课堂设计2015_2016学年高中数学3.1.2椭圆的简单性质课后作业北师大版选修2_1

1.2 椭圆的简单性质

1.(2014大纲全国高考)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C 于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )

A.=1

B.+y2=1

C.=1

D.=1

解析:∵=1(a>b>0)的离心率为,

∴.

又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点,

△AF1B的周长为4,

∴4a=4,∴a=.

∴b=,∴椭圆方程为=1,选A.

答案:A

2.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是( )

A.(0,1)

B.(5,+∞)

C.[1,5)∪(5,+∞)

D.[1,5)

解析:直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点,∴≤1,且m>0,得m≥1.又m≠5,故选C.

答案:C

3.如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:

①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④.其中正确式子的序号是( )

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

解析:由题意知,a1>a2,c1>c2,故①错误.

对于轨道Ⅰ有|PF|=a1-c1;对于轨道Ⅱ有|PF|=a2-c2,

∴a1-c1=a2-c2,∴②正确.

∵a1-c1=a2-c2,a1>a2,

∴,即1-<1-,

∴,

即c1a2>c2a1,∴③正确,④错误.

答案:B

4.过椭圆=1内的一点P(2,-1)的弦,恰好被P点平分,则这条弦所在的直线方程为( )

A.5x-3y-13=0

B.5x+3y-13=0

C.5x-3y+13=0

D.5x+3y+13=0

解析:设过点P的弦与椭圆交于A1(x1,y1),A2(x2,y2)两点,则

且x1+x2=4,y1+y2=-2,

∴(x1-x2)-(y1-y2)=0,

∴.

∴过点P的弦所在的直线方程为y+1=(x-2),即5x-3y-13=0.

答案:A

5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )

A.2

B.3

C.6

D.8

解析:由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),

则·=(x0,y0)·(x0+1,y0)=+x0+.

∵P为椭圆上一点,∴=1.

∴·+x0+3+x0+3=(x0+2)2+2.

∵-2≤x0≤2,

∴·的最大值在x0=2时取得,且最大值等于6.

答案:C

6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程

是.

解析:由已知,得a=2b,c=2,又a2-b2=c2,

故b2=4,a2=16,又焦点在x轴上,

故椭圆方程为=1.

答案:=1

7.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为.

解析:

如图所示,

e=-1.

∵|PF2|

∴e=-1>-1,即e>-1,

∴e2+2e-1>0.

又∵0

答案:(-1,1)

8.

如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于

P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则

|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.

解析:设F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同

理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.

又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.

答案:35

9.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.

解析:由题设,知2a=12,,∴a=6,c=3.∴b=3.

答案:=1

10.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标.

解:椭圆方程可化为=1(m>0).

∵m->0,

∴m>,

即a2=m,b2=,

∴c=.

由e=,得,

∴m=1.

∴椭圆的标准方程为x2+=1.

∴a=1,b=,c=.

∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1,两焦点坐标分别为F1,F2,四个顶点坐标分别为A1(-

1,0),A2(1,0),B1,B2.

11.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.

解:(1)设椭圆的标准方程为=1或=1(a>b>0).

由已知a=2b,①

且椭圆过点(2,-6),

从而有=1或=1.②

由①②,得a2=148,b2=37,或a2=52,b2=13.

故所求椭圆的方程为=1或=1.

(2)如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,

∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.

故所求椭圆的方程为=1.

12.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设∠

MF1F2=α(0≤α≤180°),问α取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?

解法1:如图所示,建立平面直角坐标系,则a=3,c=2,b=1,

∴椭圆方程为+y2=1.

当直线MN斜率不存在时,得|MN|=,不合题意.

故可设过F1的直线方程为y=k(x+2).

∴

①代入②,整理可得

(1+9k2)x2+36k2x+72k2-9=0,

∴x1+x2=,x1·x2=.

代入|MN|=,可得

|MN|=.

∵=2,∴k=±,

即tanα=±,∴α=或α=π.

解法2:如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=2,b=1.

令|F1M|=x,则|F2M|=6-x,|F1F2|=4,

在△MF1F2中利用余弦定理得