苏科版数学八年级上册《线段角的轴对称性》word学案
2.4线段、角的轴对称性(第2课时线段垂直平分线的判定)(教学课件)-八年级数学上册(苏科版)
正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的
方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C
有(
C )
A. 3个
B. 5个
C. 6个
D. 8个
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线
两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
B
A
a
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，
所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
＝，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点
在直线上，就说过该点的直
线是线段的垂直平分线.
概念归纳
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以
利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
(1)分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于
AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相
苏科版数学八年级上册教学设计《2-4线段、角的轴对称性(1)》
苏科版数学八年级上册教学设计《2-4线段、角的轴对称性（1）》一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第三章是关于几何图形的对称性，本节课是该章节的第一节，主要内容是2-4线段和角的轴对称性。
教材通过引入日常生活中的实例，让学生感受对称性的存在，从而引导学生探究线段和角的对称性质。
教材先从线段的对称性入手，让学生了解线段的对称轴和轴对称的性质，再引入角的对称性，让学生探究角的对称轴和轴对称的性质。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了平面几何的基本概念，对图形的性质有一定的了解。
但对称性这一概念对学生来说较为抽象，需要通过实例和活动让学生感受和理解。
学生在学习过程中，需要从实际问题出发，通过观察、操作、猜想、验证等环节，体会对称性的存在和意义。
三. 教学目标1.理解线段和角的对称性质，掌握线段和角的对称轴的定义。
2.能够判断一个线段或角是否具有对称性，并找出其对称轴。
3.会用对称性解释一些实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：线段和角的对称性质，对称轴的定义。
2.教学难点：如何判断一个线段或角是否具有对称性，如何找出其对称轴。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、操作验证法、小组讨论法等，引导学生从实际问题中发现对称性，通过操作和验证理解对称性，通过小组讨论深化对对称性的理解。
六. 教学准备1.准备一些具有对称性的线段和角的实例，用于导入和呈现。
2.准备一些操作工具，如直尺、量角器等，用于学生操练。
3.准备一些练习题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的线段和角的实例，如折纸、剪纸等，引导学生观察和思考：这些图形有什么共同的特点？它们是如何形成的？从而引出对称性的概念。
2.呈现（10分钟）介绍线段和角的对称性质，讲解对称轴的定义。
通过展示线段和角的轴对称的动画，让学生直观地理解对称性质。
同时，让学生尝试判断一些线段和角是否具有对称性，并找出其对称轴。
八上 1.4 线段、角是轴对称性(2)
1.4 线段、角是轴对称性（2）--- [ 教案]班级姓名学号教学目标：1、使学生掌握角是轴对称图形，角平分线的性质.2、使学生通过类比的思想和方法掌握本节课的内容，培养学生主动探索学习的能力通过让学生在原有的知识基础上.3、通过类比方法，掌握了新的知识，可以提高学生自学的兴趣和信心.教学重点：角平分线的性质：Array教学难点：角平分线的性质应用教学过程：一、情境创设：张庄、李庄和马庄的位置如图，每两个村庄之间都有笔直的道路相连，他们计划共同打一眼机井.希望机井到三条道路的距离相等，你能设计出机井的位置吗？通过本课的学习，我相信大家将不难解决这个问题.今天，我们来学习角的轴对称性.（二）新授1、请同学们将事先准备的薄纸拿出来，在上面任意画一个角（∠AOB），折纸使两边OA、OB 重合，你发现折痕与∠AOB有什么关系？学生通过动手和讨论得到结论：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别作点P到OA和OB的垂线段PD、PE，再沿学生作图探究，可得到很多结论，如PC=PD，PC、PD关于折痕对称等等，点评学生的各种结论并强调重点：角平分线上的点到角的两边距离相等.在上面第二个结论中，有两个条件（1）OC 是∠AOB 的平分线；（2）点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，才能得出PD ＝PE ，两者缺一不可.下图中PD ＝PE 吗？各缺少了什么条件？3、上节课我们已经学习了：若点P 在线段AB 的垂直平分线上，那么PA=PB ，如果QA=QB ，那么点Q 在线段AB 的垂直平分线上.今天我们又学了若点P 在∠AOB 的平分线上，那么点P 到OA 、OB 的距离相等；反过来，你能提出什么猜想吗部分学生能猜想出来：若点P 到OA 、OB 的距离相等，则点P 在∠AOB 的平分线上.让学生完成P24图1-19的相关问题，学生通过作图、测量、观察得到：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.4、上节课我们学习了线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.那么角平分线就是……？部分学生会回答出：角平分线是到角两边距离相等的点的集合.二、例题示范：例1、任意画∠O ，在∠O 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ，过点A 画OA 的垂线，过P ，点O 在∠APB 的平分线上吗？为什么？ 例2、如下图（1）所示，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，BD 是角平分线，交AC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，AD ＝3DE.AD 和3DC 是什么关系?为什么?三、课堂小结：角平分线的作法及性质A OB CD E P P E D C B O A O四、课后作业：P22 4,5五、教学后记：。
《线段、角的轴对称性》word教案 (公开课获奖)2022苏教版 (4)
2.4 线段、角的轴对称性〔4〕教材：义务教育教科书·数学〔八年级上册〕点P在∠A的角平分线上．分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE ＝PF，从而PD＝PE，所以得证．通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？2．分析、讨论证明思路．3．口述证明思路及证明过程．4．讨论归纳得到结论：三角形的三个内角的角平分线相交于一点．性质定理和逆定理．采用“要证，只要证〞的思考方法引导学生逐步学会“分析法〞．问题解决完后及时进行小结归纳，得出三角形“内心〞，为学习三角形的内切圆打好根底．例3 ：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．学生利用分析法填空；阐述证明思路；完成证明过程．利用分析法引导学生学会分析问题，培养学生良好的思考习惯．开放的分析过程，提供了多样化的思分析：要证AD垂直平分EF，只要证：，．∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC，只要证，只要证．……考路径．指导学生完成练习．解完题后，说说你的发现，提出你的问题．练习：课本P56练习．学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题〞．此题是角平分线性质定理和逆定理的综合应用，实际上是例2的变式应用．学生“一折，二画，三验证〞有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性，再次鼓励学生使用逆推的思路寻找证明方法．布置作业课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程．学生根据自身实际情况，选题作业．实行作业分层，便于不同开展水平的学生自我开展．9.1 单项式乘单项式力．教学重点：理解单项式相乘的法那么，会进行单项式的乘法运算．教学难点：能运用单项式乘以单项式的法那么解决实际问题．【情景创设】用6个边长为a的小正方体拼成一个长方体，并用不同的方法表示你所拼出来的长方体的体积，从不同的表示方法中，你能发现些什么？〔1〕体积的表示方法；〔2〕面对你的侧面积的表示方法．探索新知让学生在交流的根底上思考以下问题：〔1〕体积的表示方法：①3a ·2a ·a ＝________________＝6a 3，②3a ·2a ·b ＝________________＝6a 2b ．侧面积的表示方法：3a ·2a ＝________________＝6a 2． 〔2〕从不同的表示中你发现了什么？ 〔3〕通过下面两个计算我们来进一步的探讨：〔2a 2b 〕〔3ab 2〕＝［2 ×3］•〔a 2•a 〕〔b •b 2〕＝6a 3b3系数相乘 相同字母 相同字母〔4ab 2〕〔5b 〕＝［4×5］•〔b 2• b 〕•a ＝20ab 3系数相乘 相同字母 只在一个单项式中出现的字母你能告诉大家你算出的结果吗？你是怎样来思考的呢？ 通过探索得到单项式乘单项式的计算法那么： 〔1〕将它们的系数相乘； 〔2〕相同字母的幂相乘；〔3〕只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式．【展示交流】例 1 计算：① －13a 2·(－6ab )； ② 6x 2·(－2x 2y )．注：教师强调格式标准，板书过程．〔通过计算引导学生发现单项式与单项式相乘时，一找系数，二找相同字母的幂，三找只在一个单项式里出现的字母．〕 练习1： 判断正误：〔1〕3x 3·(－2x 2)＝5x 3； 〔2〕3a 2·4a 2＝12a 2； 〔3〕3b 3·8b 3＝24b 9； 〔4〕－3x ·2xy ＝6x 2y ； 〔5〕3ab ＋3ab ＝9a 2b 2． 练习2：课本练一练 第1、2题．例 2 计算：〔1〕(2x )3·(－3xy 2)； 〔2〕(－2a 2b )·(－a 2)·14bc ．注：遇到乘方形式先用积的乘方公式展开，然后转化为单项式乘以单项式的形式，再根据今天所学内容计算． 练习3：计算：〔1〕(a 2)2·(－2ab )； 〔2〕－8a 2b ·(－a 3b 2) ·14b 2 ；〔3〕(－5an ＋1b ) ·(－2a )2；〔4〕[－2(x－y)2]2·(y－x)3．【盘点收获】【课后作业】补充习题和同步练习。
苏科版数学八年级上册2.4《线段 角的轴对称性》教学设计1
苏科版数学八年级上册2.4《线段角的轴对称性》教学设计1一. 教材分析《苏科版数学八年级上册2.4《线段角的轴对称性》》这一节主要介绍了线段和角的轴对称性质。
通过这一节的学习，学生可以了解线段和角的轴对称性质，并学会如何运用这些性质解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了平面几何的基本概念，如点、线、角等，并掌握了一定的几何证明方法。
然而，对于轴对称性质的理解和运用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生理解和掌握轴对称性质。
三. 教学目标1.了解线段和角的轴对称性质，并能熟练运用这些性质解决实际问题。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.提高学生解决几何问题的能力，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.线段和角的轴对称性质的理解和运用。
2.轴对称性质在几何证明中的应用。
五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物和几何模型，让学生直观地感受轴对称性质。
2.运用讲解法，引导学生理解轴对称性质的内涵，并学会如何运用这些性质解决实际问题。
3.采用案例分析法，分析轴对称性质在几何证明中的应用，提高学生解决问题的能力。
4.运用练习法，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的几何模型和实物，如线段、角等。
2.准备PPT，展示相关的例题和练习题。
3.准备黑板，用于板书解题过程和几何证明。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过实物和几何模型，引导学生观察和思考轴对称性质。
例如，拿出一个矩形和一个圆形，让学生观察它们的轴对称性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现线段和角的轴对称性质的定义和定理，并用几何模型进行解释。
同时，给出一些例题，让学生初步了解轴对称性质的应用。
3.操练（10分钟）学生独立完成PPT上的练习题，巩固对轴对称性质的理解。
初中数学《线段、角的轴对称性》教案
初中数学《线段、角的轴对称性》教案教学课题：1.4线段、角的轴对称性(一)教学时刻（日期、课时）：教材分析：学情分析：教学目标：1.经历探究线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特点，进展空间观念；2 .探究并把握线段的垂直平分线的性质；3.了解线段的垂直平分线是具有专门性质的点的集合；4 在“操作---探究----归纳----说理”的过程中学会有条理地摸索和表达，提高演绎推理能力。
探究并把握线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线是具有专门性质的点的集合教学预备《数学学与练》集体备课意见和要紧参考资料页边批注加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页教学过程一．新课导入问题1：线段是轴对称图形吗？什么缘故？探究活动：活动一对折线段问题1：按要求对折线段后，你发觉折痕与线段有什么关系？问题2：按要求第二次对折线段后，你发觉折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？二．新课讲授结论：1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(投影)例题：例1P21(投影)这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易明白得，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读明白题目吗？题中已知哪些条件？要说明如何样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？依照图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？问题2：观看点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页一．巩固练习P23 习题1、2、3二．小结结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合这节课你学到了什么？页边批注加注名人名言板书设计作业设计事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
苏科版数学八年级上册2.4《线段 角的轴对称性》教学设计2
苏科版数学八年级上册2.4《线段角的轴对称性》教学设计2一. 教材分析《苏科版数学八年级上册2.4《线段角的轴对称性》》这一节主要让学生理解线段和角的轴对称性质，学会运用轴对称性质解决实际问题。
教材通过丰富的实例，引导学生探究线段和角的轴对称性质，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了轴对称的概念，对轴对称有了初步的认识。
但是，对于线段和角的轴对称性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过大量的实例和动手操作，让学生加深对线段和角的轴对称性质的理解。
三. 教学目标1.理解线段和角的轴对称性质。
2.学会运用轴对称性质解决实际问题。
3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.线段和角的轴对称性质的理解和运用。
2.如何引导学生发现和总结轴对称性质。
五. 教学方法1.实例教学：通过丰富的实例，让学生直观地感受线段和角的轴对称性质。
2.动手操作：让学生亲自动手操作，发现和总结线段和角的轴对称性质。
3.小组讨论：让学生分组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例和图片。
2.准备一些线段和角的模型。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些生活中的实例，如剪纸、折叠等，引导学生回顾轴对称的概念。
然后，提出本节课的主要学习内容：线段和角的轴对称性质。
2.呈现（10分钟）呈现一些线段和角的轴对称的实例，让学生直观地感受线段和角的轴对称性质。
同时，引导学生发现和总结线段和角的轴对称性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个线段或角，找出它的轴对称线，并动手操作验证。
然后，各组汇报自己的发现，全班交流。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用轴对称性质解决问题。
同时，引导学生总结解题思路和方法。
5.拓展（10分钟）出示一些相关的实际问题，让学生运用轴对称性质解决问题。
如：设计一个轴对称的图案、计算线段的长度等。
《线段、角的轴对称性》教案 (同课异构)2022年苏科版
2.4 线段、角的轴对称性〔1〕教材：义务教育教科书·数学〔八年级上册〕3.3代数式的值〔2〕教学内容年级学科七年级数学教学课时共 2 课时第 2 课时课型新授教学目标1．能读懂计算程序图〔框图〕，会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序，初步感受“算法〞的思想。
2. 在计算代数式的值的过程中，感受数量的变化及其联系。
教学重点会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序,初步感受“算法〞的思想.教学难点会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序,初步感受“算法〞的思想.教学准备多媒体教学过程二次备课输入8800×(1+3.9%×2) >10000 输出是否一、问题 小明的爸爸存入3年期的教育储蓄8800元〔3年期教育储蓄的年利率为3.9%，免缴利息税〕，到期后本息和〔本金与利息的和〕自动转存2年期的教育储蓄，像这样至少要储蓄几次才能使本息和超过10 000元。
请你用如以下列图的程序，用计算器帮小明的爸爸算一算。
〔引导学生讨论交流，继而组织学生阅读课本的计算框图，并向学生说明设计计算框图的标准要求〕 一、例题研究 1〕按计算程序计算并填写下表：〔程序—代数式—求值〕 师生共同操作“做一做〞输入10003 87输出三、归纳总结1．如果先给你计算程序，第一步把计算程序要表达的代数式表示出来。
第二步实质在做求代数式值的工作。
2．如果给你代数式让你设计计算程序，只要严格按照有理数混合运算的运算顺序再结合设计计算框图的标准要求来设计。
3．通过本节课的学习你收获了哪些？还有什么疑问？四、课堂作业T78 T2/ T3板书设计教学反思。
八年级数学苏科版上册 第二单元《2.4线段、角的轴对称性》教学设计 教案
2.4 线段、角的轴对称性【教材分析】本节是苏科版教材八年级上册内容，学生在理解线段轴对称性的基础上，掌握线段垂直平分线的性质，并能灵活运用进行说理，为今后学习分析复杂的图形做好铺垫，发展学生的空间观念和想象力。
【学情分析】在前面的学习中学生已经认识了轴对称，学习了轴对称的概念，加强了对图形的理解和认识，初步探索并掌握线段的垂直平分线的性质，为接下来的学习奠定了基础。
【教学目标分析】1、知识与技能：理解线段的轴对称性，认识线段的对称轴；理解并掌握线段垂直平分线的性质。
2、过程与方法：经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的性质，发展空间观念。
3、情感、态度与价值观：通过学生动手、动脑、探究、讨论的过程培养学生的动手能力和探索精神，使学生在学习的过程中掌握知识，感受数学的魅力。
【教学重点难点分析】重点：掌握线段的垂直平分线的性质难点：线段的垂直平分线的性质的运用及说理【教法指导】鉴于教材特点及初二学生的年龄特点、心理特征和认知水平，本节课采用层层推进的提问启发学生深入思考，主动探究，主动获取知识。
同时注意与学生已有知识的联系，减少学生对新概念接受的困难，给学生充分的自主探索时间。
通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“探究——讨论——交流——总结” 的学习活动过程，同时在教学中，还充分利用多媒体教学，通过演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
【学法指导】本堂课立足于学生的“学”，要求学生多动手，多观察，从而可以帮助学生形成分析、归纳的思想方法。
让学生在动手操作中学到知识。
提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。
因此在课堂上要采用积极引导学生主动参与，合作交流的方法组织教学，使学生真正成为教学的主体，体会参与的乐趣，成功的喜悦，感知数学的奇妙。
第1 页共3 页【教学过程】一、自主探究阅读教材P51～P52内容，回答下列问题：1．线段的轴对称性线段_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，它的对称轴是_______________________．2．垂直平分线的性质①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离_______．②如图，直线l垂直AB，垂足为点O，AO＝BO，点P在直线MN 上，连接PA、PB，根据垂直平分线的性质填空：∵OP⊥AB，AC＝BC，∴P是线段AB垂直平分线上一点，∴_______（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．二、合作交流例1 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD。
2.4线段、角的轴对称性(2)教案 2022--2023学年苏科版八年级数学上册
2.4 线段、角的轴对称性（2）教案一、教学目标1.理解线段的轴对称性概念，并能够判断线段是否具有轴对称性；2.掌握角的轴对称性概念，并能够判断角是否具有轴对称性；3.能够运用轴对称性的知识解决相关问题。
二、教学重点1.理解线段的轴对称性概念；2.掌握角的轴对称性概念。
三、教学内容3.1 线段的轴对称性3.1.1 概念引入在上节课我们学习了线段的概念，今天我们将进一步探讨线段的性质。
请同学们回顾一下，如果一条线段可以沿着某条直线旋转180度后能够重合，我们就称这条线段具有轴对称性。
请大家思考，如何判断一条线段是否具有轴对称性？3.1.2 判断方法线段的轴对称性可以通过观察来判断。
我们可以找一根铅笔或者尺子，将线段的中点作为旋转的中心点，然后将线段旋转180度后尝试对折，如果能够完全重合，说明线段具有轴对称性；反之，则不具有轴对称性。
3.1.3 深化理解请同学们思考以下问题：•线段的中点在轴对称性中起到了什么作用？•如果一条线段有多个对称轴，那么它是否具有轴对称性？3.2 角的轴对称性3.2.1 概念引入角是由两条射线共同确定的形状。
我们知道，线段具有轴对称性，那么角是否也具有轴对称性呢？请思考一下。
3.2.2 判断方法角的轴对称性可以通过观察来判断。
我们可以找一张纸，将角的顶点与纸的一个端点重合，然后将纸沿着角的边旋转180度后尝试对折，如果能够完全重合，说明角具有轴对称性；反之，则不具有轴对称性。
3.2.3 深化理解请同学们思考以下问题：•角的顶点在轴对称性中起到了什么作用？•如果一个角有多个对称轴，那么它是否具有轴对称性？四、教学设计4.1 概念讲解通过黑板演示和讲解，向学生介绍线段和角的轴对称性的概念及判断方法。
引导学生思考相关问题，并与学生进行互动讨论。
4.2 实践练习让学生分成小组，互相配对进行实践练习。
每个小组准备一张纸和一支铅笔或尺子，根据老师提供的线段和角的图形，判断其是否具有轴对称性，并给出相应的理由。
苏科版-数学-八年级上册-《线段、角的轴对称性(3、4)》教学案
2.4 线段、角的轴对称性（3、4）教学案一、教学目标：1、让学生经历角的折叠过程探索角的对称性，并发现角平分线的性质和判定点在一个角的平分线上的方法；2、使学生会运用角平分线的性质定理解决生活中的相关问题；3、培养学生实践探索的科学习惯.4、在“操作—探究—归纳—说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力.二、教学重点：角平分线的性质三、教学难点：角平分线的性质应用四、教学（导学）过程（一）创设情境动手实践：1、在一张薄纸上任意画一个角（∠AOB ），折纸，使两边OA、OB重合，你发现折痕与∠AOB有什么关系？结论：2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD，再沿原折痕重新折叠，由此你能发现角平分线上的点有什么性质?结论：几何符号：∵∴3、反之，如果一个角内一点具备到这个角两边的距离相等，那么这个点的位置有何特征？结论：几何符号：∵∴（二）例题讲解例1、任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设两条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么？ABP例2、已知：如图，在ΔABC 中.O 是∠B 、∠C 外角的平分线的交点，那么点O 在∠A 的平分线上吗？为什么？例3、三角形的两条内角平分线的交点在第三个内角的平分线上吗？为什么？（三）应用拓展1、画一画：已知∠AOB 和C 、D 两点，请在图中标出一点E ，使得点E 到OA 、OB 的距离相等，而且E 点到C 、D 的距离也相等.2、已知：在ΔABC 中，D 是BC 上一点，DF ⊥AB 于E ，DE ⊥AC 于F ，且DE=DF. 线段AD 与EF 有何关系?并说明理由.ABCPE FCO BACD· ·EDC AB3、已知：在∠ABC 中，D 是∠ABC 平分线上一点，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE=DF. 试判断∠BED 与∠BFD 的关系，并说明理由.（四）课堂小结通过这节课的学习活动你有哪些收获？2.4线段、角的轴对称性（3、4） 班级 姓名1．________ ___是角的对称轴，到一个角的两边距离相等的点有_________个． 2．如图，射线OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，且PM ⊥OA 于点M ，PN ⊥OB于点N ．当PM=2cm 时，PN=________cm ．理由是 _______________________________．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ． (1)若BC=9，BD=5，则点D 到AB 的距离为__________．(2)若BD ：DC=3：2，点D 到AB 的距离为6，则BC=__________．4．如图，在△ABC 中，O 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，D 、E 、F 是垂足．FBACDE(1)对于等式：①OD=OE；②OE=OF；③OF=OD，根据“角平分线上的点到角的两边距离相等”，可以得到等式__________和_________，进而可以得到等式_________；(2)因为OF=OD，所以点O在∠________的平分线上，理由是_____________________________________．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数为( )A．70°B．80°C．100°D．110°6．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°7. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交8. 已知：在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线上，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=1000，则（）A.DE>DFB.DE<DFC.DE=DFD.不能确定DE、DF的大小.9.在课外活动中，小明发明了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法，他的方法是：如图所示，在斜边AB上取一点E，使BE=BC，过点E作ED⊥AB，交AC于D，那么BD 就是∠ABC的平分线，你认为对吗？为什么？10.如图，AC平分∠EAB，DC=BC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB，垂足为F．(1)写出图中相等的线段(已知的相等线段除外)．(2)选择你所写的一组相等线段，说明它们相等的理由．11.如图，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？(要求尺规作图，保留作图痕迹)cbaDECB。
2.4线段、角的轴对称性(1)说课稿-苏科版八年级数学上册
2.4 线段、角的轴对称性（1）说课稿-苏科版八年级数学上册一、教材分析本节课是苏科版八年级数学上册中的第2.4节，主要介绍线段和角的轴对称性。
通过本节课的学习，学生将掌握线段和角的轴对称定义、判断和绘制轴对称图形的方法。
在前面的学习中，学生已经学习了线段和角的基本概念和性质，理解了线段和角的度量和运算方法。
通过本节课的学习，可以进一步加深对线段和角的理解，并通过绘制轴对称图形的练习，提高学生的问题解决能力和几何思维能力。
二、教学目标知识与技能目标：1.理解线段的轴对称定义及其性质；2.理解角的轴对称定义及其性质；3.掌握判断线段和角是否具有轴对称的方法；4.能够根据已知条件绘制具有轴对称性的图形。
过程与方法目标：1.注重观察和思考，培养学生的几何思维和推理能力；2.引导学生通过实例分析和讨论，理解轴对称性的概念和特点；3.鼓励学生进行合作学习和探究，培养团队合作意识和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：1.培养学生的观察力和细致心思，培养学生对几何学习的兴趣和热情；2.培养学生的合作精神和团队意识，鼓励学生互帮互助，共同进步。
三、教学重点与难点教学重点：1.线段的轴对称性及其判断方法；2.角的轴对称性及其判断方法；3.绘制具有轴对称性的图形。
教学难点：1.引导学生理解轴对称的概念和特点；2.培养学生观察和分析问题的能力。
四、教学过程与方法引入新知：1.利用实例引入轴对称的概念，例如一把剪刀、一个图形等，让学生观察并发现其中的特点；2.引导学生分析并总结轴对称的特点，例如镜面对称；3.引入线段和角的轴对称性的概念，让学生讨论并理解。
讲解与练习：1.通过示例和图形，讲解线段的轴对称性，并引导学生掌握判断线段是否具有轴对称性的方法；2.通过示例和图形，讲解角的轴对称性，并引导学生掌握判断角是否具有轴对称性的方法；3.组织学生进行练习，巩固判断线段和角是否具有轴对称性的能力。
拓展与应用：1.引导学生思考如何绘制具有轴对称性的图形；2.组织学生进行绘制图形的练习，培养他们的几何思维和创造力；3.引导学生分析和讨论绘制图形的方法和策略。
苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的轴对称性》教学设计1
苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的轴对称性》教学设计1一. 教材分析苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的轴对称性》是学生在学习了轴对称的概念和性质的基础上进一步研究线段和角的对称性。
这一节的内容主要包括线段的轴对称性、角的轴对称性以及如何寻找线段和角的轴对称线。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究和发现轴对称的性质，从而培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了轴对称的基本概念和性质，能够识别和判断一个图形是否是轴对称的。
但是，对于如何寻找线段和角的轴对称线，以及如何应用轴对称的性质解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。
三. 教学目标1.理解线段和角的轴对称性，掌握寻找线段和角的对称轴的方法。
2.能够运用轴对称的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、推理能力和合作能力。
四. 教学重难点1.重点：线段和角的轴对称性，寻找线段和角的对称轴的方法。
2.难点：如何运用轴对称的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考和发现轴对称的性质。
2.利用图形和实例，直观地展示线段和角的轴对称性，帮助学生理解和掌握。
3.运用小组合作的学习方式，鼓励学生相互交流、讨论，共同解决问题。
4.注重练习和反馈，及时发现和纠正学生的错误，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于展示和解释线段和角的轴对称性。
2.设计一些练习题，帮助学生巩固所学知识。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和展示解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的轴对称图形，引导学生回顾轴对称的基本概念和性质。
提问：你们知道什么是轴对称吗？轴对称有哪些性质？2.呈现（15分钟）展示一些线段和角的图形，让学生观察和思考它们是否具有轴对称性。
提问：你们能找出这些线段和角的轴对称线吗？3.操练（10分钟）让学生分组合作，每组选择一个线段或角，尝试找出它的对称轴。
数学八年级上册第二章《线段、角的轴对称性》教案
教学课题数学八年级上册第二章——《线段、角的轴对称性》教案课型新授教学目标：1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线； 2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性教学重点、难点：1、利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．2、灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．教学方法与手段：多媒体教学教学过程：教师活动学生活动设计意图实践探索一在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB 的端点A、B距离相等的点吗？这样的点有多少个？动手操作，交流发现激发兴趣，点明主题．衔接上一节课，渗透数学“逆向思维”的数学研究策略．．实践探索二：如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？如图2-21（1），若点Q在线段AB上，且QA ＝QB，则Q是线段AB的中点，则点Q在线段AB 的垂直平分线上.1．猜想线段垂直平分线性质定理的逆定理；2．自学课本上点Q在线段上的情形，思考点Q不在线段上时的证明；3．学生证明逆定理．教师提出问题，帮助学生合理猜想，培养学生的逆向思维能力．两个步骤兼顾了“任意性”和“完备性”，让学生感受线段垂直平分线上点的共性，几何画板的一般性图形验证，客观的得到了其是一类点的集合．如图2-21（2），若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？通过上述探索，你得到了什么结论？教师利用几何画板验证线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 4．学生讨论、归纳得到线段垂直平分线性质定理的逆定理，线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合实践探索三你能运用实践探索二得到的结论，用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？如果能，说说你作图的依据.课本上用尺规作线段的垂直平分线时，为什么要画“两弧的交点”，而且“半径要大于12 AB”呢？在线段AB所在直线外取一点C，连接AC，用刚学的方法画出AC的垂直平分线l1，与AB的垂直平分线l2交于点O，再连接BC，并作出它的垂直平分线．你发现了什么？得到什么结论？这又是为什么呢？1．学生尝试操作、小组交流；2．小组代表汇报画法，并说明作图依据；3．说明作法中“两弧的交点”“半径要大于12AB”的原因；5.进行延伸作图，观察现象，思考原因.从实践探索二出发，引导学生利用圆规的等距性找到确定线段垂直平分线的两点，强调“两交点”及“半径”，确保作图成功．延伸作图以及图形观察一方面“学以致用”，另一方面为例1的解决作出铺垫．例1 已知：如图2-22，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O．求证：点O 在BC的垂直平分线上. 1．学生结合实践探索三思考；2．尝试证明；在实践探索三的基础上学生开始逐渐学会综合利用性质定A B。
苏科版数学八年级上册2.4 线段、角的对称性 教案
【课题】2.4 角的对称性（1）【学习目标】1.让学生经历角的折叠过程探索角的对称性，并发现角平分线的性质和判定点在一个角的平分线上的方法；2.使学生会运用角平分线的性质定理解决生活中的相关问题；3.培养学生实践探索的科学习惯.【学习重难点】重点：探索并掌握角的平分线的性质. 难点：角平分线的性质应用.【预习导航】 一、预习作业：1、角 轴对称图形(填“是”或“不是”)， 是它的对称轴.2、角平分线上的点到 距离相等.3、角的内部到角两边距离相等的点在 上.4、如图，OP 是∠AOB 的平分线，C 是OP 上一点，CE ⊥OA 于点E ，CF ⊥OB 于点F ，CE =6㎝，则CF = ㎝，理由是 .二、合作探究：活动一：请同学们准备一张薄纸，在上面任意画一个角(∠AOB )，折纸使两边OA 、OB 重合，你发现折痕与∠AOB 有什么关系？结论：角是轴对称图形， 是它的对称轴.活动二：在∠AOB 的平分线上任意取一点P ，分别画点P 到OA 、OB 的垂线段PC 和PD ，BOF 第4题PC和PD相等吗？会有什么结论？结论：角平分线上的点到距离相等.思考：我们知道了，角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？结论：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.三、预习检测：1、到三角形的三边距离相等的点是( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点2、如图，AD平分BAC，∠C=90°，DE⊥AB，那么: (1)DE和DC相等吗？为什么？ (2) AE和AC相等吗？为什么？【课堂导学】例1任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设两条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么？例2 如图，已知AB ∥CD ，∠ABC 与∠BCD 的平分线相交于点E ，EF ⊥BC ，EF=4㎝，求平行线AB 、CD 之间的距离.【效果检测】班级 姓名 学号 等第 1.下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）A 、两条相交直线B 、线段C 、有公共端点的两条相等线段D 、有公共端点的两条不相等线段 2.在△ABC 中，AB =BC ，BD 平分∠ABC ，下列说法不正确的是( )A 、BD 平分ACB 、AD ⊥BDC 、AD 垂直平分BC ， D 、BD 垂直平分AC3.“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B (如图)，准备建一个燃气控制中心站P ，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置.(保留画图痕迹，不写画法)FEDCB A4.如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，求点D到AB的距离.AB。
八年级数学上册《综合应用线段角的轴对称性证明》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解并掌握线段和角的轴对称性的定义及性质，能熟练运用这些性质解决实际问题。
2.学会运用轴对称性进行几何图形的折叠、剪切和拼接，培养空间想象能力和动手操作能力。
3.能够运用轴对称性原理，发现并证明线段和角在轴对称变换下的不变性，提高逻辑思维和推理能力。
4.掌握利用轴对称性简化几何证明过程的方法，提高解题效率。
八年级数学上册《综合应用线段角的轴对称性证明》优秀教学案例
一、案例背景
在八年级数学上册的教学过程中，我们发现学生在学习了线段和角的轴对称性后，往往难以将其理论知识与实际应用有效结合。为此，本教学案例旨在通过一系列实践活动，让学生在实际问题中运用线段和角的轴对称性进行证明，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组生活中的轴对称图形，如剪纸、建筑图案等，引导学生观察并思考这些图形的特点。
"同学们，你们在生活中遇到过这样的图形吗？它们有什么共同的特点？"
2.学生分享观察到的轴对称现象，教师总结并引出轴对称性的定义。
"很好，大家发现了这些图形都可以沿着某条线对折后重合，这条线就是对称轴。今天我们将进一步探讨线段和角的轴对称性。"
（五）作业小结
1.布置与线段和角的轴对称性相关的作业，要求学生在作业中运用所学知识解决问题。
"今天的作业是，请同学们找一些生活中的轴对称图形，并尝试用轴对称性进行证明。"
2.教师提醒学生在完成作业时注意以下几点：
a.仔细观察，找出对称轴；
b.熟练掌握轴对称性的性质；
c.在证明过程中，注意逻辑严密性和表述清晰度。
1.自我反思：教师应及时反思课堂教学，发现不足之处，调整教学策略，提高教学质量。
新苏科版八年级数学上册2.4 线段、角的轴对称性(4)学案
新苏科版八年级数学上册2.4 线段、角的轴对称性（4）学案【学习目标】1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题；2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据；3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．【学习重点】综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题．【学习难点】学会证明点在角平分线上．【学习过程】问题导入：角平分线有哪些性质？如何判定呢？合作探究：活动一：例2、已知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上．活动二：例3、已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．分析：要证AD垂直平分EF，只要证：，．已知∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC，只要证，只要证．……盘点收获：当堂练习：1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点2．点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝3，则点P到AB的距离是( )A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．垂足分别为D、E、F，则下列结论不一定成立的是( ) A．OB＝OC B．OD＝OF C．OA＝OB＝OC D．BD＝DC4．已知：如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°．在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB 的度数是( )A．60°B．80°C．100°D．120°5．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处．如果∠BAF＝60°，则∠AEF等于( )A．45°B．55°C．65°D．75°6．如图．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥A于M．PN⊥OB于N，当PM＝2 cm时，则PN＝__________cm．7．如图，如果点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD＝PE，那么∠1＝∠2．理由是：____________________________________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．AD平分∠BAC交BC于D．(1)若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是____________．(2)若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是______．9．若△ABC的周长为41 cm，边BC＝17 cm．AB<AC，角平分线AD将△ABC的面积分成3：5的两部分，则AB＝______cm．10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝10 cm，则△DEB的周长是______．11．如图，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？。
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线段、角的轴对称性 学习目标 1．探索并掌握线段的垂直平分线的性质；
2．在“操作--探究---归纳---说理”的过程中学
会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力。
3．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验
轴对称的特征，发展空间观念；
班级检测目标 学习重难点 探索并掌握线段的垂直平分线的性质.
探索并掌握线段的垂直平分线的性质.
学习过程
学生纠错（二次备课） 一、课前导学
1．你对线段有哪些认识? 是轴对称图形吗？ _______
2．如图直线l 是线段AB 的垂直平分线，如果沿直线l 翻折，你有什么发现？说说你的看法．
归纳：线段是_____________，_____________________是它的对称轴.
二、课堂助学
活动一：如图，线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点O ，点P 是l 上任意一
点，PA 与PB 相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你
得到的结论．
归纳：
__________________________________________________________.活
动二：（1）如图，已知△ABC 中，BC =4, AB 的垂直平分线交AC 于点D ，若AC =6,则△BCD 的周长=_____________
（2）同上题图，△ABC 中AB 的垂直平分线交AC 与点D ，已知AB =7, △BCD 的周长等于11，则△ABC 的周长=___________
（3）同上题图，△ABC 中AB 的垂直平分线交AC 与点D ,已知∠A=35°则∠BDC =___________°
_ l _ B _2 _1 _ O _ A 21l P O B A
活动三：试判断：线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？
画图理由
活动四：利用网格线分别画线段AB、BC、AC的垂直平分线
三、当堂检测
1.已知点O是△ABC的两边AB和AC垂直平分线的交点，若OA=5,则下列关系式成立的是（）
A.OB=OC=5
B.OC>5 C .OB>5 D.OC＜5
2.已知点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线外，则下列不等式关系成立的是（）
A.P A+PB>QA+QB
B.PA+PB＜QA+QB
C.PA+PB=QA+QB
D.无法确定
3.如图，∠AOB内部有一点P，P1、P2分别是点P关于OA、的对称点，P1 P2交OA于M，交OB于N. 若△PMN的周长是5㎝，则P1P2的长是（）A．3㎝ B． 4㎝C．5㎝ D．6㎝
4.如图，在四边形ABCD中，BD是线段AC的垂直平分线，已知△ABD的周长是30cm，四边形ABCD的周长为36cm，求线段BD的长。
四、课后巩固
1. 补充习题
2. 课本P57习题2.4，分析第1～4的解法，任选2题写出过程．
五、学（教）后反思
目标达成：
收获：
不足或需改进点：
第3题
第4题。