换元积分法
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
换元积分
第二节 换元积分法
基本积分表的扩充
(14) sh x dx ch x C , (15) ch x dx sh x C , (16) tan x dx ln | cos x | C , (17) cot x dx ln | sin x | C , (18) sec x dx ln | sec x tan x | C , (19) csc x dx ln | csc x cot x | C ,
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例77
解
求求
ddxx xx((11 22llnn
dx
x(1 2 ln x)
xx)) ..
例10
第 二节d(换ln元x)积解分法1
1 2 ln x 2
求 sin 44 xdx .
sind4(2xdlnxx)
1 cos 2x 2
1 2 ln x 第二节2 换元积
.
ta
x
2
a
t
2
t
1 d(1 a2t 2 )
1
22
x2 a2
第二节 换元积分法
第二换元积分法常用的4种代换
(1) x = asin t 用于被积函数中含有 a2 x2 , (2) x = atan t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (3) x = asec t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (4) x 1 用于将被积函数分母中的高次因子翻
换元公式 f [(x)](x)dx f (u)du . u ( x) 证明 设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何应F用(u换) 元f公(u式) 求或 g(fx()udx)d呢u ？F(u) C .
换元积分法
1 4
(
2x 3
2x 1)dx
1 4
2x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1
31
3
2x 3 2x 1 C.
12
12
14
例12. 求 tan3 x dx tan2 x tan x dx
(sec2 x 1)tan x dx
a2 x2
a
18
例17. 求
解:
1 1 x2 a2 2a
(x a) (x a) ( x a)( x a)
1( 1 2a x a
1) xa
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx
x
a
1 2a
d( x a) xa
d( x a) xa
1 ln
2a
xa
ln
xa
C 1 ln 2a
xa xa
)
1 2
1
1 x
2
d(1
x2
)
u 1 x2
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(1 x2 ) C . 2
例2 x 1 x2dx 1 1 x2d(-x2 ) 2
1 2
1 x2d(1 x2 ) u 1 x2 1
2
udu
1
2
3
u2
C
1
3
u2
C
1
(1
x
2
)
3 2
29
小结
1、常用的几种凑微分形式:
1
(1) f (ax b)dx a
换元积分法
∫ f (sec x )sec x tan xdx = ∫ f (sec x )d (sec x )
∫ f (arcsin x ) ∫
1
2
1− x 1 f (arctan x ) dx = ∫ f (arctan x )d (arctan x ) 2 1+ x
dx = ∫ f (arcsin x )d (arcsin x )
5
Hale Waihona Puke 调整系数时，只管 不管 不管b. 调整系数时，只管a不管 ∵d(b)=0
1 1 5 (ax + b ) dx = ∫ (ax + b ) d (ax + b ) = (ax + b ) 6 + C ∫ a 6a 补充例题 1 1 ∫ sin( 3 x + 2)dx = 3 ∫ sin( 3 x + 2)d (3 x + 2) = − 3 cos(3 x + 2) + C 1 1 sec 2 ( 2 x + 1)dx = ∫ sec 2 ( 2 x + 1)d ( 2 x + 1) = tan( 2 x + 1) + C ∫ 2 2
)
9
课本例题： 课本例题： 例5 求 ∫ tan xdx 解
∫ cot xdx = ln sin x + C
sin x 1 dx = − ∫ d cos x = − ln cos x + C ∫ cos x cos x
∫ tan xdx =
1 dx 例6 求 ∫ 2 2 a +x 1 1 1 1 1 x 解 ∫ 2 d( ) =∫ ⋅ dx = ∫ 2 ⋅ dx 2 2 2 a a a +x a x x 1+ 1+ a 1 x a = arctan + C a a
换元积分法
f (x)dx F(x) C
中的 x 换成了可微函数 j (x) . 所以说把基本积分表
中的积分变量换成可微函数 j (x) 后仍成立 .
1. 利 用 dx 1 d(ax b), a, b 均为常数，且 a 0. a
例 1 求 sin(3x 2)dx.
解 对照基本积分表，上式与表中 sinx dx 相似，
a
dx 1 x 2
a
dx a
1
x
2
a
arcsin x C. a
dx
x
arcsin C.
a2 x2
a
例 5 求
dx a2 x2
(a > 0 常数).
解
dx a2 x2
1 dx
a2
1
x
2
1 a
dx a
则
ln x dx x
ln xdln x
1 ln2 2
x C.
一般公式:
f
(ln
x)
dx x
f (u) d u
(u ln x) .
xdx 1 dx2. 2
则
xe x2 dx 1 e x2 dx 2 1 ex2 C
2
2
经求导验算，
即 结果正确 .
1 e x2 C xe x2 .
2
例7
求
ln x x
dx.
解 将被积分式中的 1 dx 因子凑微分，即 x
1 dx d(ln x). x
1
换元积分法简明易懂
换元积分法简明易懂换元积分法又被称为代数凑式法，是一种常用的数学积分方法。
它适用于求解一些复杂的积分，通过将被积函数中的一部分进行代数凑式，将原积分转化为一个新的积分形式。
因此，它是日常生活中数学计算中的重要手段之一。
下面我们来详细了解一下这个方法。
一、变量代换假设要求解一个积分式为：∫f(x)dx换元积分法的第一步是选定一个新的变量，使得在这个新的变量下，原来的积分式的形式会更加简单。
例如，可以选定一个新的变量u，使得：u = g(x)其中，g(x)为一个可导函数。
因此，根据链式法则，可以得到：也就是说，新变量u的微分可以表示为：将上述表达式代入原积分式中，可以得到：∫f(x)dx = ∫f(g(x))/g'(x) du这样，原来的积分式已经被变成了一个用u表示的新的积分式。
二、换元积分法的具体操作1、当原积分式中只有一项如果原积分式中只有一个项f(x)，需要进行代数凑式。
比如：∫x^3cos(x^2)dx令u=x^2，那么可以得到：du/dx = 2x由此，可以得到：这样，原来的积分式就变成了一个用u表示的新的积分式。
对于这个新的积分式，我们可以使用几何意义、分部积分等方法进一步求解。
对于原积分式中的多项式，需要将其中一部分代入新变量中，比如：∫(x+1)sin(x^2+2x+1)dx三、特殊情况换元积分法也适用于一些特殊的积分式。
下面介绍几种常见的特殊情况。
1、当原式中出现了幂函数时此时，需要选定一个新的变量u，使得du/dx中出现了与f(x)的形式相同的幂函数。
比如：比如：∫√(1-4x^2)dx = -1/8 ∫√udu以上就是换元积分法的具体操作，希望能够对大家有所帮助。
换元积分法
tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：
换元积分法的技巧归纳
换元积分法是一种重要的积分技巧，通过引入适当的变量替换，将复杂的积分转化为更易于计算的积分形式。
以下是换元积分法的几个常见技巧：
1.三角换元法：对于形如∫a2−x21dx的积分，可以通过三角换元法将其转化为∫a2−r2
1dθ，其中x=a cosθ。
这种方法适用于处理与圆有关的积分问题。
2.倒代换法：对于形如∫x+axndx的积分，可以通过倒代换法将其转化为∫a(a−x)n⋅a1
dx，其中x=a−t。
这种方法适用于处理分母中含有x的项的积分问题。
3.根式换元法：对于形如∫1+xxdx的积分，可以通过根式换元法将其转化为∫1+tt⋅t22
dt，其中x=t2。
这种方法适用于处理分母中含有开方项的积分问题。
4.指数换元法：对于形如∫ex2dx的积分，可以通过指数换元法将其转化为∫eetetdt，
其中x=et。
这种方法适用于处理指数函数的积分问题。
5.代数换元法：对于形如∫(x−a)(x−b)xdx的积分，可以通过代数换元法将其转化为
∫t(t−a)(t−b)t−adt，其中x=t。
这种方法适用于处理分母中含有二次项的积分问题。
以上是换元积分法的几种常见技巧，通过灵活运用这些技巧，可以解决许多复杂的积分问题。
换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例2
求下列不定积分
(1) xex2 dx
解：
由于 xdx 1 d (x2 ) ，所以 2
xex2 dx 1 ex2 dx 2 1 ex2 C 2
同理:
(2)
x 1 x2
dx
1 2
ln(1
x2
)
C
4.2 换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 2
1 x
1 x C
再将u x 1 代回，得
dx x 1
ln
x
1
C
4.2 换元积分法
经济数学
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(4) (2x 1)4dx
同理有:
(5) e2x1dx 1 e2x1 C 2
解：
令
2x 1 u则
dx 1 du ，于是 2
(2x 1)4 dx 1 2
u 4 du
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
换元积分法
第二换元积分法求不定积分时，可按以下步骤进行
例20 求 解
a
x
t
例21 求 解
x
t a
例22 求 解
x
t a
例20—例22中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：
补充的积分公式：
例2 求 解
例3 求 解
用第一换元积分法求不定积分的步骤是：
上述过程可表示为
例4 求 解
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中，关键是换元，若在被积函数中
作变量代换
还需要在被积表达式中再凑出
即 ，也就是 ，这样
才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微 分”法.
一般的说，若积分
不易计算可以作适当的
变量代换
，把原积分化为的形源自式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将
代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理5.3
证 由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有
这就说明了
是的f(x) 原函数.
例18 求 解
例19 求 解
的积分，可分两种情况：
例14 求 解
例15 求 解
还需说明的是，计算某些积分时，由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形 成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个 常数项，属于同一个原函数族.
例16 求 解法1 解法2
解法3
二、第二类换元积分法
例17 求 解
一、第一类换元法
例1
分析
换元积分法讲解
换元积分法讲解换元积分法，也叫作变量代换法，是求解不定积分时常用的一种方法。
它通过引入一个新的变量，使得被积函数能够简化或者变得更易积分。
换元积分法的基本思想是做一个变量替换，将原来的自变量用新的变量表示。
这个变换需要满足两个条件，一是变换函数要有可逆性，意味着可以根据新变量求得原来的自变量，二是需要保持被积函数在新变量下的性质不变。
换元积分法的一般步骤如下：1. 选择一个适当的变量代换，通常选择的是被积函数中的一部分作为新的变量。
2. 将原被积函数用新变量表示，并计算其微分。
3. 将被积函数中的其他自变量用新变量表示，并将原来的积分变量替换为新变量。
4. 简化或者改写被积函数，使其变得更易积分。
5. 对新的被积函数进行求积分。
6. 将得到的结果用新变量表示，并将新变量换回原来的变量。
以下是一个具体的例子，通过变量代换来求解∫(x^2+1)^3 dx的不定积分：1. 选择变量代换 u = x^2+1。
2. 对上述变换式两边求导，得到 du = 2x dx。
3. 将原来的被积函数中的 x^2+1 用 u 替换，得到新的被积函数 (u)^3 * (1/2) du。
4. 简化新的被积函数，得到 u^3/2 du。
5. 对新的被积函数进行求积分，得到 (2/5) u^5/2 + C，其中 C 是积分常数。
6. 将结果用新变量 u 表示，并将 u 换回 x^2 + 1，得到最终的不定积分结果 (2/5) (x^2+1)^(5/2) + C。
通过换元积分法，我们可以将原来较为复杂的不定积分转化为更简单的形式，从而更容易求解。
但需要注意选择适当的变量代换，以及恢复原来的变量时的替换和计算。
换元积分法公式
换元积分法公式
换元积分法是求解不定积分的一种重要方法，其基本思想是通过变量代换将原函数中的变量替换为一个新的变量，从而将原不定积分转化为一个更容易求解的形式。
常用的换元积分法有三种：第一类换元法，第二类换元法以及特殊换元法。
下面将分别介绍这三种换元积分法的公式。
第一类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x) = h(g(x))g'(x)，其中h(t)为可导函数，则有∫f(x)dx = ∫h(g(x))g'(x)dx = H(g(x)) + C，其中C为常数，H(t)为h(t)的一个原函数。
第二类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x)中至少含有一个因式为g(x)，则有∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt，其中x = g(t)。
特殊换元积分法的公式如下：
常用的特殊换元积分法包括三角换元法、指数换元法、倒代换法、万能代换法等。
以上是换元积分法的三种常用公式。
在实际应用中，需要根据具体问题的不同选择不同的换元积分法，以求出较为简单的积分形式。
同时，需要注意选取合适的换元变量，并保证换元变量的可导性和可逆性，避免引入新的难以求解的形式。
换元积分法
2x)
1
3
2 (1 2x) d(1 2x)
1 令u 1 2 x
3
u du
1
u4
C
2
8
回代 1 (Biblioteka 2x)4 C. 8例3求
1 3x
dx 1
。
解 将dx凑成 dx 1 d(3x 1) ，则 3
1 3x
dx 1
1 3
d(3x 1) 3x 1
1 令u3x1 1du 1 ln u C
t
C,
将 Q(0) 0 代入可得 C 2 ，于是有
Q(t) 2 cost 2 2 (1 cost)
二、第二类换元积分法
定理2 若 f (x) 是连续函数，x (t) 有连续的导数(t) 0 ，其反
函数 t 1(x) 存在且可导，又设 f (t)(t)dt F(t) C ，则
例11 【电路中的电量】如果导线在时刻t的电流为i(t) 2sint， 那么，流过该导线的电量 Q(t) 随时间变化的规律如何？(其 中 Q(0) 0)
解 在 [t ，t t] 时间段内，流过导线的电量为 dQ i(t)dt ，则
Q(t)
i(t)dt
2 sin
tdt
2
sin
td(t)
2
cos
高等数学
换元积分法
引例 【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相对于太阳能接触的表 面面积s的变化率为 dQ 0.05 ，其中 Q(0) 0 。求太阳能的能
ds s 100 量Q的函数表达式
解
Q
0.05 ds s 100
一、第一类换元积分法（凑微分法）
例如 e2xdx ，在基本积分公式中有 exdx ex C ，比较 e2xdx 和 exdx 我们发现，只是 的幂次相差一个常数因子 ex，
第3节换元积分法
例23
[(1 x)6 (1 x)7 ]dx
1 (1 x)7 1 (1 x)8 C .
7
8
x3 4 x2 dx 1 x2 4 x2 dx2 2
1 (4 x2 4) 4 x2d(4 x2 ) 2
1
(4
5
x2)2
4
(4
x2
3
)2
C
.
5
3
16
例24
1
1 ex
dx
2
5
dx
1
1
x
a2 x2 dx a arctan a C
1
2
1 ( x2 1)2
d( x2 1) 4
1 arctan
4
x2 1 C 2
.
例27
dx
x x2
dx
x(1 x) 2
dx 1 ( x )2
2arcsin x C .
dx
或解
dx
dx
x
a2 x2 axrcsi1n a C
一、换元法公式
xt
公式 ： f (x)dx f ( t )t dt.
其中 可导函数 x有反函数，且 x 0.
从右到左称为第一种换元法, 即凑微分法；
从左到右称为第二种换元法.
常用的几种配元形式:
1
(1) f (ax b)dx a
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)
f
1 (ln | x a | ln | x a |) C 1 ln x a C .
2a
2a x a
dx
x2 a2
1 ln 2a
xa xa
C
另外：
dx a2 x2
换元积分法
x
dx
22
tan
1 x cos2
x
d( x) 2
22
1 tan
x
d(tan
x )
2
ln tan x C 2
2
lncsc x cot x C.
解(二)
csc xdx
1 sin
x
dx
sin sin2
x x
dx
1
1 cos2
x
d(cos
x) u2
du
1 2
1
1
u
1
常数因子恰好是中间变量u的导数. 作变换u 2x,有
2cos2xdx cos2x 2dx cos2x (2x)dx cos udu sin u C
sin 2x C.
例2
求
3
1 2
dx. x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
d(2 x
x
)
1 2
3
1 d(3 2x
2
x
)
令 u 3 2x
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin 3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时, 拆开奇次项 去凑微分.
例14 求 cos2 xdx.
解
cos2
例12 求 sin3 xdx. 解 sin3 xdx sin2 xsinxdx
(1 cos2 x)d(cos x) d(cos x) cos2 xd(cos x)
cos x 1 cos3 x C . 3
微积分换元积分法
解题技巧的总结与提炼
观察与分析
在解题过程中，学会观察和分析，识别题型和所使用 的换元方法。
灵活运用公式
熟练掌握各种换元公式的形式和特点，根据题目条件 灵活运用。
简化计算
在解题过程中，尽量简化计算，避免复杂的运算过程， 提高解题效率。
实际问题的应用与解决
物理问题
将换元积分法应用于解决物理问题，如力学、 热学等领域的问题。
详细描述
在选择换元变量时，应尽量选择容易处理的变量，如使积分区间变为常见的简单区间或 使被积函数形式简化。同时，需要确保换元转换的等价性，即新旧变量之间的转换关系
必须是可逆的。
换元后积分的计算与化简
总结词
换元后需要对新的积分进行计算和化简，这 一步涉及到对积分公式和技巧的掌握。
详细描述
在换元后，需要利用已知的积分公式和技巧 对新积分进行计算。有时可能需要利用代数 方法对积分表达式进行化简，如合并同类项、 提取公因式等。此外，还需注意消除积分的 上下限，并确保最终结果的正确性。
指数代换
对于形如$x^n$的被积函数，可 以使用指数代换将其转换为容易 积分的形式。
03
换元积分法的实践应用
三角函数换元法
总结词
通过引入三角函数变量替换，将复杂的 积分问题转化为更易于解决的积分问题 。
VS
详细描述
三角函数换元法通常用于处理包含平方根 或与三角函数相关的积分。通过选择适当 的三角函数和变量替换，可以将积分表达 式简化，从而更容易计算出结果。
微积分换元积分法
目
CONTENCT
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• 换元积分法简介 • 换元积分法的基本原理 • 换元积分法的实践应用 • 换元积分法的注意事项与难点 • 换元积分法的练习与提高
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1 1 求 sindxx. cos 3 x , 即 sin 3 x cos 3 x 3 3 3
关键：
下列变形，然后进行计算． 利用 cos udu sin u C （ u 是 x 的可微函数）
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定理1 若不定积分的被积表达式能写成形式 分析: 一般地, 设 ) = u, 设 F(u) 是 f(u) 的一个原函数，则 如果 u j ( x ) 可微,
2
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2. 三角代换
例7 求
a x dx, a 0 .
2 2
解 被积函数含有二次根式，若用简单根式 代换，即令
a x t , 不能奏效．但可以
2 2
2 2
利用三角函数恒等式 sin x cos x 1, 使其有理化．为此，
令 x a sin t , t , 2 2
．
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1 1 x 例6 求 dx . x x
解 为了去掉被积函数中的根号，令
1 x 1 t, x 2 , x t 1
则
2t dx 2 dt, 2 ( t 1)
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于是有
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1 1 x t dx 2 2 dt x x t 1 2 ( t 1) 1 1 2 dt 2 1 2 dt 2 t 1 t 1 1 t 1 2t 2 2 dt 2t ln C t 1 t 1 1 x 1 1 x x 2 ln C. 1 x x 1 x
4
．
x 1 x
dx;
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例3
(1)
( 2)
( 3)
( 4)
1 2 dx 2 2 xdx ; cos xdx x a 3 x a x a cos 3 1 1 cosx dx x 1 1 dx cos2 dx 2 2; x 2 cos xdxa x a cos2a cosx d x a xd1 x a dx 1 d x 2 ; 1 dx 2 cos2xd 2 x x 2 a a x 2 1 sinxd sinx 2 4 x a a 1. 1x csc xdx ln x 1 ln 1 a3 C a x x sin 2 xx C . sin sin C . 2a 2 43 1 xa ln C. 2a x a
sec xdx ln sec x tan x
C.
类似可得
C.
注意：
求同一不定积分，因使用的方法不
同，其结果可能具有不同的形式，但实质
是相同的．
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二、第二类换元积分法
定理2
设函数 f ( x ) 连续，函数 x (t )
单调可微
(t ) 0
．
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例2
(1)
计算下列不定积分：
sin x 1 x x 41dx x 1 dx 1 4 d x 2 sin( ) ( 2) 1 x dx . 2 1 x x 2 sin x 1d x 1 2 arcsinx C . 2 2 sin x 1d x 1 2cos x 1 C .
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1 dx. 例5 求 x3 x 解 被积函数含根式 x , 3 x , 为了去掉根号， 6 则 dx 6t 5 dt , 于是有 6 令 x t, x t , 5 1 6t x 3 x dx t 3 t 2 dt 3 3 t ( t 1) 1 6 dt 6 dt t 1 t 1 1 2 6 t t 1 dt t 1
a 2
2
x x 2 2 arcsin 2 a x C . a a
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即
a x dx
2 2
a 2
2
x x 2 2 arcsin 2 a x C . a a
x dx arcsin C . 2 2 a a x 1
．
dx 计算下列不定积分：
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即
1 1 xa x 2 a 2 dx 2a ln x a C .
类似可得
1 1 a x a 2 x 2 dx 2a ln a x C .
．
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（4）方法一：
csc xdx
x 2 x cos sin 1 2 2 dx dx x x sin x 2sin cos 2 2 x x x tan cot d 2 2 2
f j( x ) j(fx() dx F u) ( ) d j( x ) , f ( j x C. u)du
f j( x j[j ()xdx f [j ((x )]j ( x )dxF ( u) C ) dF ( x )] f u) du F j F[ C f [j ( x )]j ( x )dx ( x ) j ( x )] . C
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2
回代，把变量 t 换为 x . 为简便起见，根据
x sin t , a
画一个直角三角形，称它为
辅助三角形（如下图所示），
a
t 2 2 a x
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x
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x 因为 t arcsin , cos t a
于是有
2 2 2
a x , a
2 2
a a x dx 2 t sin t cos t C 2 2 2 a x x a x arcsin C 2 a a a
令x ( t )
，其反函数为
1 ( x )， ( t ) f ( t ) ( t )，则 F t
f ( x ) dx
F (t ) C
1 ( x ) 回代 t
f ( t ) ( t ) dt
F[ ( x)] C .
1
这样的积分法称为第二类换元积分法．
2
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x x ln cos ln sin C 2 2 x ln tan C . 2
方法二：
1 d cos x cscx d x dx 2 sin x sin x 1 cos x 1 d cos x ln C. 2 cos x 1 2 cos x 1
2
其中 a, b 均为常数, 且a≠0.
．
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例1
计算下列不定积分：
lnx (1) dx ; x
1 令 u ln x ， du dx ，从而有 ( 2) tan x dx . x lnx tan x dx 1 2 1 2 即 dx tan x dx ln cos C x C x udu 2 u C x 2 ln sin x 1 类似可得 dx d x) u 当运算熟练后，变量代换 j (cos x cos x cos x cot ln xdx x lnCsin x C 和回代这两个步骤可省略不写． cos .
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方法三：
1 cscx d x sin x dx 1 1 dx dx x x x 2sin cos 2 sin 2 2 2 cos 2 x x 2 cos 2 1 x x d tan ln tan C . x 2 2 tan 2
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1. 简单根式代换 x 1 dx . 例4 求 x
解 为了去掉被积函数中的根号，令
x 1 t , x 1 t , 则 dx 2tdt , 2 x 1 t dx 2 dt 于是有 2 x 1 t
2
( t 1) 1 2 dt 2 1 t
2
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1 2 1 dt 2 1 t 2 t arctant C ,
回代变量 t
x 1, 得
x 1 dx 2 t arctan t C x
2 x 1 arctan x 1 C .
上述积分法称为第一类换元积分法(或凑微分法). 由此可得定理1. 关键: 将 g( x )dx 化为 f [j( x )]j( x )dx .
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常用的凑微分公式 1 dx d ax b ; a
e x dx de x ;
1 1 dx d ; 2 x x x 2 dx d 1 x ; cos xdx d sin x ; 1 x2 x 2 sin xdx d cos x ; dx d 1 x ; 1 x2
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1 2 xdx d ax b ; 2a 1 dx d ln x ; x 1 dx 2d x ; x
sin 2 xdx d sin x d cos x ;
2 2
sec xdx d tan x ; 1 dx d arcsin x d arccos x ; 2 1 x 1 dx d arctan x d arc cot x . 2 1 x 1 一般有: j ( x ) dx dj ( x ) d aj ( x ) b . a
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则 a 2 x 2 a 1 sin 2 t a cos t ,