第6章_利用MATLAB语言求解科学运算问题

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提高求解精度
停止迭代条件
TolX TolFun MaxIter: 最大迭代步数超限，默认500步
设置方法
求解、检验
寻找其他解：换初值
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求解实例，仍考虑前面例子
选择变量
，则
向量形式
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用MATLAB描述
匿名函数描述
MATLAB函数描述，生成 myeq.m文件
求解、验证
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6.3.5 求解方法比较、总结
图解法
局限性：一元二元，精度低 优点：显示出感兴趣区域全部实根
准解析解方法
局限性：多项式类方程、不能选择初值 优点：全部根包括复根、精度高
6.2 线性代数问题的计算机求解
矩阵分析问题由简单命令即可
行列式 det(A) 特征值 eig(A)，[v,d]=eig(A) 逆矩阵 inv(A)，伪逆pinv(A) 范数 norm(A,1), norm(A,2), norm(A,inf) 特征多项式系数 poly(A)
函数调用方法
eig(A), eig(sym(A))
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最优化问题求解其他考虑
全局最优解和局部最优解
几何解释 如何避免
初值考虑、多初值 并行算法，如遗传算法
1 0.5
0
-0.5 0 0.5 1 t 1.5 2 2.5
最优化加速算法
最优区域过于平缓
考虑采用利用梯度信息
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方程的标准型 其中， 均是列向量或矩阵，维数相同 求解步骤：
选择变量 ，将非线性方程表示成标准型形式 编写MATLAB程序描述原方程
*.m函数形式、inline函数、匿名函数形式
调用fsolve函数求解方程
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数学建模学形式
MATLAB求解
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线性规划问题举例
提取矩阵、向量，对号入座
求解
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图解法只适合求解一元、二元方程 利用隐函数绘制函数ezplot，辅以hold on， 可以把联立方程的解画在一个坐标系下 重解前例
MATLAB语句
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6.3.3 一般非线性方程的数值求解
匿名函数、M函数
，最大值问题的变换
MATLAB求解
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无约束最优化求解举例
求解步骤
变换成标准型，引入 ，则
描述目标函数
求解
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求解
另一种求解方法
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实际最优化问题举例
数学形式
多个变量需要优化，不能直接求解 引入决策变量进行替换，生成 x 向量
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图形验证
中间 过程
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -3
-2
-1
0
1
2
3
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MATLAB语言符号运算局限性：
目前只支持32位MATLAB运行，在64位操作系 统上必须安装32位版MATLAB 从MATLAB 2008b开始，符号运算放弃了Maple 内核，改用MuPAD作为符号运算引擎，功能变 弱了很多，好些问题不能再求解了
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6.3.1 非线性方程的解析解求解
MATLAB的solve函数可以求解方程
简单例子：鸡兔同笼问题的直接求解 数学问题
MATLAB求解语句
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求解
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二次型规划问题求解
数学标准型
MATLAB求解函数
注意事项
注意1/2系数
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6.2.2 其他线性代数问题求解
线性代数方程求解
解的判定矩阵 三种情况
唯一解 无穷多解 无解，最小二乘解
Lyapunov方程、Riccati方程等
lyap、are等函数可以直接求解
6.1 解析解与数值解
由已知公式一步步推导出的解
例如，高等数学计算，复杂问题不能手工 求解，需要借助计算机
解析解不存在或不现实，需要数值解
不存在 不存在 p，工程应用3.14159即可 高阶矩阵的行列式，计算量
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非线性方程的准解析解
考虑非线性方程
求解 验证
问题：该方程只有这一个解吗？
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6.3.2 一元、二元方程的图解法
非线性约束
问题求解
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6.4.3 进化算法及全局最优解法
矩阵函数求解
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6.3 非线性方程求解
非线性方程的解析解
什么时候存在解析解？
单变量多项式方程 可以转换成单变量多项式方程的多元方程
准解析解
非线性方程的数值解
图解法 任意指定初值进行搜索求解 非线性矩阵方程的求解
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变换后的最优化问题标准型
非线性规划
线性等式不等式约束、非线性等式约束
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复杂例子
数学形式
MATLAB求解语句（准解析解）
解的检验
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另一个复杂例子
求解 检验
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6.3.4 非线性矩阵方程计算机求解
能直接求解矩阵方程 举例，扩展Riccati方程 其中
求解、检验、其他解
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想办法找出全部的解
没有解析解方法可以找出 尝试代码, 找到16个矩阵满足要求
一般数值解法
局限性：实根、依赖于初值 优点：任意非线性方程、精度适中、矩阵方程
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6.4 最优化问题求解
无约束最优化问题 有约束最优化问题
特殊问题
线性规划 二次型规划
300 250 200 150 100 50 0 1.5 1.5 1 0.5 1 0.5
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6.4.2 有约束最优化问题的求解
有约束最优化问题的数学形式
约束条件，≥不等式的处理 特殊形式
线性规划问题 二次型规划形式
一般最优化问题
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双下标线性规划问题举例
线性规划不能直接求解双下标问题 引入变换，变成单下标问题，如
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变换后的问题
一般问题
进化算法及其全局最优解法 整数规划、混合整数规划、0-1规划 动态规划与最短路径求解
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6.4.1 无约束最优化问题求解
数学形式 物理意义介绍 目标函数描述
本章内容提要
（内容多，因学时限制，入门介绍） （详细内容查阅参考教材） 解析解与数值解 ch1 线性代数问题求解 ch4 简单介绍 非线性方程求解 ch6 最优化问题求解 ch6 微分方程求解 ch7 数据插值、处理与拟合 ch8 其他应用
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带有变量边界约束的最优化问题
数学描述 问题求解方法
可以按照有约束最优化问题求解 利用免费工具箱求解
/matlabcentral/fileexchange/ loadFile.do?objectId=8277&objectType=file
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第6章
利用MATLAB语言 求解科学运算问题
东北大学信息学院 薛定宇
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本课程参考书
薛定宇、陈阳泉，高等应用数学问题的 MATLAB求解，2004,2008，清华大学出版社 （用于以后求解问题参考）
一般有约束非线性规划问题求解
数学形式
MATLAB求解
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非线性规划举例
非线性约束条件的MATLAB描述
目标函数
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