数学：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)
高二数学 第一章《1.5定积分的概念》教案 新人教A版选修2-2
高中数学第一章《1.5定积分的概念》教案1．创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．2．新课讲授说明：（1）定积分()baf x dx⎰是一个常数，即n S无限趋近的常数S（n→+∞时）称为()baf x dx⎰，而不是n S．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[],a b；②近似代替：取点[]1,i i ix xξ-∈；③求和：1()niib afnξ=-∑；④取极限：()1()limnbia nib af x dx fnξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx=⎰；变速运动路程21()ttS v t dt=⎰；变力做功()baW F r dr=⎰2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b上函数连续且恒有()0f x≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
说明：一般情况下，定积分()b a f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆L L不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<L于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆L L()ba f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积） 2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx ba -=⎰1 推论1：)()(x g x f ≥，⎰⎰≥b a b a dx x g dx x f )()( ()b a < 推论2：⎰⎰≥ba ba dx x g dx x f )()( ()b a < 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念
1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】 知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________________．记为_______. 其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 叫做积分____，a 叫做积分_____________．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（２）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰． 2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间)(],[x f b a 上函数连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰ba dx x f )(表示直线x a =,()xb a b =≠,0y =和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.3．定积分的性质：（１）=⎰ba kdx _______（k 为常数）； （２）=⎰ba dx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）； （３）[]=±⎰b a dx x f x f )()(21_______________； （４）=⎰ba dx x f )(__________________（其中bc a <<）． 对点练习：1.下列等于1的积分是（ ）A.dx x ⎰10B.dx x ⎰+10)1(C.dx ⎰101D.dx ⎰1021 3．设⎩⎨⎧<≥=⎰-112)().0(2),0()(dx x f x x x x f x 则的值是（ ） A.⎰-112dx x ⎰-112.dx B x ⎰⎰+-100122.dx dx x C x ⎰⎰+-102012.dx x dx D x 3．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴下方）时，定积分⎰ba dx x f )(表示___________________________. 【合作探究】 典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ⎰-31|2|的值．变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分21(1)x dx+⎰的值．例2.利用定积分的定义，计算⎰103dxx的值．变式练习：计算⎰203dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A.［0，2e ］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］2.下列命题不正确的是（ ）．A.若)(x f 是连续的奇函数，则0)(=⎰-a a dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)( C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则0)(>⎰b a dx x f D.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>⎰b adx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正3.化简求值=+⎰⎰2110xdx xdx ______________＝ _____________ ．4.试用定积分的几何意义说明⎰-2024dx x 的大小．【课时作业】1.已知⎰⎰+=2020]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )A.9B.12C.15D.182.若函数x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 等于（ ）．A.0B.8C.⎰20)(dx x fD.2⎰20)(dx x f3.将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分是（ ） A.dx x ⎰101B.dx x p⎰10 C.dx x p ⎰10)1( D.dx n x p⎰10)(4.利用定积分的性质和几何意义求定积分⎰-302)2(dx x ．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.。
高中数学 第一章《1.5定积分的概念》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.5定积分的概念》教案 新人教A 版选修2-2 "一：教学目标知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；过程与方法借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；情感态度与价值观二：教学重难点重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点 定积分的概念、定积分的几何意义三：教学目标：1．创设情景复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．2．新课讲授说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n bi a n i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰； 变力做功 ()ba W F r dr =⎰2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
高中数学 专题1.5.3 定积分的概念教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
高中数学专题1.5.3 定积分的概念教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.5.3 定积分的概念教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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定积分的概念【教学目标】1．了解定积分的概念,会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．【教法指导】本节学习重点:掌握定积分的基本性质．本节学习难点：理解定积分的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积,其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b),y ＝0和曲线y＝f（x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之。
☆探索新知☆探究点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃ错误!f(x)d x?(2）定积分就是和的极限错误!错误!(ξi）·Δx,而ʃ错误!f(x）d x只是这种极限的一种记号，读作“函数f（x）从a到b的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a,b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限（定积分）的存在（实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1 利用定积分的定义，计算ʃ错误!x3d x的值．解令f（x)＝x3。
高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念 含解析
1．5.3 定积分的概念预习课本P45～47，思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？(2)定积分的计算有哪些性质？[新知初探]1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξ i )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξ i )， 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝li m n →∞∑i ＝1n b －a n f (ξ i )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)．[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 等于由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与曲线y ＝f (x )围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算⎠⎛a bf (x )d x 时，先明确积分区间[a ，b ]，从而确定曲边梯形的三条直边x ＝a ，x ＝b ，y ＝0，再明确被积函数f (x )，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S 而得到定积分的值：当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝S ；当f (x )<0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝－S .2．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a bf 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x . (3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛02x 2d x ＝1.( )(2)⎠⎛a bf (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛a b(x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a bx 2d x ＋⎠⎛a b2x d x . ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2.⎠⎛02x d x 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D ．－2答案：C3．已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则( ) A.⎠⎛01f (x )d x ＝4 B.⎠⎛02f (x )d x ＝4C.⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝8 D ．以上答案都不对 答案：C4．已知⎠⎛0tx d x ＝2，则⎠⎛－t 0x d x ＝________. 答案：－2利用定义求定积分[典例] 利用定义求定积分⎠⎛03x 2d x .[解] 令f (x )＝x 2，(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地插入n －1个点，把区间[0,3]分成n 等份，其分点为x i＝3i n (i ＝1,2，…，n －1)，这样每个小区间[x i －1，x i ]的长度Δx ＝3n (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替、求和：令ξi ＝x i ＝3i n (i ＝1,2，…，n )，于是有和式：∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫3i n 2·3n ＝27n 3∑i ＝1n i 2＝27n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＝92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n . (3)取极限：根据定积分的定义，有⎠⎛03x 2d x ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx＝⎣⎡⎦⎤92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝9.用定义求定积分的一般步骤(1)分割：n 等分区间[a ，b ]；(2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，可取ξi ＝x i －1或ξi ＝x i ； (3)求和：∑i ＝1n f (ξi )·b －an ；(4)取极限：⎠⎛a bf (x )＝li m n →∞∑i ＝1n f (ξi )·b －an . [活学活用]利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值． 解：令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫1＋in ·Δx＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫1＋i n 2＋2⎝⎛⎭⎫1＋i n ·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎡⎦⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝S n ＝－13⎝⎛⎭⎫2＋1n ⎝⎛⎭⎫4＋1n ＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23. 用定积分的性质求定积分[典例] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d x B.⎠⎛022x 2d xC.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛012x d x ＋⎠⎛12(x ＋1)d x(2)已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e33，求下列定积分的值：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ； ②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x .[解析] (1)由定积分的几何性质得：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .答案：C(2)解：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ＝2⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0ex 2d x ＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝⎠⎛0e2x 2d x －⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0e1d x ，因为已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算．(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．[活学活用]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1.且⎠⎛0－1 (2x －1)d x ＝－2，⎠⎛01 e －x d x ＝1－e －1，求⎠⎛1－1f (x )d x .解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1).用定积分的几何意义求定积分[典例] 求定积分：⎠⎛02(4－(x －2)2－x )d x .[解] ⎠⎛024－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即⎠⎛024－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.⎠⎛02x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积，即⎠⎛02x d x ＝12×22＝2.∴原式＝⎠⎛024－(x －2)2d x －⎠⎛02x d x ＝π－2.当被积函数的几何意义明显时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要注意定积分的符号．[活学活用]计算⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解：如图所示，由定积分的几何意义得⎠⎛3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ⎠⎛3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得 ⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x ＝⎠⎛3－39－x 2d x －⎠⎛3－3x 3d x ＝9π2.层级一 学业水平达标1．定积分⎠⎛2－2f (x )d x (f (x )>0)的积分区间是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．不确定解析：选A 由定积分的概念得定积分⎠⎛2－2f (x )d x 的积分区间是[－2,2]． 2．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A 由定积分的几何意义知，⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故⎠⎛13(－3)d x ＝－6.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a bf (x )d x ＞0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a bf (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，b ]上恒正解析：选D A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )＞0的曲线围成的面积比f (x )＜0的曲线围成的面积大．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1 x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛1－1x 2d x ＋⎠⎛1－12x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：选D 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 求出的是( )解析：选D 定积分S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，D 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方．故选D.6．若⎠⎛a bf (x )d x ＝3，⎠⎛a bg (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝__________. 解析：⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5. 答案：57．若⎠⎛a bf (x )d x ＝1，⎠⎛a bg (x )d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝_______. 解析：⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝2×1－3＝－1. 答案：－18．计算：⎠⎛0416－x 2d x ＝____________.解析：⎠⎛0416－x 2d x 表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14π·42＝4π.答案：4π9．化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积．(1)⎠⎛－3－2 x 2d x ＋⎠⎛1－2x 2d x ； (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x .解：(1)原式＝⎠⎛1－3x 2d x ，如图(1)所示． (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎠⎛02|1－x |d x ，如图(2)所示．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5，x ∈[－1，1]，x ，x ∈[1，π)，sin x ，x ∈[π，3π]，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分． 解：由定积分的几何意义知：∵f (x )＝x 5是奇函数，故⎠⎛1－1x 5d x ＝0； ⎠⎛π3πsin x d x ＝0(如图(1)所示)；⎠⎛1πx d x ＝12(1＋π)(π－1)＝12(π2－1)(如图(2)所示)．∴⎠⎛－13πf (x )d x ＝⎠⎛－11x 5d x ＋⎠⎛1πx d x ＋⎠⎛－π3πsin x d x＝⎠⎛1πx d x ＝12(π2－1)．层级二 应试能力达标1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则⎠⎛a bf (x )d x －⎠⎛a bf (t )d t 的值( ) A ．小于零 B ．等于零 C ．大于零D ．不能确定解析：选B ⎠⎛a bf (x )d x 和⎠⎛a bf (t )d t 都表示曲线y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 及y ＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.2．(陕西高考)如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛01(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x解析：选C 由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.3．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b解析：选B 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x ＜⎠⎛01x 2d x ＜⎠⎛01x 13d x ，即a ＞b ＞c ，故选B.4．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：选D 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.5．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝________. 解析：原式＝⎠⎛012d x ＋⎠⎛011－x 2d x .因为⎠⎛012d x ＝2，⎠⎛011－x 2d x ＝π4， 所以⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4.答案：2＋π46．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为______． 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝a ⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.答案：f (x )＝65x ＋257．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程． 解：依题意，汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s ＝∫600v (t )d t ＝∫20032t d t ＋⎠⎛2040(50－t )d t ＋⎠⎛406010d t＝300＋400＋200＝900(米)．8．求证：12＜⎠⎛01x d x ＜1.第11页 共11页 证明：如图，⎠⎛01x d x 表示阴影部分面积，△OAB 的面积是12，正方形OABC 的面积是1，显然，△OAB 的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC 的面积，即12＜⎠⎛01x d x ＜1.。
2015高中数学 1.5.3定积分的概念 学案(人教A版选修2-2)
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
x3dx≈Sn＝()·Δx
＝()3·＝3
＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.
(3)取极限
x3dx＝Sn＝(1＋)2＝.
方法归纳
用定义法求定积分的四个步骤是：(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限．其中分割通常都是对积分区间进行等分，近似代替时通常取区间的左端点或右端点，求和时要注意一些求和公式的灵活运用．
∴kdx＝k(b－a)．
利用定积分的几何意义求定积分
利用几何意义计算下列定积分：
(1)dx；(2)(3x＋1)dx.
[解](1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，
其面积为S＝·π·32.
由定积分的几何意义知dx＝π.
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
(3)如图(3)，∵A1＝A2，
∴|x|dx＝2A1＝2×＝1.
(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)
利用定积分的性质求定积分
已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求下列各式的值：
(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx；(3)(3x2－2x3)dx.
[解](1)(3x3)dx
9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
解：(1)sinxdx.
名师解题
巧用定积分的几何意义求面积
善于思考的小明发现：半径为a，圆心在原点的圆，如果固定直径AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩到原来的b倍，就得到一种新的图形——椭圆．他受祖冲之“割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，他求得的结果为________．
人教a版数学【选修2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件
[答案] C
π π [解析] 由定积分的几何意义知 sinxdx>0， cosxdx＝0，
0 0
所以C不成立，故应选C.
3．下列值等于1的是(
1 A． xdx
0
)
1 B． (x＋1)dx
0
C． 1dx
1(x)dx± f2(x)dx b a ② f ( x )]d x ＝ __________________ ； [f1(x)± 2 b a
a
b c ③ f ( x )d x ＝
a
f(x)dx f(x)dx＋__________ (其中a<c<b)．
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和
1 1 2 1 n 1 3 3 ·＋ ·＋…＋ 3·. n n n n n n i 1 . ＝ n3· n i＝1
n
(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处 将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(3)取极限：
i 1 nn＋1 1 n 3 1 2 3 ·＝ 4 i ＝ 4 n n n n 2 i ＝1 i＝1
1 0
[答案] C [解析] 由积分的几何意义可知选C.
π 4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝ 4 ，x轴所围成的平 面区域的面积用积分表示为________．
高中数学 第一章《1.5定积分的概念》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.5定积分的概念》教案 新人教A 版选修2-2 "一：教学目标知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；过程与方法借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；情感态度与价值观二：教学重难点重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点 定积分的概念、定积分的几何意义三：教学目标：1．创设情景复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．2．新课讲授说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n bi a n i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰； 变力做功 ()ba W F r dr =⎰2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
青海师范大学附属第二中学高中数学 1.5.3 定积分的概念导学案 新人教A版选修22
青海师范大学附属第二中学高中数学 1.5.3 定积分的概念导学案新人教A版选修2-2[学习要求]1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.2．理解定积分的几何意义.3．掌握定积分的基本性质．[学法指导]通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.定积分概念一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<x2<…<x i－1<x i<…<x n＝b 将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式_______＝∑ni＝1b－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作_______,这里a与b分别叫作________与________，区间[a，b]叫做________，函数f(x)叫做_________,x 叫做_________，f(x)dx叫做_______．定积分几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分ʃb a f(x)dx表示由__________________________和__________所围成的曲边梯形的面积.基本性质ʃb a kf(x)dx＝__________(k为常数)；ʃb a [f1(x)±f2(x)]dx＝__________±__________；ʃb a f(x)dx＝____________＋____________(其中a<c<b).问题2 怎样正确认识定积分ʃa f(x)dx?例1利用定积分的定义，计算ʃ10x3dx的值．跟踪训练1 用定义计算ʃ21 (1＋x)dx.探究点二定积分的几何意义问题1 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃb a f(x)dx表示什么？问题2 当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃb a f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？例2 利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃ3－3dx；(2)ʃ3－1 (3x＋1)dx.跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1xdx ；(2)ʃ2π0cosxd x ；(3)ʃ1－1|x|dx.探究点三 定积分的性质问题1 定积分的性质可作哪些推广？问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例3 计算ʃ3－3 (9－x 2－x 3)dx 的值；跟踪训练3 已知ʃ10x 3dx ＝14，ʃ21x 3dx ＝154，ʃ21x 2dx ＝73，ʃ42x 2dx ＝563，求： (1)ʃ203x 3dx ；(2)ʃ416x 2dx ；(3)ʃ21 (3x 2－2x 3)dx.[达标检测]1．下列结论中成立的个数是 ( )①ʃ10x 3dx ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ； ②ʃ10x 3dx ＝lim n →∞∑i ＝1ni －13n 3·1n ； ③ʃ10x 3dx ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0B ．1C ．2D ．32．定积分ʃba f(x)dx 的大小 ( )A ．与f(x)和积分区间[a ，b]有关，与ξi 的取法无关B ．与f(x)有关，与区间[a ，b]以及ξi 的取法无关C ．与f(x)以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b]无关D ．与f(x)、积分区间[a ，b]和ξi 的取法都有关 3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：①ʃ10xdx ________ʃ10x 2dx ； ②ʃ20dx________ʃ202dx.4．已知 ＝ ＝1， ＝π324，求下列定积分：(1)ʃsinxdx ；(2). π20sin d x x⎰xx d sin π2π⎰⎰2π02d xx ⎰+2π2d )3(sin xx x[小结]1．定积分ʃb af(x)dx 是一个和式i ＝1nb －anf(ξi )的极限，是一个常数．。
高二数学1.5.3定积分的概念学案新人教A版选修2-2
2
0
2
D.
2 sin xdx＝
2 sin xdx＋ 0 sin xdx
解析： 利用定积分的性质进行判断， C 不成立．
例如
1
1
0 xdx＝ 2，
1 0
x
2
dx
＝
1 3
，
1 0
x3d
x＝
1 4.
但
1 x3dx≠
1 xdx·
1 x2dx.
0
0
0
3．计算： 1 16－ x2dx＝ ( C) 0
A． 8π B ．16π C ． 4π D ．32π
解析： 4 16－ x2dx 表示以原点为圆心，半径为 0
π· 42＝ 4π .
1 4 的 4圆的面积，∴
4 0
16－
x2
dx
＝
1 4
基础巩固
1．定积分
b a f ( x)d x 的大小 ( A)
A．与 f ( x) 和积分区间 [ a， b] 有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f ( x) 有关，与区间 [ a， b] 及 ξi 的取法无关 C．与 f ( x) 及 ξi 的取法有关，与区间 [ a， b] 无关 D．与 f ( x) 、积分区间 [ a， b] 和 ξi 的取法都有关
f ( x) 叫做 被积函数 ，x 叫做 积分变量 ， f ( x)d x 叫做 被积式 ． 2．定积分的几何意义：如果在区间 [ a， b] 上函数 f ( x) 连续且恒有 f ( x) ≥０，那么定积
b 分 a f ( x)d x 表示由直线 x＝ a，x＝ b( a≠ b) ，y＝ 0 和曲线 y＝ f ( x) 所围成的曲边梯形的面
0
A． e＋2
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念
1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替； 结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________________．记为_______. 其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 叫做积分____，a 叫做积分_____________． 说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（２）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰．2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间)(],[x f b a 上函数连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰badx x f )(表示直线x a =,()x b a b =≠,0y =和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.3．定积分的性质：（１）=⎰bakdx _______（k 为常数）；（２）=⎰badx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）；（３）[]=±⎰badx x fx f )()(21_______________；（４）=⎰b adx x f )(__________________（其中b c a <<）． 对点练习：1.下列等于1的积分是（ ） A.dx x ⎰1B.dx x ⎰+1)1(C.dx ⎰101 D.dx ⎰10213．设⎩⎨⎧<≥=⎰-112)().0(2),0()(dx x f x x x x f x 则的值是（ ）A.⎰-112dx x ⎰-112.dx B x⎰⎰+-1122.dx dx x C x ⎰⎰+-12012.dx x dx D x3．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴下方）时，定积分⎰badx x f )(表示___________________________.【合作探究】典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ⎰-31|2|的值．变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分21(1)x dx+⎰的值．例2.利用定积分的定义，计算⎰103dxx的值．变式练习：计算⎰23dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A.［0，2e ］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（ ）．A.若)(x f 是连续的奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则0)(>⎰badx x fD.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>⎰badx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正3.化简求值=+⎰⎰211xdx xdx ______________＝ _____________ ．4.试用定积分的几何意义说明⎰-224dx x 的大小．【课时作业】1.已知⎰⎰+=22]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )A.9B.12C.15D.18 2.若函数x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 等于（ ）．A.0B.8C.⎰2)(dx x f D.2⎰2)(dx x f3.将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分是（ ） A.dx x⎰101 B.dx x p⎰10 C.dx x p ⎰10)1( D.dx nx p ⎰10)( 4.利用定积分的性质和几何意义求定积分⎰-32)2(dx x ．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.。
高中数学 1.5.3定积分的概念导学案新人教版选修2-2 (2)
1．5.3 定积分的概念【学习目标】理解定积分的概念，掌握三种求定积分的方法 【重点难点】求定积分的方法 一、自主学习要点1 定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξ1(i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξ1)Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξ1)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的 ，记作⎠⎛a bf(x)d x ，即⎠⎛abf(x)d x ＝lim n→∞∑i ＝1nb －anf(ξi )．这里，a 与b 分别叫做积分 与积分 ，区间[a ，b ]叫做积分 ，函数f(x)叫做 ，x 叫做 ，f(x)d x 叫做 要点2 定积分的几何意义如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有 ，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示由所围成的曲边梯形的面积． 要点3 定积分的性质(1)⎠⎛a b kf(x)d x ＝ (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝ ； (3)⎠⎛ab f(x)d x ＝ (a<c<b)． 二、合作，探究，展示，点评 题型一 定义法求定积分例1 用定义计算⎠⎛12(1＋x)d x.题型二 定积分的几何意义 例2 求定积分⎠⎛011－x 2d x.思考题1 不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1)⎠⎛01x d x________⎠⎛01x 2d x(如右图)；(2)⎠⎛01x d x________⎠⎛12x d x(如下图)；(3)⎠⎛024－x 2d x________⎠⎛022d x(如下图)．题型三 利用性质求定积分例3 (1)计算⎠⎛-33 (9－x 2－x 3)d x 的值；(2)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x∈[0，，4－x x∈[2，，52－x 2 x∈[3，5]，求f(x)在区间[0,5]上的定积分．思考题2 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x∈[－2，，2x ，x∈[2，π，cos x ，x∈[π，2π]，求f(x)在区间[－2,2π]上的积分；(2)计算⎠⎜⎜⎛π232 π(2－5sin x)d x 的值．题型四 利用定积分表示平面图形的面积例4 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2.思考题3 用定积分表示抛物线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的平面图形的面积．三、知识小结1. 若f(x)在[－a ，a]上连续，则：(1)当f(x)是偶函数时，⎠⎛－a a f(x)d x ＝2⎠⎛0a f(x)d x.(2)当f(x)是奇函数时，⎠⎛－aa f(x)d x ＝0.2．定积分的性质拓展：拓展一：若在区间[a ，b]上，f(x)≥0，则⎠⎛ab f(x)d x≥0.拓展二：若在区间[a ，b]上，f(x)≤g(x)，则⎠⎛a b f(x)d x≤⎠⎛ab g(x)d x.拓展三：⎪⎪⎪⎪⎠⎛abd x ≤⎠⎛ab |f(x)|d x.拓展四(估值定理)：设函数f(x)在区间[a ，b]上的最小值与最大值分别为m 与M ，则m(b －a)≤⎠⎛ab f(x)d x≤M(b －a)．利用这个性质，由被积函数的在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．。
数学：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)
文档从网络收集.经重新纠错整理.word 可编辑.欢迎下载支持- 1 - 1.5.3 定积分的概念教学目标：1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2. 理解定积分及几何意义.3. 掌握定积分的基本性质及其计算 教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算 教学过程：1. 定积分的定义：2. 怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰b a dx x f )(的几何意义是什么?梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a==≠==⎰ 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.⎰-2024dx x 的大小由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴⎰dx x 2. 0113=⎰-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算0103=⎰dx x 的值.6.由定积分的定义可得到哪些性质？ 常数与积分的关系 ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( 和差的积分 推广到有限个也成立⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121 区间和的积分等于各段积分和)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=⎰⎰⎰其中 7练习：计算下列定积分⎰-312)2(dx x x。
新人教A版选修(2-2)1.5.3《定积分的概念》word教案
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：李洪涛 审稿人：张林§1.5.3定积分的概念教案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
2015-2016学年高二人教A版数学选修2-2备课参考：1.5.3定积分的概念
1.5.3定积分的概念教学建议1.教材分析本节是在前面研究曲边梯形的面积和变速直线运动的路程的基础上,通过概括它们的共同特征而引入定积分的概念,给出定积分的几何意义与基本性质.重点是定积分的概念,几何意义和性质;难点是定积分的求解方法和应用.2.主要问题及教学建议(1)定积分的概念的理解.建议教师为了加深学生对定积分概念的理解,可作如下说明.①定积分的含义.定积分f(x)d x是一种特定形式的和式f(ξi)的极限,即f(x)d x表示当n→∞时,和式f(ξi)所趋向的定值.②解释f(x)d x中符号的含义.③引导学生体会数学的力量.定积分把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题的结果,表示成了同样的形式,这显示了定积分的强大的威力,也表明了数学的威力.(2)定积分的几何意义.建议教师让学生回顾前面两个实例,结合图形,通过逐步分析,充分利用教材中的“探究”和“思考”得出定积分的几何意义.备选习题1.计算:(1)sin x d x=;(2)(-)d x=.解析:(1)∵曲线y=sin x在[0,2π]上关于点(π,0)对称,∴sin x d x=sin d x+sin x d x=sin x d x-sin x d x=0.(2)曲线y=(x∈[0,2])表示圆心在原点,半径为2的圆在第一象限的圆弧,则d x表示由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=围成的图形面积,∵S=πr2=π,∴d x=π,∴(-)d x=-d x=-π.答案:(1)0(2)-π2.求定积分-x)d x的值.解:-x)d x表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积,故原式=×π×12-×1×1=.。
人教A版高中数学选修定积分的概念教案新
§1.5.3定积分的概念（2课时）教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
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1.5.3 定积分的概念
教学目标：
1.了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
2.理解定积分及几何意义.
3.掌握定积分的基本性质及其计算
教学重点与难点：
1.定积分的概念及几何意义
2.定积分的基本性质及运算教学过程：
1.定积分的定义：
2.怎样用定积分表示：
x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？
t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？
31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 3
5)2()(102102⎰⎰=+-==dt t dt t v S 3.你能说说定积分的几何意义吗？例如
⎰b a dx x f )(的几何意义是什么?
梯形的面积
所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a
==≠==⎰ 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明
1.⎰-2024dx x 的大小
由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=
所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的4
1，.4202π=-∴⎰dx x 2. 0
1
13=⎰-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算01
03=⎰dx x 的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？常数与积分的关系
⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( 推广到有限个也成立 ⎰⎰⎰±=±b a
b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121区间和的积分等于各段积分和
)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b
c c a b a <<+=⎰⎰⎰其中7练习：计算下列定积分⎰-3
12)2(dx
x x。