高等数学点积叉积课件

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ch8_2点积叉积 [兼容模式]

a b ( a x bx , a y b y , a z bz )
a ( a x , a y , a z )
a b a x bx a y b y a z bz
ab
az bz
ax , bx
ax a y az 混合积: a b c ( a b ) c bx b y bz cx c y cz 2. 向量关系: bx b y bz ab 0 ax a y az a x bx a y b y a z bz b
思考: 右图三角形面积 S＝
a

b
2. 性质
(1) a a 0 (2) a , b 为非零向量, 则 a b 0 证明: 当 a 0 , b 0 时,
ab 0
3. 运算律
a∥ b
a b sin 0 sin i 0，即 0 或
a , b , c 共面
( ab )c 0
ax a y az b x b y bz 0 cx c y cz
练习并求 1. 设 a i 2 j k , b i j , 计算 a b 及 a b , 并 a , b 夹角的正弦与余弦 . 答案: a b 1 ,

cz
ax a y az bx b y bz cx c y cz
3. 性质 (1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] [ b c a ] [ c a b]
(可用三阶行列式推出)
a
b
c
内容小结设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , b y , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算加减: 数乘: 点积: 叉积:

高等数学向量及运算点积叉积

于cccooo是sss方向|||余ikjikj弦|||||| rrrrrr为 |||
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
z
r
O
y
x
(五) 两向量的向量积
二、三阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a21 a31
a12 a22 a32
yOz面 zOx面
O xOy面 Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组(x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x,0, z)
(1) a a a 2
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
aa
//
b b
|aa
bb|0|
a
|
|
b
|
b
a
a 0, b 0 则 ab 0
a
,
b
π 2
a b a b cos
3. 运算律
(1) 交换律 a b b a (2) 结合律 ( , 为实数)
b a
( a ) b a ( b) ( a b )
1 a
a. 因此 a a ea
注：设 a 为非零向量 , 则a∥b
b a ( 为唯一实数)
(三). 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以

向量的点积与叉积ppt课件

定义
ar
r b
|
ar
||
r b
|
cos
ar,
r b
|
ar
|
r (bar
)
r b
r (ar
b
)
数量积也称为“点积”、“内积”。
r b
r a
2020年4月1日星期三
2
高等数学（下）主讲杨益民
数量积的若干性质：
ar
r b
|
ar
||
r b
|
cos
ar,
r b
(1)
r a
r a
|
r a
|2
(2)
a
b
0
ar
2020年4月1日星期三
12
高等数学（下）主讲杨益民
例8 设向量m, n, p两两垂直，符合右手规则，且 | m | 4，| n| 2，| p| 3，计算(m n) p。
ur r ur ur r ur
支点O
力臂l
A作用点
ur 力F
uur 方向：向外（拧松）向内（拧紧）
力矩 M
uur ur ur uuur ur uuur
大小：M F l F OA sin F ,OA
方向总是依
uuur OA,
ur F
,
uur M
uuur
成右手系，且垂直于OA,
ur F
平面。
2020年4月1日星期三
7
高等数学（下）主讲杨益民
高等数学（下）主讲杨益民
高等数学
北京工商大学杨益民
2020年4月1日星期三
1
高等数学（下）主讲杨益民
第二节数量积、向量积与混合积

点积与叉积的定义和应用

点积与叉积的定义和应用一、什么是点积和叉积在三维空间中，点积和叉积是两个很重要的数学概念。

点积也称为内积，表示两个向量之间的相似程度；而叉积也称为外积，描述了两个向量之间的垂直关系。

点积和叉积可以通过在三维空间图像上画出向量来理解。

点积的定义如下所示：设有两个向量a和b，它们的点积表示为a·b，计算方式为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|为向量的模长，θ为向量a和向量b之间的夹角。

叉积的定义如下所示：设有两个向量a和b，它们的叉积表示为a×b，计算方式为a×b=|a||b|sinθn，其中|a|和|b|为向量的模长，θ为向量a和向量b之间的夹角，n为垂直于向量a和向量b所在平面的单位法向量。

二、点积和叉积的应用1.点积的应用由于点积表示两个向量之间的相似程度，所以点积的应用场景也较为广泛。

其中，一些常见的应用包括以下几个方面：（1）确定向量之间的夹角和正交性：由于点积可以计算出两个向量之间的夹角，所以可以用点积来判断向量之间是否垂直，即如果a·b=0，则向量a和向量b垂直。

（2）计算向量的投影：点积还可以用来计算向量在另一向量方向上的投影。

具体地说，设有向量a和向量b，它们之间的夹角为θ，向量a在向量b方向上的投影为projb a，那么有projba=|a|cosθ=b·a/|b|。

（3）计算向量之间的距离：设有向量a和向量b，它们之间的夹角为θ，那么两个向量之间的距离可以表示为d=|a-b|=sqrt(|a|^2+|b|^2-2|a||b|cosθ)。

2.叉积的应用叉积的应用相较于点积稍微少一些，但是叉积仍然是很实用的数学工具。

一些常见的应用包括以下几个方面：（1）计算向量的面积和体积：由于叉积的结果是一个向量，在方向上与原向量垂直，大小等于两个向量围成的平行四边形的面积，所以叉积可以用来计算向量围成的三角形或四边形的面积，以及向量围成的平行六面体的体积。

第二讲点积叉积

(3) 分配律 ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
C B = a , C A = b , AB = c
则
c
B
b θ
C
c = a−b c
2
a
但不满足 : 证(3) c = 0 时, 显然成立 ; (1) 关于向量的结合律 ( a ⋅ b ) ⋅ c ≠ a ⋅ (b ⋅ c ) 当c ≠ 0时 ( a + b ) ⋅ c = | c |Pr jc ( a + b ) ( 2) 消去律 = c（Pr jc a + Pr jc b） (投影性质) 1 由 a ⋅ b = 0 , 一般不能推出a = 0或b = 0。 2 若a ≠=0 c则由aa b+= c ⋅Pr jc b = a ⋅ c + b ⋅ = c , Pr jc ⋅ a c一般不能推出b c
cosθ = a ⋅ b a b
=
a x bx + a y b y + a z bz
2 2 ax + a 2 + az y 2 2 2 b x + b y + bz
a ⋅ b = a b cosθ = a x bx + a y b y + a z bz
(3) 两向量垂直的充要条件
例6 当m为何值时,向量a = {1, −1 1}, b = { 2 m, 2} ，， (1) 平行 (2) 垂直 (3) 成 60 的角解: (1) 两向量共线(平行 )的充要条件是 : 2 m 2 bx by bz = = = ⇒ = a x a y az 1 −1 1 ∴ m = −2
①由a × b = 0 ,不能推出a = 0或b = 0 ②若a ≠ 0 , 则由a × b = a × c一般不能推出b = c

高数辅导之专题十六：向量的点积和叉积

专题十六基础知识（1）→a向量→a 的坐标表示式：),,(321a a a OM a ==→→（O 为起点，M 为终点）向量),,(321a a a a =→的模：232221||a a a a ++=→向量),,(321a a a a =→的方向余弦：2322211cos a a a a ++=α，2322212cos a a a a ++=β，2322213cos a a a a ++=γ1cos cos cos 222=++γβα与向量→a 方向相同的单位向量→0a 的坐标表示式：)cos ,cos ,(cos 0γβα=→a三个坐标轴上的单位向量：)0,0,1(=→i ，)0,1,0(=→j ，)1,0,0(=→k向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则。

（2）→→⋅b a→→→→→→→→→→→→⋅=⋅=⋅⋅=⋅a prj b b prj a b a b a b a ba||||,cos ||||||||arccos ,→→→→→→⋅=b a ba b a计算→→b a ,只能使用→→⋅b a 。

→→⋅b a 的坐标表示式：332211321321),,(),,(b a b a b a b b b a a a b a ++=⋅=⋅→→点积的运算律：→→→→⋅=⋅a b b a)()()(→→→→→→⋅=⋅=⋅b m a b a m b a m→→→→→→→⋅+⋅=+⋅c a b a c b a )(2||→→→=⋅a a a（3）→→⨯b a→→→→→→⋅⋅=⋅b a b a b a ,sin ||||||→→⨯b a 的模等于以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积。

→a ，→b ，→→⨯b a 成右手系。

→→⨯b a 的坐标表示式：),,(),,(321321b b b a a a b a ⨯=⨯→→叉积的运算律：→→→→⨯-=⨯a b b a)()()(→→→→→→⨯=⨯=⨯b m a b a m b a m→→→→→→→⨯+⨯=+⨯c a b a c b a )(→→→=⨯0a a（4）→→≠0a ，当0>λ时，→a λ与→a 同向；当0<λ时，→a λ与→a 反向。

高数课件8-2数量积与向量积

高数课件8-2数量积与向量积
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汇报时间：20XX/XX/XX
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目录
CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 数量积与向量积的定义 3 数量积与向量积的性质
4 数量积与向量积的计算方法
5 数量积与向量积的应用
6 数量积与向量积的注意事项
单击此处添加章节标题
数量积与向量积的定义
数量积的公式： a·b=|a|·|b|·cosθ
数量积的应用：在物理、工程等领域中，数量积可以用来计算力、力矩等物理量
向量积的计算方法
向量积的定义：两个向量的乘积，结果是一个向量
向量积的计算公式： a×b=|a||b|sinθ
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
向量积的性质：向量积满足交换律、结合律和分配律
误
理解概念的重要性
数量积与向量积是线性代数的基础概念，理解其定义和性质对于后续学习非常重要。
数量积与向量积的应用广泛，如物理、工程等领域，理解其概念有助于解决实际问题。
数量积与向量积的概念理解有助于理解线性代数的其他概念，如矩阵、行列式等。
数量积与向量积的概念理解有助于理解线性代数的基本定理和性质，如线性相关、线性无关等。
混淆向量的数量积与向量的模，导致计算错误
混淆向量的数量积与向量的加法，导致计算错
误
混淆向量的数量积与向量的乘法，导致计算错
误
混淆数量积与向量积的概念，导致计算错误
混淆向量的模与向量的长度，导致计算错误
混淆向量的减法与向量积，导致计算错误
混淆向量的数量积与向量的减法，导致计算错
误
混淆向量的数量积与向量的长度，导致计算错

高数点积叉积

求向量 a4m3np在 x 轴上的投影、在 y 轴上的分向量及与 a 平行的单位向量.
解因 a4m3np
4(3i5j8k)3(2i4j7k)5ij4k
13i7j15k
故在 x 轴上的投影为a x 1 3 在 y 轴上的分向量为ay j 7 j
与 a 平行的单位向量为

O P F M 符合右手规则
P L
MOP
F
Q
MF
o P OQ OPsin
M
1. 定义
设a, b的夹角，为定义
方向 : c a,c b 且符合右手规则
向量 c 模 : c a b sin
称 c为向a与量 b的向量积 , 记作
b
cab (叉积)
a
引例中的力矩 M O F P
(2) 结合律 (,为实数 )
b a
(a)ba(b)(ab)
(ab)
(a)(b) a(b )
c
(ab)
Prjc a Prjc b
(3) 分配律 a b c a c b c Prjc(ab)
事实上, 当 c0时, 显然成立 ; 当c0时
b cos 记作 Prja b
故
ab a Prjab
同,当理 b0时 ,
abb Prjb a
2. 性质
(1) aaa 2
(2) a,b为两个非零向量, 则有
ab0 a b
b

a a0,b0 则ab0
(a, b) π
2
a b a bcos
3. 运算律
(1) 交换律 abba
ab(aybzazby)i (a zb x a x b z)j (axbyaybx)k

大学高等数学_11矢量,点积叉积与曲面方程

机动
任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
的夹角. a ,b
z
o x
目录
r

上页

y
返回结束
下页
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
机动目录上页下页返回结束
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 向量的减法
a
三角不等式
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 向量与数的乘法规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
即 M1M 2 M 3 为等腰三角形 .
机动目录上页
M1 M2
下页
M3
返回
结束
例5. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
2 ( 2 z ) 3 5
2
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
9
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
机动
目录
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《向量的点积与叉积》课件

混合积的性质
混合积为零
混合积与点积的关系
混合积的几何意义
如果三个向量共面，则它们的混合积为零。
$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = mathbf{B} cdot (mathbf{C} times mathbf{A}) = mathbf{C} cdot (mathbf{A} times mathbf{B})$。
2023 WORK SUMMARY
《向量的点积与叉积》PPT课件
REPORTING
目录
• 向量点积的定义与性质 • 向量叉积的定义与性质 • 向量点积与叉积的应用 • 向量的混合积 • 总结与展望
PART 01
向量点积的定义与性质
向量点积的定义
总结词
线性代数中，两个向量的点积定义为它们的模长与夹角的余弦值的乘积。
向量点积与叉积的未来发展方向
理论完善
随着数学理论的发展，向量的点积与叉积的概念和性质可能会得到更深入的研究和探讨，有助于完善数学基础理论体系。
应用拓展
随着科技的发展，向量的点积与叉积在各个领域的应用将会更加广泛，例如在人工智能、机器学习、数据科学等领域中可能会发现更多新的应用场景。
计算优化
两个向量的夹角可以通过它们的点积来计算，这在解析几何中非常重要。
向量的线性变换
向量的线性变换可以用向量的叉积来实现，这在解析几何中有着广泛的应用。
在计算机图形学中的应用
3D渲染
游戏开发
在3D渲染中，需要使用向量的点积和叉积来计算光照方向、阴影、旋转等效果。
在游戏开发中，需要使用向量的点积和叉积来处理游戏角色的移动、碰撞检测、视角控制等。

ZJU微积分课件矢量点积与叉积

§4 两矢量的数量积与矢量积
§4.1 两矢量的数量积 §4.2 两矢量的矢量积 §5.1 三矢量的混合积
§4.1 两矢量的数量积
引例: 常力沿直线作功设一物体在常力 f 作用下, 沿与力夹角为的直线移动, 位移为 s , 则力 f 所做的功为
W s f cos
f
s
M2
定义: 设矢量 a , b 的夹角为 , 称
矢量的坐标即为矢量在三个坐标轴方向上的投影
, 例4. | a | 3, | b | 5, ( a , b ) 3 . 求( b ) a (a 2b ) (3a 2b ), | a 2b | . 5 5 cos . 解: ( b ) a | b | cos(a , b ) 3 2 a b | a | | b | cos(a , b ) 3 5 cos 15 . 3 2
方向 : c a , c b 且符合右手规则模:
两矢量的矢量积
b
a c
| c || a b || a | | b | sin( a , b )
面积
几何意义
定理2 a // b
| a b | a， b 为邻边性质 b a a b
a b a1b1 a2b2 a3b3
i i j j k k 1, i j j k k i 0
数量积的坐标表示式
矢量 a a1 , a2 , a3 与 b b1 , b2 , b3 的数量积
若 a 0, b 0， a b cos(a , b ) | a ||b |

D7_2点积叉积

第二节
第七章
数量积向量积 *混合积
一、两向量的数量积二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
机动目录上页下页返回结束
一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称

a 0, b 0 则 ab 0
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3. 运算律
(1) 交换律 (2) 结合律
b a
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b)
a∥ b
(1) a b b a (2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
(证明略)
机动目录上页下页返回结束
4. 向量积的坐标表示式
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
解: 如图所示,
S ABC

1 2
AB
AC
sin
1 AB AC 2
B

A
C
i jk
1 2 2 21 2
2 4
1 2
( 4,6,
2)
1 42 (6)2 22 14 2

函数的和、差、积、商的导数PPT教学课件

x)'
2x sin x x2 cos x sin 2 x
3. 求
y
x x2
3 3
在点x
3处的导数
解：y' 1 (x2 3) (x 3) 2x (x2 3)2
x2 6x 3 (x2 3)2
当x 3时, f (3) 32 6 3 3 1
(32 3)2
6
例:求曲线y=x3+3x－8在x=2 处的切线的方程.
互斥、对立事件概率的求法
两互斥事件的并事件的概率，等于这两个事件的概率的和，即 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) ；两对立事件的概率的和为1，即P(A)＋P(Ω\A)＝1，故P(A)＝1－P(Ω\A)．把复杂事件转化为互斥事件和对立事件，利用公式求概率．
例3 某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．【思路点拨】在一次射击中，命中9环、8 环、不够8环彼此互斥，可用概率的加法公式求解．
3.用两种方法求y (2x2 3)(3x 2)
的导数
解：法一：y (2x2 3)(3x 2) (2x2 3)(3x 2)
4x(3x 2) (2x2 3) 3
18x2 8x 9
法二：y (6x3 4x2 9x 6)
18x2 8x 9
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：
(2)连续投掷一枚硬币两次．基本事件为：两次都是正面朝上，一次正面朝上一次反面朝
上，一次反面朝上一次正面朝上，两次都是
反面朝上； (3)同时投掷两枚完全相同的骰子，所有可能的结果记为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， (2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)， (4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)共21个基本事件．

【笛卡尔坐标点积叉积】图解高等数学-下03

【笛卡尔坐标点积叉积】图解高等数学-下0310 空间中的向量和运动当一个物体在空间中运动时, 其坐标方程 x=f(t), y=g(t), z=h(t) 提供了物体运动和路径的方程, 坐标为时间的函数. 如果采用向量记号, 可以把这些方程缩写为一个方程作为关于时间的向量函数的物体位置.10.1 空间中的笛卡尔(直角)坐标和向量为给空间的点定位, 需要由三条相互垂直的轴. 如下图所示轴组成右手坐标系空间的点 P 的笛卡尔坐标 (x,y,z) 可用其位置向量表示. 如下图所示. 笛卡尔坐标也是直角坐标, 因为定义这种坐标的轴以直角相交.空间中的向量长度和方向与平面的情形一样, 若 v !=0 是空间中的非零向量, 则 v/|v| 是一个在 v 方向的单位向量. v 可以表示成它的长度和方向的乘积.距离和空间中的球半径为 a 中心为 (x0,y0,z0) 的标准球面方程:10.2 点积和叉积将之前研究的点积定义推广到空间. 然后对空间中的向量引入一个新的积, 称为叉积.点积空间中两个向量的点积(或内积, 数量积)以对平面向量同样的方式定义. 当把两个非零向量 u 和 v的起点放在一起, 就形成一个大小 0<=θ<=π 的角.垂直(正交)向量和投影跟平面向量的情形一样, 两个非零向量 u 和 v 是垂直或正交的, 当且仅当 u·v=0 .如果 u 表示一个力, 那么 projvu 表示在方向 v 的有效力.空间中两个向量的叉积空间两个非零向量 u 和 v. 如果 u 和 v 不平行, 那么就确定了一个平面. 这样可以用右手法则选择一个垂直于这个平面的单位向量 n. |u×v| 是平行四边形的面积.转矩(力矩, Torque)当我们再扳手上用一个力 F 转动一个螺栓时, 就产生一个转矩作用在螺栓的轴上以使螺栓前进.转矩的大小依赖力作用在扳手多远的地方和多大的在作用点垂直于扳手的力. 转矩的大小 τ 是杠杆 r 的臂长和 F 的垂直于 r 的数量分量的乘积三重积三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。

D7_1向量及运算点积叉积

( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2
x1x2+y1y2+z1z2=0. （充分性倒推即可）
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(四) 两向量的数量积
1. 定义
OP OQ r OM ON NM OR 由勾股定理得
r OM
对两点与因
R
O
z
M Q y N
x x2 y2 z 2
P
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
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2. 方向角与方向余弦
i j ax a y k az
a ax i a y j az k b bx i by j bz k
ax bx az bz
bx
b y bz

,
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结束
例设A(1,-1,3), B(3, 1,5), C(2, 1,7), 求△ABC的面积。解：
AB
B A

AC
O
a
(a b)
b
u
a P r ju
(a b) Pr ju
上页下页
b P r ju
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结束
定理1. 设A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z3)为两点，均非原点O,
则 OA OB 的充要条件是 x1x2+y1y2+z1z2=0.

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M F F
o
M
P
OQ OP sin
9
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1. 定义
定义设 a , b 的夹角为，向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则模: c a
b sin b
a c ab a

称 c 为向量 a 与 b 的向量积 , 记作
c ab
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作向径它与的夹角为 , 则
a
r sin

a
点 M离开转轴的距离
l
M
且
v r
符合右手法则

O
15
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*三、向量的混合积
4. 向量积的坐标表示式
设 a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i b y j bz k )
a xbx ( i i )
a yby ( j j )
2
2
2
6
结束
例2. 已知三点 M ( 1 , 1 , 1 ) , A ( 2 , 2 , 1 ), B ( 2 , 1 , 2 ) , 求
AMB . 解: MA ( 1 , 1 , 0 ) , MB ( 1 , 0 , 1 ) 则
cos AMB MA MB
B A
M
MA
MB
2
a zbz ( k k )
(a ybz a zb y ) i (a zbx a xbz ) j (a xb y a ybx ) k
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k
i
12
返回结束
j
向量积的行列式计算法
(a ybz a zb y ) i (a zbx a xbz ) j (a xb y a ybx ) k
i
ax
bx
j
ay by
k
az
bz
a ax i ay j az k b bx i b y j bz k

ax bx
az bz
,
( 行列式计算见上册 P355～P358 )
13
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例4. 已知三点 A ( 1 , 2 , 3 ) , B ( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三角形 ABC 的面积 .
c P r jc a c P r jc b a c b c
4
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例1. 证明三角形余弦定理
c
2
a
2
b 2 ab cos
2
证: 如图 . 设
CB a,
A
b
C A b,
AB c
B
c a

C
则
c
2Байду номын сангаас
(a b )(a b ) a a b b 2 a b a
(叉积)
引例中的力矩
思考: 右图三角形面积
S＝
b
10
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2. 性质
(1) a a 0 ( 2 ) a , b 为非零向量, 则 a b 0
ab a
b sin
a∥b
证明: 当 a 0 , b 0 时 ,
ab 0
a
b sin 0
a∥b
混合积: a b c ( a b ) c b x b y b z
2. 向量关系:
ab 0
cx cy cz
bx ax

by ay

bz az
a xbx a yb y a zbz 0
a , b , c 共面
( a b )c 0
ax bx cx
ay by cy
1. 定义已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b )c
记作
a
b c

ab
为 a , b , c 的混合积 .
几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
c
b
a
底面积 A a b , 高 h c 故平行六面体体积为
V Ah
( a b )c
即 sin 0 ， 0 或 π
3. 运算律
(1) a b b a
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
11
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记作
为 a 与 b 的数量积 (点积) .
ab
M1

s
M
2
W Fs
2
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当 a 0 时 , b 在 a 上的投影为
b
记作
P r ja b

故
a b a P r ja b
同理 , 当 b 0 时 ,
a 0, b 0
则 a b 0
az bz 0 cz
22
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思考与练习
1. 设 a i 2 j k , b i j , 计算 a b 及 a b , 并求
a , b 夹角的正弦与余弦 .
答案: a b 1 ,
cos 1 2 3 ,
a b (1 , 1 , 3 )
P r jc a P r jc b
b
a
(a b)
c
P r jc ( a b )
(3) 分配律
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当 c 0 时
a b c c P r j c a b c P r j c a P r j c b
2
b
2
2 a
b cos
a a ,b b ,c c
c
2
a
2
b 2 ab cos
2
5
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4. 数量积的坐标表示
设 a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i b y j bz k )
A2
故
A4 A3

1 6
x 3 x1 y 3 y 1 z 3 z 1 x 4 x1 y 4 y 1 z 4 z 1
19
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例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、 M ( x , y , z ) 四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.
B
CB CA
因
AC AB
c
A
a
CB CA
a b sin C
b
C
所以
a sin A

b sin B

c sin C
24
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解: A、B、 C、M 四点共面
AM、AB、AC 三向量共面
[ AM AB AC ] 0 y2
1
B
C
M
x 1
z0
1
A
即
1
3
0
0
2
展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程
2x y 3z 4 0
20
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内容小结
设 a ( a x , a y , a z ) , b (b x , b y , b z ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算加减: 数乘: 点积: 叉积:
a b (a x bx , a y b y , a z bz )
a ( a x , a y , a z )
a b a xbx a yb y a zbz
i
ab
j
k
ax ay az
bx b y bz
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ax ay az
cx

cz
a
b c ( a b ) c
ax az bx bz
cy
ax ay bx b y
ax bx
cx
ay by
cy
az bz
cz
17
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3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a
b c 0
(2) 轮换对称性 :
sin
11 12
B
2. 用向量方法证明正弦定理:
a sin A b sin B c sin C
A
c
a
b
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C
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证: 由三角形面积公式
S ABC

1 2 1
2
AC AB
BA BC 1 2
b c sin A c a sin B
第二节数量积向量积 *混合积
一、两向量的数量积二、两向量的向量积