离散型随机变量的方差
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
离散型随机变量的方差
ξ P
x1 p1
x2 … xk … xn p2 … pk … pn
则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xkpk+…+xnpn为ξ的数学期望. 数 学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散 型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实 验中取值的平均值． 但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区 别,还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散 的程度进行刻画．
（2）若x~B(n,P),则Dx=np(1-p) ;
练习1、已知随机变量x的分布列为
-1 0 1 =3x+1 1 1 1 P 6 3 2 1 5 (1) Ex=________ , D x=________ 3 9
(2)E =_______，D = _______. 25 50 5 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,σx=___. 100 σ(2x-1)=_____ 99 D(2x-1)=____, E(2x-1)=____, 10
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 又∵ Dx 0.4, Dx 2 0.8, 如果对手在9环 ∴甲射击水平更稳定.
左右,派乙.
注：期望值高,平均值大,水平高 方差值小,稳定性高,水平高
例1.设X是一个离散型随机变量 , 其分布列如下表 , 试求EX , DX .
X P -1 1/2 0 1-2q 1 q2
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程 度越小，即越集中于均值。
注：标准差与随机变量有相同的单位。
练习：1.已知随机变量x 的分布列 x P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
离散型随机变量的方差公式
离散型随机变量的方差公式离散型随机变量的方差公式是离散型随机变量的方差的计算公式。
方差是用来度量随机变量离其均值的距离的一个指标，方差越大表示离散型随机变量的取值越分散，方差越小表示离散型随机变量的取值越集中。
在统计学中，方差是一种常用的指标，用来描述离散型随机变量的分布的变异程度。
定义：对于离散型随机变量X，其方差定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，E表示期望函数，E(X)表示随机变量X的期望。
对方差公式的含义进行解释：(1)X-E(X)表示随机变量X与其期望E(X)的差距；(2)(X-E(X))^2表示这个差距的平方，为了保证计算结果为正数；(3)E[(X-E(X))^2]表示随机变量X与其期望E(X)的差距的平方的平均值，即方差。
方差计算的具体步骤如下：(1)计算随机变量X的期望E(X)，即E(X)；(2)计算每个随机变量X取值与期望E(X)的差异(X-E(X))；(3)计算每个差异的平方((X-E(X))^2)；(4) 对所有差异的平方求和，得到方差Var(X)。
方差的计算过程可以通过一个例子来进行说明。
假设有一个离散型随机变量X的概率分布如下：X，1，2，3，4-------，-------，-------，-------，-------P(X)，0.2，0.3，0.4，0.1首先计算期望E(X)：E(X)=(1*0.2)+(2*0.3)+(3*0.4)+(4*0.1)=2.6然后，计算每个差异的平方((X-E(X))^2)：(1-2.6)^2=2.56(2-2.6)^2=0.16(3-2.6)^2=0.16(4-2.6)^2=1.6最后，计算方差Var(X)：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = (2.56 * 0.2) + (0.16 * 0.3) + (0.16 * 0.4) + (1.6 * 0.1) = 0.992所以，该离散型随机变量X的方差为0.992需要注意的是，方差是一个非负数，因为方差是差距的平方的平均值，而差距的平方一定是非负的。
高二数学2.3.2 离散型随机变量的方差
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 求离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差的步骤: (1)列出随机变量的分布列; (2)求出随机变量的均值; (3)求出随机变量的方差.
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【典型例题 1】 袋中有 20 个大小相同的球,其中标记 0 的有 10 个,标 记 n 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.
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错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套 用公式,且对 D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,∴a=0.3. ∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0
均值 E(X)的平均偏离程度,我们称 D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平 方根 ������(������)为随机变量 X 的标准差.
(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)离散型随机变量的方差的性质: 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X).
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(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,得 a=±2. 又 E(η)=aE(ξ)+b,所以, 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
离散型随机变量的均值、方差和正态分布
10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布[知识梳理]1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2D(X )(a ，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差4．正态曲线(1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x )＝12π·σe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．5．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x (即x＝a ，x ＝b ，正态曲线及x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974.[诊断自测] 1．概念思辨(1)随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可以是负数．( )(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(选修A2－3P 68T 1)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 答案 A解析 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.故选A. (2)(选修A2－3P 75A 组T 1)正态分布密度函数为 φμ，σ(x )＝18πe －x 28，x ∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别为()A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2答案 C解析 根据已知条件可知μ＝0，σ＝2，故选C.3．小题热身(1)(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 答案 B解析 P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6<ξ<6)＝95.44%，则P (3<ξ<6)＝12×(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.(2)(2018·张掖检测)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75 答案 B解析 设涂0个面的小正方体有x 个，涂1个面的小正方体有y 个，涂2个面的小正方体有z 个，涂3个面的小正方体有w 个，则有0·x ＋1·y ＋2·z ＋3·w ＝25×6＝150，所以E (X )＝0·x 125＋1·y 125＋2·z125＋3·w 125＝150125＝65.故选B.题型1 与二项分布有关的期望与方差典例(2017·山西太原模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a ：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a 、b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所获奖金的期望； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？解 (1)按方案a 抽奖一次，获得奖金的概率P ＝C 22C 25＝110.顾客A 只选择方案a 进行抽奖，则其可以按方案a 抽奖三次． 此时中奖次数服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，110.设所得奖金为w 1元，则E (w 1)＝3×110×30＝9. 即顾客A 所奖资金的期望为9元．(2)按方案b 抽奖一次，获得奖金的概率P 1＝C 23C 25＝310.若顾客A 按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次，则由方案a 中奖的次数服从二项分布B 1⎝⎛⎭⎪⎫2，110，由方案b 中奖的次数服从二项分布B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，310，设所得奖金为w 2元，则E (w 2)＝2×110×30＋1×310×15＝10.5. 若顾客A 按方案b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B 3⎝⎛⎭⎪⎫2，310.设所得奖金为w3元，则E(w3)＝2×310×15＝9.结合(1)可知，E(w1)＝E(w3)<E(w2)．所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．方法技巧与二项分布有关的期望、方差的求法1．求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．冲关针对训练(2014·辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X ～B (3,0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.题型2 离散型随机变量的均值与方差角度1 求离散型随机变量的均值与方差典例(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×( 14×23×34×23＋34×13×34×23 )＝23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×( 34×13×14×13＋14×23×14×13 )＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×( 34×23×34×13＋34×23×14×23 )＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 角度2 均值与方差的应用问题典例(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.方法技巧1．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．2．由均值与方差情况求参数问题的求解思路先根据题设条件将均值、方差用待求参数表示，再由已知均值与方差构建关于参数的方程(组)，然后求解．3．利用均值、方差进行决策的方法：均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两个随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，方差越小，则偏离均值的平均程度越小，进而进行决策．提醒：均值E(X)由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值的平均水平．冲关针对训练(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.题型3正态分布典例(2015·湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为() (附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544) A．2386 B．2718 C．3413 D．4772答案 C解析由曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P(0<X≤1)＝12×0.6826＝0.3413，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0.3413，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.3413×10000＝3413.故选C.[条件探究]若将本典例中条件“曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线”变为“曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线”，则结果如何？解对于正态分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3<X≤1)－P(－2<X≤0)]＝12×[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.13591＝0.1359，投入10000个点，落入阴影部分的个数约为10000×0.1359＝1359.方法技巧正态分布下两类常见的概率计算1．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．冲关针对训练(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题意知X ～B (100,0.6826)，所以E (X )＝100×0.6826＝68.26.1．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1，2.若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2) 答案 A解析 ∵E (ξ1)＝0×(1－p 1)＋1×p 1＝p 1， 同理，E (ξ2)＝p 2，又0<p 1<p 2， ∴E (ξ1)<E (ξ2)．D (ξ1)＝(0－p 1)2(1－p 1)＋(1－p 1)2·p 1＝p 1－p 21，同理，D (ξ2)＝p 2－p 22.D (ξ1)－D (ξ2)＝p 1－p 2－(p 21－p 22)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)．∵0<p 1<p 2<12，∴1－p 1－p 2>0， ∴(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)<0. ∴D (ξ1)<D (ξ2)．故选A.2．(2015·湖北高考)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 答案 C解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错误；P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错误；当t 为任意正数时，由题图可知P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )，∴P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，故C 正确，D 错误．故选C.3．(2018·安徽模拟)某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．46 答案 B解析 P (ξ>320)＝12×[1－P (280<ξ≤320)] ＝12×(1－95.44%)＝0.0228， 0．0228×1000＝22.8≈23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.4．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.答案 1.96解析由题意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知ξ的分布列为则在下列式中：①E (ξ)＝－13；②D (ξ)＝2327；③P (ξ＝0)＝13.正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (ξ)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.3．(2018·广东茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12 C.12 D ．1 答案 C解析 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝ －2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.故选C.4．(2017·青岛质检)设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的概率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的条件是 Δ＝22－4×1×ξ<0，解得ξ>1.又ξ～N (1，σ2)，所以P (ξ>1)＝12，即所求事件的概率为12.故选A.5．(2018·山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套 答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.6．(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )A ．1500B ．1700C ．4500D ．8000 答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.7．(2017·银川一中一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮得分的数学期望是2，则2a ＋13b 的最小值为( )A.323B.283C.143D.163 答案 D解析 由数学期望的定义可知3a ＋2b ＝2，所以2a ＋13b ＝12(3a ＋2b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝12( 6＋23＋4b a ＋a b )≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＋4＝163，当且仅当4b a ＝a b 即a ＝12，b ＝14时取得等号．故选D.8．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113 答案 C 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. 又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.故选C.9．(2018·广州调研)已知随机变量x 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P (5<x <6)等于( )A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 答案 B解析 由题知x ～N (4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P (2<x ≤6)＝0.9544，P (3<x ≤5)＝0.6826，即曲边梯形ABCD 的面积为0.9544，曲边梯形EFGH 的面积为0.6826，其中A ，E ，F ，B 的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线x ＝4对称，可知曲边梯形FBCG 的面积为0.9544－0.68262＝0.1359，即P (5<x <6)＝0.1359，故选B.10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球二次的概率P (X ＝2)＝p (1－p )，发球三次的概率P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B. 二、填空题11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝______.答案 53解析 ∵P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，∴p ＝12. 则P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12×2＝412＝13， P (X ＝2)＝23×12×12×2＋13×12×12＝512， P (X ＝3)＝23×12×12＝16.则E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可能看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16.∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．13．(2018·沧州七校联考)2017年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．答案 180解析 由题意可知ξ～N (8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35.而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15 ＝180辆．14．(2017·安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E (ξ)－E (η)＝________元．答案 3解析 ξ的分布列为E (ξ)＝15×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元)． η的分布列为E (η)＝2×25＋4×310＋6×15＋8×110＝4(元)， ∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3(元)．故答案为3.B 级三、解答题15．(2018·湖北八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：(1)求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X，求X的分布列及数学期望．解(1)由题意知，[25,30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x＝100×0.05＝5.因[30,35)内的频率为1－(0.05＋0.35＋0.3＋0.1)＝1－0.8＝0.2，故y＝100×0.2＝20，且[30,35)这组对应的频率组距＝0.25＝0.04.补全频率分布直方图略．(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年龄在[35,40)内的人数为7.X可取0,1,2，P(X＝0)＝C213C220＝78190，P(X＝1)＝C113C17C220＝91190，P(X＝2)＝C27C220＝21 190，故X的分布列为故E(X)＝91190×1＋21190×2＝133190.16．新生儿Apgar 评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分， 评分在8～10分者为正常新生儿，评分在4～7分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在7～10分之间．某医院妇产科从9月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况．(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率；(2)用这16名新生儿的Apgar 评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X 表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X 的分布列及数学期望．解 (1)设A i 表示所抽取的3名新生儿中有i 名的评分不低于9分， “至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A ，则由表格中数据可知P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为416＝14，由题意知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝964；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164. 所以X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75⎝ ⎛⎭⎪⎫或E (X )＝3×14＝0.75.17．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的数学期望和方差．解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15.故X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35，方差为D (X )＝3×15×45＝1225.18．(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N (120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩；(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974. 解 (1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为 1－10×(0.01＋0.024＋0.03＋0.016＋0.008)＝0.12， 该校高三年级数学的平均成绩为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)． (2)由于1310000＝0.0013，由正态分布得P (120－3×5<X <120＋3×5)＝0.9974，故P (X ≥135)＝1－0.99742＝0.0013，即0.0013×10000＝13， 所以前13名的成绩全部在135分以上，由频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125,145)的学生有50×(0.12＋0.08)＝10人，所以X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，X 的分布列为数学期望值为E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.。
课件1：7.3.2 离散型随机变量的方差
3.方差的性质 当a，b均为常数时，随机变量函数η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b) ＝a2D(ξ)．特别地： (1)当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0； (2)当a＝1时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这 个随机变量的方差本身； (3)当b＝0时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于 这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．
ξ 01 2
P
17 9 18
1 2
E(ξ)＝0×19＋1×178＋2×12＝2158，
D(ξ)＝(0－2158)2×19＋(1－2158)2×178＋(2－2158)2×12＝134294.
探究二 方差的应用 例2.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物 的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反 保护条例的事件次数的分布列分别为：
解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 10 P 0.8 0.2
Y2
2
8
12
P 0.2 0.5 0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4. E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D10x0Y1＋D10100－0 xY2
探究三 分布列、均值、方差的综合应用 例3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表 示所选3人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值与方差； (3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．
解：(1)X 可能的取值为 0，1，2. P(X＝k)＝Ck2·CC3634－k，k＝0，1，2. X 的分布列
离散型随机变量的方差 课件
2.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环， 且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中 10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数 变量为ξ，乙射击时射中的环数变量为η. (1)求ξ，η的分布列. (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋ (7－9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2 ＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为 D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．
【知识点拨】 1.对随机变量X的方差、标准差的理解 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同 的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳 定性和波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中 应用更广泛．
2离散型随机变量的期望值和方差
离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、 期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。
E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P2、 方差、标准差定义：D ξ=(x 1-E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。
D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。
若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是 （ ）A ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值。
B ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平。
C ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平。
D ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值。
解：选C说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。
（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。
解：含红球个数ξ的E ξ=0×101+1×106+2×103=1.2 说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解……，会……”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。
离散型随机变量的方差
2.3.2离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念(重点).2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题(难点).3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差(重点).知识点1离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p nn 则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝i＝1 (x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差.【预习评价】(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？提示(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.(2)离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.知识点2离散型随机变量方差的性质1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X).2.D(c)＝0(其中c为常数).【预习评价】设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A.2B.3C.4D.5知识点3服从两点分布与二项分布的随机变量的方差1.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )(其中p 为成功概率).2.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ). 【预习评价】同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( ) A.158B.154C.52D.5题型一 求离散型随机变量的方差【例1】 袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球、4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止.求取球次数X 的均值和方差.规律方法 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差.(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下： a.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p ). b.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况.(4)对于已知D (X )求D (aX ＋b )型，利用方差的性质求解，即利用D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解.【训练1】袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.题型二两点分布与二项分布的方差【例2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差D（ξ）为6 2.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以下的沙柳未成活，则需要补种.求需要补种沙柳的概率.规律方法方差的性质：(1)D(aξ＋b)＝a2D(ξ).(2)若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p).(3)若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p).【训练2】已知随机变量ξ的分布列如下表：(1)求E(ξ)，D(ξ)，D（ξ）；(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η).题型三均值与方差的综合应用【例3】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程.【训练3】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值.课堂达标1.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A.8 B.15C.16D.322.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4 P14131614则D (X )的值为( ) A.2912B.31144C.179144D.17123.已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X ，则D (X )＝________.4.已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.5.某厂一批产品的合格率是98%，(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.课堂小结1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散.2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).基础过关1.已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是()A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.82.若离散型随机变量X的分布列如下，则X的均值E(X)等于()X 0 1A.2B.2或12C.12D.13.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3X ＋5)等于( ) A.6B.9C.3D.44.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.5.已知某随机变量X 的分布列如下，其中x >0，y >0，随机变量X 的方差D (X )＝12，则x ＋y ＝________.6.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，求随机变量ξ的标准差.7.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，求D (ξ)的值.能力提升8.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( ) A.5B.8C.10D.169.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.x ，s 2＋1002 B.x ＋100，s 2＋1002 C.x ，s 2D.x ＋100，s 210.已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________.11.已知随机变量X的分布列如下，若E(X)＝3，则D(X)＝________.X 123 4P n 0.20.3m12.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X).13.(选做题)A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：X1＝x i5%10%P(X1＝x i)0.80.2X2＝x i2%8%12%(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B 所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2).(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，100－x万元投资项目B，f(x)表示投资项目A 所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.。
离散型随机变量的方差
2.3离散型随机变量 的方差
复习回顾 1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i 1
n
E (aX b) aEX b
3、特殊分布的均值 （1）若随机变量X服从两点分布，则 EX p （2）若 X ~ B(n, p) ，则 （3）若X֘
1 1．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2,3， 3 A 则D(3ξ＋5)＝( ) A．6 B．9 C．3 D．4
2 ．设ξ ～B(n，p)，且Eξ ＝ 12， Dξ＝ 4 ，则n与p 的值分别 为( )C 1 2 A．18， B．12， 3 3 2 1 C．18， D．12， 3 3
1
5 ．已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 EX ＝0 ， DX＝1，则a＝________，b＝________.
X P
－1 a
0 b
1 c
2 1 12
11 1 解析：由题知 a＋b＋c＝ ，－a＋c＋ ＝0,12×a＋12× 12 6 1 5 1 2 c＋2 × ＝1，解得 a＝ ，b＝ . 12 12 4
甲单位不同职位月工资X1/元 1200
获得相应职位的概率P1
0.4
1400 0.3 1400 0.3
1600 0.2 1800 0.2
1800 0.1 2200 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000
获得相应职位的概率P2
0.4
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解： EX 1400 , DX2 112000 , EX 2 1400 DX1 40000 1 在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.
离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差
独立离散型随机变量的方差是指该随机变量的方差，它是由其不同可能变量值的概率
乘以它们的差的平方而得出的。
离散型随机变量的方差也称为分散度，因为它是使变量值
分布分散的一种度量。
离散型随机变量的方差的计算公式为：方差=概率乘以值的平方的差的和的的乘以期
待数的差的平方，其中，概率乘以值的平方的差的和描述了变量值之间的差距，而期望数
描述变量的均值。
假设有一组随机变量，它们的概率分布为1/3,1/3,1/3，其中 x1=1,x2=2,x3=3，则该组变量的方差为σ2=(1-1.5)²×(1/3)+(2-1.5)²×(1/3)+(3-1.5)²×(1/3)= 0.25 。
许多情况下，方差是一种衡量变量聚集程度的有效指标，当离散型随机变量的方差小
于1时，表明变量的分布比较集中，变量的值处于一些比较定值的范围内；而当离散型随
机变量的方差大于1时，则表明变量的分布比较分散，变量的值不会集中于特定的范围内，它的分布越集中，方差越大。
方差的大小可以依据变量的概率分布来计算，例如有一组数，概率分布分别为
p1,p2,...,pn，值相应地分别为x1,x2,...,xn，则该组数据的方差为σ2= Σ(xi-
μ)²×pi，其中μ表示随机变量的期望数，即期望数= Σxi×pi。
总之，离散型随机变量的方差是用来描述变量的分散程度的一种量化方式，由其可以
进一步了解和掌握变量的分布形式，为数据分析提供有效的指导信息。
离散随机变量的方差
能 力
总
提
结
升
菜单
人教A版数学选修2-3
第二章 随机变量及其分布
教
短
材
板
梳 理
●规律总结
补 救
·
·
新 知
求常见分布列方差的方法
优 化
探
探
究
究
(1)定类型：二项分布问题与独立性重复试验紧密相
关，因此在问题分析时应恰当地将试验化归为独立重
复试验，从而将问题转化为二项分布问题．
典
综
例 剖
(2)用公式：当随机变量X服从两点分布或二项分布
方差及标准差．
典 例 剖 析 · 方 法 总 结
菜单
综 合 训 练 · 能 力 提 升
人教A版数学选修2-3
第二章 随机变量及其分布
教
短
材
板
梳
补
理 ·
解析 (1)用 ξ 表示抽得的正品数，则 ξ＝0，1.ξ
救
·
新
知 探
服从两点分布，且 P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所
优 化 探
究
救 ·
新
优
知
化
探 究
动会，你认为选派哪位运动员参加较好？
探 究
提示 通过比较两运动员的平均得分(即均值)得均
值相等，即这两名运动员的平均水平一样，再比较两
典 运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁，由计算得 综
例
合
剖
训
析 甲的方差小，所以甲运动员更稳定一些，应选派甲参 练
·
·
方
能
法 总
加．
力 提
结
升
菜单
第二章 随机变量及其分布
离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差：
1. 定义：
离散型随机变量的方差是指离散型随机变量的取值的波动的程度，是衡量离散型随机变量的离散性程度的一个数字特征。
其定义为：离散型随机变量的方差，就是
它的可能取值分量的概率值的平方与它的期望的差的绝对值的期望，用数学公式表示为： σ2=E（|X-E(X)|^2）。
2. 具体计算：
一般地，若离散型随机变量X有n种可能取值x1, x2,…，xn，且各取值的概率分
别为P1, P2,…, Pn，则它的方差可以计算为：σ2=Σ(xk-E(X))^2Pk（k=1,2,…,n），
这种表达式把概率积分变为概率和相乘。
3. 概念及特性：
（1）离散型随机变量的方差表示该变量取值分量和期望之间的偏离程度，值越大，变动程度越大，离散性越大，反之，若方差越小，说明变动越小，离散性越小。
（2）离散型随机变量的方差不是一个稳定的值，而是跟概率有关，若改变概率值，则方差值也会改变。
（3）方差是不等号两边的和，当方差的值大于0，则离散型随机变量的变动是有
方向的，反之，如果等于0，则表明该变量不会发生变化。
（4）方差在评价投资机会时，可用来衡量投资收益率的范围，当它越大时，投资
收益绝对值的变动也越大，说明投资机会的收益风险也增大。
离散型随机变量的方差
E x EX
Dx
DX
二项分布：
ξ~B(n，p)
Ex＝np E x＝ p
DX=np(1-p) DX=p(1-p)
D =a Dx
2
两点分布
线性关系：
＝ ax b E＝aEx b
练习2、
1.已知X~B(100,0.5),则EX=___,DX=____,sX=___. E(2X-1)=____, D(2X-1)=____, s(2X-1)=_____
题型三、期望、方差、分布列的综合运用
例3、为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙 柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独 立的，成活率为p，设
x 为成活沙柳的株数，数学期望 Ex
3，
标准差 x
6 2
。
（1）求n,p的值并写出
x
的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种
试比较两名射手的射击水平. 应派哪一名选手参赛？
下面的分析对吗？ ∵ Ex 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 Ex 2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的,这 里要进一步去分析 他们的成绩的稳定 性.
2
DX ( x1 EX ) p1 ( x i EX ) pi ( x n EX ) pn
( x i EX ) 2 p i 为随机变量X的方差
i 1
n
X
DX
为随机变量X的标准差
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它 们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集 中于均值。
原创1 ：2.3.2离散型随机变量的方差
6
6
6
1
1
2
2
(5 3.5) (6 3.5) 2.92
6
6
2
sX
DX 1.71
题后感悟
求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：
①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；
②求X取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出 EX；
新疆
王新敞
奎屯
④根据方差、标准差的定义求出、.
解：根据月工资的分布列，可算得
EX 1 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400
DX 1 (1200 -1400)
2
0. 4 (1400 -1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 ) 2 0.2
X2
P
5
0.01
6
0.05
7
0.20
8
0.41
9
0.33
请问应该派哪名同学参赛？
EX 1 8 , EX 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
问题探究
1、定性分析
除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？
（1）分别画出1 , 2 的分布列图.
得正品之前已取出次品数的期望与方差．
新疆
王新敞
奎屯
EX=0.3 ；DX=351/1100
课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义
2、记住几个常见公式
D(aX b) a 2 DX
若X服从两点分布，则DX
2.3.2离散型随机变量的方差(上课用)
10
10
10
10
离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (xi E( X ))2 pi (xn E( X ))2 pn
n
等可能事件概率易求分布列;
（2）直接利用数学期望与方差公式求解.
解 （1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A133 16,
A33Biblioteka 1,P（X=1）=3
C31 A33
,1
2
故X的概率分布列为
X
0
1
3
P
1
1
1
3
2
6
(2)E(X)= 0 1 1 1 3 1 1
32 6
D(X)=0 12 1 112 1 3 12 1 1
X x1 Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
D（Y） (ax1 b aEX b)2 p1 (ax2 b aEX b)2 p2 (axn b aEX b)2 pn
a2 ( x1 - EX )2 p1 a2 ( x2 - EX )2 p2 a2 ( xn - EX )2 pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
E(aX b) aE(X ) b
3、如果随机变量X服从两点分布为
X
1
0
P
p
1－p
则 E(X ) p
第七章 离散型随机变量的方差
P
1 2
1 3
1 6
(1)求 E(ξ)，D(ξ)， Dξ；
解 E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，
D(ξ)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，
Dξ＝
5 3.
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η). 解 E(η)＝2E(ξ)＋3＝73，D(η)＝4D(ξ)＝290.
X0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
Y0
1
2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
解 甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为 E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为 E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)， 所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同， 但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大， 乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定， 相对而言，乙保护区的管理更好一些.
三、分布列、均值、方差的综合应用
例3 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否 则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别 为13，34 . (1)求第三次由乙投篮的概率；
解 P＝13×23＋23×34＝1138.
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差.
离散型随机变量的方差标准差
射手成绩的稳定情况
例2：有一批数量很大的商品的次品率为1%， 从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数 为ξ，求Eξ，Dξ 分析：
1、“数量很大”意味着取这批商品中的200件 出现次品数服从二项分布；
2、套用二项分布的期望与方差公式计算即可 练习：
设ξ ～B(n、p)且Eξ =12，Dξ =4，求n、p
2、满足线性关系的离散型随机变量的方差
D（ aξ+ b）= a2·Dξ
3、服从二项分布的随机变量的方差
Dξ=q Eξ=n p q，（q=1-p）
4、服从几何分布的随机变量的方差
Dx
q p2
练习:P67 1、2、3
作业: 课本： P71 3、4、6 步步高课时作业： P39-40 2. 5.2离散型随机变量的 方差与标准差 自选强化练习：优化方案相应部分 复习计数原理、排列、组合、二项式定理 预告：现在可以开始逐步完成步步高单元测试卷 第二章（A）、（B）卷，下周二上午收（A）卷， 下周三上午收（B）卷.
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为:
X
x1 x2 x3 …… xn ……
p
p1 p2 p3 …… pn ……
则称 E（X）= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称
为期望.或用 表示！
它体现了离散型随机变量取值的平均水平.
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为:
几个重要结论（建议抄写在书上并记忆在脑中）
① 若 ax b ， 则 E E (ax b ) aE x b
② 若 x ~ B(n, p )，则 Ex np
D D(ax b) a2Dx
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离散型随机变量的方差
【三维目标】：
知识与技能：1．记住离散型随机变量方差的概念、公式及意义。
2．会根据离散型随机变量的分布列求出方差。
3．会在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似
事件的稳定程度。
4. 记住公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应
用上述公式计算有关随机变量的方差
过程与方法：通过具体实例，理解离散型随机变量方差的概念、公式及意义，在解决实际问题的过程中，掌握解决此类问题的方法与步骤
情感态度与价值观：通过学习，体会数学的应用价值，提高理论联系实际问题的能力。
【重 点】：1．离散型随机变量方差的概念、公式及意义。
2．根据离散型随机变量的分布列求出方差。
【难 点】：利用离散型随机变量的期望与方差的概念、公式及意义分析解决实际问题
【学法指导】：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示
了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差。
今天，请同学们类比初
中学过的方差对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．
【知识链接】：1数学期望
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望
2数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 的差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12n
S =21)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差
【学习过程】
一、 对离散型随机变量方差的理解
A 问题1、阅读课本P64—65，写出离散型随机变量方差、标准差的定义，以及学习它的意义
注：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小。
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
B 问题2、随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
B3.方差的性质：
（1）ξξD a b a D 2)(=+ （2）22)(ξξξE E D -=
（3）若X 服从两点分布，则DX=P （1-P ）
（4）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )
二、 典例分析
A 例1（课本P66 例4）
B 例2已知X 的分布列
求：（1）EX ，DX ，x δ
(2)设Y=2X+3, 求 EY,DY.
B 例3已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）
A ．1000.08和；
B ．200.4和；
C ．100.2和；
D ．100.8和
B 例4（课本P67 例5）
【达标检测】:
B (1)有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E
ξ，Dξ
B(2)有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好
B(3) 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4
B(4) 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
C5某人射击，中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，求射击数X的均值。