2019年华南理工大学版微积分下课件15.doc

第二节 对坐标的曲线积分一、 概念与性质基本问题：怎样计算变力对沿某曲线运动的质点所作 的功？定义：设L 为一条从点A 到点B 的平面有向光滑曲 线，函数()()y x Q y x P ,,,在L 上有界。

1）分割：在L 上沿L 的方向任意插入1-n 个点()()()111222111,,,,,,---n n n y x M y x M y x M把L 分成n 个有向小弧段i i M M 1-（B M A M n i n ===,;,,2,10 ）。

2）作乘积：设11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ，点()i i ηξ,为i i M M 1-上任意一点。

作乘积()()i i i ii i Δy η,ξQ ,Δx η,ξP3）求和：()i n i i i x P ∆∑=1,ηξ，()i ni i i x ,Q ∆∑=1ηξ4）取极限：设各小弧段的最大长度为λ，如果当0→λ时，()i ni i i x P ∆∑=1,ηξ，()i ni i i x ,Q ∆∑=1ηξ的极限总存在，则称此极限为函数()()y x Q y x P ,,,在有向曲线L 上的第二型曲线 积分，记为()⎰L dx y x P ,，()⎰L dy y ,x Q 即()()∑⎰=→∆=ni i i iLx P dx y x P 10,lim ,ηξλ()()∑⎰=→∆=ni i i iLy Q dx y x Q 1,lim ,ηξλ变力F 所作的功为()()dy y x Q dx y x P L ,,+⎰。

注1：对坐标的曲线积分可推广到空间中去。

注2：设A ()(){}y x Q y x P ,,,=,dr {}dy dx ,=，则()()⎰⎰⋅=+LLd dy y x Q dx y x P r A ,,注3：第二类曲线积分，与积分路径L 的方向选取有关，若 用L -表示与积分曲线L 选取的方向相反的曲线，则有()()dy y x Q dx y x P L,,+⎰-()()dy y x Q dx y x P L,,+-=⎰二、第二型曲线积分的计算方法 若有向曲线L 的参数方程为()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ，且起点A 对应的参 数为α，终点B 对应的参数为β，则()()()()()()()1011,lim ,lim ,nnii i i i i i Li i P x y dx P x P a a t t λλξηϕψϕϕ-→→===∆=⎡⎤-⎣⎦∑∑⎰利用拉格朗日中值定理在1,-i i t t 之间存在一点i τ使得()()()i i i i t t t ∆'=--τϕϕϕ1，因此()()()()01,lim ,niiiiLi P x y dx P a a t λϕψϕτ→='=⎡⎤∆⎣⎦∑⎰ 因为对任意的i i ηξ,此极限都是唯一的，所以无妨把i a 都 换成i τ，即()()()[]()∑⎰=→∆'=ni iiiiLt P dx y x P 1,lim ,τϕτψτϕλ()()[]()⎰'=βαϕψϕdt t t t P ,类似讨论得()⎰Ldy y x Q ,()()[]()⎰'=βαψψϕdt t t t Q ,注4：起点对应的参数值为下限，终点对应的参数值为上限。

例1：求()()⎰-++=C dy y x dx y x I 222，其中C 是从点()0,0A 到()4,1B 再到()3,2C 的折线。

解：线段AB 的参数方程为：t y t x 4,==，t线段BC 的参数方程为：t y t x -=+=4,1，t 从0变到1。

()()()()()()⎰⎰⎰-+++-++=-++=BCABCy x dx y xdy y x dx y xdyy x dx y x I 222222222()[]()()[]()[](){}dtt t t t dt t t t ⎰⎰-⋅+-++-+++⋅-+=1222122141414417()2161202522102=+-=⎰dt t t例2：()()()⎰-+-+-=L dz x y dy z x dx y z I L 为椭圆⎨⎧=+122y x且从z 轴正方向看去，L 顺时针。

解：曲线L 的参数方程为：θθθθcos sin 2,sin ,cos -+===z y x ，θ从π2变到0。

()()()()()[]⎰+-+--+--=2sin cos cos sin cos sin 2cos 2sin cos πθθθθθθθθθθd I 2πθθθθπ222122102-=⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎰d sin cos sin 。

点评：在计算第二类曲线积分题时，积分路径不能用同一个 参数方程表示时，则可把积分路径分解成若干段来处理，如 例1。

第二型曲线积分转化成定积分时，下限为起点对应的 参数值，上限为终点对应的参数值，所以上限有时可能比下限小，如例2。

例3：计算()()⎰+++=L dy y x y dx xy x I 2323 1）L 为从()0,0O 经点()1,1A 到(0,2B 有向折线； 2）L 沿园x y x 222=+从()0,0O 点()0,2B 。

解：1）线段OA 的参数方程为：t y t x ==,，t 从0变到1。

线段AB 的参数方程为：t y t x -=+=1,1，t 从0变到1。

()()()()⎰⎰+++++++=ABOAdy y x y dx xy xdy y x y dx xy xI 23232323()()()()()()()[]⎰⎰-+----++++=1023231031111114dt t t t t t t dt t4121414141=-+--+= 2）曲线L 的参数方程为：θθ2sin ,cos 22==y x ，θ从2π变 到0，()()[]⎰⋅+-=02242cos 22sin cos 4sin cos 4cos 8πθθθθθθθd I()()⎰⎰--=+-=02302533sin sin sin 16sin cos sin cos 16ππθθθθθθθθd d4=例4：计算()()⎰++-=L dy xy y dx xy x I 22 1)L 为从点()0,0O 到点()2,2B 的线段； 2）L 为从点()0,0O 经点()0,2A 到点()2,2B 的折线；3）L 沿抛物线221x y =从()0,0O 到点()2,2B 。

解：1）线段OB 的参数方程为：t y t x 2,2==，t 从0变到1，()()3881222==++-=⎰⎰dt t dy xy y dx xy x I L2）线段OA 的参数方程为：0,==y x x ，x 从0变到2，线 段AB 的参数方程为：y y x ==,2，y 从0变到2，()()()3194383822220222=++=++=++-=⎰⎰⎰dy y y dx x dy xy y dx xy x I L3）曲线L 的参数方程为：221,x y x x ==，x 从0到2，⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=203432214121dx x x x x x I 159851638238=++-=点评：第二类曲线积分，不但与起点和终点有关，而且还与 积分路径有关；如例4。

但我们从例3中也看到起点和终点 一致，积分路径不同但计算结果相同。

这样就很自然地引出 一个问题：在什么条件下第二类曲线积分与路径无关，此问 题由英国数学家格林于1825年解决，即所谓的格林公式。

例5：已知变力k j i F xy zx yz ++=，问将质点从原点沿直线移动到曲面1222222=++cz b y a x 的第一卦限部分上哪一点做功最大？并求出最大功。

(2001年期末考题)解：设()000,,z y x P 是椭球面上在第一卦限内的点，则质点从 原点移到点P 力F 所作的功为⎰++=OPxydz zxdy yzdx W线段OP 的参数方程为：t z z t y y t x x 000,,===，t 从0变到1，⎰⎰==++=1000020003z y x dt t z y x xydz zxdy yzdx W OP因为点()000,,z y x P 在椭球面上，所以1220220220=++cz b y a x ，解条件极值，即解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==122222220220000200020002c z b y ax z z x c y z x b x z y a 得3,3,3000c z b y a x ===，所以取点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,3,3c b a 时做功 最大，最大功为abc 93。

三、两类曲线积分的联系若有向曲线L 的参数方程为()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ，且起点A 对应的参数为α，终点B 对应的参数为β，则()()()()cos cos LLPdx Qdy P t Q t dtt t ds P Q dsβαβαϕψϕψαβ''+=+⎛⎫'' =+ ⎝=+⎰⎰⎰⎰ 其中βαcos ,cos 是曲线L 沿从A 到B 的方向的切线的方向余 弦。

对空间曲线也有类似公式。