2020高三理科数学一轮复习讲义2.5《指数与指数函数》

2020高三理科数学一轮复习讲义2.5《指数与指数函数》最新考纲1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知识梳理1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[微点提醒]1.画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.2.在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.()(3)函数y＝2x－1是指数函数.()(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－4）4＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a ＞1，∴a x2＋1≥a .故y＝a x2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的图象经过2，13，则f(－1)＝()A.1B.2C.3D.3解析依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝33x ，所以f (－1)＝33－1＝ 3.答案C3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为()A.y ＝a (1＋p %)x (0<x <m )B.y ＝a (1＋p %)x (0≤x ≤m ，x ∈N )C.y ＝a (1＋xp %)(0<x <m )D.y ＝a (1＋xp %)(0≤x ≤m ，x ∈N )解析设年产量经过x 年增加到y 件，则第一年为y ＝a (1＋p %)，第二年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)2，第三年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)3，…，则y ＝a (1＋p %)x (0≤x ≤m 且x ∈N ).答案B4.(2018·晋中八校一模)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是()A.a 12 B.a 56 C.a 76D.a 32解析由题意得a 2a ·3a 2＝a 2－12－13＝a 76.答案C5.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x －13x，则f (x )()A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数解析函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x＝13x－3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x 在R 上是增函数，函数y ＝13x在R 上是减函数，∴函数f (x )＝3x －13x在R 上是增函数.答案B6.(2019·福州检测)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a解析根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c .答案C考点一指数幂的运算【例1】化简下列各式：(1)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5；(2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0).解(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b13＝a 32+16-1＋13b 1+13-2-13＝ab .规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)56a 13·b －2·－3a －12b －1÷4a 23·b－312.解(1)原式＝64100015－5223－27813－1＝410315×－52×23－32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝－52a －16b －3÷4a 23·b－312＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.考点二指数函数的图象及应用【例2】(1)(2019·衡水中学检测)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是()A.1，－12 B.1，12C.－1，－12D.－1，12(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.解析(1)y ＝(a －1)2x －a 2＝a 2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，故函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点－1，－12.(2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.∴当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点.∴b 的取值范围是(0，2).答案(1)C (2)(0，2)规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】(1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________.解析(1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)画出曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示.由图象得|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案(1)D(2)[－1，1]考点三指数函数的性质及应用多维探究角度1指数函数的单调性【例3－1】(1)下列各式比较大小正确的是()A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.解析(1)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误.(2)当a<0时，原不等式化为12a－7<1，则2－a<8，解之得a>－3，所以－3<a<0.当a≥0时，则a<1，0≤a<1.综上知，实数a的取值范围是(－3，1).答案(1)B(2)(－3，1)角度2与指数函数有关的复合函数的单调性【例3－2】(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.(2)若函数f(x)＝13ax2+2x+3的值域是0，19，则f(x)的单调递增区间是________.解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上是增加的，在区间－∞，m2上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]. (2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f (x)的值域是0，19，所以g(x)的值域是[2，＋∞).因此有a>0，12a－44a＝2，解得a＝1，这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝13x2＋2x＋3.由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].答案(1)(－∞，4](2)(－∞，－1]角度3函数的最值问题【例3－3】如果函数y＝a2x＋2a x－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.解析令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在a ，1a 上单调递增，则y max ＝1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.答案3或13规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】(1)(2019·河南八市测评)设函数f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝1a 0.1的大小关系是()A.M ＝NB.M ≤NC.M <ND.M >N(2)函数f (x )＝2543x x -+的单调递增区间为________，单调递减区间为________.(3)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24).若不等式1a x ＋1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数m 的最大值为________.解析(1)因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1，且a ≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性.所以a >2.因此M ＝(a －1)0.2>1，N ＝1a 0.1<1.故M >N .(2)依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，令u ＝x 2－5x ＋4＝x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数.而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f (x )＝2543x x -+在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数.(3)把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x ，得6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使1 2x＋13x≥m在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝12x＋13x在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.因为函数y＝12x＋13x在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝12x＋13x有最小值56.所以只需m≤56即可.所以m的最大值为56.答案(1)D(2)[4，＋∞)(－∞，1](3)5 6[思维升华]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.[易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.y＝sin xB.y＝x3C.y＝12xD.y＝log2x解析y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.而y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意；y＝12x是非奇非偶函数，不符合题意；y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意.答案B2.函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是()解析若a >1时，y ＝a x －1a在R 上是增函数，当x ＝0时，y ＝1－1a ∈(0，1)，A ，B 不满足.若0<a <1时，y ＝a x －1a 在R 上是减函数，当x ＝0时，y ＝1－1a <0，C 错，D 项满足.答案D3.(2019·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是()A.y ＝1－xB.y ＝|x －2|C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )解析f (x )过定点A (1，1)，将点A (1，1)代入四个选项，y ＝1－x 的图象不过点A (1，1).答案A4.设x >0，且1<b x <a x ，则()A.0<b <a <1B.0<a <b <1C.1<b <aD.1<a <b解析∵x >0时，1<b x ，∴b >1.又x >0时，b x <a x ，∴x >0时，a b x>1.∴ab >1，∴a >b ，∴1<b <a .答案C5.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是()A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.答案B二、填空题6.化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5＝________.解析原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.答案1a7.函数y ＝14x －12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.解析令t ＝12x ，因为x ∈[－3，2]，所以t ∈14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为34，57.答案34，578.设偶函数g (x )＝a |x +b |在(0，＋∞)上单调递增，则g (a )与g (b －1)的大小关系是________.解析由于g (x )＝a |x +b |是偶函数，知b ＝0，又g (x )＝a |x |在(0，＋∞)上单调递增，得a >1.则g (b －1)＝g (－1)＝g (1)，故g (a )>g (1)＝g (b －1).答案g (a )>g (b －1)三、解答题9.已知函数f (x )＝12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2).(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值.解(1)由已知得12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝12x，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝12x，∴14x －12x－2＝0，令12x＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.10.(2018·长沙一中月考)已知函数f (x )＝3x ＋a 3x ＋1为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并加以证明.解(1)因为函数f (x )是奇函数，且f (x )的定义域为R ；所以f (0)＝1＋a 1＋1＝0，所以a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，函数f (x )在定义域R 上单调递增.证明：设x 1<x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝2（3x 1－3x 2）（3x 1＋1）（3x 2＋1）.因为x 1<x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 1－3x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在定义域R 上单调递增.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·西安市质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为()解析设原有荒漠化土地面积为b ，经过x 年后荒漠化面积为z ，则z ＝b (1＋10.4%)x ，故y ＝z b＝(1＋10.4%)x ，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.答案D12.(2019·合肥检测)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)解析原不等式变形为m 2－m <12x ，又y ＝12x 在(－∞，－1]上是减函数，知12x ≥12－1＝2.故原不等式恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案D13.(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax的图象经过点P p ，65，Q q ，－15.若2p +q ＝36pq ，则a ＝________.解析因为f (x )＝2x 2x ＋ax ＝11＋ax2x，且其图象经过点P ，Q ，则f (p )＝11＋ap 2p ＝65，即ap 2p ＝－16，①f (q )＝11＋aq 2q ＝－15，即aq 2q ＝－6，②①×②得a 2pq 2p ＋q ＝1，则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，所以a 2＝36，解得a ＝±6，因为a >0，所以a ＝6.答案614.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围.解(1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x－12x＝32，得2·22x－3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－1 2，因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.(2)当t∈[1，2]时，2t 22t－122t＋m2t－12t≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，所以m≥－(22t＋1)，因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞).。