2019-2020年数学选修2-3课件课时分层作业：第2章 2.3 2.3.2 事件的独立性(苏教版)

2.3.2事件的独立性
学习目标核
心素养
1.了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)
2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)
3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)1.借助两个事件相互独立的概念，提升数学抽样素养．2．通过具体的实际问题，培养数学建模素养.
1．事件的独立性的概念
(1)概念：若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立．
(2)含义：P(A|B)＝P(A)说明事件B的发生不影响事件A发生的概率．
2．相互独立事件的概率计算
如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么
(1)两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．
3．相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．思考1：不可能事件与任何一个事件相互独立吗？
[提示]相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件没有影响．
思考2：必然事件与任何一个事件相互独立吗？
[提示]相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
思考3：如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)正确吗？
[提示]正确．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸
得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，那么事件A与B，A与B间的关系是()
A．A与B，A与B均相互独立
B．A与B相互独立，A与B互斥
C．A与B，A与B均互斥
D．A与B互斥，A与B相互独立
A[因为是有放回地摸球，所以事件A的发生不会影响事件B的发生，所以A与B，A与B均相互独立．]
2．甲、乙两人投球命中率分别为1
2，
2
3，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一
次的概率为________．
1
2[事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A B∪A B且A B与A B互
斥，P(C)＝P(A B∪A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝1
2×
1
3＋
1
2×
2
3＝
3
6＝
1
2.]
3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．0．240.96[三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24.
三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04.
三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.]
相互独立事件的判断
【例1】
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，
取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[思路探究](1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义进行判断．
[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为5
8，若这一事件发
生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为4
7；若前
一事件没有发生，则后一事件发生的概率为5
7，可见，前一事件是否发生，对后一
事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB ＝{6}，
∴P(A)＝3
6＝
1
2，P(B)＝
2
6＝
1
3，P(AB)＝
1
6.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立．
判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立．
[解]A＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，
B＝{第二颗骰子出现2,4,6点}．
∴P(A)＝1
2，P(B)＝
1
2，P(AB)＝
3×3
36＝
1
4，
∴P (AB )＝P (A )P (B )，
∴事件A ，B 相互独立． 相互独立事件发生的概率
【例2A ，B ，C
三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
[思路探究] 明确已知事件的概率及其关系→
把待求事件的概率表示成已知事件的概率→
选择公式计算求值
[解] 令事件A ，B ，C 分别表示A ，B ，C 三个独立的研究机构在一定时期内
成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，
P (C )＝13.
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC 同时发生，故
P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝160. (2)他们都失败即事件A B C 同时发生．
故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )
＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C ))
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35.
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
[解]记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝C23
C25×
C22
C25＝
3
10×
1
10＝
3
100.
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是
3 100.
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝C13·C12
C25·
C23
C25＝
6
10·
3
10＝
9
50.
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都
是白球的概率是9
50.
事件的相互独立性与互斥性[
1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件A B与A B呢？
[提示]事件A与B，A与B，A与B均是相互独立事件，而A B与A B是。