初二5期中复习

期中复习（一）等腰三角形与直角三角形◆一、全等三角形的性质与判定1、全等三角形（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。

（2）性质：全等三角形的 、 相等。

（3）判定：“SAS ”、 、 、 、 。

2、直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”（即斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等） ◆二、特殊三角形的性质和判定 1、等腰三角形的性质定理（1）等腰三角形的两个底角 （简述为： ）。

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等（等角对等边）。

（3）等腰三角形 、 、底边上的高互相重合（三线合一）。

2、等边三角形的性质和判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 。

等边三角形的判定：已知，如右图，等腰△ABC ，AB=AC ：图1FEDCBA全等三角形的判定已知两边 找夹角（简记： ）找直角（简记：S 或HL ）找另一边（简记： ）已知两角找两角的夹边（简记：ASA ）找 （简记：已知一边一角边为角的对边，找 （简记： ）边为角的邻边找夹角的另一边（简记： ） 找夹边的另一个角（简记： ） 找 （简记： ）①若AB=BC ，则△ABC 为等边三角形；②若∠A= ，则△ABC 为等边三角形； ③若∠B= ，则△ABC 为等边三角形. 3、直角三角形的有关性质定理直角三角形的性质：①两锐角 ；②斜边上的中线等于③30°角所对的直角边等于 ；④如果∠C=90°，则三边关系为： . 直角三角形的判定:① 两锐角互余的三角形；②一条边上的中线等于该边的一半的三角形； ③如果a 2+b 2=c 2，则∠C=90°，此三角形为直角三角形 ◆三、互逆命题与互逆定理例题1：如图2，ABC ∆中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，且BD ＝CE ，B DEF ∠=∠求证：ED ＝EF 。

例题2：如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，且AD ＝BD ，AC ＝CD ，求∠B 。

例3说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；ADE CBF图2ABCD图3（3）如果ab=0,那么a=0,b=0；（4）一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等巩固练习（一）选择题：相信你一定能选对！1、下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）A 、有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B 、两个等边三角形C 、有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D 、有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形2、已知：如图10，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 的度数是 （ ）A 、 30°B 、 36°C 、45° D 、 54°（图10） （图11）★★3、如图11，△ABC 中，AB = AC, AD = AE, ∠BAD = 30°, 则∠EDC 的度数为 （ ）A 、 10°B 、 12.5°C 、 15°D 、 184、等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）A 、42°B 、60°C 、36°D 、46°★5、如图12，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的大小是（ ）A 、40°B 、45°C 、50°D 、60°（图12）垂直平分线与角平分线◆一、垂直平分线1、线段垂直平分线的性质ECDB A DE ABC（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线（1）关于三角形三边垂直平分线三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.◆二、角平分线角平分线的性质定理：1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.3、关于三角形三条角平分线（1）关于三角形三条角平分线交点：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.经典例题例1、如图1，AD ⊥BC ，BD ＝DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，求证：AB+BD ＝DE 。

A图5CDOABP图6EFDIP RQ BCA图4C DOAB FE★变式练习1：如图2，有一块三角形田地，AB ＝AC ＝10m ，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得△BDC 的周长为17m ，请你替测量人员计算BC= 。

例2、已知,如图,C E ⊥AB,B F ⊥AC,CE 与BF 相交于点D,且BD=CD,求证:点D 在∠B AC 的平分线上.变式练习2：如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD .求证：AD 平分∠BAC .例3、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明AD 垂直平分EF .AEBDC图2AFEDCB变式练习3：阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据； 若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程。

巩固练习（一）选择题：相信你一定能选对！ 1、下列命题中正确的命题有（ ）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个2、到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边中垂线的交点 3、在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于点D ，若CD ：BD=1：2，BC=6cm ，则点 D 到点A 的距离为（ ） A. 1.5cm B.3cm C.2cm D.4cm3题图4 如图，要在公路MN 旁修建一个货物中转站P ，分别向A 、B 两个开发区运货。

（1）若要求货站到A 、B 两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？ （2）若要求货站到A 、B 两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？ （分别在图上找出点P ，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明.）5如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。

你能确定仓库应该建在什么位置吗？简要的说明设计方法并在所给的图形中画出你的设计方案；（三）反证法巩固练习1、“a<b ”的反面应是（ ）A ．a ≠bB ．a>bC ．a=bD ．a=b 或a>b 2、用反证法证明“若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设（ ） A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥b D ．a 与b 相交第（1）题图 MN.A .B 第（2）题图MN.A .B NMOBA3、用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设。

4、用反证法证明“若│a│<2，则a2<4”时，应假设。

证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．6、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°7、若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设________ _______．二、练习1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（四）不等式综合复习1．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．2．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组图示解集口诀（其中a<b）x ax b ≥⎧⎨≥⎩x ≥b同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩x ≤a 同小取小x ax b ≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b 大小、小大中间找 x ax b ≤⎧⎨≥⎩空集小小、大大找不到3、列不等式解应用题的特征：列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义． 4、列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.经典例题例1、若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件，求小朋友的人数和玩具数。