2021年九年级中考专题训练：圆的有关性质(含答案)

2021中考专题训练：圆的有关性质
一、选择题
1. 如图，AB为☉O的直径，C，D为☉O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为()
A.60°
B.50°
C.40°
D.20°
2. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为()
A.32°
B.31°
C.29°
D.61°
3. 如图，线段AB经过☉O的圆心，AC，BD分别与☉O相切于点C，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则圆弧CD的长度为 ()
A.π
B.2π
C.2π
D.4π
4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于()
A．29°B．31°C．59°D．62°
5. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立
．．．的是()
A ．∠COE ＝∠DOE
B ．CE ＝DE
C ．OE ＝BE
D.BD ︵＝BC ︵
6.
△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是( ) A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°
7. 2019·天水 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．35°
8. 如图，△
ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O
上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )
A ．5
B.5 3
2
C ．5 2
D ．5 3
二、填空题
9. 如图所示，AB 为☉O 的直径，点C 在☉O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC=65°，连接AD ，则∠BAD= 度.
10.
如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝________°.
11. 如图，C ，D
两点在以AB 为直径的圆上，AB ＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝
________．
12. 2019·随州如图，点
A ，
B ，
C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵
上．若∠OBA ＝50°，则
∠C 的度数为________．
13. 如图，在⊙O 中，半径
OA 垂直于弦BC ，点D 在圆上，且∠ADC ＝30°，则
∠AOB 的度数为________．
14. 如图
2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm ，下雨前水面宽为60 cm ，
一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.
链接听P39例4归纳总结
15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB＝4，则PA的长为________．
16. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是________．
三、解答题
17.
如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．
18. 已知：如图5，在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，AB＝CD，AB 不平行于CD.
求证：∠AMN＝∠CNM.
19.
如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；
(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵
的长．(结果保留π)
20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作半圆O 交AC 于点D ，
E 为BC 的中点，连接DE. (1)求证：DE 是半圆O 的切线；
(2)若∠BAC ＝30°，DE ＝2，求AD 的长．
21. (2019•辽阳)如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，连接AE ，
AD ，DE ，过点A 作射线交BE 的延长线于点C ，使EAC EDA ∠=∠． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；
(2)若23
CE AE
==，求阴影部分的面积．
22. 已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a ≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞3
2，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜5
2
）
个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
2021中考专题训练：圆的有关性质-答案
一、选择题
1. 【答案】B[解析]如图，连接AD，∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°.
∵∠A和∠BCD都是所对的圆周角，
∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B.
2. 【答案】A[解析]记线段OP交☉O于点F.连接CO，CF，
∵∠A=119°，∴∠BFC=61°，∴∠BOC=122°，∴∠COP=58°.
∵CP与圆相切于点C，∴OC⊥CP，
∴在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=32°，故选A.
3. 【答案】B
[解析]连接CO ，DO ，因为AC ，BD 分别与☉O 相切于C ，D ，
所以∠ACO=∠BDO=90°，所以∠AOC=∠A=45°，所以CO=AC=4， 因为AC=BD ，CO=DO ，所以OD=BD ，所以∠DOB=∠B=45°， 所以∠DOC=180°-∠DOB -∠AOC=180°-45°-45°=90°，==2π，故选B .
4. 【答案】B
5. 【答案】C
6.
【
答
案
】
C
【解析】由CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC ＋∠ICA ＝
1
2
(∠DAC ＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝
1
2
(180°－90°)＝45°，所以∠AIC ＝180°－(∠IAC ＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB ≌△AIC ，得∠AIB ＝∠AIC ＝135°.
7. 【答案】C
8. 【答案】D
[解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB
＝AB 可知PB ︵＝AB ︵
，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.
二、填空题
9. 【答案】20 [解析]如图，连接DO ，∵CO ⊥AB ， ∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，
∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB ， ∴∠BAD=20°.
10.
【
答
案
】
62 【解析】根据直径所对的圆周角等于90°及∠BCD ＝28°，可得∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－28°＝62°，再根据同弧所对圆周角相等有∠ABD ＝∠ACD ＝62°.
11. 【答案】1
[解析] ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠ACD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝12×2＝1.
12. 【答案】40°
13. 【答案】60°
[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵
，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC
＝30°，∴∠AOB ＝60°.
14. 【答案】10
或70 [解析] 对于半径为50 cm 的圆而言，圆心到长为60 cm 的
弦的距离为40 cm，到长为80 cm的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm或70 cm.
15. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.
∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，
∴BC2＋PB2＝PC2，
∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，
即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.
∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.
又∵PB＝AC＝4，
∴四边形ACBP为平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，
∴PA＝BC＝3.
在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，
∴P′A＝82＋32＝73.
综上所述，PA的长为3或73.
16. 【答案】34[解析] 如图，当CD∥AB时，PM的长最大，连接OM，OC.
∵CD∥AB，CP⊥AB，
∴CP⊥CD.
∵M为CD的中点，OM过点O，
∴OM⊥CD，
∴∠OMC＝∠PCD＝∠CPO＝90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM＝OC.
∵⊙O的直径AB＝8，
∴半径OC＝4，∴PM＝4.
三、解答题
17. 【答案】
(1)证明：如解图，连接OA，OD.设∠ABC＝x，∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，
∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，
解图
∴∠DAC＝x，∠AOD＝2∠ABC＝2x，
∴∠OAD＝180°－2x
2＝90°－x，(2分)
∴∠OAC＝90°－x＋x＝90°，
∴OA⊥AC，
又∵OA为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．(4分)
(2)解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3,
∠ABC＋∠ADB＝90°，
∴∠ABC＋3∠ABC＝90°，(6分)
解得∠ABC＝22.5°，
∴∠ADB＝67.5°，∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝22.5°.(8分)
18. 【答案】
证明：连接OM，ON，OA，OC，如图所示．∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，AM ＝12AB ，CN ＝12CD.
又∵AB ＝CD ，∴AM ＝CN.
在Rt △AOM 和Rt △CON 中，
⎩⎨⎧OA ＝OC ，AM ＝CN ，
∴Rt △AOM ≌Rt △CON(HL)，
∴OM ＝ON ，∴∠OMN ＝∠ONM ，
∴∠AMO ＋∠OMN ＝∠CNO ＋∠ONM ，
即∠AMN ＝∠CNM.
19. 【答案】
(1)证明：如解图，连接OD ，(1分)
∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，
解图
∴OD ⊥DF ，
∴∠ODF ＝90°，(2分)
∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，
∴OD 是△ABC 的中位线，(3分)
∴OD ∥AC ，
∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°，
∴DF ⊥AC.(4分)
(2)解：∵∠CDF ＝30°，
由(1)得∠ODF ＝90°，
∴∠ODB ＝180°－∠CDF －∠ODF ＝60°，
∵OB ＝OD ，
∴△OBD 是等边三角形，(7分)
∴∠BOD ＝60°，
∴lBD ︵＝n πR 180＝60π×5180＝53π.(8分)
20. 【答案】
解：(1)证明：如图，连接BD ，OD ，OE.
∵AB 为半圆O 的直径，
∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.
在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，
∴DE ＝BE.
在△OBE 和△ODE 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，
OE ＝OE ，BE ＝DE ，
∴△OBE ≌△ODE(SSS)，
∴∠ODE ＝∠ABC ＝90°，即OD ⊥DE.
又∵OD 是半圆O 的半径，
∴DE 是半圆O 的切线．
(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，
∴BC ＝12
AC. ∵BC ＝2DE ＝4，∴AC ＝8.
又∵∠C ＝90°－∠BAC ＝60°，DE ＝BE ＝EC ，
∴△DEC 为等边三角形，∴DC ＝DE ＝2，
∴AD ＝AC －DC ＝6.
21. 【答案】
(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，
∴90AFO ∠=︒，
∴90EAO AOF ∠+∠=︒，
∵OA OE =， ∴12
EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12
EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，
∵EAC EDA ∠=∠，
∴EAC AOF ∠=∠，
∴90EAO EAC ∠+∠=︒，
∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，
∴90CAO ∠=︒，
∴OA AC ⊥，
∴AC 是⊙O 的切线．
(2)∵CE AE ==
∴C EAC ∠=∠，
∵EAC C AEO ∠+∠=∠，
∴2AEO EAC ∠=∠，
∵OA OE =，
AEO EAO ∠=∠，
∴2EAO EAC ∠=∠，
∵90EAO EAC ∠+∠=︒，
∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒，
∴OAE △是等边三角形，
∴OA AE =，60EOA ∠=︒，
∴OA =
∴2
60π2π360
=AOE S ⋅⨯=扇形，
在Rt OAE △中，sin 3OF OA EAO =⋅∠==，
∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△
∴阴影部分的面积=2π33
-．22. 【答案】
（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1, 0)、B(4, 0)两点，
所以y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2－3ax－4a．
所以－4a＝－2，b＝－3a．所以1
2
a=，
3
2
b=-．
所以22
131325
2()
22228
y x x x
=--=--。

顶点为325
(,)
28
C-．
（2）如图1，设抛物线与y轴的交点为D．
图1
由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，可知OA OD
OD OB
=．
所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO＝∠DBO．
由于∠DBO与∠BDO互余，所以∠ADO与∠BDO也互余．
于是可得∠ADB＝90°．因此以AB为直径的圆经过点D．
当点P在x轴下方圆的内部时，∠APB为钝角，此时－1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）若m＞3
2
，当∠APB为直角时，点P与点D关于抛物线的对称轴对称，因此点P的坐标为(3,－2)．
如图2，由于点A、B、P、C是确定的，BB′、P′C′、PC平行且相等，所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中，AB和P′C′的长是确定的．
如图3，以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′，以直线25
8
y=-为对称轴作点B′的对称点B′′，联结AB′′，那么AC′＋P′B的长最小值就是线段AB′′。

如图4，线段AB′′与直线25
8
y=-的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．
如图2，点P(3,－2)先向左平移3
2
个单位，再向下平移9
8
个单位得到点325
(,)
28
C-，
如图3，点B(4, 0) 先向左平移3
2
个单位，再向下平移9
8
个单位得到点59
'(,)
28
B-．所以点B′′的坐标为541
(,)
28
-．
如图4，由
'''
AE AF
C E B F
=，得
'
2541
88
5
11
2
C
x
=
++
．解得
'
93
82
C
x=．
由于3931528241-=，所以抛物线向左平移了1541
个单位． 图2 图3 图4
考点伸展
第（2）题不可回避要证明∠ADB ＝90°，也可以根据勾股定理的逆定理证明． 由A (－1, 0)、B (4, 0)、D (0,－2)，得AB 2＝25，AD 2＝5， BD 2＝20． 所以AB 2＝AD 2＋BD 2．所以∠ADB ＝90°．
第（3）题的运算量实在是太大了，很容易折磨同学们的自信．
求点B ′的坐标，我们用了坐标平移的方法，比较简便．
求点C ′的坐标，我们用了相似比的方法，回避了待定系数法更为繁琐的计算过程．。