显式化RK和SRK气体状态方程
R一K方 程
Kij与i、j分子相互作用有关，Kij的取值参见参考文献[12]
基于R-K方程的余函数法能很好地反映实际气体的特性，有较高的计算准确度，可以用于实际工程计算。在工程计算中经常用到R一K方程,其形式为：
式中,a、b为各种流体特有的常数,v为流体的摩尔体积。公式中a、b通常可用PVT数据拟合求得,但一般无PV T实际数据而只有在临界条件下的Tc、Pc、和Vc。此时常利用临界等温线在拐点处的特征研究，通常是利用理论分析、经验或半经验半理论的方法对理想气体状态方程进行修正和改进，并对实验数据进行拟合，从而建立实际气体的状态方程。目前，实际气体的状态方程已有近百个，但得到普遍认可的只有几个，包括最基本的范德瓦尔方程及在此基础上衍生出的R-K方程、RKS方程、P-R方程、维里方程以及基于对比态原理的对比态方程等。
实际气体的R-K方程为：
对于实际气体混合物，若气体间不发生化学反应，则可以把该混合物当做假想的纯质来处理，根据统计热力学，用数学式表示混合气体的系数与各组成气体的系数之间的关系。对于由m种气体组成的混合气体，a和b与气体种类有关的系数，a反应分子间的相互吸引力，b表示分子不能自由活动的空间，与分子本身占有的容积有关。
1949年Reclich和Kwong在保留范氏气体比容三次方简单形式的同时，通过对内压项的修正，提出了R-K方程。使精度有较大提高，且应用简便，对气液平衡和混合物的计算十分成功，因而在气体热力学性质的计算方面得到了广泛应用。
刘朝等人采用对应态维里方程对高温高压湿空气的焓值进行了计算，结果表明，将湿空气看作理想气体会产生很大偏差，而这种偏差对热力过程的影响是不可接受的。杨文滨等人将湿空气看作空气和水蒸气的混合物，采用基于R-K方程的余函数法对高温高压下（1-2MPa）湿空气的焓值进行了计算，结果表明：采用理想混合气体的计算方法对湿空气进行计算会产生很大偏差，必须采用基于实际气体状态方程的计算方法。
化工热力学第三版课后答案完整版朱自强
第二章 流体的压力、体积、浓度关系：状态方程式2-1 试分别用下述方法求出400℃、下甲烷气体的摩尔体积;1 理想气体方程；2 RK 方程；3PR 方程；4 维里截断式2-7;其中B 用Pitzer 的普遍化关联法计算;解 1 根据理想气体状态方程,可求出甲烷气体在理想情况下的摩尔体积id V 为2 用RK 方程求摩尔体积将RK 方程稍加变形,可写为0.5()()RT a V b V b p T pV V b -=+-+ E1其中从附表1查得甲烷的临界温度和压力分别为c T =, c p =,将它们代入a, b 表达式得以理想气体状态方程求得的id V 为初值,代入式E1中迭代求解,第一次迭代得到1V 值为第二次迭代得2V 为353520.563353553313.2217(1.389610 2.984610)1.381102.984610673.154.05310 1.389610(1.389610 2.984610)1.381102.984610 2.1120101.389710V m mol ------------⨯⨯-⨯=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯+⨯-⨯=⨯⋅1V 和2V 已经相差很小,可终止迭代;故用RK 方程求得的摩尔体积近似为3用PR 方程求摩尔体积将PR 方程稍加变形,可写为()()()RT a V b V b p pV V b pb V b -=+-++- E2式中 220.45724c cR T a p α=从附表1查得甲烷的ω=;将c T 与ω代入上式 用c p 、c T 和α求a 和b,以RK 方程求得的V 值代入式E2,同时将a 和b 的值也代入该式的右边,藉此求式E2左边的V 值,得563563355353558.314673.152.68012104.053100.10864(1.39010 2.6801210)4.05310[1.39010(1.39010 2.6801210) 2.6801210(1.39010 2.6801210)]1.381102.6801210 1.8217101.3896V ------------⨯=+⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=33110m mol --⨯⋅再按上法迭代一次,V 值仍为3311.389610m mol --⨯⋅,故最后求得甲烷的摩尔体积近似为3311.39010m mol --⨯⋅; 4维里截断式求摩尔体积根据维里截断式2-711()c r c rBp p BpZ RT RT T =+=+ E3 01ccBp B B RT ω=+ E40 1.60.0830.422/r B T =- E5 1 4.20.1390.172/r B T =-E6其中已知甲烷的偏心因子ω=,故由式E4~E6可计算得到从式E3可得 因pVZ RT=,故 四种方法计算得到的甲烷气体的摩尔体积分别为31.38110-⨯、31.39010-⨯、31.39010-⨯和31.39110-⨯31m mol -⋅;其中后三种方法求得的甲烷的摩尔体积基本相等,且与第一种方法求得的值差异也小,这是由于该物系比较接近理想气体的缘故;2-2 含有丙烷的3m 的容器具有的耐压极限;出于安全考虑,规定充进容器的丙烷为127℃,压力不得超过耐压极限的一半;试问可充入容器的丙烷为多少千克解 从附表1查得丙烷的c p 、c T 和ω,分别为,和;则用普遍化压缩因子关联求该物系的压缩因子Z;根据r T 、r p 值,从附表7-2,7-3插值求得：(0)0.911Z = ,(1)0.004Z =,故丙烷的分子量为,即丙烷的摩尔质量M 为0.00441 kg;所以可充进容器的丙烷的质量m 为从计算知,可充9.81 kg 的丙烷;本题也可用合适的EOS 法和其它的普遍化方法求解;2-3 根据RK 方程、SRK 方程和PR 方程,导出其常数a 、b 与临界常数的关系式;解 1RK 方程式,0.5()RT ap V b T V V b =--+ E1利用临界点时临界等温线拐点的特征,即22()()0c c T T T T p pV V==∂∂==∂∂ E2将式E1代入式E2得到两个偏导数方程,即20.52211()0()()c c c c c RT a V b T b V V b -+-=-+E330.53311()0()()c c c c c RT a V b T b V V b --=-+ E4临界点也符合式E1,得0.5()c c c c c c RT ap V b T V V b =--+ E5式E3~E5三个方程中共有a 、b 、c p 、c T 和c V 五个常数,由于c V 的实验值误差较大,通常将其消去,用c p 和c T 来表达a 和b;解法步骤如下：令c c c c p V Z RT =临界压缩因子,即 c c c cZ RTV p =; 同理,令2 2.5a c cR T a p Ω=,b c c RT b p Ω=,a Ω和b Ω为两个待定常数;将a 、b 、c V 的表达式代入式E3~E5,且整理得222(2)1()()a cbc c b c b Z Z Z Z Ω+Ω=+Ω-Ω E622333(33)1()()a cbc b c c b c b Z Z Z Z Z Ω+Ω+Ω=+Ω-Ω E711()a c c b c bZ Z Z Ω=-+Ω-ΩE8式E6除以式E7,式E6除以式E8得3223330c b c b c b Z Z Z -Ω-Ω-Ω=E9322232320c c b c b c b b Z Z Z Z -++Ω-Ω-Ω-Ω=E10对式E8整理后,得()(1)c c b c b a c bZ Z Z Z +Ω-+ΩΩ=-ΩE11式E9减去E10,得22(13)(2)0c b b c c Z Z Z -Ω+Ω-=E12由式E12解得13c Z =,或1)b c Z Ω=此解不一定为最小正根,或1)b c Z Ω=-b Ω不能为负值,宜摒弃再将13c Z =代入式E9或式E10,得32110327b b b Ω+Ω+Ω-=E13解式E13,得最小正根为将13c Z =和0.08664b Ω=代入式E11,得0.42748a Ω=,故2 2.50.42748c cR T a p =E140.08664ccRT b p =E15式E14和式E15即为导出的a 、b 与临界常数的关系式;2 SRK 方程立方型状态方程中的a 、b 与临界常数间的通用关系式可写为 SRK 方程的α是c T 与ω的函数,而RK 方程的0.5r T α=,两者有所区别;至于a Ω与b Ω的求算方法对RK 和SRK 方程一致;因此就可顺利地写出SRK 方程中a 、b与临界常数间的关系式为220.42748c cR T a p α=⋅E160.08664ccRT b p =E173PR 方程由于PR 方程也属于立方型方程,a 、b 与临界常数间的通用关系式仍然适用,但a Ω、b Ω的值却与方程的形式有关,需要重新推导PR 方程由下式表达 因()c T T pV=∂∂=0 22()20()[()()]c c c T T c c c c c RT V b pa V Vb V V b b V b =+∂=-+=∂-++- E18 经简化,上式可写为2222222()()()4()c c c c c c c RT a V b V b V b bV V b +=-++-E19把c c c c Z RT V p =、22a c c cR T a p Ω=、b c c RT b p Ω=代入式E19中,化简得出222222()1()()4()a cbc b c b c b c b Z Z Z Z Z Ω+Ω=-Ω+Ω-Ω-ΩE20对式E18再求导,得22222322322322222222[()4()()(44124)]()()[()4()]c c c c c c c c c c T T c c c c RT a V b bV V b V b V b V bV b pV V b V b bV V b =++--+++-∂=+∂-++- 0= E21将上式化简后得出E22再将c c c c Z RT V p =、22a c c cR T a p Ω=、b c c RT b p Ω=代入式E22中,化简得出432234387263544536278(3121445)1()8208268208a c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b c b Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Ω+Ω+Ω+Ω-Ω=-Ω+Ω+Ω+Ω-Ω-Ω+Ω-Ω+ΩE23 PR 方程的c Z =,将其分别代入式E21和E23后,就可联立解出a Ω与b Ω,得到a Ω=和b Ω=;最后得到2 2.50.45724c cR T a p =和 2-4 反应器的容积为3m ,内有45.40kg 乙醇蒸气,温度为227℃;试用下列四种方法求算反应器的压力;已知实验值为;1RK 方程；2SRK 方程；3PR 方程；4 三参数普遍化关联法;解 1用R-K 方程法计算从附表1查得乙醇的c p 和T c 分别为 和;则RK 方程参数a, b 为 再求乙醇在该状态下的摩尔体积,V 按R-K 方程求算压力,有350.5335668.314(227273.15)28.0391.22910 5.82810500.15 1.229*10(1.22910 5.82810)(3.55190.7925)10 2.75910 2.759Pa MPa-----⨯+=-⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯=-⨯=⨯=2用SRK 方程计算从附表1查得乙醇的ω为;SRK 方程中的a 和b 分别计算如下： 在给定条件下乙醇摩尔体积为3311.22910m mol --⨯⋅,将上述有关数值代入SRK 方程,得3用PR 方程计算 将上述数值代入PR 方程,得3533553568.314500.151.22910 5.233410 1.372031.22910(1.22910 5.233410) 5.233410(1.22910 5.233410)(3.53390.83848)10 2.695p Pa MPa--------⨯=⨯-⨯-⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯-⨯=-⨯=3用普遍化维里系数法计算根据临界常数和以RK 方程求出的p 为初值,求出对比温度和对比压力,即2.7590.43246.38r c p p p ===, 500.150.9689516.2r c T T T === 故已知乙醇的偏心因子ω=,按下式求压缩因子Z 的值, 所以因和比较接近,不需再迭代;将4种方法计算得到的结果列表比较;由上表知,所用四种方法的计算误差都不大,但以RK 方程法求得的值和实验值最为接近;其余的方法稍差;第一和第四种方法得到的是负偏差,而第二和第三种方法却是正偏差;2-5 某气体的p -V -T 关系可用RK 方程表述,当温度高于c T 时,试推导出以下两个极限斜率的关系式：10lim()T P Z p→∂∂ ；2lim()T P Zp →∞∂∂ ;两式中应包含温度T和RK 方程的常数a 和b;解 根据压缩因子的定义pVZ RT=E1将式E1在恒T 下对p 求偏导,得1()()()T T T Z V p V V p p p RT RT p RT RT V-∂∂∂=+=+∂∂∂ E2根据RK 方程 可求出()T pV∂∂, 20.522(2)()()()T p RT a V b V V b T V V b ∂+=-+∂-+ E3将E3代入E2,得120.522(2)()[]()()T Z V p RT a V b p RT RT V b T V V b -∂+=+-+∂-+ E4pRT也用RK 方程来表达,即 1.51()p a RT V b RT V V b =--+ E5将E5代入E4,得（1） 当0p →,V →∞,故 （2） 当p →∞,V b →,故1、2两种情况下得到的结果即为两个极限斜率的关系式;2-6 试分别用普遍化的RK 方程、SRK 方程和PR 方程求算异丁烷蒸气在350K 、下的压缩因子;已知实验值为;解 1 将RK 方程普遍化,可见原书中的2-20c 和2-20d,即1.51 4.9340() 11r hZ h T h =--+ E10.08664h=rrP ZT E2式E2的右边的Z 以1为初值代入进行迭代,直至得到一收敛的Z 值;由附表1查得异丁烷的c p 、c T 分别为c p = ,c T =,则3500.8576408.1r c T T T ===, 1.20.32883.65r c p P p === 以Z=1代入式E2右边,得 把1h 代入式E1右边,得再把1=0.8346Z 代入式E2,解得2h ,代入式E1,得 按此方法不断迭代,依次得3=0.7965Z , 4=0.7948Z , 5=0.7944Z5Z 和4Z 已非常接近,可终止迭代;异丁烷蒸气的压缩因子为=0.7944Z2 SRK 的普遍化形式如下见原书式2-211 4.934011FhZ h h=--+ E3 0.521[1(1)]r rF m T T =+- E4 20.480 1.5740.176m ωω=+- E50.08664rrp h ZT =E6迭代的过程为：求m 和F 值→取0Z =1→求h 值−−−−→←−−−−循环迭代求Z 值→得收敛的Z 值;查得异丁烷的偏心因子,0.176ω=,故根据式E5和式E4可得 以0Z =1代入式E6右边,得 再由式E3可得 按上述方法,依次可得2=0.7947Z ,3=0.7864Z ,4=0.7843Z ,5=0.7839Z ,6=0.7837Z6Z 和5Z 已非常接近,可终止迭代;故=0.7837Z（3） 用普遍化的PR 方程计算若要按例2-4的思路来计算,必先导出类似于式2-21的普遍化的PR 方程; 令bh V=,则 (1)bV b h h+=+,(1)bV b h h-=-,hZRTp b=将上述4式代入式2-18,并简化后,得(1)(1)(1)RTahZRTp b b b bbh h b h h h h h =-=-++-,即 211[][](1)(1)11(1)(1)hRT a a h Z h b h b RTh h h bRT h h h h h=-=-+---++-+ E7将PR 方程中的a 、b 代入式E7,则1 5.8771[]1(1)(1)r h h T h h hα=--++- E8令0.5220.5211[1(1)][1(0.37464 1.542260.26992)(1)]r r r rF k T T T T ωω=+-=++--,则1 5.8771[]1(1)(1)hZ F h h h h =--++- E9且0.0778/0.0778/0.0778/c c c c rrRT p RT p p b h V V ZRT p ZT ==== E10 通过式E9和E10就可迭代求得Z; 第一次迭代,设0Z =1,则继续迭代,依次可得Z 2=,Z 3=,Z 4=,Z 5=,Z 6=;由于前后两次迭代出的Z 值已很接近,从而得出异丁烷的Z =,与实验值相比,误差为%;由RK 和SRK 方程计算得到的异丁烷的Z 分别为和,它们与实验值的计算误差分别为%和%;可见,三种方法中,普遍化PR 方程计算结果显得更好些;2-7 试用下列三种方法计算250℃、2000Kpa 水蒸气的Z 和V ;1维里截断式2-8,已知B 和C 的实验值分别为310.1525B m kmol -=-⋅和2620.580010C m kmol --=-⨯⋅；2式2-7,其中的B 用Pitzer 普遍化关联法求出；3用水蒸气表计算;解 1用维里截断式2-8计算先求出理想气体状态时的摩尔体积,id V 维里截断式2-8为21pV B CZ RT V V==++ 2-8以id V 为初值,即0id V V =,代入上式右边,求得1V10200(1)B C V V V V =++ E1将1V 再代入式E1右边得同理,3313 2.00710V m mol --=⨯⋅;2V 和3V 很接近,停止迭代,则水蒸气的摩尔体积为3312.00710V m mol --=⨯⋅;所以2用维里截断式2-7计算 维里截断式2-7为11()c r c rBp p BpZ RT RT T =+=+ E201ccBp B B RT ω=+ E3由附表1查得水蒸气的c p 、c T 和ω分别为, 和,则2.00.090722.05r c p p p ===, 250273.150.8082647.3r c T T T +=== 根据Pitzer 的普遍化关联式,有再由式E3和式E2得 故33310.9319 2.17510 2.02710id ZRTV ZV m mol p---===⨯⨯=⨯⋅ 3用水蒸气表计算从水蒸气表附表3查得250℃,2000Kpa 时的水蒸气的比容为 由于水的摩尔质量为,故 同理 2.0080.92322.175id pV V Z RT V ==== 将三种方法计算得到的结果列表比较;计算结果表明,1、3两种方法所得的结果比较接近;2方法偏差较大,主要是忽略了第三维里系数之故;2-8 试用Magoulas 等法、Teja 等法、CG 法和Hu 等法等估算正十九烷的临界温度、临界压力原书中有误,没有计算压缩因子的要求;查阅其文献值,并与所得计算值进行比较;解 正十九烷的分子式为1940C H ,故19c N = 1用Magoulas 等法 按式2-36, 按式2-37,2用Teja 等式按式2-38, 按式2-39,3用CG 法 按式2-40, 按式2-41,4用Hu 等式 按式2-42, 按式2-43,经查阅,c T 、c p 的手册值如下表所示：从上表知,文献中的c T 、c p 手册值并不完全一致,特别c p 间的差值还有些大;由于Nikitin 等的数据和Poling B E 等专着的手册值更为接近,以Nikitin 等的数据为基准手册值,计算出上述各法的误差列于下表;由表知,对c T 、c p 的推算,分别以Magoulas 等法和Hu 等法为最好,且c p 的推算误差比c T 要大;Nikitin 等也给出了c T 和c p 的推算方程如下：据此也可推算正十九烷的c T 和c p ;误差：756754.611000.18%756-⨯= 误差：11.6011.551000.43%11.60-⨯=由Nikitin 等法估算正十九烷的T c ,其误差仅比Magoulas 等法稍差,但比其它三种方法都要优越些；相反,该法估算p c 的误差却最小,比以上四种方法都好,误差要小近半个数量级,甚至更好;由此可见经常查阅文献,与时俱进是很重要的;2-9 试用Constantinou, Gani 和O ’Connell 法估算下列化合物的偏心因子和时液体摩尔体积;1甲乙酮,2环乙烷,3丙烯酸;解 此题如何计算首先要查阅原书P34脚注中的文献4;从该文献中知晓应用何种方程、并查表此两表已在附表9和附表10中给出获得一阶和二阶的数据1i ω、1i υ和2j ω、2j υ等;1甲乙酮应注意到式2-48仅能用于正烷烃的偏心因子估算;对于甲乙酮则应从查阅的文献中得出求算方程;先估算甲乙酮的偏心因子,查得一阶计算的方程为0.50501exp() 1.15070.4085i i N ωω-=∑E1式中,i N 为要估算化合物分子中基团i 出现的次数；1i ω为i 的偏心因子一阶基团贡献值;甲乙酮可分解为3CH 、2CH 和3CH CO 三种基团,从附表9中可以查得1i ω和1i υ,并列表如下：将有关数据代入式E1,得 解得 0.376ω=;从附表1中查得甲乙酮的0.329ω=,0.3290.37610014.28%0.329-=⨯=-误差;一阶估算的误差较大,试进行二阶估算;从文献得出的计算方程为0.505012exp() 1.15070.4085i i j j N A M ωωω-=∑+∑ E2式中 1A =；j M 是在要估算的化合物分子中基团j 出现的次数；2j ω为j 的偏心因子二阶基团贡献值;经查附表10知,甲乙酮的二阶基团为32CH COCH ,其2j ω和2j υ分别为了和31m kmol -⋅;将相关1i ω和2j ω值代入式E2,得0.5050exp() 1.150710.2960210.146911 1.015221(0.20789)0.40851.458150.20789 1.25026ω-=⨯+⨯+⨯+⨯-=-=将上式简化并解得 0.314ω=,0.3290.314100 4.56%0.329-=⨯=误差;从文献查得估算298K 时的l V 估算式为120.01211l i i j j V N A M ωω-=∑+∑E3一阶估算时,0A =,将已查得的各基团的一阶饱和液体贡献值代入式E3,得从化学化工物性数据手册查得甲乙酮在20℃和40℃时的密度分别为3kg m -⋅和3kg m -⋅;内插得25℃时液体的摩尔密度为3kmol m -⋅,则可得出其摩尔体积为31m kmol -⋅;以此为文献值,进行一阶估算结果的误差计算,得二阶估算时,A=1,除1i υ外,尚需要2j υ,以上都已查得备用,依次代入式E3,得2环乙烷偏心因子的一阶估算时,环乙烷可作如下分解,得出基团,并查出基团贡献值：按式E1从附表1查得环乙烷的偏心因子为,0.2130.207100 2.82%0.213-=⨯=误差偏心因子的二阶估算时,从附表10中查得六元环的基团贡献值为,A=1,则按式E2得298K 时环乙烷的摩尔体积按式E3作一阶估算,此时A=0,则从Poling B E 等着的气体物性估算手册中查得时环乙烷的饱和液体摩尔体积为31m kmol -⋅;以此为文献值,则0.108750.11057100 1.67%0.10875-=⨯=-误差;按式E3作二阶估算时,A=1,从附表10中查得六元环的基团贡献值为31m kmol -⋅,因此对环乙烷而言,不论是ω或是l V ,二阶估算的结果都没有一阶估算的精确; 3丙烯酸丙烯酸可分解成如下的基团,并查得其基团贡献值;一阶估算ω,按式E1,从化学化工物性数据手册查得丙烯酸的ω值为,以此为文献值,进行误差计算,二阶估算ω,按式E2,A=1,一阶估算V,按式E3,A=0,l丙烯酸的密度数据来自化学化工物性数据手册,经换算,丙烯酸在25℃时的液体摩尔体积为31⋅,以此为文献值,则m kmol-二阶估算V,按式E3,A=1,l二阶估算结果显示出,ω的估算结果不如一阶的好,而V则相反,二阶估算结l果要比一阶的好;现把全部所得结果示于下表;由表的结果可以得出如下一些看法和观点：aConsfantinou, Gani 和O ’Connell 法预测估算法,对上述三种不同化合物的偏心因子和298K 饱和液体的摩尔体积都比较成功地进行了预测,误差也不算太大,在工程计算中应该有其应用价值;b 从预期来说,二阶估算的结果应该要比一阶估算的好;但从实际估算结果知,并非如此,例如环乙烷的ω和l V 两者的二阶估算结果都比一阶估算结果差；丙烯酸的ω估算,情况也与上述相同;估计出现相仿情况的场合,恐怕为数不少,说明该法应有改进的需要;2-10 估算150℃时乙硫醇的液体的摩尔体积;已知实验值为31m kmol -⋅;乙硫醇的物性参数为c T =499K 、c p =、c V =31m kmol -⋅、ω=,20℃的饱和液体密度为8393kg m -⋅;解 方法1：用Rackett 方程计算液体摩尔体积; Rackett 方程为 其中： 635.49100.207100.27398.314 4.99c c c c p V Z RT -⨯⨯⨯===⨯故0.2857(10.8480)310.207(0.2739)0.0972SL V m kmol --=⨯=⋅乙硫醇的摩尔体积为31m kmol -⋅,该值和实验值31m kmol -⋅相比,误差为%; 方法2：用Lyderson 方法计算由20℃时的饱和液体密度求出此状态的摩尔体积1V ,M 为乙硫醇的摩尔质量,则20℃时的对比温度为根据1r T 值,从图2-11的饱和液体线上查得对比度密度,1r ρ=;同理,根据此值,从图2-11的饱和液体线上查得2 2.15r ρ=;故根据Lyderson 方程,有乙硫醇的摩尔体积计算值为31m kmol -⋅,和实验值相比,误差为%; 2-11 50℃、由摩尔分数的氮和摩尔分数的乙烯组成混合气体,试用下列4种方法求算混合气体的摩尔体积;已知从实验数据, 1.40Z =实;1理想气体方程；2Amagat 定律和普遍化压缩因子图；3 虚拟临界常数法Kay 规则；4 混合物的第二维里系数法;解 1 理想气体方程法根据理想气体方程求得混合物的摩尔体积id m V 为 2 Amagat 定律和普遍化压缩因子图法 根据Amagat 定律()(/)()id id m i i i i i i m m m iiiV V y y Z RT p y Z V Z V ====∑∑∑E1从附表1查得2N 和24C H 的c p 和c T ,2N 1： c p =3.39MPa ,c T =126.2K 24C H 2： c p =5.04MPa ,c T =282.4K根据c p 、c T 值,求出2N 1和24C H 2的r T 和r p 为2N 1：150273.15 2.561126.2r T +==, 160.9717.993.39r p ==24C H 2：250273.15 1.144282.4r T +==, 260.9712.105.04r p ==从普遍化二参数压缩因子图查得相应的i Z 值2N ： 1 1.49Z =；24C H ：2 1.34Z =代入式E1得3 虚拟临界常数法Kay 规则法根据Kay 规则计算混合物虚拟临界常数, 故可求出混合物的对比温度和对比压力,50273.15 1.470219.8rm T +==, 60.9713.924.38rm p ==根据rm T 和rm p ,查二参数普遍化压缩因子图2-4,得 1.45m Z =,故 4混合物的第二维里系数法 根据式2-712-72e,2211112122222m B y B y y B y B =++E2 01()cij ij ij ij ij cijRT B B B p ω=+E31/2()(0)cij ci c j ij T T T ==这里KE41/31/33()2ci c j cij V V V +=E5()/2cij ci c j Z Z Z =+E6()/2ij i j ωωω=+ E7cij cij cij cijZ RT p V =E80ij B 和1ij B 用Pitzer 的普遍化关联法计算,即0 1.60.0830.422/ij rij B T =- E9 1 4.20.1390.174/ij rij B T =-E10其中 /rij cij T T T =,/rij cij p p p = E11 纯组分的第二维里系数,可按通常的方法求出,即只须用式E3、式E9和式E10,当然此时i=j;而对交叉第二维里系数,须从式E3式E11求出;先从附表1查得各组分的c p 、c T 、c V 、c Z 和ω,具体数值见后面的表1,具体的计算步骤如下： 对2N 1,根据式E11,1111273.1550/ 2.5606126.2r c T T T +===, 111160.97/17.9853.39r c p p p ===根据式E9和E10,011 1.60.4220.0830.010752.5606B =-=-, 1114.20.1740.1390.13572.5606B =-= 代入式E3,得 对24C H 2,根据式E11,2222273.1550/ 1.1443282.4r c T T T +===, 222260.97/12.0975.04r c p p p ===根据式E9和E10,022 1.60.4220.0830.25711.1443B =-=-, 122 4.20.1740.1390.041351.1443B =-= 代入式E3,得交叉第二维里系数12B 的计算如下： 根据式E4式E8, 根据式E11, 代入式E9和E10,012 1.60.4220.0830.095561.7118B =-=-, 112 4.20.1740.1390.12101.7118B =-= 代入式E3得将上述计算结果综合成表1;表1、维里方程计算混合气体的摩尔体积时的一些中间参数i-j T cKp c /MPa V c /m 3kmol -1Z c ω T r B 0 B 1 B/m 3kmol -11-2注：方框中的数值系从附表1查得,其余的分别根据式E3式E11求得;根据式E2求出m B ,得根据维里截断式2-7,求出混合物的压缩因子为若压缩因子为“负值”,意味着摩尔体积为负值;这是没有任何物理意义的,也是不合理的;说明方法4在高达的压力下是不适合的;将四种方法计算结果综合成表2;由表可知,2、3两种方法求出的结果和实验值很接近,而方法1也即理想气体方程求得的结果偏差很大,这是由于系统非理想的缘故;比较2、3两种方法,可以看出2法,也即Amagat 定律,求出的结果为最优;表2、由4种方法计算混合气体的压缩因子和摩尔体积计算方法压缩因子Z m摩尔体积V m/ m 3kmol -1误差 / %实验值计算值1 2 3 4无意义无意义2-12 以化学计量比的2N 和2H 合成氨,在25℃和下,混合气以3311.666710m s --⨯⋅的流速进入反应器;氨的转化率为15%;从反应器出来的气体经冷却和凝缩,将氨分离出后,再行循环;1计算每小时合成氨的量；2若反应器出口的条件为,150℃,求内径为2510m -⨯的出口管中气体的流速;解 先求出2N 1+2H 2混合气体的摩尔体积m V ,拟用Amagat 定律求解; 由附表1分别查得2N 和2H 的c p 、c T 为2N ：1 3.39c p MPa =, 1126.2c T K = 2H ：2 1.30c p MPa =, 233.2c T K =然后求2N 和2H 的r p 、r T ,2N ： 130.3958.9663.39r P ==, 125273.157.237126.2r T +== 2H ： 230.39514.401.300.8106r P ==+, 2298.158.96633.28r T ==+根据r P 、r T 查二参数普遍化Z 图得1 1.13Z =,2 1.22Z =因为2N 和2H 是以化学计量比输入,故10.25y =, 20.75y =根据Amagat 定律 故53161.208.314298.159.791030.39510m m Z RT V m mol p --⨯⨯===⨯⋅⨯ 已知混合气体的进口体积流量,331.666710in v m s -=⨯⋅,则混合气体的进口摩尔流速in m 为根据反应的计量关系,22332N H NH −−→+←−−总量 开始 1 3 0 4 结束 330.15-⨯ 20.15⨯ 则每小时合成氨的量可由下式计算得出,2 先求出口气体的组成;因为出口气体中223::(10.15):(330.15):(20.15)N H NH =--⨯⨯,故20.2297N y =,20.6892H y =,30.0811NH y =, 1.000i iy =∑再求出口气体的摩尔流速利用Amagat 定律求出口气体的摩尔体积m V ;先从附表查得3NH 的11.28c p MPa =,405.6c T K =,则可求出各组分的对比性质为2H ： 27.8613.201.300.8106r p ==+, 150273.1510.2733.28r T +==+2N ： 27.868.2183.39r p ==, 273.151503.353126.2r T +==3NH ： 27.86 2.47011.28r p ==, 273.151501.043405.6r T +==根据上述对比参数,查二参数普遍化Z 图,得2 1.15H Z =,2 1.14N Z =,30.380NH Z =则 1.150.0892 1.140.22970.3800.0811 1.085m i i iZ y Z ==⨯+⨯+⨯=∑故43161.0858.314423.15 1.371027.8610m m Z RT V m mol p --⨯⨯===⨯⋅⨯ 出口管中气体的体积流速为出口管中气体的流速,μ,可按下式计算,式中：A 为管子的截面积;计算得出出口管中混合气体的流速为11.10m s -⋅; 58页第2章2-1 求温度、压力的甲烷气体摩尔体积; 解：a 理想气体方程 b 用R-K 方程① 查表求c T 、c p ；② 计算a 、b ；③ 利用迭代法计算V; c 用PR 方程步骤同b,计算结果：1331103893.1--+⋅⋅⋅=mol m V i ; d 利用维里截断式查表可计算r p 、r T 、0B 、1B 和Z 由13310391.1--⋅⋅⋅==⇒=mol m pZRTV RT pV Z 2-2 V=0.5 m 3,耐压 MPa 容器;规定丙烷在T=时,p<;求可充丙烷多少千克 解：a 用理想气体方程136948.815.400314.85.01035.10441.0--⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==⇒=⇒=mol m RT MpV m RT M m pV nRT pV b用R-K 方程① 查表求c T 、c p ；② 计算a 、b ；③ 利用迭代法计算V; 则可充丙烷质量计算如下： c 利用维里截断式：查表可计算r p 、r T 、0B 、1B 和Z 由133610257.21035.115.400314.8916.0--⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇒=mol m V RT pV Z m m 则可充丙烷质量计算如下：2-4 V=1.213 m 3,乙醇45.40 kg,T=,求压力; 解：a 理想气体状态方程 b 用R-K 方程 c 用SRK 方程计算 d 用PR 方程计算 e 用三参数普遍化关联2-6 本题以计算机编程计算提供参考,考试时不能使用aR-K 方程 S-R-K2-7 计算T=,p=2 MPa 的水蒸气的Z 和V 解：a 用维里截断式221pVCRTpV BRT p RT V V C V B RT pV Z ++=⇒++≈=采用迭代法计算V= 之后求得Z= d 利用维里截断式查表可计算r p 、r T 、0B 、1B 可得到Z=； 由13310025.2--⋅⋅⋅==⇒=mol m pZRTV RT pV Z c 水蒸气表 92页第三章 3-4利用三参数压缩因子计算方法,查图表,得到压缩因子： 3-7： 解：注意：J kPa m ⋅=⋅3310 或者 3-9解：乙腈的Antonie 方程为 160℃时,乙腈的蒸气压 2乙腈的标准沸点320℃、40℃和标准沸点时的汽化焓 117页第四章 4-1 4-2 方法一： 经计算得体积流速为：()132210132.02075.0314.32/-⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=⋅⋅=s m d u V π摩尔流速为：1015.41500000/15.593314.80132.0/-⋅⋅=⋅===s mol p RT V V V n m 根据热力学第一定律,绝热时W s = -△H,所以 方法二：根据过热蒸汽表,内插法应用可查得35kPa 、80℃的乏汽处在过热蒸汽区,其焓值h 2= kJ ·kg -1； 1500 kPa 、320℃的水蒸汽在过热蒸汽区,其焓值h 1= kJ ·kg -1； 4-6 解： 通过112T C H T pmhR+=迭代计算温度,T 2= K 4-7 解：经迭代计算参考101页例题4-3得到T 2=;∆HT1T 2T C p T ()⎛⎜⎜⎠d H 2R T 2()+H 1R-8.32725-103⨯J ⋅mol1-⋅;146页第五章5-1：b 5-2: c 5-4: a 5-5: a 5-1：解：可逆过程熵产为零,即005<∆⇒=--∆=∆-∆=∆sys sys f sys g S T S S S S ; 5-2：解：不可逆过程熵产大于零,即00505T S T S S S S sys sys f sys g ->∆⇒>--∆=∆-∆=∆;即系统熵变可小于零也可大于零; 5-4：解：不可逆绝热过程熵产大于零,即0>∆=∆-∆=∆sys f sys g S S S S ;所以流体熵变大于零; 5-5：解：不可逆过程熵产大于零,即0010010T S T S S S S sys sys f sys g >∆⇒>-∆=∆-∆=∆; 5-3：解：电阻器作为系统,温度维持100℃,即,属于放热；环境温度,属于吸热,根据孤立体系的熵变为系统熵变加环境熵变,可计算如下： 5-6：解：理想气体节流过程即是等焓变化,温度不变,而且过程绝热,所以系统的熵变等于熵产,计算如下： 所以过程不可逆; 5-7： 解：∆S g204.184⋅ln 339363⎛⎝⎫⎪⎭⋅304.184⋅ln 339323⎛ ⎝⎫⎪⎭⋅+0.345kJ ⋅K1-⋅s1-⋅;不同温度的S 值也可以直接用饱和水表查得;计算结果是; 5-12解：1循环的热效率 2 水泵功与透平功之比H 2= kJ ·kg -1,H 3= kJ ·kg -1,H 4= kJ ·kg -1,H 5= kJ ·kg -1,3 提供1 kw 电功的蒸气循环量 5-15题： 194页第六章 6-1：解：水蒸气的摩尔流量为：nm M 3600⋅16801000⋅183600⋅25.926mol ⋅s1-⋅a 通过内插法求出时对应的温度,如下b 6-3 6-6：解：理想气体经一锐孔降压过程为节流过程,0=∆H ,且0=Q ,故0=S W ,过程恒温;则绝热膨胀过程的理想功和损耗功计算如下： 6-8：解：1产品是纯氮和纯氧时,2产品是98% N 2和50% O 2的空气时,设计计算流程如下：总的功6-12：解：6-13解：由1pmh 31()2pmh 32(),可得3 使用内插法可求得66.03℃时的熵值, 1利用熵分析法计算损耗功,2利用火用分析法：或者241页第七章7-2解：假设需水m kg,则产品酒中含水产品酒中含醇所以酒的体积7-3解：7-498% N 2 50% O 2解：根据吉布斯-杜亥姆公式,恒温恒压时 则有0=∑ii i V d x ,所以所以设计的方程不合理;。
理想气体状态方程的四种形式
理想气体状态方程的四种形式
理想气体状态方程有四种形式：
1. pV = nRT：这是最常见的理想气体状态方程，其中p表示气体的压力，V表示气体的体积，n表示气体的摩尔数，R表示气体常数，T表示气体的温度。
2. pV = NkT：这是物理学中常用的理想气体状态方程，其中p表示气体的压力，V表示气体的体积，N表示气体的粒子数，k表示玻尔兹曼常数，T表示气体的温度。
3. PV = mRT/M：这是工程学中常用的理想气体状态方程，其中P表示气体的压力，V表示气体的体积，m表示气体的质量，R表示气体常数，T表示气体的温度，M表示气体的摩尔质量。
4. PV = RρT/M：这是物理学和化学工程学中常用的理想气体状态方程，其中P表示气体的压力，V表示气体的体积，R表示气体常数，ρ表示气体的密度，T表示气体的温度，M表示气体的摩尔质量。
化学气体状态方程
化学气体状态方程化学气体状态方程是一个描述气体性质的重要公式，它能够用来计算气体在不同条件下的压力、体积和温度之间的关系。
根据气体状态方程，我们可以了解气体的行为以及对不同条件的响应。
本文将介绍三种常见的气体状态方程：理想气体状态方程、万有气体状态方程和绝热气体状态方程。
一、理想气体状态方程理想气体状态方程是最常见且最简单的气体状态方程。
它由两个基本的气体性质，即温度和压力，以及一个常数R组成。
理想气体状态方程的数学表达式为：PV = nRT其中，P表示气体的压力，V表示气体的体积，n表示气体的摩尔数，R为气体常数，T表示气体的温度。
理想气体状态方程可以用于计算气体在不同温度、压力和体积下的相关性质。
通过改变其中的任意两个变量，我们可以计算出第三个变量的值。
例如，假设有一定量的气体，其温度为T1，压力为P1，体积为V1。
如果我们将温度增加到T2，根据理想气体状态方程，我们可以计算出相应的体积V2。
二、万有气体状态方程万有气体状态方程，也称为范德瓦尔斯方程，是对理想气体状态方程的修正。
它考虑了气体之间的相互作用和分子的体积，从而更加精确地描述气体的行为。
万有气体状态方程的数学表达式为：(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT其中，a和b为范德瓦尔斯参数，n表示气体的摩尔数。
万有气体状态方程可以更准确地描述高压、高温条件下的气体性质，因为在这些条件下，气体分子之间的相互作用会变得更加显著。
相比于理想气体状态方程，万有气体状态方程可以更好地预测气体的行为。
三、绝热气体状态方程绝热气体状态方程用于描述气体在无热量交换的条件下的变化。
它是根据气体分子的动力学性质推导出来的，假设气体在过程中不发生任何热量的交换。
绝热气体状态方程的数学表达式为：PV^γ = 常数其中，γ表示气体的绝热指数，它与气体分子的自由度相关。
绝热气体状态方程可以用于描述气体在压缩或膨胀过程中的温度、压力和体积的关系。
通过绝热气体状态方程，我们可以计算气体在不同条件下的压缩或膨胀过程中的温度和压力的变化。
使用状态方程计算天然气焦耳汤姆逊系数
节流效应系数或焦耳 - 汤姆逊 （Joule-Thomson）
效应系数[2]，以 滋J 来表示，它代表在等焓的情况下
Calculating Joule-Thomson coefficient of natural gas by using equation of state
YUAN Weimin1, WANG Hui2, CHEN Xueyan1, WANG Le1，LEI Jiangkai1, ZHANG Xiaohui1, CHEN Li1 1. Sinopec Beihai Liquefied Natural Gas Co., Ltd., Beihai 536000, China 2. Technical Supervision and Inspection Office of PetroChina Huabei Oilfield Company, Renqiu 062552, China
摘 要：当气体在管道中流动时，遇到阀门、孔板等节流元件，由于压力显著降低形成节流现象，需要通过焦耳 - 汤 姆 逊 系 数 预 测 温 度 的 变 化 。 对 具 有 代 表 性 的 立 方 型 状 态 方 程 ， 即 Redlich-Kwong （RK ）、 SoaveRedlich-Kwong （SRK ）、 Peng-Robinson （PR ） 状 态 方 程 ， 以 及 多 参 数 状 态 方 程 即 Benedict-WebbRubin-Starling （BWRS） 状态方程和对比态原理状态方程即 Lee-Kesler-Plocker （LKP） 状态方程进行了焦 耳 - 汤姆逊系数相关偏导数的推导，并给出了计算过程中涉及到的温度的一阶导数 da/dT 和 Tda/dT 公式及其 单组分计算公式和多组分的混合规则。由具有代表性的状态方程推导出焦耳 - 汤姆逊系数公式，便于工程设计 计算中使用。 关键词：Redlich-Kwong（ RK ）；Soave-Redlich-Kwong（ SRK ）；Peng-Robinson（ PR ）；Benedict- WebbRubin-Starling（ BWRS ）；Lee-Kesler- Plocke（r LKP ）；状态方程；焦耳 - 汤姆逊系数；温度导数
化工热力学RK方程课件
反应器设计
详细描述
在反应器设计过程中，利用RK方程可以预测反应过程的动力学行为，优化反应器的设计参数，提高反应效率。例 如，通过RK方程可以计算反应速率常数、反应活化能等关键参数，为反应器设计提供理论支持。
分离过程中的RK方程应用
总结词：分离过程
详细描述：在化工分离过程中，RK方程可以用于描述不同组分在相间的传递行为，预测分离效果。通过求解RK方程，可以得 到各组分在不同相中的浓度分布，优化分离工艺参数，提高分离效率和纯度。
考虑流体的状态方程
在推导过程中，考虑了流体的状态方程，特别是理 想气体和真实气体之间的差异。
引入物质的特性参数
为了描述流体的性质，引入了物质的特性参 数，如摩尔质量、分子体积和偏心因子等。
RK方程的物理意义
1 2 3
表征流体的热力学性质 RK方程是一个描述流体热力学性质的经验方程， 它包含了流体的压力、温度、密度等状态变量的 关系。
加强多组分反应体系中各组分相互作用和反应过程的研究，提高RK方 程在多组分反应体系中的应用效果。
RK方程在化工安全评估中的应用
总结词
利用RK方程对化工过程进行安全评估， 可以预测和评估化工生产过程中可能存 在的安全隐患和风险。
VS
详细描述
RK方程在化工安全评估中主要用于计算 化工过程中的压力、温度、组分等参数， 以及评估化工过程的热力学稳定性和安全 性。通过RK方程，可以预测和评估化工 生产过程中可能存在的安全隐患和风险， 为预防事故提供科学依据。
热力循环中的RK方程应用
总结词：热力循环
详细描述：在热力循环过程中，如制冷、 热泵等，RK方程可以用于描述循环系统的 热力学性能。通过求解RK方程，可以分析 循环系统的效率、能耗等关键指标，优化 循环过程，提高能源利用效率。
化工热力学RK方程
3.计算摩尔体积
计算出来50度时的摩尔体积为 0.590667，单位是L/mol
3.计算摩尔体积
计算出来30度时的摩尔体积为 24.896001，单位是L/mol
3.计算摩尔体积
计算出来标况时的摩尔体积为 22.410519，单位是L/mol
4.计算流量
假设质量流量不变 50
30
敬请各位老师、同学批评指正 谢谢大家！
3.计算摩尔体积
else { t=(2*A*b-3*a*B)/(2*pow(A,1.5)); rad=acos(t); x[0]=(-b2*sqrt(A)*cos(rad/3))/(3*a); x[1]=(b+sqrt(A)*(cos(rad/3)+sqrt(3)*si n(rad/3)))/(3*a); x[2]=(-b+sqrt(A)*(cos(rad/3)sqrt(3)*sin(rad/3)))/(3*a); } } for(i=0;i<3;i++) if(x[i]>0) r[j++]=x[i]; for(i=0;i<j-1;i++) if(r[i]>r[i+1]) {s=r[i];r[i]=r[i+1];r[i+1]=s;} z[0]=r[j-1]; z[1]=r[0];}
化工创新班化工热力学小组讨论
应用RK方程计算气体流量
组员：褚可凡、杨洋、周昱希 指导老师：郭绪强
1、问题重述
2、计算混合气体的RK方程
根据每个物质的临界参数分别计算其 a i , bi
2 2 . 5 0 . 72748 R T C a 在RK方程中： i p c
值
0 . 08664 R T C b i p c
气体状态方程的推导与应用
生物发酵：气体状态方程用于描述微生物在发酵过程中产生的气体量与发酵条件的关系
在环境科学领域中的应用
空气质量监测：通过气体状态方 程计算空气质量指数（AQI）
空气质量预测：利用气体状态方 程预测未来空气质量变化趋势
添加标题
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描述
真实气体的 状态方程： 需要考虑到 分子间的相 互作用力和单 的数学公式 描述，如玻 意耳定律、 查理定律等
气体状态方程的推导过程
理想气体的状态方程： pV=nRT
推导过程：从玻意耳定律、查 理定律和盖-吕萨克定律出发，
推导出理想气体的状态方程
理想气体的定义：忽略分子间 的相互作用，视为质点
在物理领域中的应用
描述气体的性质：如温度、压力、体积等 计算气体的密度：根据气体状态方程，可以计算出气体的密度 解释气体的行为：如气体的膨胀、压缩等 设计气体实验：如气体的流动、气体的混合等
在生物学领域中的应用
呼吸作用：气体状态方程用于描述氧气和二氧化碳在生物体内的交换过程
光合作用：气体状态方程用于描述植物在光照条件下吸收二氧化碳和释放氧气的过程
气体体积的计算
气体状态方程： PV=nRT
气体体积V的 计算：
V=nRT/P
适用条件：理 想气体，温度
和压力恒定
实际应用：计 算气体体积， 如空气、氢气
等
气体温度的计算
气体状态方程：pV=nRT
应用实例：计算理想气体的温度
添加标题
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温度T的计算：T=pV/nR
添加标题
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注意事项：实际气体与理想气体 的差异
气体状态方程与气体行为的模型
气体状态方程与气体行为的模型气体是一种常见的物质状态，广泛存在于我们的日常生活和科学研究中。
为了更好地理解和描述气体的行为，科学家们提出了一系列气体状态方程和气体行为模型。
一、气体状态方程气体状态方程是用来描述气体状态的数学关系式。
根据气体的性质和条件的不同，有多种不同的气体状态方程，其中最常见的有理想气体状态方程和真实气体状态方程。
1. 理想气体状态方程理想气体状态方程是描述理想气体行为的方程，它基于理想气体的假设，即气体分子之间没有相互作用力，体积可以忽略不计。
根据理想气体状态方程，气体的状态可以用以下方程表示：PV = nRT其中，P表示气体的压强，V表示气体的体积，n表示气体的物质量，R为气体常数，T表示气体的温度。
理想气体状态方程的优点是简单易用，适用于大多数情况下的气体。
但是，理想气体状态方程无法描述气体在高压、低温等极端条件下的行为。
2. 真实气体状态方程真实气体状态方程是考虑了气体分子之间相互作用力和分子体积的方程。
根据不同的气体行为模型，真实气体状态方程有多种形式，如范德华方程、万德瓦尔斯方程等。
范德华方程是一种常用的真实气体状态方程，它修正了理想气体状态方程中的体积项和压强项，形式如下：(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT其中，a和b为范德华常数，与气体的性质有关。
真实气体状态方程可以更准确地描述气体在各种条件下的行为，但是计算过程相对复杂，需要更多的实验数据和气体性质参数。
二、气体行为的模型气体行为模型是用来描述气体分子之间相互作用力和行为规律的理论模型。
常见的气体行为模型有动力学模型、统计模型和分子动力学模型等。
1. 动力学模型动力学模型是研究气体分子运动和碰撞规律的模型，其中最著名的是麦克斯韦速度分布定律。
麦克斯韦速度分布定律描述了气体分子速度的分布情况，即在给定温度下，气体分子速度的分布服从麦克斯韦速度分布曲线。
2. 统计模型统计模型是通过统计力学的方法研究气体行为的模型，其中最常用的是玻尔兹曼分布定律。
气体状态方程的推导与运用
气体状态方程的推导与运用气体状态方程是描述气体基本特性的重要方程，通过研究气体分子运动规律和相互作用，可以推导得到不同形式的气体状态方程。
本文将对经典气体状态方程的推导过程进行详细介绍，并探讨其在实际应用中的运用。
1. 理想气体状态方程的推导理想气体状态方程描述了在一定条件下理想气体的状态，它可以用下面的公式表示：PV = nRT其中，P是气体的压强，V是体积，n是气体的物质量，R是气体常数，T是气体的温度。
理想气体状态方程的推导过程基于以下假设：（1）气体分子是点状的，体积可以忽略不计；（2）气体分子之间没有相互作用；（3）气体分子之间的碰撞是弹性碰撞。
根据这些假设，可以推导出理想气体状态方程：首先，根据牛顿第二定律可得到气体分子的动能公式：Ek = (1/2)mv^2其中，m是气体分子的质量，v是气体分子的速度。
然后，根据动量定理和动能公式，可以推导出气体分子的平均动能与温度之间的关系：Ek = (3/2)kT其中，k是玻尔兹曼常数。
根据平均动能和温度之间的关系，可以得到气体分子的压强与温度之间的关系：P = (2/3)*(N/V)*Ek = (2/3)*(N/V)*(3/2)kT = (N/V)*kT其中，N是气体分子的数量，V是气体的体积。
根据阿伏伽德罗定律，可以得到气体分子的数量与物质量之间的关系：n = N/Na其中，Na是阿伏伽德罗常数。
将上述结果代入前一个公式中，可以得到理想气体状态方程：PV = nRT2. 气体状态方程的运用气体状态方程在实际应用中有广泛的运用，以下是几个常见的应用领域：（1）化学反应计算：在化学反应中，气体状态方程可以用来计算反应物的摩尔量、体积和压强之间的关系，从而帮助确定反应条件和控制反应过程。
（2）气体混合物的性质计算：当多种气体混合在一起时，可以利用气体状态方程计算混合气体的总摩尔量、总体积和总压强，并推导出混合物的性质和行为。
（3）气体的压缩与膨胀：气体状态方程可以用来描述气体在压缩和膨胀过程中的行为，通过控制压强、温度和体积的变化，可以实现气体的压缩储存和能量转化。
气体状态方程的推导和应用
气体状态方程的推导和应用气体是一种物质的形态，具有可压缩性和可膨胀性的特点。
为了研究气体的性质和行为，科学家们提出了气体状态方程来描述气体的状态。
本文将围绕气体状态方程展开，包括其推导过程和实际应用。
一、气体状态方程的推导1. 理想气体状态方程理想气体状态方程是描述理想气体行为的数学表达式，通常用PV = nRT表示。
在此方程中，P表示气体的压强，V表示气体的体积，n 表示气体的物质的量，R为气体常数，T表示气体的温度。
这个方程是根据实验结果和理论推导得出的，可以近似地应用于一定条件下的气体。
2. 推导过程理想气体状态方程的推导涉及到一些基本假设和数学推导。
首先，需要假设气体分子之间是没有相互作用的，且气体分子体积可以忽略不计。
然后，根据玻意耳定律和查理定律，可以得到P、V与T的关系式。
最后，通过一系列的推导和数学变换，得出了PV = nRT的理想气体状态方程。
二、气体状态方程的应用1. 理想气体的计算理想气体状态方程广泛应用于气体的计算中。
例如，当给定气体的压强、体积和温度时，可以通过理想气体状态方程计算出气体的物质的量。
反之，当已知气体的物质的量、体积和温度时，也可以根据该方程计算出气体的压强。
2. 气体混合物的计算对于气体混合物，可以利用理想气体状态方程计算混合物的总物质的量、压强和体积。
例如，在工业生产中，常常需要利用气体混合物制备特定的气体组合。
通过理想气体状态方程，可以精确计算混合物的物质的量比例，以实现所需的气体组合。
3. 气体溶解度的估计气体溶解度是指气体在液体或固体中的溶解程度，可以用来描述溶液中的气体浓度。
理想气体状态方程可以与亨利定律相结合，用来估计气体在不同温度和压强下的溶解度。
这对于研究溶解过程以及气体的溶解性质非常重要。
4. 研究气体的性质和行为气体状态方程的应用也可以帮助科学家们进一步研究气体的性质和行为。
通过对气体物质的量、体积、温度和压强进行变化，可以得到气体的一些关键参数，如摩尔质量和摩尔体积。
热力学中的气体状态方程分析
热力学中的气体状态方程分析热力学是研究能量转换和它与物质之间相互作用的科学。
在热力学中，气体状态方程是研究气体行为的基础之一。
气体状态方程描述了气体的压力、体积和温度之间的关系，对于理解气体的性质和行为具有重要意义。
一、理想气体状态方程理想气体状态方程是热力学中最基本的气体状态方程，它描述了理想气体在给定条件下的状态。
理想气体状态方程可以用如下数学表达式表示：PV = nRT其中，P代表气体的压力，V代表气体的体积，n代表气体的物质量（以摩尔为单位），R代表气体常数，T代表气体的温度。
理想气体状态方程的基本假设是：气体分子之间不存在相互作用力，气体分子体积可以忽略不计。
在低压强和高温度条件下，现实气体的行为往往可以近似看作是理想气体。
理想气体状态方程可以应用于各种气体体系的研究。
例如，在化学反应中，可以利用理想气体状态方程来计算反应物和生成物之间的气体物质的相对量，从而确定反应的平衡位置。
二、实际气体状态方程实际气体状态方程是对现实气体行为的更为精确描述。
实际气体状态方程的形式更加复杂，可以有多种表达形式，常见的实际气体状态方程有范德瓦尔斯方程、柯南德方程等。
范德瓦尔斯方程是一种修正理想气体状态方程的实际气体状态方程，它考虑了气体分子之间的吸引力和排斥力。
范德瓦尔斯方程可以用如下数学表达式表示：（P + an^2/V^2）(V - nb) = nRT其中，a和b为范德瓦尔斯方程的两个参数，与不同气体的性质有关。
柯南德方程是另一种常见的实际气体状态方程，它也是对理想气体状态方程的修正。
柯南德方程采用了更加复杂的数学形式，对气体分子之间的相互作用力进行了更为精确的描述。
实际气体状态方程的应用范围更广，可以用于研究现实气体在不同条件下的行为，如高压强、低温度等。
三、气体状态方程的应用气体状态方程在工程和科学研究中具有广泛的应用。
它可以用于计算气体的性质、判断气体的行为和进行相关的研究。
在化工工程中，气体状态方程可以用于模拟和优化化学反应的条件。
气相基础知识点总结
气相基础知识点总结一、气体的状态方程。
1. 理想气体状态方程。
- 表达式：pV = nRT，其中p为压强（单位：Pa），V为体积（单位：m^3），n为物质的量（单位：mol），T为热力学温度（单位：K），R为摩尔气体常数，R = 8.314J/(mol· K)。
- 适用条件：理想气体，即在压强不太高（相对于大气压）、温度不太低（相对于常温）的情况下，实际气体可近似看作理想气体。
2. 实际气体状态方程。
- 范德华方程：(p+(a)/(V_m)^2)(V_m - b)=RT，其中V_m为摩尔体积，a和b 是与气体种类有关的范德华常数。
a是考虑分子间吸引力对压强的修正，b是考虑分子本身占有体积的修正。
二、气体的压强。
1. 压强的产生。
- 气体压强是大量气体分子频繁碰撞容器壁而产生的。
压强的大小取决于单位体积内的分子数（分子密集程度）和分子的平均动能（温度）。
2. 压强的单位换算。
- 1atm = 1.013×10^5Pa；1mmHg = 133.322Pa三、气体的温度。
1. 温度的微观意义。
- 温度是分子平均动能的标志，E_k=(3)/(2)kT，其中E_k为分子平均动能，k 为玻尔兹曼常数(k = 1.38×10^-23J/K)。
2. 温标。
- 常用的温标有摄氏温标(t)、热力学温标(T)，它们的关系为T = t+273.15K。
四、气体的体积。
1. 影响气体体积的因素。
- 在一定温度和压强下，气体的体积取决于气体的物质的量。
对于一定量的气体，根据理想气体状态方程，当n、T一定时，p与V成反比；当n、p一定时，V与T成正比。
2. 气体摩尔体积。
- 在标准状况（0^∘C，1atm）下，气体摩尔体积V_m=22.4L/mol。
五、气体的扩散与逸出。
1. 气体扩散定律。
- 格雷姆定律：同温同压下，气体的扩散速率与其摩尔质量的平方根成反比，即u_1/u_2=√(M_2)/M_{1}，其中u为扩散速率，M为摩尔质量。
显式化rk和srk气体状态方程
显式化rk和srk气体状态方程
rk全称是Roef-Kerr（REK）气体状态方程，是一种相对较为简单的气体动力
学方程，根据这个方程可以表征一定量气体状态参数。
它是一种完美气体方程，假设气体不存在温度变化，且具有衡量气体运动的同温系数绝热性。
该方程也用于计算各种气体传递性质，如导热系数、粘度等。
srk全称是Soave–Redlich–Kwong（SRK）气体状态方程，可以与完美气体模
型相比较，是一种适应温度的气体相关性模型。
它假设气体具有完全绝热特性，并可以考虑气体中温度变化情况，能计算出温度相对较高（低）情况下气体状态参数，而且精度比RK更高。
综上，RK 气体状态方程是一种完美气体方程，只能够计算常温条件下的气体
数据，精度较低；而SRK气体状态方程则可以考虑气体温度变化的影响，能够在较高（低）温情况下计算气体状态参数，具有较高的准确度。
在互联网的技术发展上，可以增强气体状态方程的实用性，并提升了气体动力学理论在不同温度背景条件下的模拟能力，为在网络环境中传递信息、交流信息提供了坚实的物理基础底蕴。
化工热力学RK方程
3.计算摩尔体积
if(A==0&&B==0) x[0]=x[1]=x[2]=-b/(3*a); else { if(L>0) { y1=A*b+(3*a*(-B+sqrt(L)))/2; y2=A*b+(3*a*(-B-sqrt(L)))/2; if(y1>0) gs1=pow(y1,1.0/3); else gs1=-pow(fabs(y1),1.0/3); if(y2>0) gs2=pow(y2,1.0/3); else gs2=-pow(fabs(y2),1.0/3); p1=(2*b+gs1+gs2)/(6*a); p2=sqrt(3)*(gs1gs2)/(6*a); x[0]=(-bgs1-gs2)/(3*a); }
值
0 . 08664 R T C b i p c
2、计算混合气体的RK方程
各个物质的a i , bi 值，如下表1所示。
组成 CH4 C2H6 C3H8 iC4 nC4 nC5 CO2 N2 yi 0.8315 0.0906 0.0279 0.0035 0.0075 0.0033 0.001 0.0347 Tc/K 190.4 305.4 369.8 408.2 425.2 469.7 304.1 126.2 Pc/Pa 4.6*10^6 4.88*10^6 4.25*10^6 3.65*10^6 3.80*10^6 3.37*10^6 7.38*10^6 3.39*10^6 ai 3.21 9.87 18.28 27.25 28.99 41.92 6.46 1.56 bi 2.98E-05 4.51E-05 6.27E-05 8.06E-05 8.06E-05 1.00E-04 2.97E-05 2.68E-05
气体及气体状态方程
气体及气体状态方程1、气体实验定律①玻意耳定律：pV C =（C 为常量）→等温变化微观解释：一定质量的理想气体，温度保持不变时，分子的平均动能是一定的，在这种情况下，体积减少时，分子的密集程度增大，气体的压强就增大。
适用条件：压强不太大，温度不太低图象表达：1p V-②查理定律：pC T=（C 为常量）→等容变化微观解释：一定质量的气体，体积保持不变时，分子的密集程度保持不变，在这种情况下，温度升高时，分子的平均动能增大，气体的压强就增大。
适用条件：温度不太低，压强不太大图象表达：p V -③盖吕萨克定律：VC T=（C 为常量）→等压变化 微观解释：一定质量的气体，温度升高时，分子的平均动能增大，只有气体的体积同时增大，使分子的密集程度减少，才能保持压强不变 适用条件：压强不太大，温度不太低图象表达：V T - 2、理想气体宏观上：严格遵守三个实验定律的气体，在常温常压下实验 气体可以看成理想气体微观上：分子间的作用力可以忽略不计，故一定质量的理想 气体的内能只与温度有关，与体积无关理想气体的方程：pVC T= 3、气体压强的微观解释大量分子频繁的撞击器壁的结果影响气体压强的因素：①气体的平均分子动能（温度）②分子的密集程度即单位体积内的分子数（体积）p1VpVVTooo1、如图所示，为质量恒定的某种气体的p-T 图，A 、B 、C 三态中体积最大的状态是（ ）A ．A 状态B ．B 状态C ．C 状态D ．条件不足，无法确定2、 一定质量的理想气体处于某一平衡态，此时其压强为p 0，欲使气体状态发生变化后压强仍为p 0，通过下列过程能够实现的是（ ）A ．先保持体积不变，使气体升温，再保持温度不变，使气体压缩B ．先保持体积不变，使压强降低，再保持温度不变，使气体膨胀C ．先保持温度不变，使气体膨胀，再保持体积不变，使气体升温D ．先保持温度不变，使气体压缩，再保持体积不变，使气体降温 3、下列说法中正确的是（ ）A ．气体的温度升高时，分子的热运动变得剧烈，分子的平均动能增大，撞击器壁时对器壁的作用力增大，从而气体的压强一定增大B ．气体的体积变小时，单位体积的分子数增多，单位时间内打到器壁单位面积上的分子数增多，从而气体的压强一定增大C ．压缩一定量的气体，气体的内能一定增加D ．分子a 从远处趋近固定不动的分子b ，当a 到达受b 的作用力为零处时，a 的动能一定最大4、一定质量的理想气体，在某一平衡状态下的压强、体积和温度分别为p 1、V 1、T 1，在另一平衡状态下的压强、体积和温度分别为p 2、V 2、T 2，下列关系正确的是（ ） A ．p 1＝p 2，V 1＝2V 2，T 1＝21T 2 B ．p 1＝p 2，V 1＝21V 2，T 1＝2T 2 C ．p 1＝2p 2，V 1＝2V 2，T 1＝2T 2 D ．p 1＝2p 2，V 1＝V 2，T 1＝2T 25、两端封闭的玻璃管，中间有一段水银把空气分割为两部分，当玻璃管竖直时，上、下两部分的空气体积相等，如果将玻璃管倾斜，则（ ）A ．水银柱下降，上面空气体积增大B ．水银柱上升，上面空气体积减小C ．水银面不动，上面空气体积不变D ．下面部分的空气压强减小 6、一定质量气体作等容变化，温度降低时，气体的压强减小，这时 （ ） A ．分子平均动能减小 B ．分子与器壁碰撞时，对器壁的总冲量减小 C ．分子平均密度变小了 D ．单位时间内分子对器壁单位面积的碰撞次数减少 7、对一定量的气体，若用N 表示单位时间内与器壁单位面积碰撞的分子数，则（ ） A ．当体积减小时，V 必定增加 B ．当温度升高时，N 必定增加C ．当压强不变而体积和温度变化时，N 必定变化D ．当压强不变而体积和温度变化时，N 可能不变8、如图所示，两个相通的容器P、Q间装有阀门K、P中充满气体，Q为真空，整个系统与外界没有热交换。
SRK状态方程参数的研究
J O U RNAL O F P E T ROCH EM I C A L U N IV ERS I T I ES1999 年12 月Dec. 1999 文章编号:1006 - 396 X(1999) 04 - 0045 - 06SR K 状态方程参数的研究田方仁(抚顺石油化工研究院, 辽宁抚顺113001)摘要: SR K 方程用于液相时产生较大的误差,为此提出了由物质的临界压缩因子求取SR K 方程参数的方法。
由临界压缩因子可求得参数b 和a c 。
由所求得b 、a c 和物质的气液平衡数据经SR K 方程可计算无因次因子α值。
建立了新的α与温度关联式。
由本方法求得的参数计算了由甲烷到正十八烷的18 个正构烷烃的临界压缩因子,总误差为0 . 01 % 。
计算了23 个烃类化合物的饱和蒸气压,总误差为0 . 84 % 。
计算了23 个烃类化合物的饱和液体体积值,总误差为1 . 13 % 。
对SR K 方程作了相应计算。
提高了临界压缩因子和饱和液体体积计算值的精度。
关键词: 状态方程; 饱和蒸气压; 饱和液体体积; 临界点; 烃类; 临界压缩因子中图分类号: O642 . 1 文献标识码:ASR K 方程 1 在相平衡和其它热力学性质的计算中得到广泛的应用,但其缺点是所求得的饱和液体体积误差较大。
Peng D Y. 等指适用所有物质。
为此本文提出了由物质的临界压缩因子值求取SR K 方程参数的方法,建立了新的α函数关联式。
出2对于正丁烷对比温度在0 . 65 以下时,饱和液体体积计算值的误差为7 % ,而当接近临界点时, 饱和液体体积计算值的误差增至27 % 。
Schmidt G. 等也指出 3 对于饱和液体密度和临界体积其计算值与实验值相差显著。
本文在计算中也发现同样问题,如对3 - 乙基, 2 - 甲基戊烷,对比温度在0 . 973 4 时饱和液体体积计算值的误差为34 . 8 % 。
看来SR K 方程用于饱和液体体积计算时误差是较大的。
化工热力学(第三版)答案
化工热力学（第三版）习题解答集朱自强、吴有庭编著第二章 流体的压力、体积、浓度关系：状态方程式2-1 试分别用下述方法求出400℃、4.053MPa 下甲烷气体的摩尔体积。
（1） 理想气体方程；（2） RK 方程；（3）PR 方程；（4） 维里截断式（2-7）。
其中B 用Pitzer 的普遍化关联法计算。
[解] （1） 根据理想气体状态方程，可求出甲烷气体在理想情况下的摩尔体积idV 为33168.314(400273.15)1.381104.05310id RT V m mol p --⨯+===⨯⋅⨯ （2） 用RK 方程求摩尔体积将RK 方程稍加变形，可写为0.5()()RT a V b V b p T pV V b -=+-+ （E1）其中2 2.50.427480.08664c c c cR T a p RT b p ==从附表1查得甲烷的临界温度和压力分别为c T =190.6K, c p =4.60MPa ，将它们代入a, b 表达式得2 2.56-20.560.427488.314190.6 3.2217m Pa mol K 4.6010a ⨯⨯==⋅⋅⋅⨯ 53160.086648.314190.6 2.9846104.6010b m mol --⨯⨯==⨯⋅⨯ 以理想气体状态方程求得的idV 为初值，代入式（E1）中迭代求解，第一次迭代得到1V 值为5168.314673.152.9846104.05310V -⨯=+⨯⨯ 350.563353.2217(1.38110 2.984610)673.15 4.05310 1.38110(1.38110 2.984610)-----⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ 3553311.381102.984610 2.1246101.389610m mol -----=⨯+⨯-⨯=⨯⋅ 第二次迭代得2V 为353520.563353553313.2217(1.389610 2.984610)1.381102.984610673.154.05310 1.389610(1.389610 2.984610)1.381102.984610 2.1120101.389710V m mol ------------⨯⨯-⨯=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯+⨯-⨯=⨯⋅1V 和2V 已经相差很小，可终止迭代。
空气静压润滑焦耳-汤姆逊系数的计算方法
空气静压润滑焦耳-汤姆逊系数的计算方法程阳;李东升;胡佳成【摘要】在空气静压润滑中由于空气具有黏性,在其流过狭窄通道时与壁面摩擦,压强将降低,温度会发生变化,从而导致工作面变形和气膜刚度变小,因此在精度要求高的应用场合,就不能忽略温度的影响,而计算空气节流前后的温度变化量,需得到空气的焦耳-汤姆逊系数.分别利用立方型状态方程和BWRS方程对不同供气温度和供气压力下空气的焦耳-汤姆逊系数进行计算.结果表明:RK方程和SRK方程求得的结果相差甚小;各方程具有相同的变化趋势,随着供气温度的升高和供气压力的增大,空气的焦耳-汤姆逊系数都将减小,其中供气温度对空气的焦耳-汤姆逊系数影响比供气压力更大.【期刊名称】《润滑与密封》【年(卷),期】2014(039)006【总页数】5页(P103-107)【关键词】焦耳-汤姆逊系数;空气;立方型状态方程;BWRS方程;气体静压润滑【作者】程阳;李东升;胡佳成【作者单位】中国计量学院计量测试工程学院浙江杭州310018;中国计量学院计量测试工程学院浙江杭州310018;中国计量学院计量测试工程学院浙江杭州310018【正文语种】中文【中图分类】TH117.2在超精密加工及超精密检测技术领域，空气静压润滑节流凭借着气体黏度低、摩擦阻力小、无污染、寿命长等优点得到了广泛应用[1-2]。
空气静压润滑的节流作用，是由于它具有某种形式的狭窄流道，当空气从中流过时，与壁面摩擦，造成能量损失，因而产生压降。
焦耳-汤姆逊效应是指当气体在通过截面突然缩小的孔道时，由于局部的阻力，气体的压力将会降低，温度会发生变化的现象[3]。
在一般工程的近似计算中，因精度要求不是很高，忽略温度变化的影响可以满足要求。
但在精度要求高的应用场合，温度变化会导致工作面变形、稳定性变差等不利影响，就不能忽略温度的影响。
付坤霞等[4]根据能量方程，建立了考虑温度影响的空气静压轴承润滑模型，并计算出轴承变形量可以达到7.4%。
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研究探讨
doi:10.3969/j.issn.1001-2206.2019.02.005
显式化 RK 和 SRK 气体状态方程
苑伟民 中石化北海液化天然气有限责任公司，广西北海 536000
摘 要：在化工设计或者天然气管网计算过程中，物性参数计算被反复调用，计算的精度、速度和稳定性对天 然气流程数值模拟效果影响很大。对 RK、SRK 方程形式及数值算法进行研究，提出了适用于气态的显式 RK、 SRK 状态方程。以多组天然气组分为例，对显式化公式进行验证，并将计算时间和计算精度进行了对比，结果 表明：与迭代方法相比，显式化公式计算简单，相对误差控制在百万分之一之内；计算时间是迭代算法的十分 之一；可以直接用于手工计算。 关键词：真实气体状态方程； RK 气体状态方程；SRK 气体状态方程；数值算法；显式公式
本文在对 RK、SRK 状态方程形式及数值算法 进行研究的基础上，提出了显式 RK、SRK 气体状 态方程。公式既可采用手工计算，也可采用 Excel 表格计算，亦可采用任意编程语言按语法将公式顺 序输入即可计算结果，明显降低了对化工或油气专 业人员掌握计算机编程及数值算法的要求。
1 RK 状态方程
Explicit reformulation of RK and SRK equations of state for natural gas
YUAN Weimin Sinopec Beihai Liquefied Natural Gas Co., Ltd., Beihai 536000, China
琢i，bi
20 2019 年 4 月
苑伟民：显式化 RK 和 SRK 气体状态方程研究讨= 0.086 640
R Tci p ci
，琢i0.5 = 1 + （1-
0.5
Tri
）（ 0.485
08 +
1.551 71棕i - 0.15 613 棕2i ）;对于氢：琢i0.5 = 1.096 伊
-0.151
p
=
（
RT V-
b
）
-
a/T0.5 V（ V + b ）
（1）
对于单一组分气体：ai
=
0.427
48
R2
2
Tci
/
p ci，b i
= 0.086 640 R Tci / pci ；对于混合气体，采用混合规
蓸 蔀 则为：a =
0.5
移yi ai
2
，b =移yi bi 。
式中：p 为系统压力，kPa；pci 为临界压力，kPa；
由于工程中用到的诸如立方状态方程、维里状 态方程、水力摩阻系数方程等参数较多且为隐式公 式，使用迭代算法[1-4]比较繁琐；学术上对隐式方程 求解的研究一直没有停止过，提出了很多通过不迭 代的方法进行求解物性参数，其中隐式拟合法[5-10] 是常用的方法，但是该方法局限于某一种工质体或 者某一类工质体，存在温度范围的局限，且形式繁 琐；虽然在一些文献中出现了显式化的水力摩阻系 数公式[11-14]，但是显式化在状态方程中的应用并不 多见，2017 年苑伟民提出了 PR 气体状态方程的显 式化公式[5]，这对状态方程显式化的研究上又推进 了一步。
T 为系统温度，K；Tci 为临界温度，K；V 为气相
的摩尔体积，m3/kmol；yi 为组分的摩尔分数；R 为 气体常数，8.314 kJ/ （kmol·K）。
2 SRK 状态方程
p
=
（
RT V-
b
）
-
a（T ） V（ V + b ）
（2）
对于单一组分气体：ai = 0.427 48
R2
2
Tci
p ci
e
T 14 ri
；对于混合气体，采用混合规则为：
体积分数。
3 方程中所采用的参数
目前文献中 RK、SRK 方程形式较多，方程中
移移 a =
yiy（j aiaj）0.（5 1 - Kij ），b =移yibi