宝山区2009学年第一学期九年级期中试卷

2009学年度第一学期九年级数学期中试卷（时间：100分钟，满分150 分）一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．已知1:2:=y x ，那么 x y x :)2(- 等于（ ） （A ）3:2；（B ）3:1；（C ）1:2；（D ）2:3．2．如图1，已知1l ∥2l ∥3l ，则下列结论中，正确的是（ ）（A ）EF DE BC AB =； （B ）CF BEBE AD =； （C ）CF BE AC AB =； （D ）EFDEAC AB =． 3．如图2，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC = 90º， AB =4，BC = 2，CD =1，那么A cot 的值是（ ）． （A ）32 （B ）23 （C ）21 （D ）45 4．已知a b 3-=，则下列判断错误．．的是（ ） （A ）b ∥a ； （B ）a b 3=； （C ）b 与a 的方向相反； （D ）03=+b a ． 5．根据你对相似的理解，下列命题中，不．正确的是（ ）． （A ）三边之比为2：3：4的两个三角形一定相似 （B ）三内角之比为2：3：4的两个三角形一定相似 （C ）两邻边之比为2：3的两个直角三角形一定相似 （D ）两邻边之比为2：3的两个矩形一定相似6．下列四个三角形中，与图3中△ABC 的相似的是（ ）二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：=---)26(21)2(b a b a . 8．如果两个相似三角形的周长比是1:2，那么它们的面积比是 ．（图3）B CA（A ）(B)(C)(D) （图1）1l AD EF B C2l3lBACD （图2）9．线段4a =厘米，9c =厘米，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项， 那么b =_________厘米．10．已知△ABC ∽△DEF ，且点D 与点A 对应，点E 与点B 对应，若︒=∠50A ，︒=∠70B ， 则=∠F度. 11．如图4，已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上， 若AD = 2、BD = 3，AC = 4.5，则EC = 。

12．如图5，在平行四边形ABCD 中，对角线交于点O ，若AB a = ，AD b =，用b y a x +（x 、y 为实数）表示OD ， 则OD 等于 .13．在正方形网格中，ABC △的位置如图6所示， 则ABC ∠sin 的值为 .14．如图7，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且AED B ∠=∠， 若AB=7，AC=5，BC=6，则AEAD的值为___________． 15．已知锐角α，满足43cos =α，则αtan 的值为 。

16．如图8，已知矩形ABCD ，AB=1，又ABEF 是正方形， 若矩形CDEF 与矩形ABCD 相似，则AD 长为： 。

17．如图9，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2，CD=3，若2=∆AOB S ，则ABCD S 梯形= 。

18．已知AD 、BE 是锐角△ABC 的两条高，且AD 、BE 交于点H ， 若3:2:=HE HD ，则ABCBAC∠∠cos cos 的值为_________．三．（本大题共8题，满分78分。

第19~22题，每题8分，第23~24题，每题10分，第25题12分，第26题14分，）19．已知向量, a b （如图10），求作向量：12a b + 。

DABCE（图4）ABCD 图5Oba(图7)EDABC（图6）（图8）ABC DEFDABCO（图9）（图10）20．如图11，点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且EF ∥CD ，AB AF AD ⋅=2求证：DE ∥BC21．如图13，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上， DE ∥BC ，23=DB AD ，四边形DBCE的面积比△ADE 的面积大28。

求△ABC 的面积。

22．如图12，已知小明的身高是1.6米，他在路灯（图中AB ）下的影子长为2米，又小明距路灯灯杆的底部3米，（1）求路灯灯泡距地面的高度；（2）若小明想让自己的影子与身高等长，他应该向什么方向走多少米？DABCF E（图11）ABPQ（图12）CD ABCE （图13）23．如图14，已知ABC ∆中，6=AB ，5=AC ，4=BC ，点D 在边AB 上，且4=AD ，点E 在边AC 上，若以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，试求DE 的长.24．如图15，已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB AD ⊥，10=AD ，55=BC ， 点E 是AD 上一点，联结BE 、CE ，若CE BE ⊥，且2cot =∠CBE ，求ABCD S 梯形..ABCD（图14）DABCE（图15）25．已知△ABC ， D 、 E 是射线BC 上的两点，且BD=AB ，CE=AC 。

（1）若AB=AC ，且∠BAC =90°（如图16），求证DE BE AE ⋅=2；（2）若△ABC 是直角三角形，且DE BE AE ⋅=2，求∠ABC 的度数。

（如果需要，自己画出符合条件的大致图形）BACDE（图16）26． 已知平行四边形ABCD 中，AB =1，E 是射线DC 上一点，直线AC 、BE 交于点P ，过点P 作PQ ∥AB ，PQ 交直线AD 于点Q ，（1）当点E 是DC 中点时（如图17），求线段PQ 的长度；（2）当点E 在线段DC 上运动时，设x DE =，y PQ =，求y 关于x 点函数解析式；（3）当DE 的长度为多少时，21=PQ DE .AEQDCBP（备用图）ADCB（图17）2009学年第一学期九年级数学期中测试卷参考答案一、选择题(每题4分，共24分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 AABDCB二、填空题（每小题4分，共48分）7、a - 8、1：4 9、6 10、60 11、2.7 12、a b 2121- 13、22 14、75 15、54 16、215+ 17、225 18、23三、（第19~22题，每题8分，第23~24题，每题10分，第25题12分，第26题14分）19、图略。

总体原则，画对即可；方向出错，其它都对得4分；只画对b 21得2分。

20、 证明：∵EF ∥CD∴AC AEAD AF =……………………2分∵AB AF AD ⋅=2即AB ADAD AF =……………………2分 ∴ACAEAB AD =……………………2分 ∴DE ∥BC ……………………2分 21、解： ∴DE ∥BC∴ADE ∆∽ABC ∆……………………1分∵23=DB AD ∴53=AB AD ……………………1分 ∴259=∆∆ABC ADE S S ……………………2分 D A B C FED ABCE （图13）∵28D BCE +=∆AD E S S 四边形∴259282=+∆∆ADE ADE S S ……………………1分 ∴36=∆ADE S 64=D BCE S 四边形……………………2分 即100=∆ABCs……………………1分22、 解：(1)∵AB ∥PQ∴CBCQAB PQ =……………………1分∵PQ=1.6 CQ=2 BQ=3∴526.1=AB ……………………1分 ∴AB=4……………………2分(2) ∵PQ=CQ=1.6∴AB=BC=4……………………1分 ∴BQ=2.4……………………1分∴小明应该向路灯方向走0.6米…………………2分 23、 解： ⅰ）当1DE ∥BC 时……………………1分则BCDE AB AD 1=……………………2分∵AD=4 AB=6 BC=4 ∴381=DE ……………………2分ⅱ）当B D AE ∠=∠2时……………………1分 则2ADE ∆∽ACB ∆ ∴BCDE AC AD 2=……………………2分 ∵5=AC∴4542DE = ∴5162=DE ……………………2分A B PQC ..A B C DE 2 A BC D E 123、 解一：∵BE ⊥CE ， BC=55， cot ∠CBE=2 ∴EC=5， BC=10……………………………………2分 ∵AB ∥CD ，AD ⊥AB∴△ABE ∽△DEC ………………………………………2分设DE=x ，则AB=2x ，AE=10-x ，CD=210x-…………1分 在Rt △ABE 中，()10041022=+-x x∴41=x ，02=x （舍去）………………………2分∴AB=8，CD=3………………………………………2分 ∴()55108321ABCD =⨯+⨯=梯形S ………………1分解二： 过点C 作AB 的垂线CF ，垂足为点F ………………1分根据题意，可得△CBE ≌△BCF ……………………2分 ∴BF=5 CD=AF=AB-5 ……………………………2分设DE=x ，则AB=2x ，AE=10-x ，CD=210x-………1分 ∴210x-=2x-5………………………………………2分 解得x=4………………………………………………1分 即可求出梯形面积……………………………………1分24、 （1）证明：∵AB=AC ，∠BAC=90°∴∠B=∠BCA=45°， ∠BDA=67.5° ∴∠DAC=22.5°∠CAE=∠CEA=22.5°即 ∠EAD=∠B ……………………2分 ∴△EAD ∽△EBA …………………2分∴DE BE AE ⋅=2…………………1分(2)解：ⅰ）当∠BAC=90°时，（如上图）……………………………1分 ∵DE BE AE ⋅=2∴△EAD ∽△EBA∴∠ABC=∠EAD∵CE=CA ∴∠E=∠EAC ，∠ACB=2∠E ∴∠B=90°-2∠E ，∠BDA=45°+∠E ∴∠DAC=45°-∠E∴∠ABC=∠EAD=45°……………………………………1分DABCECDA B EFB AC DEⅱ）当∠ABC=90°…………………1分 ∵DE BE AE ⋅=2∴△EAD ∽△EBA 又∠EAD ≠∠ABC∴此种情况不成立…………………1分ⅲ）当∠ACB=90°时…………………1分 则∠AED=∠EAC=45° ∵DE BE AE ⋅=2∴△EAD ∽△EBA ∴∠ABC=∠EAD 又∵∠ABE=2∠DAC∴∠ABC=30°…………………2分【或者，一开始就由BD=AB ，CE=AC 推出BAC DAE ∠=∠21，该结论对后面始终有效】26、解： （1）∵平行四边形ABCD ，AB=1 ∴CD=1 ∵E 为CD 中点 ∴CE=DE=21∵PQ ∥DC ∴ACAPDC PQ =…………………1分 ∵2=PC AP∴32=AC AP…………………1分 ∴321=PQ即32=PQ …………………1分（2）由DE=x ，则EC=1-x ∵PQ ∥DC∴AC APDC PQ = ∵x CP AP -=11…………………1分 ∴xAC AP -=21…………………1分 AB C ED A ABACA D A EAAE Q D CB P∴xy -=21（10≤≤x ）…………………2分 （3） ⅰ）点E 在线段DC 上时，根据x y -=21，又21=PQ DE ∴x x -=212 即01422=+-x x …………………1分解得222±=x …………………1分 又 10≤≤x ∴222-=x …………………1分 ⅱ）点E 在线段DC 的延长线上，且点P 在线段AC 的延长线上时， DE=x ， EC=x-1， PQ=2x∵PQ ∥AB ∥DE ， ∴x PQ DC AP AC 21==， 11-==x AB CE PA PC 又 1=+PA PC AP AC ，即1121=-+x x 解得222±=x 又 1>x ∴222+=x ………2分ⅲ）当点E 在线段DC 的延长线上，且点P 在线段AC 的反向延长线上时，DE=x ， EC=x-1， PQ=2xD A C B P Q EA E Q D C BP∵PQ ∥AB ∥DE ， ∴x PQ DC AP AC 21==， 11-==x CE AB PC PA ∴11122-=+x x x ∴01422=--x x解得262±=x 又 1>x ， ∴ 262+=x …………2分 综上，符合条件的DE 的长度可以为262,222+±.…………………1分。