初二数学教学设计：平行线等分线段定理3
初中平行线判定定理教案
初中平行线判定定理教案教学目标：知识与技能目标：学生能够理解平行线的定义，掌握平行线的判定定理，并能够运用判定定理判断两条直线是否平行。
过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
教学重点：平行线的判定定理。
教学难点：平行线的判定定理的理解和运用。
教学准备：三角板、直尺、铅笔、投影仪。
教学过程：一、导入新课1. 教师通过展示生活中的图片，如楼梯、铁轨等，引导学生观察并找出其中的平行线。
2. 学生分享观察到的平行线，教师总结并板书平行线的定义。
二、探究平行线的判定定理1. 教师提出问题：“如何判断两条直线是否平行？”引导学生进行思考和讨论。
2. 学生尝试用尺子和三角板画出两条直线，并判断它们是否平行。
3. 教师引导学生总结判断两条直线平行的方法，学生得出平行线的判定定理。
三、巩固练习1. 教师给出几组直线，要求学生判断它们是否平行，并说明判断的依据。
2. 学生独立完成练习，教师巡回指导。
四、课堂小结1. 教师引导学生总结本节课所学的平行线的判定定理。
2. 学生分享学习收获和感悟。
教学反思：本节课通过观察生活中的实例，引导学生发现平行线，激发学生的学习兴趣。
在探究平行线的判定定理时，教师引导学生通过操作和交流，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
练习环节，教师给予学生足够的自主空间，让学生在实践中巩固知识，提高运用能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对平行线的判定定理有了较好的理解和掌握。
数学教案：平行线等分线段定理
数学教案：平行线等分线段定理一、教学目标1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法，并能运用该定理解决实际问题；3.提高学生对平行四边形的认识和理解能力；4.加强学生的空间几何思维和推理能力。
二、教学重点1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法；3.运用平行线等分线段定理解决实际问题。
三、教学难点1.掌握平行线等分线段定理的证明方法；2.运用平行线等分线段定理解决实际问题。
四、教学方法1.课堂讲解；2.课堂讨论；3.案例分析；4.课堂练习。
五、教学过程第一步：引入问题老师拿出一支笔和一张纸，向学生展示两个平行线段，要求学生探究两个平行线段之间的关系。
第二步：学生探究学生分组讨论，在讨论的过程中，师生共同发现两个平行线段中间的线段被平分。
第三步：提出结论学生在分组讨论的基础上，提出结论：平行线等分线段定理。
第四步：确立概念老师向学生引入平行线等分线段定理的定义，让学生理解该概念。
第五步：证明定理老师给出定理的证明，让学生观察和理解证明过程。
第六步：实例练习老师让学生在班内分为小组，通过实例练习来加深对平行线等分线段定理的理解。
第七步：课堂讨论老师和学生一起讨论实例练习的解法，帮助学生梳理思路，加深对平行线等分线段定理的理解。
六、教学评估1.学生通过实例练习的成绩；2.学生课堂讨论表现的质量；3.学生对平行线等分线段定理的掌握程度。
七、板书设计1.平行线等分线段定理；2.定义：两个平行线段间的线段被平分。
八、课堂作业1.完成课堂练习；2.思考并总结平行线等分线段定理的证明方法。
九、教学反思通过本节课的教学，学生们进一步了解了平行线等分线段定理，掌握了证明方法，提高了空间几何思维和推理能力，并对平行四边形有了更深的认识。
但是，课堂时间可能会不够充分，需要加强课堂安排。
平行线等分线段定理 说课稿 教案 教学设计
一平行线等分线段定理[学习目标]1.理解平行线等分线段定理的证明过程及性质.2.能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2.3.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]1.三角形、梯形的中位线定理的内容是什么？提示(1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.(2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.2.如图，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，H是____的中点，F是____的中点.提示BG AC DC[预习导引]1.平行线等分线段定理文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等符号语言已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，且AB＝BC，则A′B′＝B′C′图形语言作用证明同一直线上的线段相等2.推论1证明线段相等，求线段的长度3.推论证明线段相等，求线段的长度要点一平行线等分线段定理例1如图①，在AD两旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD 的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条线段的长度相等.证明如图②，过点A作直线AM平行于A1C，延长DC交AM于点M，过点D作直线DN平行于BC2，延长AB交DN于点N，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段.跟踪演练1如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BC＝()A.3B.6C.9D.4解析如图②，过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.答案 B要点二平行线等分线段定理的推论例2如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.求证：MN＝NB.解如图所示，延长ME交BC的延长线于点P，由题意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，∴PC＝AC＝BC.∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴PM∥CN，又∵点C是BP的中点，∴点N是MB的中点.∴MN＝NB.规律方法证明同一直线上相邻两条线段相等，常用方法构造三角形及中位线.跟踪演练2如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点.求证：AM＝BM.证明过M点作ME∥BC，交AB于点E.∵∠ABC＝90°，∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.∵在梯形ABCD中，M是CD的中点，∴AE＝EB.∴ME是AB的垂直平分线.∴AM＝BM.要点三平行线等分线段定理的综合应用例3已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于A，B，C三点，直线l2分别交α，β，γ于D，E，F三点，且AB＝BC.求证：DE＝EF.证明(1)当l1与l2共面时，由面面平行的性质得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行线等分线段定理得：DE＝EF，(2)当l1与l2异面时，如图，在直线l2上取一点G，过点G作l3∥l1，设l3与平面α，β，γ分别相交于P，Q，R.则l1与l3确定一个平面π1，l3与l2确定一个平面π2.在平面π1中，连接AP，BQ，CR，则由面面平行的性质可知AP∥BQ∥CR.由AB＝BC，得PQ＝QR；同理在平面π2中，就可证明DE＝EF.综上，DE＝EF.规律方法这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.跟踪演练3如图所示，四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别与EF的延长线交于点M，N.求证：∠AME＝∠CNE.证明连接BD，过F作FG∥AB，交BD于G，连接GE，GF.在△ABD中，∵FG∥AB，且F是AD的中点，∴DG＝GB，∴FG是△ABD的中位线，∴GF＝12AB，GF∥BM.同理可证：GE＝12CD，GE∥CN.∵AB＝CD，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE.∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.∵GE∥CD，∴∠GEF＝∠CNE.∴∠AME＝∠CNE.1.(1)定理中的“一组平行线”是指“平行线组”，是由三条或三条以上互相平行的直线组成的.(2)定理中的条件“在一条直线上截得的线段相等”实质是指“平行线组”中每相邻两条平行线间的距离都相等.(3)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问题.2.在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法(1)过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论得另一腰的中点；(2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形.3.在几何证明中添加辅助线的方法(1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形；(2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线.。
平行线等分线段定理数学教案
平行线等分线段定理数学教案
标题：平行线等分线段定理数学教案
一、教学目标
1. 让学生理解并掌握平行线等分线段定理的概念和证明方法。
2. 培养学生的空间想象能力，提高他们的几何思维能力。
3. 通过实际操作，使学生能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容
平行线等分线段定理是平面几何中的重要定理之一，它的表述为：如果一条直线与两条平行线相交，那么被截得的两部分长度相等。
三、教学过程
1. 引入新课
教师可以通过展示一些实例或者生活中的场景来引入这个定理，激发学生的学习兴趣。
2. 教学新知
（1）定理的描述：首先，教师要清晰明了地向学生解释定理的内容。
（2）定理的证明：然后，教师需要引导学生一起进行定理的证明。
在这个过程中，教师要注重培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
3. 巩固练习
教师可以设计一些相关的习题，让学生在实践中巩固所学的知识。
四、课堂小结
教师带领学生回顾本节课的主要内容，并强调平行线等分线段定理的重要性。
五、作业布置
教师可以布置一些相关的作业，让学生在课后继续思考和练习。
六、教学反思
教师需要对本节课的教学效果进行反思，以便于改进以后的教学。
平行线等分线段定理
篇一：1平行线等分线段定理平行线等分线段定理【知识点精析】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。
满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，ab = bc，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．3．定理的两个推论推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边．4．应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段．【例题】1．如图，直线l1∥l2∥l3，ab = bc．求证：a1b1 = b1c1． a1 l1 b1 l2l32．已知：线段ab．求作：线段ab的五等分点．ab3．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，m是cd的中点．求证：ma = mb．4．如图，在△abc中，ad是bc边上的中线，m是ad的中点，bm的延长线交ac于n．求证：an =1cn． 2思考题：如图，梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，∠b = 60°，ab = bc，e为ab的中点．求证：△ecd为等边三角形．【练习与作业】一、填空题1．△abc中，∠c =90°，d为ab的中点，de⊥bc交bc于e，则ceeb．2．已知三条直线ab∥cd∥ef，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30°角，且与ab、cd、ef分别交于m、n、p，则mn = cm，np = cm．3．如图，f是ab的中点，fg∥bc，eg∥cd，则ag = ae =4．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则a2b2 = = = ，a2c2 = = ．5．直角梯形abcd中，ad ∥bc，∠a = 90°，ef是ab的垂直平分线交ab于e，cd于f，则df = ．6．如图，已知ab∥cd∥ef，af、be交于o，若ao = od = df，be = 10cm，则bo = ．7．如图，已知ad∥ef∥bc，e是ab中点，则dg = h是f是中点．8．如图，已知ce是△abc的中线，cd =若cd = 5cm，则af= cm．9．如图，在ad两旁作ab∥cd，a1、a2为ab的两个三等分点，c1、c2为cd的两个三等分点，连a1c、a2c1、bc2，则把ad分成四条线段的长度（填相等或不相等）．第3题第4题第6题第7题第8题第9题1ad，ef∥bd，eg∥ac，若ef = 10cm，则bg = cm，2二、选择题10．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）c d a b 11．右图，ab∥cd∥ef，且ao = od = df，oe = 6，则be =（）a．9 b．10c．11 d．1212．ad是△abc的高，dc =bc于f，则fc =（）a．1bd，m，n在ab上，且am = mn = nb，me⊥bc于e，nf⊥32bd 3 c． 2bc 3 b．3bc 4 d．3bd 41ac． 3三、解答题 13．△abc中，ab = ac，ad⊥bc，p是ad中点，延长bp交ac于点n．求证：an =14．如图，m、n分别是yabcd中ab、cd的中点．求证：be = ef = fd．15．如图△abc中，ch是∠acb的平分线，ad⊥ch于d，de∥bc交ab于e．求证：ae = eb．16．如图，等腰直角△abc，∠acb = 90°，ce = cd，ef⊥bd交ab于f，cg⊥bd交ab于g．求证：ag = gf．17．如图，△abc中，ad、bf为中线，ad、bf交于g，ce∥fb交ad延长线于e．求证：ag = 2de．18．如图，abcd为梯形，ab∥dc，adbe是平行四边形，ab交ec于f．求证：ef = fc．19．已知△abc中，ad⊥bc于d，e为ab中点，ef⊥bc于f，且dc = a，bd = 8a．求fc 的长．篇二：《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册4.9平行线等分线段定理（课本p176 ~ p178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
[特约]初二数学平行线等分线段定理
![[特约]初二数学平行线等分线段定理](https://img.taocdn.com/s3/m/52259fdf88eb172ded630b1c59eef8c75fbf9579.png)
初二数学平行线等分线段定理【教学内容与目的要求】教学内容：1．平行线等分线段定理；2．三角形、梯形的中位线；教学目的与要求：1．理解并掌握平行线等分线段定理，并着重掌握两个推论。
2．会利用平行线等分线段定理将一条线段用直尺和圆规进行若干等分。
3．掌握三角形、梯形的中位线的定义。
4．理解并熟练掌握三角形和梯形的中位线定理，并要求能够灵活运用中位线定理解决一些较为综合性的几何题目。
5．建立起利用中点来构造三角形中位线和梯形中位线的观念，以便顺利地添加出某些中位线。
【知识重点与学习难点】1．平行线等分线段定理是三角形、梯形中位线定理的基础，而它本身又是第五章相似形中平行线分线段成比例定理的特殊情况。
所以在学习这一小节内容时要明确此定理在这儿是作为过渡性的工具，起承上启下作用的。
当然平行线等分线段定理自身也有着极其重要的应用，需要大家能够牢固地掌握。
2．三角形的中位线和梯形的中位线可以这么说是三角形和四边形的精华，也是这两章内容的高潮。
它的综合性和灵活性都较强，它较为系统地串联了三角形一章和四边形一章这两章的大部分内容，故而这一小节要作为重中之重，格外重视。
三角形的中位线定理和梯形的中位线定理都告诉了我们两个方面的结论，即位置关系(平行)和数量关系(一半)。
【方法指导与教材延伸】1．平行线等分线段定理实际上是通过平行线将“相等”进行转移。
即“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这一组平行线在其他直线上截得的线段也相等”。
它是将一条直线上的线段相等“转移”到另一条直线上的线段相等。
2．作为“平行线等分线段定理”的两个推论是两种特殊情况。
它们特殊在截线与被截线的位置的特殊，从而得到了两个推论：⑴经过梯形一腰中点与底平行的直线，必等分另一腰；⑵经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
这两个推论都是由平行和相等这两个条件得出相等。
3．三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线。
《平行线等分线段定理》教学设计
《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》是建立在坐标系及其概念的几何定理，它解释了沿着一条平行线分割线段的方法。
定理：沿着一条平行于线段的边的任何一点P，使得被分割的线段的两个部分的和相等。
教学目标：1、让学生了解平行线等分线段定理；2、引导学生学习定理，训练他们实际使用定理；3、培养学生运用新知识去解决实际几何问题的能力；4、让学生形成正确的数学思维，增强学习的主动性。
教学重点：让学生掌握如何通过沿着一条平行线分割线段，计算线段的平分点及两个部分的和是否为等值。
教学步骤：第一步：讲解定理（1）开篇热身：引导学生了解坐标系及线段的概念，把这些概念构建成数学语言（也可使用图片帮助学生理解）；（2）讲解定理：通过讲解让学生熟悉，平行线等分线段定理的概念，并运用概念来证明定理；（3）让学生自行推理：让学生用数学语言和实际图形来分析和运用定理的原理，以帮助完成证明。
第二步：提供例题第三步：让学生探讨此定理的产生原因第四步：引入实际应用：介绍平行线等分线段定理在画图、计算机及机械等领域的实际应用。
第五步：实践操作：让学生按照老师的指令，开展前面知识点的演练；第六步：结束课程，总结：（1）检查学生自我总结：做出当时学习对自己的影响；（2）总结本次学习：学习定理及其应用的关键；（3）撰写总结报告：将前面学习的定理及方法拓展到新的场景中。
总结：本课针对《平行线等分线段定理》，采用“引导—讲解—练习—讨论—实践—总结“的步骤，使学生正确、系统地理解、掌握及灵活运用定理。
通过本课的学习，不仅认识到定理的本质，在实践中让学生尝试运用它，训练学生的解决实际几何问题的能力，以及正确的数学思维，增强学习的主动性。
初中数学线段平行图教案
初中数学线段平行图教案知识与技能目标：让学生理解线段、直线和平面的基本概念，掌握线段的性质，能够运用线段的知识解决一些实际问题。
过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生空间观念和几何思维能力，提高学生解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学内容：1. 线段的概念：线段是直线上两点之间的一段，具有两个端点和一个长度。
2. 直线的概念：直线是无限延伸的，没有端点。
3. 平面图形的概念：平面图形是平面内的图形，包括线段、射线、直线等。
4. 线段的性质：线段的长度等于其两个端点之间的距离，线段的两个端点确定一条线段。
三、教学重点与难点：重点：线段的概念及其性质。
难点：理解线段、直线和平面的关系。
四、教学过程：1. 导入：利用实物模型，如尺子、直尺等，引导学生观察和思考，让学生初步了解线段、直线和平面的概念。
2. 新课讲解：讲解线段、直线和平面的定义，通过示例和练习，让学生掌握线段的长度、端点等性质。
3. 课堂互动：学生分组讨论，观察和分析线段、直线和平面的关系，引导学生运用线段的知识解决实际问题。
4. 练习巩固：布置一些有关线段的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调线段、直线和平面的概念及其关系。
6. 课后作业：布置一些有关线段的作业，让学生进一步巩固所学知识。
五、教学策略：1. 采用直观演示法，利用实物模型和多媒体课件，让学生直观地了解线段、直线和平面的概念。
2. 采用互动教学法，引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的几何思维能力。
3. 采用练习法，让学生在实践中掌握线段的性质，提高解决问题的能力。
4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导，使学生在课堂上充分展示自己。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生课后作业的完成质量，了解学生对线段知识的掌握程度。
平行线等分线段定理 说课稿 教案 教学设计
平行线等分线段定理【教材分析】教学重点：根据新的课程标准，将平行线等分线段定理及其推论的应用作为重点，同时将自主探索、动手操作、协作交流意识的培养作为重点。
教学难点：定理的灵活应用是本节的难点。
在教学过程中循序渐进的设计“猜一猜”、“想一想”、“议一议”、“做一做”、“试一试”以突破这一难点。
【设计理念】现代教学论指出，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。
没有交往，没有互动，就不存在或未发生教学，那些只有教学的形式表现而无实质性交往发生的“教学”，是假教学。
把教学本质定位为交往，是对教学过程的正本清源。
对教学而言，交往意味着对话，意味着参与，意味着相互建构，它不仅是一种教学活动方式，更是弥漫、充盈于师生之间的一种教育情境和精神氛围。
对学生而言，交往意味着心态的开放，主体性的凸现，个性的张显，创造性的解放。
对教师而言，交往意味着上课不是传授知识，而是一起分享理解；上课不是无谓的牺牲和时光的耗费，而是生命活动、专业成长和自我实现的过程。
交往还意味着教师角色定位的转换:教师由教学中的主角转向“平等中的首席”，从传统的知识传授者转向现代的学生发展的促进者。
根据新的课程标准，结合本班学生实际，改变传统的严格意义上的教师教和学生学，力求师生互教互学，彼此形成一个真正的“学习共同体”。
让学生成为学习活动的主人，教师成为学生学习的组织者和合作者，而不是权威的讲授者。
教师可以根据学生的提问或者活动中可能出现的某些情况，提供示范、建议和指导，引导学生们大胆阐述并讨论他们的观点，让学生说明他们所获得的结论的有效性，并对结论进行评价。
学生学习的过程不是学生被动地吸收课本上的现成结论，而是一个学生亲自参与丰富、生动的思维活动，经历实践和创新的过程。
【教学目标】知识目标：能用语言及结合图形的符号语言叙述平行线等分线段定理和它的两个推论；用它们能初步解决证明线段相等和计算线段长度的问题；会用尺规作图法等分一条已知线段；能独自处理等分实际物体的问题。
平行线等分线段定理说课稿
平行线等分线段定理说课稿
《平行线等分线段定理》说课稿
一、教材分析
1、地位和作用
这个定理与平行线、三角形、平行四边形、梯形都有联系。
该定理除了用于任意等分一条已知线段外，还是推证三角形、梯形中位线定理、平行线分线段成比例定理的基础。
这些定理对今后的学习非常有用，尤其在证明两条直线平行和论证线段的倍分关系时，是经常用到的。
2、教学内容
本节课的主要内容是对平行线等分线段定理的发现、证明和初步应用，并通过认识它的变式图形得其两个推论。
3、学前准备
横格纸、细绳、细棒、直尺、圆规、剪刀、矩形白纸片、画有等距平行线的透明胶片。
4、教学目的
使学生掌握平行线等分线段定理及其推论，会按要求等分一条已知线段。
并能够结合已学知识解决一些实际问题。
5、重点与难点
重点：定理。
两个推论实际上是定理的两个特例，也是重要的定理。
难点：定理的证明
二、教学方法
创设情景、动手操作、模拟演示、启发引导、猜想论证、学习应用、发展能力。
(3)平行线等分线段定理
E
.
M B C
.F
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC； ∵E、F分别是AB、DC的中点，∴AE=FC， ∴四边形AECF是平行四边形，∴EC∥AF, ∴BM=MN, MN=ND, 即BM=MN=ND.
例题讲解：
2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC， E是AB边的中点， E EF∥DC，交BC于F， 求证：DC=2EF. 证明： 作EM∥BC交DC于M， B ∵E是梯形ABCD的腰AB的中点，
符号语言：
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
判断题：
小试牛刀
(
AC=CE， 1.若AB∥CD∥EF， 则 BD=DF=AC=CE. A
×)
B D F
C E
填空题：
小试牛刀
E是AB的中点， 2.已知AD∥EF∥BC， 则DG= BG H是 的中点 AC 的中点，
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么 在其他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3， AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A B
A1 B1
3 1 2 4
E
C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
A
.
F
八年级数学教学设计：平行线等分线段定理
八年级数学教学设计：平行线等分线段定理八年级数学教学设计：平行线等分线段定理教学建议1.平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等.注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成. 定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.2.平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”+“平行”得“中点”.推论的用途：(1)平分已知线段;(2)证明线段的倍分.重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加1.教学重点：平行线等分线段定理2.教学难点：平行线等分线段定理四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索;师生共同归纳结论;教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1.什么叫平行线?平行线有什么性质.2.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系?(横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的)，然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系?(相等，为什么?)这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等?(引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确.下面我们以三条平行线为例来证明这个定理(由学生口述已知，求证).已知：如图，直线， .求证： .分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形(也可应用平行线间的平行线段相等得 )，通过全等三角形性质，即可得到要证的结论.(引导学生找出另一种证法)分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得 .证明：过点作分别交、于点、，得和，如图.又∵ ，，为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图(用计算机动态演示).引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论 1.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好.接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段.例已知：如图，线段 .求作：线段的五等分点.作法：①作射线 .②在射线上以任意长顺次截取 .③连结 .④过点 . 、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、 .、、、就是所求的五等分点.(说明略，由学生口述即可)【总结、扩展】小结：(l)平行线等分线段定理及推论.(2)定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明.(3)定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.(4)应用定理任意等分一条线段.八、布置作业教材P188中A组2、9九、板书设计十、随堂练习教材P182中1、2。
八年级数学平行线等分线段定理教案
word平行线等分线段定理教材分析：平行线等分线段定理是梯形这一节的重点，它是在平行四边形和梯形的基础上提出的，定理的证明是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形。
用平行四边形和三角形的知识进行证明，这一定理是研究三角形、梯形中位线、n等分任意线段作图以及第五章“平行线分线段成比例定理”的基础，要求学生掌握这个定理，并且认识它的变式图形。
目标：1、会用语言及结合图形的符号语言叙述平行线等分线段定理和它的两个推论。
2、会运用平行线等分线段定理及其推论证明和计算有关几何问题，会用它等分一条已知线段。
重点：平行线等分线段定理及其运用难点：运用语言对定理及其推论的概括。
考点：教法：此节课属于探究性课题，通过学生实验、观察、思考、概括出定理、几何命题，从而证明，两个推论和把一条线段任意等分，可以处理为定理的应用和变形，并且渗透了图形运动变化的观点，以及由特殊到一般，再由一般到特殊的思维过程。
课前准备：1、预习教材p180定理的证明。
2、画有一组等距平行线的小黑板，一根长60cm的细小木棒AB。
过程设计：引导性材料：让学生观察画有画有等距平行线的小黑板。
思考：这组平行线中，每相邻两条平行线的距离怎样？在小黑板上画一直线L1，使L1与横线垂直，观察L1被各条横线分成的线段是否相等？再画一条直线L2(与等距平行线不垂直)，那么L2被各条横线分成的线段是否相等？(可抽学生用直尺和圆规去比较)教学设计：［1］问题1：试把刚才实验中得到的事实概括成为一个几何命题［2］问题2：怎样证明上述命题的成立？说明：①证明前，教师先画图----“三条平行线”代表一组平行线，再由学生写出这个命题的已知、求证(并板书)②由于学生预习阅读了课本的证明过程，启发学生说出证法的实质是平移线段AC，构造出两个平行四边形和一对全等三角形，从而使问题得以解决，从而证明到A1B1=B1C1［1］说明：让学生概括命题有助于提高学生语言表述能力，对学生叙述中的困难及时帮助，并逐步修正完善，直到得出命题，并板书。
《平行线等分线段定理》教案新人教A版选修
数学：一《平行线等分线段定理》教案3（新人教A版选修4-1）平行线等分线段定理课题：平行线等分线段定理授课人柯文祥课时：一节目的要求：掌握平行线等分线段定理，会按要求等分一条已知线段。
教学重点：理解平行线等分线段定理。
教学难点：平行线等分线段定理的合理应用。
教学方法：演示、指导法能力点：观察、分析、应用教学过程：1、提出问题如何把一条线段三等分、五等分、七等分呢？2、预备知识我们先认识一个事实，笔记本上的平行线将一条直线等分若干段。
如图：这个事实的根据是我们将要学习的"平行线等分线段定理"。
演示讲解平行线等分线段定理的证明，见课件。
3、平行线等分线段定理的应用定理推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
它是平行线等分线段定理一般的应用推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分另一边。
它是平行线等分线段定理的一种特殊情况。
如图：（1）（2）（3）4、平行线等分线段定理的应用将一已知线段AB五等分课件"作图1"演示5、学生练习将以10cm的线段七等分方法一：过线段端点作射线；在射线上取七等分线段；连另外的端点，过其余点作所连端点平行线。
方法二：利用已有平行线分线段七等分。
以平行线上一点为A圆心，以10cm为半径画弧，交第八条平行线于点B，连AB，所交平行线的点为线段AB的七等分点。
如图：6、课堂练习7、小结：（1）平行线等分线段定理的理解a//b//c→ DE=EFAB=BC（2）平行线等分线段定理的应用将一线段任意等分。
如线段AB三等分、五等分、......。
2022年 《拓展了解平行线等分线段定理》优秀教案
平行线等分线段定理一、知识点1 掌握平行线等分线段定理及其推论2 会利用等分点作平行线，转化成与比例相关的问题二、例题分析第一阶梯[例1]：在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F求证：BF=CF 提示：〔1〕由条件可得几个中点？有几条平行线？〔2〕平行线等分线段定理及推论是如何表达的？〔3〕此题有几种方法证明？请比拟一下其方法之间的联系？参考答案：证明：在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC∴E是AB的中点〔经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边〕又∵EF∥AC，交BC于F∴F是BC的中点，即BF=FC说明：〔1〕在三角形中，给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，可得出平行线与另一边的交点即是中点〔2〕此题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但麻烦[例2]求证在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC求证：ED=EC 提示：〔1〕对一个命题进行证明，首先要分清什么？再根据题意如何？〔2〕在梯形中，假设一腰的中点，一般过这点作什么样的辅助线即可得到另一腰的中点〔3〕请总结一下利用平行线等分线段定理及推论时所必备的条件和所得的结论分别是什么？参考答案：证明：过E点作EF∥BC交DC于F∵在梯形ABCD中，AD∥BC∴AD∥EF∥BC∵E是AB的中点∴F是DC的中点〔经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰〕∵∠ADC=90°∴∠DFE=90°∴EF⊥DC于F 又F是DC中点∴EF是DC的垂直平分线∴ED=EC〔线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等〕说明：〔1〕命题证明要正确的理解题意，按题意画出图形再根据图形，写出和求证〔2〕此题作EF与DC垂直，证EF∥BC也可以第二阶梯[例1]在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于∵CD是∠ACB 的平分线，AE⊥CE于E∴在△AEC与△MEC中∴△AEC≌△MEC∴AE=EM∴E是AM的中点，又在△ABM中FE∥BF∴点F是AB边的中点∴AF=BF说明：〔1〕一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善此题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△相交就势在必行了〔2〕在三角形中，假设有角平分线可构造全等三角形，有一边上的中点，过这点可作平行线〔3〕△AEC与△MEC只能证全等后才能得到AE=EM，在此没有定理可用第三阶梯[例1]：如图以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作□ACED，DC的延长线交BE于F求证：EF=BF提示：〔1〕梯形的上下两底具有什么性质？平行四边形的对角线有什么性质？〔2〕如何添加辅助线，再结合条件平行四边形，得到某条线段的中点呢〔3〕此题有几种构造三角形中点的方法？构造梯形可以吗？请试一试参考答案：证明：连结AE交DC于O ∵四边形ACED是平行四边形∴O是AE的中点〔平行四边形对角线互相平分〕∵梯形ABCD∴DC∥AB在△EAB中，OF∥AB 又O是AE的中点∴F是EB的中点∴EF=BF说明：〔1〕证题时，当一个条件有几个结论时要选择与其有关联的结论〔2〕此题可延长EC，在梯形ABCD内构造平行四边形或以AB、BE、AD的延长线为边构造梯形也可以得证[例2]梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E为AB的中点求证：△ECD为等边三角形提示：〔1〕由条件可知，CE是哪个特殊三角形的什么线段？为什么？∠2的度数是多少？〔2〕在梯形ABCD中，有AB边的中点E，如何添加辅线后，得到ED=EC？为什么？〔3〕此题不用平行线等分线段定理，还有别的方法吗？试一试参考答案：证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DE于F∵梯形ABCD ∴AD∥BC ∴AD∥EF∥BC又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点〔经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰〕∵DC⊥BC ∴EF⊥DC∴ED=EC 〔线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等〕∴△EDC为等腰三角形∵AB=BC ∠B=60°∴△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°又E是AB边中点∴CE平分∠ACB∴∠1=∠2=30°∴∠DEF=30°∴∠DEC=60°又ED=EC∴△DEC为等边三角形说明：〔1〕一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE〔或CE〕与底边相交，构造全等三角形〔2〕此题不要AB=BC的条件，保存其它条件构造全等三角形也可得证不访试一试。
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初二数学教学设计：平行线等分线段定理3
教学建议
1.平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等.
本卷须知：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成. 定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.
2.平行线等分线段定理的推论
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：〝中点〞+〝平行〞得〝中点〞.
推论的用途：(1)平分线段;(2)证明线段的倍分.
重难点分析
本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中〝平行线分线段成比例定理〞的基础.
本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加
上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.
教法建议
平行线等分线段定理的引入
生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：
①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等;
②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.
教学设计例如
【一】教学目标
1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.
2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条线段，进一步培养学生的作图能力.
3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美【二】教法设计
学生观察发现、讨论研究，教师引导分析
【三】重点、难点
1.教学重点：平行线等分线段定理
2.教学难点：平行线等分线段定理
【四】课时安排
l课时
【五】教具学具
计算机、投影仪、胶片、常用画图工具
六、师生互动活动设计
教师复习引入，学生画图探索;师生共同归纳结论;教师示范作图，学生板演练习
七、教学步骤
【复习提问】
1.什么叫平行线?平行线有什么性质.
2.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?
【引入新课】
由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系?(横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的)，然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系?(相等，为什么?)这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等?
(引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理)
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
注意：定理中的〝一组平行线〞指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确.
下面我们以三条平行线为例来证明这个定理(由学生口述，求证).
：如图，直线， .
求证： .
分析1：如图把相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形(也可应用平行线间的平行线段相等得 )，通过全等三角形性质，即可得到要证的结论.
(引导学生找出另一种证法)
分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得 .
证明：过点作分别交、于点、，得和，如图.
又∵ ，，
为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图(用计算机动态演示).
引导学生观察以下图，在梯形中，，，那么可得到，由此得出推论 1.
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.
再引导学生观察以下图，在中，，，那么可得到，由此得出推论2.
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好.
接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段.
例：如图，线段 .
求作：线段的五等分点.
作法：①作射线 .
②在射线上以任意长顺次截取 .
③连结 .
④过点 . 、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、 .
、、、就是所求的五等分点.
(说明略，由学生口述即可)
【总结、扩展】
小结：
(l)平行线等分线段定理及推论.
(2)定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明.
(3)定理中的〝平行线组〞，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.
(4)应用定理任意等分一条线段.
八、布置作业
教材P188中A组2、9
九、板书设计。