高等数学：极值+解析 详解
高中数学中的函数的极值与最值分析
高中数学中的函数的极值与最值分析在高中数学中，函数的极值与最值是一个重要的概念。
理解和分析函数的极值与最值对于解决数学问题、优化模型以及应用实例都是至关重要的。
首先，我们需要了解什么是函数的极值与最值。
函数的极值指的是函数在某一区间内的最大值和最小值，可以分为极大值和极小值。
而最值则是指函数在整个定义域内的最大值和最小值。
接下来，让我们看一下如何分析函数的极值与最值。
第一步是寻找函数的驻点。
驻点是函数图像上的拐点，对应于导数为零或不存在的点。
通过求解函数的导数等于零的方程，我们可以找到驻点的横坐标。
第二步是寻找函数的不可导点。
不可导点通常出现在函数图像的尖点、长尾等特殊点上。
对于这些点，我们需要进一步研究函数在该点的极值情况。
第三步是分析函数的极值。
通过求解导数的二阶导数等于零的方程，我们可以确定函数在驻点和不可导点处的极值情况。
通过计算得出的极值可以判断函数的相对最值。
第四步是研究函数的端点。
函数的端点是定义域的边界，可能包含函数的最值。
通过计算函数的极限，我们可以确定函数在端点处的值，进而确定函数的最大值和最小值。
最后，进行整体分析。
将以上步骤得出的极值和最值进行比较，找出函数在整个定义域上的最大值和最小值。
在这一过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性等前提条件。
除了以上方法，还可以利用数学软件进行函数的图像绘制和分析。
数学软件可以快速计算导数和二阶导数，帮助我们找到函数的极值点，并进一步分析最值。
函数的极值与最值分析在数学问题和实际应用中扮演着重要的角色。
例如，在优化问题中，我们可以通过分析函数的极值来确定最优解。
在经济学、物理学等领域，函数的极值和最值也都有着广泛的应用。
总结而言，函数的极值与最值分析是高中数学中的重要内容。
通过寻找驻点、不可导点以及端点，我们可以确定函数的极值和最值。
这对于解决问题、优化模型以及应用实例都有着重要的意义。
通过合理的方法和工具，我们能够更好地理解和应用函数的极值与最值。
高考数学中的函数极值问题详解
高考数学中的函数极值问题详解函数极值是高考数学考试中必考的一个知识点，也是数学经典中的基础概念之一。
对于几乎所有的数学应用问题，都可以抽象出一个函数模型，因此函数极值的研究具有很高的实用性和理论意义。
本文将详细解析高考数学中的函数极值问题，包括一元函数和多元函数两种情况。
一、一元函数1. 什么是函数极值在一元函数的定义域内，若存在一点x0，使得它的函数值f(x0)不小于（或不大于）其它点的函数值，那么称f(x0)为函数的一个极大值（或极小值），x0称为极值点。
如下图所示，函数f(x)在x=a处达到极大值，x=b处达到极小值。
（图片来源于B站UP主@水良之家）2. 极值的判定方法（1）导数法对于一元函数f(x)，其导数f'(x)能够反映函数的增减性和变化趋势，因此使用导数来判断函数的极值是一种比较常见的方法。
具体来说，求出函数的导数，并令导数为0，求解其值即可得到原函数的极值点。
若导数为0的点是可导的，则它一定是极值点。
若导数为0的点不可导，则需要用单侧极限来进行讨论。
下面是一个例题：已知函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的驻点和极值点，试求f(x)的极值。
解：首先求导，得到f'(x)=3x²-3，令其为0，则得到x=±1又由于f(x)在-2,1,2处是可导的，因此极值点分别为x=-1,x=1。
在x=-2处不是极值点，它是函数f(x)的最小值点。
（2）二阶导数法在一元函数的定义域内，若f'(x0)=0且f''(x0)>0，说明在x0处函数的单调性发生了变化，由单调减变为单调增，因此x0就是函数的一个极小值点。
反之若f'(x0)=0且f''(x0)<0，则x0为函数的一个极大值点。
在使用这种方法时需要注意，函数的二阶导数f''(x)在某些情况下可能不存在，此时不能使用该方法来判定函数的极值。
专题08 函数的极值(解析版)
专题08函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．图1图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点x i是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．考点一根据函数图象判断极值【方法总结】由图象判断函数y ＝f (x )的极值(1)y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点的横坐标为x 0，可得函数y ＝f (x )的可能极值点x 0；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；如果在x 0附近的左侧f ′(x )≤0，右侧f ′(x )≥0，那么f (x 0)是极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点答案 C 解析 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4．当x ＜x 1时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C ．(2)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D 解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0．由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．故选D ．(3)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，x 1，x 2是函数y ＝f (x )的两个极值点，则x 21＋x 22等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289答案 C 解析 因为函数f (x )的图象过原点，所以d ＝0．又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2．由题意知x 1，x 2是函数f (x )的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169，故选C (4)已知函数y ＝f ′(x )x的图象如图所示(其中f ′(x )是定义域为R 的函数f (x )的导函数)，则以下说法错误的是( )A ．f ′(1)＝f ′(－1)＝0B ．当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值C ．方程xf ′(x )＝0与f (x )＝0均有三个实数根D ．当x ＝1时，函数f (x )取得极小值答案 C 解析 由图象可知f ′(1)＝f ′(－1)＝0，A 说法正确．当x <－1时，f ′(x )x<0，此时f ′(x )>0；当－1<x <0时，f ′(x )x >0，此时f ′(x )<0，故当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值，B 说法正确．当0<x <1时，f ′(x )x<0，此时f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )x>0，此时f ′(x )>0，故当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，D 说法正确．故选C ． (5)(多选)函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有( )A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的递增区间B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值答案 ABD 解析 由函数y ＝f (x )导函数的图象可知，f (x )的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f (x )在x ＝－1，5取得极小值，在x ＝3取得极大值，C 错误．故选A 、B 、D ．(6) (2018·全国Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案D解析当x＝0时，y＝2，排除A，B．由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D．【对点训练】1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．41．答案A解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．f(x)有两个极值点B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值2．答案BC解析由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(－2，0)时，g(x)<0，∴f′(x) >0，当x∈(0，1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0．∴f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增．故AD错误，BC正确．3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x21＋x22等于()A ．23B ．43C ．83D ．1633．答案 C 解析 由题中图象可知f (x )的图象经过点(1，0)与(2，0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，所以1＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83． 4．已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f ′(0)f ′(1)＝________．4．答案 1 解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由图象知，方程f ′(x )＝0的两根为－1和2，则有⎩⎨⎧ －2b 3a ＝－1＋2，c 3a ＝－1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，6a ＋c ＝0，∴f ′(0)f ′(1)＝c 3a ＋2b ＋c ＝c c ＝1． 5．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3，1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零5．答案 BD 解析 根据导函数的图象可知当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，＋∞)时，f ′(x )≥0，∴函数y ＝f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y ＝f (x )的极值点，∵函数y ＝f (x )在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y ＝f (x )的最小值点，∵函数y ＝f (x )在x ＝0处的导数大于0，∴y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零．故错误的命题为BD ．考点二 求已知函数的极值【方法总结】求函数的极值或极值点的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝x 2e －x 的极大值为__________，极小值为________．答案 4e －2 0 解析 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝－e －x x (x －2)．当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2．(2)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D 解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x ＞0)，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．(3)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e，则f (x )的极大值点为( ) A ．1eB ．1C ．eD ．2e 答案 D 解析 f ′(x )＝2e f ′(e)x －1e ，故f ′(e)＝1e ，故f (x )＝2ln x －x e ，令f ′(x )＝2x －1e >0，解得0<x <2e ，令f ′(x )<0，解得x >2e ，故f (x )在(0，2e)上递增，在(2e ，＋∞)上递减，∴x ＝2e 时，f (x )取得极大值2ln 2，则f (x )的极大值点为2e ．(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)·(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C 解析 因为f ′(x )＝(x －1)k －1[e x (x －1＋k )－k ]，当k ＝1时，f ′(1)>0，故1不是函数f (x )的极值点．当k ＝2时，当x 0<x <1(x 0为f (x )的极大值点)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．故f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C ．(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1答案 A 解析 f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1．∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)e －3＝0，得a ＝－1．∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1．由f ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞1；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜1．∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1．(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( ) A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增 B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12答案 ABC 解析 由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，即[xf (x )]′＝ln x x，设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln x x，由g ′(x )＞0得x ＞1，由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12．故选ABC ． [例2] 给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的拐点．已知f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ．(1)求证：函数y ＝f (x )的拐点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上；(2)x ∈(0，2π)时，讨论f (x )的极值点的个数．解析 (1)∵f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ，∴f ′(x )＝a ＋3cos x ＋sin x ，∴f ″(x )＝－3sin x ＋cos x ，∵f ″(x 0)＝0，∴－3sin x 0＋cos x 0＝0．而f (x 0)＝ax 0＋3sin x 0－cos x 0＝ax 0．∴点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上．(2)令f ′(x )＝0，得a ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 作出函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈(0，2π)与函数y ＝a 的草图如下所示：由图可知，当a ≥2或a ≤－2时，f (x )无极值点；当a ＝－3时，f (x )有一个极值点；当－2<a <－3或－3<a <2时，f (x )有两个极值点．[例3] (2021·天津高考节选)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －x ·e x ．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切点的方程；(2)证明f (x )存在唯一极值点．解析 (1)因为f (0)＝0，f ′(x )＝a －(x ＋1)e x ，所以f ′(0)＝a －1，所以函数在(0，f (0))处的切线方程为(a －1)·x －y ＝0．(2)若证明f (x )仅有一个极值点，即证f ′(x )＝a －(x ＋1)e x ＝0，只有一个解，即证a ＝(x ＋1)e x 只有一个解，令g (x )＝(x ＋1)e x ，只需证g (x )＝(x ＋1)e x 的图象与直线y ＝a (a ＞0)仅有一个交点，g ′(x )＝(x ＋2)e x ， 当x ＝－2时，g ′(x )＝0，当x ＜－2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当x ＞－2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＝－2时，g (－2)＝－e －2＜0．当x →＋∞时，g (x )→＋∞，当x →－∞时，g (x )→0－，画出函数g (x )＝(x ＋1)e x 的图象大致如下，因为a ＞0，所以g (x )＝(x ＋1)e x 的图象与直线y ＝a (a ＞0)仅有一个交点．即f (x )存在唯一极值点．【对点训练】1．函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( )A ．1eB ．2eC ．eD ．e 2 1．答案 C 解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，当f ′(x )＞0时，解得0＜x ＜e ；当f ′(x )＜0时，解得x ＞e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e ．故选C ．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．答案 C 解析 f ′(x )＝2(x 2－1)·2x ＝4x (x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1．3．函数f (x )＝12x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数3．答案 A 解析 函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋1x －2＝x 2－2x ＋1x ＝(x －1)2x≥0，即f (x )在定义 域上单调递增，无极值点．4．函数f (x )＝(x 2－x －1)e x (其e ＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是 ；极大值为 ．4．答案 1或－2 5e 2解析 由已知得f ′(x )＝(x 2－x －1＋2x －1)e x ＝(x 2＋x －2)e x ＝(x ＋2)(x －1)e x ，因为e x ＞0，令f ′(x )＝0，可得x ＝－2或x ＝1，当x ＜－2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(－2，1)上单调递减；当x ＞1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故f (x )的极值点为－2或1，且极大值为f (－2)＝5e2． 5．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2的极大值和极小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．45．答案 D 解析 f ′(x )＝3ax 2－b ＝0，由题意，知该方程有两个根，设该方程的两个根分别为x 1，x 2，故f (x )在x 1，x 2处取到极值，M ＋m ＝ax 31－bx 1＋2＋ax 32－bx 2＋2＝－b (x 1＋x 2)＋a (x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＋4，又x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－b 3a，所以M ＋m ＝4，故选D ．6．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( ) A ．－113 B ．－16 C ．16 D ．1736．答案 B 解析 由题意，得f ′(x )＝x 2－2ax －2．又x ＝－2是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(－2)＝2＋4a ＝0，解得a ＝－12．所以f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋1，所以f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)．当x ＜－2或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0．所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2，1)．当x ＝1时，函数y ＝f (x )取得极小值，为f (1)＝13＋12－2＋1＝－16．故选B ． 7．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 7．答案 B 解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得 a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x，∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52． 8．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1eD ．f (x )在定义域内无极值 8．答案 BC 解析 因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，令f ′(x )＝0，所以x ＝1e，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，x ＝1e是极小值点，所以A 错误，B 正确；当x ∈(0，1]时，根据单调性可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，故C 正确；显然f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ，故D 错误．故选BC ．9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e2，则t 的最小值为2 9．答案 ABC 解析 由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0，∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x＝－(x ＋1)(x －2)e x，当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1，2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，∴f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，故B正确．又f (－1)＝－e ，f (2)＝5e2，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→0，∴f (x )的图象如图所示，由图知C 正确，D 不正确．10．若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝________．10．答案 －23 解析 因为函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，且f (1)＝0，所以f (－5)＝0，f (－2)＝0，所以x ＝－2，x ＝－5是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．由根与系数的关系可得，a ＝7，b ＝10，所以f (x )＝(1－x )(x 2＋7x ＋10)，所以f ′(x )＝－(x 2＋7x ＋10)＋(1－x )(2x ＋7)＝－3(x 2＋4x ＋1)．又因为x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，所以x 1，x 2是x 2＋4x ＋1＝0的两个根，且x 1>x 2．解方程可得，x 1＝－2＋3，x 2＝－2－3，所以x 2－x 1＝－23．11．已知函数f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，a ＜0． (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极小值．11．解析 (1)因为f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，所以f ′(x )＝x e x －x e a ．所以f (0)＝－1，f ′(0)＝0． 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－1．(2)f ′(x )＝x e x －x e a ＝x (e x －e a )，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．f (x )与f ′(x )在R 上的变化情况如表： x(－∞，a ) a (a ，0) 0 (0，＋∞) f ′(x )＋ 0 － 0 ＋f (x )由表可知，当x ＝0时，f (x )有极小值f (0)＝－1．12．已知函数f (x )＝e x ＋2x． (1)求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：函数f (x )仅有唯一的极小值点．12．解析 (1)因为f ′(x )＝e x (x －1)－2x 2，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝－2． 又因为f (1)＝e ＋2，所以切线方程为y －(e ＋2)＝－2(x －1)，即2x ＋y －e －4＝0．(2)证明：令h (x )＝e x (x －1)－2，则h ′(x )＝e x ·x ，所以x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0， x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0．当x ∈(－∞，0)时，易知h (x )<0， 所以f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上没有极值点．当x ∈(0，＋∞)时，因为h (1)＝－2<0，h (2)＝e 2－2>0， 所以f ′(1)<0，f ′(2)>0，f (x )在(1，2)上有极小值点．又因为h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )仅有唯一的极小值点． 考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围) 【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．答案 1 解析 由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3．当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0；当x ＜1或x ＞3时，f ′(x )＞0，此时f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意，当m ＝1时，f ′(x )＝(x －1)(3x －1)．当13<x <1时，f ′(x )<0；当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意，所以m＝1．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________． 答案 11 解析f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )无极值，所以a ＝1，b ＝3不符合题意，当a ＝2，b ＝9时，经检验满足题意．∴a ＋b ＝11．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． 答案 1 解析 因为函数的导数为f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ，k ≥1，k ∈Z ，所以若k 是偶数，则x ＝k ，不是极值点，则k 是奇数，若k <52，由f ′(x )>0，解得x >52或x <k ；由f ′(x )<0，解得k <x <52，即当x ＝k 时，函数f (x )取得极大值．因为k ∈Z ，所以k ＝1．若k >52，由f ′(x )>0，解得x >k 或x <52；由f ′(x )<0，解得52<x <k ，即当x＝k 时，函数f (x )取得极小值，不满足条件．(4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．答案 a >－1 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，所以f ′(x )＝1x－ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x ．①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ．因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0．综合①②得a 的取值范围是a >－1．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 答案 C 解析f ′(x )＝ax －(1＋2a )＋2x ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x (a >0，x >0)，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，1内有解，且f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内先大于0，后小于0，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12>0，f ′(1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧14a －12(2a ＋1)＋212>0，a －(2a ＋1)＋2<0，解得1<a <2，故选C ．(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；答案 (－∞，－1] 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋ax ，由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a >0，且2×12－1＋a ≤0，所以a ∈(－∞，－1]．(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )＝x (ln x －ax )，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x －2ax ．由题意知，当x >0时，1＋ln x －2ax ＝0有两个不相等的实数根，即2a ＝1＋ln x x 有两个不相等的实数根，令φ(x )＝1＋ln xx (x >0)，∴φ′(x )＝－ln xx 2．当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x →0时，φ(x )→－∞，当x →＋∞时，φ(x )→0，则0<2a <1，即0<a <12．(8) (2021·全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( ) A ．a <b B ．a >b C ．ab <a 2 D ．ab >a 2答案 D 解析 法一 (特殊值法)当a ＝1，b ＝2时，函数f (x )＝(x －1)2(x －2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x ＝1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝1，b ＝2可判断选项B ，C 错误；当a ＝－1，b ＝－2时，函数f (x )＝－(x ＋1)2(x ＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x ＝－1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝－1，b ＝－2可判断选项A 错误．法二(数形结合法)当a>0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象，如图3所示，观察可知b>a．图3当a<0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象，如图4所示，观察可知a>b．图4综上，可知必有ab>a2成立．故选D．[例2]已知曲线f(x)＝x e x－23ax3－ax2，a∈R．(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数y＝f(x)有三个极值点，求实数a的取值范围．解析(1)当a＝0时，f(x)＝x e x⇒f′(x)＝e x＋x e x⇒f′(1)＝2e，又f(1)＝e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，化简得y＝2e x－e．(2)因为f′(x)＝e x(x＋1)－2ax(x＋1)＝(x＋1)(e x－2ax)，所以令f′(x)＝0⇒(x＋1)(e x－2ax)＝0⇒x＋1＝0或e x－2ax＝0，由于函数y＝f(x)有三个极值点，所以方程e x－2ax＝0必有两个不同的实根，设g(x)＝e x－2ax，则g′(x)＝e x－2a，易知a≤0时，g′(x)>0，g(x)在R上单调递增，不合题意，故a>0，所以g(x)的两个零点必为正数．令g′(x)＝0⇒e x－2a＝0⇒x＝ln(2a)，所以在x∈(－∞，ln(2a))时，g′(x)<0，g(x)单调递减；在x∈(ln(2a)，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．依题意，要使得函数g(x)＝e x－2ax有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，则g(x)min＝g(ln(2a))<0，于是e ln(2a)－2a ln(2a)<0⇒2a－2a ln(2a)<0⇒1－ln(2a)<0⇒a>e2．所以当a >e2时，在x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e2，＋∞． 【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．11．答案 A 解析 f ′(x )＝e x ＋(x ＋a )e x ＝(x ＋a ＋1)e x ．由题意知f ′(1)＝e(2＋a )＝0，∴a ＝－2．故选A ． 2．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．02．答案 B 解析 由f ′(2)＝0可得c ＝2或6．当c ＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x ＝2处取得极小值；当c ＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x ＝2处取得极大值．故选B ．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的 极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．53．答案 C 解析 由题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a >0，且－2＋ 3＝－2b 3a ，－2×3＝c3a ，则3a ＝－2b ，c ＝－18a ，f (x )的极小值为f (3)＝27a ＋9b ＋3c －17＝－98，解得a＝2，b ＝－3，c ＝－36，故选C ．4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．4．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，解得c ＞32或c ＜－32．所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．5．答案 (－∞，－1) 解析 由y ′＝e x ＋a ＝0得x ＝ln (－a )(a <0)，显然x ＝ln (－a )为函数的极小值点， 又ln (－a )>0，∴－a >1，即a <－1．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(e ，e) B ．(e ，2) C ．(2，e) D ．(e ，＋∞) 6．答案 B 解析 令f ′(x )＝(2－a )(x －1)(e x －a )＝0，得x ＝ln a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，解得a ∈(e ，e)，由题意知， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，ln a 时，f ′(x )>0，当x ∈(ln a ，1)时，f ′(x )<0，所以2－a >0，得a <2．综上，a ∈(e ，2)．故选B ．7．已知函数f (x )＝xln x －ax 在(1，＋∞)上有极值，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，14B ．⎝⎛⎭⎫－∞，14C ．⎝⎛⎦⎤0，14D ．0，147．答案 B 解析 f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ，设g (x )＝ln x －1(ln x )2＝1ln x －1(ln x )2，因为函数f (x )在(1，＋∞)上有极值，所以f ′(x )＝g (x )－a 有正有负．令1ln x ＝t ，由x >1可得ln x >0，即t >0，得到y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14≤14．所以a <14，故选B ．8．若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 有极值，则实数a 的取值范围是________．8．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，18 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋a x ，由题意知y ＝f ′(x )有 变号零点，令2x 2－x ＋a ＝0，即a ＝－2x 2＋x (x >0)，令φ(x )＝－2x 2＋x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋18(x >0)，其图象如图所示，故a <18．9．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．9．答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯 一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32．10．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________． 10．答案 ⎝⎛⎭⎫－1e ，0 解析 f (x )＝x ln x ＋m e x (x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋m e x(x >0)，令f ′(x )＝0，得－m ＝ln x ＋1e x， 设g (x )＝ln x ＋1e x ，则g ′(x )＝1x －ln x －1e x(x >0)，令h (x )＝1x －ln x －1，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0(x >0)，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递减且h (1)＝0，∴当x ∈(0，1]时，h (x )≥0，即g ′(x )≥0，g (x )在(0，1]上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )max ＝g (1)＝1e ，而当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，若f (x )有两极值点，只要y ＝－m 和g (x )的图象在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<－m <1e ，故－1e<m <0．11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．11．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 2 解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax －1．根据题意可得f ′(x )在(0，＋∞) 上有两个不同的零点，则ln x －ax －1＝0有两个不同的正根，从而转化为a ＝ln x －1x 有两个不同的正根，所以y ＝a 与y ＝ln x －1x 的图象有两个不同的交点，令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝2－ln xx 2，令h ′(x )>0得0<x <e 2，令h ′(x )<0得x >e 2，所以函数h (x )在(0，e 2)为增函数，在(e 2，＋∞)为减函数，又h (e 2)＝1e 2，x →0时，h (x )→－∞，x →＋∞时，h (x )→0，所以0<a <1e2．12．已知函数f (x )＝xex －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e 12．答案 C 解析 f ′(x )＝1－xe x ，所以f ′(x )，f (x )的变化如下表： x (－∞，1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 －f (x )极大值若a ＝0，x ＞0时，f (x )＞0，f (x )最多只有一个零点，所以a ≠0．若f (x )有两个零点，则1e －a ＞0，即a ＜1e ，结合a ＝0时f (x )的符号知0＜a ＜1e ．故选C ．。
极值的概念及运用
极值的概念及运用极值是数学中一个非常基础的概念，它指的是一个函数在给定区间内取得最大值或最小值的点。
这个概念在数学中被广泛运用，尤其是在优化、微积分和概率统计等领域。
下面我们将对极值的概念及运用进行简单介绍。
一、最大值和最小值在数学中，若函数f(x)在区间[a,b]内存在一点x0，且在x0的一个邻域内的任意一点x，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)在x0处取得极大值，称x0为f(x)的极大值点；若在x0的一个邻域内的任意一点x，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)在x0处取得极小值，称x0为f(x)的极小值点。
有些函数在区间[a,b]内并不一定存在最大值或最小值，例如函数f(x)=x^2在实数轴上并不存在最小值，因为x^2>=0，取遍所有实数。
但是，如果只考虑f(x)在[a,b]内的取值，则f(x)的最小值为0，取在x=0处；同时最大值为b^2，取在x=b处。
二、求解极值的方法一般情况下，我们可以通过求函数f(x)在极值点处的导数来判断函数的极值。
求导数的过程如下：1. 首先求出f(x)的导数f’(x)；2. 然后令f’(x)=0，得到方程f’(x)=0；3. 解出方程f’(x)=0的根，为f(x)的极值点。
但是，还有一些特殊情况需要注意：1. 有些函数在极值点处导数不存在，例如函数f(x)=|x|在x=0处不存在导数。
此时需要通过其他方法进行求解。
2. 极值点有可能是非常值点，例如函数f(x)=x^3在x=0处取得极小值，但是f(x)在x=0处不是最小值。
三、极值在实际问题中的应用极值在实际问题中有广泛的应用，尤其是在优化问题中。
例如，在企业的生产中，需要确定最佳的生产方案，即在满足各项限制条件的前提下，最大化或最小化某个目标函数的值。
这个问题可以转化为求函数的极值问题，对应的极值点即为最佳的生产方案。
另外，在经济管理、社会科学等领域中，也有许多问题可以归结为极值问题。
例如，在投资组合中，需要确定最优的资产组合；在市场需求预测中，需要确定最佳的价格策略；在劳动力市场中，需要确定最合适的薪酬政策等。
高考数学知识点解析函数的极值与拐点
高考数学知识点解析函数的极值与拐点高考数学知识点解析：函数的极值与拐点在高考数学中，函数的极值与拐点是一个重要的知识点，也是考试中经常出现的考点。
理解和掌握这两个概念对于解决函数相关的问题至关重要。
接下来，让我们深入探讨一下函数的极值与拐点。
一、函数的极值1、极值的定义函数的极值是指在函数定义域内的某个局部区域内，函数取得的最大值或最小值。
具体来说，如果在函数定义域内的某一点 x₀处，存在一个邻域，使得在这个邻域内，函数值都小于（或大于） f(x₀)，那么f(x₀) 就是函数的一个极大值（或极小值）。
2、极值的判定（1）一阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 x₀为函数的驻点（即 f'（x₀) ＝0）。
当 x ＜ x₀时，f'（x) ＞ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＜ 0，则 f(x₀) 为极大值。
当 x ＜ x₀时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＞ 0，则 f(x₀) 为极小值。
（2）二阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处二阶可导，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。
若 f'＇（x₀) ＜ 0，则 f(x₀) 为极大值；若 f'＇（x₀) ＞ 0，则 f(x₀) 为极小值。
3、求极值的步骤（1）求出函数的导数 f'（x)。
（2）令 f'（x) ＝ 0，求出驻点。
（3）根据一阶导数判别法或二阶导数判别法判断驻点是否为极值点，并求出极值。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 1，其导数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。
令f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。
当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜ x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
《函数的极值》 讲义
《函数的极值》讲义一、函数极值的定义在数学中，函数的极值是一个非常重要的概念。
简单来说，极值就是函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
具体而言，如果在函数定义域内的某个点 x₀处，函数值 f(x₀) 大于（或小于）其在 x₀附近的所有点的函数值，那么 f(x₀) 就是函数的一个极大值（或极小值）。
需要注意的是，极值是局部概念，也就是说一个函数在某一点取得极值，并不意味着它在整个定义域内都是最大或最小的。
二、函数极值的必要条件为了找到函数的极值，我们首先要了解一个重要的定理——费马定理。
费马定理指出：如果函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 x₀为 f(x) 的极值点，那么 f'（x₀) ＝ 0。
这意味着，可导函数的极值点处的导数为 0。
但要注意，导数为 0 的点不一定是极值点，比如函数 f(x) ＝ x³，在 x ＝ 0 处导数为 0，但不是极值点。
三、函数极值的充分条件仅仅知道导数为 0 还不够，我们还需要一些充分条件来确定这个点到底是不是极值点。
第一种情况：如果在 x₀的左侧导数为正，右侧导数为负，那么 x₀是极大值点。
第二种情况：如果在 x₀的左侧导数为负，右侧导数为正，那么 x₀是极小值点。
第三种情况：如果在 x₀的两侧导数同号，那么 x₀不是极值点。
四、求函数极值的步骤接下来，我们来总结一下求函数极值的一般步骤：第一步，求出函数的定义域。
第二步，对函数求导。
第三步，令导数等于 0，求出导数为 0 的点（即驻点）以及导数不存在的点。
第四步，根据上述充分条件，判断这些点是否为极值点。
第五步，将极值点代入函数，求出相应的极值。
五、实例分析为了更好地理解函数极值，我们通过一些具体的例子来进行分析。
例 1：求函数 f(x) ＝ x² 4x ＋ 3 的极值。
首先，对函数求导得到 f'（x) ＝ 2x 4。
令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 2。
当 x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
函数的极值知识点总结
函数的极值知识点总结函数的极值是数学中的重要概念，它可以帮助我们确定函数的最大值和最小值，以及在哪些点上达到这些值。
在实际问题中，函数的极值可以用来优化问题，找到最佳解决方案。
下面我将从定义、求解方法和应用三个方面来总结函数的极值知识点。
一、定义函数的极值是函数在定义域上的最大值和最小值。
最大值又称为最大极值，最小值又称为最小极值。
二、求解方法1. 寻找函数的极值点要求函数的极值，首先需要找到函数的极值点。
极值点是函数在定义域内使函数取得极值的点。
可以通过求函数的导数或者二阶导数来找到极值点。
2. 判断极值找到极值点后，需要判断这些点是函数的极大值还是极小值。
可以通过求导数的符号来判断，如果导数在极值点的左侧为正，右侧为负，则该点为极大值；如果导数在极值点的左侧为负，右侧为正，则该点为极小值。
3. 检验极值找到极值点并判断后，还需要进行检验。
可以通过求二阶导数来检验，如果二阶导数在极值点处的值大于0，则该点为极小值；如果二阶导数在极值点处的值小于0，则该点为极大值。
4. 边界点的考虑在求解函数的极值时，还需要考虑边界点。
边界点是函数定义域的端点，需要将边界点和极值点进行比较，找出最大值和最小值。
三、应用函数的极值在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 最优化问题：在约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的变量值，如生产成本最小化、利润最大化等。
2. 经济学：用函数的极值来分析供求关系、市场均衡等问题。
3. 物理学：用函数的极值来分析力学系统中的平衡点、最小能量状态等。
4. 生态学：用函数的极值来分析物种种群的最大增长率、生物多样性等。
函数的极值是数学中的重要概念，可以帮助我们确定函数的最大值和最小值。
通过求解极值点、判断极值和检验极值，可以找到函数的极大值和极小值。
函数的极值在实际问题中有广泛的应用，可以用来解决最优化问题、分析经济学和物理学等领域的现象。
掌握函数的极值知识，可以帮助我们更好地理解和应用数学。
函数的极值与分析
函数的极值与分析函数的极值是数学中重要的概念之一，它可以帮助我们研究函数的变化规律和优化问题。
在本文中，我们将深入探讨函数的极值概念以及极值问题的分析方法。
一、极值的定义与分类极值是指函数在某一点或某一区间内取得的最大值或最小值。
根据函数取得极值的方式，我们可以将其分为局部极值和全局极值两类。
1. 局部极值：函数f(x)在点x=a处取得极值，若存在取心领域内的所有x值，使得f(x) ≤ f(a) (或f(x) ≥ f(a))，则称f(x)在x=a处有局部最小值（或局部最大值）。
极小值和极大值的统称为局部极值。
2. 全局极值：函数f(x)在定义域上的最大值或最小值称为全局极小值或全局极大值。
全局极值一定包含所有的局部极值。
二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们可以通过以下几种方法进行分析。
1. 导数法：对于可导的函数，我们可以通过求解其导数为零的点来确定极值的存在性和位置。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处取得极值且在a点可导，那么f'(a) = 0。
此时，我们可以通过求解f'(x) = 0来找到可能的极值点，然后通过二阶导数或函数的变化趋势来确定其为极小值还是极大值。
2. 边界条件法：对于定义在有限闭区间上的函数，我们可以通过求解端点处的函数值来确定极值。
具体而言，如果函数f(x)在开区间(a,b)内取得极值，那么我们需要比较f(a)、f(b)和函数在(a,b)内的极值点来确定最大值或最小值。
3. 二次型矩阵法：对于二元函数f(x,y)，我们可以将其转化为二次型的形式来进行极值的求解。
通过对二次型所对应的矩阵进行特征值的分析，我们能够得到函数的极值情况。
4. 根据函数的性质：有些函数具有一定的对称性，如周期性、偶函数性等。
对于这些函数，我们可以根据其性质来分析并确定极值的位置。
三、应用举例接下来，我们通过几个具体的例子来说明如何应用上述方法求解函数的极值。
示例一：求解函数f(x) = x^2 - 4x + 3在定义域上的极值。
极大值极小值知识点-概述说明以及解释
极大值极小值知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极值问题是数学分析中的一个重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用。
极大值和极小值是函数在一定区间内取得的最大值和最小值，它们是优化问题中的关键概念。
本文将从极值的基本概念出发，介绍如何求解极值，以及极值在实际问题中的应用。
让我们一起深入了解极值的知识，掌握求解极值的方法，从而更好地应用于实际问题中。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的框架和内容进行概述和介绍。
在这一部分，我们将简要介绍本文的章节安排和各个部分的主要内容。
第一部分是引言部分，包括概述本文要讨论的内容、文章结构和目的。
在引言部分，我们将简要介绍极大值和极小值的概念，以及为什么学习这些知识点是重要的。
第二部分是正文部分，包括极大值的概念、求解极大值的方法和极小值的概念。
在这一部分，我们将详细讨论极大值和极小值的含义，以及如何通过不同的方法来求解极值的问题。
第三部分是结论部分，包括总结极值概念、应用实例和展望。
在结论部分，我们将对本文所讨论的内容进行总结，并展示极大值和极小值在实际问题中的应用和未来的发展方向。
通过这样的文章结构，读者可以清楚地了解到本文的主要内容和各个部分的重点，帮助他们更好地理解极值的知识点。
1.3 目的目的部分的内容:本文旨在系统地介绍极大值和极小值的概念，以及求解极值的方法，从而帮助读者更全面地理解这一数学知识点。
同时，通过应用实例的分析，读者能够更好地理解极值在实际问题中的应用，并对未来在相关领域的研究和实践提供一定的启发和参考。
最终，期望本文能够为读者提供一个清晰的极值概念框架，帮助他们更有效地应用这一知识，解决实际问题。
2.正文2.1 极大值的概念极大值是在函数曲线上某一点附近的最大函数值。
具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得在该区间内，当x不等于a或b时，f(x)小于等于f(a)或f(b)，那么f(x)在该区间内的最大值就是极大值。
极值的名词解释
极值的名词解释在数学中，极值是指一个函数在某个特定区间或者定义域上取得的最大值或最小值。
它们在许多实际问题的求解中起着重要的作用，例如最优化问题、经济学和物理学中的最优解。
在这篇文章中，我们将深入探讨极值的概念、性质以及一些具体应用。
首先，我们来了解一下极值的基本概念。
对于一个函数而言，当它在某个点的导数为零或不存在时，我们说这个点是函数的极值点。
根据导数的性质，这样的点可能是函数的极大值点，即在该点函数取得最大值，或者是极小值点，即在该点函数取得最小值。
注意，一个函数在某个点处取得极值，并不意味着它在整个定义域上都取得了极值。
在研究极值的过程中，我们会遇到一些重要的定理和条件。
例如，罗尔定理和拉格朗日中值定理是求解极值的常用工具。
罗尔定理告诉我们，如果一个函数在开区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在a和b处的函数值相等，那么在开区间(a, b)上至少存在一个点，使得函数在该点处的导数为零。
这一定理为我们找到极值点提供了理论依据。
而拉格朗日中值定理则是在罗尔定理的基础上进一步推广，它确保了函数在开区间(a, b)上至少存在一个点，使得函数在该点处的导数等于函数在区间两端点的斜率之差。
了解极值的性质对于解决实际问题非常重要。
对于可导函数而言，局部极值点必须是函数的临界点。
临界点包括导数为零和导数不存在的点。
然而，临界点并不一定是局部极值点。
为了确定一个临界点是否为极值点，我们可以利用二阶导数的信息。
如果一个临界点对应的二阶导数为正，那么这个临界点是函数的极小值点；反之，如果二阶导数为负，那么这个临界点就是函数的极大值点。
除了教科书中的数学推导，极值也在各个领域的现实问题中发挥着重要作用。
在经济学中，求解最优化问题通常涉及到寻找某个函数的极值。
例如，在成本函数和利润函数的分析中，我们需要确定最低成本和最大利润所对应的输入量和产量。
通过求解这些函数的极值，我们可以找到经济活动的最优决策。
高等数学中的极值问题
高等数学中的极值问题在高等数学中，极值问题是一个比较重要的知识点，也是很多学生觉得比较困难的章节之一。
极值问题的本质是求函数的最大值或最小值，涵盖了很多数学领域中的最优化问题。
在实际应用中，极值问题可以帮助我们解决很多实际问题。
比如，一个企业想要最大化利润，一个旅行者想要最短地从一个城市到另一个城市，一张地图上想要画出最小生成树等等。
这些问题的核心在于求解函数的最大值或最小值。
那么，如何求解函数的极值呢？在高等数学中，我们可以使用微积分的知识来帮助我们求解函数的极值。
一、函数的极值首先，我们需要了解什么是函数的极值。
在一个函数的定义域内，如果存在一个点，在这个点的左右两侧的函数值都比它小（或大），那么这个点就是函数的极大值（或极小值）。
举个例子，对于函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1，我们可以通过求导来求解函数的极值。
首先，对函数f(x)求导，得到它的导函数f'(x) = 3x² - 6x + 2。
然后，我们可以通过求解f'(x)=0来找到函数的极值点。
将f'(x) = 3x² - 6x + 2 = 0，解出x的值为1或2/3。
接下来，我们可以通过二阶导数的符号来判断这两个点是极值点还是拐点。
当f''(1) = 6 > 0时，x=1是函数f(x)的极小值；而当f''(2/3)=-2<0时，x=2/3是函数f(x)的极大值。
二、函数的最大值和最小值求解函数的极值只是解决了一个部分问题，我们还需要找到函数的最大值或最小值。
在一些简单的函数中，我们可以通过画图来直观地看出函数的最大值或最小值。
但对于一些复杂的、多项式的函数来说，我们需要使用数学公式和定理来求解它们的最大值或最小值。
其中，拉格朗日乘数法是一个求解函数最大值或最小值的常用方法。
拉格朗日乘数法将求解最值的问题，转化为求解一个无约束条件的问题，简化了求解的步骤。
函数的极值与最大(小)值(解析版)
函数的极值与最大(小)值(解析版)函数的极值与最大(小)值（解析版）函数的极值与最大(小)值是数学分析中一个重要的概念和研究内容，它在很多领域具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等。
本文将介绍函数的极值与最大(小)值的定义、求解方法以及一些实际问题中的应用。
一、函数的极值与最大(小)值的概念函数的极值是指在一个特定的区间内，函数取得的最大值或最小值。
定义域中的极值点可以是局部极大值或局部极小值，也可是全局的最大值或最小值。
二、求解函数的极值与最大(小)值求解函数的极值与最大(小)值通常有以下方法：1. 导数法：根据函数的导数（或导函数），可以找到函数的驻点和拐点，并通过一阶和二阶导数的符号来判断极值点的类型，即极大值或极小值。
其中，一阶导数为零的点即为函数的驻点，二阶导数为零的点即为函数的拐点。
2. 边界法：在给定的区间内，如果函数在区间的端点处取得最大或最小值，则该值也是函数的极值。
通过比较函数在边界点和内部点的取值，可以确定函数的最大(小)值。
3. 高阶导数法：对于一些特殊的函数，可以通过多阶导数的方法求解极值。
通过计算函数的高阶导数，可以得到函数的极值点。
4. 参数方程法：对于参数方程给出的函数，可以通过求解参数方程中的参数值，得到函数的极值。
这种方法在实际问题中应用较多。
三、实际问题中的应用函数的极值与最大(小)值在各个领域中都有广泛的应用，例如：1. 经济学中，通过对供需函数的极值分析，可以确定市场的均衡价格和数量，从而指导市场调节和政策制定。
2. 物理学中，通过对物体运动轨迹方程的极值分析，可以确定物体在运动过程中最大(小)值速度、加速度等相关参数。
3. 工程学中，通过对成本、效益、材料使用等函数的极值分析，可以优化设计方案，提高工程效率和经济性。
4. 生物学中，通过对生态系统中的种群数量变化函数的极值分析，可以研究种群的稳定性和生态系统的平衡状态。
总之，函数的极值与最大(小)值是数学分析中的重要内容，它不仅具有理论意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。
函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
)(x f 0x x =0x )()(0x f x f <)(0x f )(x f )(0x f y =极大值0x )()(0x f x f >)(0x f )(x f )(0x f y =极小值)(x f '0)(='x f '()f x ()y f x =],[b a )(x f ],[b a ),(b a )(x f 1()(0)f x x x =>函数极值点条件函数的极值求函数极值函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值函数极值的定义2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题例1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；【解析】因为处取得极值 所以 所以。
极值的求解及应用
极值的求解及应用极值是数学分析中的重要概念，指的是函数在某个定义域内取得的最大值和最小值。
极值的求解及应用是数学分析中的基础内容之一，涉及到函数的最优化问题以及其在各个科学领域中的实际应用。
一、极值的求解方法常见的求解函数极值的方法有以下几种：一阶导数法、二阶导数法、拉格朗日乘数法。
1. 一阶导数法：使用一阶导数可以求得函数的极值点。
如果函数在极值点处导数为零，那么这个点就是函数的极值点，同时要按照函数的性质确定是极大值还是极小值。
然而，导数为零并不一定保证这个点是极值点，还需要使用二阶导数进行进一步的判定。
2. 二阶导数法：使用二阶导数可以判定函数在极值点处的极值类型。
如果函数在某个点的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，那么这个点就是函数的极小值点；反之，如果二阶导数小于零，那么这个点是函数的极大值点。
3.拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法适用于求解带有约束条件的最优化问题。
对于有n个变量和m个约束条件的最优化问题，可以构建一个泛函函数，通过使用拉格朗日乘数法，将约束条件与目标函数结合起来，并通过求解泛函函数的偏导数为零来求得极值点。
二、极值应用的例子极值的求解与应用在日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
以下是几个极值应用的例子：1. 经济学中的利润最大化问题：在市场经济中，企业通过确定合适的产量与售价来达到最大化利润的目标。
利用一阶导数法，可以求得利润函数的极值点，从而确定适当的产量和价格。
2.物理学中的运动最优化问题：在物理学中，例如弹道学中，要求在给定条件下，使得物体的飞行轨迹距离最远或时间最短。
通过构建合适的数学模型和方程，利用导数法可以求得极值点，从而得到最优解。
3. 机器学习中的模型优化问题：在机器学习中，通过构建合适的数学模型，可以将其视为一个优化问题。
利用梯度下降算法，通过求解模型参数的极值点，可以找到最优的模型参数，从而实现模型的优化。
4. 人口学中的人口增长问题：人口学研究中经常需要解决人口增长的模型和问题。
函数的极值知识点及例题解析
函数的极值知识点及例题解析1. 知识点函数的极值是函数在定义域内所能达到的最大值和最小值。
在求函数的极值时，需要先找出函数的驻点和临界点，然后使用一定的方法进行判断和计算。
1.1 驻点函数的驻点是指函数的导数等于零的点。
驻点可能是函数的极值点，也可能是函数的拐点。
可以通过计算函数的导数，然后将导数等于零的点带入函数进行判断。
1.2 临界点函数的临界点是指函数的定义域内的奇点或导数不存在的点。
临界点可能是函数的极值点，也可能是函数的间断点。
可以通过计算函数的导数，然后将导数不存在或等于无穷大的点带入函数进行判断。
2. 例题解析2.1 例题一已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求函数的极值点。
解析：首先需要求函数的导数 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
然后找出导数等于零的点，即驻点。
令 f'(x) = 0，解得 x = 1 或 x = 2/3。
将驻点带入原函数，得到 f(1) = 2 和 f(2/3) = 8/27。
所以函数的极小值点为 (1, 2) 和 (2/3, 8/27)。
2.2 例题二已知函数 g(x) = e^x - 2x，求函数的极值点。
解析：首先需要求函数的导数 g'(x) = e^x - 2。
然后找出导数等于零的点，即驻点。
令 g'(x) = 0，解得 x = ln(2)。
将驻点带入原函数，得到 g(ln(2)) = 2 - 2ln(2)。
所以函数的极值点为 (ln(2), 2 - 2ln(2))。
以上是函数的极值知识点及例题解析的内容。
希望对你有帮助！。
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
极值的判定方法详解
极值的判定方法详解极值在数学中是一个重要的概念，它指的是函数在某一点上取得的最大值或最小值。
在求解数学问题或优化实际情况时，常常需要确定函数的极值点。
本文将详细介绍极值的判定方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为极值。
极值分为最大值和最小值两种情况。
最大值是指函数在该点附近的函数值都不大于该点的函数值，最小值则相反，即函数在该点附近的函数值都不小于该点的函数值。
二、极值的判定方法1. 导数法导数法是判定函数极值最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）求函数的导数；（2）令导数等于零，解方程得到临界点；（3）将临界点代入原函数，求得对应的函数值；（4）比较临界点处的函数值和相邻点处的函数值，确定极值点。
2. 二阶导数法二阶导数法是判定函数极值的另一种方法，通过函数的二阶导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：（1）求函数的一阶导数和二阶导数；（2）令一阶导数等于零，解方程得到临界点；（3）求出临界点处的二阶导数；（4）根据二阶导数的正负性来判断函数的极值情况。
3. 边界法边界法适用于在一定范围内寻找函数的极值点，通常用于优化问题中。
具体步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出定义域的边界点；（3）将边界点和内部临界点代入函数，比较函数值，确定极值点。
4. 参数法参数法适用于含有参数的函数的极值判定。
具体步骤如下：（1）将参数表示的函数转化为不含参数的函数；（2）按照导数法或二阶导数法求解极值点。
5. 条件极值法条件极值法适用于带有约束条件的优化问题，通过引入拉格朗日乘数法来求解函数的极值点。
三、极值的应用极值在数学中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。
例如，在经济学中，通过求解函数的极值点可以确定最大化利润或最小化成本的方案；在物理学中，通过求解函数的极值点可以确定物体的最大位移、最小时间等问题；在工程学中，通过求解函数的极值点可以确定最优设计方案等。
高考数学中的极值问题及其求解方法
高考数学中的极值问题及其求解方法高考数学是许多学生的噩梦，尤其是对于那些数学一般的学生，极值问题更是让许多人感到头疼。
那么什么是极值？如何解决极值？本文将从定义、特点、求解方法等方面详细阐述高考数学中的极值问题。
一、极值的定义及其特点所谓极值，即函数在某些点处取得的最大值或最小值。
此时，该点叫做函数的极值点，该函数又称为有极值点的函数。
具体来说，对于一元函数而言，当x=a时，如果存在一段邻域Δ(x)，使f(x)<f(a)或者f(x)>f(a)（Δ(x)不包括a点），则称a为函数f(x)的极值点。
通常情况下，求函数极值问题可以分成两类：一是在给定区间内求函数的最大值或最小值；二是求函数在无穷区间上的最大值或最小值。
另外，还存在一些特殊情况，即求函数在一些点上的最大值或最小值。
二、求解极值问题的基本方法1.函数一阶导数的求法及其性质求解极值问题的基础是函数的导数。
函数f(x)在x=a处的一阶导数定义为：$f'(a) = \lim \frac{f(a + h)-f(a)}{h}$它表示当x在a处发生微小变化时，函数f(x)在该点的斜率。
一阶导数f'(x)具有以下性质：（1）当f'(x)>0时，函数f(x)单调递增；（2）当f'(x)<0时，函数f(x)单调递减；（3）当f'(x) = 0时，函数f(x)可能取极值。
在求解极值问题时，需要先求出函数f(x)的一阶导数，然后解出它的零点，也就是导数为0的点，再判断各点处是否为函数的极值点。
2.区间最值对于一个区间[a,b]内的函数f(x)，求它在该区间上的最大值或最小值，通常的方法是先求出该区间内的所有极值点，然后判断这些点处哪个点对应的函数值最大或最小。
3.函数值对于一个函数f(x)，如果它需要求的是函数在某些点上的最大值或最小值，那么需要根据具体问题来求解，通常情况下，需要先根据函数的具体表达式，求出相应的函数值，然后比较大小。
数学故事《极值解析》
数学故事《极值解析》引言极值解析是数学中的一个重要分支，它研究函数在不同区间上的最大值和最小值。
本篇故事将通过一系列有趣的问题和实例，带领大家领略极值解析的魅力。
一、极值的概念首先，我们来明确一下极值的概念。
对于一个函数 \( f(x) \)，如果在某个区间内，存在一个点 \( x_0 \)，使得对于该区间内的任意 \( x \)，都有 \( f(x_0) \geq f(x) \)（或 \( f(x_0) \leq f(x) \)），那么我们就称 \( x_0 \) 为函数 \( f(x) \) 在该区间的极值点。
极值分为局部极值和全局极值。
局部极值是指在某个小区间内的极值，而全局极值是指在整个定义域内的极值。
二、极值的判定条件那么，如何判断一个函数在某一点的极值呢？这里介绍两种常用的方法：一阶导数法和二阶导数法。
1. 一阶导数法对于可导函数 \( f(x) \)，如果在 \( x_0 \) 处的一阶导数为零，且在 \( x_0 \) 两侧的导数符号发生变化，那么 \( x_0 \) 就是 \( f(x) \) 的一个极值点。
具体来说，如果 \( f'(x_0) = 0 \)，并且 \( x_0 \) 左侧的导数为正，右侧的导数为负（或左侧的导数为负，右侧的导数为正），那么 \( x_0 \) 是 \( f(x) \) 的局部极大值点；如果 \( x_0 \) 左侧的导数为负，右侧的导数为正（或左侧的导数为正，右侧的导数为负），那么 \( x_0 \) 是 \( f(x) \) 的局部极小值点。
2. 二阶导数法对于二阶可导函数 \( f(x) \)，如果 \( f'(x_0) = 0 \)，且 \( f''(x_0) \) 在 \( x_0 \) 两侧符号发生变化，那么 \( x_0 \) 也是 \( f(x) \) 的极值点。
具体来说，如果 \( f''(x_0) > 0 \)，那么 \( x_0 \) 是局部极小值点；如果 \( f''(x_0) < 0 \)，那么 \( x_0 \) 是局部极大值点。
高中数学极值
高中数学极值高中数学中，极值是一个重要的概念。
它是指在某个给定的范围内，函数的最大值和最小值。
极值问题是数学分析中的一个重要内容，通过求函数的极值，可以解决很多实际问题。
首先，我们来了解一下极值的概念。
在数学中，对于一个函数f(x)，如果存在一个点c，使得在c的某个邻域内的任意x都满足f(x)≤f(c)，那么称f(c)是函数f(x)的极大值。
类似地，如果存在一个点c，使得在c的某个邻域内的任意x都满足f(x)≥f(c)，那么称f(c)是函数f(x)的极小值。
而函数f(x)的极大值和极小值统称为极值。
求解极值的方法有很多种，其中最常用的方法之一就是导数法。
导数法利用函数的导数来研究函数的变化趋势，从而找到极值点。
具体步骤如下：1.求出函数f(x)的导函数f'(x)。
2.解方程f'(x)=0，得到极值点的位置。
3.利用求导符号法则判断极值点的性质。
4.如果极值点不在给定的范围内，或者对于无界函数，极点可能出现在无穷远处，还要考虑边界点和无穷远点的情况。
极值问题常常出现在数学建模、物理等实际问题中。
例如，在一条笔直的公路上，树木的种植要求避开数条电缆。
如果知道了电缆的位置和树根延伸的最大范围，那么就可以通过求解电缆和树根的交点，来确定树木种植的位置，使得既不影响电缆的正常运行，又能利用空间最大化。
极值也与经济学密切相关，例如，在市场经济中，供求关系是决定价格的重要因素之一。
如果知道了某个商品的需求函数和供应函数，那么可以通过求解两个函数的交点，找出市场平衡的价格和数量，从而实现市场最大化。
极值问题还可以进一步扩展到多元函数的情况。
对于多元函数f(x1,x2,...,xn)，可以利用偏导数的概念，求解多元函数的极值。
通过求解偏导数为0的方程组，可以得到多元函数的极值点。
当然，多元函数的极值问题通常需要用到更高级的数学工具，比如拉格朗日乘子法等。
总结来说，极值是解决很多实际问题的重要数学工具。
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7 .求下列函数的值 1 i (1) 2
1 i
( 2 ) Ln ( 2 3 i )
z
8 .求解方程
(1) e 1 i 3 0
x
（ 2） z - 4iz - (4 - 9i) 0
2
9 .设 u ( x , y ) e ( x cos y y sin y ), 且 f ( z ) 解析， 求 v ( x , y ) 及 f ( z )，并用 z 单独表示 .
1 . 求 下列函数的极值 பைடு நூலகம்1) z x y 3 xy
3 3
:
( 2 ) z z ( x , y ) 由 x y z xz yz 2x 2y 2z - 2 0
2 2 2
所确定 .
2 . 求 函数 f ( x , y ) x y 2 xy 2 x 在 D : x y
2 2
5 .求 f ( x , y ) ln x 3 ln y 在 x y 4 r ( r 0 ) 上的最大值，
2 2 2
并· 由此证明：对于任意正
数 a , b , 有 ab 27 (
3
ab 4
)
4
6 .求中心在原点的椭圆 短半轴的长度。
5 x 4xy 8 y 1的长半轴和
2 2 2
2
1
上的最大值和最小值
.
x a
2 2
3、在第一卦限内作椭球面
y b
2 2
z c
2 2
1 的切平面,
使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最 小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .
4 .求旋转抛物面 最短距离．
z x y 与平面 x y 2 z 2 之间的
10 .若 f ( z ) u iv , 是 z 的解析函数，而且 u v ( x y )( x 4 xy y ), 试求 u ( x , y ) 和 v ( x , y )
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11 . 确定形如
u f ( )的所有调和函数。 x
y