“发现法”在《高等代数》教学中的应用

“发现法”在《高等代数》教学中的应用
作者：杨兴东，昝立博，涂媛媛
来源：《教育教学论坛》2013年第20期
摘要：本文通过《高等代数》教学实践，探索发现教学法的应用。

通过行列式计算，矩阵逆的求法，矩阵正定性的判定以及Hdrmite矩阵的若干等价命题的证明说明发现教学法对提高学生兴趣，培养学生创新能力有积极意义。

关键词：发现教学法；高等代数；创新精神
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）20-0123-02
发现教学法又称探索法、研究法、现代启发式或问题教学法，是指教师不直接把现成的知识传给学生，而是引导学生根据教师和教材提供的课题、资料，积极思考、独立探究、自行发现并掌握相应的原理和理论的一种教学方法[1]。

发现教学法[2]是近年来倍受重视并得到推行的一种教学方法，这种方法的优点在于能充分发挥学生认识事物的积极性和主动性，使学生在认识事物的过程中，经常伴有猜想、惊讶和困惑，紧张地沉思、期待，寻求理由和证明。

这种教学方法能激发学生的学习兴趣，发展他们的探索精神和创新精神。

它是培养和提高学生智能的一种有效方法。

下面就《高等代数》教学如何应用发现教学法作初步探索。

一、发现教学法的核心是发现
发现教学法不同于注入式，因此教师应创造一种环境，让学生猜想一下，归纳一下。

例如，在讲解矩阵行列式的性质时，教师不必急于给出公式，可以让学生先计算一个3阶矩阵行列式：设A=1 8 90 8 50 2 5，求3A。

学生会得出：算法（1）因为A=30，所以3A=3A=90；算法（2）因为3A=3 24 270 24 150 6 15，所以3A=3 24 270 24 150 6 5=810；对得出的矛盾，学生很感兴趣，激发了学生探索问题的积极性，然后让学生分析两种不同答案之间有何联系，引导学生发现：矩阵的数乘之行列式与一个数和行列式相乘是完全不同的概念，所算出来的结果当然不同。

算法（1）之所以错误，是因为3A≠3A。

正确答案为（2）。

当然，除算法（2）之外，还可考虑应用性质：设A为n阶矩阵，则kA=knA。

于是3A=33A=27×30=810。

这样提出问题，分析问题，最后解决问题，实际上完成了探索真理的全过程。

实践证明，这种方法使课堂气氛活跃，学生不仅掌握了矩阵数乘概念及行列式基本性质，又培养了学生的探索能力和创造能力。

二、发现教学法的重点是突出知识的纵横联系、内部规律
“发现法”教学离不开迁移规律[3]，而迁移的产生又是建筑在知识的纵横联系、整体结构、内部规律之上的。

因而《高等代数》教学运用“发现法”的重点应该是突出知识的纵横联系、内部规律。

在联系中促成发现，在串线中有所发现。

为此，教师要完整地、系统地把握教材的内
容。

在教学中，教师应该对各章各节的内容及时地系统地进行概括、总结，必要时列出系统表（有时可以让学生来进行这项工作），从而促成发现。

比如在应用矩阵的初等变换[4]求矩阵方程的解时，教师不必急于给出求解方法，可以通过矩阵的初等变换求逆为例：首先，将增广矩阵（A┇E）作初等行变换，当把A变成单位矩阵时，单位矩阵E就变为A-1，即（A┇E）■…■（E┇A-1）。

由“左行右列，首尾为主”[4]原则，有P1…PlA=EP1…PlE=A-1。

据此可以导出求解矩阵方程AX=B的初等变换法：由AX=B？圯X=A-1B？圯P1…PlA=EP1…PlB=X，从而启发学生构造一个应用矩阵的初等变换求解矩阵方程的简便方法：（A┇B）■…■（E┇A-1B），如此即得矩阵方程AX=B的解X=A-1B。

这样通过找出矩阵求逆的内部规律，联系到求解矩阵方程的求解方法，即将矩阵求逆的内部规律迁移到求解矩阵方程上来，达到事半功倍之效。

三、采用“发现法”教学要善于引导学生发现在教材表面未明确提出但隐藏在某些知识的相互联系中或出现在习题中的知识
这些知识往往容易被学生忽略，或因某些习惯的偏见而产生某些错误的印象。

如果这些问题不提出，不认真加以分析、研究，将对教材的某些基本理论、基本概念、基本技巧的本来面貌有所损伤或曲解。

例如，在介绍完二次型概念及基本性质之后，学生已经了解矩阵正定的一些性质，这时可以引导学生由矩阵正定的一系列性质来分析对照，从中发现其内在联系。

首先根据定义与讲授的简单性质，我们有，f（x）=xTAx正定[5]？圳？坌0≠x∈Rn，f（x）
=xTAx>0？圳A为n阶实对称矩阵，且与单位矩阵合同。

进而得到，若n阶实对称矩阵A正定，则A与n阶单位矩阵合同，即存在n阶可逆矩阵P使得PTAP=E？圯A=（P-1）TP-1，记P-1=B，则A=BTB；反之，若存在可逆实矩阵B，使得A=BTB，则？坌0≠x∈Rn，有f（x）=xTAx=xTBTBx=（Bx）T（Bx）>0，从而A正定。

这样，我们有关系：f（x）=xTAx正定？圳？坌0≠x∈Rn，f（x）=xTAx>0？圳A为n阶实对称矩阵，且与n阶单位矩阵合同？圳存在可逆实矩阵B使得A=BTB。

依次类推，可获得一系列等价条件：f（x）=xTAx正定？圳？坌0≠x∈Rn，f（x）=xTAx>0？圳A为n阶实对称矩阵，且与单位矩阵合同？圳存在n阶可逆实矩阵B，使得A=BTB？圳存在n阶可逆的实对称矩阵G，使得，A=G2？圳A为n阶实对称矩阵，且A的所有特征值全大于零？圳f（x）=xTAx的矩阵A的各阶顺序主子式>0。

这样，通过揭示隐藏在“正定”之内的知识，让学生明白知识的相互联系，达到巩固知识，掌握方法，熟悉技巧，训练能力的目的。

四、在例题教学中采用“发现法”，主要培养学生的创新精神
教师要精选例题，由易到难，使学生在解题中有所发现。

例如，一般《高等代数》教材中都有这样一个题目[4]，设 A∈Cn×n，则AHA=O？圳A=O，这里AH表示复矩阵A的共轭转置。

在介绍矩阵迹的基本概念与性质之后，我们自然猜想如下命题是否正确？即命题“tr （BBH）=0？圳B=O”是否正确？回答是肯定的。

事实上，若B=O，则显然有tr（BBH）=0。

反之，由tr（BBH）=0？圯tr（BBH）=■？姿i（BBH）=0。

注意？姿i（BBH）≥0，
（i=1，…，n），所以，？姿i（BBH）=0（i=1，…，n）？圯BBH=O？圯B=O。

进而引发学生思考：若取B=A-AH，会有什么结果？这时自然而然得到如下结论：tr（A-AH）（A-AH）
H=0？圳A=AH。

由于tr（AHA）=tr（AAH），tr（AH）2=tr（A2）H=tr（A2），所以tr（A-AH）（A-AH）H=tr（A-AH）（AH-A）=2tr（A2）-2tr（AAH）。

这样，A=AH？圳tr（A-AH）（A-AH）H=0？圳tr（A2）=tr（AAH）。

显然当 A2=AAH时，tr（A2）=tr（AAH）；而当tr（A2）=tr（AAH）时，A=AH，由此导出A2=AAH。

于是有，A2=AAH？圳tr（A2）=tr（AAH）。

然后让学生自己总结，很容易得出下面逐条是等价的：（1）A=AH；（2）tr （A2）=tr（AAH）；（3）A2=AAH。

这样，在教师的引导下，使学生在由浅入深的探索中有所发现，并惊讶于意想不到的奇妙结果，实践曲径之通幽，达到别有洞天之境界。

通过上面数例教学实践，采用“发现法”教学使师生互动，活跃了课堂气氛，调动了学生的学习积极性，使学生感到不枯燥且有趣；从学生已经掌握的知识入手，逐渐展开发现新内容，使学生感到不抽象且易懂，体现了数学知识由浅入深循序渐进的过程。

要运用好“发现法”，首先，教师必须加强学习，不断提高自己的教学水平。

教师只有吃透教材，才能比较得心应手地启发、指导学生；教师只有采用生动形象的语言，才能抓住学生的思维活动，调动他们探索问题的积极性。

其次，必须建立师生的密切往来，教师应做学生的知心朋友。

学生在和教师的交往中，感到教师对他各方面的关心，他们将以极大的学习热情来回报。

参考文献：
[1]肖燕鹏，彭望祥.发现教学法[J].数学通讯，2003，（11）：8-11.
[2]布鲁纳.教育过程[M].北京：文化教育出版社，1982.
[3]洪波.教育心理学教程[M].武汉：武汉大学出版社，1991.
[4]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999.
[5]戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社，2001.
基金项目：南京信息工程大学2012教改提升工程一般项目（课题号：N1885012055）。