7.5.幂级数在近似计算中的应用
幂级数展开在微积分中的应用
幂级数展开在微积分中的应用微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化和连续的性质，并广泛应用于科学、工程、经济学等领域。
在微积分中，幂级数展开是一种重要的工具，可以用于计算复杂函数的近似值，解决微积分问题，近似解方程等。
本文将介绍幂级数展开在微积分中的应用。
一、幂级数展开的基本概念在微积分中，幂级数展开是一种用无限项级数来逼近函数的近似方法。
幂级数展开可以将任意的函数表示为一系列多项式的和，其一般形式为：$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$$其中 $a_n$ 是常数项，$x_0$ 是幂级数展开的中心点，$n$ 取遍整数。
当 $x=x_0$ 时，级数的和是 $a_0$；当 $x$ 离 $x_0$ 越远时，高次项的权重越小，这种逼近方法的精度也会越高。
二、1.计算函数的近似值幂级数展开可以将复杂函数表示为一系列简单的多项式的和，由此可以得到函数的近似值。
例如，对于 $\sin x$ 函数，可以将其幂级数展开为：$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots $$当 $x$ 很小的时候，可以截去高次项的部分，得到近似的表达式 $\sin x \approx x$。
这种方法在计算科学和工程中经常被使用，可以大大减少计算量。
2.解决微积分问题幂级数展开还可以用于解决微积分问题，如求导、积分等。
例如，对于 $\ln(1+x)$ 函数，可以将其幂级数展开为：$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$对其求导得：$$(\ln(1+x))'=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots $$这种方法可以用于求解高阶导数、不定积分等问题。
同时，幂级数展开还可以用于计算曲线的弧长、面积等。
幂级数的应用
二、 幂级数展开式在近似计算上的应用
(4)根据精确度的要求，适当选定n，按 计算A的近似值.这里，A与Pn(t1)相差余项
|rn+1|称为用Pn(t1)表示A的截断误差.在计算A的值时， 还有因四舍五入而产生的舍入误差.因此，求A的近似值时， 应使这两种误差之和满足精确度的要求.
二、 幂级数展开式在近似计算上的应用
这两个公式也称为欧拉公式.
二、 幂级数展开式在近似计算上的应用
如果函数f(x)有展开式
则在区间(x0-R,x0+R)上，有 f(x)≈Pn(x)=a0+a1(x－x0)+…+an(x－xo)n. 求得多项式Pn(x)的函数值，即为f(x)函数值的近似值. 我们可以采取下列步骤来计算某数A的近似值：
【例45】
二、 幂级数展开式在近似计算上的应用
【例46】
谢谢聆听
幂级数的应用
一、 欧拉公式
之前我们讨论过级数
当x为任何实数时，级数的和函数为ex，即收敛域为 ∞<x<+∞.那么当x为复
i=－1 .
一、 欧拉公式
一、 欧拉公式
因此有 eyi=cos y+isin y
这就是欧拉(Euler)公式. 同理可得
e－yi=cosy－isin y. 将两式分别相加，相减可推出
函数的幂级数展开式的应用一近似计算
。
拓展幂级数展开式在物 理、工程、金融等领域 的应用，提高近似计算
的精度和效率。
探索新的近似计算方法和技术
研究新的近似计算方法，如泰勒级数、傅里叶级 数等，以适应不同问题的需求。
结合人工智能和机器学习技术，开发自适应近似 计算算法，提高计算效率和精度。
探索混合精度计算方法，结合不同精度的数值计 算，以实现更高效的近似计算。
01
幂级数展开式的收敛性是指级数在某个区间内是收敛的，即其 和是有限的。
02
收敛性的判断对于幂级数展开式的应用至关重要，因为只有在
收敛的条件下，级数的近似值才具有意义。
收敛性的判断依据包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等，这些准
03
则可以帮助我们确定幂级数的收敛域。
近似计算的精度控制
1
近似计算的精度控制是指在近似计算过程中，如 何控制近似值的误差范围，以确保结果的准确性。
收敛速度快
幂级数展开式的收敛速度通常比其他级数展开式更快，这意味着在 相同的精度要求下，幂级数展开式需要的项数更少。
适用范围广
幂级数展开式适用于多种类型的函数，包括初等函数和某些复杂函 数。
幂级数展开式的局限性
收敛范围有限
幂级数展开式的收敛范围通常较小，这意味着在某些情况下，需要非常接近展开点才能 得到有意义的结果。
幂级数展开式的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$
幂级数展开式的性质
01
幂级数展开式具有唯一性，即一个函数只有一个幂 级数展开式。
02
幂级数展开式具有收敛性，即当$x$取值在一定范围 内时，级数收敛，否则发散。
幂级数的定义及其收敛性分析
幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。
其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。
幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。
1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。
幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。
收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。
2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。
3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。
这种情况称为边界收敛。
三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。
利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。
2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。
通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。
3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。
四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。
通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。
幂级数的应用
2!
n!
余和:
rn
1 1 (n 1)! (n 2)!
1 (1 1 ) (n 1)! n 2
(n
1 (1 1)!
1 n
1
(n
1 1)2
)
1 n n!
欲使 rn 105 ,
即 n n! 105 ,
只要 1 105 , n n!
而 8 8! 322560 105 ,
第五节 函数的幂级数展开式 的应用
一、近似计算
二、计算定积分
三、微分方程的幂级数解法
四、小结
一、近似计算
A a1 a2 an , A a1 a2 an , 误差 rn an1 an2 .
两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数.
P( x)与Q( x)可在 R x R内展为x 的幂级数,
那么在 R x R内原方程必有形如
的解.
y an xn n0
作法 设解为 y an xn , n0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
例5 求方程 y xy y 0的解.
假设所求特解可展开为 x x0的幂级数,
y y0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 其中a1 ,a2 ,,an ,为待定的系数.
例4
求 dy dx
x
y2
满足y
|x0
0的特解.
解 x0 0， y0 0,
设 y a1 x a2 x2 a3 x3 an xn ,
y a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
将 y, y的幂级数展开式代入原 方程
幂级数的应用
[10]赵瑜.浅谈幂级数在计算中的应用.
[11]屈红文.幂级数在积分中的应有[J].科技信息2009(28).
选题是否合适：是否
课题能否实现：能不能
指导教师（签字）
年月日
选题是否合适：是否
课题能否实现：能不能
指导小组组长（签字）
年月日
4.学科研究法；
5.经验总结法.
六、研究手段
通过中国知识网、中国期刊网、中国数字化期刊和万方网搜索引擎了解相关知识内容，阅读相关的参考书、报纸以及从图书管查阅相关资料，在指导老师的帮助下近一步深入研究。
七、课题的进度安排
为了有准备有计划的完成毕业论文，需要安排一个毕业论文进度计划。按照进度计划来安排时间，并及时的完成毕业论文工作。
吕梁学院毕业论文（设计）开题报告
（学生用表）
课题
幂级数的应用
系别
数学系
专业
数学与应用数学
学科
数学
学生
韩红霞
指导教师
张润玲
一、研究课题的来源及意义
幂级数是函数级数的一种特殊情形，也是数学分析中非常重要的内容，不论在数学方面还是其它的学科中都有广泛的应用。基本初等函数以及函数在一定的范围都可以展成幂级数的形式，通过幂级数所具有的性质对其函数的研究和应用，将成为研究函数的一种有效手段，同时给问题的解决带来一些方便。
幂级数及其在近似计算中的应用解读
1 x 1
x
2 n 1 x3 x5 x n x ( 1 ) sin x 2、 3! 5! (2n 1)!
x2 xn 3、 e 1 x 2! n!
x
x
2 4 2n x x x n 4、cos x 1 (1) x 2! 4! (2n)! n 1 x2 x3 x (1) n 1 x 1 5、 ln(1 x) x 2 3 n 1
部分和数列
2， 3， 时，得到一个新的数列 当 n 依次取 1，
s1 u1
s2 u1 u 2
s3 u1 u2 u3
……
……． un 数列 sn 称为级数 的部分和数列． n 1
sn u1 u2 u3
un
第一节 幂级数及其在近似计算中的应用
第一节 幂级数及其在近似计算中的应用
0.5
0.55
0.45
0.5
0.45
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
图1
0.2
0.15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
图2
n n 0
n
n 0
幂级数的收敛区间 幂级数 a n x n 的收敛半径为 R lim n
幂级数的应用
幂级数的应用
幂级数在许多领域中具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用：
1. 函数逼近：幂级数可以用来逼近许多函数，从而简化函数的计算和分析。
例如，泰勒级数可以逼近任意光滑函数，因此可以用于求解微积分和微分方程。
2. 数值计算：幂级数可以用于计算各种复杂函数的数值解，如三角函数、指数函数、自然对数等等。
这些函数的计算可以通过幂级数展开进行近似计算，从而减少计算的复杂度。
3. 物理应用：幂级数在物理学中也有诸多应用，例如量子力学中描述物质波动的薛定谔方程等均可以转化为幂级数的形式进行计算。
4. 建模：幂级数也可以用来建立数学模型，并对模型的参数进行优化。
例如，广泛应用于机器学习和深度学习中的神经网络模型就可以使用幂级数作为关键数学工具。
5. 统计学：幂级数还可以用于建立的概率模型，如泊松分布、正态分布等。
这些模型可以拟合真实世界中的数据，并用于预测和决策。
幂级数应用于物理竞赛中的近似计算
幂级数应用于物理竞赛中的近似计算幂级数是一种重要的数学工具，它在物理竞赛中被广泛应用于近似
计算。
以下是幂级数在物理学竞赛中的几个应用：
一、光学求解
幂级数在光学中的应用非常广泛。
一些复杂的光学问题可以通过幂级
数的展开来近似解决。
例如，波导光纤的色散可以用幂级数展开来求解，获得更准确的数据和计算结果。
此外，幂级数还可以用于计算光
线的传播路径、折射和反射等问题。
二、热力学计算
幂级数也被广泛应用于热力学中的计算，例如计算气体的热容和内能。
这些计算通常需要通过幂级数展开来进行近似计算。
通过计算幂级数
的前几项，可以获得可靠的近似值。
三、量子力学计算
在量子力学中，幂级数也被广泛应用。
例如，在量子力学的微扰理论中，幂级数可以用于计算微扰对量子态的影响。
此外，在矩阵力学中，幂级数也可以用于计算能量的预测值。
四、电学计算
在电学中，幂级数主要用于电磁场的计算。
通过幂级数展开，我们可以计算电磁场的位势和磁势。
此外，幂级数也可以用于电容、电感和电阻等电学元件的计算。
五、粒子物理计算
幂级数在粒子物理中也有重要应用。
例如，幂级数可以用于计算质子的磁矩和电矩。
此外，幂级数还可以用于计算原子核的结构和性质。
总结
幂级数是物理学竞赛中重要的数学工具，它可以用于解决各种物理学问题。
通过幂级数的展开和计算，我们可以获得更准确的数据和计算结果。
在物理学竞赛中，熟练掌握幂级数的应用和计算方法，可以有效地提高竞赛成绩。
幂级数在函数领域的应用
幂级数在函数领域的应用赵青波（三门峡职业技术学院公共教学部，河南三门峡472000）摘要:幂级数是数学领域中的一种基础知识，同时也是数学计算中的一种重要“工具”，其在函数领域中有着较为广泛的应用，如在复变函数等领域中。
幂级数在函数领域中的应用决定了其在函数计算等过程中的重要性，一般来说，运用幂级数求函数的高阶导数、求数值级数的和、应用在近似计算中、应用在微分方程的解法、。
在数学解题过程中，通过把握幂级数在函数应用中的关键点，也能够起到事半功倍的作用，本论文通过分析幂级数在函数中具体应用的基础上，阐述幂级数在函数中应用的关键点，以此来多方位的展示出幂级数的在函数中的应用。
关键词：幂级数；函数；应用引言幂级数在函数中的应用是数学计算中解决函数问题的一种有效思路，同时也能够为函数类型题的计算提供一种“捷径”，通过对幂级数的性质进行分析，能够观察到，幂级数与函数之间存在着关联性，这也是幂级数作为函数解题“工具”的基础。
如幂级数是函数函数项级数中最基本的一类，在幂级数的收敛域上与函数之间存在的明确的关联性，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数。
本文通过对幂级数概念与性质的阐述，结合具体的解题思路，对幂级数与函数的应用进行分析。
一、幂级数概述幂级数是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
以幂级数常见的三个性质为例，以下进行阐述。
1.∑an xn在|x|＜R内绝对收敛，在|x|＞R内发散，其中R称n=a为收敛半径，此时再根据Hadamard公式进行相应计算。
2.如果函数S（x）是收敛域（-a,a）上的连续函数，则S（x）在x=a 左连续。
3.在收敛半径（-a,a）的范围内，幂级数可以任意次逐项求导或者求和，并且产生的新的幂级数的收敛半径不变。
二、幂级数在函数中的具体应用（一）利用幂级数求函数的高阶导数在常规数学计算中，将幂级数运用到求函数的高阶导数中，不仅能够降低计算的复杂性，也能够提高计算结果的准确性。
幂级数的典型应用毕业论文预览
幂级数的典型应用毕业论文预览Last revision on 21 December 2020本科毕业论文题目:幂级数的典型应用院系：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学姓名：罗云云学号：指导教师：管毅教师职称：讲师填写日期：2013年 5月 2日摘要幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中，很难用初等数学的方法进行计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用.关键词:幂级数;微分方程;不等式AbstractPower Series is a kind of series of functions with a simple format; its application is very broad. In some operations, it is difficult to use the method of elementary mathematics to calculate. At this time, some complex problems can be simplified by using the quality and expansion of power series. Based on the inductive methods, starting from the definition of power series, and then give the convergence domain of the power series, important theorem and power series expansion to summarize the four applications of the power series: first, in the application of approximate calculation; Second, in the application of inequality proof; Third, in the application of differential equations; Last, in the application of the determinant calculation.Keywords: Power series; Differential equations; Inequality目录摘要 (I)Abstract ......................................................... I I 第一章前言. (1)第二章幂级数的基本知识 (2)第一节定义 (2)第二节和函数 (2)第三节幂级数收敛域 (4)第四节函数的幂级数展开 (5)一、函数的泰勒展开式 (5)二、常见函数的麦克劳林展开式 (6)第三章幂级数的应用 (7)第一节在近似计算中的应用 (7)第二节在不等式证明中的应用 (7)第三节在微分方程中的应用 (9)第四节在行列式计算中的应用 (11)致谢 (14)参考文献 (15)第一章前言级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验的推动下逐步形成和发展起来的.中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年就创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积.这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题.印度的马德哈瓦在14世纪就提出了函数展开成无穷级数的概念,他首先提出了幂级数的概念,并对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究.同时,他开始探究无穷级数的敛散性方法.到了19世纪，高斯、欧拉、柯西分别得出了各种判别级数敛散性的方法,使得级数理论全面发展起来.中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董佑诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对初等函数的幂级数展开进行了深入的研究.而今,级数的理论已经发展得相当丰富和完整,级数既可以用来表示函数、研究函数的性质,也可以作为进行数值计算的一种工具.它在自然科学、工程技术等方面都有广泛的作用.幂级数是一类形式简单的函数项级数,应用非常广泛.在一些运算中,很难用初等数学的方法进行计算.这时,可以借助幂级数的性质、展开式等把复杂的问题简单化.本文通过归纳的方法,从幂级数的定义出发,接着给出幂级数的收敛域、重要定理及幂级数的展开式,总结了幂级数的四点应用:第一,在近似计算中的应用;第二,在不等式证明中的应用;第三,在微分方程中的应用;第四,在行列式计算中的应用.第二章幂级数的基本知识第一节定义在函数级数中有一类结构简单、应用广泛的特殊的函数级数∑∞=0n n a (y -a )n =0a +1a (y -a )+2a (y -a )2+ n a +(y -a )n + ,称为幂级数，其中0a ，1a ， ，n a ， 都是常数，称为幂级数的系数.特别地，当y -a =x ，上述幂级数就化为最简单形式的幂级数 n n n x a ∑∞=0=0a +x a 1+22x a +n n x a + .第二节 和函数设nn n x a ∑∞=0的收敛半径为R (R >0),()x S =n n n x a ∑∞=0为和函数，则有以下定理成立：定理[]81 若幂级数0nn n a x ∞=∑与'101()n n n n n n a x na x ∞∞-===∑∑的收敛半径分别是正数1r 与2r , 则12r r =.证明 首先证明12r r ≤.001:0x x r ∀<<,1011:x x x r ∃<<.已知级数10n n n a x ∞=∑收敛.n N +∀∈,有 n n nn n x a x x x n x na 1101=-, 已知极限001lim 0nn x n x x →∞= ,从而数列 001nx n x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭有界,即 0,M n N +∃>∀∈,有001.nx n M x x ≤于是, 10n n na x - 1n n M a x ≤.根据比较判别法，级数101-∞=∑n n n x na 绝对收敛，即12r r ≤.其次证明,21r r ≥.2000:r x x <<∀,2101:r x x x <<∃.已知级数∑∞=-111n n n x na 收敛.∈∀n +N ,有111100--=n n n nn x na x x n x x a .已知极限0lim 110=-∞→n n x xn x ，所以数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-1100n x xn x 有界，即 ,,0+∈∀>∃N n M 有M x xn x n ≤-110.于是, 110-≤n n nn x na M x a .根据比较判别法，级数n n n x a 00∑∞=绝对收敛，即12r r ≥.综上所证,12r r =.定理[]82 若幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径0r >, 则(,)x r r ∀∈-,它的和函数()x S 由0到x可积,且可逐项积分,即()xxnn n S t dt a t dt ∞==∑⎰⎰101+∞=∑+=n n n x n a .证明 (,)x r r ∀∈-,0η∃>,使[](),,x r r ηη∈-⊂-.已知幂级数内闭一致收敛.和函数()x S 由0到x 可积, 且可逐项积分,即dt t a dt t S nn xn x∑⎰⎰∞==0)(101+∞=∑+=n n n x n a .根据定理1,此幂级数的收敛半径也是r .定理[]83 若幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径0r >,则它的和函数()x S 在区间(),r r -可导,且可逐项微分,即(,)x r r ∀∈-,有()=x S '(n n n x a ∑∞=0)'=10-∞=∑n n n x na .证明 根据定理1,幂级数10n n n na x ∞-=∑的收敛半径也是r .(,)x r r ∀∈-,0,η∃>使[](),,x r r ηη∈-⊂-.已知幂级数内闭一致收敛.和函数()x S 在x 可导,从而和函数()x S 在区间(),r r -可导,且可逐项微分,即(,)x r r ∀∈-,有()=x S '(n n n x a ∑∞=0)'=10-∞=∑n n n x na .第三节 幂级数收敛域已知幂级数+++=∑∞=22100x a x a a x a n n n ++n n x a . ()1现在讨论幂级数()1的收敛问题，显然幂级数()1在0=x 处总是收敛的，我们有以下定理：定理4 若幂级数()1在()000≠=x x x 收敛，则对满足不等式0x x <的任何x ，幂级数()1收敛而且绝对收敛；幂级数()1在()000≠=x x x 时发散，则对满足不等式0x x >的任何x ，幂级数()1发散.证明 设幂级数nn n x a 00∑∞=收敛，从而数列{}n n x a 0收敛于零且有界.即存在某正数M ，使得()⋅⋅⋅=<,2,1,00n M x a nn .另一方面对任意一个满足不等式0x x <的x ，设10<=x xr ，则 nnn n n nn n n n Mr x x x a x x x a x a <=⋅=0000. 由于级数∑∞=0n n Mr 收敛，故幂级数()1当0x x <时绝对收敛.现在证明定理的第二部分.设幂级数()1在0x x =是发散，如果存在某一个1x ，它满足不等式0x x >，且使级数∑∞=01n n n x a 收敛，则由定理的第一部分知道，幂级数()1应在0x x =时绝对收敛.这与假设矛盾，所以对一切满足不等式0x x >的1x 幂级数()1都发散.则可知道幂级数()1的收敛域是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，则称R 为幂级数的收敛半径.事实上，它就是使得幂级数()1收敛的那些收敛点的绝对值的上确界，所以：当0=R 时，幂级数()1仅在0=x 处收敛； 当+∞=R 时，幂级数()1在()+∞∞-,上收敛；当+∞<<R 0时，幂级数()1在()+∞∞-,内收敛；至于R x ±=，幂级数()1可能收敛也可能发散.我们称()+∞∞-,为幂级数的()1收敛区间.第四节 函数的幂级数展开一、函数的泰勒展开式定义[]71 若函数()x f 在点0x 存在n 阶导数,则有这里()()nx x o 0-为佩亚诺型余项,称()2为()x f 在点0x 的泰勒公式.当00=x 时,()2式变成()()()()()()nn x n f x f x f f x f !0!20"!1002'++++= ()n x o +,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义[]72 若函数()x f 在点0x 的某领域内为存在直至1+n 阶的连续导数,则()()()()()()()()()n n x x n x f x x x f x x x f x f x f 0020000'0!!2"!1-++-+-+= ()x R n + ()3 这里()x R n 为拉格朗日余项()()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ,其中ξ在x 与0x 之间,称()3为()x f 在点0x 的泰勒公式.当00=x 时,(3)式变成()()()()()()nn x n f x f x f f x f !0!20"!1002'++++= ()x R n +,称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.二、常见函数的麦克劳林展开式1.()n nxx o n x x x e +++++=!!2!112 ;2.()()()12123!121!3sin ++++-++-=n n nx o n x x x x ; 3.()()()n nn x o n xx x 222!21!21cos +-++-= ; 4.()()()n nn x o nxx x x x +-+-+-=+-1321321ln ; 5.()()n n nx o x x x x x+-++-+-=+111132 . 第三章 幂级数的应用第一节 在近似计算中的应用[]1当()x f 的原函数不能用初等函数表示出来,计算()x f 的定积分就遇到了困难.现在,我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值.具体计算时,要求被积函数能够展成收敛的幂级数,且积分区间必须在幂级数的收敛域内,然后利用幂级数的逐项积分性质来计算定积分的值.例3.1.1[]2 计算定积分dx x ⎰+5.00411的近似值，要求误差不超过0001.0. 解：()[]dx x x x x x n n ⎰⎰+-++-+-=+5.00412845.0041111 +⋅-⋅+⋅-=1395211312191215121,上式右端为一交错级数,有 4134310000009.021131-<≈⋅=≤u r ， 故取前3项作为定积分的值,并在计算时取五位小数,可得4940.0219121512111955.004≈⋅+⋅-≈+⎰dx x .例3.1.2[]3 计算积分dx xx⎰10sin 的近似值，精确到410-.解:()() ++-++-+-=!121!7!5!31sin 2642n x x x x x x n n, ∴ dx x x ⎰10sin ()()() +++-+⋅+⋅+⋅-=!12121!771!551!3311n n n,因为第四项的绝对值41030001!771-<<⋅, 取前三项作为定积分的近似值，得9461.0!551!3311sin 10≈⋅+⋅-≈⎰dx x x . 第二节 在不等式证明中的应用在一些不等式的证明中，用初等数学方法往往很难证明，但是利用幂级数展开式能巧妙地将问题化难为易.例3.2.1 证明当0>x 时，()x x x cos 2sin 3+<. 证明: 由三角函数的幂级数展开式易知!53!23!5!33sin 35353x x x x x x x +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<，0>x()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+>+x x x x x x !6!4!212cos 2642 !6!4!23753x x x x -+-，0>x要 !53!6!4575x x x >-，即2!61!53!41x >-, 则12!6!52!6!53!412=⨯⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x ,所以,当120<<x 时，不等式成立.又x x sin cos 2>+,()x x sin 912cos 2>+, ()x cocx sin 3122>+， 所以,当12>x 时,不等式成立.综上所证，当0>x 时,不等式成立.例3.2.2 证明不等式222x x x e e e ≤+-，()∞∞-∈,x .证明: ∵ ++++++=n x x n x x x e !1!31!21132∑∞==0!n nn x ()+∞∞-∈,x .()!10n x nnn ∑∞=-= ()+∞∞-∈,x .∴()∑∞=-=+02!22n nxx n x e e ，()∑∞==022!!2222n n x n x e ， 由于 ()()!!2!222n x n x nn ≤， 所以就可以得到222x x x e e e ≤+-.第三节 在微分方程中的应用有些微分方程的解不能用初等函数或积分来表示,此时常常用幂级数求出它的解.[]5如果所求方程 满足初始条件00y yx x ==的特解,其中函数()x f 是()0x x -、()0y y -的多项式,那么可以设所求特解可展开为0x x -的幂级数:()()() +-++-+-++=nn x x a x x a x x a x a y y 030320210, ()5其中 ,,,,21n a a a 是待定的系数.把()5带入()4, 便得一个恒等式,比较所得恒等式两端0x x -的同次幂的系数,就可定出常数 ,,,,21n a a a ,以这些常数为系数的级数()5在其收敛区间内就是方程()4满足初始条件00y yx x ==的特解.[]6如果方程()()0'"=++y x Q y x P y 中的()x P 与()x Q 可在()R R +-,内展成x 的幂级数,那么在()R R +-,内方程()()0'"=++y x Q y x P y 必有形如 的解.例3.3.1[]3 求2y x dxdy+=满足0|0==x y 的特解. 解: 0=x ，0=y ，设 将()x y 、()x y '代入原方程得即 () +++++=4212232122122x a a a x a a x a x . 根据恒等式两端x 的同次幂的系数，得01=a ，212=a ，03=a ，04=a ，2015=a ， 所以，原式的解为：() ++=5220121x x x y . 例3.2.2[]4 求方程0'"=--y xy y 的解.解：设微分方程的解是处处收敛的幂级数，即 ()n n n x a x y ∑∞==0.求微分方程的解，实质上就是求级数n n n x a ∑∞=0的未定系数0a ，1a ，2a ， .逐项微分两次，即()10'-∞=∑=n n n xa n x y ，()()201"-∞=-=∑n n n x a n n x y .代入方程之中，有()201-∞=-∑n n n xa n n -1-∞=∑n n n xa n x -nn n xa ∑∞=00=,即 ()()-+++∞=∑nn n x a n n 20121-∞=∑n n n xa n x -00=∑∞=nn n xa ,()()()[]011202=+-++∑∞=+n n n n x a n a n n .22+=+n a a nn ，0=n ，1，2， . 由递推公式有202a a =,313a a =,804aa =,1515a a =, ,202a a =,804a a =, ,k k k aa 2!02=,1=k ,2,3, ,313a a =,1515aa =, ,()!!12112+=+k a a k ,1=k ,2,3, ,所以，原方程的解为：()()∑∑∞=+∞=++=0121020!!122!n n n n n n x a n x a x y ，其中0a 、1a 是任意常数.第四节 在行列式计算中的应用若一个行列式可看作X 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作()x f ,按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.还可以利用幂级数的变换计算行列式,当利用幂级数的变换计算行列式时,往往要找到行列式序列的递推关系式,设出与行列式序列对应的幂级数,根据递推关系出现的具体情况,对假设出的幂级数进行恰当运算,最后求出幂级数,通过比较幂级数的系数可得到n 阶行列式n D 的值.例3.4.1 求n 阶行列式xz z z y x z zyy x zy y y x D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= . 解: 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：n n n n n n n z x n z f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)()(!1)()()()(2'''-+-+-+= , ()6易知1)(000000000000--=-----=k k y z z y z y y z y y z y y z y yz D 阶. ()7由()7得,n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-时都成立. 对行列式求导,有))((1)(),(2)(,),()1()(),()(1'11'22'11'x x f x f x f x f x f n x f x nf x f n n n n ===-==--- .于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为：21'')()(|)()(--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f ;3'1'''')()1()(|)()(--=--===n n z x n n y z z n n z nf z f z f ; z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--;12)1()()(⋅-= n n z f n n , 把以上各导数代入()6式中,有 若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.例3.4.2 计算行列式1111100000111000011110001110000111000011------=n D .解: 当1=n 时,11=D ;当2=n 时,22=D ;当2>n 时,将n D 按第一列展开，即得 21--+=n n n D D D ,此行列式序列1D ,2D ,3D , 是着名的斐波那契数列,开始两项为1,2,以后各项均为前两项之和,即1，2，3，5，8，13，21，34，55， .数列的构造规则可表示为差分方程 初始值条件为 11=D ,22=D .设 () ++++=n n x D x D x D x F 221, ()9 分别用x -，2x -乘以()9式得：() -----=-+13221n n x D x D x D x xF , ()10 由()9()()1110++可得：()()()() +--++-+=----n n n n x D D D x D D x D x x x F 21212121,由()8可知： ()1111222---=--+=x x x x x x x F , 解方程21x x --0=，得2511+-=x ，2512--=x ；所以有 121-=x x ，512-=-x x ,()()n n n n n x x x x x ∑∞=++---=1121112 . ()12由()8和()12的系数可得：()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---=++++11121112251251511n n nn n nn x x x xD . 致谢踉踉跄跄的折腾了两三个月,论文得以成形,基本上达到了预期的效果,但由于能力和时间的关系,总是觉得有很多不敬人意之处.在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍,同学和老师的热情帮助下逐一克服了.尤其是要深深地感谢我的论文指导老师---管毅老师,他给了我无私的指导和帮助,他严肃的科学态度,严谨的治学态度,精益求精的工作作风,深深地感染着、激励着我,同时在思想上和生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向管老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.其次还要感谢我的室友和论文小组的同学们,在我论文的撰写和排版工作上,给了我很多的建议和帮助,正是由于有了你们的帮助,本文才得以那么快完成,在此一并表示由衷的感谢.最后由于本人学术水平有限,所以论文难免有不足之处,恳请各位老师和学友加以批评指正.参考文献[1]刘玉琏.数学分析讲义[M].第二版，北京: 高等教育出版社，. [2]沈京一，张晓曦.高等数学[M ].北京：科学出版社，2007. [3]张淑辉.幂级数的应用[J].太原教育学院学报,2005,23(2):95-97. [4]文丽，吴大良.高等数学[M].北京：北京大学出版社，1999.[5]上海财经大学应用数学系主编.高等数学[M].上海：上海财经大学出版社，2003.[6]王伟珠.函数的幂级数展开式的应用[J].赤峰学院学报（自然科学版),2012,8(9):4-6.[7]周海兵,张欣星.幂级数在高等数学中的应用[J].高等函授学报（自然科学版）,2006,19(4):24-26.[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M ].北京：高等教育出版社，1983.范文一：历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。
幂级数的应用
降低感染率手段 引流的时间：1周内,最长≤2周。 引流管引出口：不能在原切口处直接引出,因在头皮下潜行约1～2cm后在原切口旁引出,防止细菌逆行感染。 引流瓶放置高度：适当,避免脑脊液倒流回脑内增加感染可能。 引流管冲洗：适时可用庆大霉素稀释液冲洗引流管, 不冲洗脑内段。操作要得当。 拔管时关闭引流管阀门,拔除后及时缝合拔管处头皮。
降低感染率手段 为减少切口脑脊液漏。术中应尽可能修补硬脑膜,关闭死腔,术中尽可能减少头皮止血。 为减少耳漏和鼻漏。术中发现打开额窦和乳突后立即用消毒液浸泡的棉球消毒窦璧黏膜并向内推开黏膜层,随后用骨蜡完全封闭窦口或乳突气房,更换与窦璧接触的手术器械。
是否污染手术？手术时间>4h？应用手术显微镜？二次手术？ 是则明显增加颅内感染率。
是否为后颅窝手术？ 手术体位复杂。 开颅时间长。 手术显微镜辅助。 术区蛛网膜易粘连,后颅窝手术一般不缝合硬脑膜。 肌肉和头皮间缝合不严,易形成储液囊腔,致脑脊液循环障碍,为细菌繁殖提供机会。 可能打开乳突气房。 故而术后颅内感染几率显著较高。
降低感染率手段 后颅窝关颅时肌层和头皮要求严格缝合,肌层紧贴硬膜,引流管保持通畅。 当切口脑脊液漏时,应在无菌条件下严密缝合。
降低感染率手段 开放性颅脑损伤需早期彻底清除坏死脑组织,清除脑组织内的碎骨片和异物,关闭硬脑膜和头皮伤口,将开放性的污染伤口变为清洁的闭合伤。 术中受污染部位的手术区域需彻底消毒;接触污染区域后的手术器械与清洁区域的器械需分开。关颅前常规用大量生理盐水冲洗。 尽量缩短手术时间。 严格按照规范使用显微镜。 二次手术打开硬脑膜前可用稀释的聚维酮碘冲洗术野。
是否存在脑脊液漏？ 可分为切口的脑脊液漏和脑脊液鼻漏、耳漏。
颅脑损伤常见的并发症, 据文献报道, 其发病率在2 %～9 % , 需手术治疗者占2.4 %。 颅脑损伤后, 颅底骨折伴有硬脑膜及蛛网膜同时破裂,脑脊液通过损伤的鼻窦或岩骨经鼻或耳流出, 即形成脑脊液鼻漏及耳漏。 漏的时间越长, 感染机会越大。
幂级数的性质与应用
幂级数的性质与应用一、幂级数的定义与性质幂级数是数学分析中一种重要的级数形式，它是一系列幂函数的和。
幂级数可表示为：$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$$其中，$a_n$是常数系数，$a$是幂级数的中心。
幂级数具有以下性质：1. 收敛域性质：幂级数可能在某个特定区间内收敛或发散。
如果幂级数在$x=a$处收敛，那么它在该收敛区间内的任意点$x$也收敛，这被称为收敛半径。
收敛区间可能为开区间、闭区间或半开半闭区间。
2. 系数唯一性：一个幂级数在给定收敛区间内的每个点上的函数值都是唯一确定的。
也就是说，若两个幂级数在某个收敛区间内完全相同，则它们的各项系数必须一一对应相等。
3. 绝对收敛性：如果幂级数在其收敛区间内的所有点上都收敛，且收敛绝对值级数$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n(x-a)^n|$也收敛，则称该幂级数为绝对收敛。
4. 幂级数和的可积性：如果幂级数在收敛区间内每个点上都可积（即广义积分存在），则称该幂级数是可积的。
5. 导函数与积分的性质：幂级数在其收敛区间内可导和可积。
幂级数的导函数和积分具有以下性质：- 给定一个幂级数$f(x)$，则$f'(x)$的系数$a'_n = n\cdot a_n$，$f''(x)$的系数$a''_n = n(n-1)\cdot a_n$，以此类推。
- 给定一个幂级数$f(x)$，则$f(x)$的积分$\int f(x)dx$的系数$b_n= \frac{a_n}{n+1}$。
二、幂级数的应用幂级数广泛应用于多个数学和物理学领域，以下介绍其中几个重要的应用：1. 函数逼近：通过适当选择幂级数中心和系数，可以用幂级数来逼近和展开各种函数。
例如，泰勒级数是一种特殊的幂级数，可以用来逼近函数在某个点的近似值。
在实际计算中，我们可以利用幂级数展开，将复杂函数转化为简单的多项式计算。
幂级数展开的应用
幂级数展开的应用幂级数展开在数学中具有广泛的应用。
它通过将函数表示为无限项的和的形式，可以用来近似计算复杂的函数，求解微分方程，以及在其他领域中进行数值计算。
本文将介绍幂级数展开的基本概念和一些常见的应用。
首先，我们来回顾一下幂级数的定义。
对于给定的函数f(x)，它的幂级数展开形式为：f(x) = a0 + a1(x - c) + a2(x - c)^2 + a3(x - c)^3 + ...这里的a0, a1, a2等是幂级数的系数，c是展开点（也称为幂级数的中心点）。
幂级数可以表示为无穷级数的形式，其中每一项都是基于前一项的。
幂级数的应用之一是在函数逼近和近似计算中。
对于某些复杂的函数，我们可能很难求解其精确值。
但是，通过使用幂级数展开，我们可以将函数表示为一个无限项的和，并通过截断无穷级数来得到近似值。
使用所有项计算将得到函数的精确值，但通常我们只需要前几项来获得一个足够准确的结果。
举个例子，考虑近似计算sin(x)的值。
我们可以使用泰勒级数展开sin(x)：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...在展开点c=0附近，我们只需要前几项就可以得到较为准确的结果。
例如，使用前5项展开，我们可以得到：sin(x) ≈ x - (x^3)/3! + (x^5)/5!这种近似方法在许多实际问题中非常有用，特别是在涉及复杂函数的计算时。
通过选择合适的展开点和适当的项数，我们可以根据需要平衡计算的准确性和效率。
幂级数展开还可以用于求解微分方程。
微分方程描述了自然界中许多现象的变化规律。
然而，解析求解微分方程可能非常困难，甚至不可能得到精确解。
在这种情况下，我们可以使用幂级数展开来近似求解微分方程。
考虑一个简单的一阶线性常微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)其中p(x)和q(x)是已知的函数。
我们可以将未知函数y(x)表示为幂级数展开的形式：y(x) = a0 + a1(x - c) + a2(x - c)^2 + a3(x - c)^3 + ...将幂级数展开代入微分方程中，并比较等次项的系数，我们可以计算出展开点c附近的系数a0, a1, a2等。
实分析中的级数与幂级数
实分析中的级数与幂级数级数和幂级数是实分析中重要的概念和工具，在数学领域具有广泛的应用。
本文将介绍级数和幂级数的基本概念、性质以及它们在实分析中的应用。
一、级数的定义和性质在实分析中，级数是指将数列的每一项进行求和得到的结果。
如果一个数列的部分和构成的数列收敛，则称该数列为级数收敛，否则称为级数发散。
级数的求和可以用求无穷级数部分和的极限来表示。
一个级数的可求和性与其数列的性质密切相关。
例如，如果一个数列是单调递减的且有界，那么该数列对应的级数是收敛的。
级数具有以下性质：1. 若级数收敛，则其部分和数列必定趋于有限的数值。
2. 若级数发散，则其部分和数列以无穷大为极限。
3. 收敛级数的任意子级数也是收敛的，而发散级数的任意子级数也是发散的。
二、幂级数的定义和性质幂级数是形如∑(aₙxⁿ)的级数，其中aₙ和x是实数。
幂级数与多项式类似，不同的是幂级数可以是无穷项的。
幂级数具有以下性质：1. 每个幂级数都有一个收敛半径，表示在该半径内幂级数是收敛的。
收敛半径可以通过求幂级数的常数项限制来确定。
2. 幂级数在其收敛半径内是绝对收敛的，也就是说，对于收敛半径内的任何x值，幂级数的绝对值收敛。
3. 幂级数的和函数在其收敛半径内是无穷次可导的。
三、实分析中级数与幂级数的应用1. 查找序列的极限：级数可以用于求解数列的极限。
通过将数列表示成部分和的极限形式，可以利用级数的特性求解数列的极限值。
2. 近似计算函数：幂级数在其收敛半径内可以表示为一个函数。
通过将函数展开成幂级数的形式，可以将函数近似为有限项级数，方便计算。
3. 解决微分方程：幂级数在解决微分方程中发挥了重要作用。
通过将微分方程的解表示为幂级数形式，可以将微分方程转化为对幂级数系数的求解问题。
4. 分析函数行为：级数和幂级数可以用于研究函数的性质，例如函数的奇偶性、渐近线、收敛速度等等。
通过对级数和幂级数的研究，实分析提供了一种强大的工具和方法来研究数学中的各种问题。
浅谈幂级数在计算中的应用
当 f(x)的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，
计算 f(x)的定积分就遇到了困难。现在，我们可以利用幂级数
展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值。具体计算
时，要求被积函数能够展成收敛的幂级数，且积分区间必须在
幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算
所求定积分的值。
例 1 证明
[关键词]绘画材料 媒介剂 变化
西方绘画——油画，真正意义上的 产生至今不过 500 年的历史，而此前欧 洲曾经历过古代胶彩画、蜡彩画、镶嵌 画、湿壁画、干壁画、坦培拉绘画以及坦 培拉与油画混合技法的漫长历史变迁， 直到 16 世纪以后，现代意义的油画才逐 步发展成熟，并作为西方主要画种统领 画坛直至 20 世纪。油画从某种意义上 来说也是材料技法的演变史，由于结合 剂的改变，绘画经历了从蜡画、镶嵌画、 干壁画、湿壁画、坦培拉绘画到油画的历 史变迁。
辽宁对外经贸学院 李玉萍
[摘 要]西方绘画经历了从蜡画、镶嵌画、干壁画、湿壁画、坦培拉绘画到油画的历史变迁，而绘画材料、颜料、媒介剂的变化 则促进了油画的发展。十五世纪欧洲北方画派的奠基人凡·爱克创造的绘画媒介剂“布鲁日光油”促成坦培拉绘画正式向油画 过渡，法国当代超写实主义画家克劳德·伊维尔创造的玛蒂树脂，则是古典油画技法不可缺少的重要材料。
· 283 ·
能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形
式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、
条理清楚。
一、幂级数在近似计算中的应用
我们通过 的近似计算来研究利用幂级数进行近似计算的
方法。 可用 arcsin x 的幂级数展开式取 x=1 近似计算，也可
用 arctan x 的幂级数展开式取 近似计算，我们不妨用前者
幂级数在积分中的应用
Σ 乙 ∞
解：被积函数是非负的，只需判别级数
n=0
(n+1)π nπ
x 1+x6sin2x
dx 的敛
散性。
我们先估计
乙 乙 (n+1)π nπ
x 1+x6sin2x
dx≤
(n+1)π nπ
(n+1)π 1+(nπ)6sin2x
dx=
乙 乙 nπ+
π 2
nπ
(n+1)πdtanx 1+[(nπ)6+1]tan2x
由于(1- z )=1- C10 z +C10 z - C10 z +…，
10
1
22 33
(1- z) =1+C10 z+C11 z +C12 z +…，
10 1 4
因此 F(z)的展开式中 Z30 项的系数为：B20 =C19 - C10 C13 =106
=0.001409。
从上面的计算可以看出关于二项概率的计算问题借助于幂级数构
造生成函数是一种比较简单的计算方法。
参考文献 ［1］张淑辉.幂级数的应用.太原教育学院学报,2005.6. ［2］邢永丽,陈建春.泰勒级数在近似计算中的应用.湘潭师范学院学 报,2004.3. ［3］张艺, 解烈军.微分方程初值问题泰勒级数法的实现.大学数学, 2006.7.
（4）通过改变室内人员数量来改变室内各项负荷，重复以上实验。 （5）实验完毕，关闭空调机组和楼宇自动化实验平台。 3.5 结果分析 （1）画出两种工况下系统总风量以及新风量的变化逐时图。 （2）通过室内温度、湿度以及 CO2 浓度值的变化情况分析变风量空 调系统的控制效果。
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幂级数在近似计算中的应用摘要：形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑的函数项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算.关键词：幂级数、近似计算1. 理论依据以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成无数级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计。
我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项230121351211=11 !2!3!!!(1)(1)213!5!21(2n 1)!!=+(2)!!n n n xn n n n n n n n x x x x x e x r n n n x x x x x n n n ∞=----∞=∞==++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=--==-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅---∑∑①②arctanx ③arcsinx x 211231121(1)(1)23n n n n nn xn x x x x x n n ---∞=⋅+--=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑∑④ln(1+x)=2.π的近似计算⑴由函数arctan y x =的幂级数展开式知1211(1)21n n n x n --∞=-=-∑arctanx①1x =若取时1111(1)43521n n π=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅- （1）1114(1+(-1))3521n n π⇒=-++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。
如果取级数前n 项之和作为π的近似值即1114(1+(-1))3521n n π≈-++⋅⋅⋅+，其误差为42+1n r n ≤， 为了保证误差不超过410-，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctan x 展开式而言，当x 越小收敛越快，恰恰在端点1x =收敛最慢. 以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些.②现若取x =35121111(1)63521n n n π--=⋅+⋅+-+⋅⋅⋅- （2）123111111111(1))335373213n n n π--=-⋅+⋅-⋅+-⋅+⋅⋅⋅- 若取级数的前n 项和作为π的近似值，其误差为(2+1)3n nr n ≤⋅下面实现(2)式的计算，若要求误差小于410-，计算π的程序见附录1当n=8时，48910193r -=<⋅23711111111) 3.14167335373153π=-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅=③现取12x =，1arctan 2α=，显见04πα<<，记4πβα=-，而1tan tan()43πβα=-=，所以1tan 3arc β=，就是11tan tan 423arc arc π=+3513135131111114(...23252132111111...(1)) 3.1415633353133n π-=-⋅+⋅++⋅+⋅-⋅+⋅++-⋅=⋅ (3)下面实现(3)的计算，若要求误差小于410-，计算π的程序见附录2当n=7时，1351335131111111111114(......(1)) 3.141562325213233353133n π-=-⋅+⋅++⋅+-⋅+⋅++-⋅=⋅⋅⑵对于sin arc x 的展开式而言，取12x =11(21)!!162(2)!!21n n n n π∞=-=+∑+ (4)下面实现(4)的计算，若要求误差小于410-，计算π的程序见附录3当n=4时，4497!!108!!92r -=<⋅⋅ 35711!!3!!5!! 3.14115622!!324!!526!!72π=+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅综上，知当误差确定时，对相同的幂级数展开式，x 的取值不同，近似计算π的精确程度也不同，对不同的幂级数展开式结果亦然.3.数e 的近似计算x e 以的幂级数展开式为基础进行讨论2301!2!3!!n nxn x x x x e x n n ∞===++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑当x =1时，1112!!nx e n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅21111(11)2!!(1)!(2)!(3)!1111111(1)(1)(1)!(2)(2)(3)(1)!1(1)!n x e n n n n n n n n n n n n n ⇒-+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++=+++⋅⋅⋅<+++⋅⋅⋅=+++++++所以取作为近似值，则误差例如:精确到7110，则需要71110!10n r n n n <<⇒=(见附录4)11111 2.71828182!3!10!e ∴=++++⋅⋅⋅=扩广:利用幂级数推导e 是无理数1110(11)0!(11)12!!!2!!n n x x e n n e n n n n ⎡⎤<-+++⋅⋅⋅+<⇒<-+++⋅⋅⋅+<⎢⎥⎣⎦1!(11)2!!n x k n n e n ⎡⎤=-+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦令01k ∴<<1!(11)112!!11!2!!11112!!!n x n n e n e n n n kn n n⎡⎤-+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++反证法:假设e 是有理数，则,,(,)1,p q N p q p q∃∈=>11!1111!(11)2!!!2!!p k pn n e n n k q n n n q n ==+++⋅⋅⋅++⇒=+++⋅⋅⋅++ 等式左边是一个整数，右端第一项是整数，而k 是小数；即右端不是整数，矛盾.故e 是无理数.3.对数的计算利用对数的幂级数展开式，作对数的近似计算。
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2
1 2
0
(1)n
n0
x2n n!
dx
2 (1)n
n0 n!
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x
2n
dx
0
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(1)n n0n! (2n 1)
2
1
2n1
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在上述展开式中取前四项,
r4
2
1 9
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1 11
1 311
1 13
1 313
2 311
2
1 2
ex2
d
x
0
1
1
1 22 3
24
1 5 2!
26
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3!
欲使截断误差
rn
1
1 n!(2n 1) 22n
104
则 n 应满足 n!(2n 1) 22n 104
则所求积分近似值为
2
1
2e
x2
dx
0
120
3
sin 1 ( )3 0.157080 0.000646
20 20 3! 20 sin x x 0.1x53643x5 x7 误差不超过 1035! 5! 7!
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1 2 81
2065.53118 0141811
5
240
3 (1
1 5
1 34
)
3
0.00741
2.9926
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例 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 104.
4!
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r2
3
1 4 52 2!
1 38
1 4 53
9 3!
1 312
1 4 54
9 14 4!
1 316
3
1 52
4 2!
1 38
1
1 81
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例 计算积分
的近似值, 精确到
(
取
1
0.56419)
解: ex2 1 (x2 ) (x2 )2 (x2 )3
1!
2!
3!
(1)n x2n ( x )
n0
n!
2
1 2
e
x
2
dx
0
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例 利用
误差.
求
的近似值 , 并估计
解: 先把角度化为弧度 9
(弧度)
sin 1 ( )3 1 ( )5 1 ( )7
20 20 3! 20 5! 20 7! 20
r2
1 ( )5
5! 20
1 (0.2)5 1 105
1
1 9
(1)2 9
2 311
1
1
1 9
1 4 39
1 0.2 104
78732
ln 2
2
1 3
1 3
1 33
1 5
1 35
1 7
1 37
0.6931
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高等数学(经济类) (第二版)
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
与机械工业出版社版配套
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第七章
无穷级数
数项级数
无穷级数 幂级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
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解: 已知
ln(1 x) x x2 x3 x4
234
故 ln1 x ln(1 x) ln(1 x)
1 x
2 x 1 x3 1 x5
令
1
x
2
得
x
1
,
3
于是有
5
1 x
3
(1 x 1)
ln 2
2
1 3
1 3
1
1
1 22
3
24
1 5 2!
26
1 7 3!
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7.5 幂级数在近似计算中的应用
第七章
Y20A1N9G年Z1H0O月U6日U星N期IV日ERSITY高等数学(经济类)
例 计算 5 240 的近似值, 精确到 104.
解:
5
240
5
243 3
3
(1
1 34
1
)5
3
1
1 5
1 34
1 52