5章-梁的剪力图与弯矩图
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5-梁的剪力图与弯矩图
M/kN.m
例题3 梁由一个固定铰链支座和
q
一个辊轴支座所支承，但是
D 梁的一端向外伸出，这种梁
A
B
称 为 外 伸 梁 (overhanging
FAy
4a
a FBy
ql
beam) 。 梁 的 受 力 以 及 各 部 分尺寸均示于图中。试画出：其剪力图和弯矩图并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。
解：1．确定约束力
航向
航向
在Y8飞机主起落架 结构设计中的体现 车架大梁是受弯构件
5.2 梁的内力及其与外力的相依关系 5.2.1 梁的内力与梁上外力的变化有关
截面法
截面法确定任意横截面上的内力分量
用假想截面从所要求 的截面处将杆截为两部分 考察其中任意一部 分的平衡
由平衡方程求得横 截面的内力分量
集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。
5.2.3 剪力和弯矩的正负号规则
FQ
FQ 弯时针矩方剪M向力转F(QM动(Fy者Q或y为或M正FQ；zz))逆一一时使作针截方开用向部在转分动杆左者件侧为产负面生。顺上 使 截开部分逆时针方向转动；或者作用在右 侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为 正；反之为负。
a
O
M
q
E
4a
e
e
81qa2/32
B
a FBy
qa c b 7qa/4
qa2 b,c
D
7．确定剪力与弯矩 ql 的最大绝对值
从图中不难得到剪力与
弯矩的绝对值的最大值
qa x 分别为
d
FQ
＝9 max 4
qa
DE
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图课件
静力平衡条件的意义
静力平衡条件是物体受力分析的基本依据，通过它我们可以 分析物体在受到外力作用时的运动状态，并计算出物体所受 到的合力。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的推导和应用
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的推导
在梁的受力分析中，我们可以通过对梁进行截面切开、移除切块并代之以作用相 反的力等步骤，得到梁的内力——剪力和弯矩。当梁处于静力平衡状态时，其剪 力和弯矩也必须满足一定的平衡条件。
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩 图课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 梁的剪力分析 • 梁的弯矩分析 • 梁的剪力和弯矩组合分析 • 梁的剪力和弯矩的静力平衡条件 • 梁的剪力和弯矩的相互作用和影响
01
引言
课程背景
建筑力学是建筑设计和施工的重要基础，而梁的剪力和弯矩是建 筑力学中的重要概念。
通过学习梁的剪力和弯矩，可以更好地理解建筑结构的设计和施 工方法。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的应用
通过应用静力平衡条件，我们可以分析梁在受到外力作用时的剪力和弯矩，进而 计算出梁的应力、应变等物理量，为结构设计提供依据。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的应用实例
简支梁受垂直均布荷载作用
对于简支梁受垂直均布荷载作用的情况，通过应用静力平衡条件，我们可以得到梁的剪力图和弯矩图，并计算出 梁的最大剪力和最大弯矩。
简单梁分析
以简单梁为例，说明如何进行剪力和弯矩的组合分析。
复杂梁分析
通过有限元模型，对复杂梁进行剪力和弯矩的组合分析，讨论各种因素对梁内 力的影响。
05
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件
静力平衡条件的概念和意义
静力平衡条件的概念
静力平衡条件是指物体在受到外力作用时，如果处于静止状 态，则物体内部的力也处于平衡状态，即所有作用在物体上 的外力矢量和为零。
静力平衡条件是物体受力分析的基本依据，通过它我们可以 分析物体在受到外力作用时的运动状态，并计算出物体所受 到的合力。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的推导和应用
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的推导
在梁的受力分析中，我们可以通过对梁进行截面切开、移除切块并代之以作用相 反的力等步骤，得到梁的内力——剪力和弯矩。当梁处于静力平衡状态时，其剪 力和弯矩也必须满足一定的平衡条件。
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩 图课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 梁的剪力分析 • 梁的弯矩分析 • 梁的剪力和弯矩组合分析 • 梁的剪力和弯矩的静力平衡条件 • 梁的剪力和弯矩的相互作用和影响
01
引言
课程背景
建筑力学是建筑设计和施工的重要基础，而梁的剪力和弯矩是建 筑力学中的重要概念。
通过学习梁的剪力和弯矩，可以更好地理解建筑结构的设计和施 工方法。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的应用
通过应用静力平衡条件，我们可以分析梁在受到外力作用时的剪力和弯矩，进而 计算出梁的应力、应变等物理量，为结构设计提供依据。
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件的应用实例
简支梁受垂直均布荷载作用
对于简支梁受垂直均布荷载作用的情况，通过应用静力平衡条件，我们可以得到梁的剪力图和弯矩图，并计算出 梁的最大剪力和最大弯矩。
简单梁分析
以简单梁为例，说明如何进行剪力和弯矩的组合分析。
复杂梁分析
通过有限元模型，对复杂梁进行剪力和弯矩的组合分析，讨论各种因素对梁内 力的影响。
05
梁的剪力和弯矩的静力平衡条件
静力平衡条件的概念和意义
静力平衡条件的概念
静力平衡条件是指物体在受到外力作用时，如果处于静止状 态，则物体内部的力也处于平衡状态，即所有作用在物体上 的外力矢量和为零。
材料力学-第五章
合理布置载荷
F
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程， 正确绘制剪力图和弯矩图
5.7 总结 回顾
毛和业，怎样快速绘制剪力图和弯
矩图，黔南民族师范学院学报， 2005，3：81-83
（ -）
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
1.5m
D
2kN
1.5m
B
FBY
4 ．从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右
1.11
（+）
Fs（ kN） 0.89 M（ kN.m）
（ -）
0.330
（-）
1.330
（ -）
1.665
从D右到B左
从B左到B右
2
FS
FS x
x
0 x l 0 x l
M
ql2 / 8
依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql2 / 2
5.4
y
剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化）
q
例题 简支梁受均布载荷作用
FS ql / 2
( 2)在有均布载荷作用的 段上, 剪力图为倾斜直线, 直线由左上向右下倾斜; 弯矩图为抛物线, 抛物线 开口与均布载荷的方向一 致。
M 3ql2 / 32 x
ql2 / 8
梁的剪力图与弯矩
梁的剪力图与弯矩
目录 CONTENT
• 梁的剪力与弯矩的基本概念 • 梁的剪力图 • 梁的弯矩图 • 剪力与弯矩的关系 • 梁的剪力与弯矩的实例分析
01
梁的剪力与弯矩的基本概 念
剪力与弯矩的定义
剪力
剪力是作用在梁上的垂直力，它 使梁产生剪切变形。剪力通常用 Q表示，单位为牛顿或千牛顿。
弯矩
弯矩是作用在梁上的力矩，它使 梁产生弯曲变形。弯矩通常用M 表示，单位为牛顿米或千牛顿米 。
在梁的跨中位置，剪力图的峰值最大，而在梁的 支座位置，剪力图的谷值最小。
随着梁上载荷的增加，剪力图的峰值逐渐增大， 谷值逐渐减小。
03
梁的弯矩图
弯矩图的绘制方法
1 2
截面法
通过分析梁在不同截面上的弯矩值，绘制出弯矩 图。
叠加法
将多个弯矩值叠加起来，绘制出弯矩图。
3
微分法
利用弯矩函数的微分性质，绘制出弯矩图。
剪力与弯矩的符号规定
剪力的正负号规定
在截面左侧上作用的剪力为正，反之 为负。
弯矩的正负号规定
在截面左侧上作用的弯矩为正，反之 为负。
剪力与弯矩的计算公式
剪力计算公式
Q = F * sinθ（F为作用在梁上的外力，θ为外力与梁轴线的夹角）。
弯矩计算公式
M = F * d / 2（F为作用在梁上的外力，d为梁的跨度）。
考察，从而为实际工程设计提供依据。
梁的剪力与弯矩的模拟计算
01
模拟计算是利用计算机软件对梁的剪力和弯矩进行数值模拟分 析的方法。通过模拟计算，可以快速得到梁在不同载荷条件下
的剪力和弯矩分布情况。
02
模拟计算可以采用不同的计算方法，如有限元法、有限差分法 和边界元法等。其中，有限元法是最常用的一种方法，能够考
目录 CONTENT
• 梁的剪力与弯矩的基本概念 • 梁的剪力图 • 梁的弯矩图 • 剪力与弯矩的关系 • 梁的剪力与弯矩的实例分析
01
梁的剪力与弯矩的基本概 念
剪力与弯矩的定义
剪力
剪力是作用在梁上的垂直力，它 使梁产生剪切变形。剪力通常用 Q表示，单位为牛顿或千牛顿。
弯矩
弯矩是作用在梁上的力矩，它使 梁产生弯曲变形。弯矩通常用M 表示，单位为牛顿米或千牛顿米 。
在梁的跨中位置，剪力图的峰值最大，而在梁的 支座位置，剪力图的谷值最小。
随着梁上载荷的增加，剪力图的峰值逐渐增大， 谷值逐渐减小。
03
梁的弯矩图
弯矩图的绘制方法
1 2
截面法
通过分析梁在不同截面上的弯矩值，绘制出弯矩 图。
叠加法
将多个弯矩值叠加起来，绘制出弯矩图。
3
微分法
利用弯矩函数的微分性质，绘制出弯矩图。
剪力与弯矩的符号规定
剪力的正负号规定
在截面左侧上作用的剪力为正，反之 为负。
弯矩的正负号规定
在截面左侧上作用的弯矩为正，反之 为负。
剪力与弯矩的计算公式
剪力计算公式
Q = F * sinθ（F为作用在梁上的外力，θ为外力与梁轴线的夹角）。
弯矩计算公式
M = F * d / 2（F为作用在梁上的外力，d为梁的跨度）。
考察，从而为实际工程设计提供依据。
梁的剪力与弯矩的模拟计算
01
模拟计算是利用计算机软件对梁的剪力和弯矩进行数值模拟分 析的方法。通过模拟计算，可以快速得到梁在不同载荷条件下
的剪力和弯矩分布情况。
02
模拟计算可以采用不同的计算方法，如有限元法、有限差分法 和边界元法等。其中，有限元法是最常用的一种方法，能够考
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
简支梁受集中荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力
2、分段建立方 A程C段：
CB段： Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和 弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示Ｆ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为 剪力图和弯矩图，简称Ｆ图和M图。绘图时一 般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪 力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯 矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 下端受拉为正弯矩
A
C
D
B
FA
a
c
l
FA
b
FB
FB
FAa
FBb
a
F
F
Fa
a
5
kN
4
Fa kNm
2kN m
4m 3kN
kN
3
2.25
kNm
4kN m
6kN
4.5
1m
1m
4.5
1.5
4
8.5
7
2kN m
2m
5.5
kN
5.5 kNm
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs
RA
qx
1 2
梁的剪力弯矩方程和剪力弯矩图
5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。
若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。
例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。
试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。
图5-10解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。
由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即(1)方向如图。
(2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。
设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。
由平衡方程将(1) 式代入上面两式，解得（ 2 ）（ 3 ）(2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。
(3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。
只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。
由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。
例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当时，；当时，。
由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。
由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。
试作梁的剪力图、弯矩图。
图5-11解：(1) 计算支反力由平衡方程分别算得支反力为反力R A的方向如图，R B为负值，表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。
范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
材料力学-5-弯矩图与剪力图
从所得到的剪力图和 弯矩图中不难看出:
在集中力作用点两 侧截面上的剪力是不相 等的，而在集中力偶作 用处两侧截面上的弯矩 是不相等的，其差值分 别为集中力与集中力偶 的数值。
例题5
q
A
4a FAy
梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所
支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外 伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部 分尺寸均示于图中。
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
Nanjing University of Technology
材料力学 课堂教学(5)
2020年8月12日
第5章 梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的 力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为 弯曲（bending）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
得到梁的剪力方程和弯 矩方程分别为：
M(x)
FQ x＝FRA qx＝ql－qx 0 x 2l
FRA x
M x＝qlx－qx2
0 x 2l
2
这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的 二次函数。
载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：
第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQx和M-x坐标系中绘制出相应的图线，便得到所需要的 剪力图与弯矩图。
梁的内力图-剪力图和弯矩_OK
2021/9/10
2
2021/9/10
返回 3
返回
2. 直梁在简单荷载作用下的内力图特征 直梁在简单荷载作用下的内力图特征见表4-2。
2021/9/10
4
返回
3. 梁内力图的规律 （1） 无荷载区：剪力图为零线，弯矩图为水平直线；剪力图为 水平直线，弯矩图为斜直线。 （2） 集中力作用处：剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的 大小，突变的方向与集中力方向相同；弯矩图折成尖角，尖角 方向与集中力方向相同。 （3） 集中力偶作用处：剪力图无变化；弯矩图突变，突变的绝 对值等于力偶矩的大小，突变的方向为顺时针力偶向下降，逆 时针力偶向上升。 （4） 均布荷载区：当均布荷载作用方向向下时，剪力图为下倾 斜直线，变化的绝对值等于均布荷载的合力；弯矩图为向下凸 的抛物线。 （5） 剪力与弯矩的关系：当剪力图为正时，弯矩图斜向右下方； 当剪力图为负时，弯矩图斜向右上方；剪力为零的截面，弯矩 有极值；梁后控制截面弯矩等于前控制截面弯矩加上前后截面 间剪力图的“面积”。
通过观察本例 可以发现：因为该外伸梁结构的几何 形状、受到的竖向荷载均左右相同，具有对称性， 所以弯矩图在对称位置的弯矩数值和符号相等，具 有对称性（工程上把这种对称称为正对称），剪力 图在对称位置的剪力数值相等、符号相反，也具有 对称性（工程上把这种对称称为反对称）。土木工 程中对称结构使用非常广泛，一方面对称美符合人 们的审美要求，另一方面结构受力合理，不仅可以 简化计算，而且也可以简化设计计算和提高施工的 效率。
15
2021/9/10
5
返回
记住：梁的两端无集中力偶作用，弯矩必为零。这 种通过对特定梁的内力图的讨论，探究内力图的一 般规律，并用该规律简捷绘制梁的内力图的方法， 是工作中分析问题、解决问题的一种常用方法。
梁的内力图剪力图和弯矩图(共16张PPT)
V Rqx qlqx 作3、此依梁方的程剪x作力剪图力和图弯和矩A弯图矩。图
(0<x<l)
2、判断各段V、M图形状：
快速绘制剪力图和弯矩图
突变大小等于集中荷载的大小。
弯矩图出现转折，转折方向与
3、依方程作剪力图和弯矩图
Vmax= 1 ql 2
Mmax 1 ql 2 8
例2 简支梁受集中荷载作用，如图示，
斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜，
V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。
在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0〔 〕向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的
弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；
V>0时向右下方斜斜，
v
而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁
q>0〔 〕向上凸。
q>0〔 〕向上凸。
v 1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。
作此梁的剪力图和弯矩图。
作此梁的剪力图和弯矩图。
〔4〕逐段绘制出V和M图即梁的V和M图
极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
〔1〕将梁正确分段 〔2〕根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状
材料力学第五章 梁的内力
（+）
Q图
1.67kNm
RA＝0.89 kN RB＝1.11 kN
2．建立坐标系.
3．确定控制面为A、B 、
及 C、D两侧截面。 4．从A截面右开始
(-) 0.335kNm
画剪力图。
M图
5．从A右侧截面开
始画弯矩图。
43
例2 试画出梁剪力图和弯矩图。
q
C D 解：1．确定约束力
A
B
RA
4a
a qa RB
24
qL 2--2截面处截取的分离体如图（c）
FY 0 qL Q2 0
a
Q2 qL
mB (Fi ) 0 ,
qL
qLa M 2 0 M2 qLa
3--3截面处截取的分离体如图（d） a
Q3 0 M3 qLa M2
B M2 图（c）
Q2
B M3 图（d）
Q3 qL
结论：紧邻集中力作用的左、右截面上，剪力发生突变，变化
1
§5–1 工程实际中的受弯杆 §5–2 梁的内力——剪力和弯矩 §5–3 剪力图和弯矩图 §5–4 荷载集度、剪力和弯矩间的关系 §5–5 按叠加原理作剪力图和弯矩图
2
§5–1工程实际中的受弯杆
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 P — 集中力
2
x q x
Q
M
q
l
M x
Qx
ql
x
x
ql 2 / 8
ql 2 / 2
[例3] 悬臂梁受均布载荷作用。
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
工程力学梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图
梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图1、 剪力和弯矩剪力：沿截面切线方向的内力F S 称为剪力，剪力符号规定为：截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负（图9-2）。
弯矩：作用面垂直于横截面的内力偶矩M 称为弯矩，弯矩符号规定为截面上的弯矩如果使考虑的脱离体向下凸（或者说使梁下边受拉，上边受压）为正，反之为负（图9-3）。
2、 列方程作梁的剪力图和弯矩图。
剪力方程和弯矩方程可以表示剪力和弯矩随横截面位置变化的规律。
)(S S x F F =和 )(x M M = （9-1）剪力图和弯矩图是将剪力和弯矩随横截面位置变化情况用图形表示出来。
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化，各段的分界点为各段梁的控制截面，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程。
列方程作梁的剪力图和弯矩图的步骤为：（1）、求支座反力； （2）、确定坐标原点，分段列剪力方程和弯矩方程； （3）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （4）、根据各段的剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图，并说明剪力和弯矩的最大值。
3、利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图。
弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系为)(d )(d S x q x x F =， )(d )(d S x F x x M =，)(d )(d 22x q x x M = （9−2） 剪力图和弯矩图的规律为表9−1梁上的外力情况 剪力图上的特征弯矩图上的特征弯矩极值所在截面的可能位置水平线段直线段FF FF(a)(b)图9−2MMMM(a)(b)图9−3无外力段 ()()0d d S ==x q xx F ()()常数d d S ==x F xx M q (x )=常数向下的均布荷载 向下方倾斜的直线段()()0d d S <=x q xx F 下凸的二次抛物线()()0d d 22<=x q xx M 在F S =0的截面上q (x )=常数向上的均布荷载 向上方倾斜的直线段()()0d d S >=x q xx F 上凸的二次抛物线()()0d d 22>=x q x x M 在F S =0的截面上F 作用处发生突变，突变值等于FF 作用处发生转折在左右剪力具有不同正负号的截面上集中力偶在M e 作用处无变化M e 作用处发生突变，突变值等于M e在紧靠集中力偶作用处的某一侧截面上利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图的步骤为： （1）、求支座反力； （2）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （3）、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作剪力图和弯矩图，并标出剪力和弯矩的最大值。
5章-梁的剪力图与弯矩图
平衡包括：整体平衡和局部平衡。
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
总体平衡与局部平衡的概念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何 局部也必然是平衡的。
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
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工程中的弯曲构件
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工程中的弯曲构件
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工程中的弯曲构件
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
杆件内力变化的一般规律 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件
上的外力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规
律变化；
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
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石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
第5章 梁的剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
总体平衡与局部平衡的概念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何 局部也必然是平衡的。
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
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工程中的弯曲构件
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工程中的弯曲构件
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
杆件内力变化的一般规律 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件
上的外力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规
律变化；
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工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
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石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
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工程中的弯曲构件
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剪力方程与弯矩方程
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
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工程中的弯曲构件
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工程中的弯曲构件
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工程中的弯曲构件
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
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石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
总体平衡与局部平衡的概念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何 局部也必然是平衡的。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
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应用截面法可以确定杆件任意横截面上的 内力分量
用假想截面从所要求 的截面处将杆截为两部 分
考察其中任意一部分 的平衡
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工程中可以看作梁的杆件是很多的:
火车轮轴支撑在铁轨上， 铁轨对车轮的约束，可以看作 铰链支座，因此，火车轮轴可 以简化为两端外伸梁。由于轴 自身重量与车厢以及车厢内装 载的人与货物的重量相比要小 得多，可以忽略不计，因此， 火车轮轴将发生弯曲变形。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
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屋面梁上的孔为什么开在中间？上、下两边 各开一个半圆孔可以吗？
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
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梁为什么做成变截面的？ 梁为什么可以开孔？ 孔开在哪里最合理?
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绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力 的影响是次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及 与正应力有关的强度问题。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根 据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中 的应用；然后应用平衡、变形协调以及物性关系，建立确 定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。
对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先 发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的 横截面就是首先需要考虑的危险面。研究梁的变形和刚 度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长 度方向是怎样变化的。
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最 先从应力最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要 考虑内力最大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的点， 这些点称为“危险点”。
梁的内力及其与外力的相互关系
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平 面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与 变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件 称为梁（beam）。
在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两 种内力。
在很多情形下，剪力和弯矩沿回总目录
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
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桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身 重 量 ( 均 布 载 荷 q) 的 作用下，大梁将发生 弯曲。
由平衡方程求得横截
FQ
面的内力分量
M
Fy＝0，
M C＝0，
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上 的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生 突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用， 以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
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梁的内力及其与外力的相互关系
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上 任意横截面上的内力——剪力和弯矩，而且可以确 定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。
工程力学(2) - 材料力学
第5章 梁的弯曲剪力图与弯矩图
庄茁
蒙民伟科技大楼N501室 62783014，zhuangz
辅导教师：宇慧平副教授(62773780) 助教博士生：王涛，刘凤仙(62773780),N504室
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2019年11月15日
下一章
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论
第5章 梁的剪力图与弯矩图
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平衡包括：整体平衡和局部平衡。
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
总体平衡与局部平衡的概念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何 局部也必然是平衡的。
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
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第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
杆件内力变化的一般规律 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件
上的外力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规
律变化；
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第5章 梁的剪力图与弯矩图