2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国II卷)(含答案)

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2020年高考文科数学全国卷2-答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷文科数学答案解析一、选择题1．【答案】D【解析】解绝对值不等式化简集合A B ，的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 因为{}{}321012A x x x Z =<∈=--，，，，，，{}{}111B x x x Z x x x x Z =>∈=><-∈，或，，所以{}22A B =-，.故选：D .【考点】绝对值不等式的解法，集合交集的定义2．【答案】A【解析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.()()()()2422221i [1i ]12i i 2i 4-=-=-+=-=- 故选：A .【考点】复数的乘方运算性质3．【答案】C【解析】根据原位大三和弦满足34k j j i -=-=，，原位小三和弦满足43k j j i -=-=，，从1i =开始，利用列举法即可解出．根据题意可知，原位大三和弦满足：34k j j i -=-=，．∴158i j k ===，，；269i j k ===，，；3710i j k ===，，；4811i j k ===，，；5912i j k ===，，．原位小三和弦满足：43k j j i -=-=，．∴148i j k ===，，；259i j k ===，，；3610i j k ===，，；4711i j k ===，，；5812i j k ===，，．故个数之和为10．故选：C ．【考点】列举法的应用4．【答案】B【解析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者9001850=名. 故选：B【考点】函数模型的简单应用5．【答案】D【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 由已知可得：11cos601122a b a b ︒==⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +=+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +=+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因213(2)221022a b b a b b -=-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -=-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D .【考点】平面向量数量积的定义和运算性质，两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直6．【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.设等比数列的公比为q ，由53641224a a a a -=-=，可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以1111(1)12221112n nn n n n n a q a a q S q ----=====---，，因此1121222n n n n n S a ---==-. 故选：B .【考点】等比数列的通项公式的基本量计算，等比数列前n 项和公式的应用7．【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值.模拟程序的运行过程0,0k a ==第1次循环，2011011a k =⨯+==+=，，210＞为否第2次循环，2113112a k =⨯+==+=，，310＞为否第3次循环，2317213a k =⨯+==+=，，710＞为否第4次循环，27115314a k =⨯+==+=，，1510＞为是退出循环输出4k =.故选：C .【考点】求循环框图的输出值8．【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为()0a a a >，，，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()21，在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.由于圆上的点()21，在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为()a a ，，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()11，或()55，，圆心到直线230x y --=的距离均为d ==；所以，圆心到直线230x y --=.故选：B .【考点】圆心到直线距离的计算9．【答案】B 【解析】因为2222:1(00)x y C a b a b-=＞，＞，可得双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE △的面积为8，可得ab 值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案.2222:1(00)x y C a b a b-=＞，＞ ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=± 直线x a =与双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故()D a b ，联立x a b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故()E a b -，∴||2ED b =∴ODE △面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>， ∴其焦距为28c ==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B .【考点】求双曲线焦距的最值问题10．【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递增，而331y x x-==在()0+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递增．故选：A ．【考点】利用函数的解析式研究函数的性质11．【答案】C【解析】根据球O 的表面积和ABC △的面积可求得球O 的半径R 和ABC △外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =.设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △的等边三角形，212a ∴，解得：3a =，2233r ∴=∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C .【考点】球的相关问题的求解12．【答案】A【解析】将不等式变为2323x x y y ----＜，根据()23t t f t -=-的单调性知x y ＜，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2233x y x y ----＜得：2323x x y y ----＜，令()23t t f t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴＜，0y x -＞，11y x ∴-+＞，()ln 10y x ∴-+＞，则A 正确，B 错误； x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A .【考点】对数式的大小的判断问题二、填空题 13．【答案】19【解析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.22281cos212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19. 【考点】余弦的二倍角公式的应用14．【答案】25【解析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-=可得1152a d a d +++=即：()2252d d -++-+=整理可得：66d =解得：1d = 根据等差数列前n 项和公式：*1(1)2n n n S na d n N -=+∈，可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+= ∴1025S =.故答案为：25.【考点】求等差数列的前n 项和15．【答案】8【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x =-，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可. 不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x =-，当直线经过点A 时，直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解，解得：23x y =⎧⎨=⎩，因此2z x y =+的最大值为：2238+⨯=.故答案为：8.【考点】线性规划的应用，数形结合思想16．【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【考点】空间中线面关系有关命题真假的判断三、解答题17．【答案】（1）3A π=（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又b c -②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c ＞，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC △是直角三角形．【解析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出；因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π＜＜，所以3A π=；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将b c -=代入可找到a b c ，，关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又b c -②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c ＞，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC △是直角三角形．【考点】诱导公式和平方关系的应用18．【答案】（1）12000（2）0.94（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【解析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=；（2）利用公式20()()i i x x y y r --=∑ 样本()i i x y ，的相关系数为20()()0.943i i x x y y r --===≈∑ （3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样. 由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取19．【答案】（1）12（2）1C ：2211612x y +=，2C ：28y x =.【解析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设A C ，在第一象限，运用代入法求出A B C D ，，，点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：()c 0F ，，所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中c = 不妨设A C ，在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此A B ，的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⇒=±，所以C D ，的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2843b c a =，即2322c c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为ABC △，(20)c -，，(0)，(0)，，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =. 【考点】椭圆的离心率，椭圆和抛物线的标准方程，椭圆的四个顶点的坐标，抛物线的准线方程 20．【答案】（1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在等边ABC △中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M =，MN AM ⊂，平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN 又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC 又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）24【解析】（1）由M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1//MN AA ，要证平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，只需证明EF ⊥平面1A AMN 即可；M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在等边ABC △中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M =，MN AM ⊂，平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN 又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC 又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V -. 过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图//AO 平面11EB C FAO ⊂平面1A AMN ，平面1A AMN平面11EB C F NP = //AO NP ∴ 又//NO AP∴6AO NP ==O 为111A B C △的中心. ∴1111sin606sin60333ON AC ==⨯⨯=故：ON AP ==3AM AP ==平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN∴MH ⊥平面11EB C F 又在等边ABC △中EF AP BC AM = 即323AP BC EF AM ⨯=== 由（1）知，四边形11EB C F 为梯形∴四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP ++=⨯=四边形 111113B EBC F EB C F V S h -∴=四边形，h 为M 到PN 的距离sin 603MH ==，∴1243243V =⨯⨯=.【考点】证明线线平行和面面垂直，求四棱锥的体积21．【答案】（1）1c -≥；（2）()g x 在区间()0a ，和()a +∞，上单调递减，没有递增区间【解析】（1）不等式()2f x x c +≤转化为()20f x x c --≤，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；函数()f x 的定义域为：()0+∞，()()()2202ln 120f x x c f x x c x x c +⇒--⇒+--*≤≤≤，设()()2ln 120h x x x c x =+--＞，则有()()2122x h x x x-'=-=，当1x ＞时，()()0h x x h '＜，单调递减，当01x ＜＜时，()()0h x h x '＞，单调递增，所以当1x =时，函数()h x 有最大值，即()()max 12ln11211h c x h c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在()0+∞，上恒成立，只需()max 0101h x c c ⇒--⇒-≤≤≥；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x '分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x '，根据()m x '的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x '的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.()()()()2ln 12ln 12ln ln 0x a x a g x x a x ax x a +---==≠--＞且因此()()()22ln ln x a x x x a g x a x x --+'=-，设()()2ln ln m x x a x x x a =--+，则有()()2ln ln m x a x '=-，当x a ＞时，ln ln x a ＞，所以()0m x '＜，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a =＜，即()0g x '＜，所以()g x 单调递减；当0x a ＜＜时，ln ln x a ＜，所以()0m x '＞，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a =＜，即()0g x '＜，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间()0a ，和()a +∞，上单调递减，没有递增区间. 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数判断含参函数的单调性22．【答案】（1）14C x y +=：；2224C x y -=：；（2）17cos 5ρθ=. 的【解析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=. （2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即5322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；设所求圆圆心的直角坐标为()0a ，，其中0a ＞，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 【考点】极坐标与参数方程的综合应用问题23．【答案】（1）31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤或≥ （2）(][),13,-∞-+∞【解析】（1）分别在3x ≤、34x ＜＜和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x ＜＜时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤或≥. （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a -≥，由此构造不等式求得结果.()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+---+=-+-=-≥（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a -≤或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值的问题。

2020年高考全国II卷文科数学试题(含解析)

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标II ）一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂= （）A.∅B.{3,2,2,3}--C.{2,0,2}-D.{2,2}-【答案】D【解析】{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -= （）A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A【解析】42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A. 5B. 8C.10D. 15【答案】C【解析】原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A.2a b +B.2a b +C.2a b -D.2a b -【答案】D【解析】21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ． 6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a = （）A.21n- B.122n--C.122n -- D.121n--【答案】 B 【解析】设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n n S a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A.5B.5C.5D.5【答案】B【解析】依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --==标为(5,5)时，其到直线230x y --==，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =． 10．设函数331()f x x x=-，则()f x （）A.是奇函数，且在(0,)+∞单调递增B.是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C.是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D.是偶函数，且在(0,)+∞单调递减【答案】A【解析】因为331()f x x x=-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x =-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x =-为(0,)+∞增函数，故选A ．判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的．11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）B.32C.1【答案】C【解析】2ABC S AB ∆==3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==O 到平面ABC 的距离1h ==，故选C ．12．若2233x y x y ---<-，则（）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】11223323232233xyxy x x y y x y x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233xyx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．二、填空题 13．若2sin 3x =-，则cos2x = ．【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______．【答案】25【解析】由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．【答案】8【解析】方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下列命题中所有真命题的序号是． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【解析】对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题．对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题．对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题．对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④．三、解答题17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）3b c a -=，证明：ABC ∆是直角三角形．【解析】（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c =-，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b=（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为b c -=，由正弦定理得1sin sin 2B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160ii x==∑，2011200i i y ==∑，2021()80ii x x =-=∑，2021()9000i i y y =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：()()niix x y y r --=∑1.414≈【解析】(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得()()0.94niix x yy r --===≈∑；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．【解析】（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12．（2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c p d c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F （1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．【解析】（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N 共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A N B C ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，ON AP ==M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH⊥平面11EB C F，由PM =,6AO =,MN =,得PM MNMH PN⋅==11111()242EB C FS B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【解析】（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=，当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增，当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞；（2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--，令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=，令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减．四、选做题22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥；因为222222212:12x t t C y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=．23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+.(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.【解析】当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即 ()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥. （2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国2卷

1.【ID:4005113】已知集合，，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：集合，，．故选：D．2.【ID:4005114】()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：．故选：A．3.【ID:4005115】如图，将钢琴上的个键依次记为，，，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：若且，则，，为原位大三和弦，即有，，；，，；，，；，，；，，，共个；若且，则，，为原位小三和弦，可得，，；，，；，，；，，；，，，共个，总计个．故选：C．4.【ID:4002671】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为．志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者()A. 名B. 名C. 名D. 名【答案】B【解析】解：第二天的新订单超过份的概率为，就按份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于就按份计算，因为公司可以完成配货份订单，则至少需要志愿者为名，故选：B．5.【ID:4005117】已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：单位向量，，对于A，，所以与不垂直；对于B，，所以与不垂直；对于C，，所以与不垂直；对于D，，所以与垂直．故选：D．6.【ID:4005118】记为等比数列的前项和，若，，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：设等比数列的公比为，，，，，，，，，，故选：B．7.【ID:4005119】执行如图的程序框图，若输入的，，则输出的为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，；执行循环体，，；执行循环体，，；执行循环体，，；此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为．故选：C．8.【ID:4002673】若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，．故圆的方程为，再把点代入，求得或，故要求的圆的方程为或．故所求圆的圆心为或；故圆心到直线的距离或；故选：B．9.【ID:4002676】设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若的面积为，则的焦距的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为，分别将，代入可得，即，，则，，当且仅当时取等号，的焦距的最小值为，故选：B．10.【ID:4005120】设函数，则()A. 是奇函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是偶函数，且在单调递减【答案】A【解析】解：因为，则，即为奇函数，根据幂函数的性质可知，在为增函数，故在为减函数，在为增函数，所以当时，单调递增，故选：A．11.【ID:4002678】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则到平面的距离为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，，可得：，球的表面积为，外接球的半径为：，解得，所以到平面的距离为：．故选：C．12.【ID:4002679】若，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故，故选：A．13.【ID:4005121】若，则________．【答案】【解析】解：，．故答案为：．14.【ID:4005122】记为等差数列的前项和．若，，则________．【答案】【解析】解：因为等差数列中，，，所以，，即，则．故答案为：．15.【ID:4005123】若，满足约束条件，则的最大值是________．【答案】【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，此时，故答案为：．16.【ID:4002684】设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是________．①②③④【答案】①③④【解析】解：设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，：若直线平面，直线平面，则．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；由复合命题的真假可判断①为真命题，②为假命题，③为真命题，④为真命题，故真命题的序号是：①③④，故答案为：①③④，17. 的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）【ID:4005124】求．【答案】【解析】解：由已知得，即．所以，，由于，故．（2）【ID:4005125】若，证明：是直角三角形．【答案】见解析【解析】解：由正弦定理及已知条件可得．由知，所以，即，．由于，故，从而是直角三角形．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，．（1）【ID:4002687】求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)．【答案】【解析】由已知得样本平均数为，，该地区这种野生动物数量的估计值为．（2）【ID:4002688】求样本的相关系数(精确到)．【答案】【解析】．（3）【ID:4002689】根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．【答案】见解析【解析】分层抽样．根据植被覆盖面积分层再随机抽样．理由：由于植被覆盖面积差异较大，即总体由差异明显的几个部分组成，分层抽样有利于保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本代表性．19. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于、两点，交于，两点，且．（1）【ID:4005126】求的离心率．【答案】【解析】解：解法一：右焦点与右焦点与重合，设抛物线方程为，则，设抛物线方程为．在椭圆中，当时，，解得：，，在抛物线中，当时，，，又，，①又，②联立①②可得：，解得：或(舍去)，的离心率．解法二：由已知可设的方程为，其中．不妨设，在第一象限，由题设得，的纵坐标分别为，；，的纵坐标分别为，，故，．由已知得，即，解得(舍去)，，所以的离心率为．（2）【ID:4005127】若的四个顶点到的准线距离之和为，求与的标准方程．【答案】，【解析】解：由知，，故：．所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线方程为．由已知得，即，所以的标准方程为，的标准方程为．20. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）【ID:4005128】证明：，且平面平面．【答案】见解析【解析】解：解法一：三棱柱，故，由矩形，为中点，为中点，．平行四边形，．矩形，．平行四边形，矩形，．等边中，为中点，．，面．又，面．又面，面面．解法二：因为，分别为，的中点，所以，又由已知得，故．因为是正三角形，所以．又，故平面．所以平面平面．（2）【ID:4005129】设为的中心，若，平面，且，求四棱锥的体积．【答案】【解析】解：平面，平面，平面平面，设，又，故四边形是平行四边形，所以，，，，因为平面，所以四棱锥的顶点到底面的距离等于点到底面的距离．作，垂足为，则由知，平面，故．故面的面积为，所以四棱锥的体积为．21. 已知函数．（1）【ID:4005130】若，求的取值范围．【答案】【解析】解：设，则，其定义域为，．当时，；当时，．所以在区间单调递增，在单调递减，从而当时，取得最大值，所以．故当且仅当，即时，．所以的取值范围为．（2）【ID:4005131】设，讨论函数的单调性．【答案】在，单调递减．【解析】解：，，．取得，，则由知，当时，即，故当时，，从而．所以在，单调递减．22. 已知曲线，的参数方程分别为：(为参数)，：(为参数)．（1）【ID:4002697】将，的参放方程化为普通方程．【答案】：，，，：【解析】解：：，，，由的参数方程得，，则：．（2）【ID:4002698】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，的交点为．求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．【答案】【解析】解：，，，设，，满足题意，则，即，，：，即，极坐标方程为，即．23. 已知函数．（1）【ID:4002699】当时，求不等式的解集．【答案】【解析】当时，，不等式的解集为．（2）【ID:4002700】若，求的取值范围．【答案】【解析】，，当时，等号成立，，，，，．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国 Ⅱ卷)解析版

2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）文科数学一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂=（） A ．∅ B ．{3,2,2,3}-- C ．{2,0,2}- D ．{2,2}- 答案： D 解析：{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -=（） A ．4- B ．4 C ．4i - D ．4i 答案： A 解析：42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A ． 5B ． 8C ． 10D ． 15 答案： C 解析：原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（） A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名答案： B 解析：积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中，与b 垂直的是（） A ．2a b + B ．2a b + C ．2a b - D ．2a b - 答案： D 解析：21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ．6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a =（）A ． 21n -B ． 122n --C ． 122n --D ． 121n -- 答案： B 解析：设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n n S a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案： C 解析：当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（） A 5BCD 答案： B 解析：依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --=的距离为=；当圆心坐标为(5,5)时，其到直线230x y --=的距离为=，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A ． 4 B ． 8 C ． 16 D ． 32 答案： B 解析：双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==时，等号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =．10．设函数331()f x x x=-，则()f x （） A ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递增 B ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递减 C ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递增 D ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递减答案： A 解析：因为331()f x x x =-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x=-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x=-为(0,)+∞增函数，故选A ．判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x'=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的． 11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（） AB ．32C ．1 D答案： C 解析：2ABC S AB ∆==，所以3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==．从而O 到平面ABC 的距离1h ==，故选C ．12．若2233x y x y ---<-，则（）A ． ln(1)0y x -+>B ． ln(1)0y x -+<C ． ln ||0x y ->D ． ln ||0x y -< 答案： A 解析：11223323232233x y x y x x y y x y x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233x yx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．二、填空题13．若2sin 3x =-，则cos 2x = ．答案：19解析：22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=．14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______．答案：25 解析：由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．答案： 8 解析：方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下列命题中所有真命题的序号是． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 答案： ①③④ 解析：对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题．对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题．对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题．对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④．三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）b c -=，证明：ABC ∆是直角三角形．答案：（1）3π；（2）证明过程见解析．解析：（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c =-，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b =（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为b c -=，由正弦定理得1sin sin 2B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021()80i i x x =-=∑，2021()9000ii yy =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：nx y r =1.414≈答案：（1）12000；（2）0.94；（3）见解析解析：(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得0.94nx y r ===≈；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．答案：（1）12e =（2）221:11612x y C +=；22:8C y x =解析：（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12．（2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c pd c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F（1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．答案：见解析解析：（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A NBC ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA 平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，3ON AP ==，过M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH ⊥平面11EB C F ，由23PM =,6AO =,26MN =,得PM MN MH PN ⋅==11111()242EB C F S B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F ，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．答案：（1）[1,)-+∞；（2）见解析解析：（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=，当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增，当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞；（2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--，令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=，令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减．四、选做题（2选1）22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．答案：见解析解析：（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥；因为222222212:12x t tC y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=． 23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+. (1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集； (2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.答案：（1）解集为32x ≤或112x ≥；（2）3a ≥或1a ≤-. 解析：（1）当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥.（2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)及答案解析

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）及答案解析一、选择题1. 已知集合A={x|x>−1}，B={x|x<2}，则A∩B=( )A.(−1,+∞)B.(−∞,2)C.(−1,2)D.⌀【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得A={x|x>−1}，B={x|x<2}，A∩B=(−1,2).故选C.2. 设z=i(2+i)，则z=()A.1+2iB.−1+2iC.1−2iD.−1−2i 【答案】D【考点】共轭复数复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知：z=i(2+i)=−1+2i，所以z=−1−2i，故选D.3. 已知向量a→=(2, 3)，b→=(3, 2)，则|a→−b→|=( )A.√2B.2C.5√2D.50【答案】A【考点】向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：a→=(2, 3)，b→=(3, 2)，a→−b→=(−1, 1)，∴|a→−b→|=√(−1)2+12=√2.故选A.4. 生物实验室有5只免子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.2 3B.35C.25D.15【答案】B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：设未测量过某项指标的2只兔子为a1,a2，测量过某项指标的3只兔子为b1,b2,b3，从这5只兔子中随机取出3只的所有可能有：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1b1b2，a1b1b3，a1b2b3，a2b1b2，a2b1b3，a2b2b3，b1b2b3.所以恰有2只测量过该指标的概率为610=35.故选B.5. 在“一带一路”知识测验后，甲，乙，丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A.甲，乙，丙B.乙，甲，丙C.丙，乙，甲D.甲，丙，乙【答案】A【考点】进行简单的合情推理合情推理的作用【解析】此题暂无解析【解答】解：如果只有甲预测正确，此时根据题意得，成绩由高到低顺序为甲，乙，丙，满足条件；如果只有乙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时丙也预测正确，不满足条件；如果只有丙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时乙也预测正确，不满足条件；故选A.6. 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e x−1，则当x<0时，f(x)=( )A.e−x−1B.e−x+1C.−e−x−1D.−e−x+1【答案】D函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：当x<0时，−x>0，∴f(−x)=e−x−1，又f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)=−e−x+1.故选D.7. 设α,β为两个平面，则α//β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面【答案】B【考点】根据充分必要条件求参数取值问题平面与平面平行的判定【解析】此题暂无解析解：A，当α内有无数条直线与β平行时，平面α，β可能相交，故本选项错误；B，α内有两条相交直线与β平行，根据面面平行的判定定理，可以推出α//β，故本选项正确；C，α,β平行于同一条直线，平面α，β可能相交，故本选项错误；D，α,β垂直于同一平面，平面α，β可能相交，故本选项错误.故选B.8. 若x1=π4,x2=3π4是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=( )A.2B.32C.1 D.12【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵x1=π4,x2=3π4是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，3π4−π4=π2，∴f(x)的周期T=2πω=2×π2=π，∴ω=2πT=2, 故选A.9. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p +y2p=1的一个焦点，则p=( )A.2B.3C.4D.8【答案】D【考点】抛物线的性质椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：抛物线的焦点为F(p2, 0)，∵抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，∴(p2)2=3p−p，解得p=8.故选D.10. 曲线y=2sinx+cosx在点(π,−1)处的切线方程为()A.x−y−π−1=0B.2x−y−2π−1=0C.2x+y−2π+1=0D.x+y−π+1=0【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=2sinx+cosx，则f′(x)=2cosx−sinx，∴f′(π)=2cosπ−sinπ=−2，∴切线方程为：y+1=−2(x−π)，即2x+y−2π+1=0，故选C.11. 已知a∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( )A.1 5B.√55C.√33D.2√55【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得4sinαcosα=2cos2α−1+1，∴4sinαcosα=2cos2α,又∵α∈(0,π2)，∴cosα>0，∴4sinα=2cosα,∴2sinα=cosα，又∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+4sin2α=1，∴sin2α=15,∴sinα=√55.故选B.12. 设F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点，若|PQ|=|OF|，则C的离心率为( )A.√2B.√3C.2D.√5【答案】A【考点】双曲线的离心率圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】解：设以OF 为直径的圆的圆心为O 1，因为|PQ|=|OF|，且两圆相交于P ，Q ，又知两圆的圆心在x 轴，则PQ 必过圆心O 1，且与x 轴垂直，如图所示：则2√a 2−(c 2)2=c ，解得2a 2=c 2，所以e =c a =√2.故选A .二、填空题13. 若变量x, y 满足约束条件{2x +3y −6≥0,x +y −3≤0,y −2≤0,则z =3x −y 的最大值是________.【答案】9【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：根据约束条件画出不等式组的可行域如图：易知A(0, 2)，B(1, 2)，C(3, 0)，设y=3x−z，即当y=3x−z截距最小时，z最大，由图可知当直线y=3x−z经过点C时，z最大，此时z min=9−0=9.故答案为：9.14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车种，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.【答案】0.98【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：1(10×0.97+20×0.98+10×0.99)=0.98.40故答案为：0.98.15. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+ acosB=0，则B= .【答案】3π4【考点】正弦定理运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：根据正弦定理可知，bsinA+acosB=0，即sinBsinA+sinAcosB=0，sinA≠0，∴sinB=−cosB，∴π<B<π，2又∵sin2B+cos2B=1，∴cosB=√2，2∴B=3π.4.故答案为：3π416. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，他的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.【答案】26,√2−1【考点】正多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：从图中可得该正多面体有9×2+8=26个面；由题意可设该正多面体棱长为x，因为其每个顶点都在正方体的表面上，+x=1，所以有2√2解得x=√2−1；故答案为：26，√2−1.三、解答题17. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥BC1.(1)证明：BE⊥平面EC1，(2)若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E−BB1C1C的体积. 【答案】解：(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1, 故B1C1⊥BE，又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1=90，由题设知Rt△ABERt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45，故AE=AB=3，AA1=2AE=6，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF=AB=3，所以，四棱锥E−BB1C1C的体积×3×6×3=18.V=13【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1, 故B1C1⊥BE，又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1=90，由题设知Rt△ABERt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45，故AE=AB=3，AA1=2AE=6，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF=AB=3，所以，四棱锥E−BB1C1C的体积×3×6×3=18.V=1318. 已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2, a3= 2a2+16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和.【答案】解：(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2=4q+16，即q2−2q−8=0.解得q=−2（舍去）或q=4.因此{a n}的通项公式为a n=2×4n−1=22n−1.(2)由(1)得b n=(2n−1)log22=2n−1,因此数列{b n}的前n项和为1+3+⋯+2n−1=n2.【考点】等比数列的通项公式等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2=4q+16，即q2−2q−8=0.解得q=−2（舍去）或q=4.因此{a n}的通项公式为a n=2×4n−1=22n−1.(2)由(1)得b n=(2n−1)log22=2n−1,因此数列{b n}的前n项和为1+3+⋯+2n−1=n2.19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业的第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y[−0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)的分组22453147企业数(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）.（精确到0.01）附：√74≈8.602.【答案】解：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产只增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y=1100(−0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,s2=1100∑n15i=1(y i−y)2=1100[(−0.40)2×2+(−0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296，s=√0.0296=0.02×√74≈0.17所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%, 17%.【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数用样本的频率分布估计总体分布【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产只增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y=1100(−0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,s2=1100∑n15i=1(y i−y)2=1100[(−0.40)2×2+(−0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296，s=√0.0296=0.02×√74≈0.17所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%, 17%.20. 已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.【答案】解：(1)连结PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，|PF2|=c，|PF1|=√3c，于是2a= |PF1|+|PF2|=(√3+1)c,故C的离心率e=ca=√3−1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当1 2|y|2c=16，yx+cyx−c=−1，x2 a2+y2b2=1，即c|y|=16①，x2+y2=c2②，x2 a2+y2b2=1③由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2，又由①知y2=162c2，故b=4.由②③得x2=a2c2(c2−b2)，所以c2≥b2，从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4√2，当b=4，a≥4√2时，存在满足条件的点P，所以b=4，a的取值范围为[4√2,+∞).【考点】椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)连结PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，|PF2|=c，|PF1|=√3c，于是2a= |PF1|+|PF2|=(√3+1)c,故C的离心率e=ca=√3−1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当1 2|y|2c=16，yx+cyx−c=−1，x2 a2+y2b2=1，即c|y|=16①，x2+y2=c2②，x2 a2+y2b2=1③由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2，又由①知y2=162c2，故b=4.由②③得x2=a2c2(c2−b2)，所以c2≥b2，从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4√2，当b=4，a≥4√2时，存在满足条件的点P，所以b=4，a的取值范围为[4√2,+∞).21. 已知函数f(x)=(x−1)lnx−x−1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 【答案】证明：(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=x−1x +lnx−1=lnx−1x.因为y=lnx单调递增，y=1x单调递减，所以f′(x)单调递增.又f′(1)=−1<0,f′(2)=ln2−12=ln4−12>0,故存在唯一x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.又当x<x0时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增.因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)<f(1)=−2，又f(e2)=e2−3>0，所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根x=α. 由α>x0>1得1α<1<x0.又f(1α)=(1α−1)ln1α−1α−1=f(α)α=0，故1α是f(x)=0在(0,x0)的唯一根，综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性根的存在性及根的个数判断【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=x−1x +lnx−1=lnx−1x.因为y=lnx单调递增，y=1x单调递减，所以f′(x)单调递增.又f′(1)=−1<0,f′(2)=ln2−12=ln4−12>0,故存在唯一x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.又当x<x0时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增.因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)<f(1)=−2，又f(e2)=e2−3>0，所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根x=α. 由α>x0>1得1α<1<x0.又f(1α)=(1α−1)ln1α−1α−1=f(α)α=0，故1α是f(x)=0在(0,x0)的唯一根，综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.四、选做题22. 在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0, θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上，直线l过点A(4, 0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0=π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.【答案】解：(1)∵M(ρ0, θ0)在C上，当θ0=π3时，ρ0=4sinπ3=2√3，由已知得|OP|=|OA|cosπ3=2，设Q(ρ, θ)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中，ρcos(θ−π3)=|OP|=2.经检验，点P(2, π3)在曲线ρcos(θ−π3)=2上.∴l的极坐标方程为ρcos(θ−π3)=2.(2)设P(ρ, θ)，在Rt△OAP中，|OP|=|OA|cosθ= 4cosθ，即ρ=4cosθ，∵P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是[π4, π2 ]，∴P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈[π4, π2 ].【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置极坐标的概念【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵M(ρ0, θ0)在C上，当θ0=π3时，ρ0=4sinπ3=2√3，由已知得|OP|=|OA|cosπ3=2，设Q(ρ, θ)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中，ρcos(θ−π3)=|OP|=2.经检验，点P(2, π3)在曲线ρcos(θ−π3)=2上.∴l的极坐标方程为ρcos(θ−π3)=2.(2)设P(ρ, θ)，在Rt△OAP中，|OP|=|OA|cosθ= 4cosθ，即ρ=4cosθ，∵P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是[π4, π2 ]，∴P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈[π4, π2 ].23. 已知f(x)=|x−a|x+|x−2|(x−a). (1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(−∞,1]时，f(x)<0，求a的取值范围. 【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|x+|x−2|(x−1).当x<1时，f(x)=−2(x−1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(−∞,1).(2)∵f(a)=0，∴a≥1.当a≥1，x∈(−∞,1]时，f(x)=(a−x)x+(2−x)(x−a)=2(a−x)(x−1)<0.∴a的取值范围是[1,+∞).【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|x+|x−2|(x−1).当x<1时，f(x)=−2(x−1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(−∞,1).(2)∵f(a)=0，∴a≥1.当a≥1，x∈(−∞,1]时，f(x)=(a−x)x+(2−x)(x−a)=2(a−x)(x−1)<0.∴a的取值范围是[1,+∞).。

2020年全国统一高考文科数学全国II卷(含答案)

【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
6.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ，则当x<0时，f(x)=
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得 .
【详解】是奇函数，．当时，，，得．故选D．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
1.已知集合，，则A∩B=
A.(–1，+∞)B.(–∞，2)
C.(–1，2)D.
2.设z=i(2+i)，则 =
A. 1+2iB. –1+2i
C. 1–2iD. –1–2i
3.已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=
A B. 2
C. 5 D. 50
4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
9.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A.2B.3
C.4D.8
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷(全国Ⅱ卷)(含解析)

绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国Ⅱ卷）（含解析）1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

回答选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={}3,x x x Z <∈，B={}1,x x x Z >∈，则A B =A. ∅B. {}3,2,2,3--C. {}2,0,2-D. {}2,2-2. 41i =-（）A.-4B.4C.-4iD.4i 3.如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.154. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A.2+a bB.2+a bC.2-a bD.2-a b6.记n S 为等比数列{n a }的前n 项和. 若5a -3a =12, 6a -4a =24，则n nS a = A ．2n -1 B ． 2-2t n - C. 2-n-12 D ．t-n 2-17. 执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k 为：A. 2B. 3C. 4D. 58. 若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45 9.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：2222x 1y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A.4B.8C.16D.3210.设函数331()f x x x=-，则()f x A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减11.已知△ABC 是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A.3B.32C.1D.32 12. 若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考文科数学全国2卷(word版,含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷II,含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷II ，含答案）第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式(+)()+()P A B P A P B = S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B •=• 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34V R 3π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n k C p p k n -=-=L一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B =U ð（）（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5（２）不等式302x x -<+的解集为（）（Ａ）{}23x x -<< （Ｂ）{}2x x <-（Ｃ）{}23x x x <->或（Ｄ）{}3x x >（3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= (A) 5- (B) 19- (C) 19(D) 5 （4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是(A) 11(0)x y e x +=-> (B) 11(0)x y e x -=+>(C) 11(R)x y e x +=-∈ (D) 11(R)x y e x -=+∈(5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4（6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-=（C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ） 34 （B ） 54 （C ）74 （D ） 34（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =（A ）1233a b + （B ）2233a b + （C ）3455a b + （D ） 4355a b + （11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个（12）已知椭圆C ：22x a +22by =1(0)a b >>的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020全国2卷高考文科数学试题(试卷版+解析版)

2020全国2卷高考文科数学试题（试卷版+解析版）
1．已知集合{|||3A x x =<，}x Z ∈，{|||1B x x =>，}x Z ∈，则(A B ⋂= )
A ．∅
B ．{3-，2-，2，3}
C ．{2-，0，2}
D ．{2-，2}
2．4
(1)(i -= ) A ．4- B ．4 C ．4i - D ．4i
3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ，2a ，⋯，12a ．设112i j k <<．若3k j -=且4j i -=，则i a ，j a ，k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ，j a ，k a 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )
A ．5
B ．8
C ．10
D ．15
4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过。

高考文科数学(2卷)：答案详细解析(最新)

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（II 卷）答案详解一、选择题1.（集合）已知集合A ={}3,x x x Z <∈，B ={}1,x x x Z >∈，则A B =A.∅B.{}3,2,2,3-- C.{}2,0,2- D.{}2,2-【解析】∵{}2,1,0,1,2A x =--，∴{2,2}A B =- .【答案】D2.（复数）41i -=（）A.－4 B.4C.－4iD.4i【解析】[]224221(1)244i i i i ⎡⎤=-=-=-⎣⎦-=（）.【答案】A3.（概率统计）如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.15【解析】原位大三和弦：1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===；共5个.原位小三和弦：1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===；共5个.总计10个.【答案】C4.（概率统计）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B5.（平面向量）已知单位向量a ,b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A.2a b+ B.2a b+ C.2a b- D.2a b -【解析】解法一（待定系数法）：设()ma nb b +⊥，则有21()02ma nb b ma b nb m n +⋅=⋅+=+=，即2m n =-，故选D.解法二：2o(2)2211cos6010a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-= ，故选D.特殊法：如图A5所示，画单位圆，作出四个选项的向量，只有2a b -与b 垂直.图A5【答案】D6.（数列）记n S 为等比数列{n a }的前n 项和.若5a －3a =12,6a －4a =24，则nnS a =A ．21n -B ．122n-- C.122n --D ．121n --【解析】设{}n a 的公比为q ，∵6453()1224a a a a q q -=-==，∴2q =，∵22253311(1)(1)1212a a a q a q q a -=-=-==，∴11a =，∴111111(1)2111=22222n n n n n n n n a q S q a a q -------==-=-.【答案】B7.（算法框图）执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A.2B.3C.4D.5【解析】①输入00k a ==，，得211a a =+=，11k k =+=，10a >否，继续；②输入11k a ==，，得213a a =+=，12k k =+=，10a >否，继续；③输入23k a ==，，得217a a =+=，13k k =+=，10a >否，继续；④输入37k a ==，，得2115a a =+=，14k k =+=，10a >是，程序退出循环，此时4k =.【答案】C8.（解析几何）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A．5B.5C.5D.5【解析】如图A8所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵圆过点（2,1）且与两坐标轴都相切，∴222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===，即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=5或=5.图A8【答案】B9．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】如图A9所示，双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的渐近线为b y x a =±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴1282ODE S a b ab ∆=⋅==，∴焦距2248c ==≥⨯=，当且仅当a =等号成立.故C 的焦距的最小值为8.图A9【答案】B10.（函数）设函数331()f x x x =-，则()f x A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【解析】∵333311()()()()f x x x f x x x-=--=-+=--，∴()f x 是奇函数，243()3f x x x'=+，当x >0，()0f x '>，∴()f x 在(0,+∞)单调递减.【答案】A11.（立体几何）已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D ．32【解析】由题意可知244ABC S AB ∆==，∴3AB =，如图A11所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心，故1232O A =⨯=，∴O 到平面ABC 的距离11OO ==.图A11【答案】C12.（函数）若2233x y x y ---<-，则A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【解析】2233xyxy---<-可化为2323xxyy---<-，设1()2323xxxxf x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷全国Ⅱ卷(含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=，B=，则= A.B. C. D.2. A.-4 B.4 C.-4i D.4i3.如图，将钢琴上的12个键依次记为,,…,.设.若且，则称,,为原位大三和弦；若且，则称,,为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 A.5 B.8 C.10 D.154. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊{}3,x x x Z <∈{}1,x x x Z >∈A B ∅{}3,2,2,3--{}2,0,2-{}2,2-41i =-（）1a 2a 12a 112i j k ≤<<≤3k j -=4j i -=i a j a k a 4k j -=3j i -=i a j a k a跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名5.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是 A. B. C. D.6.记为等比数列{}的前项和. 若-=12, - =24，则= A ．-1 B ． 2- C. 2- D ．-17. 执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k 为： A. 2 B. 3 C. 4 D. 5a b b 2a b +2a b +2a b -2a b -n S n a n 5a 3a 6a 4a nnS a 2n 2t n -n-12t-n 28. 若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为A ． B. C. D.9．设O 为坐标原点，直线与双曲线C ：（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8 C ．16 D ．3210.设函数，则 A.是奇函数，且在(0,+)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+)单调递减 C.是偶函数，且在(0,+)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+)单调递减230x y --=5253545x a =2222x 1y a b-=ODE ∆331()f x x x =-()f x ∞∞∞∞11.已知△ABC的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 AB ．C ．1D12. 若，则 A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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