高二数学选修4-4参数方程知识点归纳.doc

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选修4-4 第五节几种常见的参数方程

选修4-4 第五节几种常见的参数方程

x=1+2cos t, (0≤t≤π),把它化为普通 y=-2+2sin t
方程,并判断该曲线表示什么图形.
所求的曲线的参数方程为 (x-1)2+(y+2)2=4(-2≤y≤0). 这是一个半圆,其圆心为(1,-2),半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2+y2+2x-6y+9=0, 将它化为参
轴上,所以椭圆的标准方程为 + =1, 25 16 x=4cos θ , 故参数方程为 (θ 为参数). y=5sin θ
y2
x2
(x-1)2 (y+2)2 1. 写出圆锥曲线 + =1 的 3 5
例1
x=5+3t, 设直线的参数方程为 y=10-4t.
(1)求直线的普通方程; (2)化参数方程为标准形式.
解析:(1) 4x+3y-50=0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α =- ,sin α = . 5 5 3 x=5- u, 5 则参数方程的标准形式为: 4 y=10+ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x-4y+1=0,点 P(1,1)在 直线 l 上,写出直线 l 的参数方程,并求点 P 到点 M(5,4)和 点 N(-2,6)的距离.
3 解析:由直线方程 3x-4y+1=0 可知,直线的斜率为 ,设直线的 4 3 3 4 则 tan α = ,sin α = ,cos α = . 4 5 5
制作人:葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x=x0+tcosα , 1. 经过点 M0(x0, y0), 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y=y0+tsinα
(t 为参数).
t0

第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程

第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节   参数方程

距离是________.
解析:直线方程可化为 x-y+1=0,圆的方程可化为(x -1)2+y2=1.由点到直线的距离公式可得,圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2= 2. 1 +-1
答案: 2
x=1+3t, 5.(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y=2- 3t
解析:由 y=t-1,得 t=y+1,代入 x=3t+2,得 x =3y+5, 即 x-3y-5=0.
答案:x-3y-5=0
x=5cos θ, 2.(教材习题改编)曲线 y=3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________.
x2 y2 解析:化为普通方程为 + =1,故左焦点为(-4,0). 25 9
x=2t+2a, y=-t
(t 为参数),曲线
x=2cos θ, C2: y=2+2sin θ
(θ 为
参数).若曲线 C1,C2 有公共点,则实数 a 的取值范围 是________.
解析:将曲线 C1,C2 的参数方程化为普通方程, 得 C1:x+2y-2a=0,C2:x2+(y-2)2=4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点, |4-2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2, 5 解得 2- 5≤a≤2+ 5.
[自主解答] =16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2+y2
π 因为直线l过点P(2,2),倾斜角α= ,所以直线l的参数 3 π x=2+tcos3, 方程为 y=2+tsinπ, 3 1 x=2+2t, 即 y=2+ 3t 2
(t为参数).
1 x=2+2t, 把直线l的参数方程 y=2+ 3t 2
去参数;
(2)利用三角恒等式消去参数; (3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方 法从整体上消去参数. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y

高中数学选修4-4极坐标与参数方程

高中数学选修4-4极坐标与参数方程

选修4-4⎪⎪⎪坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干知识的“源”与“流”设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=λ·x (λ>0),y ′=μ·y (μ>0)的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求椭圆x 24+y 2=1,经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′=12x ,y ′=y 后的曲线方程.[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′=12x ,y ′=y得到⎩⎪⎨⎪⎧x =2x ′,y =y ′.①将①代入x 24+y 2=1,得4x ′24+y ′2=1,即x ′2+y ′2=1.因此椭圆x 24+y 2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2+y 2=1.[方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ,y )与变换后的点P ′的坐标(X ,Y ),再利用伸缩变换公式本节主要包括2个知识点: 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换; 2.极坐标系.⎩⎪⎨⎪⎧X =ax (a >0),Y =by (b >0)建立联系. (2)已知变换后的曲线方程f (x ,y )=0,一般都要改写为方程f (X ,Y )=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y .求点A ⎝⎛⎭⎫13,-2经过φ变换所得的点A ′的坐标.解:设A ′(x ′,y ′),由伸缩变换φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y ,得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,y ′=12y ,由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13,-2,于是x ′=3×13=1,y ′=12×(-2)=-1,所以A ′(1,-1)为所求.2.求直线l :y =6x 经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y变换后所得到的直线l ′的方程.解:设直线l ′上任意一点P ′(x ′,y ′), 由题意,将⎩⎪⎨⎪⎧x =13x ′,y =2y ′代入y =6x 得2y ′=6×⎝⎛⎭⎫13x ′, 所以y ′=x ′,即直线l ′的方程为y =x .3.求双曲线C :x 2-y 264=1经过φ:⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x ,2y ′=y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标.解:设曲线C ′上任意一点P ′(x ′,y ′), 由题意,将⎩⎪⎨⎪⎧x =13x ′,y =2y ′代入x 2-y 264=1得x ′29-4y ′264=1,化简得x ′29-y ′216=1,即x 29-y 216=1为曲线C ′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线, 则所求焦点坐标为F 1(-5,0),F 2(5,0).4.将圆x 2+y 2=1变换为椭圆x 29+y 24=1的一个伸缩变换公式为φ:⎩⎪⎨⎪⎧X =ax (a >0),Y =by (b >0),求a ,b 的值.解:由⎩⎪⎨⎪⎧X =ax ,Y =by知⎩⎨⎧x =1a X ,y =1b Y ,代入x 2+y 2=1中得X 2a 2+Y 2b2=1,所以a 2=9,b 2=4,即a =3,b =2.突破点(二) 极坐标系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,点O 叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. (3)点与极坐标的关系一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2k π)(k ∈Z)表示同一个点,特别地,极点O 的坐标为(0,θ)(θ∈R),和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ) 表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.2.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x ,y )极坐标(ρ,θ) 互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2=x 2+y 2,tan θ=y x (x ≠0)考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化1.极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合,且极轴与x 轴正半轴是否重合,若上述两个都重合,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,一定要注意变形过程中方程要保持同解,不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ及ρ2=x 2+y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2.直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x ,y 分别用ρcos θ,ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程.(2)求直角坐标系中的点(x ,y )对应的极坐标的一般步骤:第一步,根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离,即计算ρ; 第二步,根据角θ的正切值tan θ=yx (x ≠0)求出角θ(若正切值不存在,则该点在y 轴上),问题即解.[例1] 在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l :ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π4=22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标. [解] (1)圆O :ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,圆O 的直角坐标方程为:x 2+y 2=x +y ,即x 2+y 2-x -y =0,直线l :ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π4=22,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l 的直角坐标方程为:y -x =1,即x -y +1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 2-x -y =0,x -y +1=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1,则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1,π2. [方法技巧]1.应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点. (2)以x 轴的正半轴为极轴.(3)两种坐标系规定相同的长度单位. 2.直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M 的极坐标(ρ,θ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M 的极坐标是唯一的.(2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值.极坐标方程的应用[例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2-22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点,且被曲线C 截得的弦长最小,求直线l 的直角坐标方程; (2)若M 是曲线C 上的动点,且点M 的直角坐标为(x ,y ),求x +y 的最大值. [解] (1)ρ2-22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ+π4-2=0,即ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-2=0, 将⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x -1)2+(y +1)2=4, 圆心C (1,-1),若直线l 被曲线C 截得的弦长最小,则直线l 与OC 垂直, 即k l ·k OC =-1,k OC =-1,因而k l =1,故直线l 的直角坐标方程为y =x .(2)因为M 是曲线C 上的动点,因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2cos φ,y =-1+2sin φ(φ为参数),则x +y =2sin φ+2cos φ=22sin ⎝⎛⎭⎫φ+π4,当sin ⎝⎛⎭⎫φ+π4=1时,x +y 取得最大值2 2.[易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=2,点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22,7π4,求点A 到直线l 的距离. 解:由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=2, 得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ+22cos θ=2,由坐标变换公式,得直线l 的直角坐标方程为y +x =1,即x +y -1=0.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22,7π4得点A 的直角坐标为(2,-2),所以点A 到直线l 的距离d =|2-2-1|2=22.2.[考点一]已知圆C 的极坐标方程为ρ2+22ρsin θ-π4-4=0,求圆C 的半径.解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ,以极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2+22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ-22cos θ-4=0,化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcosθ-4=0.由坐标变换公式,得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x +2y -4=0, 即(x -1)2+(y +1)2=6, 所以圆C 的半径为 6.3.[考点二]在极坐标系中,直线ρ(sin θ-cos θ)=a 与曲线ρ=2cos θ-4sin θ相交于A ,B 两点,若|AB |=23,求实数a 的值.解:直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x -y +a =0,曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x -1)2+(y +2)2=5,所以圆心C 的坐标为(1,-2),半径r =5,所以圆心C 到直线的距离为|1+2+a |2=r 2-⎝⎛⎭⎫|AB |22=2,解得a =-5或a =-1.故实数a 的值为-5或-1.4.[考点一、二](2017·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π4=2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解:(1)由ρ=2知ρ2=4,由坐标变换公式,得x 2+y 2=4. 因为ρ2-22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π4=2, 所以ρ2-22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4+sin θsin π4=2. 由坐标变换公式, 得x 2+y 2-2x -2y -2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x +y =1.化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=22. [全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos t ,y =1+a sin t (t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .解:(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2+(y -1)2=a 2, 则C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0,ρ=4cos θ. 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0, 由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0, 从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去)或a =1.当a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,且在C 3上. 所以a =1.2.(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.解:(1)因为x =ρcos θ,y =ρsin θ, 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2, C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)将θ=π4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0, 解得ρ1=22,ρ2= 2. 故ρ1-ρ2=2,即|MN |= 2. 由于C 2的半径为1, 所以△C 2MN 的面积为12.[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点,练通就能把分捡 1.在极坐标系中,已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2,π4,圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π3=-32与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.解:在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π3=-32中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C 的圆心坐标为(1,0). 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2,π4, 所以圆C 的半径PC = (2)2+12-2×1×2cos π4=1,于是圆C 过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.2.设M ,N 分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=22上的动点,求M ,N 的最小距离.解:因为M ,N 分别是曲线ρ+2sin θ=0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=22上的动点,即M ,N 分别是圆x 2+y 2+2y =0和直线x +y -1=0上的动点,要求M ,N 两点间的最小距离,即在直线x +y -1=0上找一点到圆x 2+y 2+2y =0的距离最小,即圆心(0,-1)到直线x +y -1=0的距离减去半径,故最小值为|0-1-1|2-1=2-1.3.在极坐标系中,求直线ρ(3cos θ-sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标. 解:ρ(3cos θ-sin θ)=2化为直角坐标方程为3x -y =2,即y =3x -2. ρ=4sin θ可化为x 2+y 2=4y , 把y =3x -2代入x 2+y 2=4y ,得4x 2-83x +12=0,即x 2-23x +3=0, 所以x =3,y =1.所以直线与圆的交点坐标为(3,1),化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2,π6. 4.(2017·山西质检)在极坐标系中,曲线C 的方程为ρ2=31+2sin 2θ,点R ⎝⎛⎭⎫22,π4. (1)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标;(2)设P 为曲线C 上一动点,以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形PQRS 周长的最小值,及此时P 点的直角坐标.解:(1)曲线C :ρ2=31+2sin 2θ,即ρ2+2ρ2sin 2θ=3,从而ρ2cos 2θ3+ρ2sin 2θ=1. ∵x =ρcos θ,y =ρsin θ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1,点R 的直角坐标为R (2,2). (2)设P (3cos θ,sin θ),根据题意可得|PQ |=2-3cos θ,|QR |=2-sin θ, ∴|PQ |+|QR |=4-2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π3, 当θ=π6时,|PQ |+|QR |取最小值2,∴矩形PQRS 周长的最小值为4, 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32,12.5.(2017·南京模拟)已知直线l :ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π4=4和圆C :ρ=2k cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4(k ≠0),若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标.解:圆C 的极坐标方程可化为ρ=2k cos θ-2k sin θ, 即ρ2=2kρcos θ-2kρsin θ,所以圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2kx +2ky =0, 即⎝⎛⎭⎫x -22k 2+⎝⎛⎭⎫y +22k 2=k 2,所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ,-22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22-ρcos θ·22=4,所以直线l 的直角坐标方程为x -y +42=0,所以⎪⎪⎪⎪22k +22k +422-|k |=2.即|k +4|=2+|k |, 两边平方,得|k |=2k +3,所以⎩⎪⎨⎪⎧ k >0,k =2k +3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0,-k =2k +3,解得k =-1,故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫-22,22. 6.已知圆C :x 2+y 2=4,直线l :x +y =2.以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程;(2)P 是l 上的点,射线OP 交圆C 于点R ,又点Q 在OP 上,且满足|OQ |·|OP |=|OR |2,当点P 在l 上移动时,求点Q 轨迹的极坐标方程.解:(1)将x =ρcos θ,y =ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C :ρ=2,l :ρ(cos θ+sin θ)=2.(2)设P ,Q ,R 的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),则由|OQ |·|OP |=|OR |2,得ρρ1=ρ22.又ρ2=2,ρ1=2cos θ+sin θ,所以2ρcos θ+sin θ=4,故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0).7.(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2,π3. (1)求出以C 为圆心,半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程);(2)在直角坐标系中,以圆C 所在极坐标系的极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,点P 是圆C 上任意一点,Q (5,-3),M 是线段PQ 的中点,当点P 在圆C 上运动时,求点M 的轨迹的普通方程.解:(1)如图,设圆C 上任意一点A (ρ,θ),则∠AOC =θ-π3或π3-θ.由余弦定理得,4+ρ2-4ρcos θ-π3=4,所以圆C 的极坐标方程为ρ=4cos ⎝⎛⎭⎫θ-π3. (2)在直角坐标系中,点C 的坐标为(1,3),可设圆C 上任意一点P (1+2cos α,3+2sin α),又令M (x ,y ),由Q (5,-3),M 是线段PQ 的中点,得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x =6+2cos α2,y =2sin α2(α为参数),即⎩⎪⎨⎪⎧x =3+cos α,y =sin α(α为参数), ∴点M 的轨迹的普通方程为(x -3)2+y 2=1.8.在平面直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos φ,y =sin φ(φ为参数),以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2,π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知极坐标系中两点A (ρ1,θ0),B ⎝⎛⎭⎫ρ2,θ0+π2,若A ,B 都在曲线C 1上,求1ρ21+1ρ22的值.解:(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos φ,y =sin φ,∴C 1的普通方程为x 24+y 2=1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ=2a cos θ(a 为半径), 将D ⎝⎛⎭⎫2,π3 代入,得2=2a ×12, ∴a =2,∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2, ∴C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1,即ρ2=44sin 2θ+cos 2θ.∴ρ21=44sin 2θ0+cos 2θ0,ρ22=44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0+π2+cos 2⎝⎛⎭⎫θ0+π2=4sin 2θ0+4cos 2θ0.∴1ρ21+1ρ22=4sin 2θ0+cos 2θ04+4cos 2θ0+sin 2θ04=54. 第二节 参数方程突破点(一) 参数方程基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1.参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数:⎩⎪⎨⎪⎧ x =f (t ),y =g (t ),并且对于t 的每一个允许值,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t ),y =g (t )所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x =f (t ),y =g (t )就叫做这条曲线的参数方程,变数t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数).(2)圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+r cos θ,y =y 0+r sin θ(θ为参数).(3)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos φ,y =b sin φ(φ为参数).考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与普通方程的互化1.参数方程化为普通方程本节主要包括2个知识点:1.参数方程;2.参数方程与极坐标方程的综合问题.基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法;④平方后再加减消元法等.其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧,三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ+cos 2θ=1等.2.普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x ,y 的值;(2)具体步骤第一步,引入参数,但要选定合适的参数t ;第二步,确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x =f (t )(或y =φ(t ));第三步,把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ,y )=0,求得另一关系y =g (t )(或x =ψ(t )),问题得解.[例1] 将下列参数方程化为普通方程.(1)⎩⎨⎧x =1t,y =1tt 2-1(t 为参数);(2)⎩⎪⎨⎪⎧x =2+sin 2θ,y =-1+cos 2θ(θ为参数). [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2+⎝⎛⎭⎫1t t 2-12=1, ∴x 2+y 2=1.∵t 2-1≥0,∴t ≥1或t ≤-1. 又x =1t ,∴x ≠0.当t ≥1时,0<x ≤1, 当t ≤-1时,-1≤x <0,∴所求普通方程为x 2+y 2=1,其中⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤1,0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x <0,-1<y ≤0.(2)∵y =-1+cos 2θ=-1+1-2sin 2θ=-2sin 2θ,sin 2θ=x -2, ∴y =-2x +4,∴2x +y -4=0. ∵0≤sin 2θ≤1,∴0≤x -2≤1,∴2≤x ≤3,∴所求的普通方程为2x +y -4=0(2≤x ≤3). [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ,y 的取值范围,保证消参前后的方程的一致性.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中x ,y 的取值范围的影响.直线与圆锥曲线的参数方程及应用1.解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路如下: 第一步,把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程; 第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.2.当直线经过点P (x 0,y 0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时,可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数),交点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t 1+t 2,t 1·t 2,得到|AB |=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)2-4t 1·t 2.[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中,设倾斜角为α的直线l :⎩⎨⎧ x =2+t cos α,y =3+t sin α(t 为参数)与曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ,B .(1)若α=π3,求线段AB 的中点M 的坐标;(2)若|PA |·|PB |=|OP |2,其中P (2,3),求直线l 的斜率. [解] (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24+y 2=1.当α=π3时,设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x =2+12t ,y =3+32t(t 为参数),代入曲线C 的普通方程x 24+y 2=1,得13t 2+56t +48=0,设直线l 上的点A ,B 对应参数分别为t 1,t 2. 则t 0=t 1+t 22=-2813,所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213,-313. (2)将⎩⎨⎧x =2+t cos α,y =3+t sin α代入曲线C 的普通方程x 24+y 2=1,得(cos 2α+4sin 2α)t 2+(83sin α+4cos α)t +12=0,因为|PA |·|PB |=|t 1t 2|=12cos 2α+4sin 2α,|OP |2=7, 所以12cos 2α+4sin 2α=7,得tan 2α=516. 由于Δ=32cos α(23sin α-cos α)>0, 故tan α=54.所以直线l 的斜率为54.[方法技巧]1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题.2.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+at ,y =y 0+bt(t 为参数)的直线的参数方程,当a 2+b 2≠1时,应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]将下列参数方程化为普通方程.(1)⎩⎨⎧x =3k1+k 2,y =6k21+k2(k 为参数);(2)⎩⎪⎨⎪⎧x =1-sin 2θ,y =sin θ+cos θ(θ为参数). 解:(1)两式相除,得k =y 2x ,将其代入x =3k 1+k 2得x =3·y2x 1+⎝⎛⎭⎫y 2x 2,化简得4x 2+y 2-6y =0,因为y =6k 21+k 2=6-11+k 2,所以0<y <6, 所以所求的普通方程是4x 2+y 2-6y =0(0<y <6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ) 得y 2=2-x .又x =1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程为y 2=2-x ,x ∈[0,2].2.[考点二](2017·唐山模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =6cos θ,y =4sin θ(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′=13x ,y ′=14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程;(2)若点A 在曲线C ′上,点D (1,3).当点A 在曲线C ′上运动时,求AD 中点P 的轨迹方程.解:(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x =6cos θ,y =4sin θ代入⎩⎨⎧x ′=13x ,y ′=14y ,得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′=2cos θ,y ′=sin θ,∴曲线C ′的普通方程为x 24+y 2=1.(2)设点P (x ,y ),A (x 0,y 0),又D (1,3)且AD 的中点为P ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -1,y 0=2y -3.又点A 在曲线C ′上,∴将A 点坐标代入C ′的普通方程x 24+y 2=1,得(2x -1)2+4(2y-3)2=4,∴动点P 的轨迹方程为(2x -1)2+4(2y -3)2=4.3.[考点二](2017·郑州模拟)将曲线C 1:x 2+y 2=1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2,A 为C 1与x 轴正半轴的交点,直线l 经过点A 且倾斜角为30°,记l 与曲线C 1的另一个交点为B ,与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ,D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程; (2)求|AC |-|BD |.解:(1)由题意可得C 2:x22+y 2=1,对曲线C 1,令y =0,得x =1,所以l :⎩⎨⎧x =1+32t ,y =12t(t 为参数).(2)将⎩⎨⎧x =1+3t 2,y =12t代入x 22+y 2=1,整理得5t 2+43t -4=0.设点C ,D 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=-435,且|AC |=t 1,|AD |=-t 2.又|AB |=2|OA |cos 30°=3,故|AC |-|BD |=|AC |-(|AD |-|AB |)=|AC |-|AD |+|AB |=t 1+t 2+3=35. 4.[考点二]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3+t cos α,y =4+t sin α(t 为参数,α为倾斜角),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2cos θ,y =-1+2sin θ(θ为参数).(1)若直线l 经过圆C 的圆心,求直线l 的斜率;(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点,求直线l 的斜率的取值范围.解:(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4),而圆C 的圆心是C (1,-1),所以,当直线l 经过圆C 的圆心时,直线l 的斜率为k =52.(2)将圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2cos θ,y =-1+2sin θ,化成普通方程为(x -1)2+(y +1)2=4,① 将直线l 的参数方程代入①式,得 t 2+2(2cos α+5sin α)t +25=0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时,方程②有两个不相等的实根,即Δ=4(2cos α+5sin α)2-100>0,即20sin αcos α>21cos 2α,两边同除以cos 2α, 由此解得tan α>2120,即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120,+∞.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起,考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意:(1)解题时,易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.(2)应用解析法解决实际问题时,要注意选取直角坐标系还是极坐标系,建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择,注意点和极坐标之间的“一对多”关系.(3)求曲线方程,常设曲线上任意一点P (ρ,θ),利用解三角形的知识,列出等量关系式,特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起,解决取值范围或最值问题.(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时,要注意其中x ,y 的取值范围,即注意两者的等价性.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] (2017·长沙模拟)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+cos α,y =sin α(α为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ+k sin θ)=-2(k 为实数).(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系,并说明理由;(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ,B 两点,且|AB |=2,求直线l 的斜率.[解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+cos α,y =sin α可得其普通方程为(x +1)2+y 2=1.由ρ(cos θ+k sin θ)=-2可得直线l 的直角坐标方程为x +ky +2=0. 因为圆心(-1,0)到直线l 的距离d =11+k 2≤1, 所以直线与圆相交或相切,当k =0时,d =1,直线l 与曲线C 1相切; 当k ≠0时,d <1,直线l 与曲线C 1相交. (2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ,B 两点, 且|AB |=2,故圆心到直线l 的距离d =11+k 2= 1-⎝⎛⎭⎫222=22, 解得k =±1,所以直线l 的斜率为±1. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.(2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =3+10cos α,y =1+10sin α(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;(2)若直线的极坐标方程为sin θ-cos θ=1ρ,求直线被曲线C 截得的弦长.解:(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =3+10cos α,y =1+10sin α(α为参数),∴曲线C 的普通方程为(x -3)2+(y -1)2=10,①曲线C 表示以(3,1)为圆心,10为半径的圆.将⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入①并化简,得ρ=6cos θ+2sin θ, 即曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos θ+2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y -x =1, ∴圆心C 到直线的距离为d =322, ∴弦长为210-92=22.2.在极坐标系中,圆C 的方程为ρ=2a cos θ(a ≠0),以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3t +1,y =4t +3(t 为参数).(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程;(2)若直线l 与圆C 恒有公共点,求实数a 的取值范围.解:(1)由ρ=2a cos θ,ρ2=2aρcos θ,又ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x ,所以圆C 的标准方程为(x -a )2+y 2=a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x =3t +1,y =4t +3,得⎩⎨⎧x -13=t ,y -34=t ,因此x -13=y -34,所以直线l 的普通方程为4x -3y +5=0.(2)因为直线l 与圆C 恒有公共点,所以|4a +5|42+(-3)2≤|a |,两边平方得9a 2-40a -25≥0,所以(9a +5)(a -5)≥0,解得a ≤-59或a ≥5,所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-59∪[)5,+∞.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=10,求l 的斜率.解:(1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB |=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2 =144cos 2α-44.由|AB |=10得cos 2α=38,tan α=±153.所以直线l 的斜率为153或-153. 2.(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =3cos α,y =sin α(α为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 解:(1)C 1的普通方程为x 23+y 2=1,C 2的直角坐标方程为x +y -4=0.(2)由题意,可设点P 的直角坐标为(3cos α,sin α).因为C 2是直线,所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值, d (α)=|3cos α+sin α-4|2=2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α+π3-2, 当且仅当α=2k π+π6(k ∈Z)时,d (α)取得最小值,最小值为2,此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32,12. 3.(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数,t ≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值. 解:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0, 曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-23x =0.联立⎩⎨⎧ x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-23x =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =0或⎩⎨⎧x =32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32,32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(23cos α,α).所以|AB |=|2sin α-23cos α|=4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α-π3. 当α=5π6时,|AB |取得最大值,最大值为4. 4.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C :x 24+y 29=1,直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =2-2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值.解:(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x +y -6=0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d =55|4cos θ+3sin θ-6|.则|PA |=d sin 30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA |取得最大值,最大值为2255.当sin(θ+α)=1时,|PA |取得最小值,最小值为255.5.(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈⎣⎡⎦⎤0,π2. (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y =3x +2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.解:(1)C 的普通方程为(x -1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos t ,y =sin t (t 为参数,0≤t ≤π).(2)设D (1+cos t ,sin t ).由(1)知C 是以G (1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan t =3,t =π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1+cos π3,sin π3,即⎝⎛⎭⎫32,32. 6.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4+5cos t ,y =5+5sin t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解:(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x =4+5cos t ,y =5+5sin t 消去参数t ,化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25,即C 1:x 2+y 2-8x -10y +16=0.将⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入x 2+y 2-8x -10y +16=0 得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 2-8x -10y +16=0,x 2+y 2-2y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =1,或⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2,π4,⎝⎛⎭⎫2,π2. [课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点,练通就能把分捡1.(2017·郑州模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =-2-32t ,y =12t ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=22cos θ-π4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 2的直角坐标方程;(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值. 解:(1)ρ=22cos ⎝⎛⎭⎫θ-π4=2(cos θ+sin θ),即ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),可得x 2+y 2-2x -2y =0, 故C 2的直角坐标方程为(x -1)2+(y -1)2=2.(2)C 1的普通方程为x +3y +2=0,由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心,以2为半径的圆,且圆心到直线C 1的距离d =|1+3+2|12+(3)2=3+32,所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3+3+222.2.在极坐标系中,已知三点O (0,0),A ⎝⎛⎭⎫2,π2,B ⎝⎛⎭⎫22,π4. (1)求经过点O ,A ,B 的圆C 1的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+a cos θ,y =-1+a sin θ(θ是参数),若圆C 1与圆C 2外切,求实数a 的值. 解:(1)O (0,0),A ⎝⎛⎭⎫2,π2,B ⎝⎛⎭⎫22,π4对应的直角坐标分别为O (0,0),A (0,2),B (2,2),则过点O ,A ,B 的圆的普通方程为x 2+y 2-2x -2y =0,将⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ代入可求得经过点O ,A ,B 的圆C 1的极坐标方程为ρ=22cos ⎝⎛⎭⎫θ-π4. (2)圆C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+a cos θ,y =-1+a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x +1)2+(y +1)2=a 2,圆心为(-1,-1),半径为|a |,而圆C 1的圆心为(1,1),半径为2,所以当圆C 1与圆C 2外切时,有2+|a |=(-1-1)2+(-1-1)2,解得a =±2.3.(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2cos θ,y =sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程;(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ,B 两点,若|MA |·|MB |=83,求点M轨迹的直角坐标方程.解:(1)直线l 的直角坐标方程为y =x ,曲线C 的普通方程为x 22+y 2=1.(2)设点M (x 0,y 0),过点M 的直线为l 1:⎩⎨⎧x =x 0+22t ,y =y 0+22t (t 为参数),由直线l 1与曲线C 相交可得:3t 22+2tx 0+22ty 0+x 20+2y 20-2=0,由|MA |·|MB |=83,得t 1t 2=。

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN坐标系与参数方程 知识点(一)坐标系1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ=≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ=≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 5.圆与直线一般极坐标方程 (1)圆的极坐标方程若圆的圆心为 00(,)M ρθ,半径为r ,求圆的极坐标方程。

(推荐)高中数学选修4-4(坐标系与参数方程)知识点总结

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坐标系与参数方程 知识点1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。

选修4-4数学坐标系与参数方程

选修4-4数学坐标系与参数方程

选修4-4数学坐标系与参数方程一、基础知识与考点梳理坐标系是解决几何问题的工具之一,包括平面直角坐标系和极坐标系。

参数方程是通过参数的变化来描述图形的方程,常用于描述曲线的运动或变化。

考点:1. 平面直角坐标系:了解坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的坐标表示方法以及表示直线和曲线的方程的求解方法。

2. 极坐标系:了解极坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的极坐标表示方法以及表示曲线的方程的求解方法。

3. 参数方程:了解参数方程的定义和解题步骤,熟练掌握参数方程求交点和极值点的方法。

二、典型例题解析例1、已知函数y=x²-2x+3,求其图像与x轴、y轴、直线x=1、y=3所围成的面积。

【解析】:1. 求该函数的根,即当y=0时x满足的条件:x=1±√2。

2. 绘制函数图像。

由于该函数为二次函数,故开口向上,图像开口向上,存在顶点,而顶点的横坐标为x=-b/2a,即x=1。

当x=0时,y=3,即函数在y轴上截距为3,因此y轴上的一点为(0,3)。

3. 按要求计算所求面积=△x=1△x=-∫1√2(y-3)dx+∫√2^3(y-x²+2x)dx=2-2√2/3例2、考虑曲线x=2cost+cos2t,y=2sint-sin2t的形状和特征,求其极坐标方程,指出极点和极轴,找出曲线上各点的对称点。

【解析】:1. 观察曲线方程,发现x的系数为2,y的系数为-1。

而2cos2t+1=2cos²t-2sin²t+1,故有x=4cos²t-1-y。

2. 代入x²+y²=r²,消去t,即得其极坐标方程r=4cos2θ-3。

3. 极点为(θ=r=0),为对称中心,且曲线轨迹在极轴之上。

4. 若要求曲线上一点的对称点,可先求该点的极坐标系(r,θ),则其对称点的极坐标系为(r,-θ),再用x=rcosθ,y=rsinθ回代直角坐标系。

最新人教版高中数学选修4-4《参数方程》本章概览

最新人教版高中数学选修4-4《参数方程》本章概览

第二章 参数方程本章概览内容提要1.设在平面上取定了一个直角坐标系xOy,把坐标x 、y 表示为第三个变量t 的函数:⎩⎨⎧==)(),(t g y x f x (a≤t≤b),若对于t 的每一个值(a≤t≤b),所确定的点M(x 、y)都在一条曲线上;而曲线上的任一点M(x 、y)都可通过t 的某个值而得到.则上式即称为该曲线的参数方程. 2.直线的参数方程:⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos 00ααt y y t x x 3.圆的参数方程:⎩⎨⎧==θθsin ,cos R y R x (0≤θ≤2π). 若圆心在M 0(x 0,y 0),则圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00R y y R x x (0≤θ≤2π). 4.椭圆的参数方程:①当中心在(0,0),方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin ,cos (0≤t≤2π). ②椭圆的参数方程,当中心在M 0(x 0,y 0),为⎩⎨⎧+=+=tb y y t a x x sin ,cos 00(0≤t≤2π).5.抛物线的参数方程:⎩⎨⎧==.2,22pt y pt x 6.双曲线的参数方程:⎩⎨⎧==.tan ,sec θθb y a x 7.摆线与圆的渐开线的参数方程:①摆线⎩⎨⎧-=-=).cos 1(),sin (t a y t t a x ②圆的渐开线:⎩⎨⎧-=+=).cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x 学法指导1掌握直线和圆的参数方程,学会参数方程和普通方程的互化.2掌握圆锥曲线的参数方程,通过具体问题的分析,会用参数方程解决某些问题.3分析建立曲线的参数方程的步骤,总结用向量方法建立参数方程.4体会从实践中抽象出数学问题的过程及数学在实践中的应用价值.。

高中数学人教版选修4-4参数方程知识总结

高中数学人教版选修4-4参数方程知识总结

参数的分类讨论要严密.
【解】 (1)当 t≠±1 时, 由①得 sin θ=t+x 1t , 由②得 cos θ=t-y 1t . ∴t+x21t 2+t-y21t 2=1. 它表示中心在原点,长轴长为 2t+1t ,短轴长为 2t-1t , 焦点在 x 轴上的椭圆.
当 t=±1 时,y=0,x=±2sin θ,x∈[-2,2],它表示在 x 轴 上[-2,2]的一段线段.
已知参数方程x=t+1t sin θ,① y=t-1t cos θ②
(t≠0).
(1)若 t 为常数,θ 为参数,方程所表示的曲线是什么?
(2)若 θ 为常数,t 为参数,方程所表示的曲线是什么?
【分析】 形式相同的方程,由于选择参数的不同,可表示
不同的曲线,因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数,对
x=2cos θ, y=4sin θ.
(θ 为参数)
(2)设 M(x,y)是方程 4x2+y2=16 上异于 A 的任一点,则y-x 4 =k(x≠0),
将 y=kx+4 代入方程,得 x[(4+k2)x+8k]=0.
所以yx==--444++k82k+kk22,16
(k≠0),另有一点xy==04,.
数;
(2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别 得到曲线 C′1,C′2,写出 C′1,C′2 的参数方程.C′1 与 C′2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理 由.
【解】 (1)C1 是圆,C2 是直线,C1 的普通方程为 x2+y2=1, 圆心 C1(0,0),半径 r=1.C2 的普通方程为 x-y+ 2=0.因为圆心 C1(0,0)到直线 x-y+ 2=0 的距离为 1,所以 C1 与 C2 只有一个 公共点.

高中数学选修4-4-参数方程

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参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1.参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数,即,并且对于t的每一个允许值,由该方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F(x,y)=0叫做普通方程.2.参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程:消去参数,消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.3.直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α(x﹣x0)(t为参数)圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(θ为参数)椭圆(θ为参数)+=1(a>b>0)双曲线(θ为参数)﹣=1抛物线y2=2px(p>0)(t为参数)【解题思路点拨】1.选取参数时的一般原则是:(1)x,y与参数的关系较明显,并列出关系式;(2)当参数取一值时,可唯一的确定x,y的值;(3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点P(x,y);(2)选择适当的参数;(3)找出x,y与参数的关系,列出解析式;(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义,有如下常用结论:(1)若M1,M2为l上任意两点,M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1﹣t2|;(2)若M0为线段M1M2的中点,则有t1+t2=0;(3)若线段M1M2的中点为M,则M=t M=.一般地,若点P分线段M1M2所成的比为λ,则t P=.4.直线的参数方程的一般式(t为参数),是过点M0(x0,y0),斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2+b2=1且b≥0时,才是标准方程,t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程化为标准方程是(t′∈R),式中“±”号,当a,b同号时取正;当a,b异号时取负.5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找x,y的关系困难,甚至找不出时,可以通过引入参数,建立动点的参数方程后求解.4.圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0=tan α(x﹣x0)(t为参数)圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(θ为参数)椭圆(θ为参数)+=1(a>b>0)双曲线(θ为参数)﹣=1抛物线y2=2px(p>0)(t为参数)【解题思路点拨】1.选取参数时的一般原则是:(1)x,y与参数的关系较明显,并列出关系式;(2)当参数取一值时,可唯一的确定x,y的值;(3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点P(x,y);(2)选择适当的参数;(3)找出x,y与参数的关系,列出解析式;(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义,有如下常用结论:(1)若M1,M2为l上任意两点,M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1﹣t2|;(2)若M0为线段M1M2的中点,则有t1+t2=0;(3)若线段M1M2的中点为M,则M0M=t M=.一般地,若点P分线段M1M2所成的比为λ,则t P=.4.直线的参数方程的一般式(t为参数),是过点M0(x0,y0),斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2+b2=1且b≥0时,才是标准方程,t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程化为标准方程是(t′∈R),式中“±”号,当a,b同号时取正;当a,b异号时取负.5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找x,y的关系困难,甚至找不出时,可以通过引入参数,建立动点的参数方程后求解.例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为(t为参数).圆C的参数方程为(θ为参数),则直线l被圆C截得的弦长为___.例2.已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,则直线l截圆C所得的弦长是___.例3.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ(ρ≥0),直线l的参数方程为(t为参数),设直线l与抛物线C的两交点为A、B,点F为抛物线C的焦点,则|AF|+|BF|=___.当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).圆C的参数方程是=(θ为参数),直线l与圆C交于两个不同的点A、B,当点P在圆C上运动时,△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程(θ∈R)所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为2,若该直线的参数方程改写成(t为参数),则在这个方程中P点对应的t值为____.练习4.设a∈R,直线ax-y+2=0和圆(θ为参数)相切,则a的值为___。

高中数学选修4-4知识点(最全版)

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数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1.平面直角坐标系(1)数轴:规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系.(2)平面直角坐标系:①定义:在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系;②数轴的正方向:两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向;③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴,竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴,x轴或y轴统称为坐标轴;④坐标原点:它们的公共原点称为直角坐标系的原点;⑤对应关系:平面直角坐标系上的点与有序实数对(x,y)之间可以建立一一对应关系.(3)距离公式与中点坐标公式:设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P,填表:两点间的距离公式中点P的坐标公式2+〔y |P1P2|=〔x1-x2〕1-y2〕2x1+x2x=y=2y1+y222.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:x′=λx〔λ>0〕y′=μy〔μ>0〕的作用下,点P(x,y)对应到点P′x(′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.二极坐标系(1)定义:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标系的四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.(3)图示2.极坐标(1)极坐标的定义:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系:在极坐标系中,极点O的极坐标是(0,θ),(θ∈R),假设点M的极坐标是M(ρ,θ),那么点M的极坐标也可写成M(ρ,θ+2kπ),(k∈Z).假设规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ,θ)之间才是一一对应关系.3.极坐标与直角坐标的互化公式如下图,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位一样,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(ρ,θ).(1)极坐标化直角坐标x=ρcosθ,y=ρsinθW.(2)直角坐标化极坐标ρ2=x2+y2,tanθ=y〔x≠0〕. x三简单曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.2.圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表:圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0,0)ρ=r (0≤θ<2π)ρ=2rcos_θ 圆心在点(r ,0)(- π 2π ≤θ< 2 )π 圆心在点(r ,2)ρ=2rsin_θ (0≤θ<π) ρ=-2rcos_θ 圆心在点(r ,π)π ( 2 3π ≤θ< )23π 圆心在点(r , 2) ρ=-2rsin_θ (-π<θ≤0)(2)一般情形:设圆心C(ρ0,θ0),半径为r ,M(ρ,θ)为圆上任意一点,那么|CM|=r , ∠COM =|θ-θ0|,根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r 2=0即r22220cos(0)3.直线的极坐标方程 (1)特殊情形如下表:直线位置极坐标方程图形 (1)θ=α(ρ∈R )或θ=α+π(ρ∈R ) 过极点,倾斜角为α (2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)ρcos_θ=a过点(a ,0),且与极轴ππ 垂直- 2<θ<2过点a ,π ,且与极轴2 平行ρsin_θ=a (0<θ<π)过点(a ,0)倾斜角为αρsin(α-θ)=asin α (0<θ<π)(2)一般情形,设直线l 过点P(ρ0,θ0),倾斜角为α,M(ρ,θ)为直线l 上的动点,那么 在△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0).四柱坐标系与球坐标系简介〔了解〕1.柱坐标系(1)定义:一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组〔ρ,θ,z〕(z∈R)表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R.x=ρcosθ(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为y=ρsinθ.z=z 2.球坐标系(1)定义:一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ,设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到O Q时所转过的最小正角为θ,这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示,这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ),叫做点P的球坐标,记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.x=rsinφcosθ(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换公式为y=rsinφsinθ.z=rcosφ第二讲:一曲线的参数方程1.参数方程的概念1.参数方程的概念(1)定义:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数:x=f〔t〕y=g〔t〕①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.(2)参数的意义:参数是联系变数x,y的桥梁,可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.2.参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别:普通方程F(x,y)=0,直接给出了曲线上点的坐标x,y之间的关系,它含有x,y两个变量;参数方程x=f〔t〕y=g〔t〕(t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x,y之间的关系,它含有三个变量t,x,y,其中x和y都是参数t的函数.(2)联系:普通方程中自变量有一个,而且给定其中任意一个变量的值,可以确定另一个变量的值;参数方程中自变量也只有一个,而且给定参数t的一个值,就可以求出唯一对应的x,y的值.这两种方程之间可以进展互化,通过消去参数可以把参数方程化为普通方程,而通过引入参数,也可把普通方程化为参数方程.2.圆的参数方程1.圆心在坐标原点,半径为r的圆的参数方程如图圆O与x轴正半轴交点M0(r,0).(1)设M(x,y)为圆O上任一点,以OM为终边的角设为θ,那么以θ为参数的圆O的参数方程是x=rcosθy=rsinθ(θ为参数).其中参数θ的几何意义是OM0绕O点逆时针旋转到OM的位置时转过的角度.(2)设动点M在圆上从M0点开场逆时针旋转作匀速圆周运动,角速度为ω,那么OM0经过时间t转过的角θ=ωt,那么以t为参数的圆O的参数方程为x=rcosωty=rsinωt(t为参数).其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间.2.圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数方程圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程可以看成将圆心在原点,半径为r的圆通过坐标平移得到,所以其参数方程为x=a+rcosθ,y=b+rsinθ(θ为参数).3.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式,两种方程是等价的可以互相转化.(2)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型.参数方程通过消去参数就可得到普通方程.(3)普通方程化参数方程,首先确定变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),x=f〔t〕其次将x=f(t)代入普通方程解出y=g(t),那么(t为参数)就是曲线的参数方程.y=g〔t〕(4)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值X围保持一致.二圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆22xy2+2=1(a>b>0)的参数方程是abx=acosφy=bsinφ(φ是参数),规定参数φ的取值X围是[0,2π).(2)中心在原点,焦点在y轴上的椭圆22yx2+2=1(a>b>0)的参数方程是abx=bcosφy=asinφ(φ是参数),规定参数φ的取值X围是[0,2π).(3)中心在(h,k)的椭圆普通方程为2〔x-h〕2+a2〔y-k〕2=1,那么其参数方程为bx=h+acosφy=k+bsinφ(φ是参数).2.双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1.双曲线的参数方程(1)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线22xy2-2=1的参数方程是abx=asecφy=btanφ(φ为参数),规定参数φ的取值X围为φ∈[0,2π)且φ≠π23π,φ≠2.(2)中心在原点,焦点在y轴上的双曲线22yx2-2=1的参数方程是abx=btanφy=asecφ(φ为参数).2.抛物线的参数方程2=2px的参数方程为(1)抛物线y2x=2pt(t为参数).y=2pt(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.三直线的参数方程1.直线的参数方程经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα(t为参数).2.直线的参数方程中参数t的几何意义(1)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离.→→与e(直线的单位方向向量)同向时,t取正数.当M0M(2)当M0M与e反向时,t取负数,当M与M0重合时,t=0.3.直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程,选取的参数不同,会得到不同的参数方程.我们把过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线,选取参数t=M0M得到的参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα(t为参数)称为直线参数方程的标准形式,此时的参数t有明确的几何意义.一般地,过点M0(x0,y0),斜率k=ba(a,b为常数)的直线,参数方程为x=x0+aty=y0+bt(t为参数),称为直线参数方程的一般形式,此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义.四渐开线与摆线〔了解〕1.渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立如下图的平面直角坐标系.设基圆的半径为r,绳子外端M的坐标为(x,y),那么有x=r〔cosφ+φsinφ〕,y=r〔sinφ-φcosφ〕(φ是参数).这就是圆的渐开线的参数方程.2.摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内,一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹,叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线.(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为x=r〔φ-sinφ〕,(φ是参数).y=r〔1-cosφ〕。

(完整版)高中数学选修4-4知识点总结

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选修4-4数学知识点一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结:1.伸缩变换:设点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换),(y x P 的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P '''ϕ系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点,叫做极点;自极点引一条射线叫做极O O Ox 轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。

3.点的极坐标:设是平面内一点,极点与点的距离叫做点的极径,M M O M ||OM M 记为;以极轴为始边,射线为终边的叫做点的极角,记为。

有序ρOx OM xOM ∠M θ数对叫做点的极坐标,记为.),(θρM ),(θρM 极坐标与表示同一个点。

极点的坐标为.),(θρ)Z )(2,(∈+k k πθρO )R )(,0(∈θθ4.若,则,规定点与点关于极点对称,即与0<ρ0>-ρ),(θρ-),(θρ),(θρ-表示同一点。

),(θπρ+如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表πθρ20,0≤≤>),(θρ示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的。

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

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选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图4-4-1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角. 2.极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ,y ) 极坐标(ρ,θ)互化公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点P 的极坐标为)4,2(π,则点P 的直角坐标为 ( )A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1)2、设点P 的直角坐标为(3,3)-,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<,则点P 的极坐标为( )A .3)4πB .5()4π-C .5(3,)4πD .3(3,)4π-3.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1 D .ρsin θ=15.曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________.6. 在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ与直线θ=π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标.题型二 极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.1.在极坐标系中,已知圆C 经过点P(2,π4),圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=-32与极轴的交点,求圆C 的直角坐标方程.2.圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为C ,点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4,π3,则|CP|=________.3.在极坐标系中,已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4=1,圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,π4,圆的半径为1.(i)则圆C 的极坐标方程是________; (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________.4.在极坐标系中,已知圆C :ρ=4cos θ被直线l :ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π6=a 截得的弦长为23,则实数a 的值是________.二、参数方程1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ,y 中的一个与参数t 的关系,例如x =f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y =g (t ),那么,⎩⎪⎨⎪⎧x =f t ,y =gt就是曲线的参数方程.2.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹普通方程参数方程直线y -y 0=tan α(x -x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程: (1)⎩⎪⎨⎪⎧x =3+cos θ,y =2-sin θ;(2)⎩⎪⎨⎪⎧x =1+12t ,y =5+32t .题型二 直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t ,y =4-2t (参数t ∈R ),圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ+2,y =2sin θ(参数θ∈[0,2π]),求直线l 被圆C所截得的弦长.2、曲线C的极坐标方程为:ρ=acosθ(a>0),直线l的参数方程为:(1)求曲线C与直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相切,求a值.3、在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为,(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(Ⅱ)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离最小值.综合应用 1、曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是( )A 21(0,)(,0)52、 B 11(0,)(,0)52、 C (0,4)(8,0)-、 D 5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)化为普通方程为( ) A .2y x =- B .2y x =+ C .2(23)y x x =-≤≤ D .2(01)y x y =+≤≤ 3.判断下列结论的正误.(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的一个极坐标是(2,-π3)( )(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )4.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是( )A .一条直线B .两条直线C .一条射线D .两条射线5.与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为( ) A .214y +=2x B .21(01)4y x +=≤≤2xC .21(02)4y y +=≤≤2x D .21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x15.参数方程()为参数θθθ⎩⎨⎧+==cot tan 2y x 所表示的曲线是( )A .直线B .两条射线C .线段D .圆16.下列参数方程(t 是参数)与普通方程y x 2=表示同一曲线的方程是: ( )A .x t y t ==⎧⎨⎩2B .x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2C .x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪D .⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t x tan 2cos 12cos 13.由参数方程()⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθθ为参数,y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是 。

选修4-4坐标系与参数方程

选修4-4坐标系与参数方程

建立联系.
Y=byb>0
(2)已知变换后的曲线方程 f(x,y)=0,一般都要改写为方程 f(X,Y)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′=3x,
1,-2
1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:
求点 A 3
经过φ变换所得的点 A′的坐标.
2y′=y.
第 1 页 共 22 页
解析:设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),
x=1x′, 由题意,将 3
y=2y′
代入 x2- y2 =1 64
得x′2-4y′2=1,化简得x′2-y′2=1,
9 64
9 16
即x2- y2 =1 为曲线 C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线, 9 16
则所求焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0).
选修 4-4 坐标系与参数方程
第一节 坐 标 系
本节主要包括 2 个知识点: 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换; 2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
x′=λ·xλ>0,
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作用下,点 P(x,y)对应到点
4.将圆 x2+y2=1 变换为椭圆x2+y2=1 的一个伸缩变换公式为φ: X=axa>0, 求 a,b 的值.
94
Y=byb>0,
X=ax, 解y=1Y, b
代入 x2+y2=1 中得Xa22+Yb22=1,所以 a2=9,b2=4,即 a=3,b=2.
突破点(二) 极坐标系
(2)直线 C3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a. 解析:(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2+(y-1)2=a2,

选修4-4坐标系和参数方程

选修4-4坐标系和参数方程

数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲 坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y )确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ,已知各观测点到中心的距离都是1020m ,试确定该巨响的位置。

(假定当时声音传播的速度为340m/s ,各相关点均在同一平面上)以接报中心为原点O ,以BA 方向为x 轴,建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则 A(1020,0), B(-1020,0), C(0,1020) 设P (x,y )为巨响为生点,由B 、C 同时听到巨响声,得|PC|=|PB|,故P 在BC 的垂直平分线PO 上,PO 的方程为y=-x ,因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声,故|PA|- |PB|=340×4=1360,由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上,2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=-x代入上式,得x =± , ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

变式训练1.一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米,并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2.在面积为1的PMN ∆中,2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ,建立适当的坐标系,求以M ,N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一点,且PF 1→·PF 2→=0,tan ∠PF 1F 2=12,则此椭圆的离心率为( ). A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23-y 2=1的两个焦点,P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为2时,1PF ·2PF 的值为( )A .2B .3C .4D .6 3.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点在圆x 2+y 2+2x -3=0上,则p =( )A.12B .1C .2D .3 4.已知两定点A (1,1),B (-1,-1),动点P 满足P A →·PB →=x22,则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (-5,0)、B (5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x =3上,则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0),且与直线x =-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.7.已知:圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l :ax +y +2a =0. (1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点,且AB =22时,求直线l 的方程.8. 已知长方形ABCD ,22=AB ,BC=1。

高中数学选修4-4知识点归纳

高中数学选修4-4知识点归纳

- 1 -高中数学选修4-4知识点总结一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:1.坐标系:① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结:1.伸缩变换:设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O ,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。

3.点M 的极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标,记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称,即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示;同时,极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

高二数学选修4-4参数方程知识点总结

高二数学选修4-4参数方程知识点总结

高二数学选修4-4参数方程知识点总结参数方程是解决实际问题的重要的数学模型,高二学习的重要内容之一,下面是店铺给大家带来的高二数学选修4-4参数方程知识点,希望对你有帮助。

高二数学参数方程知识点高二数学学习方法(1)记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。

争取做到:找错、析错、改错、防错。

达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

(3)熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

(4)经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

(5)阅读数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。

(6)及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。

(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

(8)经常在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到过。

(9)无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。

高二数学选修4-4单元测试题1.极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是 .2.已知圆的极坐标方程,直线的极坐标方程为,则圆心到直线的距离为_________.3.在极坐标系下,直线与圆的公共点个数是_______.4.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .5.在极坐标系中,圆的极坐标方程是 .现以极点为原点,以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则圆的半径是,圆心的直角坐标是.6.在极坐标系中,若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点,则________ _.7. 设、分别是曲线和上的动点,则、的最小距离是 .8.已知曲线、的极坐标方程分别为, ( ). 则曲线与交点的极坐标为 .9.在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是 .10.在极坐标系下,已知直线的方程为,则点到直线的距离为__________.11.在极坐标系中,点到直线:的距离为__________.12.过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为 .13.在极坐标系中,点的坐标为,曲线的方程为,则 ( 为极点)所在直线被曲线所截弦的长度为 .14.在极坐标系下,圆的圆心到直线的距离是 .15.已知直线的极坐标方程为,则点(0,0)到这条直线的距离是 .16.在极坐标系中,曲线截直线所得的弦长为 .17.在极坐标系中,点关于极点的对称点的极坐标是.18.若直线与直线垂直,则常数 = .19. 在直角坐标系中,曲线的极坐标方程为,写出曲线的直角坐标方程____ ____.20.在极坐标系中,已知两点、的极坐标分别为,,则△(其中为极点)的面积为 .21.在极坐标系中,曲线截直线所得的弦长等于 .22.在极坐标系( ,)( )中,曲线与的交点的极坐标为______________.23.点M,N分别是曲线上的动点,则|MN|的最小值是 .24.在极坐标系中, 圆上的点到直线的距离的最大值是 .25.在极坐标系中,直线被曲线:所截得弦的中点的极坐标为 .26.以极坐标系中的点为圆心,为半径的圆的直角坐标方程是 .27. 圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为,该圆的面积为 .28.同时给出极坐标系与直角坐标系,且极轴为,则极坐标方程化为对应的直角坐标方程是 .29.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为 __ .30.在极坐标系中,点与点关于直线对称,则 =____________.31.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是,它与方程所表示的图形的交点的极坐标是 .32.在极坐标系中,点和点的极坐标分别为和,为极点,则的面积= .33.在极坐标系中,和极轴垂直相交的直线与圆相交于、两点,若 ,则直线的极坐标方程为 .34.已知直线的极坐标方程为,则点到这条直线的距离为____.35.两直线,的位置关系是__________. (判断垂直或平行或斜交)36.在极坐标系中,是圆,则点A 到圆心C的距离是 .37.在极坐标系中,曲线的中心与点的距离为 .38.在极坐标系下,圆与圆的公切线条数为 .39.在极坐标系中,曲线与的交点的极坐标为 .40.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为 .。

曲线的参数方程

曲线的参数方程

②在普通方程xy=1中,令x = tan,可以化为参数方程
x t an , (为参数) y cot .
(2)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为 普通方程
x a r cos , 如:①参数方程 消去参数 y b r sin . 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
y 500
o
x
1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢?
y 500
解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x,
o
x 100t , 1 2 2 ( g=9.8m/s ) y 500 gt . 2 令y 0, 得t 10.10s. x 代入x 100t, 得 x 1010m. 所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,
6 3t , 2 a 2 t 1.
训练1:
2 x 1 t 1、曲线 与x轴的交点坐标是( B ) ( t 为参数) y 4t 3
25 ( , 0); C、(1, 3); A、(1,4);B、 16
25 D、 ( , 0); 16
x sin (为参数) 所表示的曲线上一点的坐标是 2、方程 y cos
垂直高度为y,所以
可以使其准确落在指定位置.
一、方程组有3个变量,其中的x,y表示点的 坐标,变量t叫做参变量,而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知,物体的位置由时间t唯 一决定,从数学角度看,这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定,这样当t在允许值范围内连 续变化时,x,y的值也随之连续地变化,于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对(x,y)之间有一一对应关系。

高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结[1]

高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结[1]

高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结(word版可编辑修改)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结(word版可编辑修改) 编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结(word版可编辑修改))的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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坐标系与参数方程 知识点1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x ,y )对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2。

极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系。

(2)极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ。

有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数。

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高二数学选修4-4参数方程知识点总结
高二数学选修4-4参数方程知识点总结
高二数学参数方程知识点
高二数学学习方法
(1)记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。

争取做到:找错、析错、改错、防错。

达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

(3)熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

(4)经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行整体集装,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

(5)阅读数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。

(6)及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。

(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

(8)经常在做题后进行一定的反思,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别
的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到过。

(9)无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。

高二数学选修4-4单元测试题
1.极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是.
2.已知圆的极坐标方程,直线的极坐标方程为,则圆心到直线的距离为_________.
3.在极坐标系下,直线与圆的公共点个数是_______.
4.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为.
5.在极坐标系中,圆的极坐标方程是.现以极点为原点,以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则圆的半径是,圆心的直角坐标是.
6.在极坐标系中,若过点且与极轴垂直的直线交曲线于
A、B两点,则________ _.
7. 设、分别是曲线和上的动点,则、的最小距离是.
8.已知曲线、的极坐标方程分别为,( ). 则曲线与交点的极坐标为.
9.在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是.
10.在极坐标系下,已知直线的方程为,则点到直线的距离为__________.
11.在极坐标系中,点到直线:的距离为__________.
12.过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为.
13.在极坐标系中,点的坐标为,曲线的方程为,则( 为极点)所在直线被曲线所截弦的长度为.
14.在极坐标系下,圆的圆心到直线的距离是.
15.已知直线的极坐标方程为,则点(0,0)到这条直线的距离是.
16.在极坐标系中,曲线截直线所得的弦长为.
17.在极坐标系中,点关于极点的对称点的极坐标是.
18.若直线与直线垂直,则常数= .
19. 在直角坐标系中,曲线的极坐标方程为,写出曲线的直角坐标方程____ ____.
20.在极坐标系中,已知两点、的极坐标分别为,,则△(其中为极点)的面积为.
21.在极坐标系中,曲线截直线所得的弦长等于.
22.在极坐标系( ,)( )中,曲线与的交点的极坐标为______________.
23.点M,N分别是曲线上的动点,则|MN|的最小值是.
24.在极坐标系中, 圆上的点到直线的距离的最大值是.
25.在极坐标系中,直线被曲线:所截得弦的中点的极坐标为.
26.以极坐标系中的点为圆心,为半径的圆的直角坐标方程是.
27. 圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为,该圆的面积为.
28.同时给出极坐标系与直角坐标系,且极轴为,则极坐标方程化为对应的直角坐标方程是.
29.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为__ .
30.在极坐标系中,点与点关于直线对称,则=____________.
31.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是,它与方程
所表示的图形的交点的极坐标是.
32.在极坐标系中,点和点的极坐标分别为和,为极点,则的面积= .
33.在极坐标系中,和极轴垂直相交的直线与圆相交于、两点,若,则直线的极坐标方程为.
34.已知直线的极坐标方程为,则点到这条直线的距离为____.
35.两直线,的位置关系是__________. (判断垂直或平行或斜交)
36.在极坐标系中,是圆,则点A 到圆心C的距离是.
37.在极坐标系中,曲线的中心与点的距离为.
38.在极坐标系下,圆与圆的公切线条数为.
39.在极坐标系中,曲线与的交点的极坐标为.
40.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为.
高二数学选修不等式易错知识点总结
高二数学不等式易错知识点
1.利用均值不等式求最值时,你是否注意到:一正;二定;三等。

2.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?
3.解分式不等式应注意什么问题?用根轴法解整式(分式)不等式的注意事项是什么?
4.解含参数不等式的通法是定义域为前提,函数的单调性为基础,分类讨论是关键,注意解完之后要写上:综上,原不等式的解集是。

5.在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。

6.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意同号可倒。

高二数学学习方法
(1)记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。

争取做到:找错、析错、改错、防错。

达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

(3)熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

(4)经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行整体集
装,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

(5)阅读数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。

(6)及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。

(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。

如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

(8)经常在做题后进行一定的反思,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到过。

(9)无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。

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