析：a 4＝42－4×4－12＝－12.令n 2－4n －12＝65，解得n ＝11或n ＝－7(舍去)．答案：－12 113．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或＝－9(舍去)，故150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去)．故从第7项开始各项都是正数．4．已知数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ∈N ＋且n ≥2都有a 1·a 2·…·a n ＝n 2.(1)求a 3＋a 5的值；(2)判断256225是不是此数列中的项； (3)试比较a n 与a n ＋1(n ≥2)的大小．解：(1)法一：∵a 1·a 2·…·a n ＝n 2对所有n ≥2的自然数都成立，且a 1＝1，∴令n ＝2，得a 1a 2＝22＝4，故a 2＝4a 1＝41＝4；令n ＝3，得a 1a 2a 3＝32＝9，故a 3＝9a 1a 2＝94；令n ＝4，得a 1a 2a 3a 4＝42＝16，故a 4＝16a 1a 2a 3＝169；令n ＝5，得a 1a 2a 3a 4a 5＝52＝25，故a 5＝25a 1a 2a 3a 4＝2516. 从而a 3＋a 5＝94＋2516＝6116. 法二：由a 1·a 2·…·a n ＝n 2(n ≥2)且a 1＝1满足上式，可得a 1·a 2·…·a n －1＝(n －1)2(n ≥2)，以上两式相除，得通项公式a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)， ∴a 3＝32（3－1）2＝94，a 5＝52（5－1）2＝2516， ∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116. (2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＝n 2（n －1）2，令256225＝n 2（n －1）2，解得n ＝16，∵n ＝16∈N ＋，∴256225是此数列中的第16项． (3)∵n ≥2，∴a n ＋1－a n ＝（n ＋1）2n 2－n 2（n －1）2＝－2n 2＋1n 2（n －1）2＜0，∴a n ＋1 ＜a n (n ≥2)．。

高中数学第一章数列课时作业1数列的概念课件必修5高一必修5数学课件

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10．在数列{an}中，an＋1＝22＋anan对所有正整数 n 都成立，且
a7＝12，则 a5＝ 1 .
解析：由 an＋1＝22＋anan，得a1n＝an1＋1－12，所以a15＝a16－12＝(a17－12)－12＝1. 所以 a5＝1.
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——能力提升类——
14．数列 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列
的( B )
A．第 127 项 B．第 128 项 C．第 129 项 D．第 130 项
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解析：将该数列的第一项 1 写成11，再将该数列分组，第一组一项，11；第二组两项，12，21；第三组三项，13，22，31；第四组四项，14，23，32，41；……容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加 1，且每组的分子从 1 开始依次增加 1，因此 89应位于第十六组中第八位．由 1＋2＋…＋15＋8＝128，得89是该数列的第 128 项．
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15．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1－an＝
1 n＋1＋
，求 n
an.
解：∵
1 n＋1＋
n
＝
n＋1－ n n＋1＋ n n＋1－
n
＝ n＋1－ n.
∴a十八页，共二十页。
当 n≥2 时，(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝ ( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)＋…＋( n－ n－1)＝ n－1.

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业含解析答案

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＝sin B ，从而tan B ＝1，又0°<B <180°，∴B ＝45°.5．(2013·湖南)在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 答案 C解析由3a ＝2b sin A ，得3sin A ＝2sin B ·sin A . ∴sin B ＝32.∴B ＝π3或2π3. 6．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 为( ) A ．3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1答案 D解析由已知得A ＝120°，B ＝C ＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 7．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，a ＝b ⇔sin2A ＝sin2BC ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．在△ABC 中，正弦值较大的角所对的边也较大答案 B解析对于B 项，当a ＝b 时，sin A ＝sin B 且cos A ＝cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，但是反过来若sin2A ＝sin2B .2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.不一定a ＝b ，∴B 选项错误．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·si nπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)． 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理，得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.11．(2012·福建)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.答案 2解析如图所示，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin45°＝3sin60°，即AC22＝332，故AC ＝ 2. 12．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案π2解析由正弦定理，得a sin ∠A ＝bsin ∠B .从而332＝3sin ∠B，即sin ∠B ＝12.∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－60°－30°＝90°.13．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________．答案3－114．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案10215．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则a (sin C －sin B )＋b (sin A －sin C )＋c (sin B －sin A )＝________.答案 0解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A .同理可得a sin C ＝c sin A 且b sin C ＝c sin B .∴原式＝0.16．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 答案 a ＝10 2 b ＝5(6＋2) B ＝105°17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a 的值．答案2解析由正弦定理，得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°. ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.18．已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．解析由正弦定理a sin A ＝csin C ，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝32. 因为∠A ＝45°，c >a ，所以∠C ＝60°或120°. 所以∠B ＝180°－60°－45°＝75° 或∠B ＝180°－120°－45°＝15°. 又因为b ＝a sin Bsin A，所以b ＝3＋1或3－1. 综上，∠C ＝60°，∠B ＝75°，b ＝3＋1 或∠C ＝120°，∠B ＝15°，b ＝3－1. ►重点班·选作题19．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解答案 D20．△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，则a ＋bR的取值范围是( ) A ．[3，23] B ．[3，23) C ．(3，23] D ．(3，23)答案 C课时作业2 正弦定理（第2课时）1．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形答案 A2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案 D3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63答案 D解析依题意得0°<B <60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.4．(2013·山东)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin B.又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A .∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°. ∴c ＝12＋32＝2.5．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B7．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 答案 D8．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 答案 A9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C10．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________．答案 211．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________．答案等边三角形12．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．答案直角三角形解析由已知条件lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ， ∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理，可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．答案 (1)3＋4310 (2)36＋935014．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状．解析由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C . 即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，即A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．15．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b2.证明 ∵左边＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2Bb2＝1a 2－1b 2－2(sin 2A a 2－sin 2B b2)，由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin 2A a 2－sin 2Bb2＝0.∴原式成立． ►重点班·选作题16．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，边长c 的取值范围是( )A ．(152，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(0,10)D ．(0，403]答案 D17．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析在△ABC 中，由正弦定理，得1sin B＝3sin2π3，解得sin B ＝12，因为b <c ，故角B 为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a ＝1.课时作业3 余弦定理1．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)．故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sin A 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14. 2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (b c)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.课时作业4 正、余弦定理习题课1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形的情况为( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定答案 B2．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116 答案 D3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析方法一在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°. ∴C ＝180°－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )． ∴已知条件可化为2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )． ∴sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二运用正、余弦定理将角的三角函数式化为边的等式．2·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2R ＝c 2R.整理，得a 2－b 2＝0，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．4．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，若a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)答案 C解析 ∵a 2<b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2>0.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0.∴A <90°.又∵a 边最大，∴A 角最大．∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A >180°. ∴A >60°，∴60°<A <90°.5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.由正弦定理，得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A ＝( )A.13 B.12 C.34 D ．0答案 C 解析∵CD 是∠C 的平分线，∴S △ACD S △BCD ＝12AC ·CD sinC 212BC ·CD sin C 2＝AC BC ＝sin B sin A ＝32. ∵B ＝2A ，∴sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2cos A ＝32.∴cos A ＝34.7．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1<c <3B ．2<c<3C.5<c <3 D ．22<c <3答案 C8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°9．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案310．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 1211．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为________．答案8155解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－cos 2A ＝158. ∴2R ＝asin A ，R ＝a 2sin A ＝8155. 12．已知△ABC 中，∠A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么BC 边长等于________．答案 7解析 ∵A ＝60°，所求为BC 边的长，而BC 即为角A 的对边，∴BC 边既非最大边也非最小边．不妨设最大边长为x 1，最小边长为x 2，由题意得：x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝323. 由余弦定理，得BC 2＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2x 1x 2cos A ＝92－2×323－2×323×cos60°＝49.∴BC ＝7.13．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝________. 答案725解析由题意得S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12，即12×8×5×sin C ＝12，则sin C ＝35. cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若b ＝a cos C 且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为13.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解析 (1)∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得sin B ＝sin A cos C . 由A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )． ∴sin(A ＋C )＝sin A cos C .∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C . ∴cos A sin C ＝0.∵0<A <π，0<C <π，∴sin C >0. ∴cos A ＝0，∴A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． (2)∵△ABC 的最大边长为12，由第(1)问知，斜边a ＝12. 又∵△ABC 的最小角的正弦值为13，∴Rt △ABC 中最短直角边长为12×13＝4.另一直角边长为122－42＝8 2. ∴S △ABC ＝12×4×82＝16 2.15．(2013·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin(2B －π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin(2B －π3)＝sin2B cos π3－cos2B sin π3＝45＋318.课时作业5 应用举例（第1课时）1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的( )A．东偏北45°10′B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′答案 C2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )A．10° B．50°C．120° D．130°答案 D3．一只船速为2 3 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A．120° B．90°C．60° D．30°答案 B4．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A．10 3 m B．100 3 mC．2030 m D．30 m答案 D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos30°，解得BC＝30.5．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为( )A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3答案 C6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B7．海上有A、B、C三个小岛，已知A、B相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是( )A．10 3 海里 B.1063海里C．5 2 海里D．5 6 海里答案 D8.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( ) A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案 A9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A．5 海里B．5 3 海里C．10 海里D．10 3 海里答案 D10．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为( )A．2 3 km B．3 2 kmC.15 kmD.13 km答案 D11．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)答案 5.212．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________m.答案 6013．已知船在A 处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C ，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，在B 处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．答案563－1214．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解析如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝ADsin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．答：山高CD 为2 186 m.15．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路分析船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC 或AB 的大小，再计算出A 到BC 的距离，将它与38海里比较大小即可．解析在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°.∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)． ∴A 到BC 的距离d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．1．一船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h 后，该船实际航行为( )A ．215 kmB ．6 km C.84 km D ．8 km答案 B 2.如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C 、D ，在某天10∶00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析在△BCD 中，∠BDC ＝30°＋60°＝90°，CD ＝1，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝ 2.在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°， ∴CDsin45°＝AC sin30°，AC ＝22.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos60°＝32，∴AB ＝62，∴船速为622＝64 千米/分钟．3.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案救船到达D 点需要1小时．解析由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB.∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时． 4.如图所示，a是海面上一条南北向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01 km)答案(1)PB＝x－12 km，PC＝18＋x km 132 7(2)17.71 km课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式( ) A ．b ＝ac B ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝c D ．c ＝ab答案 B解析由Δ＝0，得4sin 2B －4sin A sinC ＝0，结合正弦定理得b 2＝ac . 2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解答案 C解析由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，2a cos B ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析方法一由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac＝c .所以a 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b .则△ABC是等腰三角形．方法二由正弦定理，得2×2R sin A cos B ＝2R sin C ，即2sin A cos B ＝sin C .又sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C .所以sin(A －B )＝0.又0<A <π，0<B <π，则－π<A －B <π.所以有A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．讲评方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．方法二中，如果没有想到等式sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．5．(2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6答案 B解析 ∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b .∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab＝b 2＋53b 2－73b 22×53b 2＝－12.∴C ＝23π.6．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B ．4<x <30 C ．1<x <4 D ．4<x <34答案 D解析若5最大，则32＋x 2－52>0，得x >4. 若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x <34. 又2<x <8，则4<x <34.7．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．答案 45°、30°、105°解析 ∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又∵c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.答案33解析由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C . 化简得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )． ∵0<sin B ≤1，∴cos A ＝33. 9．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b .解析 (1)由a ＝2b sin A ，得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2a cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．11．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解析在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin B. ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解析 (1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A ) ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sin A＝3sin(A ＋π6)≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值是 3.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)，得sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )．故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1. ►重点班·选作题14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1．(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 A解析根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a >b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项．2．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.答案 4解析由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋7－b 2－b 22×2×7－b ＝－14，解得b ＝4.3．(2011·湖北)设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理，可得a 2＋b 2－c 2＝－ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3.4．(2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)若c 的值．解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.5．(2013·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解析 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即12≤b <1.6．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解析 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．。

高中数学必修5课时作业：第1章数列 11

§11 专题二——数列求通项时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5等于( )A.5512 B.133C ．4D ．52．在等差数列{a n }中，a 1＝－35，a 6＋a 7＋a 8＝75，则其通项公式为( ) A ．a n ＝10n ＋45 B ．a n ＝6n －24 C ．a n ＝10n －45 D ．a n ＝6n ＋243．若数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为3的等比数列，则a n 等于( )A.3n＋12 B.3n＋32C.3n－12 D.3n－324．若等比数列{a n }对于一切自然数n 都有a n ＋1＝1－23S n ，其中S n 是此数列的前n 项和，又a 1＝1，则其公比q 为( )A ．1B ．－23C.13 D ．－135．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2010等于( ) A ．－1 B ．5 C ．1 D ．－46．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1a n ＝n ＋1n，(n ∈N ＋)，则此数列是( ) A ．等差数列 B ．等比数列C．既是等差数列，又是等比数列D．既不是等差数列，也不是等比数列二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a2 015＝________.8．福娃“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a n}，则数到2008时对应的指头是________，数列{a n}的通项公式a n＝________.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)．9．设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项a n＝________.三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．{a n}的各项均为正数，且满足a n＋1＝a n＋2a n＋1，当a1＝2时，求{a n}的通项公式．11.已知等差数列{a n}的公差d不为0，设S n＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1.(1)若q＝1，a1＝1，S3＝15，求数列{a n}的通项公式；(2)若a1＝d且S1，S2，S3成等比数列，求q的值．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．一、选择题1．A 根据递推公式可得：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝5512.2．C ∵a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝75， ∴a 7＝25.a 1＝－35，∴d ＝10.∴a n ＝a 8＋(n －8)d ＝35＋10×(n －8)＝10n －45. 3．C a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n ＝－3n1－3＝3n－12.4．C a n ＋1＝1－23S n ，a n ＝1－23S n －1相减得：a n ＋1－a n ＝－23a n∴a n ＋1a n ＝13. 5．D 计算得，a 3＝4，a 4＝－1，a 5＝－5，a 6＝－4，a 7＝1，…，可得数列{a n }是以6为周期的周期数列，又知2010除以6余0，所以a 2010＝a 6＝－4.6．A 由a n ＋1a n ＝n ＋1n ，知a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×21×32×…×n n －1＝n ，故{a n }是等差数列．二、填空题 7．1 009解析：∵2a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝12.故{a n }是首项是2公差为12的等差数列．∴a 2 015＝a 1＋2 014d ＝2＋2 014×14＝1 009.8．食指 4n －1解析：注意到数1,9,17,25，…，分别都对应着大拇指，且1＋8×(251－1)＝2001，因此数到2008时对应的指头是食指．对应中指的数依次是：3,7,11,15，…，因此数列{a n }的通项公式是a n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1.9.n n ＋2＋1解析：由a n ＋1＝a n ＋n ＋1得a n ＋1－a n ＝n ＋1 ∴有a 2－a 1＝2a 3－a 2＝3……a n －a n －1＝n累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， ∴a n ＝2＋3＋…＋n ＋2＝n n ＋2＋1n ＝1也符合上式．三、解答题10．∵a n ＋1＝(a n ＋1)2，∴a n ＋1＝a n ＋1. ∴{a n }是以2为首项，公差为1的等差数列． ∴a n ＝2＋(n －1)×1. ∴a n ＝(n ＋2－1)2.11．(1)由题设知，S 3＝a 1＋(a 1＋d )q ＋(a 1＋2d )q 2.将q ＝1，a 1＝1，S 3＝15代入上式，解得d ＝4.所以，a n ＝4n －3，n ∈N *. (2)当a 1＝d 时，S 1＝d ，S 2＝d ＋2dq ，S 3＝d ＋2dq ＋3dq 2.因为S 1，S 2，S 3成等比数列，所以S 22＝S 1S 3，即(d ＋2dq )2＝d (d ＋2dq ＋3dq 2)．注意到d ≠0，整理得q 2＋2q ＝0.因为q ≠0，解得q ＝－2.12．(1)法一：因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0.所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．法二：∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝2·2n －1＝2n，即a n ＝2n－1.。

[北师大版]2021-2021学年高中数学必修5全套课时作业(含答案)

[北师大版]2021-2021学年高中数学必修5全套课时作业（含答案）第一部分课时作业第一章数列§1 数列的概念时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．下列说法中，正确的是( ) A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C．数列{n＋1n}的第k项为1＋1k D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}2．已知数列3，9，15，21，…，那么9是这个数列的第( ) A．12项B．13项 C．14项 D．15项3．已知数列{an}的通项公式为an＝15－2n，在下列各数中( )不是{an}的项．( A．－1 B．1 C．2 D．34．已知数列{a}中的首项a11n1＝1，且满足an＋1＝2an＋2n，则此数列的第三项是( A．1 B.12C.34D.585．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( ) A. an＝2n－1 B. ann＝(－1)(2n－1) C. an＋1n＝(－1)(2n－1)D. ann＝(－1)(2n＋1)6．以下四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项( )) )A．380 B．39 C．32 D．23二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．数列{an}的通项公式an＝n＋2，则a3＝________，a5＝________. n21nn＋1，则是这个数列的第________项．120n8．已知数列{an}的通项公式为an＝9．已知数列{an}的通项公式为an＝999…n个99，则an＝10－1，那么数列{bn}的通项公式bn＝888…n个88可化为bn＝________.三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 3456(1)，，，，…； 581114(2)1，－2,3，－4，…； (3)0.9,0.99,0.999,0.9999，….11.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)88是否是数列{an}中的项．?9n－9n＋2??. 已知数列?2?9n－1?2(1)求这个数列的第10项；98(2)是不是该数列中的项，为什么？ 101(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．一、选择题1．C 数列与集合不同，不能用集合表示数列，故A错；由数列定义知B错；数列中的n表示项数，即n∈N＋，∴n≠0，故D错；当n＝k时，n＋1k＋11＝＝1＋， nkk1∴ak＝1＋. ak2．C 由所给出的前4项，可归纳出通项公式为an＝3．C114．C ∵a1＝1，an＋1＝an＋，22n11113∴a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝，故选C.222445．C ∵奇数项为正，偶数项为负，∴用(－1)用2n－1表示，∴an＝(－1)n＋1n＋1n－，令an＝9得n＝14.表示，各项绝对值1,3,4,7,9为奇数，(2n－1)．故选C.6．A n(n＋1)是这个数列的通项公式，即an＝n(n＋1)．∵380＝19×20＝19×(19＋1)，∴380是该数列中的第19项，或者令n(n＋1)＝380，得n＝19，是个整数，符合题意．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中数学北师大版必修5课时作业：第1章数列章末检测 Word版含答案

第一章章末检测班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1，(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．22．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 2＋a 6＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．283．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C ．36D ．484．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 165．设数列{a n }是等差数列且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5＝S 6 B ．S 5＝S 8 C ．S 7＝S 5 D ．S 7＝S 66．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( ) A. －16 B. 16 C. 31 D. 327．在等比数列{a n }中，若a 4a 7＋a 5a 6＝20，则此数列的前10项之积等于( ) A ．50 B ．2010C ．105D ．10108．数列12，24，38，…，n2n ，…的前n 项和为( )A ．2－n ＋22nB ．1－12nC ．n (1－12n )D ．2－12n －1＋n 2n 9．在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，则( )A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．b ，a ，c 依次成等差数列C ．a ，c ，b 依次成等差数列D ．a ，b ，c 既成等差数列，也成等比数列10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 12．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2·a 8＝2，则a 11a 7＝________. 13．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3…)．求证：数列{S n n}是等比数列．15．等差数列{a n }中a 7＝4，a 19＝2a 9， (1)求{a n }的通项公式． (2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .16．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－3n ，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.17．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．18．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求证：数列{a n2n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n2n >2n －3.一、选择题1．A 由递推关系得：a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.2．A3．D 设公差为d ，由 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12S 4＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝124a 1＋6d ＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝3⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.4．B 由a n a n －1＝16n，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4.∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0，∴q >0.∴q ＝4.5．C 由题意知a 1＋3d ＝－4，a 1＋8d ＝4， ∴5d ＝8，d ＝85，a 1＝－445.∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝85n －525，S 5＝5a 1＋a 52＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤－445＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1252＝－28，S 7＝7a 1＋a 72＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫－445＋452＝－28.6．B 因为S 4＝2a n －1(n ∈N *)，则a n ＝2a n －1，且a 1＝1，故a 5＝24＝16. 7．C8．A S n ＝12＋24＋38＋…＋n2n ，①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② 由①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝121－12n1－12－n2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.9．A ∵a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，∴a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，∴12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A )＝32b ， ∵a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴12(a ＋c )＋12b ＝32b . ∴a ＋c ＝2b ，∴a ，b ，c 依次成等差数列．10．B 由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 3＝105，即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99得3a 4＝99，即a 4＝33，∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0得n ＝20，故选B.二、填空题 11．2解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }单调递增，得q ＞1，∴q ＝2. 12．2解析：由等比数列的性质有a 2·a 8＝a 3a 7＝2，∵a 3＋a 7＝3，∴a 3，a 7是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a 7＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 7＝1，(舍)，∴a 11a 7＝a 7a 3＝2. 13．1 0解析：依题意，得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.∴应填1,0. 三、解答题14．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＝2(n ＋1)S n ，所以S n ＋1n ＋1＝2S n n .故{S nn}是以2为公比的等比数列． 15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d∵a 7＝4，a 19＝2a 9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝2a 1＋8d解得：a 1＝1，d ＝12，∴a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋12.(2)∵b n ＝1na n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 16．解：当a n ＝10－3n ≥0时，n ≤3，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a n n ≤3a 1＋a 2＋a 3－a 4－…－a nn ≥4＝⎩⎪⎨⎪⎧n a 1＋a n 2n ≤32a 1＋a 2＋a 3－a 1＋a 2＋…＋a n n ≥4＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n 2＋17n2n ≤3，3n 2－17n ＋482n ≥4.17．解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．18．解：(1)∵a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴数列{a n 2n }是等差数列，且公差d ＝1，首项a 121＝12.(2)由(1)得a n 2n ＝12＋(n －1)·1＝n －12，∴a n ＝(n －12)·2n.(3)∵S n ＝12×21＋32×22＋52×23＋…＋(n －12)·2n，∴2S n ＝12×22＋32×23＋52×24＋…＋(n －12)·2n ＋1，两式相减得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(n －12)·2n ＋1＝2＋22＋23＋…＋2n －(n －12)·2n ＋1－1＝21－2n1－2－(n －12)·2n ＋1－1＝(3－2n )·2n－3，得S n ＝(2n －3)·2n＋3>(2n －3)·2n，∴S n2n >2n －3.。

新版高中数学北师大版必修5习题第一章数列1.2.2.1

2.2 等差数列的前n 项和第1课时等差数列的前n 项和课时过关·能力提升1.等差数列{a n }的各项都是负数,且a 32+a 82+2a 3a 8=9,则它的前10项和S 10等于( ) B.9 C.15 D.13a 32+a 82+2a 3a 8=9,(a 3+a 8)2=(a 1+a 10)2=9.∵a n <0,∴a 1+a 10<0.∴a 1+a 10=3,∴S 10=10(a 1+a 10)2=15.n 为数列{a n }的前n 项和,若满足a n =a n 1+2(n ≥2),且S 3=9,则a 1等于( )B.3C.1D.1a n =a n 1+2(n ≥2),a n a n 1=2(n ≥2),∴{a n }是公差为2的等差数列.∵S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=9,∴a 2=3.a 1=a 2d=32=1.{a n }满足a 5=11,a 12=3,{a n }的前n 项和S n 的最大值为M ,则lg M 等于( )B .2C .10D .100{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }的前9项和S 9等于( ) B.99 C.144 D.297a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,得3a 4=39,3a 6=27,解得a 4=13,a 6=9,所以S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=)2=99. 5.在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+6,则数列{a n }的前11项和S 11等于( )B.48C.66D.132{a n }的公差为d ,则由a 9=12a 12+6,得a 1+8d=12(a 1+11d )+6,整理得a 1+5d=12,即a 6=12,所以S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=11×12=132.n ,a 10=33,a 2=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 202S 10等于( )A.40B.200D.20202S 10=20(a 1+a 20)22×10(a 1+a 10)2=10(a 20a 10)=100d.a 10=a 2+8d ,∴33=1+8d ,∴d=4. S 202S 10=400.★7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则S 1a 1,S 2a 2,…,S 15a 15中最大的项为( ) A.S 1a 1 B.S 15a 15C.S 8aD.S 9a 9 S 15>0,∴a 1+a 15=2a 8>0,a 8>0.∵S 16<0,∴a 1+a 16<0,∴a 8+a 9<0,∴a 9<0,∴S 8最大.又a 1>a 2>a 3>…>a 8>0>a 9>…,∴S 1a 1,S 2a 2,…,S 15a 15中最大的项为S8a 8.{a n }的前n 项和S n =n 2+n ,则它的通项公式为a n = .n=1时,a 1=S 1=2;n ≥2时,a n =S n S n 1=(n 2+n )[(n 1)2+(n 1)]=2n.∵a 1=2也符合上式,a n =2n.n {a n }的前n 项和为S n ,若a 1=11,a 4+a 6=6,则当S n 取最小值时,n 等于 .n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= .{a n }的公差为d ,则S 3=3a 1+3×22d=3a 1+3d=3, 即a 1+d=1. ① S 6=6a 1+6×52d=6a 1+15d=24, 即2a 1+5d=8. ② 联立①②两式,解得a 1=1,d=2,a 9=a 1+8d=1+8×2=15.{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n+1,求数列{a n }的通项公式.,得S n +1=2n+1,则S n =2n+11.所以当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n S n 1=(2n+11)(2n 1)=2n . 又当n=1时,3≠21,故a n ={3,n =1,2n ,n ≥2.★12.甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m .(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那?设甲、乙开始运动n min 后第一次相遇,依题意,有2n+n (n -1)2+5n=70. 整理得n 2+13n 140=0,解得n=7或n=20(舍去).故甲、乙开始运动7 min 后第一次相遇.(2)设m min 后第二次相遇,依题意有2m+m (m -1)2+5m=3×70, 整理得m 2+13m 420=0.解得m=15或m=28(舍去).故开始运动15 min 后第二次相遇.。

高中数学北师大版必修5 第一章1.1 数列的概念作业 Word版含解析

[学业水平训练]．下列说法正确的是( )①一个数列的通项公式可以有不同的形式．②数列的通项公式也可用一个分段函数表示．③任何数列都存在通项公式，若不存在通项公式也就不是一个数列了．．①②．①③．②③．①②③答案：．数列，，，，…的一个通项公式是( )．＝－(－) ．＝－．＝．＝解析：选.数列，，，，…可写成，，，，…，故选.．已知数列，，，…，，则是该数列的( )．第项．第项．第项．第项解析：选.由＝知＝，解得＝，故选.．下列说法中，正确的是( )．数列，，，可表示为{，，，}．数列，，－，－与数列－，－，，是相同的数列．数列{}的第项为＋．数列，，，，…可记为{＋}解析：选错；选项中数的顺序不同，表示的是不同的数列，故错；选项中数列应记为{－}，故错．．数列的通项公式是＝则该数列的前两项分别是( )．，．，．，．，解析：选.当＝时，＝；当＝时，＝－＝.．已知数列，，，，…，，…，则是该数列的第项．解析：由题意知＝，又＝，∴＝－，＝，即是该数列的第项．答案：．数列×，×，×，×，…的第项为．解析：易知该数列的通项公式为＝(＋)，令＝，得＝.答案：．数列{}的通项公式为＝，则－是此数列的第项．解析：＝＝－＝－，观察可得：＝.答案：．已知数列{}的通项公式为＝，()求；()若＝，求.解：()将＝代入＝，得＝＝.()将＝代入＝，得＝，解得＝.．已知数列{}中，＝，＝，通项是项数的一次函数，求数列{}的通项公式，并求.解：设＝＋(≠)，把＝，＝代入得解得于是＝＋＝.[高考水平训练]．已知数列{}的前四项分别为，，，，则下列各式可作为数列{}的通项公式的个数为( )()＝[＋(－)＋]；()＝；()＝[＋(－)＋]＋(－)(－)；()＝π)；()＝．．．．解析：选.对于()，将＝代入，＝≠，易知()不是通项公式．通过观察、猜想、辨认的办法，根据半角公式可知()和()实质是一样的．数列，，，，…的通项公式，可猜想为＋(－)＋，这就是()的形式．另外我们可以联想到单位圆与轴，轴交点的横坐标依次为，，－，，根据三角函数的定义，可以猜想通项公式为(∈＋)，这样，，，，…的通项公式可猜想为＝(∈＋)．对于()，易看出它不是数列{}的一个通项公式．综上，可知可作为数列{}的通项公式的有三个，即有三种表示形式．故选.．已知数列{}的通项公式＝－－(∈＋)，则这个数列的第项是，是这个数列的第项．解析：＝－×－＝－.令－－＝，解得＝或＝－(舍去)．答案：－．数列{}的通项公式为＝－＋.()这个数列的第项是多少？()是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？()该数列从第几项开始各项都是正数？解：()当＝时，＝－×＋＝－.()令＝，即－＋＝，解得＝或＝－(舍去)，故是这个数列的第项．()令＝－＋＞，解得＞或＜(舍去)．故从第项开始各项都是正数．．已知数列{}中，＝，对所有的∈＋且≥都有··…·＝.()求＋的值；()判断是不是此数列中的项；()试比较与＋(≥)的大小．解：()法一：∵··…·＝对所有≥的自然数都成立，且＝，∴令＝，得＝＝，故＝＝＝；令＝，得＝＝，故＝＝；令＝，得＝＝，故＝＝；令＝，得＝＝，故＝＝.从而＋＝＋＝.法二：由··…·＝(≥)且＝满足上式，可得··…·－＝(－)(≥)，以上两式相除，得通项公式＝(≥)，∴＝＝，＝＝，。

北师大版高中数学必修五本章练测：第一章数列(含答案解析).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第一章数列（北京师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.等差数列{ }的前n 项和为，＝－18，＝－52，等比数列{ }中， = ， = ，则的值为A.64B.－64C.128D.－1282.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( ) A.(－72,+∞) B.(0,+∞)C.(－2,+∞)D.(－3,+∞) 3.设数列{ }是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{ }是以1为首项，2为公比的等比数列，则 = A.1033B.1034C.2057D.20584.等比数列{ }的前n 项和为， =1，若4 ，2 ，成等差数列，则＝A.7B.8C.16D.155.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项.A ．2B ．4C ．6D ．8 6.在ABC ∆中,tan A 是以－4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对 7.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则31lo gl oa a +++3l o g a =（） A.12 B.10C.31log 5+D.32log 5+ 8.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（） A.513B.512 C.510D.82259.已知数列｛｝的通项公式为 =1(1)n -- •(4n －3),则它的前100项之和为( ) A.200 B.－200 C.400 D.－40010.若数列{ }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为 ( ) A.－1,1,3 B.2,1,3 C.6,1,3 D.2,3,611.等差数列｛｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（）A.a 7B.a 8C.a 9D.a 10 12.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（） A.)41(16n -- B.)21(16n -- C.)41(332n -- D.)21(332n --二、填空题（每小题4分，共16分）13.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =_________.14.在数列{ }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则 =_________.15.等比数列{}n a 的前n 项和为21n-，则数列{}2na 的前n 项和为______________.16.等差数列{ }的前n 项和为，且 - =8，+ =26.记 =，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ， ≤M 都成立，则M 的最小值是.三、解答题（本大题共6题，共74分）17.有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数.18.在数列{ }中， =，并且对任意n ∈ ，n≥2都有 = - 成立，令 =（n ∈ ）.（1）求数列{ }的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和 .19.已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n项和，=2，5=2.（1）求{}和{}的通项公式；（2）设=++…+，求.20. 互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列.21.已知数列{a n }满足a 1=1,1n a +=2a n +1(n ∈N *).（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足114b -•214b -•…•14n b -=(1)n b n a + (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列.22.已知函数f （x ）=-2x 2+22x ，数列{ }的前n 项和为，点（n ，）（n ∈ ）均在函数y =f （x ）的图象上.（1）求数列{ }的通项公式及前n 项和；（2）存在k ∈ ，使得++…+<k 对任意n∈ 恒成立，求出k 的最小值.第一章数列（北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13. ； 14. ；15.；16..三、解答题17.18.19.20.21.22.第一章数列（北京师大版必修5）参考答案1.B解析：因为＝（+）=9=-18，=（+）=13=-52，所以=-2，=-4.又=，=，所以=2，=·=-4×16=-64.2.D 解析：由｛a n ｝为递增数列得1n a +－a n =2n +1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立，只需λ＞(－2n －1)max =－3,故选D.3.A 解析：由题意知 =n +1， = ，则 = +1，所以 + +…+ =10+=1033.4.D 解析：设公比为q ，则4 ，2 q ，成等差数列，∴4q =4+ ，∴q =2， ∴ =（）=16-1=15.5.B 解析：由题意得 ,得x =-1或x =-4, 当x =-1时，2x +2=0，故舍去，所以,所以-13，所以n =4.6.B 解析：设等差数列为｛a n ｝，公差为d ,则 =-4, =4,所以d =2，所以设等比数列为｛b n ｝，公比为q ，则, =9,所以q =3，所以所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.7.B 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5103563log ()log (3)10a a ===.8.C 解析：332112131(1)18,()12,,2,22q a q a q q q q q q ++=+====+得或而q ∈Z ,∴q =2,-2=510.9.B 解析：S 100=a 1+a 2+…+a 100=1－5+9－13+17－…+(4×99－3)－(4×100－3)=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－3)－(4×100－3)］=－4×50=－200.10.B 解析：当n =1时，a 1=S 1=12－2×1+3=2;当n =2时，由S 2=a 1+a 2=22－2×2+3=3,得a 2=1;当n =3时，由S 3=a 1+a 2+a 3=32－2×3+3=6,得a 3=3.11.C 解析：由S 5＝S 11 得2a 1＋15d ＝0.又a 1＞0，所以d ＜0．而2 ＝2a 1＋2（n －1）d ＝（2n －17）d ＜0，所以2n －17＞0，即n ＞8.5．12.C 解析： 41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a )41(332n --.13.)2(:1:4- 解析：22222,2,(2),540a cbc b a a b c b a a a b b +==-==--+=，又,4,2a b a b c b≠∴==-. 14.3n 2解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2.15.413n -解析：1121121,21,2,4,n n n n n n n n S S a a ----=-=-==21144-11,4,=143n n n a q S -==∴=-. 16.2 解析：∵{ }为等差数列，由 - =8， + =26，得a 1=1，d =4，可解得 =2 -n ，∴ =2-.若 ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需的最大值≤M 即可. 又 =2-<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2.17.解：设这四个数为，a ，aq ，2aq －a ,则216,(2)36,a a aq qa aq aq a ⎧=⎪⎨⎪++-=⎩①② 由①，得a 3=216,a =6, ③将③代入②，得q =2 , ∴ 这四个数为3，6，12，18.18.解：（1）当n =1时， ==3.当n ≥2时，由 = －，得－=1，所以－ =1.所以数列{ }是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列{ }的通项公式为 =n +2. （2）因为== (－)，=(1－ +－ +－+…+－ + － )= [ －( +)]=. 19.解：（1）设{ }的公比为q ，由 = ，得q =4，所以 = .设{ }的公差为d ，由5 =2 及 =2得d =3，所以 = +（n -1）d =3n -1.（2）因为 =1×2+4×5+ ×8+…+ （3n -1），① 4 =4×2+ ×5+…+ （3n -1），②由②-①，得3 =-2-3（4+ +…+ ）+ （3n -1）=2+（3n -2）· . 所以 =(n -)· +.20.解：设这三个数为，a ，aq ，∴ =－8，即a =-2，∴这三个数为－，－2，－2q .（1）若－2为－和－2q 的等差中项，则+2q =4，∴ －2q +1=0，∴q =1，与已知矛盾；（2）若－2q 为－与－2的等差中项，则+2=4q ，∴2 －q －1=0，∴q =－或q =1（舍去），∴这三个数为4，1，－2；（3）若－为－2q 与－2的等差中项，则2q +2=，∴ +q －2=0，∴q =－2或q =1（舍去），∴这三个数为4，1，－2.综合（1）（2）（3）可知，这三个数排成的等差数列为4，1，-2. 21.（1）解: ∵ =2 +1（n ∈ ），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n a a +， {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.12.n n a ∴+=即 -1（ ).（2）证法1：12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③21(1)20.n n nb n b ++-++=④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+=即2120,n n n b b b ++-+= , 故{b n }是等差数列.22.解：（1）因为点（n ，）（n ∈ ）均在函数y =f （x ）的图象上，所以 =-2 +22n .当n =1时， = =20;当n ≥2时， = - =-4n +24. 所以 =-4n +24（n ∈ ）.（2）存在k ∈ ，使得 + +…+<k 对任意n ∈ 恒成立，只需k >，由（1）知 =-2 +22n ，所以＝-2n+22=2（11-n）.当n<11时，>0；当n=11时，=0；当n>11时，<0. 所以当n=10或n=11时，++…+有最大值是110.所以k>110.又因为k∈，所以k的最小值为111.。

2020_2021学年高中数学第一章数列综合测试课时作业含解析北师大版必修5

单元综合测试一(第一章)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知实数－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( C ) A ．－4 B ．±4 C ．－2 2D ．±2 2解析：因为y 2＝xz ＝(－1)×(－2)＝2，所以y ＝－2(y ＝2不合题意，舍去)，所以xyz ＝－2 2.2．有穷数列1,23,26,29，…，23n ＋6的项数是( C )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2解析：此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差d ＝3，设3n ＋6是第x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以x ＝n ＋3.故选C.3．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( B )A ．90B ．100C ．145D ．190解析：设公差为d ，所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，因为d ≠0，所以d ＝2，从而S 10＝100.4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( B ) A.152 B.314 C.334D.172解析：a 2a 4＝a 23＝1，∴a 3＝1，∵S 3＝7，∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2S 3＝a 11－q 31－q ，∴两式相比q 2＋q ＋1q 2＝7，∴q ＝12或q ＝－13(舍去)，即a 1＝4.∴S 5＝a 11－q 51－q ＝314，故选B.5．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的通项公式a n 为( C )A ．2n －1 B ．2n －1＋1C ．2nD ．2n＋1解析：据题意得a n －2a n －1＝0，即a n ＝2a n －1，所以a n ＝2×2n －1＝2n.6．已知数列{a n }中，a 1＝b (b >0)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ∈N ＋)，能使a n ＝b 的n 可以等于( C ) A ．14 B ．15 C ．16D ．17解析：由题可知，a 1＝b ，a 2＝－1b ＋1，a 3＝－1－1b ＋1＋1＝－b ＋1b ，a 4＝－1－b ＋1b＋1＝b . 所以数列{a n }是以3为周期的周期数列，观察四个选项可知C 正确．7．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，下列选项中不可能是{S n }的图像的是( D )解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N ＋)，则其对应函数y ＝ax 2＋bx 的图像是过原点的一条曲线．当a ＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C ；当a ≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A ，B ；选项D 中的曲线不过原点，不符合题意．选D.8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n为等差数列的实数λ等于( C )A ．2B ．5C ．－12D.12解析：a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12.9．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( C )A ．6B ．7C ．48D ．49解析：将通项公式变形得a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，故n ＝48. 10．对于正项数列{a n }，定义G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na nn为数列{a n }的“匀称”值．已知数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，则该数列中的a 10等于( D )A ．2 3 B.45 C ．1 D.2110解析：因为G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na nn，数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋2)，① 所以n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)·(n ＋1)，②①－②得na n ＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1n，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝G 1＝3满足上式．所以a n ＝2n ＋1n ，a 10＝2110.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝16；前8项的和S 8＝255(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 11－q 81－q ＝1·1－281－2＝255.12．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为1941. 解析：a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝2a 62b 6＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941. 13．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝1，S n ＝14(n 2＋n )．解析：由a 1＝12，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3－a 2＝12，∴{a n }是以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列．∴a n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∴a 2＝1，S n ＝n 2(a 1＋a n )＝14n 2＋14n ＝14(n 2＋n )．14．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝12.解析：因为a n ＋1＝11－a n ，所以a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. 所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12. 15．给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为405.a 11 a 12 … a 19 a 21 a 22 … a 29… … … …a 91 a 92 … a 99解析：S ＝(a 11＋…＋a 19)＋…＋(a 91＋…＋a 99)＝9(a 15＋a 25＋…＋a 95)＝9×9×a 55＝405. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }(n ∈N ＋)满足a 1＝2，a 3＝6. (1)求该数列的公差d 和通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ≥2n ＋12，求n 的取值范围．解：(1)由题意得d ＝a 3－a 12＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ，n ∈N ＋. (2)S n ＝a 1＋a n2×n ＝n 2＋n ，由S n ≥2n ＋12，解得n ≥4或n ≤－3. 所以n ≥4且n ∈N ＋.17．(本小题满分12分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和为b 11－q n 1－q＝4(1－3n)．18．(本小题满分12分)数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．解：(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N ＋)，又a 1＝13，故a n ＝(13)n(n ∈N ＋)，从而S n ＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n](n ∈N ＋)． (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327，由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得， 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 19．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式．(2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，a 1＝2符合上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2，设{b n }的公比为q ，则b 1＝2，b 2＝12，∴q＝14， ∴b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1. (2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)·4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)·4n，两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]，∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．20．(本小题满分13分)某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元．今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造．预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(今年记为第一年)的利润为500⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 万元(n 为正整数)． (1)设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(需扣除技术改造资金)，求A n 、B n 的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：(1)依题意，设A n ＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n )＝490n －10n 2；B n ＝500[(1＋12)＋(1＋122)＋…(1＋12n )]－600＝500n －5002n －100. (2)B n －A n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫500n －5002n －100－(490n －10n 2)＝10n 2＋10n －5002n －100＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋1－502n －10.∵函数y ＝x (x ＋1)－502x －10在(0，＋∞)上为增函数，当1≤n ≤3时，n (n ＋1)－502n －10≤12－508－10<0，即B n <A n ；当n ≥4时，n (n ＋1)－502n －10≥20－5016－10>0，即B n >A n .∴当n ≥4时，B n >A n .故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．21．(本小题满分14分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N ＋)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n －22n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若2T n >m －2对任意n ∈N ＋恒成立，求正整数m 的最大值．解：(1)因为S n ＝12na n ＋a n －c ，所以当n ＝1时，S 1＝12a 1＋a 1－c ，解得a 1＝2c .当n ＝2时，S 2＝a 2＋a 2－c ，即a 1＋a 2＝a 2＋a 2－c . 解得a 2＝3c ，所以3c ＝6，解得c ＝2.则a 1＝4，数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2. (2)因为b n ＝a n －22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①12T n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1，② 由①－②可得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，所以T n ＝2－2＋n 2n .因为T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2＋n ＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫2－2＋n 2n ＝n ＋12n ＋1>0，所以数列{T n }单调递增，T 1最小，最小值为12.所以2×12>m －2.所以m <3，故正整数m 的最大值为2.。

(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试(包含答案解析)

一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40423．已知数列{}n a 是等比数列，满足51184a a a =，数列{}n b 是等差数列，且88b a =，则79b b +等于（）A ．24B ．16C ．8D ．44．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．65．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（） A ．5B ．6C ．7D ．87．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（） A ．2B ．3C ．269D ．2598．已知等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，则数列{}n a 的前6项之和等于（） A ．11 B ．12 C ．24D ．369．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（）A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（） A ．2B ．3C ．4D ．512．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．设数列{}n a 中12a =，若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=，且10101b =，则2020a =__. 15．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中， 122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________16．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则2020a =__.17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ﹣1是a n 和S n 的等比中项，设1(1)(21)n n n b n a +=-⋅+，则数列{b n }的前100项和为_____.18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，则数列{1nS }的前n 项和为_____．19．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =______. 20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．已知数列{}n a 满足：*111,21,n n a a a n n N +=-=-∈（1）证明{}n a n +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设21,n n n n b S a n+=+为数列{}n b 的前n 项和，求n S 22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足332S a =，8522a a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记121n n n n b a a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．已知等比数列{}n a 的公比不为1，且11a =，32a 是23a 与4a 的等差中项. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足()()1211nn n n a b a a +=++，求数列{}n b的前n 项和n T .24．已知正项等比数列{}n a ，首项13a =，且13213,,22a a a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}nb 满足3321log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．在数列{}n a 中，已知12a =，且12(1)(1)n n na n a n n +=+-+，*n ∈N . （1）设1nn a b n=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =．（1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．B解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><，由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040．故选：B ．【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3．C解析：C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算．【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴2511884a a a a ==，又80a ，∴84a =，又{}n b 是等差数列，∴7988228b b b a +===．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键．对正整数,,,m n p l ，若m n p l +=+，{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =，特别地若2m n p +=，{}n a 是等差数列，则2m n p a a a +=，若{}n a 是等比数列，则2m n p a a a =．4．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解．【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =，故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．5．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a qa ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nn S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ．【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-，所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=，解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案. 【详解】解：因为等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===. 故数列{}n a 的前6项之和等于36. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和公式，考查运算能力，是中档题.9．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q--+÷==--+，所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+，所以242a a +=，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.10．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.11．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34，则a 1=2. 本题选择A 选项.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n na a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+，又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-= 又11113S a ==所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列，所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为：2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析：【分析】由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=，进而由累乘法可得202020192018201711ab b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列{}n b 满足1n n n a a b +=，即1n n na b a +=，则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而数列{}n b 为等比数列，则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==，则202011a a =，又由12a =，则20202a =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题.15．320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数解析：320 【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式，即可求出1b ，2b ，即可得{}n b 通项，再利用等比数列前n 项和公式求4S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2161850a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩ ， 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ，所以128b a ==，2123108624b a a a =+=++=+，所以数列{}n b 的公比q 为213b b = ，所以448(13)32013S ⨯-==-.故答案为：320 【点睛】本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题.16．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛解析：2020 【分析】当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭，即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭，所以20202020a =. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.17．【分析】利用等比中项列方程然后求得再利用裂项求和法求得数列的前项和【详解】依题意当时解得当时解得当时解得以此类推猜想下用数学归纳法证明：当时成立假设当时当时所以假设成立所以对任意（证毕）所以所以数列解析：100101【分析】利用等比中项列方程，然后求得n a ，再利用裂项求和法求得数列{}n b 的前100项和. 【详解】依题意()21n n n S a S -=⋅，当1n =时，()22111a a -=，解得111212a ==⨯，当2n =时，()()2122121a a a a a +-=⋅+，解得211623a ==⨯，当3n =时，()()212331231a a a a a a a ++-=⋅++，解得3111234a ==⨯，以此类推，猜想()11111n a n n n n ==-++，1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 下用数学归纳法证明：当1n =时，1112S a ==成立. 假设当n k =时，1k k S k =+ 当1n k =+时，()21111k k k S a S +++-=⋅，()()21111k k k k S S S S +++-=-⋅，22111121k k k k k S S S S S ++++-+=-⋅，1121k k k S S S ++-+=-⋅，()121k k S S +⋅-=-，1122111k k k k S S k k ++--⎛⎫⋅-=⋅=- ⎪++⎝⎭，()111211k k k S k k +++==+++，所以假设成立.所以对任意*N n ∈，()11111n a n n n n ==-++，1n n S n =+.（证毕）所以()11111(1)(21)(1)(21)(1)111n n n n n b n a n n n n n +++⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⎪==+⋅-⋅+ +⎝⎭，所以数列{}n b 的前100项和为111111111001122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：100101【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查裂项求和法，属于中档题.18．【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{an}的基本量应用等差数列前n 项和公式表示出进而得到数列{}的通项并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式知解得∴由等差数解析：1n n + 【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{a n }的基本量122a d =⎧⎨=⎩，应用等差数列前n项和公式表示出n S ，进而得到数列{1nS }的通项，并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式，知2151451030a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得122a d =⎧⎨=⎩ ∴由等差数列前n 项和公式：22(1)n S n n n n n =+-=+，()n N +∈对于数列{1n S }有211111n S n n n n ==-++∴数列{1n S }的前n 项和1111111...1223111n n T nn n n故答案为：1nn + 【点睛】本题考查了等差数列，根据已知量，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程求基本量，进而得到其前n 项和公式，根据新数列与等差数列前n 项和的关系求得数列通项公式，结合裂项法得到新数列的前n 项和公式19．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的解析：134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠，所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S . 故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。

北师大版2019高中数学必修5第一章数列11数列111习题精选含答案

1.1 数列的概念课后篇巩固探究A组.①②③④.则5,4,3,2,1;14,1,5,3,2将正整数的前5个数作如下排列:2,1,5,3,4;1,2,3,4,5;)(可以称为数列的是①②③④①②③.①①② B.D A.C..个都构成数列解析:4D答案: a.a =)项依次为2已知数列{(}的通项公式为,则该数列的前4nn B.0,1,0,1 A.1,0,1,0D.2,0,2,0C.,0,0,.n==a 0,1,0,1解析:把中1,2,3,4分别代入,依次得到n B 答案: .),…的一个通项公式是3(数列1,=a=a B. A.nn==aa C.D.nn2222.=×-a=×=====×-×-=-=解析1,442,91,3,1634,1故2:111,71,32221,5 2n A:答案 =aa== aa.),若则的通项公式4{已知数列},(kknn2.143B.99C. DA..a=k=k=- )由:解析舍去66(于是,k=.a=a因此k122C 答案:... .) 已知数列96,0(,…,则三个数094598,0中属于该数列中的数只有B.2A.1个个D.个以上都不对 C.3=.a=.n=aa=.n=24,96,解析:由已知可得该数列的一个通项公式98,解得049,令令解得0nnn n=....=a. 0是该数列中的项故只有令009694,解得98和?N n+答案:B na=n.y=x+a∈N),位于该曲线上6)(已知曲线,(1,点则+n1022.a+=+=a=n 2.1101011,因此解析:由题意知n10101 答案:. .数列,3,3,7,…的一个通项公式是数列可化为,…,即,…,每个解析:n-1,故原数列的通项公式为后一个因式为2,根号里面可分解成两数之积前一个因式为常数3,=na.N∈,+n=a答案:n- a.a=. 8已知数列{}的通项公式3是此数列的第,则项nn-n=-.令3,9得3,解得:解析9答案:.写出下列各数列的一个通项公式: 9(1)4,6,8,10,…,…(2)．---,…1,,,(3),(4)3,33,333,3 333,…a=n+.开始的偶数,所以22解(1)各项是从4nn54231故所求数列的通,…,2,(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成2,2,2,2,2.=a项公式可写为nn+1-1)这个因式,忽略负号,将第二项1(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(成,则分母可化为3,5,7,9,11,13,…,均为正奇数写,分子可化为n+1222222.a=-++++++ 1)(1,31,…,故其通项公式可写为1,4·1,51,611,2n为,…,分母都是3,而分子分(4)将数列各项写别是n.-=na.a 3{已知数列28}的通项公式为10nn;n432.=-a---- 1,…,所以1,1010(101,101)1,10n26项4(1)写出数列的第项和第-? ?68问是不是该数列的一项呢49是不是该数列的一项?如果是,应是哪一项(2)=-×a=×-64,328解(1)1644a=×-×=-. 3636602862.n=--n=-n=∴n=n项49(舍去),是该数列的第73(2)设7,即2849,解得7或2.n=n=-n=n- 68,解得283设2或∵-2?N?N,, ++∴.不是该数列的项68B 组- -.)(,…的通项公式是,4,2,数列1．n nna=a=∈N) B.A.N(2()∈++nn=n=naa∈NN C.) D.(()∈++nn=na-.-将数列各项改写为,)∈,(N,…,观察数列的变化规律,解析:可得+n C:答案 a.a=aaa )·已知数列{}的通项公式等于·,则(2n+nn+nn21 D. B. C.A.===aa∵a,,解析:,n+nn+21=a.∴aa··n+nn+21B:答案.n . ()根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第个点3个图形中有22-nnn-n+ A.B.212n-n1D.2C.×+×+×+×+n个图形中点故第5个图形点的个数分别为1,1421,41,21,351,3:解析观察图中2n-n+=n-n+. 1)(11的个数为答案:A.用火柴棒按下图的方法搭三角形:4an之间的关系式可以则所用火柴棒数与所搭三角形的个数按图示的规律搭下去,n. 是∵a=a=+=a=++=a=+++=∴a=n+. 2322解析:9,…,3,7,3225,1322n4213a=n+1 答案:2n ab.. 5),…中在数列,有序数对(,可以是××××律规的子分6,…,5,44,33,2:1是律规的母分出看以可律规的面上从:析解．++++++9,…,7是:5,55,555 7,5b=-a=. ,所以解得:答案a=. 3n=-=-a=a+b.aaa则·261,,{导学号33194000已知数列且}的通项公式31,nn51解得:由已知得解析n3a=-+a=-+=-. 1,于是1即722n3-7:答案.mmm+. (有列的士兵队列(1)7≥2)行如图,···…·······…····……………………···…·······…·······…····m分别为2,3,4,5,6,…时队列中的士兵人数; (1)写出一个数列,用它表示当aa表示,,用;项(2)写出(1)中数列的第5,665aa; },中的数列记为{求该数列的通项公式(3)若把(1)nn aa.所表示的实际意义,并说明(4)求1010m=2时,表示2行3列,人数为6;解(1)当m=. 6,12,20,30,42,…依此类推,故所求数列为4列,人数为当12,3时,表示3行(2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列,第6项表示7行8列,a=a=.56故42,65.,猜想数列的通项公式(3)根据对数列的前几项的观察、归纳=×=×=×=×.a=n+n+. 4项分别为6621)(3,123因此4,202)4(5,305前n a=×=a.列的士兵队列中士兵的人数行132,12(4)由(3)知表示1111121010.aa=a=n. 2,通项公式是关于66,的一次函数中{33194001导学号8在数列},n171a;的通项公式求数列(1){}n a;求(2)2 017.a=am+akmk说明理由满足,N∈是否存在(3),,若不存在,的值,求出,若存在?kmm+1+a=kn+bka=a=66解(1)设得2,(,≠0),则由n171解得.=n-a 4所以2n.==×-a 422 0178 066(2)2 017k--m+=a+a=am-+2, (3)由1)得,42244(km+m1k-m=1, 整理后可得42k-kmm, 是奇数1N,所以4,2因为是偶数,∈+k-kmm=, 2成立1故不存在,,∈N使等式4+.+aakm=a ,N即不存在,∈使km+m1+。

高中数学北师大版必修5课时作业：第1章数列 09 Word版含答案

§9数列在日常经济生活中的应用时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．某储蓄所计划从2010年起，力争做到每年的吸储量比前一年增长8%，则到2013年底该储蓄所的吸储量将比2010年的吸储量增加( )A．24%B．(1.084－1)×100%C．32%D．(1.083－1)×100%2．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为(取lg2＝0.3)( )A．5 B．10C．14 D．203．某人从2012年1月份开始，每月初存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到12月底取出本利和应是( )A．1 203.6元 B．1 219.8元C．1 223.4元 D．1 224.4元4．设某工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率( )A．(1＋p)12 B．(1＋p)12－1C．p D．12p5．2013年6月11日，我国成功发射“神舟十号”载人飞船，据科学计算，运载“神十”的“长二F”改进型火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的速度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( ) A．10秒钟 B．13秒钟C．15秒钟 D．20秒钟6．某工厂2012年生产某种产品2万件，计划从2013年开始，每年的产量比上一年增长20%，经过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件，则n的值为(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )A．10 B．11C．12 D．13二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能组成一等差数列，则这群羊共有________只．8．有浓度为a%的酒精，装满一个量杯共m L，每次倒出n L，然后用水添满(称为一次操作)，再倒出n L混合溶液，再用水添满，如此进行下去，一共倒了10次，加了10次水(操作了10次)后量杯内酒精浓度变成了__________．9．光线透过一块玻璃板，其强度减弱110，要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少要透过这样的玻璃板________块(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)．三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．为了参加运动会的5000 km长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5000 m，以后每天比前一天多跑400 m．李强10天将要跑多少距离？11.甲、乙两同学利用暑假来某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图．(A)图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡；(B)图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个．请你根据提供的信息解答下列问题：(1)第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？(2)哪一年的规模最大(即出产鸡的总只数最多)？为什么？某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，……，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额．(1)写出T n与T n－1(n≥2)的递推关系式；(2)求证：T n＝A n＋B n，其中{A n}是一个等比数列，{B n}是一个等差数列．一、选择题1．D 2013年是2010年经过3年后的吸储量． 2．C (1－20%)n＜5%.解得n ＞13得n ＝14.3．C 一月份开始存入银行100元，到12月底本利和是a 1＝100(1＋12×3‰)；二月份开始存入银行100元，到12月底本利和是a 2＝100(1＋11×3‰)； ……十二月份开始存入银行100元，到12月底本利和是a 12＝100(1＋3‰)；则数列{a n }构成等差数列S 12＝100×12＋100·1＋12·122·3‰＝1 223.4(元)．4．B 设第一年第一个月的生产总值为a ，则第一年的生产总值为a [1＋p12－1]p；第二年的生产总值为a 1＋p12[1＋p12－1]p，∴年平均增长率为a 1＋p12[1＋p12－1]p－a [1＋p12－1]pa [1＋p12－1]p＝(1＋p )12－1.5．C 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n ，数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求公式有na 1＋n n －1d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，得n ＝15.6．A 经过n 年产量为a n ＝2×1.2n，则2×1.2n≥12，即1.2n≥6. 两边同时取对数．lg1.2n≥lg6，n lg1.2≥lg6.n ≥lg6lg1.2＝lg2＋lg32lg2＋lg3－1. 二、填空题7．6解析：设这群羊共有n ＋1只，公差为d (d ∈N *)．由题意，得7n ＋n n －12d ＝55，整理得n [14＋(n －1)d ]＝110.分别把n ＝5,10,11,22代入验证，只有n ＝5符合题意，此时n ＝5，d ＝2.8.⎝⎛⎭⎪⎫1－n m10·a %解析：第一次操作之后浓度为⎝⎛⎭⎪⎫1－n m×a %，第二次浓度变成了⎝⎛⎭⎪⎫1－n m ×a %×⎝⎛⎭⎪⎫1－n m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－n m2×a %，以此类推可得． 9．11解析：假设至少要透过这样的玻璃板x 块，则(1－110)x ＜13，两边取对数计算．三、解答题10．由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第1天跑的距离记为a 1＝5000，则公差d ＝400，李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和．因S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×5000＋10×92×400＝68000，故李强10天将跑68000m.11．(1)设第n 年的养鸡场的个数为a n ，平均每个养鸡场出产鸡b n 万只，由图(B)可知a 1＝30，a 6＝10，且点(n ，a n )(n ＝1,2,3,4,5,6)在一直线上，所以a n ＝34－4n ，n ＝1,2,3,4,5,6；由图(A)可知b 1＝1，b 6＝2，且点(n ，b n )在一直线上(n ＝1,2,3,4,5,6)，所以b n ＝n ＋45，n ＝1,2,3,4,5,6；a 2＝26(个)，b 2＝65＝1.2(万只)，a 2b 2＝31.2(万只)．第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只． (2)由a n b n ＝－45(n －94)2＋1254，当n ＝2时，(a n b n )max ＝a 2b 2＝31.2(万只)，第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只． 12．(1)T n ＝T n －1(1＋r )＋a n (n ≥2)． (2)T 1＝a 1，对n ≥2反复使用上述关系式，得T n ＝T n －1(1＋r )＋a n ＝T n －2(1＋r )2＋a n －1(1＋r )＋a n ＝…＝a 1(1＋r )n －1＋a 2(1＋r )n －2＋…＋a n －1(1＋r )＋a n . ①在①式两端同乘1＋r ，得 (1＋r )T n ＝a 1(1＋r )n＋a 2(1＋r )n －1＋…＋a n －1(1＋r )2＋a n (1＋r )． ②②－①，得rT n ＝a 1(1＋r )n ＋d [(1＋r )n －1＋(1＋r )n －2＋…＋(1＋r )]－a n＝d r[(1＋r )n －1－r ]＋a 1(1＋r )n－a n ，即T n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r )n－d r n －a 1r ＋d r2. 如果记A n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r )n，B n ＝－a 1r ＋d r 2－d rn ，则T n ＝A n ＋B n ，其中{A n }是以a 1r ＋dr 2(1＋r )为首项，以1＋r (r ＞0)为公比的等比数列；{B n }是以－a 1r ＋d r 2－d r 为首项，－dr为公差的等差数列.。

北师大高二数学必修五40分钟课时作业：1-1-1数列的概念

分钟课时作业一、选择题：每小题5分，共30分.1.下列说法中，正确的是（）A.数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7｝B.数列1,0, — 1, —2与数列一2, —1,0,1是相同的数列C.数列｛字｝的第比项为1+£D.数歹!] 024,6$…可记为｛2〃｝解析：A中，｛135/7｝表示集合，所以A不正确；数列中的各项是有顺序的，所以B不正确；D中，数列应记为｛2〃一2｝, 所以D不正确；很明显C正确.答案：C2.数列1，0丄0丄0丄0,…的一个通项公式是（） ▲ 1—(—1 严 1+(—1严 A ・ a - — 2 13 ・ ci n ~— 2 (-iy-i —1—(—1)"—2 JD ・ a n = ■ 2 解析:斤=1时，验证知B 正确. 答案：B3.已知数列一1,的值为（）1A-51C,25解析：当n = 5时, 答案：D1 1 1_彳（_1）"庐则它的第5项B.-（T）A点D.254.数列迈，A/5, 2辺，V11,…，则2审是该数列的（A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项解析：由ci n—1 — 2^/5,解得zi=7.答案：B5・已知数列的通项公式冷于（）A. 70 B・ 28C・20D・8f3n+l, 〃为奇数,[2n—2, 〃为偶数,则等C.3n+1, 〃为奇数，, 心解析：由给=]2〃_2农为俚数得。

2。

3 = 2 X 10 = 20.二选答案：C6.已知a n=n那么（）A. 0是数列中的一项B. 21是数列中的一项C. 702是数列中的一项D.以上答案都不对解析:9：a f=n(n+\^且702 = 26X27, A 702 是第26 项, 故选C.答案：C二、填空题：每小题5分，24 35 48 637-数列亍~59 10, 17, 26J共15分.…的一个通项公式为解析：此数列各项都是分式，且分母都减去1为1,4,9,16,25,…，故分母可用n 2+l 表肩若分子各项都加1为 16,25,36,49,64,…，故分子可用(n+3)2—1表贰故其通项公式(“ + 3)2—1n 2+18.数列｛给｝的通项公式为©=log 卄心+2),则它前14项的可为a n =5+3)2—1/ +1积为_________解析：log234og34*log45 • • • • *logi516 = log216=4.答案：49.已知数列他a n = cosn3, OV0V&贝V «io =兀兀又•••OV0V/ •••&=忑rm答案: 三、解答题：每小题15分，共45分.二根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式:八兀 5&=2hi± 亍伙 WZ)— cos 15, Cl\o — cos -^ 2*1解析: •Cl4 14 2⑴弓，刁T1 9 25(2)刁2, 2* 8, 2 ,…；⑶1,3,6,10,15,…；(4)7,77,777,….解：(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为扌，春，卷，…，于是它们的分母依次相差3,因而有43/1 + 2*(2)把分母统一为2,则有*, |,学,y因而有an2-⑶注意6 = 2X3,10=2X5,15 = 3X5,规律还不明显，再把各因而有a n =(4)把各项除以7,得1,11,111,再乘以9,得9,99,999, 7 因而有给=0(10"—1).项的分子和分母都乘以2,即 1X2 2X3 3X4 4X5 5X611.在数列｛©｝中，°i = 0, =a n J r(2n — 1)(«GN ),试写出数列的前4项，并归纳出通项公式.解：VtZi =0? a n+i =a n-\-(2n—1)(〃WN)，/.6/2=6Z I+(2X 1 —1)=1,6/3=02+(2X2 —1)=4，04=03 + (2x3—1) = 9,…■ 2a n = (n—1) •Yl12.(1)已知数列｛©｝的通项公式为给=齐干试判断0.7是不是数列｛给｝中的一项？若是，是第几项?riTT⑵已知数列｛给｝的通项公式为给=3 —2cos~y・求证:〃7解：⑴令n2qr[=0-7^ 则3H2 = 7,即n=y 此时斤无整数解，故0.7不是这个数列中的项.(2)因为给卄4=3 —2cos (777 + 4)兀2+4 仇m •。

北师大版高中数学必修五课时作业11 数列在日常经济生活中的应用.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作课时作业11 数列在日常经济生活中的应用时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近( )A ．860个B ．1 730个C ．3 072个D ．3 900个【答案】 C【解析】由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016，可得a 11＝3·210＝3 072，故选C.2．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p %，q %，则这两年的平均增长率是( )A.p %＋q %2B ．p %·q % C.(1＋p %)(1＋q %) D.(1＋p %)(1＋q %)－1【答案】 D【解析】设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r ，则(1＋p %)(1＋q %)＝(1＋r )2.于是r ＝(1＋p %)(1＋q %)－1.3．一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )A ．14mB ．15mC ．16mD ．17m 【答案】 B【解析】纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd 1＋πd 2＋…＋πd 60＝60π·4＋122＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15m ，故选B.4．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值也为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元，作为购买者，请分析三种债券的收益，从小到大排列为( )A ．B ，A ，CB ．A ，C ，B C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B 【答案】 B【解析】假设都投入10000元，一年到期，A 种共获得10 300元，B 种共获得10000×(51.450)2≈10 567.8元，C 种共获得10000×10097≈10309.3元．所以收益从小到大的排序为A ，C ，B .5．某企业在2012年年初贷款M 万元，年利率为m ，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a 万元，并恰好在10年间还清，则a的值等于( )A.M (1＋m )10(1＋m )10－1B.Mm (1＋m )10C.Mm (1＋m )10(1＋m )10－1D.Mm (1＋m )10(1＋m )10＋1 【答案】 C【解析】由已知条件和分期付款公式可得，a [(1＋m )9＋(1＋m )8＋…＋(1＋m )＋1]＝M (1＋m )10，故a ＝Mm ·(1＋m )10(1＋m )10－1. 6．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n 个月内累计的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n 90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月【答案】 C【解析】 S n ＝n 90(21n －n 2－5)＝190(21n 2－n 3－5n )，∴由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝S n －S n －1＝190(21n 2－n 3－5n )－190[21(n －1)2－(n －1)3－5(n－1)]＝190[21(2n －1)－(n 2＋n 2－n ＋n 2－2n ＋1)－5]＝190(－3n 2＋45n －27)＝－390(n －152)2＋6340，∴当n ＝7或8时，超过1.5万件．7．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清(此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算)并优惠x %，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？(x 取整数，计算过程中参考以下数据：1.029＝1.19,1.0210＝1.2，1.0211＝1.24)( )A ．15%B ．16%C ．17%D ．18%【答案】 B【解析】由题意，知50(1－x %)(1＋2%)9≤5(1.029＋1.028＋…＋1.02＋1)．整理，得1－x %≤ 1.0210－110×1.029×0.02＝11.19＝0.840 3，∴x %≥15.97%，∴一次付款的优惠率应不低于16%.【点评】注意第一次付款到最后一次付款前后共间隔9年，共付款10次．二、填空题(每小题5分，共15分)8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2015年的垃圾量为________吨．【答案】 a (1＋b ) a (1＋b )5【解析】 2010年产生的垃圾量为a 吨，下一年的垃圾量在2010年的垃圾量的基础之上增长了ab 吨，所以下一年的垃圾量为a (1＋b )吨；2015年是从2010年起再过5年，所以2015年的垃圾量是a (1＋b )5吨．9．某工厂2013年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则2013年全年总产值为________元．【答案】 200【解析】由题意，得⎩⎨⎧3a 1＋3×(3－1)2d ＝206a 1＋6×(6－1)2d ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝409d ＝209，所以S 12＝12×409＋12×(12－1)2×209＝200. 10．某人从2009年起，每年1月1日都到银行存款a 元(均为一年期)，若年利率为p 保持不变，且每年到期的存款连同利息都及时转为新的一年期存款，此人到2019年1月1日不再存款，而将所有存款及利息全部取回，则他可取回的钱数为________．【答案】 a p [(1＋p )11－(1＋p )]【解析】从2009年年初到2010年年初有存款b 1＝a (1＋p )元，设第n 年年初本息有b n 元，第n ＋1年年初有b n ＋1元，则有b n ＋1＝(b n ＋a )(1＋p )．将之变形为b n ＋1＋a (1＋p )p ＝(1＋p )[b n ＋a (1＋p )p ]，其中b 1＋a (1＋p )p ＝a (1＋p )2p .∴{b n ＋a (1＋p )p }是以a (1＋p )2p 为首项，(1＋p )为公比的等比数列，于是b n＝ap[(1＋p)n＋1－(1＋p)]，即这个家庭到2019年年初本利可达ap[(1＋p)11－(1＋p)]元．三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)用分期付款的方式购买价格为1 150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加入欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么第10个月该付多少钱？购冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？【解析】购买时付款150元，余款1 000元分20次分期付款，每次付款数组成一个数列{a n}．a1＝50＋(1 150－150)×1%＝60(元)，a2＝50＋(1 150－150－50)×1%＝59.5(元)，…，a n＝50＋[1 150－150－(n－1)×50]×1%＝60－12(n－1)(n＝1,2，…，20)．∴{a n}是一个等差数列，a1＝60，公差d＝－1 2.∴a10＝60－12×9＝55.5(元)．S20＝20×60＋12×20×19×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝1 105(元)．因此，第10个月应付55.5元，全部付清后，实际付出1 255元．12．(15分)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用每购买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为一元时，销售量增加10%；且在一定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元时的销售量增加10%(n∈N)．(1)写出礼品价值为n(元)时，利润y n(元)关于n的函数关系式及这个函数的定义域．(2)请你设计礼品价值，以使商品获得最大利润．【解析】(1)设赠送礼品时，单位时间内的销售量为m个，则y n＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝m(20－n)×1.1n其中0≤n<20，n∈N.(2)要求出获得最大利润时的礼品价格，只需解关于n的不等式y n＋1－y n≥0，即m(19－n)×1.1n＋1－m(20－n)×1.1n≥0即(19－n)×1.1－(20－n)≥0，n≤9则y0<y1<y2<…<y9＝y10同理可得y10>y11>y12>…>y18>y19.∴为获得最大利润，礼品价值应为9元或10元．13．(20分)某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房，第一年建新住房a m2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m2；已知旧住房面积为32a m2，每年拆除的数量相等．(1)若10年后该城市的住房面积正好比改造前的住房面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2?(2)求前n(1≤n≤10且n∈N＋)年新建住房总面积S n.【解析】(1)10年后新建住房总面积为a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋5a＋4a＋3a＋2a＝42a.设每年拆除的旧住房为x m2，则42a＋(32a－10x)＝2×32a，解得x＝a，即每年拆除的旧住房面积是a m2.(2)设第n年新建住房面积为a，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a (1≤n ≤4)，(12－n )a (5≤n ≤10). 所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n －1)a . 当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a ＝15a ＋(n －4)(19－n )a 2＝(23n －n 2－46)a 2 故S n ＝⎩⎨⎧(2n －1)a (1≤n ≤4)，(23n －n 2－46)2a (5≤n ≤10).。

高中数学北师大版必修5 40分钟课时作业第一章数列：1-1-2 数列的函数特性

第一章 §1 课时作业（02）
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解析：∵{an}是递增数列，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2 －λn＝2n＋1＋λ＞0 对于任意的正整数 n 恒成立，即 λ＞－2n－1 对于任意的正整数 n 恒成立，∴λ＞－3.
答案：λ＞－3
课时作业(02) 数列的函数特性
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第一章 §1 课时作业（02）
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①掌握几个特殊的数列，会判断数列的单调性．②
作业了解数列的递推公式，并会利用递推公式求数列的
目标前若干项以及数列的通项公式．③掌握数列{an}的
前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系
答案：D
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5．已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝ a3n－an＋31(n∈N＋)，则 a20 的值是( )
A．0
B．－ 3
C. 3
3 D. 2
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解：(1)令 an＝n2－5n＋4＜0，解得 1＜n＜4. 又∵n∈N*， ∴n＝2 或 3，即数列中仅有两项是负数． (2)an＝n2－5n＋4＝n－522－94. 其对称轴为 n＝52＝2.5，又∵n∈N*，∴当 n＝2 或 3 时，an 取得最小值，最小值为2－52 2－94＝14－94＝－2.

高中数学北师大版必修5 40分钟课时作业第一章数列：1-1-1 数列的概念

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第一章 §1 课时作业（01）
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解析：A 中，{1,3,5,7}表示集合，所以 A 不正确；数列中的各项是有顺序的，所以 B 不正确；D 中，数列应记为{2n－2}，所以 D 不正确；很明显 C 正确．
答案：C
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数列
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§1 数列
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9．已知数列{an}，an＝cosnθ，0＜θ＜6π，a5＝12，则 a10＝ __________.
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答案：an＝n＋n23＋21－1
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第一章 §1 课时作业（01）
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8．数列{an}的通项公式为 an＝logn＋1(n＋2)，则它前 14 项的积为__________．
解析：log23·log34·log45·…·log1516＝log216＝4. 答案：4

高中数学必修5课时作业：第1章数列11(0924091631)

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