【数学中考一轮复习】 二次函数最值应用(含解析)
中考 一轮复习 二次函数专题之实际应用问题和线段问题(word版含简单答案)
二次函数专题一，二次函数实际应用问题（经济类）1．某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10700y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？2．某水果批发商场经销一种水果，如果每干克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元．日销售量将减少20千克．（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．3．东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：y ＝﹣2x +140（x ＞40）．（1）若设每天的利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 4．某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出售，每天可售出30本．调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少3本． （1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？最大利润是多少元？5．524红薯富含膳食纤维，维生素（A ，B ，C ，D ，E ）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱.某土特产批发店以30元/箱的价格进货.根据市场调查发现，批发价定位48元/箱时，每天可销售500箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量50箱． （1）写出每天的利润w 与降价x 元的函数关系式； （2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？ （3）要使每天的利润为9750元，并让利于民，应降价多少元？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．（1）若降价x元，则平均每天销售数量为件（用含x的代数式表示）；（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？二，二次函数几何综合（线段类）7．如图，已知直线y＝﹣23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣23x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当DECD＝AEOE时，求t的值；①当CD平分①ACB 时，求ABC的面积．8．已知抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B(﹣3，0)和点C(1，0)，顶点为点M．（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x 轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2，m)．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P 的坐标．10．综合与探究如图，已知点B （3，0），C （0，-3），经过B ．C 两点的抛物线y =x 2-bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式;（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．（3）若点E （2，-3），在坐标平面内是否存在点P ，使以点A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，此时点P 的坐标是 （3）点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出①BCQ 面积的最大值．（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，B ，C 两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC 的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式．（3）①顶点D 的坐标为________；①当0≤x ≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．（4）若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．13．如图，已知抛物线2134y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知B 点的坐标为B （6，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）M 为线段BC 上方抛物线上一点，N 为线段BC 上的一点，若MN ①y 轴，求MN 的最大值；答案第1页，共2页参考答案1．（1）40元；（2）48元时， 3960元 2．（1）涨价5元（2）当涨价为152元时，利润最大，最大利润为6125元 3．（1）w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600（x ＞40）（2）销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元4．（1）10元或8元；（2）每本售价定为9元时，利润最大，最大利润是108元 5．（1）()2504009000018w x x x =-++≤≤，（2）当降价4元时，每天可获得最大利润，最大利润为9800（3）应降价5元 6．（1）（30+3x ）（2）每件商品应降价20元（3）该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元7．（1）224233y x x =-++（2）①2；①548．（1）y =-x 2-2x +3；顶点M 的坐标为（-1，4）；（2）点E （-37，0）；（3）点P 的坐标为（2，-5）或（1，0）．9．（1）223y x x =--；（2）P 13(,)22-10．（1）223y x x =--；（2）点D 的坐标为()1,2-；（3）存在，1(2,3)P --，2(6,3)P -，3(0,3)P ．答案第2页，共2页11．（1）234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；（2）35,22P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）8；（4）存在，()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭或4⎫-⎪⎪⎝⎭．12．（1）3y x =-+ ；（2）2y x 2x 3=-++ ；（3）①()1,4D；①4，-5；（4）9413．（1）抛物线解析式为2134y x x =-++，抛物线对称轴为直线2x =；（2）当P 点坐标为（2，2）时，使得①P AC 的长最小；（3）94。
二次函数的应用的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)(原卷版)
专题13二次函数的应用的核心知识点精讲1.会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题．2.经过面积、利润等最值问题的教学，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。
考点1：用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值考点2：用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的【题型1：用二次函数解决抛物线型问题】【典例1】（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？1．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．2．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．3．（2023•陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，OE′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD 的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．【题型2：用二次函数解决最优化问题】【典例2】（2023•丹东）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？1．（2023•绵阳）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x （元）记录如下：时间第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）2．（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？3．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．（1）求m，n的值；（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．【题型3：二次函数的综合应用】【典例3】（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．1．（2023•攀枝花）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点O，且顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴正半轴的交点为B，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接OA、PB，若∠AOB+∠PBO＝90°，求点P的坐标．2．（2023•自贡）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的表达式．（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．一．选择题（共7小题）1．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（）A．14米B．12米C．11米D．10米2．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③3．某超市销售某款商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+10x+125，则销售这款商品每天的最大利润为（）A．125元B．150元C．175元D．200元4．向空中发射一枚炮弹，经过x秒后的高度为y米，且时间与高度y的关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第9秒C．第10秒D．第11秒5．某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（）A．y＝x（100﹣x）B．y＝x（100﹣6x）C．y＝（100﹣x）（15+x）D．y＝（100﹣6x）（15+x）6．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s7．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m二．填空题（共3小题）8．如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场的长为xm，当x＝m时，养鸡场的面积最大．9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为．三．解答题（共4小题）11．如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？12．综合与实践问题情境：如图1所示的是山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面OBA可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．模型建立：（1）如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．问题解决：（2）求在距离水面2米处桥拱宽度．（3）现有两宽为4米，高3米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．13．某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该服装店销售这批秋衣日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标．1．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．8B．16C．32D．642．竖直上抛的小球的高度h（m）与运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2+bt，若小球在上抛后第3s与第7s时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）A．第4s B．第4.8s C．第4.9s D．第5.2s3．如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3m．该运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使投中，该运动员应该跳得比刚才投篮时（）A．高0.8m B．高0.4m C．低0.8m D．低0.4m4．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A．6.24米B．6.76米C．7米D．7.24米5．亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有150间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在100～200元之间（含100元，200元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高（）A．100元B．75元C．50元D．25元6．飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位，秒）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，最后6秒滑行的距离为（）米．A．24B．36C．48D．547．如图，利用一个直角墙角修建一个DC∥AB的四边形储料场AB﹣CD，其中∠C＝120°，若新建墙BC 与CD总长为12m，则该储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．18m2C．24m2D．m28．已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3的图象与函数y＝﹣x2+6x的图象交于y轴一点，则m ＝．9．如图1，有一块外边缘呈抛物线型的废材料，小成同学想废旧利用，从中截取一个矩形ABCD，使矩形的顶点A、B落在材料的底边MN上，C，D落在外边缘的抛物线上，小成同学量得MN＝6dm，抛物线顶点处到边MN的距离是9dm；于是，小成同学在图纸上，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x 轴，以1dm为1个单位建立平面直角坐标系，如图2所示．（1）请你帮小成求出该抛物线的解析式；（2）小成截下的矩形ABCD的周长能否等于20dm？若能，请求出矩形的边AB的长；若不能，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，连接BC，AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请直接写出Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点．（1）求二次函数的表达式；的最大值；（2）如图1，连接PA，PC，AC，求S△P AC（3）如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，连接BC、BP，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．13．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）150160180月销售量y件14012080月销售利润w元420048004800注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）．（1）根据上述信息求：①y关于x的函数解析式；②当x是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？（2）由于某种原因，该商品的进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品的售价不得超过165元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数解析式．若月销售利润最大是4620元，求m值．1．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5B．10C．1D．22．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．4．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．5．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝m．6．（2023•沈阳）如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝m时，羊圈的面积最大．7．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为．8．（2023•陕西）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM＝12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB＝BN＝NC ＝CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；方案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′＝B′C′＝C′M，点A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．9．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？10．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？11．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．12．（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．。
专题二次函数-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
真 (2)写出该抛物线关于x轴,y轴和原点对称的抛物线解析式:
题
一般式
顶点式
精
关于x轴对称：__y_=_-_x_2_-_2_x_+_3__；__y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4__。
练
关于y轴对称：__y_=__x_2_-_2_x_-_3__；__y_=__(_x_-_1_)_2_-_4__。
提
升
关于原点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3__；__y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4__。
考点4 二次函数的图象的变换
检 1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛
考 交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.
点 (1)求y1的解析式；
真 (2)若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,
题
求y2的解析式.
精
练
提 升
考点2 求二次函数的解析式
检 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与y 测
轴的交点是C,顶点是D.若四边形ABDC的面积是18,求抛物线的 考 点 解析式. y=-2x2+4x+6 或 y=2x2-4x-6
精 练
成立的x的取值范围是( A
)
提 A.x＜-4或x＞2 B.-4＜x＜2 C.x＜0或x＞2 D.0＜x＜2
升
考点3 二次函数与一元二次方程
检 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0)(x1 测 ＜x2),方程ax2+bx+c-a=0的两根为m、n(m＜n),则下列判断正
(完整版)中考数学一轮复习-二次函数的图像和性质(含答案),推荐文档
2、在抛物y=kx2+bx+c(a≠0)中：
①、当a>0时，y口向，当x< 时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大，
②、当a<0时，开口向当x< 时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小
注意2：注意几个特殊形式的抛物线的特点
a:开口方向向上则a0,向下则a0；｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
综上，正确的结论有②④．
故选C
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2= （0-3）2+1= ，故y2-y1= ，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2= （x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。
2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)
2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题一、解答题1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数2y x bx c =-++．(1)当4,3b c ==时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x -≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =-时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m -<<-时，求n 的取值范围；(3)求证：240b a +=．5(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB 的面积；(3)P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ∠=∠6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线2y ax =+(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以若不存在，请说明理由；(3)以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图像上，其横坐标大于4，连接,PA PB ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．(1)求点,A B 的坐标；(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点()3,2，求PM 长的取值范围．8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点()0,0O ，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 周长．10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线(1)求抛物线解析式及B ，(2)以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点(3)该抛物线对称轴上是否存在点11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ，B ，()0,6C 三点，其对称轴为2x =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴，直线BC 交于点D ，E ．①当CD CE =时，求CD 的长；②若CAD ，CDE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足1322S S S +=，求点F 的坐标．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．∠的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(3)当PAQ(4)设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以Q15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值．(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC标及PDDB的最大值；(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连接PC，将好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．33(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点K 坐标．28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上．①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．(1)请求出抛物线1Q 的表达式．(2)如图1，在y 轴上有一点()0,1D -，点E 在抛物线1Q 上，点F 为坐标平面内一点，是否存在点边形DAEF 为正方形？若存在，请求出点,E F 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线1Q 向右平移2个单位，得到抛物线2Q ，抛物线2Q 的顶点为(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线11:y OP y x x =交BF 于点G ，求BPG BOGS S △△的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于求点P 的横坐标．31．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(0,3)A C -两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(2,0)B 和(0,2)C ，连接BC ，点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N ．(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m 的值；(3)当P 点在运动过程中，在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以B ，C ，N 为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应），若存在，直接写出．．．．点P 和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点交x轴于点D，求与12PK PD+的最大值及此时点2①求证：23DO EO =．②当点E 在线段OB 上，且BE =35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数直线与该函数图象交于点()1,3B (1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE 设点P 的横坐标为m ．①当12PD OC =时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △(3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点若不存在，请说明理由．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数2y ax bx =++交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；(3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,，()6,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图②，当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点A ，B 不重合），自点P 分别作∥PE BC ，交AC 于点E ，作PD BC ⊥，垂足为点D ．当m 为何值时，PED V 面积最大，并求出最大值．43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++．(1)若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，且4a b =，则a 的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x 轴有两个公共点()2,0A -，()4,0B ，并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，BC ，其中PA 交y 轴于点D ，交BC 于点E ．设PBE △的面积为1S ，CDE 的面积为2S ．①当点P 为抛物线顶点时，求PBC 的面积；②探究直线l 在运动过程中，12S S -是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若32m<<，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若32m<，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使值；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD 好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点F ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为G ，求2FG +(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求AOD △周长的最小值；(3)如图2，过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAD 与△为S ，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？50．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线23y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ，且经过点()2,6C -．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x -，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA 标；(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N，求证：无论存在一点E，使得MEN∠为直角．(1)求a 的值．(2)将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，交抛物线于在定点D ，无论m 取何值时，都是点D 到直线B C ''的距离最大，若存在，请求出点请说明理由．(3)抛物线上是否存在点P ，使45PBC ACO ∠+∠=︒，若存在，请求出直线58．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线28y ax bx =++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．(4)当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；(3)如图2，若动直线l 与抛物线交于,M N 两点（直线l 与BC 不重合），连接,CN BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当MN BC ∥时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程：___________，___________【技能训练】(2)如图2，已知抛物线21y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的参考答案一、解答题222（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当⊥交BP于连接PB，过C作CE BC∵5OC OB ==，则OCB 为等腰直角三角形，由勾股定理得：52CB =，∵ACO PBC ∠=∠，∴tan tan ACO PBC ∠=∠，即1552CE CE CB ==，∴2CE =由CH BC ⊥，得90BCE ∠=︒，【点拨】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．A7．【答案】(1)()2,0,y=【分析】（1）令0（2）由题意可得抛物线的对称轴为假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况：①如图1：当点M 在点N 的上方，即∴2683m m -+=，解得：m =∵4m >∴5m =；②如图2：当点M 在点N 的上方，即∴2681m m -+=，解得：m =∵4m >∴32m =±；综上，32PM m =-=或2．∴当M 不经过点()3,2时，1【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P．．由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，=．∴PQ CH∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点．33⎝∴90,PEC CED ∠=∠=︒。
专题15二次函数及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。
2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。
3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。
【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。
2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数(含解析)
2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数一、单选题1．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-2．若抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜1C ．m ＞﹣1D ．m ＞13．已知下列命题：①抛物线y ＝3x 2+5x ﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题4．当﹣7≤x≤a 时，二次函数y ＝﹣ 12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a ＝ . 5．若函数y=a （x ﹣h ）2+k 的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x 2﹣2x+3相同，则此函数关系式 ．6．函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而 （填写“增大”或“减小”）．三、综合题7．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．8．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽 24m ，最高点离水面 8m ，以水平线 AB 为x 轴， AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高 4m ，最宽处为 18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．9．已知二次函数 223y x bx b =+- ．（1）当该二次函数的图象经过点 ()10A ， 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ，点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值；（3）若对满足 1x ≥ 的任意实数x ，都使得 0y ≥ 成立，求实数b 的取值范围．10．已知：如图，二次函数 2y ax bx c =++ 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为 ()1,0- ，点 ()C 0,5 ，另抛物线经过点 ()1,8 ，M 为它的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面积 MCB S .11．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同.（2）从第一次降价的第1天算起，第 x 天（ x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示；已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第 x 天的利润为 y 元，求 y 与(115)x x ≤< 之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？12．如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．13．已知二次函数y=﹣（a+b ）x 2﹣2cx+a ﹣b ，a ，b ，c 是△ABC 的三边．（1）当抛物线与x 轴只有一个交点时，判断△ABC 的形状并说明理由；（2）当x=﹣ 12 时，该函数有最大值 2a ，判断△ABC 的形状并说明理由． 14．某水产养殖户进行小龙虾养殖. 已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 ()y kg 与时间第 t 天之间的函数关系式为 2100y t =+ （ 180t ≤≤ ， t 为整数），销售单价 p （元/ kg ）与时间第 t 天之间满足一次函数关系如下表：（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？15．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD ，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB 的长为x 米，矩形绿化带的面积为S 平方米.（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD 面积S 的最大值.16．已知 y 关于 x 的二次函数 ()220.y ax bx a =--≠（1）当 24a b ==， 时，求该函数图象的顶点坐标.（2）在（1）条件下， ()P m t ， 为该函数图象上的一点，若 p 关于原点的对称点 p ' 也落在该函数图象上，求 m 的值（3）当函数的图象经过点（1，0）时，若 1211322A y B y a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 是该函数图象上的两点，试比较 1y 与 2y 的大小.17．抛物线 245y x x =-++ 与 x 轴交于点 A ， B 两点（ A 在 B 的左侧），直线 334y x =-+ 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D ．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF x ⊥ 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E ．． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）设点 P 的横坐标为 m ，若 5PE EF = ，求 m 的值；18．已知m,n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH△x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．19．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h) 2-4(a≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC .求点P 的坐标；（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD△x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值.20．如图，已知抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为 ．21．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线 -2y x = 交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN△x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，函数221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点()1,2 时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x ≤ 时，若函数 221y x ax =-- （a 为常数）的图象的最低点到直线 2y a = 的距离为2，求a 的值．（4）设0a < ， Rt EFG 三个顶点的坐标分别为 ()1,1E -- 、 ()1,1F a -- 、 ()0,1G a - ．当函数 221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与 EFG 的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 P ' （ P ' 与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 A ' ．若 2AA PP '=' ，直接写出a 的值．23．已知，抛物线y ＝mx 2＋ 94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1△x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP △AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中， 12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值． （3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5△6时，求AE ＋23CE 的最小值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 223y x x =+- 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ．对称轴为直线 l ，点 ()4,D n - 在抛物线上．（1）求直线 CD 的解析式；（2）E 为直线 CD 下方抛物线上的一点，连接 EC 、 ED ．当 ECD ∆ 的面积最大时，在直线 l 上取一点 M ，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N ，连接 EM 、 BN ．若 EM BN = 时，求 EM MN BN ++ 的值；（3）将抛物线 223y x x =+- 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线 y ' ， y ' 经过原点 O ． y ' 与 x 轴的另一个交点为 F ．设 P 是抛物线 y ' 上任意一点，点 Q 在直线 l 上， PFQ ∆ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点 P 的坐标．若不能，请说明理由．25．如图，已知抛物线 y ＝ 2ax bx c ++ 与 x 轴交于 A -（） ， B （） 两点，与 y 轴交于点 C 0,3（） ．（1）求抛物线的解析式及顶点 M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点 P ，使得 PAC 的周长最小，并求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O 、 C 重合）．过点 D 作 DE //PC 交 x 轴于点 E ．设 CD 的长为 m ，问当 m 取何值时， PDE ABMC 1S S 9 四边形 ．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，∴y=（x+4）2-16=x2+8x，故选：C．【分析】根据增加的面积=新的正方形的面积-原正方形的面积，可列出y与x之间的函数解析式.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac=4﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：B．【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；②相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；③任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；⑤圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；故答案为：B.【分析】根据抛物线与x轴的交点，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，三角形外心的性质，圆内接四边形的性质逐一判断即可. 4．【答案】-5【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴x=-3，∵x<-3时，y随x的增大而增大，∴当a<-3时，x=a时有最大值，∴y= ﹣12（a+3）2+5=3,解得a=-5，当a>-3时，x=-3时有最大值5，不符合题意，故答案为：-5.【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（-3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．5．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8【解析】【解答】解：∵函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k=0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k=8，又∵形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，∴二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得h=±2，∴函数解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8，故答案为：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8．【分析】根据函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得到ah2+k=0，由最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，得到顶点的纵坐标k=8，由形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，得到二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得到h=±2，得到函数解析式.6．【答案】-1；增大【解析】【解答】解：把y=0代入y=x2+2x+1，得x2+2x+1=0，解得x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；故答案为﹣1，增大．【分析】将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．7．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=()() 221802000150120120005090x xx x⎧-++≤≤⎪⎨-+≤≤⎪⎩（2）解：当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案． 8．【答案】（1）解：∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为 ()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得 ()()8012012a =+- ，解得 118a =- ∴抛物线解析式为 21818y x =-+ ； （2）解：当x=9时，得 2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-，再将点C 代入计算即可；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可。
人教版中考数学一轮复习--二次函数的应用(精品课件)
∵A(1，0)，即二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴x＝－2×b－14＝1，∴b＝12，
∴二次函数的解析式为 y＝－14x2＋12x＋3.
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值.
解：过点D作x轴的垂线，垂足为E.
∵∠CAD＝90°，∴∠BAO＋∠DAE＝90°.
解：当m＝－2时，直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)， ∴直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)与直线l1：y＝－2x＋10不重合， 假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP，yP)， ∴ yyPP＝ ＝－ －22xxPP＋ ＋n10，，解得n＝10. ∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1.
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250 m2； 当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为 50a－12a2 m2.
考点3 销售问题 例4 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过
程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间存在 一次函数关系(其中10≤x≤21，且x为整数).当每瓶消毒 液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售 价为15元时，每天销售量为75瓶. (1)求y与x之间的函数关系式；
∴直线MN的解析式为y＝－x＋4，
由－x2＋2x＋3＝－x＋4 得，x＝3±2 5，
∴M 点横坐标为3＋2
5或3－2
5 .
例2 【2020福建节选14分】已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴 于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交 x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任 意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
2020年中考数学一轮专项复习15 二次函数的实际应用(含答案)
2020年中考数学一轮复习——二次函数的实际应用一、选择题1.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( )A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m2.如图，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用20米长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是平方米.( )A.40B.50C.60D.以上都不对3.某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为( )A.1月和11月B.1月、11月和12月;C.1月D.1月至11月4.(2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s . 其中正确的是( )A .①④B .①②C .②③④D .②③ 二、填空题5.飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t(单位：s )的函数解析式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是 m .6.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，水面宽度增加 m .7.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大.8.(温州一模)为了节省材料，某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边，用总长为80 m 的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD 的面积最大值是 m 2.三、解答题9.(2019·黔东南州)某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：x(元) 15 20 30 …y(袋) 25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？10.(2019·通辽)当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元.根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围.(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值.参考答案一、选择题1.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( D )A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m2.如图，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用20米长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是平方米.( B )A.40B.50C.60D.以上都不对3.某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为( B )A.1月和11月B.1月、11月和12月C.1月D.1月至11月4.(2019·临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球运动时间t(单位：s )之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m ； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s . 其中正确的是( D )A .①④B .①②C .②③④D .②③ 二、填空题5.飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t(单位：s )的函数解析式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是 24 m .6.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，水面宽度增加 (42－4) m .7.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大.8.(温州一模)为了节省材料，某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边，用总长为80 m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2.三、解答题9.(2019·黔东南州)某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：x(元) 15 20 30 …y(袋) 25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式为y ＝k x ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧25＝15k ＋b ，20＝20k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40， 故日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式为：y ＝－x ＋40；(2)依题意，设利润为w 元，得w ＝(x －10)(－x ＋40)＝－x 2＋50x －400，整理得w ＝－(x －25)2＋225，∵－1＜0，∴当x ＝25时，w 取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.10.(2019·通辽)当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元.根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式及自变量的取值范围.(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a (0＜a ≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值.解：(1)根据题意得，y ＝250－10(x －25)＝－10x ＋500(30≤x ≤38)； (2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元.w ＝(x －20－a )(－10x ＋500)＝－10x 2＋(10a ＋700)x －500a －10000(30≤x ≤38)，对称轴为x＝35＋12a，且0＜a≤6，则30＜35＋12a≤38，则当x＝35＋12a时，w取得最大值，∴(35＋12a－20－a)[－10(35＋12a)＋500]＝1960∴a1＝2，a2＝58(不合题意，舍去)，∴a＝2.。
2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：二次函数(含解析)
2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：8二次函数一．选择题（共14小题）1．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4 2．（2022•宁波）点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞2B ．m ＞32C ．m ＜1D ．32＜m ＜2 3．（2022•湖州）将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝x 2+3B ．y ＝x 2﹣3C ．y ＝（x +3）2D ．y ＝（x ﹣3）24．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2与y 轴正半轴的交点为C ，一1＜x 1＜0，x 2＝2，则下列结论正确的是（ ）A ．b 2﹣4ac ＜0．B ．9a +3b +c ＞0C ．abc ＞0D ．a +b ＞05．（2022•景宁县模拟）关于二次函数y ＝﹣3（x ﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值56．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝2，则下列说法中正确的有（ ） ①abc ＜0；②4ac−b 24a ＞0；③16a +4b +c ＞0；④5a +c ＞0；⑤方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x ＜﹣1．A．1个B．3个C．4个D．5个7．（2022•温州校级模拟）已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1B．0≤m≤2C．1≤m≤2D．1≤m≤3 8．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（）A．若x1+x2＞1，则y1＞y2B．若x1+x2＜1，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2 9．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④10．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5 11．（2022•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C ．D ．12．（2022•金华模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，与x 轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（其中m ≠1）．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个13．（2022•温州）已知点A （a ，2），B （b ，2），C （c ，7）都在抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣2上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（ ）A ．若c ＜0，则a ＜c ＜bB ．若c ＜0，则a ＜b ＜cC ．若c ＞0，则a ＜c ＜bD ．若c ＞0，则a ＜b ＜c14．（2022•下城区校级二模）关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax +b +1（a •b ≠0）与x 轴只有一个交点（k ，0），下列正确的是（ ）A ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＞k bB ．若k a ＞k b ，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＜k bD ．若k a ＜k b ，则0＜a ＜1 二．填空题（共6小题）15．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A （2，4）在抛物线y ＝a （x ﹣4）2上，过点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点B ，点C ，D 在线段AB 上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD 的长为．16．（2022•西湖区校级二模）已知y＝﹣x2+6x+12（﹣7≤x≤5），则函数y的取值范围是．17．（2022•宁波模拟）如图，点P在x轴的负半轴上，⊙P交x轴于点A和点B（点A在点B的左边），交y轴于点C，抛物线y＝a（x+1）2+2√2−a经过A，B，C三点，CP的延长线交⊙P于点D，点N是⊙P上动点，则⊙P的半径为；3NO+ND的最小值为．18．（2022•富阳区一模）已知二次函数y＝（a2+1）x2﹣2022ax+1的图象经过（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），则y1+y32y2（选择“＞”“＜”“＝”填空）．19．（2022•东阳市模拟）抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是．20．（2022•兰溪市模拟）已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣x﹣2a，若这两个抛物线与x 轴共有3个交点，则a的值为．三．解答题（共13小题）21．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？22．（2022•吴兴区校级二模）某公司电商平台在之前举行的商品打折促销活动中不断积累经验，经调查发现，某种进价为a元的商品周销售量y（件）关于售价x（元/件）的函数关系式是y＝﹣3x+300（40≤x≤100），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的一组对应值数据．【周销售利润＝（售价﹣进价）×周销售量】x y W401803600（1）求该商品进价a；（2）该平台在获得的周销售利润额W（元）取得最大值时，决定售出的该商品每件捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求m的最大值．23．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点A与点C．（1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，向上平移n（n＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B与点C，求m，n的值．24．（2022•婺城区模拟）4月16日，婪城区开展全域大规模核酸检测筛查．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟，y是x的二次函数，在90～110分钟，y是x的一次函数．（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式．（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？0）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？时间x（分）0153045759095100110人数y（个）60115160195238240180120025．（2022•吴兴区校级二模）如图1，抛物线y=12x2+bx+c(c＜0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于另一点D，直线BC与AD相交于点M．（1）已知点C的坐标是（0，﹣4），点B的坐标是（4，0），求此抛物线的解析式；（2）若b=12c+1，求证：AD⊥BC；（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x轴交于点G，点P是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P的横坐标为t，点Q是直线BC上一点，是否存在这样的点P，使得△PGQ是以点G为直角顶点的直角三角形，且满足∠GQP＝∠OCA，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．26．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．27．（2022•丽水模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上不同的两点．①若y1＝y2，求x1，x2之间的数量关系．②若x1+x2＝2（x1﹣x2），求y1﹣y2的最小值．28．（2022•义乌市模拟）如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求．（1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD 之间的水平距离）．（2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．29．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D 点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a=19时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24）30．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．31．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．32．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．33．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m 的代数式表示n，并求出n的最大值．2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：8二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4 【解答】解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，故选：D ．2．（2022•宁波）点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞2B ．m ＞32C ．m ＜1D ．32＜m ＜2 【解答】解：∵点A （m ﹣1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y ＝（x ﹣1）2+n 的图象上， ∴y 1＝（m ﹣1﹣1）2+n ＝（m ﹣2）2+n ，y 2＝（m ﹣1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m ﹣2）2+n ＜（m ﹣1）2+n ，∴（m ﹣2）2﹣（m ﹣1）2＜0，即﹣2m +3＜0，∴m ＞32，故选：B．3．（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y＝x2+3．故选：A．4．（2022•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标为x1，x2与y轴正半轴的交点为C，一1＜x1＜0，x2＝2，则下列结论正确的是（）A．b2﹣4ac＜0．B．9a+3b+c＞0C．abc＞0D．a+b＞0【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故A错误，不符合题意；由图象可知当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故B错误，不符合题意；∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线与x轴的交点是（x1，0）和（2，0），其中﹣1＜x1＜0，∴对称轴x=−b2a＞0，∴b＞0．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故C错误，不符合题意；∵﹣1＜x1＜0，x2＝2，∴1＜x1+x2＜2，∴12＜x 1+x 22＜1， ∴−b 2a ＞12，∴b ＞﹣a ，即a +b ＞0，故D 正确，符合题意．故选：D ．5．（2022•景宁县模拟）关于二次函数y ＝﹣3（x ﹣2）2+5的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值5【解答】解：∵y ＝﹣3（x ﹣2）2+5，∴抛物线开口向下，x ＝2时，y 有最大值为y ＝5，故选：C ．6．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝2，则下列说法中正确的有（ ） ①abc ＜0；②4ac−b 24a ＞0；③16a +4b +c ＞0；④5a +c ＞0；⑤方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x ＜﹣1．A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0，又−b 2a=2，所以b ＝﹣4a ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴b 2﹣4ac ＞0，∵a ＜0，∴4ac−b 24a ＞0，故②正确；∵16a +4b +c ＝16a ﹣16a +c ＝c ＞0，∴16a +4b +c ＞0，故③正确；当x ＝5时，y ＝25a +5b +c ＜0，∴25a ﹣20a +c ＜0，∴5a +c ＜0，故④错误；∵抛物线对称轴为直线x ＝2，其中一个交点的横坐标在4＜x ＜5，∴方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）其中一个解的取值范围为﹣1＜x ＜0，故⑤错误．故选：B ．7．（2022•温州校级模拟）已知函数y ＝x 2﹣2x +3，当0≤x ≤m 时，有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．0≤m ≤2C ．1≤m ≤2D ．1≤m ≤3【解答】解：如图所示，∵二次函数y ＝x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，当y ＝3时，x ＝0或2，∵当0≤x ≤m 时，y 最大值为3，最小值为2，∴1≤m ≤2．故选：C ．8．（2022•萧山区校级二模）已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B （x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（）A．若x1+x2＞1，则y1＞y2B．若x1+x2＜1，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2【解答】解：∵y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，∴抛物线对称轴为直线x=−m+1+m2=12，开口向下，当x1+x2＝1时，点A（x1，y1），B（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，即y1＝y2，∴当x1+x2＞1时，点A到抛物线对称轴的距离小于点B到抛物线对称轴的距离，∴y1＞y2，故选：A．9．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1，则−a2=1，解得a＝﹣2，∵函数的图象经过点（3，0），∴3a+b+9＝0，解得b＝﹣3，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；故命题②③④都是正确，①错误，故选：A．10．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴−m2×1=2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故选：D．11．（2022•新昌县校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，A选项不符合题意；B选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线开口向下，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，B选项符合题意；C选项，根据一次函数的位置可知，a＞0，抛物线应该开口向上，一次函数y＝0时，x＜0，即−ba＜0，抛物线的对称轴−b2a＜0，C选项不符合题意；D选项，根据一次函数的位置可知，a＜0，抛物线应该开口向下，一次函数y＝0时，x＞0，即−ba＞0，抛物线的对称轴−b2a＞0，D选项不符合题意；故选：B．12．（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴右侧，函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确，符合题意；②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；③∵函数图象的对称轴为x＝1，∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，∵x＝0时，y＞0，∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；④∵函数图象的对称轴为x＝1，∴−b2a=1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＝0，∴﹣2a+2b﹣2c＝0，∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＝0，故④错误，不符合题意；⑤∵函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＝1时，函数值取得最大值，∴a+b+c＞m（am+b）+c，∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意，∴正确的结论有3个，故选：A．13．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜cC．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；故选：D．14．（2022•下城区校级二模）关于x的二次函数y＝ax2+2ax+b+1（a•b≠0）与x轴只有一个交点（k ，0），下列正确的是（ ）A ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＞k bB ．若k a ＞k b ，则0＜a ＜1C ．若﹣1＜a ＜1，则k a ＜k bD ．若k a ＜k b ，则0＜a ＜1 【解答】解：∵关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax +b +1（a •b ≠0）与x 轴只有一个交点（k ，0），令y ＝0，∴ax 2+2ax +b +1＝0，∴（2a ）2﹣4a （b +1）＝0，∴4a 2﹣4ab ﹣4a ＝0，4a （a ﹣b ﹣1）＝0，∵关于x 的二次函数，∴a ≠0，∴a ﹣b ﹣1＝0，∴a ＝b +1，∴（b +1）x 2+2（b +1）x +b +1＝0，∵因为方程有两个相等的实数根，∴x +x =−2(b+1)b+1=−2， 解得x 1＝x 2＝﹣1，∴k ＝﹣1，k a −k b =−1a −1a−1=1a(a−1)，A 、当﹣1＜a ＜0时，a ﹣1＜0，a （a ﹣1）＞0，∴k a−k b ＞0， ∴k a ＞k b ，当0＜a ＜1，a ﹣1＜0，a （a ﹣1）＜0，k a −k b ＜0， ∴k a＜k b ， ∴无法确定大小，∴A、C错误；当0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，k a ＜kb，∴B、错误；D、正确；故选：D．二．填空题（共6小题）15．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x ﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD 的长为3或4．【解答】解：把A（2，4）代入y＝a（x﹣4）2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝（x﹣4）2，设点C横坐标为m，则CD＝CF＝8﹣m，∴点F坐标为（m，m﹣4），∴（m﹣4）2＝m﹣4，解得m＝5或m＝4．∴CD＝3或4．故答案为：3或4．16．（2022•西湖区校级二模）已知y＝﹣x2+6x+12（﹣7≤x≤5），则函数y的取值范围是﹣79≤y≤21．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x+12＝﹣（x﹣3）2+21，∴x＞3时，y随x的增大而减小，x＜3时，y随x的增大而增大，∵﹣7≤x≤5，∴当x ＝3时，取得最大值为21， 当x ＝﹣7时，取得最小值为﹣79，∴当﹣7≤x ≤5时，函数y 的取值范围为﹣79≤y ≤21． 故答案为：﹣79≤y ≤21．17．（2022•宁波模拟）如图，点P 在x 轴的负半轴上，⊙P 交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，抛物线y ＝a （x +1）2+2√2−a 经过A ，B ，C 三点，CP 的延长线交⊙P 于点D ，点N 是⊙P 上动点，则⊙P 的半径为 3 ；3NO +ND 的最小值为 6√3 ．【解答】解：如图1，连接AC ，BC ， ∵AB 为⊙P 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵OC ⊥AB ，∴可得：△AOC ∽△COB ， ∴OA OC=OC OB，∴OC 2＝OA •OB ，∵y ＝a （x +1）2+2√2−a ＝ax 2+2ax +2√2， ∴当x ＝0时，y ＝2√2， ∴OC ＝2√2，当y ＝0时，ax 2+2ax +2√2=0，∴x 1•x 2=2√2a， ∴OA •OB =−2√2a ， ∴−2√2a =（2√2）2， ∴a =√24， ∴−√24x 2−√22x +2√2=0，∴x 1＝﹣4，x 2＝2， ∴AB ＝6， ∴⊙P 的半径为3， 如图2，在PB 的延长线上截取PM ＝9，作DQ ⊥AB 于Q ， ∵PB ＝3，OB ＝2， ∴OP ＝1， ∴PN OP=PM PN=3，∵∠OPN ＝∠MPN ， ∴△OPN ∽△NPM ， ∴MN ON=OP PN=3，∴MN ＝3ON ， ∴DN +3ON ＝DN +MN ，∴当D 、N 、M 共线时，DN +3ON 最小， ∵PQ ＝OP ＝1， ∴MQ ＝PM +PQ ＝10，在Rt △MQD 中，DQ ＝OC ＝2√2，∴DM=√DQ2+MQ2=√(2√2)2+102=6√3，故答案为：3，6√3．18．（2022•富阳区一模）已知二次函数y＝（a2+1）x2﹣2022ax+1的图象经过（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），则y1+y3＞2y2（选择“＞”“＜”“＝”填空）．【解答】解：y1+y3﹣2y2＝（a2+1）m2﹣2022am+1+（a2+1）（m+2）2﹣2022a（m+2）+1﹣2[（a2+1）（m+1）2﹣2022a×（m+1）+1]整理得：y1+y3﹣2y2＝2a2+2＝2（a2+1）＞0，故答案为：＞．19．（2022•东阳市模拟）抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣6）．【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝2x2﹣8向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣8+2，即y＝2（x ﹣1）2﹣6．所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣6）．故答案是：（1，﹣6）．20．（2022•兰溪市模拟）已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣x﹣2a，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为−18或1或3．【解答】解：令y1＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线y1＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），∵两个抛物线与x轴共有3个交点，∴抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点或与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点，令y2＝0，则x2﹣x﹣2a＝0，①当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点时，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2a）＝1+8a＝0，解得：a=−1 8；②当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点时，当（﹣1，0）是两条抛物线的公共点时，1+1﹣2a＝0，解得：a＝1；当（3，0）是两条抛物线的公共点时，9﹣3﹣2a＝0，解得：a＝3．故答案为：−18或1或3．三．解答题（共13小题）21．（2022•椒江区校级二模）自从某校开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；（3）问如何将课堂时间分配给精讲和当堂检测，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？【解答】解：（1）设y＝kx，把（1，2）代入，得：k＝2，∴y＝2x，（0≤x≤40）；（2）当0≤x≤8时，设y＝a（x﹣8）2+64，把（0，0）代入，得：64a+64＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣8）2+64＝﹣x2+16x，当8＜x≤15时，y＝64；（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤x≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40﹣x）分钟，当0≤x≤8时，W＝﹣x2+16x+2（40﹣x）＝﹣x2+14x+80＝﹣（x﹣7）2+129，当x＝7时，W max＝129；当8≤x≤15时，W＝64+2（40﹣x）＝﹣2x+144，∵W随x的增大而减小，∴当x＝8时，Wmax＝128，综上，当x＝7时，W取得最大值129，此时40﹣x＝33，答：此“高效课堂”模式分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟的学习收益总量最大．22．（2022•吴兴区校级二模）某公司电商平台在之前举行的商品打折促销活动中不断积累经验，经调查发现，某种进价为a元的商品周销售量y（件）关于售价x（元/件）的函数关系式是y＝﹣3x+300（40≤x≤100），如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的一组对应值数据．【周销售利润＝（售价﹣进价）×周销售量】x y W401803600（1）求该商品进价a；（2）该平台在获得的周销售利润额W（元）取得最大值时，决定售出的该商品每件捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求m的最大值．【解答】解：（1）由题意得，（40﹣a）×180＝3600，解得a＝20，即该商品进价为20元；（2）∵利润＝（售价﹣进价）×数量，∴W＝（x﹣20）（﹣3x+300）＝﹣3（x﹣60）2+4800，当x＝60元时，W取得最大值为4800元，售出的该商品每件捐出m 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，由题意得，60−20−m20×100%≥20%，解得m ≤36，即m 的最大值为36元．23．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC ，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A 与点C ． （1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m （m ＞0）个单位，向上平移n （n ＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B 与点C ，求m ，n 的值．【解答】解：（1）由题意，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（2，2）、（0，2）， 将（2，0）、（0，2）代入y ＝x 2+bx +c 中，得{c =24+2b +c =0，解得{b =−3c =2，∴二次函数的表达式为y ＝x 2﹣3x +2， 该抛物线的对称轴为直线x =−−32=32； （2）y =x 2−3x +2=(x −32)2−14，则平移后的抛物线的表达式为y =(x +m −32)2−14+n ， ∵平移后的抛物线恰好经过点B 与点C ，BC ∥x 轴， ∴平移后的对称轴为直线x ＝1，则m =32−1=12， ∴y =(x −1)2−14+n ，将（0，2）代入，得12−14+n =2，解得：n =54．24．（2022•婺城区模拟）4月16日，婪城区开展全域大规模核酸检测筛查．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟，y是x的二次函数，在90～110分钟，y是x的一次函数．（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式．（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？0）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？时间x（分）0153045759095100110人数y（个）601151601952382401801200【解答】解：（1）设二次函数解析式为：y＝a（x﹣90）2+240，将A（0，60）代入得a=−1 45，∴曲线AB部分的函数解析式为：y=−145x2+4x+60；（2）设BC的解析式为：y＝kx+b，将B（90，240），C（110，0）代入，解得：k＝﹣12，b＝1320，∴BC的解析式为：y＝﹣12x+1320，将y＝220代入y=−145x2+4x+60中，解得：x＝60或x＝120（舍去），将y＝220代入y＝﹣12x+1320中，解得：x =2753， ∵2753−60=953， ∴满负荷状态的时间为953分；（3）设至少需要新增m 个窗口，1个窗口1分钟采样的人数为：240÷20÷6＝2， 10：15分时的排队人数为： 将x ＝75代入y =−145x 2+4x +60中， 解得：y ＝235，9：45分至10：15分之间采样的人数为： 2×30×6＝360， 235+360＝595，∴10点15分后，采样可以随到随采表示595人需要在30分钟内采样完毕， ∴2×（m +6）×30≥595， 解得：m ≥4712， ∵m 为整数， ∴m ＝4，∴至少需新增4个采样窗口．25．（2022•吴兴区校级二模）如图1，抛物线y =12x 2+bx +c(c ＜0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，与抛物线交于另一点D ，直线BC 与AD 相交于点M ．（1）已知点C 的坐标是（0，﹣4），点B 的坐标是（4，0），求此抛物线的解析式； （2）若b =12c +1，求证：AD ⊥BC ；（3）如图2，设第（1）题中抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，点P 是抛物线上在对称轴右侧部分的一点，点P 的横坐标为t ，点Q 是直线BC 上一点，是否存在这样的点P ，使得△PGQ 是以点G 为直角顶点的直角三角形，且满足∠GQP ＝∠OCA ，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：由题意得：{c =−412×16+4b +c =0，解得：{b =−1c =−4，故抛物线的表达式为：y =12x 2﹣x ﹣4；（2）证明：若b =12c +1，则抛物线的表达式为：y =12x 2+（12c +1）x +c ，令y =12x 2+（12c +1）x +c ＝0，解得：x ＝﹣2或﹣c ，即点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）、（﹣c ，0）， ∵点C （0，c ），则点D （﹣c ﹣2，c ），由OC ＝BO ＝﹣c 知，直线BC 和x 轴负半轴的夹角为45°， 设直线AD 的表达式为：y ＝k （x +2）， 将点D 的坐标代入上式得：c ＝k （﹣c ﹣2+2）， 解得：k ＝﹣1，即直线AD 和x 轴正半轴的夹角为45°， ∴AD ⊥BC ；（3）解：存在，理由：在Rt △AOC 中，tan ∠ACO =OACO =24=12=tan ∠GPQ ， 由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣4， 设点P （t ，12t 2﹣t ﹣4），点Q （s ，s ﹣4），当点Q 在点P 的下方时，如下图，过点Q 、P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵∠MGQ +∠NGP ＝90°，∠NGP +∠PGN ＝90°， ∴∠MGQ ＝∠PGN ， ∵∠QMG ＝∠GNP ＝90°， ∴△QMG ∽△GNP ， ∴QMGN =GMPN =GQGP =tan∠GPQ =12，即|s−4||t−1|=|1−s||12t 2−t−4|=12，解得：t ＝2+√22（不合题意的值已舍去）； 当点Q 在点P 的上方时，如下图，同理可得：MQ GN=GMPN =2， 即|s−1||12t 2−t−4|=|s−4||t−1|=2，解得：t ＝2+√13或√13（不合题意的值已舍去）； 综上，t ＝2+√22或2+√13或√13．26．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．【解答】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，由题意，得：1000 x+30=400x，解得：x＝20，经检验：x＝20是原方程的解；当x＝20时：x+30＝20+30＝50；∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）①设利润为w，由表格，得：当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，∵k＝100＞0，∴w随着x的增大而增大，。
2023年中考数学一轮复习课件：二次函数的实际应用
一、抛物线型问题
例1 教材原题 华师九下P30第1题如图，一个运动员推铅球，铅球在 点A处出手，出手时铅球离地面的高度约为1.6 m，铅球在点B处落地． 铅球在运动员前4 m处(即OC＝4)达到最高点，最高点离地面的高度为 3.2 m．已知铅球经过的路线是抛物线，试利用图示的平面直角坐标系 算出这个运动员的成绩．
线的解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，把点B(4，0)，D(－3
，4)代入，
16a c 0 9a c 4
,
得
解得
a c
4 7
64 7
,
4
64
7
7
∴该抛物64线的解析式6为4 y＝－ x2＋ ，∴C(0，
7
7
).∴OC＝ m≈9.1 m.答：这个门洞的高度约为9.1 m.
第2题解图
提分要点
＝－120，∴B(－120，－90)，将
点B的坐标代入y＝ax2，得(－120)2a＝－90，
第1题图
1502 902
第1题解图
解得a＝－ 1 ，∴该抛物线的表达式为y＝－
160 1 160
x2(－120≤x≤0)；
第1题解图
(3)若该运动员在空中共飞行了4 s，求他飞行2 s后，垂直下降了多少m?
变式题 1. 将文字型改为图象型，列关系式求最值 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本 为10万元/件．(1)如图，设第x(0＜x≤20)个生产周期设备售价z万元/件， z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式
(写出x的范围)； 解：(1)由题图可知，当0＜x≤12时，z＝16，当12＜ x≤20时，z是关于x的一次函数，
2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)
2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用（抛物线型问题）一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是21.560s t t =-+．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（ ）mA ．300B ．400C ．500D ．6002．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数2142y x x =-刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．下列结论错误的是（ ）A ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势B ．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球拋出高度达到8m 时，小球距O 点水平距离为4m3．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为()2116399y x =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即OA 的长度）是（ ）A ．8mB ．7mC ．6mD ．5m4．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O 点竖直安装一根水管，在水管的顶端A 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O 点的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心O 点3m ，则水管OA 的高是（ ）A．2m B．2.25m C．2.5m D．2.8m5．学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径12cmGH=，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）A．122cm B．123cm C．62cm D．6cm6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的函数解析式为2305h t t=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s7．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为（）A．307B．387C．487D．5078．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱MN的长度为（）A．6米B．5米C．4.5米D．4米二、填空题9．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB长10米，一位身高1.8米的同学站在门下离门角B点1米的D 处，其头顶刚好顶在抛物线形门上C处．则该大门的最高处离地面高h为米．10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度减少m．11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是()2h t t t=-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出秒时，两个30506小球在空中相撞．12．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是()2=-≤≤，小球运动到s时，达到最大高度．h t t t3020613．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系2=-+，小520h t t球飞行过程中能达到的最大高度为m．14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为m．15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为m．16．某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足2=-+，则足球从离地到落地的560h x x水平距离为米．三、解答题AA的17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面1距离为8m.(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m ，宽为4m ，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？18．掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m ，当到起点的水平距离为4m 时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m 时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：3 1.73≈）．19．南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目，历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地．其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状，喷水头P 距水面7.5m ，水柱喷射水平距离为5m 时，达到最大高度，此时距水面10m ，水柱落在水面A 点处．将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，水柱喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是21()y a x h k =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)现调整P 的出水角度，其喷出的水柱高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是220.1 1.2y x x m =-++，落点恰好在A 点右边的B 点处，求AB 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：11110.54=）20．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA 的底部点O 处，石块从投石机竖直方向上的点C 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是()50,25，5OC =．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A 建有垂直于水平线OD 的城墙AB ，且75OD =，12AD =，9AB =，点D ，A ，B 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB ．参考答案：1．D2．B3．B4．B。
二次函数的最值问题-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第三单元 函数及其图象专题3.5 二次函数的最值问题知识点利用二次函数的区间最值求值01利用二次函数求代数式的最值02利用二次函数求面积的最值03拓展训练04【例1】已知二次函数y=-(x-h)2.(1)若当x＜3时,y随x的增大而增大,当x＞3时,y随x的增大而减少,则h=___.(2)若当x＜3时,y随x的增大而增大,则h的取值范围为______.(3)当自变量x的取值满足2≤x≤5时,函数值y的最大值为-1,则h=______.3h≥31或6a＞0(开口向上)a＜0(开口向下)a≤x≤b＜h,y随x增大而减小,当x=a时,y有最大值,y max =m；当x=b时,y有最小值,y min =na≤x≤b＜h,y随x增大而增大,当x=a时,y有最小值,y min =m；当x=b时,y有最大值,y max =ny O xm n a bh k (h,k)yOx(h,k)hb a knma ＞0(开口向上)a ＜0(开口向下)h＜a≤x≤b,y随x增大而增大,当x=a时,y有最小值,y min =m；当x=b时,y有最大值,y max =nh ＜a ≤x ≤b ,y 随x 增大而减小,当x =a 时,y 有最大值,y max =m ；当x =b 时,y 有最小值,y min =ny O xh k(h,k)b a n m yO x(h,k)h k nm baa ＞0(开口向上)a ＜0(开口向下)a≤x≤b,a＜h＜b,|a-h|＜|b-h|当x=h时,y有最小值,y min =k；当x=b时,y有最大值,y max =n(a＞0,离对称轴越远的点,位置越高)a≤x≤b,a＜h＜b,|a-h|＞|b-h|当x=h时,y有最大值,y max =k；当x=a时,y有最小值,y min =m(a＜0,离对称轴越远的点,位置越低)y Oxhk (h,k)b a n m yO x(h,k)hk n bam1.已知二次函数y=(x-h)2+1,在1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或32.已知二次函数y=x 2-2x-3,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0,03.已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3,当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a=____.4.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两个点),顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是__________.B知识点一强化训练利用二次函数的区间最值求值A 1xy-2-11143232知识点利用二次函数的区间最值求值01利用二次函数求代数式的最值02利用二次函数求面积的最值03拓展训练04【例【例22】】点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x 2+ax+4的图象上,则m-n的最大值等于( ) A.15/4 B.4 C.-15/4 D.-17/4C∵y轴为对称轴把P(m,n)代入y=x 2+ax+4得：n=m 2+4∴m-n=m-(m 2+4)=-(m-1/2)2-15/4∴a=0∴m-n的最大值为-15/4a＞0(开口向上)a＜0(开口向下)设M(x,kx+d).∵MN∥y轴，N在抛物线上，∴N(x,ax2+bx+c).当xA ＜x＜xB,MN=(kx+d)-(ax2+bx+c)设M(x,kx+d).∵MN∥y轴,N在抛物线上,∴N(x,ax2+bx+c).当xA＜x＜xB,MN=(ax2+bx+c)-(kx+d).yO xxAMBAxBNy=ax2+bx+c y=kx+dyOxNxAMABxBy=ax2+bx+cy=kx+d1.若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a＞0)两根相差1,令t=12a-b2,则t的最大值为____.2.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)(m＜n)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是_____.1.解析：Δ=b2-4a∴b2=a2+4a∴t=12a-b2=12a-(a2+4a)∴t=-(a-4)2+16当a=4时,tmax =16167/42.解析：y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1∴对称轴为x=-2∵AB≤4,A(m,3),B(n,3)∴当m=-4,n=0时a最小把B(0,3)代入y=ax2+4ax+4a+1得a=1/2∴a2+a+1=(a+1/2)2+3/4=(1/2+1/2)2+3/4=7/43.如图直线y=x与抛物线y=x 2-2x-3交于点E、F,直线MN∥y轴,交直线y=x于点N,交抛物线于点M.(1)若点M为于点N的下方,求当MN 最长时,M的坐标；(2)若以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标。
初中数学一轮复习《二次函数专题--动点最值问题》
2 0 19
引例： 某种中性笔的进价为1元，在某时段若 以每支x元出售，可卖（5-x)支，应如何 定价才能使利润最大？ 解：设利润为y元.
知识点1：二次函数的解析式. 1.二次函数的图象交x轴于A、B点，交y轴于点D， 点B的坐标（5,0），顶点C的坐标为（3 , 4） 求二次函数的解析式________________
（1）若每件衬衫降低 x 元（x 取整数），商场平均 每天盈利 y 元， 试写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写 出自变量 x 的取值范围．
y =（（20+2x）（0≤x≤12）．
2．练习，巩固所学二次函数内容
（2）每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均） 盈利最多？
y =-2（x - 15）2 +1 250（0≤x≤12）． 当 x = 12 时，盈利最多，为 1 232 元．
知识点3：二次函数综合应用
知识点4：二次函数综合应用
知识点4：二次函数综合应用
3．小结
（1）我们是如何研究二次函数的动点最值问题？ （2）二次函数在动点最值问题应用中需要注意什么？
4．布置作业
学有余力：巩固所学二次函数内容
问题 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，
进价是每件 80 元，售价是每件 120 元，为了扩大销售， 增加盈利， 减少库存， 商场决定采取适当的降价措施， 经调查发现，如果每件衬衫降低 1 元， 商场平均每天可 多售出 2 件，但每件最低价不得低于 108 元．
2025届中考数学一轮复习：二次函数的最值问题课件
∴ 2 x 16 ． 5
探 究
∵w=(x-2)(900-200x)=-200(x-2)(x-4.5)，
拓
∴对称轴为直线 x 2 4.5 13 ． 24
展 ∵a 200 0，
生 长
∴当 2 x 16 时，w随着x的增大而减小.
x/ 元
O
2 16
5
x=
13 4
∴当
x
16
5 时，w取到最大值，最大值为312元.
景
们那解怎决么很改多进实设计才
问
能际使问窗题户呢的！透光面
题
积最大呢？
探
究
问 题
例 如图，小明家窗户的上部是由两个正方形组成的矩形，窗框
背 材料总长为6米，如何改进设计才能使窗户透光面积最大，最大面积
景 是多少平方米(保持窗户的样式不变)？
G
问
题 问题1 你要求的是什么？即目标是什么？
探
窗户透光面积的最大值.
3m
∴S=x(200-2x)=-2x2+200x
=-2(x-50)2+5000．
x 0，
由题意得200 2x 0，
200 2x 80．
∴ 60 x 100.
问
题 背
解：设矩形果园ABCD的面积为S平方米，AB为x米，
景 则BC为(200-2x)米．
S/ m2 5000 4800
∴S=x(200-2x)=-2x2+200x =-2(x-50)2+5000．
．
∴ 0 x 12 .
O
当
x
6
7 米时，且
x
6
米
7
7
在0 x 12的范围内，S的
2023年中考数学一轮复习考点过关：二次函数最值问题
2023年中考数学一轮复习考点过关 二次函数最值问题1. 已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2. 已知点A (2，－3)是二次函数2(21)2y x m x m =+--图象上的点．(1)求二次函数图象的顶点坐标：(2)当14x -≤≤时，求函数的最大值与最小值的差：(3)当3t x t +≤≤时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t 的值．3. 如图，某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃，花圃的一边靠墙（墙的最大可利用长度为10m ），现有篱笆长24m ．设花圃的宽AB 为x m ，面积为2m S ．(1)如果要围成面积为232m 的花圃，AB 长是多少米？(2)能围成面积比232m 更大的花园吗？如果能，请求出花圃的最大面积，并给出设计方案．如果不能，请说明理由．4. 金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该有机大米成本为每千克 14 元，销售价格不低于成本，且不超过 25 元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量 y （千克）是该天的售价x （元/千克）的一次函数，部分情况如表： 售价 x （元/千克） 14 16 18 …销售量 y （千克） 800700 600 …(1)求一天的销售量 y （千克）与售价 x （元/千克）之间的函数关系式并写出 x 的取值范围．(2)若某天销售这种大米获利 2400 元，那么这天该大米的售价为多少？(3)该有机大米售价定为多少时，当天获利 w 最大？最大利润为多少？5. 如图1，抛物线2134y x bx =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为()6,0，点D 为线段OB 上一点，点E 为抛物线上一动点．(1)求b 的值；(2)点D 坐标为（3，0），点E 在第一象限的抛物线上，设ECD 的面积为S ，求S 的最大值；(3)如图2，点D 坐标为（4，0），是否存在点E ，使12ABE ODC ∠=∠，若存在，请求出点E 坐标，若不存在，说明理由．6. 如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，()4,5C -两点，且与直线DC 交于另一点E ．(1)求抛物线的解析式：(2)P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q ，连接EQ ，AP ．试求EQ PQ AP ++的最小值；(3)N 为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E ，A 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1G ：2y x bx c =++的对称轴为2x =．(1)求b 的值；(2)若当14x <<时，抛物线1G 与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围；(3)将抛物线1G 向左平移()0m m >个单位长度得到抛物线2G ，抛物线2G 的顶点在直线21y x =-上，求抛物线2G 与y 轴交点的纵坐标的最小值．8. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax bx a a =++-≠的对称轴是直线1x =．（1）求抛物线24(0)y ax bx a a =++-≠的顶点坐标；（2）当23x -≤≤时，y 的最大值是5，求a 的值；（3）在（2）的条件下，当1t x t ≤≤+时，y 的最大值是m ，最小值是n ，且3m n -=，求t 的值．9. 党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点(),P m n 的坐标满足2n m =，则称点P 为“高质量发展点”．(1)若点(),4P m 是反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式； (2)若函数23y x p =+-（p 为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p 的取值范围；(3)若二次函数()212y ax b x =+-+（a ，b 是常数，1a >）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令()281w b a =---，当1t b t -≤≤时，w 有最大值t -，求t 的值．10. 已知y 关于x 的二次函数2224y x mx m =-++，点P 为抛物线顶点．(1)若抛物线与y 轴的交点坐标为点()0,2，求该二次函数的表达式；(2)当P 点的纵坐标取最大值时，m = ，此时P 点坐标为 ；(3)在（2）的条件下，当3n x n -≤≤，函数有最小值9，求n 的值．11. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点A ，点B ，（点A 在点B 的左侧），点D 是抛物线上一点．(1)若32c =，12,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，用含a 的式子表示b ； (2)若12a =，2c =-，()5,3D ，ABD △的外接圆为E ，求点E 的坐标和弧AB 的长； (3)在（1）的条件下，若2AB 有最小值，求此时的抛物线解折式12. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y ≤M ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y ＝﹣（x ﹣3）2＋2是有上界函数，其上确界是2(1)函数①y ＝x 2＋2x ＋1和②y ＝2x ﹣3（x ≤2）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；(2)如果函数y ＝﹣x ＋2（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过2a ＋1，求a 的取值范围；(3)如果函数y ＝x 2﹣2ax ＋2（1≤x ≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a 的值．13. 已知二次函数2(2)4y x m x m =+-+-，其中m>2．(1)当该函数的图像经过原点()0,0O ，求此时函数图像的顶点A 的坐标；(2)求证：二次函数2(2)4y x m x m =+-+-的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线2y x =--上运动，平移后所得函数的图像与y 轴的负半轴的交点为B ，求AOB 面积的最大值．14. 如图，抛物线2y ax 2x c =++．与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于(03)C ，，直线=1y x --经过点A 且与抛物线交于另一点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 是位于直线AD 上方的抛物线上的一个动点，连接PA ，PD ，求PAD 的面积的最大值；(3)在第（2）问的条件下，求点P 到直线AD 的最大值．15. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y 32x 233x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求直线BC 的解析式；（2）如图2，点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB 、PC ．当PBC 的面积最大时，在线段BC 上找一点E (不与B 、C 重合)，使PE +12BE 的值最小，求点P 的坐标和PE +12BE 的最小值；（3）如图3，点G 是线段CB 的中点，将抛物线y 32x 233x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y ′经过点D ，y '的顶点为F ．在抛物线y '的对称轴上，是否存在一点Q ，使得FGQ 为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1. 【答案】（1）抛物线解析式为y =﹣12x 2+2x +6；（2）当t =3时，P (3,152),△PAB 的面积有最大值；（3）点P （4，6）．【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM ，先求出直线AB 解析式为y =﹣x +6，设P （t ，﹣12t 2+2t +6），则N （t ，﹣t +6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN •AG +12PN •BM =12PN •OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH ⊥OB 知DH ∥AO ，据此由OA =OB =6得∠BDH =∠BAO =45°，结合∠DPE =90°知若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP =45°，从而得出点E 与点A 重合，求出y =6时x 的值即可得出答案．【详解】解：（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y =a （x ﹣6）（x +2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a =6，解得：a =﹣12，所以抛物线解析式为y =﹣12（x ﹣6）（x +2）=﹣12x 2+2x +6；（2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y =kx +b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y =﹣x +6，设P （t ，﹣12t 2+2t +6）其中0＜t ＜6，则N （t ，﹣t +6），∴PN =PM ﹣MN =﹣12t 2+2t +6﹣（﹣t +6）=﹣12t 2+2t +6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ，∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN •AG +12PN •BM =12PN •（AG +BM ） =12PN •OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6=﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t =3时，P (3,152),△PAB 的面积有最大值； （3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE =PD ，点P （m ，-12m 2+2m +6），函数的对称轴为：x =2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE =|2m -4|，即-12m 2+2m +6+m -6=|2m -4|，解得：m =4或-2或1717-2和17故点P 的坐标为：（4，6）或（1717）．2. 【答案】(1)(3，－4)(2)当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值的差为16(3)t ＝1或2【详解】（1）解：∵已知A (2，-3)是二次函数()2212y x m x m =+--图象上的点 ∴44223m m +--=- 解得52m =- ∴此二次函数的解析式为：2265(3)4y x x x =-+=--∴顶点坐标为（3，－4）；（2）∵顶点坐标为（3，－4），∴当x ＝3时，y 最小值＝－4，当x ＝－1时，y 最大值＝12∴当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而减小，当x ＝t 时，y 最大值＝t 2-6t +5当x ＝t +3时，y 最小值＝（t +3）2-6（t +3）+5＝t 2-4，t 2-6t +5-（t 2-4）=4﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9=4， 解得56t =（不合题意，舍去）， ②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴y 最小值＝－4，i ）当0≤t ≤32时，在x ＝t 时，y 最大值＝t 2-6t +5， ∴t 2-6t +5－（－4）=4，解得t 1＝1，t 2＝5（不合题意，舍去）；ii ）当32＜t ＜3时，在x ＝t +3时，y 最大值＝t 2－4， ∴t 2－4－（－4）=4，∴解得t 1＝2，t 2＝－2（不合题意，舍去），③当t >3时，y 随着x 的增大而增大，当x ＝t 时，y 最小值=t 2-6t +5，当x ＝t +3时，y 最大值＝t 2-4，∴t 2-4-（t 2-6t +5）=4解得136t =（不合题意，舍去）， 综上所述，t ＝1或2．3. 【答案】(1)4(2)能，最大面积是235m ，此时花圃的长为10米，宽为3.5米【分析】（1）由S AB BC =⨯，然后求出方程242432x x -+=的解即可；（2）把解析式化成顶点式，求出顶点的坐标即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意，设花圃的宽AB 为x m ，面积为2m S ．∴2(244)424S AB BC x x x x =⨯=⨯-=-+，∴242432x x -+=解得：12x =，24x =；∵024410x <-≤， ∴762x ≤<， ∴4x =；∴AB 长是4m ；（2）解：∵224244(3)36S x x x =-+=--+， 又∵762x ≤<， 当72x =时，274(3)3635322S =--+=>， ∴能围成面积比232m 更大的花圃，最大面积为235m ， 方案：∵7244102-⨯=， ∴花圃的长为10m ，宽为3.5m ，花圃的面积最大．4. 【答案】(1)5501504201yx x (2)18元(3)当22x =时，w 有最大值3200元．【详解】（1）解：设一天的销售量y （千克）与售价x （元/千克）之间的函数关系式为1425y kx b x由题意得：1480016700k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：501500k b =-⎧⎨=⎩所以一天的销售量y （千克）与售价x （元/千克）之间的函数关系式为5501504201y x x ．（2）解：设这天该大米的售价为x 元由题意可得： 145015002400x x解得18x =或26x =（舍）．∴这天该大米的售价为18元．（3）解：由题意可得：有机大米一天的获利w （元）与该天的售价x （元/千克）的函数关系式为：21450150050223200wx x x ∴当25x 时，y 随x 的增大而增大．∴当22x =时，w 有最大值3200元．5. 【答案】(1)1b =．(2)S 的最大值为6．(3)存在这样的点E ，E 点坐标为：()222-，和(1028)39--，． 【分析】（1）题目中给出了点B 的坐标，代入解析式中，即可求出b 的值；（2）题中要求CDE 三角形的最大值，可以设E 点的横坐标为m ，用含m 的式子表示出纵坐标，连接OE ，过E 分别作x 轴、y 轴的垂线EP 、EQ ，ECD OCD COE ODE OCD OCED S S S S S S ΛΛΛΛΛ=-=+-四边形，用含m 的式子表示CDE S Λ，然后求出这个式子的最大值，即可得到对应m 的值，进而求出S 的值．（3）先假设存在这样的点E ，作ODC ∠的角平分线交y 轴于点F ，过B 作BE ∥DF ，交抛物线于点E ，点E 就是要求的点．这时ODF BMC ΛΛ∽，46OF OD OC OB ==，如果知道OF 的长度，就可以求出OE 的长度，即可得到E 点的纵坐标，然后代入解析式，即可求出横坐标．根据题目条件，知道OC 、OD 的长，作FH CD ⊥与H ，OF FH =，利用面积可以求出FH 的长度，进而求出OF 的长度；根据46OF OD OE OB ==，知道OD OB OF 、、的长度，即可求出OE 的长度，进而求出E 点横坐标，从而求解．注意当E 点在x 轴下方时，也可以用同样的方法求出E 点的坐标．【详解】（1）解：将()60B ，代入解析式可得： 2166304b -⨯++=， 解得1b =．（2）连接OE ，过E 分别作x 轴、y 轴的垂线EP 、EQ ，设点E 坐标2134m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则：QE m =，2134PE m m =-++ ECD OCD COE ODE OCD OCDE S S S S S S ΛΛΛΛΛ=-=+-四边形21111333332242m m m ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 化简得：()223334688S m m m =-+=--+当4m =时，S 取最大值，最大值为6．（3）假设存在这样的点E ，作ODC ∠的角平分线交y 轴于点F ，过B 作BE DF ，交抛物线于点E ，点E 就是要求的点．作EM x ⊥轴于点M ，作FH CD ⊥于H ，当点E 在第二象限时，设OF a =，∵FH CD ⊥，FO OD ⊥，FD 为角平分线，∴OF HF a ==在Rt ODC ∆中，2222345CD OC OD +=+ODC ODF CDF S S S ΛΛΛ=+1114345222a a ⨯⨯=⨯+⨯ 5262a a += 43a = ∴43OF =∵ODF MBE ∠=∠，FOD COB ∠=∠∴~ODF OBE ΛΛ46OF OD OE OB == ∵43OF =， ∴2OE =21324x x -++= 解得：222x =±由于E 点在第二象限，所以222x =-∴()222E -，当点E 在第四象限时，有~ODF NBE ΛΛ，OF OD NE NB= 此时E 点横坐标为x ，ON x =-，则6NB x =-，22113344NE x x x x =-++=-- 有24431634x x x =---， 化简得238600x x --= 解得1103x =-，26x =， 由于E 在第三象限，所以103x =-， 2110102834339⎛⎫-⨯--+=- ⎪⎝⎭ 此时E 点坐标为(1028)39--， ∴存在E 点，E 点坐标为()222-，和(1028)39--，． 6. 【答案】(1)223y x x =-++ 411 (3)存在，()1,3-，(22，(1,22，(1,517-，(1,517-【分析】（1）求出A 点坐标，把A 、C 坐标代入解析式计算即可；（2）连接OC ，交对称1x =于点Q ，证明四边形AOQP 是平行四边形，即可说明若使的EQ PQ AP ++值为最小，其EQ OQ +为量小，最小值为线段OC 长；（3）由于N 是任意一点，要使得以点M ，N ，E ，A 为顶点的四边形是菱形只要说明△AME 是等腰三角形即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，()4,5C -，∴5AD AB ==，()4,0B ，∴1OA =，∴()1,0A -，将点A ，C 坐标代入2y x bx c =-++得：164510b c b c -++=-⎧⎨--+=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）连接OC ，交对称1x =于点Q∵PQ y ⊥轴，∴AO PQ ∥，∵1AO PQ ==，∴四边形AOQP 是平行四边形，∴AP OQ =，∴1EQ PQ AP EQ OQ ++=++若使的EQ PQ AP ++值为最小，其EQ OQ +为量小．∵E ，C 关于对称轴1x =对称，∴EQ CQ =，∴EQ OQ CQ OQ +=+，此时EQ OQ +的值最小，最小值为线段OC 长．∵()4,5C -， ∴224541OC +=∴EQ PQ AP ++411，即EQ PQ AP ++411．（3）设(1,)M m∵E ，C 关于对称轴1x =对称，()4,5C -，∴()2,5E --，∵()1,0A -∴222(12)(50)26AE =-++--=2222(11)(0)4AM m m =--+-=+2222(21)(5)1034EM m m m =--+--=++∵由于N 是任意一点，要使得以点M ，N ，E ，A 为顶点的四边形是菱形∴△AME 是等腰三角形当AE AM =时，222426AM AE m ==+=， 解得22m =此时M 点坐标为(22，(1,22-当AE EM =时，222103426EM AE m m ==++=， 解得517m =-此时M 点坐标为(1,517-，(1,517-当AM EM =时，222210344EM AM m m m ==++=+，解得3m =-，此时M 点坐标为()1,3-综上所述，存在点M ()1,3-，(22，(1,22，(1,517-，(1,517-，使得以点M ，N ，E ，A 为顶点的四边形是菱形7. 【答案】(1)4-(2)4c =或03c ≤<．(3)2-【分析】（1）根据对称轴为与系数的关系即可进行求解；（2）将该抛物想的表达式改写为顶点式：()224y x c =-+-，画出函数()22y x =-的图像，结合图像即可得出c 的取值范围；（3）根据二次函数的平移规律，将2G 的函数解析式表示出来，进而表示出其顶点坐标，再将顶点坐标代入21y x =-得出m 和c 之间的关系式，最后将0x =代入2G 即可求出其与y 轴的纵坐标．【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为2x =， ∴22b -=，解得：4b =-． （2）由（1）可知，4b =-，∴()221:244G y x x c x c =+=-+--，如图，画出抛物线()22y x =-的图像，由图可知，①当40c -=时，1G 与x 轴只有一个交点，解得：4c =②当40c -≠时，将()22y x =-的图像向下平移的距离大于一个单位长度，小于或等于4个单位长度时时，平移后的函数图像在x 轴上14x <<时只有一个交点．∴()144c <--≤，解得：03c ≤<．综上：4c =或03c ≤<．（3）由（2）可得4b =-，∴1G ：()22424y x x c x c =-+=-+-，∴2G ：()224y x m c =-++-，∴2G 的定点坐标为：()2,4m c --，∵抛物线2G 的顶点在直线21y x =-上，∴把点()2,4m c --代入21y x =-得：()4221c m -=--，整理得：72c m =-，把0x =代入2G ：()224y x m c =-++-得： ()2024y m c =-++-24m m c =-+∵72c m =-∴2472m y m m -+-=267m m =-+()232m =--，∴当3m =时，y 有最小值2-．∴抛物线2G 与y 轴交点的纵坐标的最小值为2-．8. 【答案】（1）（1，-4）；（2）1；（3）-1或2【分析】（1）根据对称轴可得a 与b 间的关系b =-2a ，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得顶点坐标；（2）首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若a 为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值是相互矛盾的，故可排除a 为负的情况，所以a 为正．再由于x 轴上-2与1的距离大于3与1的距离，根据抛物线的性质，函数在x =-2处取得最大值，从而可求得a 的值．（3）分三种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在1t x t ≤≤+范围内、在这个范围的左边、在这个范围的右边三种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得t 的值．【详解】解：（1）∵对称轴是直线1x =， ∴12b a-=． ∴2b a =-．∴2224(1)4=-+-=--y ax ax a a x ．∴顶点坐标为()1,4-．（2）若a <0，则抛物线的开口向下，从而y 有最大值4∵当23x -≤≤时，y 的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x =1，∴函数此时在1x =时取得最大值5，这与y 有最大值4矛盾，从而a >0．∴抛物线的顶点为图象的最低点．∵1-（-2）>3-1∴当2x =-时，5y =．代入解析式，得2(21)45,a ⨯---=∴ 1a =．（3）①当11t t ≤≤+时，此时0≤t ≤1，∴n =-4，函数的最大值在t +1或t 处取得，即24m t =-或2(1)4m t =--∴m 的最大值为3-．此时1m n -=．不符合题意，舍去．②当11t +<，即0t <时，22(1)4,(11)4=--=+--m t n t ．∵3m n -=，∴1t =-．③当1t >时，同理可得2t =．综上所述，1t =-或2t =．9. 【答案】(1)8y x =或8y x=- (2)4>>3p (3)52t =或12t =【分析】（1）将(),4P m 代入k y x =得到关于m k ， 的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于m k ，的另一个方程，解方程组即可；（2）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为()2t t ，，依据题意可得含t 的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根对应0∆>，即可求出p 的取值范围；（3）设设图象上存在的“高质量发展点”坐标为()2t t ，，将()2t t ，代入()212y ax b x =+-+，可得含t 的一元二次方程，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知对应方程两根相等，即Δ0=，得出a b ， 的关系式，从而由()281w b a =---变形为关于w b ， 的函数，根据函数性质分情况讨论最值即可．【详解】（1）解：将(),4P m 代入k y x =，得：4k m = 即4k m = ，又因为(),4P m 是“高质量发展点”，故24m =，解方程组244k m m =⎧⎨=⎩ 得：1128m k =⎧⎨=⎩ 或2228m k =-⎧⎨=-⎩，则这个反比例函数的解析式为8y x =或8y x=-． （2）解：设图象上存在的“高质量发展点”坐标为()2t t ，，依据题意将()2t t ，代入23y x p=+-得：()2230t t p ---= ，由函数23y x p =+-（p 为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：方程()2230t t p ---=有两个不相等的实根，即()()2243>0p ∆=-+- 解得：4p < ，且由韦达定理可知()2230t t p ---=的两根之和为2，两根之积为()3p -- ，又因为这两点都在第一象限可得： ()3>0p --，解得：3p > ，综上可得：4>>3p ．（3）解：设设图象上存在的“高质量发展点”坐标为()2t t ，，将()2t t ，代入()212y ax b x =+-+，可得()2212t at b t =+-+，整理得()()21120a t b t -+-+=，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知方程()()21120a t b t -+-+=两根相等，即()()21810b a ∆=---=，变形得：()()2181b a -=-，因为()281w b a =---，所以()2221221w b b b b =---=-+-，故由抛物线2221w b b =-+-性质：开口向下，对称轴为12b =，顶点1122⎛⎫- ⎪⎝⎭， ， 当1t b t -≤≤时，w 有最大值t -，∴分情况讨论最值情况：（1）当112t ->即32t > 时，函数自变量取值在对称轴右侧，图像下降，故当1b t =- 时w 有最大值t -，即()()221211t t t -=--+--，化简得：22750t t -+=，得：12512t t ==，131<2t =，故11t =舍去， ∴52t = （2）当112t -≤且12t ≥，即3122t ≥≥ 时，函数2221w b b =-+-的自变量取值范围包括了顶点，即当12b =，w 有最大值12t -=-，解得：12t =， ∴12t = （3）12t 时函数2221w b b =-+-自变量取值在对称轴左侧，图像上升，此时w 最大值当b t =时取得，即：2221t t t -=-+-，整理得： 22310t t -+=，解得112t t ==， 12t ， 故112t t ==，均不合要求，此时无解， 综上可得：52t =或12t =． 10. 【答案】(1)222=++y x x(2)1，()1,5(3)1n =-或6n =【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）将一般式转化为顶点式，再利用配方法求纵坐标的最值即可得解；（3）3n x n -≤≤，函数有最小值9，判断3n x n -≤≤与对称轴的位置关系，再根据二次函数的图象和性质，进行求解即可．【详解】（1）解：抛物线与y 轴的交点坐标为点()0,2，则：224m =+，解得：1m =-，∴222=++y x x ；（2）解：()22222424y x mx m x m m m =-++=--++；∴()2,24P m m m -++ ∵()2224155m m m -++=--+≤，∴1m =时， P 点的纵坐标取最大值：5，∴()1,5P ；故答案为：1，()1,5；（3）解：∵()1,5P ，∴()215y x =-+；∵10a =>，对称轴为1x =，∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 值的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 值的增大而增大，∵当3n x n -≤≤，函数有最小值9，95>，∴3n x n -≤≤在对称轴的同侧；①3n x n -≤≤在对称轴的左侧，即：1n <时，当x n =时，函数有最小值：()2159y n =-+=， 解得：1n =-或3n =（舍）；②3n x n -≤≤在对称轴的右侧，即：31n ->，4n >时，当3x n =-时，函数有最小值：()23159y n =--+=，解得：6n =或2n =（舍）；综上：当1n =-或6n =时，函数有最小值9．11. 【答案】(1)21b a =--(2)E 点坐标为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭52(3)2332y x x =-+【分析】（1）将32c =，12,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入2y ax bx c =++，计算求解即可；（2）将122a c ==-，与()5,3D 代入2y ax bx c =++，得到32b =-，然后将解析式因式分解()()1142y x x =+-，得到A B ，点坐标分别为()()1,04,0-，；如图，在直角坐标系中作EF BD EG AB FM EG FN AB ⊥⊥⊥⊥，，，，连接EA EB ，；点F 为BD 中点，坐标为4503,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭；点G 为AB 中点，坐标为41,02-⎛⎫⎪⎝⎭，9090EFM MFB MFB BFN ∠+∠=︒∠+∠=︒，，EFM BFN ∠=∠，有EFM BFN ∽，EM MF BN FN =，942BN =-，32FN =，9322MF NG ==-，得EM EG ，的值，进而可求出E 点坐标；35122AG EG =+==，知45AEG BEG ∠=︒=∠，90AEB ∠=︒，22522AG GE +180n r AB π=求解即可；（3）23(21)2y ax a x =-++，知12122132a x x x x a a ++=⋅=，，222221212122131()()4=4132a AB x x x x x x a a a +⎛⎫⎛⎫=-=+-⋅-⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2AB 最小时，有110a -=，解得a 值，故可得b 值，进而可得出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：将32c =与12,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入2y ax bx c =++得134222a b -=++ 21b a =--∴用含a 的式子表示b 为21b a =--．（2）解：将122a c ==-，与()5,3D 代入2y ax bx c =++得2135522b =⨯+-32b =-∴()()()221311234142222y x x x x x x =--=--=+- ∴A B ，点坐标分别为()()1,04,0-，如图，作EF BD EG AB FM EG FN AB ⊥⊥⊥⊥，，，，连接EA EB ，∴90909090EFB MFN EMF FNB ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，，，，MF AB ∥∴点F 为BD 中点，坐标为4503,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭即93,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；点G 为AB 中点，坐标为41,02-⎛⎫ ⎪⎝⎭即3,02⎛⎫⎪⎝⎭∵9090EFM MFB MFB BFN ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴EFM BFN ∠=∠ ∴EFM BFN ∽ ∴EM MFBN FN= ∵91422BN -==，32FN =，93322MF NG ==-= ∴351122EM EG ==+=， ∴E 点坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭∵35122AG EG =+== ∴45AEG BEG ∠=︒=∠ ∴90AEB ∠=︒ 2252AG GE +5290522180180n rAB ππ⨯===∴E 的坐标为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB 52．（3）解：由题意知23(21)2y ax a x =-++∵12122132a x x x x a a++=⋅=，，222121212()()4AB x x x x x x =-=+-⋅ ∴2221342a AB a a +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭24164a a a =++- 2124a a=+- 2113a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵2AB 最小时，有110a-=解得1a = ∴3b =-∴2332y x x =-+．12. 【答案】(1)②，1； (2)-1≤a ＜1； (3)a 的值为2.4．【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；（2）由题意可知：-b +2≤y ≤-a +2，再由-a +2=b ，-b +2≤2a +1，b ＞a ，即可求a 的取值范围； （3）当a ≤1时，27-10a =3，可得a =2.4（舍）；当a ≥5时，3-2a =3，可得a =0（舍）；当1＜a ≤3时，27-10a =3，可得a =2.4；当3＜a ＜5时，3-2a =3，可得a =0． 【详解】（1）①y =x 2+2x +1=（x +1）2≥0， ∴①无上确界； ②y =2x -3（x ≤2）， ∴y ≤1，∴②有上确界，且上确界为1， 故答案为：②，1；（2）∵y =-x +2，y 随x 值的增大而减小， ∴当a ≤x ≤b 时，-b +2≤y ≤-a +2， ∵上确界是b ，∴-a +2=b ，∵函数的最小值不超过2a +1， ∴-b +2≤2a +1， ∴a ≥-1， ∵b ＞a ， ∴-a +2＞a ， ∴a ＜1，∴a 的取值范围为：-1≤a ＜1； （3）y =x 2-2ax +2的对称轴为直线x =a ， 当a ≤1时，y 的最大值为25-10a +2=27-10a ， ∵3为上确界， ∴27-10a =3， ∴a =2.4（舍）；当a ≥5时，y 的最大值为1-2a +2=3-2a ， ∵3为上确界， ∴3-2a =3， ∴a =0（舍）；当1＜a ≤3时，y 的最大值为25-10a +2=27-10a ， ∵3为上确界， ∴27-10a =3， ∴a =2.4；当3＜a ＜5时，y 的最大值为1-2a +2=3-2a ， ∵3为上确界， ∴3-2a =3， ∴a =0，综上所述：a 的值为2.4． 13. 【答案】(1)()1,1A -- (2)见解析(3)最大值为98【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为22820,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为2y x bx c =++，则其顶点坐标为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后求出点B 的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线2y x =--上推出2284b bc +-=，过点A 作AH OB ⊥，垂足为H ，可以推出219=(1)88AOB S b -++△,由此即可求解．【详解】（1）解：将()0,0O 代入2(2)4y x m x m =+-+-，解得4m =．由m>2，则4m =符合题意， ∴222(1)1y x x x =+=+-， ∴()1,1A --．（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为22820,24m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭． ∵m>2， ∴20m ->， ∴20m -<， ∴202m-<． ∵228201(4)11044m m m -+-=---≤-<，∴二次函数2(2)4y x m x m =+-+-的顶点在第三象限．（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为2y x bx c =++，则其顶点坐标为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 当0x =时，y c =， ∴()0,B c ．将24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入2y x =--， 解得2284b bc +-=．∵()0,B c 在y 轴的负半轴上， ∴0c <．∴2284b b OBc +-=-=-．过点A 作AH OB ⊥，垂足为H ， ∵()1,1A --， ∴1AH =． 在AOB 中，211281224AOBb b S OB AH ⎛⎫+-=⋅=⨯-⨯ ⎪⎝⎭△ 211184b b =--+219(1)88b =-++,∴当1b时，此时0c <，AOB 面积有最大值，最大值为98．14. 【答案】(1)223y x x =-++； (2)1258； 252．【分析】（1）根据=1y x --经过点A ，可求出点A 的坐标，将点A 、C 的坐标代入2y ax 2x c =++即可求出抛物线的解析式；（2）联立抛物线和一次函数=1y x --的解析式列方程解出可得点D 的坐标，过点P 作PEy 轴，交AD 于E ，设()2,23P t t t -++，则(),1E t t --，求PE 的长，根据三角形的面积公式可得PAD 的面积，配方后可得结论；（3）由前两问可知()1,0A -，()4,5D -，再根据勾股定理得：52AD =P 到直线AD 的距离为h ，再利用等面积法即可求解．【详解】（1）解：∵直线=1y x --经过点A ，∴令0y =，则01x =--， ∴=1x -，∴()10A -，， 将()10A -，，(03)C ，代入2y ax 2x c =++得： 203a c c -+=⎧⎨=⎩， 解得：13a c =-⎧⎨=⎩ ，∴抛物线的解析式为：223y x x =-++； （2）解：2231x x x -++=--， 解得：11x =-，24x =， ∴()4,5D -， 过点P 作PEy 轴，交AD 于E ，设()2,23P t t t -++，则(),1E t t --， ∴()()2223134PE t t t t t =-++---=-++，△PAD 的面积()()221553125413422228PE t t t ⎛⎫=⋅⋅+=-++=--+ ⎪⎝⎭，当32t =时，PAD 的面积最大，且最大值是1258； （3）解：∵()1,0A -，()4,5D -，根据勾股定理得：52AD =设点P 到AD 的距离为h ， 12APD S AD h =⋅△ 由第（2）问知：112528APD S AD h =⋅≤△11255228h ⨯≤ 252h ≤∴点P 到直线AD 25215. 【答案】（1）直线BC 的解析式为y =332）PBCS 最大时，P (3253)，PE +12BE 53，理由见解析；（3）存在，Q (33(3，−23，理由见解析．【分析】（1）根据二次函数的解析式先求出点C 、点B 的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；（2）如图2中，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交直线BC 于点F ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，设P (a 32a 233，则F (a 33则可得 PF =32a 3，继而得S △PBC =32a 33，根据二次函数的性质可得当a =32时，S △PBC 最大，可得点P 坐标，由直线BC 的解析式为y =3330CBO ∠=︒，继而可得12PE BE PE EN +=+，根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P ，E ，N 三点共线且垂直于x 轴时，PE+12BE 值最小，据此即可求得答案；（3）由题意可得D (1，0)，G (323，继而可得直线DG 解析式，根据抛物线y =32x +23332(1)x -43x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D ，可得y '32(3)x -43，从而可得对称轴为x =1，然后分90∠=︒QDG 或90QGD ∠=︒，90GQD ∠=︒三种情况进行讨论即可得.【详解】（1）当x =0时，y =32x 2333 ∴点C 的坐标为（03 当y =032x 23x 3， 解得：1213x x ==﹣，， ∴点B 的坐标为（3，0），设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠， 将B （3，0）、C （03y kx b =+，得：303k b b +=⎧⎪⎨⎪⎩，解得：33k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为y =33 （2）如图2中，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交直线BC 于点F ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ， 设P （a 32a 233F （a 33 ∴PF =32a 3， ∴S △PBC =12×PF 32a 33， ∴当a =32时，S △PBC 最大，∴P （3253），∵直线BC 的解析式为y =33 ∴30CBO ∠=︒，EN x ⊥轴， ∴EN =12BE ， ∴PE +12BE =PE +EN ，∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P ，E ，N 三点共线且垂直于x 轴时，PE +12BE 值最小，∴PE +12BE =PE +EN =PN 53； （3）∵D 是对称轴直线x =1与x 轴的交点，G 是BC 的中点，∴D （1，0），G （323∴直线DG 解析式y 33 ∵抛物线y =32x 23332(1)x -43x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D (1,0)， ∴y '32(3)x -43∴对称轴为x =3，F 43∵FGQ 为直角三角形，∴90FGQ ∠︒＝或90FQG ∠︒＝，90GFQ ∠︒＝（不合题意，舍去） 当90FQG ∠︒＝，则//QG x 轴 ∴Q （33 当90FGQ ∠︒＝，设点Q 坐标（3，y ） ∵222FQ FG GQ +＝． ∴2222243343333()(3)((3)()222y y =-++-+- ∴y ＝−23∴Q （3，−23）综上所述：Q （333，−23）．。
2020年中考一轮复习第九讲二次函数(含解析)
第九讲二次函数1•在下列二次函数中，其图象的对称轴为x=- 2的是()A. y= (x+ 2)2B. y= 2X2- 2C. y=- 2x2- 2D. y= 2(x-2)22. 若抛物线y= (x- m)2+ (m+ 1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为()A. m> 1B. m>0C. m>- 1D. —1v m v 03. _____________________________________________ 二次函数y= —x2+ 2x- 3图象的顶点坐标是______________________________________________ .4. 把二次函数y= x2—12x化为形如y= a(x —h)2+ k的形式________ .5. 将抛物线y= x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为()2 2A. y= (x+ 2) - 3B. y= (x+ 2) + 32 2C. y= (x- 2) + 3D. y= (x- 2) - 36. 设抛物线y= ax2+ bx+ c(a^ 0)过A(0, 2), B(4 , 3), C 三点，其中点C在直线x= 2 上，且点C到抛物线对称轴的距离等于___________________ 1，则抛物线的函数解析式为.7. 如果将抛物线y= x2+ 2x —1向上平移，使它经过点A(0, 3)，那么所得新抛物线的表达式是__________________ .8. 已知二次函数图象的顶点坐标为(1,—1)，且经过原点(0,0)，求该函数的解析式.的是(10.二次函数y= ax2+ bx+ c的图象如图所示，则下列关系式错误2A. a v 0B. b> 0C. b第10题图11二次函数y= x2+ x+ c的图象与x轴有两个交点Ag, 0), B(X2, 0)，且X j V X2，点P(m, n)是图象上一点，那么下列判断正确的是()A.当n v 0 时，m v 0B.当n> 0 时，m> X2C.当n v 0 时，X1< m v x?D.当n> 0 时，m v X112. 已知二次函数y= ax2+ bx+ c(a^ 0)的图象如图所示，对称轴是直线x=- 1,下列结论：① abc<0 :② 2a+ b= 0:③ a—b+ c>0;④ 4a—2b + c<0 ;其中正确的是()A.①②B.只有①C.③④D.①④第12题图13. 若二次函数y= x2+ bx的图象的对称轴是经过点（2, 0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+ bx= 5的解为（）A. X i = 0, X2= 4B. X i = 1, X2= 5C. X i = 1, x?=—5D. X i =—1 , x?= 514. 若二次函数y= ax2+ bx+ c（a<0）的图象经过点（2, 0），且其对称轴为x=—1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是（）A. x< —4 或x>2B. —4< x < 2C. x<—4 或x> 2D. —4<x<215. 如图是二次函数y= ax2+ bx+ c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+ bx+ c的最大值为4;②4a + 2b + c<0:③一元二次方程ax2+ bx+ c= 1的两根之和为—1;④使y w3成立的x的取值范围是x>0.其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知点A（4, y1）,y1, y2, y3的大小关系是17. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙坡隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27 m,则能建成的饲养室总占地面积最大为m2.rrn_____ I_____门门第17题图18. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1w x w 10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.19. 某商店购进一种商品，每件商品进价30元•试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x 的取值范围）；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？⑶设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？20. 大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+ x（元/件）（x>0即售价上涨，x<0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）•（1）直接写出y与x之间的函数关系式；⑵如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；⑶为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？21. 如图，抛物线y= x2- bx+ c交x轴于点A（1, 0），交y轴于点B，对称轴是x= 2.（1）求抛物线的解析式.（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点卩，使厶PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.22. 已知在平面直角坐标系xOy中(如图)，抛物线y= ax2—4与x轴的负半轴相交于点A, 与y轴相交于点B，AB = 2 5.点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴相交于点C,线段BP与x轴相交于点 D.设点P的横坐标为m.(1) 求这条抛物线的表达式；(2) 用含m的代数式表示线段CO的长；3(3) 当tan/ODC = 时，求/ PAD的正弦值.第22题图23. 如图，抛物线y = x2+ bx+ c与x轴交于A(—1, 0), B(3, 0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M(1)求抛物线的解析式；⑵若直线AM'与此抛物线的另一个交点为。
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专项训练 二次函数最值应用结合图象，分两类情形: （1）最值在顶点位置如图所示，P 为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的顶点，则二次函数的最值（开口向上有最小值，开口向下有最大值）为顶点P 的纵坐标ab ac 442-.（2）最值不在顶点位置如图所示，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为y 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象上的两点，则当x 1≤x ≤x 2时，二次函数的最大值为y 2，最小值为ab ac 442-.具体应结合开口方向，根据M ，N ，P 三个点的位置，通过比较y M ，y P ，y N ，确定二次函数的最值.如果在实际问题中，还要考虑取值的实际意义，综合进行分析，确定二次函数的最值. 类型一 面积中的最值应用1.把一根长为120 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个正方形.若设围成的一个正方形的边长为 x cm.（1）要使这两个正方形的面积的和等于650 cm 2，则剪出的两段铁丝长分别是多少？ （2）剪出的两段铁丝长分别是多少cm 时，这两个正方形的面积和最小？最小值是多少？2.如图所示，在足够大的空地上有一段长为100 m 的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m 的木栏.（1）若AD ＜20 m ，所围成的矩形菜园的面积为450 m 2，求所利用的旧墙AD 的长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值.3.如图所示，为美化中心城区环境，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地ABCD 上修建公园其中要留出宽度相等的三条小路，且两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分建成花圃.（1）若花圃总面积为448平方米，求小路宽为多少米？（2）已知某园林公司修建小路的造价y 1（元）和修建花圃的造价y 2（元）与修建面积s （平方米）之间的函数关系分别为y 1＝40s 和y 2＝35s ＋20000.若要求小路宽度不少于2米且不超过4米，求小路宽为多少米时修建小路和花圃的总造价最低？类型二 利润中的最值应用4.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间满足一次函数关系（其中10≤x ≤15，且x 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？5.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量y （单位:件）与线下售价x （单位:元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表:（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问:当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.6.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天（x为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为p ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+)3020(1251)200(452x x x x ,销售量y （千克）与x 之间的关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）类型三运动中的最值应用，7.周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图所示，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度h（单位:m）与飞行时间t（单位:s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t-5t2. （1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15 m？8.如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m处跳起投篮，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足解析式y＝ax2＋x＋c，当球运行的水平距离为1.5 m时，球离地面高度为3.3 m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内.已知篮圈中心离地面距离为3.05 m.（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手，问球出手时他跳离地面多高?9.如图所示，某足球运动员站在点O处练习射门将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位:m）与飞行时间t（单位:s）之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.（1）a＝_________；c＝___________.（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位:m）与飞行时间（单位:s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？巩固训练1.某宾馆共有80间客房宾馆负责人根据经验作出预测:今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝41x-42（x ≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ） A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间 2.如图所示，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m （篱笆的厚度忽略不计），当AB ＝_______m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.3.小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地.设小丽出发第x min 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1 m 、y 2 m.y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝-180x ＋2250，y2与x 之间的函数表达式是y 2＝-10x 2-100x ＋2000.（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为_________m ；（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？4.因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价-进价）参考答案1.解:（1）根据题意知:一个正方形的边长分别为x cm ， 则另一个正方形的边长为41（120-4x ）＝（30-x ）cm ， 且分成的铁丝一段长度为4x cm ，另一段为（120-4x ）cm ，x 2＋（30-x ）2＝650. 整理得:x 2-30x ＋125＝0，解得:x 1＝5，x 2＝25， 故这根铁丝剪成两段后的长度分别是20 cm ，100 cm ； （2）设这两个正方形的面积之和为y cm 2，y ＝x 2＋（30-x ）2＝2x 2-60x ＋900＝2（x-15）2＋450， ∴当x ＝15时，y 取得最小值，最小值为450cm 2，即剪成两段均为60 cm 的长度时面积之和最小，最小面积和为450 cm 2. 2.解:（1）设AB ＝x m ，则BC ＝（100-2x ）m.x （100-2x ）＝450. 解得，x 1＝5，x 2＝45，当x ＝5时，100-2x ＝90＞20，不合题意，舍去. 当x ＝45时，100-2x ＝10， 答:AD 的长为10m ；（2）设AD ＝a m ，面积为S m 2， S ＝a ·1250)50(2121002+-=-x a ， ∴当a ＝50时，S 取得最大值，此时S ＝1250. 答:矩形菜园ABCD 面积的最大值是1250 m 2.3.解:（1）设小路的宽为m 米，则可列方程（30-m ）（20-2m ）＝448； 解得:m 1＝2或m 2＝38（舍去）； 答:小路的宽为2米；（2）设小路的宽为x 米，总造价为w 元，则花圃的面积为（2x 2-80x ＋600）平方米，小路面积为（-2x 2＋80x ）平方米，所以w ＝40·（-2x 2＋80x ）＋35·（2x 2-80x ＋600）＋20000， 整理得:w ＝-10（x-20）2＋45000，∴当2≤x ≤4时，w 随x 的增大而增大.∴当x ＝2时，w 取最小值. 答:小路的宽为2米时修建小路和花圃的总造价最低.4.解:（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0），根据题意，得1⎩⎨⎧=+=+80149012b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=1505b k ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝-5x ＋150； （2）根据题意，得w ＝（x-10）（-5x ＋150）＝-5x 2＋200x-1500＝-5（x-20）2＋500 ∵a ＝-5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值.∴当x ＜20时，w 随x 的增大而增大.10≤x ≤15，且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值. 即w ＝-5×（15-20）2＋500＝375.答:当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是375元.5.解:（1）∵y 与x 满足一次函数的关系，∴设y ＝kx ＋b.将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：⎩⎨⎧b ＋13k ＝1100b ＋12k ＝1200，解得:⎩⎨⎧2400＝b 100-＝k ，∴y 与x 的函数关系式为:y ＝-100x ＋2400；（2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400（x-2-10）＋y （x-10） ＝400x-4800＋（-100x ＋2400）（x-10）＝-100（x-19）2＋7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元. 6.解:（1）当0＜x ≤20时，设y ＝k 1x ＋b 1，由图象得:⎩⎨⎧=+=402080111b k b ，解得⎩⎨⎧=-=80211b k ，∴y ＝-2x ＋80（0＜x ≤20）； 当20＜x ≤30时，设y ＝k 2x ＋b 2，由图象得:⎩⎨⎧=+=+803040202222b k b k ，解得⎩⎨⎧-==40422b k ，∴y ＝4x-40（20＜x ≤30）. 综上，y ＝⎩⎨⎧）；30≤x ＜2040-4x （），20≤x ＜080＋2x （（（2）设当月该农产品的销售额为w 元，则w ＝yp ， 当0＜x ≤20时，w ＝（-2x ＋80）（52x ＋4）＝-54x 2＋24x ＋320＝-54（x-15）2＋500 ∵-54＜0，由二次函数的性质可知:∴当x ＝15时，w 最大＝500.当20＜x ≤30时，W ＝（4x-40）（-51x ＋12）＝-54x 2＋56x-480＝-54（x-35）2＋500，∵-54＜0，20＜x ≤30，由二次函数的性质可知:当x ＝30时，W 最大＝（30-35）2＋500＝480.∵500＞480， ∴当x ＝15时，w 取得最大值，该最大值为500.答:当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元. 7.解:（1）h ＝20t-5t 2. ∵-5＜0，故h 有最大值，当t ＝）（5220-⨯＝2，此时h 的最大值为20，∴当t ＝2 s 时，最大高度是20 m ；（2）令h ≥15，则h ＝20t-5t 2≥15，解得:1≤t ≤3， ∴1≤t ≤3时，飞行高度不低于15 m.8.解:（1）依题意，抛物线y ＝ax 2＋x ＋c 经过点（1.5，3.3）和（4，3.05），∴⎩⎨⎧ 3.05＝c ＋4＋42×a 3.3＝c ＋1.5＋1.52×a ，解得⎩⎨⎧ 2.25＝c 0.2-＝a ，∴y ＝-0.2x 2＋x ＋2.25＝-0.2（x-2.5）2＋3.5.∴当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度为3.5 m ； （2）∵x ＝0时，y ＝2.25，∴2.25-0.25-1.8＝0.2 m. 即球出手时，他跳离地面0.2 m.9.解:（1）由题意得:函数y ＝at 2＋5t ＋c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴⎩⎨⎧c ＋0.8×5＋0.82a ＝3.5c ＝0.5，解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=211625c a ，∴抛物线的解析式为:y ＝-1625t2＋5t ＋21, 故答案为:-1625，21. （2）∵y ＝-1625t2＋5t ＋21，∴y ＝29)58(16252+--t . ∴当t ＝58时，y 最大＝4.5.∴当足球飞行的时间为58s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5 m ；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝-1625×2.82＋5×2.8＋21＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门. 巩固训练 1.B 2.1503.解:（1）∵y 1＝-180x ＋2250，y 2＝-10x 2-100x ＋2000， ∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250-2000＝250（m ）， 故答案为:250；（2）设小丽出发第x min 时，两人相距s m ，则s ＝（-180x ＋2250）-（-10x 2-100x ＋2000）＝10x 2-80x ＋250＝10（x-4）2＋90， ∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答:小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m. 4.解:（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为:y ＝kx ＋b ，将点（60，100），（70，80）代入一次函数表达式得:⎩⎨⎧+=+=b k b k 708060100，解得:⎩⎨⎧=-=2202b k ，故函数的表达式为:y ＝-2x ＋220；（2）设药店每天获得的利润为w 元，由题意得: W ＝（x-50）（-2x ＋220）＝2（x-80）2＋1800， ∵-2＜0，函数有最大值，∴当x ＝80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元.。