2020高考数学(理)三轮复习每日一卷试题+参考答案+评分标准 (1)

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2020年高考数学(理)试卷(新课标1)(含解析)

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由复数的乘方和加减运算，化简z2﹣2z，再由复数的模的定义，计算可得所求值．【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故选：D．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a 的方程，解方程可得a．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，则a＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．3．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，则依题意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝（负值舍去）；故选：C．【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．4．（5分）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．9【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9+＝12⇒p＝6；故选：C．【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．5．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：D．【点评】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．6．（5分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求解．【解答】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，又f（1）＝1﹣2＝﹣1，∴函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．7．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．【分析】由图象观察可得最小正周期小于，大于，排除A，D；再由f（﹣）＝0，求得ω，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．【解答】解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由图象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即为﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若选B，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．8．（5分）（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．20【分析】先把条件整理转化为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解．【解答】解：因为（x+）（x+y）5＝；要求展开式中x3y3的系数即为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数；展开式含x4y3的项为：x2•x2•y3+y2•x4•y＝15x4y3；故（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为15；故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cosα的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sinα的值．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sinα＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．10．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π【分析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝AB sin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P 作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|•|AB|＝，说明要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，圆心M（1，1），半径r＝2．∵＝2S△P AM＝|P A|•|AM|＝2|P A|＝．∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为y﹣1＝（x﹣1），即y＝，联立，解得P（﹣1，0）．则以PM为直径的圆的方程为．联立，可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，是中档题．12．（5分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a+log2a＜22b+log22b；再借助于函数的单调性即可求解结论．【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；且f（a）＜f（2b）⇒a＜2b；故选：B．【点评】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考理科数学(3卷)：答案详细解析(客观题,最新)

【答案】D
11．（解析几何）设双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为
F1，F2，离心率为 5 ．P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，
则 a＝
A．1
B．2
C．4
D．8
S
1 2
mn
4
【解析】设
PF1
m
，
PF2
n
，根据题意可得，
m2 n2 m n
C．4
D．6
【解析】∵ A B {(1, 7), (2, 6), (3,5), (4, 4)} ，∴A∩B 中元素的个数为 4.
【答案】C
2．（复数）复数
1 1 3i
的虚部是
A． 3 10
B． 1 10
1 C． 10
3 D． 10
【解析】
1 1 3i
(1
1 3i
3i) 1
3i
1 3i 10
即 2 2 2 p 2 p 0 ，解得 p 1，∴C 的焦点坐标为 ( 1 , 0) . 2
图 A5
第2页共8页
解法二： DE 4 p ， OD OE 4 4 p ，
∵OD⊥OE，∴ OD 2 OE 2 DE 2 ，即 2(4 4 p) 16 p ，解得 p 1，
∴C 的焦点坐标为 ( 1 , 0) . 2
19 57
19 35
.
【答案】D
7．（三角函数，类文 11）在△ABC 中， cos C= 2 ， AC 4 ， BC 3 ,则 cos B 3
1
2 D． 3
【解析】由余弦定理得， AB2 AC2 BC2 2AC BC cos C 9 ，

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前考试时间：2020年7月7日15:00-17:002020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)数学(理科)试题 (解析版)试卷总分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i-的虚部是（） A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,。

2020年全国高考三轮复习信息卷理科数学(附答案+全解全析)01

2020年全国高考三轮复习信息卷数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合A ={x ∈N||x −1|≤1 }, B ={x|y =√1−x 2}，则A ∩B 的真子集的个数为（） A ．3 B ．4 C ．7 D ．82．若复数22252x 2i 2x x x x -++---（）为纯虚数，则x 的值为（） A ．2． B ．-1. C ．12-． D ．12． 3．若347log log log 2x y z ==<-，则（）A ．347x y z <<B ．743z y x <<C ．437y x z <<D ．734z x y <<4．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（）A ．13B ．16C ．14D ．1125．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（）A ．128.5米B ．132.5米C ．136.5米D ．110.5米 6．函数1()log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．7．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．128．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，13AP AB =u u u r u u u r ，12AQ AD =u u u r u u u r ，若12CP CQ ⋅=u u u r u u u r ，则BAD ∠=（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．23π 9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?10．中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A ．43πB ．4πC ．8πD ．64π11．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（）A ．13B ．3C ．12D ．212．已知f(x)={e x ,x ≤01−x,0<x <1√x −1,x ≥1 ,若a <b <c,f(a)=f(b)=f(c),则实数a +3b +c 的取值范围是。

2020高考数学(理)三轮复习每日一卷试题+参考答案+评分标准 (20)

2020高考数学三轮每日一卷满分150分时间120分钟一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数2zi =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A I ( ) A ．），（210 B ．），（121 C ．]121，（ D ．]121[， 3．若4log 3a=，0.33b =，3log cos19π20c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．dx x x ))1(1(212---⎰的值是（）A.314-πB.14-πC.312-πD.12-π5．已知5sin 26cos()0,(0,),2παπαα+-=∈则2cos ()24απ+=（）A.45B.15－C. 35D.156．给出下列四个命题： ①命题“若π4α=，则tan 1α=”的逆否命题为假命题； ②命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤．则0:p x ⌝∃∈R ，使0sin 1x >；③在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >；④命题：“0x ∃∈R ，使003sin cos 2x x +=”．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在中，，，，为边上一点，且，则（）A.B.C.D.8．函数f (x )＝21x x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知:1p a =±，:q 函数22()()f x ln x a x =+为奇函数，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．使函数)cos(3)sin()(ϕϕ+-+=x x x f 为偶函数，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的ϕ的一个值为（） A ．3π-B ．π32 C ．π65 D ．6π-11.关于函数()cos cos 2f x x x =+有下列三个结论：①π是f(x)的一个周期；②f(x)在35[,]44ππ上单调递增；③f(x)的值域为[－2，2]．则上述结论中，正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.312．函数22()()e x f x x ax ax a =--+（e 为自然对数的底数，R a ∈，a 为常数）有三个不同零点，则a 的取值范围是（） A ．1(,0)e-B ．(,0)-∞C ．1(,)e-+∞ D ．(0,)+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知(),2Pm 为角α终边上一点，且tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=________． 14．设曲线ln 1xy x =+在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，则=a ．15．已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a满足()()2log 2f a f <，则a 的取值范围是．16．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，a=1，且(1)(sin sin ))sin ,b A Bc b C +-=-（则ABC ∆面积的最大值为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －b)2＝c 2－ab ． (1）求角C ； (2）若4cos()sin 02c A b C π++=，a ＝1，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段AA 1，CC 1上，且AD ＝13AA 1，DE//AC ，F 是线段AB 的中点． (1）求证：EF//平面B 1C 1D ；(2）若AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AA 1＝3AB ，求直线BC 与平面B 1DE 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）函数)2()232sin cos 30f x x x x ωωωω=+->，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π3．（1）求ω的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间．20.（本小题满分12分）2019年某饮料公司计划从,A B 两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对,A B 两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0,60)的受访者中有20%会购买，评分在[60,80)的受访者中有60%会购买，评分在[80,100]的受访者中有90%会购买. (Ⅰ)在受访的100万人中，求对A 款饮料评分在60分以下的人数（单位:万人）； (Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率； (Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你理由.21.（错题再现）已知函数2()ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈，在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点为12,x x ，且12x x >，证明：212e x x ⋅>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：2=2sin 3ρρθ+，直线l ：sin()23πρθ+=.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为(0,4)，直线l 与曲线C 相交于M N 、两点，求22PM PN +的值23．设()311f x x x =-++的最小值为k . （1）求实数k 的值；（2）设m ，n ∈R ，224m n k +=，求证：2211312m n +≥+.答案一一、1-5 DCDAD 6-10 BBCCC 11-12 BA二、13.552 14. 21 15. ），（44116.43三、17.19.18．（1）函数()223cos 2sin cos 33cos2sin22sin 2(0)3πf x x x x x x ωωωωωωω⎛⎫=+-=+=+> ⎪⎝⎭，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π2π23ω=，32ω∴=，()2sin 3π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）将函数()y f x =的向右平移π6个单位，可得π2sin 32sin 36π36πy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()32sin 2π6y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象．由4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得311π,266π6πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令32π2π2262πππx k k -≤-≤+，求得4π2π4π4π3939k k x -≤≤+，故()gx 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦和10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．依题意，函数的定义域为（1，＋∞）．（1）当m ＝4时，()()2154ln 1622f x x x x =-+--．()()()22547106111x x x x f x x x x x ---+=+-==---'，令，解得或；令，解得．可知函数()f x 的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．（2）()()()2364211x m x m f x x m x x -+++=+-+='--．若函数()y f x =有两个极值点，则()()()234601360312Δm m m m m =-+-+>⎡⎤⎣⎦-+++⎧⎪⎪⎪⎨>+>⎪⎪⎪⎩，解得3m >． 20.(Ⅰ)由对A 款饮料的评分饼状图，得对A 款饮料评分在60分以下的频率为为0.050.150.2+=，∴对A 款饮料评分在60分以下的人数为1000.220⨯=（万人）(Ⅱ)设受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性为事件C .记购买A 款饮料的可能性为20%为事件1A ；购买A 款饮料的可能性为60%为事件2A ；购买A 款饮料的可能性为90%为事件3A ；购买B 款饮料的可能性为20%为事件1B ；购买B 款饮料的可能性为60%为事件2B .购买B 款饮料的可能性为90%为事件3B .则()10.050.150.2PA =+=，()20.10.20.3P A +==，()30.150.350.5P A +==，由用频率估计概率得：()1550.1100PB +==，()215200.35100P B +==，()315400.55100P B +== Q 事件i A 与j B 相互独立，其中,1,2,3i j =.()()213132P C P A B A B A B ∴=++()()()()()()213132P A P B P A P B P A P B =++0.30.10.50.10.50.350.255=⨯+⨯+⨯=∴该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率为0.255 ；(Ⅲ)从受访者对A ，B 两款饮料购买期望角度看：A 款饮料购买期望X 的分布列为：B 方案“选择倾向指数”Y 的分布列为：()0.20.20.60.30.90.50.67E X ∴=⨯+⨯+⨯=，()0.20.10.60.350.90.550.725E Y =⨯+⨯+⨯=，根据上述期望可知()()EX E Y <，故新品推介应该主推B 款饮料.21解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根；即方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根；转化为函数ln y x =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数ln y x =图象的直线斜率为k ，只须0a k <<．令切点()00,ln A x x ，故01x x ky x=='=，又00ln x kx =故00ln 1x x x =，解得，0x e =，故1k e =，故a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭(2)由(1)可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =， 22ln x ax =，作差得()1122ln x a x x x =-，即1212ln xx a x x =-对于212e x x ⋅>，取对数得12ln 2x x >，即12ln ln 2x x +>又因为()111122ln ln x x x a ax x x a =+=++，所以122a x x >+，得()1212122lnx x x x x x ->+令12x t x =，则1t >，()1212122ln x x x x x x ->+，即2(1)ln 1t t t ->+ 设2(1)()ln 1t g t t t -=-+， 1t >，22(1)()0(1)t g t t t '-=>+，所以函数()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=，即不等式2(1)ln 1t tt ->+成立，故所证不等式212e x x ⋅>成立．22（1）由曲线C ：2=2sin 3ρρθ+得直角坐标方程为22+y =23x y +，即C 的直角坐标方程为：22+(1)=4x y -. 由直线l ：sin()23πρθ+=展开的sin cos 4ρθθ=，40y +-=．（2）由（1）得直线l 的倾斜角为23π.所以l的参数方程为1,24,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C得：250t ++=.设交点M N 、所对应的参数分别为12t t 、，则1212+=5t t t t -⋅=22222121212+=(+)217PM PN t t t t t t +=-⋅=.23.（1）()42,1,31124,11,42,1,x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-+-<<⎨⎪-≥⎩当1x =时，()f x 取得最小值，即()12k f ==.（2）证明：依题意，2242m n +=，则()22416m n ++=.所以22111m n ++()22221114116m n mn ⎛⎫⎡⎤=+++⨯ ⎪⎣⎦+⎝⎭()2222411561n m m n ⎡⎤+⎢⎥=+++⎢⎥⎣⎦(13562≥+=，当且仅当()2222411n m m n +=+，即22m =，20n =时，等号成立. 所以2211312m n +≥+.。

2020高考数学(理)三轮复习每日一卷试题+参考答案+评分标准 (27)

2020高考数学三轮每日一卷满分150分时间120分钟一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1.已知集合则( )2.已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r，若λ为实数，()//a b c λ+r r r ，则λ=（）A. 2B. 1C.12D. 2-3.设，且，则( )4. 函数 ),0()0,(,sin 2)(ππY -∈+=-x xe e xf xx 的图像大致为（）5.在ΔABC 中，a x =，2,45b B ==︒，若ΔABC 有两解，则x 的取值范围是（） A. (2,2)B. (0,2)C. (2,)+∞D.2,2)6. 如图是函数sin()0.02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最小值为（）A.12π B.6π C.4π D.3π 7.已知命题，命题：双曲线的离心率，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在ABC ∆ 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，已知()()32sin B A sin B A sin A -++=，且 7c =，3C π=，则ABC ∆ 的面积是 ( )A.33 B. 73 C. 21 D. 33 或 739.若N*的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则10（错题重现）.已知函数()f x 是R 上的偶函数， ()g x 是R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，若(2)2f =,则(2020)f 的值为( )11.已知函数的一个零点是函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是( )12.若函数f(x)满足'()(()ln )f x x f x x =-，且，则+1的解集为A ．（一1，+∞）B ．C ．(0，)D ．（一∞，一1）二、解答题：（本大题共6小题，共70分） 13．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且1=a ，12=b ，则2-=a b _____14.对于实数a 和b ，定义运算(1),{(1),a b a b a b b a a b +≥*=+<，则式子1221ln ()9e -*的值为 .15.已知向量,a b rr 满足20a b =≠r r ，且函数在()()321132f x x a x a b x =++⋅r r r 在R 上有极值，则向量,a b rr 的夹角的取值范围是_______________．16.ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，则C =________ ,cos B =__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）(错题重现）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求PEPD 11-的值． 18.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（I ）求；（II ）若，，求的面积.19.已知向量(2sin ,1)a x =，(2cos(),1)6b x π=+，函数()f x a b x R =⋅∈，.（1）若2=a ，(,0)x π∈-，求x ；（2）求()f x 在[0,)2π上的值域；（3）将()f x 的图象向左平移6π个单位得到()g x 的图象，设2()(1)2h x g x x x =-+-，判断()h x 的图象是否关于直线1x =对称，请说明理由.20.若函数()f x 对定义域中任意x 均满足()(2)2f x f a x b +-=，则称函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称．（1）已知函数2()x mx mf x x++=的图象关于点(0,1)对称，求实数m 的值；（2）已知函数()g x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的图象关于点(0,1)对称，且当(0,)x ∈+∞时，2()1g x x ax =++，求函数()g x 在(,0)-∞上的解析式；（3）在（1）（2）的条件下，当0t >时，若对任意实数(,0)x ∈-∞，恒有()()g x f t <成立，求实数a 的取值范围．21.如图所示，石城中学积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设小型生态园，点,M N 分别在边,AB AD 上. （1）当点,M N 分别时边AB 中点和AD 靠近D 的三等分点时，求MCN ∠的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，AMN ∆的周长必须为1.2千米，请研究MCN ∠是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由. 22.已知函数()cos f x x x =-.（1）若21cos11f m ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭，求实数m 的取值范围；（2）若不等式cos x e a x ax +≥对22x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D A B A D C C B D13. 1 14. 9 15.,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 16. (1). 2π(2).51-三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17【解答】解：（1）由题意得点A的直角坐标为，将点A代入得，则直线l的普通方程为．由ρsin2θ＝4cosθ得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即y2＝4x．故曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．（2）设直线DE的参数方程为（t为参数），代入y2＝4x得．设D对应参数为t1，E对应参数为t2．则，，且t1＞0，t2＜0．∴．18【详解】（1）因为，所以，故，所以，因为，所以，又，且0 < C< π，解得，. （2）由（1）得所以，由，设，由余弦定理得：，所以，所以的面积.19解：（1）24sin 12a x =+=Q 21sin 4x ∴=，1sin 2x =± 又(),0x π∈-，6x π∴=-或56π-. （2）()314sin cos 14sin sin 1622f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23sin22sin 13sin21cos212sin 26x x x x x π⎛⎫=-+=--+=+ ⎪⎝⎭.0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭Q ,72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦,1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤∴+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦, 故()f x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为(]1,2-. （3）()g 2sin 22cos262x f x x x Q ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()2cos 2211h x x x ∴=-+--.()()()()()()222cos 2211cos 2211h x x x x x h x -=-+--=-+--=Q ，()h x ∴的图象关于直线1x =对称.20试题解析：（1）由题设可得()()2f x f x +-=，即222x mx m x mx m x x++-++=-，解得1m =.（2）当0x <时，0x ->且()()2g x g x +-=， ∴2()2()1g x g x x ax =--=-++. （3）由(1)得1()1(0)f t t t t=++>，其最小值为(1)3f =.222()1()124a a g x x ax x =-++=--++， ①当02a <，即0a <时，2max ()134a g x =+<，得(22,0)a ∈-； ②当02a≥，即0a ≥时，，得[0,)a ∈+∞；由①②得(2,)a ∈-+∞．21【详解】（1）由题意可知11tan ,tan 32DCN MCB ∠=∠=，所以()11tan tan 32tan 1111tan tan 132DCN MCB DCN MCB DCN MCB +∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⨯，由题意可知0,2DCN MCB π⎛⎫∠+∠∈ ⎪⎝⎭，所以4DCN MCB π∠+∠=，所以4MCN π∠=.（2）设,AM x AN y ==，所以 1.2MN x y =-- 在直角三角形AMN 中，222MN x y =+ 所以()222 1.2x y x y +=--，整理得()1.20.72xy x y =+-0.6tan 0.6DN y DCN CN -∠==，0.6tan 0.6MB xMCB BC -∠== 所以()tan tan tan 1tan tan DCN MCBDCN MCB DCN MCB∠+∠∠+∠=-∠⋅∠()()()()1.20.720.60.60.60.60.610.36x yx y y x x y xy ---+==--+--将()1.20.72xy x y =+-代入上式可得()tan 1DCN MCB ∠+∠=，所以4DCN MCB π∠+∠=，所以4MCN π∠=为定值.22【详解】（1）()cos f x x x =-，所以()1sin 0f x x '=+≥，()f x 在R 上单调递增不等式21cos11f m ⎛⎫<-⎪-⎝⎭转化为()211f f m ⎛⎫< ⎪-⎝⎭则211m <-，解得()(),13,-∞⋃+∞ （2）()()cos xex x af x a -=≥函数()f x 为单调增函数，且()00,02f f π⎛⎫<>⎪⎝⎭，故存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()00f x =①当0,2x x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，有()0f x < 所以()cos x xe e af x x x=-≥，令()cos xe g x x x =-，则()max a g x ≥()()()2cos sin 1cos x e x x x g x x x ---'=-()cos 0,sin 10f x x x x =-<--<，所以()0g x '<所以()g x 单调递减，()2max22g x g e πππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以22a eππ--≥②当0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()0f x ≥ 则()cos x xe e af x x x ≤=-，即()min ag x ≤ ()()()2cos sin 1cos x e x x x g x x x ---'=-，cos sin 1x x x ---14x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦03,444x x πππ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，044x ππ+>14x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以cos sin 1222x x x x π≤---<--所以()0g x '<所以()g x 单调递减，()2min22g x g e πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以22a e ππ≤，综上所述，2222,a e e ππππ-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦。

2020年高考三轮冲刺卷理数答案

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观想象数学运算等核心素养 !
次不等式恒成立问题!体现了逻辑推理的核心素养! - 试题解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分所
试题解析不等式 $" '$*E+# 在 0 上恒成立#则 "-
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参考答案槡%
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2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理及答案解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.答案：C2.(1+i)(2﹣i)=( )A.﹣3﹣iB.﹣3+iC.3﹣iD.3+i解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.答案：D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A.B.C.D.解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.答案：A4.若sinα=13，则cos2α=( ) A.89 B.79C.﹣79D.﹣89解析：∵sinα=13，∴cos2α=1﹣2sin 2α=192719-⨯=. 答案：B5.(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析：由二项式定理得(x 2+2x )5的展开式的通项为：()()5210315522rrr rr rr xT Cx C x--+==，由10﹣3r=4，解得r=2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为5222C =40.答案：C6.直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8]232，D.[2232，] 解析：∵直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，4+4=22∵点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，∴设P ()2co 2s sin 2θθ+，，∴点P 到直线x+y+2=0的距离：()2sin 42cos sin 242222d πθθθ+++++==，∵()sin 4πθ+∈[﹣1，1]，∴d= ()22sin 44πθ++∈[232，]， ∴△ABP 面积的取值范围是：[11222223222⨯⨯⨯⨯，，6].答案：A7.函数y=﹣x 4+x 2+2的图象大致为( )A.B.C.D.解析：函数过定点(0，2)，排除A ，B.函数的导数f′(x)=﹣4x 3+2x=﹣2x(2x 2﹣1)，由f′(x)＞0得2x(2x 2﹣1)＜0，得x ＜﹣或0＜x ＜，此时函数单调递增，排除C.答案：D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)＜P(X=6)，则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 解析：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B(10，p)，P(x=4)＜P(X=6)，可得()()644466101011C p p C p p --＜，可得1﹣2p ＜0.即12p ＞. 因为DX=2.4，可得10p(1﹣p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去). 答案：B9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为2224a b c +-，则C=( )A.2πB.3πC.4πD.6π解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.△ABC 的面积为2224a b c +-，∴S △ABC =222s 1in 42a b c ab C +-=，∴sinC=2222a b c bc +-=cosC ，∵0＜C ＜π，∴C=4π.答案：C10.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为( )A.B.C.D.543解析：△ABC 为等边三角形且面积为93，可得2393AB ⨯＝，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：()222362342323O C OO '=='=-=，，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31361833=答案：B11.设F 1，F 2是双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D.2解析：双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的一条渐近线方程为b y x a =， ∴点F 2到渐近线的距离22bcd b a b ==+，即|PF 2|=b ，∴2222222cos bOP OF PF c b a PF O c =-=-=∠=，， ∵|PF 16|OP|，∴|PF 16a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|·|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，∴6a 2=b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×bc =4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3(c 2﹣a 2)，即3a 2=c 2，即3a=c ，∴3c e a ==.答案：C12.设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( ) A.a+b ＜ab ＜0 B.ab ＜a+b ＜0 C.a+b ＜0＜ab D.ab ＜0＜a+b解析：∵a=log 0.20.3=lg 0.3lg 5-，b=log 20.3=lg 0.3lg 2，∴()5lg 0.3lg lg 0.3lg 5lg 2lg 0.3lg 0.32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+-=＝＝，10lg 0.3lg lg 0.3lg 0.33lg 2lg 5lg 2lg 5ab ⋅-⋅＝＝，∵105lg lg 32＞，lg 0.3lg 2lg 5＜，∴ab ＜a+b ＜0.答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)，c =(1，λ).若c ∥(2a b +)，则λ=____. 解析：∵向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)， ∴2a b +=(4，2)，∵c =(1，λ)，c ∥(2a b +)，∴142λ＝，解得λ=12.答案： 1214.曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，则a=____.解析：曲线y=(ax+1)e x ，可得y′=ae x +(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3. 答案：﹣315.函数f(x)=cos(3x+6π)在[0，π]的零点个数为____.解析：∵f(x)=cos(3x+6π)=0， ∴362x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=193k ππ+，k ∈Z ，当k=0时，x=9π，当k=1时，x=49π，当k=2时，x=79π，当k=3时，x=109π，∵x ∈[0，π]，∴x=9π，或x=49π，或x=79π，故零点的个数为3. 答案：316.已知点M(﹣1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB =90°，则k=____.解析：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1，0)， ∴过A ，B 两点的直线方程为y=k(x ﹣1)，联立()241y x y k x ⎪-⎧⎪⎨⎩＝＝可得，k 2x 2﹣2(2+k 2)x+k 2=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则212242k x x k ++=，x 1x 2=1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣2)=4k ，y 1y 2=k 2(x 1﹣1)(x 2﹣1)=k 2[x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1]=﹣4，∵M(﹣1，1)，∴MA =(x 1+1，y 1﹣1)，MB =(x 2+1，y 2﹣1)， ∵∠AMB=90°=0，∴0MA MB ⋅= ∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1﹣1)(y 2﹣1)=0，整理可得，x 1x 2+(x 1+x 2)+y 1y 2﹣(y 1+y 2)+2=0，∴24124420k k ++--+=，即k 2﹣4k+4=0，∴k=2. 答案：2三、解答题：共70分。

陕西省榆林市2020届高三高考模拟第三次测试数学(理) Word版含答案bychun

绝密★启用前榆林市2020届高考模拟第三次测试数学（理科）试卷本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1。

答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0。

5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整,笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

设集合A＝｛x|3x－1<m}，若1∈A且2 A，则实数m的取值范围是(A)2〈m〈5 （B）2≤m〈5 (C）2<m≤5 （D)2≤m≤52.下面关于复数z＝－1＋i（其中i为虚数单位)的结论正确的是（A）z对应的点在第一象限（B)｜z|〈|z＋1| (C)z的虛部为i (D)z＋z〈03。

如图，给出了样本容量均为7的A、B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2,则（A）r1＝r2（B）r1<r2(C）r1〉r2(D）无法判定4。

已知数列{a n}为等差数列,且a3＝4，a5＝8,则该数列的前10项之和S10＝（A）80 (B）90 (C）100 （D)1105。

已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是(A)若m//α，m//β,则α//β（B)若m//α，n//α,则m//n(C)若m⊥α，n⊥α，则m//n (D)若α⊥γ，α⊥β，则γ//β6.设x1、x2、x3均为实数，且1x e-＝lnx1，2x e-＝ln（x2＋1)，3x e-＝lgx3，则(A)x1<x2〈x3(B)x1<x3〈x2(C）x2<x3<x1（D)x2〈x1〈x37.已知向量AB与AC的夹角为120°，且｜AB|＝3,｜AC｜＝2,若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC,则实数λ的值为A。

高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考数学(理)三轮复习每日一卷试题+参考答案+评分标准 (19)

2020高考数学三轮每日一卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A = {2,4,6,7},B = {3,5,6,7,8}，则()()U U C A C B =IA ．{1,9}B ．{2,3,4,5,6,7,8}C ．{1,2,3,4,5,8,9}D ．{1.6.7.9}2．设21(1z i i =++是虚数单位), 则z = A ．2 B ．3 C ．5 D ．323．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，a 3=7, S 3=9,则a 10= A ．25 B ．35 C ．40 D ．454．已知函数)(x f 的图象如图所示,则)(x f 可以为A ．3()x x f x e =B ．()x x x f x e e -=-C ．()x x f x e =D ．=)(x f x xe 5．某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照[70, 80)，[80,90) ,[90, 100]分组,绘成频率分布直方图如下:嘉宾评分的平均数为1x ,场内外的观众评分的平均数为2x :,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ,则下列选项正确的是A ．122x x x +=B ．122x x x +> C ．122x x x +< D ．12122x x x x x +>>> 6．已知角α的终边在直线2y x =上,则tan()4πα+=A ．322--B ．3+22C ．322-+D ．3-227．四棱锥V-ABCD 的底面是正方形,且各条棱长均相等,点P 是VC 的中点,则异面直线AP 与CD 所成角的余弦值为A ．35B ．55C ．510D ．35108．若两个非零向量ba,满足0)()(=-⋅+baba,且baba-=+2,则a与b夹角的余弦值为A．35B．35±C．12D．12±9．已知F1、F2分别是双曲线C:22221(0,0)x ya ba b-=>>的左,有焦点,过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A，B,过点B作x轴的垂线,垂足恰为F1.则双曲线C的离心率为A．2 B3C．3D510．已知32)32(32)32(,32,32=⎪⎭⎫⎝⎛==cba,则A．cba<<B．abc<<C．bac<<D．bca<<11．过抛物线22(0)y px p=>的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且FBAF2=,抛物线的准线l与x轴交于ACFC∆,的面积为2则AB=A．6 B．9 C．92D．6212．在四面体ABCD中,AB=AC= BC= BD= CD=2,AD6,则四面体ABCD的外接球的表面积为A．163πB．5π C．20π D．203π二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13．若x、y满足约束条件3236yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y=+的最小值为________14．已知函数1()ln1xf xax-=-为奇函数,则a=_____________.15．如图是一个不规则的几何图形，为了求它的面积，在图形中画了一个边长为1 m的正方形,现向图形中随机投掷石子,并记录如下:请估计该不规则的几何图形的面积约为_____ m2(保留整数).16．如图,在∆ABC中，AC=2,∠A=3π,点D在线段AB上，且AD= 2DB,sin∠ACD7sin∠BCD,则∆ABC的面积为_____。

2020届高三第三次调研考试理科数学参考答案与评分细则

惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBDACADDADBC1.【解析】{21}{0}x A x x x =<=<，{0}U C A x x =≥，故选D.2.【解析】21313i i 2222z =+=-+（），所以对应的点在第二象限，故选B.3.【解析】20201log πa =2020log 10<=，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭()01∈，，1π2020c =1>，所以a b c <<.故选D.4.【解析】因为角θ终边落在直线3y x =上，所以tan 3θ=，21cos 10θ=，所以3sin(2)2πθ-24cos 2(2cos 1).5θθ=-=--=故选A. 5.【解析】如图所示，MP →＝AP →－AM →＝12AD →－45AC →＝12AD →－45(AB →＋AD →)＝12b r －45(a r ＋b r )＝－45a r －310b r.故选C. 6.【解析】依题意，知－4a ＝－12a ，且－52a ≠12，解得a ＝±2.故选A.7.【解析】1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，故选D.8.【解析】11332815.14C C P C +==故选D. 9.【解析】()21sin 1xf x x e⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1sin 1x x e x e ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭是偶函数，排除C 、D ，又(1)0,f >Q 故选A. 10.【解析】如图：α//面CB 1D 1，α∩面ABCD =m ，α∩面ABA 1B 1=n ，可知n//CD 1，m//B 1D 1，因为△CB 1D 1是正三角形，m n 、所成角为60°．则m 、n 所成角的正弦值为√32．故选D ．11.【解析】设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)，由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m , ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2，z结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0，∵点A 、B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0,又F(14,0), ∴S △ABO +S △AFO =12×2×(y 1−y 2)+12×14y 1=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3．故选B ．12.【解析】 (x 0,x 0+1)区间中点为x 0+12，根据正弦曲线的对称性知f(x 0+12)=−1,①正确。

2020高考数学(理)三轮复习每日一卷试题+参考答案+评分标准 (26)

2020高考数学三轮每日一卷第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知{}{}55|,03|2≤≤-=∈>-=x x B N x x x x A ，，则=B A C R I )(（） A . {1, 2} B. {1, 2, 3} C. {0, 1, 2} D. {1, 2, 3 , 4,}2. 设复数z 满足i z i 341+=+）（，则复数z 所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 如下图的茎叶图为某次10名学生100米跑步的成绩（s ），由茎叶图可知这次成绩的平均数，中位数，众数分别为( )A ． 51.9 52 60B ．52 54 60C ． 51.9 53 60D ．52 53 624. 已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ，且()10.5P X >=，()20.3P X >=，()0P X <等于（）A. 0.2 B ．0.3 C ．0.7D ．0.85. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．56. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin 6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．118B ．136C ．19D ．1127. 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )A B C D8. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．323B. 163C. 83D. 439. 设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则yxz2-=的最大值为A.31B.31- C. -3 D. 310. 将函数()2π2cos16g x x⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图象，向右平移π4个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()f x，则下列说法正确的是（）A．函数()f x的最小正周期为2πB．π3x=是函数()f x的一条对称轴C．函数()f x在区间7π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D．函数()f x在区间2π5π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3-11. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90o的正角．已知双曲线E：()222210,0x ya ba b-=>>，当其离心率2,2e⎡⎤∈⎣⎦时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，1]时，)121()(+-=x e x x f ，则( ) A ．)2()3()25(f f f <-< B ．)25()3()2(f f f <-<C ．)3-()25()2(f f f <<D ．)25()2()3-(f f f <<第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习训练试题含答案

【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习精典试题巩固训练(1)1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为__f(x)＝x 3＋2x －1__．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，所以f(－x)＝(－x)3－2x ＋1＝－x 3－2x ＋1，所以－f(x)＝－x 3－2x ＋1，所以f(x)＝x 3＋2x －1.2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中结论正确的个数是__1__．解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x ∈R ，只要定义域关于原点对称即可，④错误．3. 已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋3)＝f(x)，当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，则f(2 018)＝__13__．解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)＝f(3×673－1)＝f(－1)．因为当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，所以f(2 018)＝f(－1)＝3－1＝13.4. 定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a b ＝（a －b ）2，则函数f(x)＝2x 2－（x 2）是__奇__函数(填“奇”或“偶”)．解析：由题意，得f(x)＝4－x 22－（x －2）2，由4－x 2≥0且2－（x －2）2≠0，得－2≤x<0或0<x ≤2，所以（x －2）2＝|x －2|＝2－x ，所以f(x)＝4－x 22－（2－x ）＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]．因为f(－x)＝4－x 2－x＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x －a －x＋2(其中a>0，且a ≠1)．若g(2)＝a ，则f(2)＝__154__．解析：由题意得f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知f(2)＋g(2)＝a 2－a －2＋2①，f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a －2－a 2＋2②，由①②解得g(2)＝2＝a ，f(2)＝a 2－a －2＝154.6. 已知y ＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__3__．解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3.7. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23__．解析：偶函数f(x)＝f(|x|)，所以f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|2x －1|<13，解得13<x<23.8. 已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x ∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1＝a 2，即a＝2.因为对称轴为直线x ＝1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝b 2－b －2>0，解得b<－1或b>2，故实数b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．9. 对于函数y ＝f(x)(x ∈R )，给出下列命题：①在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称；②若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称．其中正确命题的序号是__③④__．解析：y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，①错；函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，②错；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x ＋1－1)＝f(x)，函数y ＝f(x)是周期为2的函数，③正确；由f(1－x)＝－f(x －1)可得f(－t)＝－f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，④正确．10. 设函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__2__．解析：f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinx x 2＋1.设g(x)＝2x ＋sinx x 2＋1，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称知g(x)max ＋g(x)min ＝0，所以M ＋m ＝[g(x)＋1]max ＋[g(x)＋1]min ＝2＋g(x)max ＋g(x)min ＝2.11. 设函数f(x)＝－2x ＋a 2x ＋1＋b(a>0，b>0)． (1) 当a ＝b ＝2时，求证：函数f(x)不是奇函数；(2) 设函数f(x)是奇函数，求a 与b 的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>－16的解集．解析：(1) 当a ＝b ＝2时，f(x)＝－2x ＋22x ＋1＋2，所以f(－1)＝12，f(1)＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)不是奇函数．(2) 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得(2a －b)·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b)＝0对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，因为a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2符合题意．故a 与b 的值分别为1，2.(3) 由(2)可知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12(－1＋22x ＋1)．设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝12(－1＋22x 1＋1)－12(－1＋22x 2＋1)＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在R上是减函数．由f(1)＝－16，f(x)>－16，得f(x)>f(1)．由函数f(x)在R 上是减函数可得x<1，所以不等式f(x)>－16的解集为(－∞，1)．12. (1) 已知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，试判断函数f(x)的奇偶性；(2) 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于一切实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ， ① 所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f(x)＝1x .② 由①②解得f(x)＝2x 2－13x .因为定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，关于原点对称，f(－x)＝2（－x ）2－13（－x ）＝－2x 2－13x ＝－f(x)，所以函数f(x)＝2x 2－13x 是奇函数．(2) 因为定义域关于原点对称，令x ＝y ＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0.令y ＝－x 得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．13. 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数，对定义域上的任意x 1，x 2，都有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；(3) 解不等式：f(2x 2－1)<2.解析：(1) 令x 1＝x 2＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，所以f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，所以0＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.令x 1＝x ，x 2＝－1，所以f[x ×(－1)]＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2) 设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2·x 1x 2－f(x 2)＝f(x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2. 因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2>1. 因为当x>1时，f(x)>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．(3) 令x 1＝x 2＝2，所以f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(4)＝2. 因为f(2x 2－1)<2＝f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1≠0，|2x 2－1|<4，解得－102<x<102且x ≠±22. 巩固训练(2)1. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴的交点坐标为(0，11)，则a ，b ，c 的值为__3，－12，11__．解析：由题意得⎩⎨⎧－b 2a ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1，c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.故a ，b ，c 的值分别为3，－12，11.2. 函数f(x)＝x 2－2x －2(x ∈[－2，2])的最小值是__－3__．解析：因为f(x)＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3，所以函数f(x)在区间[－2，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2－2＝－3.3. 如果函数f(x)＝x 2＋px ＋q 对任意的x 均有f(1＋x)＝f(1－x)成立，那么f(0)、f(－1)、f(1)从小到大的顺序为__f(1)<f(0)<f(－1)__．解析：由题意得函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以函数在区间(－∞，1]上是减函数，所以f(1)<f(0)<f(－1)．4. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝__8__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，所以f(x)＝x 2－4x ＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.5. 若f(x)＝－x 2＋(b ＋2)x ＋3，x ∈[b ，c]的图象关于直线x ＝1对称，则c ＝__2__．解析：由题意，得⎩⎨⎧－b ＋22×（－1）＝1，b ＋c 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝2，故c 的值为2. 6. 函数f(x)＝2x 2－6x ＋1在区间[－1，1]上的最小值为__－3__，最大值为__9__．7. 已知函数f(x)＝|x 2－2ax ＋b|(x ∈R )，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x ＝1对称；③f(x)有最大值|a 2－b|；④若a 2－b ≤0，则f(x)在区间[a ，＋∞)上是增函数．其中正确的序号是__④__．解析：当a ＝0时，函数f(x)为偶函数；当a ≠0时，函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数，故①错误；若f(0)＝f(2)，则|b|＝|4－4a ＋b|，所以4－4a ＋b ＝b 或4－4a ＋b ＝－b ，即a ＝1或b ＝2a －2.当a ＝1时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1；当b ＝2a －2时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝a ，故②错误；若a 2－b ≤0，则f(x)＝|(x －a)2＋b －a 2|＝(x －a)2＋b －a 2，所以函数在区间[a ，＋∞)上是增函数，此时有最小值b －a 2，故③错误，④正确．8. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在区间(－∞，－1]上单调递增，则实数a 的取值范围是．解析：当a ＝0时，函数f(x)＝1，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎨⎧a<0，－a 3－a 2a ≥－1，解得－3≤a<0，故实数a 的取值范围是[－3，0)．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a 2＋b)x ＋c 的图象开口向上，且f(0)＝1，f(1)＝0，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)__．解析：由题意得a>0，c ＝1，a ＋a 2＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a 2＋a)－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34.因为a>0，所以b<－1，故实数b 的取值范围为(－∞，－1)．10. 函数y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值为__4__．解析：因为y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5＝[(x ＋1)(x ＋4)][(x ＋2)(x ＋3)]＋5＝(x 2＋5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)＋5＝(x 2＋5x ＋5－1)(x 2＋5x ＋5＋1)＋5＝(x 2＋5x ＋5)2＋4.设t ＝x 2＋5x ＋5，则y ＝t 2＋4.因为t ＝x 2＋5x ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522－54，x ∈[－3，3]，所以y ＝t 2＋4，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，29，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝0，所以y min ＝4，故y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值是4.11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1) 若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；(2) 若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，证明方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．解析：(1) 因为f(－1)＝0，所以a －b ＋c ＝0，即b ＝a ＋c. 因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2，所以当a ＝c 时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．(2) 令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2， g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，所以g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2.因为f(x 1)≠f(x 2)，所以g(x 1)·g(x 2)<0，所以g(x)＝0在区间(x 1，x 2)上必有一个实数根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．12. 已知函数f(x)＝ax 2－1，a ∈R ，x ∈R ，集合A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f(f(x))＝x}且A ＝B ≠，求实数a 的取值范围．解析：①若a ＝0，则A ＝B ＝{－1}；②若a ≠0，由A ＝{x|ax 2－x －1＝0}≠，得a ≥－14且a ≠0.集合B 中元素为方程a(ax 2－1)2－1＝x ，即a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝0的实数根，所以a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝(ax 2－x －1)(a 2x 2＋ax －a ＋1)＝0. 因为A ＝B ，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根或其根为ax 2－x －1＝0的根．由a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根，得a<34，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34；当a 2x 2＋ax －a ＋1＝0有实数根且为ax 2－x －1＝0的根时，因为ax 2－x －1＝0，所以ax 2＝x ＋1，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝a(x ＋1)＋ax －a ＋1＝0，解得x ＝－12a ，代入ax 2－x －1＝0得a ＝34.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 13. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)．(1) 求a ，b 的值；(2) 若h(x)＝2f(x ＋1)＋x|x －m|＋2m ，求h(x)的最小值．解析：(1) 显然a ≠0，因为f(1)＝0，所以a ＋b ＋1＝0.又f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝b 2－4a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，b 2－4a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. (2) 由(1)知f(x)＝x 2－2x ＋1，h(x)＝2x 2＋x|x －m|＋2m ，即h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－mx ＋2m ，x ≥m ，x 2＋mx ＋2m ， x<m. ①若m ≥0，则h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h （m ），h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，即h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2m 2＋2m ，－m 24＋2m . 又2m 2＋2m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2m ＝9m 24≥0，所以当m ≥0时，h(x)min ＝－m 24＋2m ；②若m<0，则h(x)min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 6＝2m －m 212. 综上所述，h(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2m －m 24， m ≥0，2m －m 212， m<0.巩固训练(3)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n 的值只有－1和2. 2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当n m 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集．解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)，所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2，即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0，所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4，解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．巩固训练(4)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n的值只有－1和2.2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当nm 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集．解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)，所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2，即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0，所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4，解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．随堂巩固训练(5)1. 计算：（π－4）2＋π＝__4__．解析：原式＝|π－4|＋π＝4－π＋π＝4.2. 求值：(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋10－2＝__110__．解析：原式＝9100＋53－53＋1100＝110.3. 化简：a 12b b －123a－2÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －1b a －23＝．解析：原式＝a 12b 12b －12a －23÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －12ba 12－23＝(a 12＋23·b 12＋12)÷(a －1－12b －12－1)－23＝a 76b÷(ab)＝6a. 4. 化简：(a 23b 12)×(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a 16b 56＝__－9a__．解析：原式＝－9a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a.5. 关于x 的不等式2x 2＋x ≤4的解集为__[－2，1]__．解析：由题意得2x 2＋x ≤22，所以x 2＋x ≤2，解得－2≤x ≤1，故原不等式的解集为[－2，1]．6. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫166－13＋3＋23－2－(1.03)0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623＝16．解析：原式＝116＋(6－32)－13＋（3＋2）2（3）2－（2）2－⎝⎛⎭⎪⎫－668＝116＋6＋5＋26＋364＝81＋60616. 7. 给出下列等式：36a 3＝2a ；3－2＝6（－2）2；－342＝4（－3）4×2，其中一定成立的有__0__个．解析：36a 3＝a 36≠2a ，故错误；6（－2）2＝622＝322＝32≠3－2，故错误；4（－3）4×2＝434×2＝342≠－342，故错误，所以一定成立的有0个．8. 方程22x ＋3·2x －1－1＝0的解是__x ＝－1__.解析：令2x ＝t(t>0)，则原方程化为t 2＋32t －1＝0，解得t ＝12或t＝－2(舍去)，所以2x＝12，解得x ＝－1，故原方程的解是x ＝－1.9. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b>0，则a －b a ＋b＝5．10. 计算：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫5490.5＋（0.008）－23÷（0.02）－12×（0.32）12÷0.062 50.25.解析：原式＝[(827)23－(499)12＋(1 0008)23÷50×4210]÷⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2＝29.11. 化简：a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －23－23b a ×a ×3a 25a ×3a.(式中字母都是正数)解析：原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2. 12. 解下列方程：(1) 1＋3－x 1＋3x ＝3；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－2－x ＋1－8＝0.解析：(1) 令3x ＝t(t>0)，则原方程为1＋1t1＋t＝3，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)，所以3x ＝13，即x ＝－1.(2) 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t(t>0)，则原方程为t 2－2t －8＝0，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝4，即x ＝－2.13. 利用指数的运算法则，解下列方程： (1) 43x ＋2＝256×81－x ； (2) 2x ＋2－6×2x －1－8＝0.解析：(1) 因为43x ＋2＝256×81－x ，所以26x ＋4＝28×23－3x ，所以6x ＋4＝11－3x ，所以x ＝79.(2) 因为2x ＋2－6×2x －1－8＝0，所以4×2x －3×2x －8＝0，所以2x ＝8，所以x ＝3.巩固训练(6)1. 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34，则a 、b 、c 的大小关系为__c<b<a__．解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 在R 上单调递减，且－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14>⎝ ⎛⎭⎪⎫340，即a>b>1.又0<c<1，所以c<b<a. 2. 已知函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则实数k 的取值范围为__(－1，1)__．解析：易知函数y ＝|2x －1|在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不单调，所以k －1<0<k ＋1，解得－1<k<1.3. 已知集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N ＝__{－1}__．解析：由题意得⎩⎨⎧2x ＋1>12，2x＋1<4，解得－2<x<1.又因为x ∈Z ，所以N ＝{－1，0}，所以M ∩N ＝{－1}．4. 定义运算：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ，则函数f(x)＝12x 的值域为__(0，1]__．解析：当x<0时，0<2x <1，此时f(x)＝2x ∈(0，1)；当x ≥0时，2x ≥1，此时f(x)＝1，所以f(x)＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x<0，1， x ≥0，其值域为(0，1]．5. 若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12__．解析：方程|a x －1|＝2a 有两个不相等的实数根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，当a>1时，如图1；当0<a<1，如图2.由图象可知当0<2a<1时，符合题意，即0<a<12.图1 图2 6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x<0，a x ， x ≥0(a>0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为__⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1__．解析：根据单调性定义，函数f(x)为减函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3a ≥a 0，即13≤a<1.7. 设函数f(x)＝x(e x ＋ae －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a ＝__－1__．解析：设g(x)＝e x ＋ae －x ，则f(x)＝xg(x)是偶函数．所以g(x)＝e x ＋ae －x (x ∈R )是奇函数，所以g(0)＝e 0＋ae －0＝1＋a ＝0，即a ＝－1.8. 若函数f(x)＝a x －1(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 的值为__3__．解析：易知函数f(x)是单调函数，所以当a>1时，f(2)＝2，所以a 2－1＝2，解得a ＝3，经验证符合题意；当0<a<1时，f(0)＝2，即1－1＝2，无解．所以a ＝ 3.9. 函数y ＝2x2x －1的值域为__(－∞，0)∪(1，＋∞)__．解析：由题意得2x －1≠0，解得x ≠0，所以函数的定义域为{x|x ≠0}，y ＝2x x 2x －1＝1＋12x －1，因为2x >0，所以2x －1>－1且2x －1≠0，所以12x －1∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以y ＝1＋12x －1∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，故所求的值域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．10. 设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性；(3) 求函数f(x)的值域．解析：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 由(1)可知f(x)＝3x ＋13x .设x 2＞x 1≥0，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋13x 1－3x 2－13x 2＝(3x 2－3x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1＋x 2－1. 因为y ＝3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在区间[0，＋∞)上为单调增函数．(3) 因为f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，所以f(0)＝2为函数的最小值，故函数的值域为[2，＋∞)．11. 已知函数f(x)＝3x ，f(a ＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax －4x 的定义域为[0，1]．(1) 求实数a 的值；(2) 若函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，求实数λ的取值范围．解析：(1) 由已知得3a ＋2＝18，解得a ＝log 32.故实数a 的值为log 32.(2) 方法一：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1.因为函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g(x 1)－g(x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．方法二：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x .因为g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g′(x)＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0在区间[0，1]上恒成立，所以λ≤2·2x 在区间[0，1]上恒成立，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．12. 已知函数y ＝1＋2x ＋4x ·a 在x ∈(－∞，1]上恒大于零，求实数a 的取值范围．解析：由题意得1＋2x ＋4x ·a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a>－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．令f(x)＝－1＋2x 4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ≥12，则f(t)＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥12，所以当t ＝12，即x ＝1时，函数f(t)取到最大值－34，所以a>－34，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 13. 已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1) 若a ＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有最大值3，求实数a 的值；(3) 若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，求实数a 的值．解析：(1) 当a ＝－1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g(x)＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，因为函数g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)，单调减区间是(－∞，－2)．(2) 令h(x)＝ax 2－4x ＋3，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），因为函数f(x)有最大值3，所以函数h(x)有最小值－1，所以3a －4a ＝－1，且a>0，解得a ＝1，即当函数f(x)有最大值3时，实数a 的值为1.(3) 由指数函数的性质可知，若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，则h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R .若a ≠0，则h(x)＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R ，所以a ＝0.随堂巩固训练(7)1. 已知a 23＝49(a>0)，则log 32a ＝__－3__．解析：因为a 23＝49(a>0)，所以a 13＝23，所以a ＝827，所以log 32827＝－3.2. (lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25＝__2__．解析：原式＝lg 2×(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.3. 2lg 5＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝__3__．解析：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2＋(lg5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.4. log 2748＋log 212－12log 242－1＝__－32__．解析：原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 212 2＝log 22－32＝－32. 5. lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝__0__．解析：原式＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.6. 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝__12__．解析：原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12lg 10＝12.7. 已知log 37×log 29×log 49a ＝log 412，则实数a 的值为2．解析：原等式可化为lg 7lg 3·lg 9lg 2·lg a lg 49＝－12，即lg a lg 2＝－12，所以log 2a ＝－12，所以a ＝22.8. log 2(2＋3－2－3)＝__12__．解析：原式＝12log 2(2＋3－2－3)2＝12log 2[4－2（2＋3）（2－3）]＝12log 2(4－2)＝12log 22＝12.9. 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645＝__a ＋b 2－a__．(用字母a ，b 表示)解析：因为18b ＝5，所以b ＝log 185，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 189log 181829＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b2－a .10. 计算：(1) lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2) 2(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.解析：(1) 原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2) 原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2＋1－lg 2＝1.11. 已知log a x ＋log c x ＝2log b x ，且x ≠1，求证：c 2＝(ac)log a b.解析：因为log a x ＋log a x log a c ＝2log a x log ab ，且x ≠1，所以log a x ≠0，所以1＋1log a c ＝2log a b ，所以2log a c ＝(log a c ＋1)log a b ，所以log a c 2＝log a b·log a (ac)＝log a (ac)log a b ，所以c 2＝(ac)log a b.12. 已知loga 1b 1＝loga 2b 2＝…＝loga n b n ＝λ，a 1a 2…a n ≠0，n ∈N *，求证：loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.解析：由换底公式，得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ，由等比定理得lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n＝λ，所以lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ，所以loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ. 13. 已知2lg x －y 2＝lgx ＋lgy ，求x y 的值．解析：由2lg x －y 2＝lgx ＋lgy 得lg （x －y ）24＝lg(xy)，x>y ，所以x 2－2xy ＋y 2＝4xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，所以x 2y 2－6x y ＋1＝0，所以x y ＝3＋22或x y ＝3－22(舍去)，所以x y ＝3＋22＝（2＋1）2＝2＋1.随堂巩固训练(8)1. 设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈[0，＋∞），N ＝{y|y ＝log 2x ，x ∈(0，1]}，则集合M ∪N ＝__(－∞，1]____．解析：因为x ≥0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈(0，1]，所以M ＝(0，1]．因为0<x ≤1，所以y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]，所以M ∪N ＝(－∞，1]．2. 设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为__c<a<b__．解析：因为1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e ，所以1a >1b >1，所以0<a<b<1.因为a ＝log 32>log 33＝12，所以a>12.因为b ＝ln 2>ln e ＝12，所以b>12.因为c ＝5－12＝15<12，所以c<a<b.3. 设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为__a<b<c__．解析：因为a ，b ，c 均为正数，所以log 12a ＝2a >1，log 12b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ∈(0，1)，log 2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ∈(0，1)，所以0<a<12，12<b<1，1<c<2，故a<b<c. 4. 已知0<a<b<1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__m>n__．解析：由题意得1m ＝log c a ，1n ＝log c b.因为0<a<b<1<c ，所以log c a<log c b<0，即1m <1n <0，所以n<m.5. 已知函数f(x)＝a x ＋log a x(a>0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则实数a 的值为__2__．解析：当x>0时，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性相同，因此函数f(x)＝a x ＋log a x 是区间(0，＋∞)上的单调函数，所以函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a ＋a 2＋log a 2.由题意得a ＋a 2＋log a 2＝6＋log a 2，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．故实数a 的值为2.6. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ， x>0，log 12（－x ）， x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围为__(－1，0)∪(1，＋∞)__．解析：①当a>0时，f(a)＝log 2a ，f(－a)＝log 12a.因为f(a)>f(－a)，即log 2a>log 12a ＝log 21a ，所以a>1a ，解得a>1；②当a<0时，f(a)＝log 12(－a)，f(－a)＝log 2(－a)．因为f(a)>f(－a)，即log 12(－a)>log 2(－a)＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以－a<－1a ，解得－1<a<0.由①②得－1<a<0或a>1.7. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝__2__008__．解析：令3x ＝t ，则f(t)＝4log 2t ＋233，所以f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.8. 下列命题为真命题的是__①②③__．(填序号)①若函数f(x)＝lg(x ＋x 2＋a)为奇函数，则a ＝1；②若a>0，则关于x 的方程|lg x|－a ＝0有两个不相等的实数根； ③方程lg x ＝sinx 有且只有三个实数根；④对于函数f(x)＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2. 解析：①因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以lg(－x ＋x 2＋a)＋lg(x ＋x 2＋a)＝lg [(x 2＋a)－x 2]＝lg a ＝0，所以a ＝1.故①正确；②因为|lg x|－a ＝0，所以|lg x|＝a.作出y ＝|lg x|，y ＝a 的图象，由图象可知，当a>0时两函数图象有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根．故②正确；③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象，由图象可知在y 轴的右侧有三个交点，故方程有三个实数根．故③正确；④对于f(x)＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，y A >y B ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2.故④错误． 9. 若函数f(x)＝log －(ax ＋4)在区间[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是__(－2，－3)∪(2，4)__．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3>1，－a ＋4>0，a>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a 2－3<1，a ＋4>0，a<0，解得2<a<4或－2<a<－3，所以实数a 的取值范围是(－2，－3)∪(2，4)．10. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解析：因为f(x)＝2＋log 3x ，所以y ＝[f(x)]2＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.因为函数f(x)的定义域为[1，9]，所以要使函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，解得1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，所以6≤(log 3x ＋3)2－3≤13，当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.所以当x ＝3时，函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)取最大值13.11. 已知函数f(x)＝log a (1－a x )(a>0且a ≠1)．(1) 解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f(1)；(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于零．解析：(1) 因为f(x)＝log a (1－a x )，所以f(1)＝log a (1－a)，所以1－a>0，所以0<a<1.所以不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a)．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a x >0，1－a x <1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x <1，a x >a ，解得0<x<1. 所以不等式的解集为(0，1)．(2) 设x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1. 因为1－a x >0，所以a x <1.所以当a>1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当0<a<1时，因为x 2>x 1>0，所以ax 2<ax 1<1，所以1－ax 21－ax 1>1，所以log a 1－ax 21－ax 1<0，所以f(x 2)<f(x 1)，即y 2<y 1；同理可证，当a>1时，y 2<y 1.综上，y 2<y 1，即y 2－y 1<0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0，所以直线AB 的斜率小于零．12. 已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)．(1) 求y ＝f(x)的定义域；(2) 在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴？(3) 当a ，b 满足什么条件时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值？解析：(1) 由a x －b x >0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.因为a>1>b>0，所以ab>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2) 任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>1，bx1<bx2<1，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，故f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与函数f(x)是增函数矛盾，故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴．(3) 由(2)知函数f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．因为f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值，所以f(1)＝lg(a－b)≥0，所以a≥b＋1，即当a≥b＋1时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值．随堂巩固训练(9)1. 由y ＝3x 的图象，将其图象向__右__平移__1__单位长度，再向__上__平移__1__个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象．解析：由题意得，y ＝x ＋2x －1＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1，所以由y ＝3x 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到y ＝3x －1＋1的图象，即为y ＝x ＋2x －1的图象． 2. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，则函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点__(3，2)__．解析：因为函数f(x)是R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象必过原点(0，0)，而函数y ＝f(x －3)＋2的图象是由函数f(x)的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，所以函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点(3，2)．3. 已知f(x)为R 上的奇函数，则F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点__(a ，b)__对称．解析：因为函数f(x)为R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，而函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象是由函数f(x)的图象向右平移a 个单位长度，再向上平移b 个单位长度得到的，所以函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点(a ，b)对称．4. 对任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ， a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__1__．解析：由题意得h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）>g （x ）.因为f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，所以画出h(x)的图象如图所示，所以这两个函数的交点的纵坐标，即为h(x)的最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝log 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故h(x)的最大值为1. 5. 函数f(x)＝2lnx 的图象与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图象的交点。

2020高考数学(理)三轮复习每日一卷试题+参考答案+评分标准 (21)

2020高考数学三轮每日一卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（） A.14B.12C.2222.已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，}5,3{=B ，则()()U UA B ⋂=痧（）A. {3}B. {7}C. {3,7}D. {1,3,5}3.如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，据此可估计黑色部分的面积约为（） A. 11B. 10C. 9D. 84.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（） 233135.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边,AB AD 分别交于点,E F ，且交其对角线AC 于点M ，若()2,3,,AB AE AD AF AM AC R λλ===∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u rg ，则λ=（）A.12B.15C.23 D. 56.下列命题错误的是（）A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B. 若p ：0x ∀≥，sin 1x ≤.则p ⌝：00x ∃≥，0sin 1x >.C. 若复合命题：“p q ∧”为假命题，则p ，q 均为假命题D. “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 7.若sin 3sin 2x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.则sin cos()x x π⋅+=（）A.103 B. 310-C.34D. 34-8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为14圆周，则该几何体的体积为（） A. 16πB. 6416π-C. 32643π-D. 16643π- 9.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（） A. 1125里B. 920里C. 820里D. 540里10.已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是( )A. 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B. 其图象关于直线2x π=对称C. 函数()g x 是偶函数D. 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤⎣⎦ 11.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（）A. 1B. -1C. -3D. 312.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过其焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，若3AF FB =u u u r u u u r，且抛物线C 上存在点M 与x 轴上一点(7,0)N 关于直线l 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（） A. 4B. 5C.211 D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数()()log 322f x a x =-+（0a >且1a ≠）恒过的定点坐标为______．14.已知实数,x y满足3301010x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则282x yzx y++=+的最小值为______．14.若曲线xxxf ln)(+=在点(1,1)处的切线与圆222ryx=+(0)r>相切，则r=__________.16.已知函数()()()31ln3ln3xxf x x⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦g，且()02>-xf，则实数x的取值范围是（）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知公差不为0的等差数列{}n a的前n项和为n S，且426S=，1a，3a，11a成等比数列.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列1nS n⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和为n T，证明：23nT<.18.为推进“千村百镇计划”，某新能源公司开展“电动新余绿色出行”活动，首批投放200台P型新能源车到新余多个村镇，供当地村民免费试用三个月.试用到期后，为了解男女试用者对P型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）.最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求40个样本数据的中位数m；（2）已知40个样本数据平均数80a=，记m与a的较大值为M.该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M的为“满意型”，评分小于M的为“需改进型”.① 请根据40个样本数据，完成下面22⨯列联表：认定类型满意型需改进型合计性别女性20男性20合计40并根据22⨯列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？② 为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访.根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取2人进行二次试用，求这2人中至少有一位女性的概率是多少？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++19.如图，在三棱锥ABCP-中，PA AC⊥，AB BC⊥，2==BCPA，22==ACPB，D为线段AC的中点，将CBD∆折叠至EBD∆，使得ABCEDB平面平面⊥且PC交平面EBD于F.（1）求证：平面BDE⊥平面PAC.（2）求三棱锥EBCP-的体积.2()P K k…0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82820.在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆2222:1xy C a b+=(0)a b >>的离心率21=e ，直线:10l x my --=)(R m ∈过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程：（2）已知点5,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数()11ln 12f x x mx x=---．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()1g x xf x =+存在两个极值点()1212,x x x x <，并且212121ln ln ax x x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围．以下为选做题：共10分请考生从第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.已如直线C 的参数方程为（12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以原点O 为极点.x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程：（2）若直线:l θα=（[0,)απ∈，R ρ∈）与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求||OM 的最大值.23.已知函数()12,f x x x m m R =-+-∈．（1）当3m =时，解不等式()3f x ≥．（2）若存在0x 满足()0021f x x <--，求实数m 的取值范围．一选择题：C B C A B C A B D D C D 二、填空题 13.()1,2()(),22,-∞+∞U 17.（1）由1a ，3a ，11a 成等比数列，得21113a a a =，即()()121114626102a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ，又0d ≠，解得12a =，3d =，所以()123131a n n =+-=-. （2）()()21131322222n n n n n n nS na d n --=+=+=+， ()21122113313122n n n S n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭++，2111112121 (132231313)n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 18.（1）由茎叶图知中位数8082812m +==，（2）因为81m =，80a =，所以81M =.①由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，根据题意得22⨯列联表：可得：2240(151555)10 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关.②由①知从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，抽出女性2名，男性6名.记抽出的2名女性为；A ，B ；记抽出的6名男性为：a ，b ，c ，d ，e ，f 从这8人中随机抽取2人进行二次试用的情况有：(,)(,)(,)(,)(,)(,)A B A a A b A c A d A e(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)A f B a B b B c B d B e B f (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)a b a d a d a c b c b d b e b f (,)(,)(,)(,)(,)(,)c d c e c f d e d f e f ，共有28种：其中2人中至少一名女性的情况有：(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)A B A a A b A c A d A e A f B a B b(,)(,)(,)(,)B c B d B e B f ，共有13种：所以2人中至少一名女性的概率是：2813=P 19.（1）证明：Q 在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥, 2PA =, 22AC =∴ 23PC =又Q 2,2PB BC == ∴ 222PB BC PC += 0>ω BC PB ⊥又Q AB BC ⊥ PAB BC ∴⊥平面 BC PA ∴⊥ PA AC ⊥ 0>ω PA ABC ⊥平面BD ABC ⊂Q 又平面 ,2PA BD PA AB AB ∴⊥⊥⇒=D AC Q 又为的中点 BD AC ∴⊥ BD PAC ∴⊥平面 EBD PAC 平面平面∴⊥（2）V P EBC E PBC B APCE P ABC V V V ----==- 由已知，DE ∥AP)11222222222APCE APED EDC S S S ∆∴=+==(1122222233B APCE APCE V S BD -+∴=⋅==11142223323P ABC ABC V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=22242223P EBC B APCE P ABC V V V ---+-∴=-==20.解：（1）由题意知，112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得；12c a =⎧⎨=⎩从而3222=-=c a b ，所以椭圆C 的标准方程为：13422=+y x .（2）令0m =，则31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或者31,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，34,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭：当31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，34,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，满足题意的定直线2l 只能是4x =.下面证明点P 恒在直线4x =上.设()11,A x y ，()22,B x y ，由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为1y ，从而只要证明()14,P y 在直线BD 上.由2210143x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243690m y my ++-=，Q ()214410m ∆=+>，∴122643m y y m -+=+，122943y y m-=+. Q212220055541222DB DPy y y k k x my ---=-=--+-212233223322y y my my ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1212222226293433433322m y y my y m m m my my --+--++==--222664343032m mm m my ---++==-∴0DB DP k k -=，即DB DP k k =.∴点()14,P y 恒在直线BD 上，从而直线1l 、直线BD 与直线2:4l x =三线恒过同一点P ，所以存在一条定直线2:4l x =使得点P 恒在直线2l 上. 21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()222221112222222mx x mx x f x m x x x x-++--=-+==-'．当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞单调递增；当0m >时，方程2220mx x --=的两根1x =，2x =，且10x <，20x >，则当10,x m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x m ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减．综上：当0m ≤时，函数()f x 在()0,+∞单调递增；当0m >时，10,x m ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增；当1x m ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减．（Ⅱ）()21ln 2g x x x mx x =--，()ln g x x mx ='-， ∵函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ，∴1122lnx mx lnx mx =⎧⎨=⎩，则()2121ln ln x x m x x -=-，2121ln ln x x m x x -=-． ∴()()2212121212121ln ln ln ln 2ln ln 22x x x x x x m x x x x x x --=-=-=--212121ln ln ax x x x x ->-恒成立，即()211212121ln ln 2x x ax x x x x x x -->--恒成立，即∵210x x >>，∴212112ln x x x a x x -<令211x t x =>，则()21ln a t t <-，令()()21ln g t t t =- ()()112ln 212ln 2g t t t t t t=+-=+-'， ∴()2210g t t t +'=>'，∴()g t '在()1,+∞单调递增． ∴()()110g t g '='>>．∴()g t 在()1,+∞单调递增，()()10g t g >=，则0a ≤．22.试题分析：（Ⅰ）利用cos ?sin x y ρθρθ==，求极坐标方程即可；（Ⅱ）设()1,A ρα、()2,B ρα，则122OM ρρ+=，联立θα=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=即可.试题解析：（I ）曲线C 的普通方程为()()222112x y ++-=，由{x cos y sin ρθρθ==，得22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；（II ）解法1：联立θα=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得()22cos sin 20ρραα+--=，设()1,A ρα、()2,B ρα，则()122sin cos 4πρρααα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，由122OM ρρ+=，得4OM πα⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，当34πα=时，|OM |． 23.（1）3m =时，∴()3f x ≥的解集为17|33x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或；（2）若存在0x 满足()0021f x x <--等价于2222x x m -+-<有解， ∵2222x x m m -+-≥-，∴22m -<，解得04m <<，实数m 的取值范围是（0，4）．。

2020年高考理科数学新课标Ⅲ三真题及答案

K
累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ( )= 0.23( 53) ，其中K为最大确诊病例数．当I(
It
t
*
1 e t
)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t* 约为（）（ln19≈3）
A. 60 【答案】C 【解析】【分析】
B. 63
C. 66
D. 69
K
将 t t 代入函数
（2）若 AB 2 ， AD 1 ， AA1 3 ，求二面角
的正弦值．
A EF A
1
x y
2
2
20.已知椭圆C
m
:
1(0
25 m
2
的离心率为 5)
15 ， A ， B 分别为C 的左、右顶点．
4
（1）求C 的方程；
（2）若点 P 在 C 上，点Q 在直线 x 6 上，且| BP || BQ | ， BP BQ ，求AAPQ 的面积．
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A {(x, y) | x, y N* , y x}， B {(x, y) | x y 8}，则 A B 中元素的个数为（）
（1）证明：ab+bc+ca<0；

2020年高考理科数学全国卷3(附答案与解析)

2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.由题意，A B 中的元素满足8y x x y ⎧⎨+=⎩≥，且x ，*y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有()17，，()26，，()35，，()44，，故A B 中元素的个数为4.故选：C .【考点】集合的交集运算，交集定义的理解 2.【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出z 即可.因为()()113131313131010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i=-的虚部为310.故选：D . 【考点】复数的除法运算，复数的虚部的定义 3.【答案】B【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B . 【考点】标准差的大小比较，方差公式的应用 4.【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.()()0.23531t K I t e --=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()*0.235319t e -=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *+≈≈.故选：C .【考点】对数的运算，指数与对数的互化 5.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.因为直线2x =与抛物线()220y px p =＞交于E ，D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()22D ，，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：B .【考点】圆锥曲线，直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标 6.【答案】D【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos a a b +，的值.5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-，因此，()1919cos 5735a a ba ab a a b⋅++===⨯⋅+，.故选：D . 【考点】平面向量夹角余弦值的计算，平面向量数量积的计算，向量模的计算 7.【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =.根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB =，即3AB =.由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =.故选：A . 【考点】余弦定理解三角形8.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△,根据勾股定理可得：AB AD DB ===ADB ∴△是边长为,根据三角形面积公式可得：(211sin 6022ADBS AB AD =⋅⋅==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++ 故选：C .【考点】根据三视图求立体图形的表面积，根据三视图画出立体图形 9.【答案】D【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan t θ=，1t ≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D .【考点】利用两角和的正切公式化简求值 10.【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.设直线l 在曲线y =(0x，则00x ＞，函数y导数为y '=，则直线l 的斜率k =，设直线l 的方程为)0y x x =-，即00xx -+=，由于直线l 与圆2215x y +=相切，则=，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x=，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D .【考点】导数的几何意义的应用，直线与圆的位置的应用 11.【答案】A【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，1212142PF F PF S PF =⋅=△，即128PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()222122PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A .【考点】双曲线的性质以及定义的应用，勾股定理，三角形面积公式的应用 12.【答案】A【解析】由题意可得a 、b 、()01c ∈，，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458＜可得出45b ＜，由13log 8c =，得138c =，结合45138＜，可得出45c ＞，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、()01c ∈，， ()222528log 3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg 241log 5lg5lg522lg5lg 25lg5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅⋅==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，a b ∴＜；由8log 5b =，得85b =，由5458＜，得5488b ＜，54b ∴＜，可得45b ＜；由13log 8c =，得138c =，由45138＜，得451313c ＜，54c ∴＞，可得45c ＞.综上所述，a b c ＜＜.故选：A .【考点】对数式的大小比较，基本不等式、对数式与指数式的互化，指数函数单调性的应用二、填空题 13.【答案】7【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为32z x y =+，所以322x z y =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，()12A ，，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.【考点】简单线性规划的应用，求线性目标函数的最大值 14.【答案】240【解析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()()()621221236661222rrr r r r r r r r r C xC x C x x T x ---+-⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⎭= ⎝=⎪，当1230r -=，解得4r =，622x x ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【考点】二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项15. 【解析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2BC =，3AB AC ==，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC r ，则：()11113322222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯=△△△△r，其体积：343V r π=.. 16.【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-＜＜可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622fπ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{}x x k k π≠∈Z ，，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-＜＜时，sin 0x ＜，()1sin 02sin f x x x=+＜＜，命题④错误.故答案为：②③.【考点】正弦型函数的奇偶性、对称性，最值的求解三、解答题17.【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立.（2）()12122n n S n +=-⋅+【解析】（1）利用递推公式得出2a ，3a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可.由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+，证明如下：当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立；（2）由错位相减法求解即可.由（1）可知，()2212n nn a n ⋅=+⋅，()()231325272212212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，①()()23412325272212212n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②，由-①②得：()()()()()21231112126222221262212122212n n n n n n S n n n -+++--=+⨯+++-+⋅=+⨯-+⋅=⋅⨯---，即()12122n n S n +=-⋅+.【考点】求等差数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和18.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 （2）350（3()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=. （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果.由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=.（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数，独立性检验的应用19.【答案】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，长方体1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥且AD BC =，11BB CC ∥且11BB CC =，112C G CG=12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 平行四边形，则AF DG∥且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1C E DG ∴∥且1C E DG =，1C E AF ∴∥且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内.（2）7【解析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内.在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，长方体1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥且AD BC =，11BB CC ∥且11BB CC =，112C G CG=12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 平行四边形，则AF DG∥且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1C E DG ∴∥且1C E DG =，1C E AF ∴∥且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()213A ，，、()1210A ，，、()202E ，，、()011F ，，，()011AE =--，，，()202AF =--，，，()1012A E =-，，，()1201A F =-，，，设平面AEF 的法向量为()111m x y z =，，，由00m AE m AF ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩=，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()111m =-，，，设平面1A EF 的法向量为()222n x y z =，，，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()142n =，，，3cos 3m n m n m n⋅===⨯⋅，，设二面角1A EF A--的平面角为θ，则cos θ=，sinθ∴==.因此，二面角1A EF A --.【考点】点在平面的证明，利用空间向量法求解二面角20.【答案】（1）221612525x y +=（2）52【解析】（1）因为()222:10525x y C m m+=＜＜，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案.()222:10525x y C m m +=＜＜，5a∴=，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-（舍），C ∴的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=. （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ △的面积.点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N .根据题意画出图形，如图BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=，又90PBM QBN ∠+∠=，90BQN QBN ∠+∠=，PBM BQN ∴∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ()50B ∴，，651PM BN ∴==-=，设P 点为()P P x y ，，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，P ∴点为()31，或()31-，， ①当P 点为()31，时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，2MB NQ ∴==，可得：Q 点为()62，，画出图象，如图()50A -，，()62Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ =，APQ ∴△面积为：1522⨯=；②当P 点为()31-，时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，8MB NQ ∴==，可得：Q 点为()68，，画出图象，如图()50A -，，()68Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为：d ===AQ ==APQ ∴△面积为：1522=，综上所述，APQ △面积为：52. 【考点】椭圆标准方程，三角形面积，椭圆的离心率定义，数形结合求三角形面积 21.【答案】（1）34b =-（2）由（1）可得()334f x x x c =-+，()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '＞，得12x ＞或12x -＜；令()0f x '＜，得1122x -＜＜，所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则()10f -＞或()10f ＜，即14c ＞或14c -＜.当14c ＞时，()1104f c -=-＞，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＞，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，()1104f c =+＞，又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-＜，由零点存在性定理知()f x 在()41c --，上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在()1-∞-，上存在唯一一个零点，在()1-+∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c -＜时，()1104f c -=-＜，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＜，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，()1104f c =+＜，又()()32464341160f c c c c c c -=++=-＞，由零点存在性定理知()f x 在()14c -，上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在()1+∞，上存在唯一一个零点，在()1-∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】（1）利用导数的几何意义得到102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解方程即可.因为()23f x x b '=+，由题意，102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则34b =-；（2）由（1）可得()231132422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，易知()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，采用反证法，推出矛盾即可.由（1）可得()334f x x x c =-+，()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '＞，得12x ＞或12x -＜；令()0f x '＜，得1122x -＜＜，所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则()10f -＞或()10f ＜，即14c ＞或14c -＜.当14c ＞时，()1104f c -=-＞，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＞，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，()1104f c =+＞，又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-＜，由零点存在性定理知()f x 在()41c --，上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在()1-∞-，上存在唯一一个零点，在()1-+∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c -＜时，()1104f c -=-＜，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＜，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，()1104f c =+＜，又()()32464341160f c c c c c c -=++=-＞，由零点存在性定理知()f x 在()14c -，上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在()1+∞，上存在唯一一个零点，在()1-∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 【考点】利用导数研究函数的零点，导数的几何意义，反证法22.【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】（1）由参数方程得出A ，B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值.令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即()012A ，.令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即()40B -，.AB ∴=（2）由A ，B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.由（1）可知()120304AB k -==--，则直线AB 的方程为()34y x =+，即3120x y -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【考点】利用参数方程求点的坐标，直角坐标方程化极坐标方程 23.【答案】（1）()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴ {}3max 4a b c ，，.【解析】（1）由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明.()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由题意得出0a ＞，b ，0c ＜，由()222322b c b c bca aa bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明.不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【考点】不等式的基本性质，基本不等式的应用2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷理科数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.由题意，A B 中的元素满足8y x x y ⎧⎨+=⎩≥，且x ，*y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有()17，，()26，，()35，，()44，，故A B 中元素的个数为4.故选：C .【考点】集合的交集运算，交集定义的理解 2.【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出z 即可.因为()()113131313131010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i=-的虚部为310.故选：D . 【考点】复数的除法运算，复数的虚部的定义 3.【答案】B【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B . 【考点】标准差的大小比较，方差公式的应用 4.【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e --=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.()()0.23531t K I t e --=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()*0.235319t e -=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *+≈≈.故选：C .【考点】对数的运算，指数与对数的互化 5.【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.因为直线2x =与抛物线()220y px p =＞交于E ，D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()22D ，，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：B .【考点】圆锥曲线，直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标 6.【答案】D【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos a a b +，的值.5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-，因此，()1919cos 5735a a ba ab a a b⋅++===⨯⋅+，.故选：D . 【考点】平面向量夹角余弦值的计算，平面向量数量积的计算，向量模的计算 7.【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =.根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB =，即3AB =.由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =.故选：A . 【考点】余弦定理解三角形8.【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△,根据勾股定理可得：AB AD DB ===ADB ∴△是边长为,根据三角形面积公式可得：(211sin 6022ADBS AB AD =⋅⋅==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++ 故选：C .【考点】根据三视图求立体图形的表面积，根据三视图画出立体图形 9.【答案】D【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan t θ=，1t ≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D .【考点】利用两角和的正切公式化简求值 10.【答案】D【解析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.设直线l 在曲线y =(0x，则00x ＞，函数y =导数为y '=l 的斜率k =，设直线l 的方程为)0y x x =-，即00xx -+=，由于直线l 与圆2215x y +=相切，则=，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x=，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D .【考点】导数的几何意义的应用，直线与圆的位置的应用 11.【答案】A【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，1212142PF F PF S PF =⋅=△，即128PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()222122PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A .【考点】双曲线的性质以及定义的应用，勾股定理，三角形面积公式的应用 12.【答案】A【解析】由题意可得a 、b 、()01c ∈，，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458＜可得出45b ＜，由13log 8c =，得138c =，结合45138＜，可得出45c ＞，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、()01c ∈，， ()222528log 3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg 241log 5lg5lg522lg5lg 25lg5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅⋅==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，a b ∴＜；由8log 5b =，得85b =，由5458＜，得5488b ＜，54b ∴＜，可得45b ＜；由13log 8c =，得138c =，由45138＜，得451313c ＜，54c ∴＞，可得45c ＞.综上所述，a b c ＜＜.故选：A .【考点】对数式的大小比较，基本不等式、对数式与指数式的互化，指数函数单调性的应用二、填空题 13.【答案】7【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.不等式组所表示的可行域如图.因为32z x y =+，所以322x z y =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，()12A ，，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.【考点】简单线性规划的应用，求线性目标函数的最大值 14.【答案】240【解析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()()()621221236661222rrr r r r r r r r r C xC x C x x T x ---+-⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⎭= ⎝=⎪，当1230r -=，解得4r =，622x x ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【考点】二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项15. 【解析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2BC =，3AB AC ==，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC r ，则：()11113322222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯=△△△△r，其体积：343V r π=.. 16.【答案】②③【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-＜＜可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622fπ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{}x x k k π≠∈Z ，，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-＜＜时，sin 0x ＜，()1sin 02sin f x x x=+＜＜，命题④错误.故答案为：②③.【考点】正弦型函数的奇偶性、对称性，最值的求解三、解答题17.【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立.（2）()12122n n S n +=-⋅+【解析】（1）利用递推公式得出2a ，3a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可.由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+，证明如下：当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，()()134321423211k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立；（2）由错位相减法求解即可.由（1）可知，()2212n nn a n ⋅=+⋅，()()231325272212212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，①()()23412325272212212n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②，由-①②得：()()()()()21231112126222221262212122212n n n n n n S n n n -+++--=+⨯+++-+⋅=+⨯-+⋅=⋅⨯---，即()12122n n S n +=-⋅+.【考点】求等差数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和18.【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 （2）350（3()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率.由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=. （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果.由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=.（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈＞，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】利用频数分布表计算频率和平均数，独立性检验的应用19.【答案】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，长方体1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥且AD BC =，11BB CC ∥且11BB CC =，112C G CG=12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 平行四边形，则AF DG∥且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1C E DG ∴∥且1C E DG =，1C E AF ∴∥且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内.（2）7【解析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内.在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，长方体1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥且AD BC =，11BB CC ∥且11BB CC =，112C G CG=12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 平行四边形，则AF DG∥且AF DG =，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1C E DG ∴∥且1C E DG =，1C E AF ∴∥且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()213A ，，、()1210A ，，、()202E ，，、()011F ，，，()011AE =--，，，()202AF =--，，，()1012A E =-，，，()1201A F =-，，，设平面AEF 的法向量为()111m x y z =，，，由00m AE m AF ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩=，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()111m =-，，，设平面1A EF 的法向量为()222n x y z =，，，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()142n =，，，3cos 3m n m n m n⋅===⨯⋅，，设二面角1A EF A--的平面角为θ，则cos θ=，sinθ∴==.因此，二面角1A EF A --.【考点】点在平面的证明，利用空间向量法求解二面角20.【答案】（1）221612525x y +=（2）52【解析】（1）因为()222:10525x y C m m+=＜＜，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案.()222:10525x y C m m +=＜＜，5a∴=，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-（舍），C ∴的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=. （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ △的面积.点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N .根据题意画出图形，如图BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=，又90PBM QBN ∠+∠=，90BQN QBN ∠+∠=，PBM BQN ∴∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ()50B ∴，，651PM BN ∴==-=，设P 点为()P P x y ，，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，P ∴点为()31，或()31-，， ①当P 点为()31，时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，2MB NQ ∴==，可得：Q 点为()62，，画出图象，如图()50A -，，()62Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ =，APQ ∴△面积为：1522⨯=；②当P 点为()31-，时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，8MB NQ ∴==，可得：Q 点为()68，，画出图象，如图()50A -，，()68Q ，，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ 的距离为：d ===AQ ==APQ ∴△面积为：1522=，综上所述，APQ △面积为：52. 【考点】椭圆标准方程，三角形面积，椭圆的离心率定义，数形结合求三角形面积 21.【答案】（1）34b =-（2）由（1）可得()334f x x x c =-+，()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '＞，得12x ＞或12x -＜；令()0f x '＜，得1122x -＜＜，所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则()10f -＞或()10f ＜，即14c ＞或14c -＜.当14c ＞时，()1104f c -=-＞，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＞，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，()1104f c =+＞，又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-＜，由零点存在性定理知()f x 在()41c --，上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在()1-∞-，上存在唯一一个零点，在()1-+∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c -＜时，()1104f c -=-＜，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＜，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，()1104f c =+＜，又()()32464341160f c c c c c c -=++=-＞，由零点存在性定理知()f x 在()14c -，上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在()1+∞，上存在唯一一个零点，在()1-∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】（1）利用导数的几何意义得到102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解方程即可.因为()23f x x b '=+，由题意，102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则34b =-；（2）由（1）可得()231132422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，易知()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，采用反证法，推出矛盾即可.由（1）可得()334f x x x c =-+，()231133422f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '＞，得12x ＞或12x -＜；令()0f x '＜，得1122x -＜＜，所以()f x 在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，且()114f c -=-，1124f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1124f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()114f c =+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则()10f -＞或()10f ＜，即14c ＞或14c -＜.当14c ＞时，()1104f c -=-＞，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＞，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，()1104f c =+＞，又()()32464341160f c c c c c c -=-++=-＜，由零点存在性定理知()f x 在()41c --，上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在()1-∞-，上存在唯一一个零点，在()1-+∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c -＜时，()1104f c -=-＜，11024f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＜，11024f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，()1104f c =+＜，又()()32464341160f c c c c c c -=++=-＞，由零点存在性定理知()f x 在()14c -，上存在唯一一个零点0x '，即()f x 在()1+∞，上存在唯一一个零点，在()1-∞，上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 【考点】利用导数研究函数的零点，导数的几何意义，反证法22.【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】（1）由参数方程得出A ，B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值.令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即()012A ，.令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即()40B -，.AB ∴=（2）由A ，B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.由（1）可知()120304AB k -==--，则直线AB 的方程为()34y x =+，即3120x y -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【考点】利用参数方程求点的坐标，直角坐标方程化极坐标方程 23.【答案】（1）()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴ {}3max 4a b c ，，.【解析】（1）由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明.()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.a ，b ，c 均不为0，则2220a b c ++＞，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++＜. （2）不妨设{}max a b c a =，，，由题意得出0a ＞，b ，0c ＜，由()222322b c b c bca aa bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明.不妨设{}max a b c a =，，，由0a b c ++=，1abc =可知，0a ＞，0b ＜，0c ＜，a b c =--，1a bc=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc ++++∴=⋅===≥.当且仅当b c =时，取等号，a ∴{}3max 4a b c ，，.【考点】不等式的基本性质，基本不等式的应用。

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2020高考数学三轮每日一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22211,log (32)2x A xB x y x x x ⎧-⎫=<==-+⎨⎬-⎩⎭,则A B ⋂= ( ) A.(),1-∞- B.1(,1)2C.()2,+∞D.()1,1- 2.已知复数112z i =-,则复数12111z z z +=-的虚部是( ) A.i B.i - C.1 D.-13.设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为( ) A.22 B.21 C.20 D.194.已知lg lg 0a b +=,函数()x f x a -=与函数x x g b log )(=的图象可能是( )A B C D5.将函数sin(2)y x θ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个函数()f x 的图像，则“()f x 是偶函数”是“4πθ=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 在椭圆2212+=x y 中任取一点00(,)P x y ，则所取的点能使直线00()-=-y y k x x 与圆221+=x y 恒有公共点的概率为（）（注：椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的面积公式为πab ）A ．12 B ．22 C ．212- D 2π7.已知,x y 满足203010y x x y -≤+≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩,则264x y x +--的取值范围是( )A.171,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡717,1 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡719,0 D.[]0,2-8. 定长为4的线段MN 的两端点在抛物线x y =2上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为( ) A.12B.1C.54 D.749. 某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为ο45的直角梯形，则该多面体的体积为（） A.1 B.21 C. 32D. 210.在边长为1的正三角形ABC中,,,0,0BD xBA CE yCA x y ==>>u u u r u u u r u u u r u u u r,且1=+y x ,则BE CD ⋅的最大值为( )A.85-B.83-C.23-D.43-11.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ,若对任意的正实数x ,都有()()22f x xf x '+<恒成立,则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为( )A.()(),11,-∞-⋃+∞B.()1,1-C.()()1,00,1-⋃D.{}|1x x ≠±12.若函数f(x)= - 56 x- 112 cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减，则m 的取值范围是( )A.[-12 ,12 ]B.[- 2 3 , 2 3 ]C.[- 3 3 , 3 3 ]D.[- 2 2 , 22]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填写在答题卡相应的位置)13. 已知平面向量(2,1),(2,).λ==r r a b 且(2)μ-=+r r r ra b a b ，则λμ+= ． 14. 抛物线()220=>y px p 的焦点为,F M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p = ．15.“求方程34155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xx的解”有如下解题思路：设34()55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xxf x ，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1=f ，所以原方程有唯一解2=x .类比上述解题思路，不等式632(2)(2)-+>+-x x x x 的解集是．16.已知函数()()y f x x R =∈,对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()I y h x x =∈,()y h x =满足:对任意x I ∈,两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称,若()sin h x a x =-是()g x 关于()ππcos()cos()44f x x x =+-的“对称函数”,3.2.2.1.且()g x 在[,62]ππ上是减函数,则实数a 的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

请把答案写在答题卷的相应位置。

17. （本小题12分）在数列{}n a 中，已知11=a ，121+=+n n a a (*N n ∈）（1）求证：{}1+n a 是等比数列（2）设11+⋅+=n n n n a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S18. (本小题满分12分)某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）试估计平均收益率；（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量y （万份）与x （元）有较强线性相关关系，从历史销∧∧=+y b x a ；（ⅱ）若把回归方程∧∧=+y b x a 当作y 与x 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益. 参考公示：1122211()(),()∧∧∧====-∑--===-∑--∑∑nni ii i i i nni ii i x y nx yx x y y b a y b x x x xnx19．（本小题满分12分）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC ∆沿AC 边折到APC ∆的位置．（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值．20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为12，且椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ)已知点()4,0P ，求证：若圆222:(0)Ω+=>x y r r 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切.21.(本小题满分12分)已知函数()()()121'102x f x f e f x x -=-+,其中()'f x 是()f x 的导数, e 为自然对数的底数), ()212g x x ax b =++ (a R ∈,b R ∈). (1)求()f x 的解析式及极值； (2)若()()f x g x ≥,求()12b a +的最大值.请考生在第(22)、(23)二题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分10分)在直角坐标系xoy 中，曲线1cos :sin αα=⎧⎨=⎩x t C y t （t 为参数且0≠t ），其中0απ≤≤，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:ρθρθ==C C ．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求当56πα=时AB 的值．23.(本小题满分10分)）已知函数212)(++-=x x x f ，()a a x x x g +--+=1 （1）求解不等式3)(>x f ；（2）对于R x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f ≥成立，求a 的取值范围.数学参考答案一、选择题1.D2.C3.C4.C5.B6.B7.A8.D9.C 10.B 11.A 12.B二、填空题13. 1 14. 4 15. (),1(2,)-∞-⋃+∞ 16.2a ≤三、解答题17.解：（Ⅰ）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈）又Θ211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列 (5)分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=nn a （*N n ∈）∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n n n n b （*N n ∈） ∴nS =nb b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n18. 解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均获益率为0.050.100.150.200.250.250.350.300.450.100.550.050.275⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）（i ）(40)( 6.0)--i ix y-22.5 -1.5 0 -0.5 -25.5 2(40)-i x2552525255 5521140=0 6.0=0(40)( 6.0)=-50,(40)500==-----=∑∑，，i i i i i i i x y x y x1221500.10,0500∧∧∧==--∴===-=-=-∑∑ni ii ni i x y nx yb a y b x x nx则 6.00.10(40)-=--y x 即0.1010.0=-+y x（ii ）设每份保单的保费为20+x 元，则销量为0.1010.0=-+y x ，则保费获益为()(20)(0.1010.0)=+-+f x x x 万元， 22()0.182000.1(40)360=-++=--+f x x x x当40=x 元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获益为3600.275=99⨯万元.19．解：（1）证明：如图取AC 的中点为O ，连接PO OB 、 (1)分易得AC PO AC OB ⊥⊥， …………3分AC POB ∴⊥平面 …………5分又PB 在平面POB 内AC PB ∴⊥ (6)分（2）P ABC A POB C POB V V V ---=+ (8)分1sin 3POB AC S POB ∆=⋅=∠ …………10分当90POB ∠=︒时，P ABC V -的最大值为1 (12)分20. 解析：（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，依题意，222221,1,2,194c a a b c a b+=⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪⎩解得2,a b ==，c=1，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，M ，N 两点关于x 轴对称，点P （4,0）在x 轴上，所以直线PM 与直线PN 关于x 轴对称，所以点O 到直线PM 与直线PN 的距离相等，故若圆()222:0x y r r Ω+=>与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22yx x k y 得：2222(34)84120k x k x k +-+-=所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+， 1111(1)44PM y k x k x x -==--，2222(1)44PN y k x k x x -==--， 1212121212(1)(1)[25()8]44(4)(4)PM PN k x k x k x x x x k k x x x x --⋅-+++=+=----22221282440(8)34340(4)(4)k k k k k x x --+++==--，所以，MPO NPO ∠=∠，于是点O 到直线PM 与直线的距离PN 相等，故若圆()222:0x y r r Ω+=>与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；综上所述，若圆()222:0x y r r Ω+=>与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切.21.解：(1).由已知得()()()1''10x f x f ef x -=-+,令1=x ,得()()()'1'101f f f =-+,即()01f =,又()()'10f f e=,∴()'1f e =, 从而()212x f x e x x =-+,∴()'1xf x e x =+-,…………………………….3分又()'1xf x e x =+-在R 上递增,且()00f '=,∴当0?x <时, ()'0f x <;0x >时, ()'0f x >,故0x =为极小值点,且(0)1f =，即()f x 极小值为1，无极大值…………………………….5分(2).()212f x x ax b ≥++⇔()()10x h x e a x b =-+-≥得()()'1x h x e a =-+, ① 10a +≤时, ()()'0h x y h x >⇔=在x ∈R 上单调递增, x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥相矛盾;………………………………………………7分②当10a +>时, ()0ln(1)h x x a >'>⇔+,()()'0ln 1h x x a <⇔<+得: 当()ln 1x a =+时, ()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥,即()()()11ln 1a a a b +-++≥,∴()()()()22111ln 1a b a a a +≤+-++,()10a +>,令()()22ln 0F x x x x x =->,则()()'12ln F x x x =-, ∴()'00F x x >⇔<,()'0F x ⇔,当x =, ()max 2eF x =,………………………………………………10分即当1a =,b =时, ()1a b +的最大值为2e,∴()12b a +的最大值为4e ……………………………………………………12分22.解析：（Ⅰ）由题设有曲线2C 的直角坐标方程为2220+-=x y y ，曲线3C的直角坐标方程为220+-=x y ，联立2222200⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩x y y x y 解得00=⎧⎨=⎩x y或232⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y 即2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0和322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0),θαρρ=∈≠R 其中0απ≤<因此A 的极坐标为(2sin )αα，，B的极坐标为)αα，。

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