上海市卢湾区2009年高考模拟考试数学试卷文科2009.4

上海市卢湾区2009年高考模拟考试数学试卷（文科） 2009. 04说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必．须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R ð ． 2．不等式120010321x x x +-≥的解为 ． 3．设f x ()的反函数为1()f x -，若函数f x ()的图像过点(1,2)，且1211f x ()-+=， 则 x = ．4．若11i z =+，2i z a =-，其中i 为虚数单位，且12z z ⋅∈R ，则实数a = ．5．二项式6x ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为 ．6．若点00(,)M x y 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线 200x x y y r +=与该圆的位置关系是 ．7．若x 、y 满足320x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩………，则68z x y =+的最大值是 ．8．右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是 ．9．在ABC ∆中，设角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若222b c a +=， 且a =, 则C ∠= ．10．若函数2()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭能使得不等式2|()|f x m -<<在区间203π⎛⎫⎪⎝⎭,上恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 11．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A 、B 、C 三点在同一直线上的充要条件（第8题）为存在惟一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=⋅+-⋅成立，此时称实数λ为“向量OC关于OA 和OB 的终点共线分解系数”．若已知1(3,1)P 、2(1,3)P -，且向量3OP 是直线:100l x y -+=的法向量，则“向量3OP 关于1OP 和2OP的终点共线分解系数”为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.12．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )A ．若//m α，n αÜ，则//m n ；B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥；C ．若//m α，//n α，则//m n ；D ．若m αβ= ，m n ⊥，则n α⊥． 13．若函数()f x =53,42θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，(sin 2)(sin 2)f f θθ--可化简为 ( ) A ．2sin θ； B ．2cos θ-； C ．2sin θ-； D ．2cos θ．14．设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若21(3)12n n S a =+(N n *∈)，则{}n a ( ) A ．是等差数列，但不是等比数列； B ．是等比数列，但不是等差数列； C ．是等差数列，或是等比数列； D ．可以既不是等比数列，也不是等差数列．15．关于函数131()22x x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭和实数m 、n 的下列结论中正确的是 ( )A ．若3m n -<…，则()()f m f n <；B ．若0m n <…，则()()f m f n <；C ．若()()f m f n <，则22m n <；D ．若()()f m f n <，则33m n <.三、解答题（本大题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16. (本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分)如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径.（1）求证：1BP A P ⊥；（2）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =，120AOP ∠=︒，求异面直线1A B 与AP 所成的角（用反三角函数值表示结果）.1A 1A（第16题）17． (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)袋中有8个仅颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球，3个为白球，4个为红球. （1）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；（2）若从袋中一次摸出3个球，求所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数的不同摸法的种数.18. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，且对任意正整数n ，都满足：1n n ta A -=，其中1t >为实数.（1）求数列n a {}的通项公式；（2）若n b 为杨辉三角第n 行中所有数的和，即01n n n n nb C C C =+++ ，n B 为杨辉三角前n 行中所有数的和，亦即为数列{}n b 的前n 项和，求lim nn nA B →∞的值.19．(本题满分17分，第1小题6分，第2小题11分) 已知函数1()|21|x f x -=-，()R x ∈.（1）证明：函数()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，并指出函数()f x 在区间(),1-∞上的单调性；（2）若函数()f x 的图像与直线y t =有两个不同的交点(,)A m t ，(,)B n t ，其中m n <，求m n +的取值范围.20. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题9分) 如图，已知点(3,0)H -，动点P 在y 轴上，点Q 在x 轴上，其横坐标不小于零，点M 在直线PQ 上，且满足0HP PM ⋅= ，32PM MQ =- .（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ； （2）过定点(1,0)F 作互相垂直的直线l 与l '，l 与 （1）中的轨迹C 交于A 、B 两点，l '与（1）中的轨迹C 交于D 、E 两点，求四边形ADBE 面积S 的最小值；（3）将（1）中的曲线C 推广为椭圆：2212x y +=，并将（2）中的定点取为焦点 ()1,0F ，求与（2）相类似的问题的解.上海市卢湾区2009年高考模拟考试数学试卷参考答案与评分标准（文科） 2009. 04一、填空题（本大题共11题，每小题5分，满分55分）1．(2,2)- 2．22x ≤．124．1- 5．15 6．相离 7．22 8．10i > 9．712π10．(1,2] 11．1- 二、选择题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 12．B 13． D 14．D 15．C三、解答题（本大题满分75分）16．（1）证明：易知AP BP ⊥，又由1AA ⊥平面PAB ，得1AA ⊥BP ，从而BP ⊥平面1PAA ，故1BP A P ⊥； （4分）（2）解：延长PO 交圆O 于点Q ，连接BQ ，1AQ ，则//BQ AP ，得1A BQ ∠或它的补角为异面直线1A B 与AP 所成的角. （6分） 由题意211412V OA AA AA =π⋅⋅=π⋅=π，解得13AA =. （8分）又BQ =2AQ =，得1AQ =15A B =， （10分）由余弦定理得2221111cos 02A B BQ AQ A BQ A B BQ +-∠==>⋅，得异面直线1A B 与AP所成的角为arccos5. （12分） 17．解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为11173419C C C +=种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为2828C =，故所求的概率为1928； （6分） （2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有114312C C =种不同摸法， （8分）一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有214424C C =种不同摸法，（10分）一种是所摸得的3球均为红球，共有344C =种不同摸法， （12分）故符合条件的不同摸法共有40种. （14分） 18．解：（1） 由已知111n n ta A ++-=，1n n ta A -=，相减得11n n n ta ta a ++-=，由10t ->得11n n a t a t +=-，又111ta a -=，得111a t =-，故数列{}n a 是一个以111a t =-为首项，以1tq t =-为公比的等比数列. （4分） 从而111111n nn t t a t t t t -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ n ∈*N ； （6分）（2）111nn n t A ta t ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭， （7分）又012nn n n n n b C C C =+++= ，故()221n n B =-， （11分）于是111lim lim 22nn n n n nt A t B +→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-， 当21tt =-，即2t =时，1lim 2n n nA B →∞=，当21tt <-，即2t >时，lim 0n n nA B →∞=，当21tt >-，即12t <<时，lim n n nA B →∞不存在. （14分）19．（1）证明：任取1(1,)x ∈+∞，2(1,)x ∈+∞，且12x x <，()1212111112()()2121(21)21x x x x f x f x -----=---=---121211122(22)2x x x x --=-=-12121212,22,220,()()x x x x x x f x f x <∴<∴-<∴< .所以()f x 在区间(1,)+∞上为增函数. （5分） 函数()f x 在区间(),1-∞上为减函数. （6分）（2）解：因为函数()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，相应的函数值为(0,)+∞，在区间(),1-∞上为减函数，相应的函数值为(0,1)，由题意函数()f x 的图像与直线y t =有两个不同的交点，故有(0,1)t ∈， （8分）易知(,)A m t ，(,)B n t 分别位于直线1x =的两侧，由m n <，得1m n <<，故1210m --<，1210n -->，又A ，B 两点的坐标满足方程121x t -=-，故得112m t -=-，121n t -=-，即2log (22)m t =-，2log (22)n t =+，（12分）故2222log (22)log (22)log (44)m n t t t +=-++=-，当01t <<时，20444t <-<，22log (44)2t -∞<-<.因此，m n +的取值范围为(,2)-∞. （17分） 20. 解：（1）设()(),,0,,M xy P b (),0Q a (0)a ≥，易知()3,HP b = ，(),PM x y b =-，(),MQ a x y =-- ，由题设32PM MQ =-，得()3,23,2x a x y b y ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩其中0a ≥，从而13a x =，12b y =-，且0x ≥，又由已知0HP PM ⋅=，得HP PM ⊥，当0b ≠时，0y ≠，此时3HP b k =，得3PM k b=-，又PM PQ k k =，故3b a b -=-，23b a =，即2111332x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，24y x =()0x ≠， 当0b =时，点P 为原点，HP 为x 轴，PM 为y 轴，点Q 也为原点，从而点M 也为原点，因此点M 的轨迹C 的方程为24y x =，它表示以原点为顶点，以()1,0为焦点的抛物线； （4分）（2）由题设，可设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，直线l '的方程为()11y x k=--，()0k ≠，又设()11,A x y 、()22,B x y ，则由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去x ，整理得2440ky y k --=， 故()2241k AB k+=，同理()241DE k =+， （7分）则()()222224111141823222kS AB DE k kk k +⎛⎫=⋅=⋅⋅+=++⎪⎝⎭≥， 当且仅当1k =±时等号成立，因此四边形ADBE 面积S 的最小值为32. （9分） （3）当0k ≠时可设直线l 的方程为()1y k x =-，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x k +-+-=，故22)12k AB k +=+，22)2k DE k +=+， （13分） ()()()222422222412216222925212225kk S k k k k k k+==-=-++++++≥， 当且仅当21k =时等号成立. （17分）当0k =时，易知AB =，DE =1629S =>， 故当且仅当21k =时四边形ADBE 面积S 有最小值169. （18分）。